量子力学期末考试试题和答案A
2002级量子力学期末考试试题和答案
A 卷
一、简答与证明：（共25分）
1、什么是德布罗意波？并写出德布罗意波的表达式。 （4分）
2、什么样的状态是定态，其性质是什么？（6分）
3、全同费米子的波函数有什么特点？并写出两个费米子组成的全同粒子体系的波函数。（4分）
4、证明
)??(2
2x x p x x p i -是厄密算符 （5分） 5、简述测不准关系的主要内容，并写出坐标x 和动量x p
?之间的测不准关系。（6分）
二、（15分）已知厄密算符B A ?,?，满足1??22==B A
，且0????=+A B B A ，求 1、在A 表象中算符A
?、B ?的矩阵表示； 2、在B 表象中算符A
?的本征值和本征函数； 3、从A 表象到B 表象的幺正变换矩阵S 。 三、（15分）设氢原子在0=t 时处于状态
),()(21),()(21),()(21)0,(112110311021?θ?θ?θψ-+-=Y r R Y r R Y r R r ，求
1、0=t 时氢原子的E 、2L
?和z L ?的取值几率和平均值； 2、0>t 时体系的波函数，并给出此时体系的E 、2L ?和z L ?的取值几率和平均值。
四、（15分）考虑一个三维状态空间的问题，在取定的一组正交基下哈密顿算符
由下面的矩阵给出
??
???
??+????? ??-=C C C H 000000200030001? 这里，H H H
'+=???)0(，C 是一个常数，1< y x iS S S +=+， y x iS S S -=-，分别求+S 和-S 作用于z S 的本征态 ???? ??=+0121和???? ??=-1021 的结果，并根据所得的结果说明+S 和-S 的重要性是什么？ 一、1、描写自由粒子的平面波称为德布罗意波；其表达式：)(Et r p i Ae -?=ρρη ψ 2、定态：定态是能量取确定值的状态。性质：定态之下不显含时间的力学量的取值几率和平均值不随时间改变。 3、全同费米子的波函数是反对称波函数。两个费米子组成的全同粒子体系的波函数为： [])()()()(21 12212211q q q q A ????φ-= 。 4、)??(2 2x x p x x p i -=x x x x x x p p x p i x p p i x p i ?2?],?[],?[?],?[2η=+=，因为x p ?是厄密算符，所以)??(2 2x x p x x p i -是厄密算符。 5、设F ?和G ?的对易关系k ?i F ?G ?G ?F ?=-，k 是一个算符或普通的数。以F 、G 和k 依次表示F ?、G ?和k 在态ψ中的平均值，令 F F ?F ?-=?，G G ?G ?-=?， 则有 4222k )G ?()F ?(≥ ???，这个关系式称为测不准关系。 坐标x 和动量x p ?之间的测不准关系为：2?η ≥???x p x 二、解1、由于1?2=A ，所以算符A ?的本征值是1±，因为在A 表象中，算符A ?的矩阵是对角矩阵，所以，在A 表象中算符A ?的矩阵是： ???? ??-=1001)(?A A 设在A 表象中算符B ?的矩阵是 ???? ??=22211211)(?b b b b A B ，利用0????=+A B B A 得：02211==b b ；由于1?2=B ，所以???? ??002112b b ???? ??002112b b 100122121 12=???? ??=b b b b ， 21121b b =∴；由于B ?是厄密算符，B B ??=+，∴????? ??01 12 12b b ????? ?? =010* 12 *12b b * 12121 b b =∴ 令δ i e b =12，其中δ为任意实常数，得B ?在A 表象中的矩阵表示式为：???? ? ?=-00)(?δδi i e e A B 2、类似地，可求出在B 表象中算符A ?的矩阵表示为：???? ??=-00)(?δδi i e e B A 在B 表象中算符A ?的本征方程为：???? ??=???? ?????? ??-βαλβαδ δ00 i i e e ，即???? ??=???? ??-βαλαβδδi i e e ? ???=-=+--00λβαβλαδ δi i e e α和β不同时为零的条件是上述方程的系数行列式为零，即 =---λ λδ δi i e e ? 012 =-λ 1±=∴λ 对1=λ有：???? ??=+ 121δ?i A e ，对1-=λ有： ???? ??-=- 121δ?i A e 所以，在B 表象中算符A ?的本征值是1±，本征函数为???? ??121δi e 和???? ??-121δi e 3、类似地，在A 表象中算符B ?的本征值是1±，本征函数为???? ??121δi e 和???? ??-121δi e 从A 表象到B 表象的幺正变换矩阵就是将算符B ?在A 表象中的本征函数按列排成的矩阵，即???? ??-=-1121δδ i i e e S 三、解： 已知氢原子的本征解为： ) 3,2,1(1 22 02Λ=- =n n a e E s n ),()(),,(?θ?θφlm nl nlm Y r R r =，将)0,(r ψ向氢原子的本征态展开， 1、)0,(r ψ=∑nlm nlm nlm r c ) ,,()0(?θφ，不为零的展开系数只有三个，即 21)0(210= c ， 21)0(310 -=c ，21)0(121=-c ，显然，题中所给的状态并未归一化，容易求出归一化常数为：54 ，于是归一化的展开系数为： 51 5421)0(210= = c ，52542 1)0(310-=-=c ， 52 5421 )0(121==-c （1）能量的取值几率 535251)0,(2=+= E W ，52 )0,(3=E W ， 平均值为： 3 252 53E E E += （2）2L ?取值几率只有： 1)0,2(2=ηW ，平均值222?η=L （3）z L ? 的取值几率为： 535251)0,0(=+= ηW ，52)0,(=-ηW ，平均值 η52?-=z L 2、0>t 时体系的波函数为：),(t r ψ=∑- nlm n nlm nlm t E i r c )ex p(),,()0(η?θφ )exp(),,()0()exp()],,()0(),,()0([33103102121121210210t E i r c t E i r c r c η η-+- +=--?θφ?θφ?θφ) ex p(),,(52)ex p()],,(52),,(51[33102121210t E i r t E i r r ηη---+=-?θφ?θφ?θφ 由于E 、2L ?和z L ?皆为守恒量，所以它们的取值几率和平均值均不随时间改变，与0=t 时的结果是一样的。 四、解：（1）H ?的本征值是方程0)?det(=-I H λ的根 ) 34)(2(20 030 1022C C C C C -+---=----=λλλλ λλ 结果：2-=C λ，212C +±=λ，这是H ?的精确解。 （2）根据题意，体系能级的二级修正可写为：) 2()1()0(n n n n E E E E ++= 由题设可知：能量的一级修正为：011='H ，022='H ，C H ='33 对于二级修正，有： 2)2(103122) 0(3)0(13113)0(2)0(12112) 2(1C C E E H H E E H H E -=--+-=-''+-''= 2 )2(301322) 0(3)0(23223)0(1)0(21221) 2(2C C E E H H E E H H E =--+-=-''+-''=0) 0(2)0(32332)0(1)0(31331)2(3=-''+-''=E E H H E E H H E 所以， 2121C E -=，2322C E +=，C E +-=23 将2 12C +±=λ展开：) 2 1 1(21222Λ++±=+±=C C λ =?1λ2213C +，=2λ2211C -， )1(2 < 五、解：0 21)2(212212121=-+-=+++=++ηηi i iS S S y x ， 2121)2(212212121+=+-++=-+-=-+ηηηi i iS S S y x 2121)2(212212121- =---=+-+=+-ηηηi i iS S S y x 021)2(212212121=+--+=---=- -ηηi i iS S S y x 所以+S 和-S 分别作用于z S 的本征态???? ??=+0121和 ???? ??=-1021的结果是 021=+ +S ，2121+=-+ηS ，2121-=+-ηS ，021 =--S 结果表明：称+S 为自旋升算符是合理的，因为它将z 方向的自旋从2η-增加到 2η。同样，称-S 为自旋降算符，因为它将z 方向的自旋从2η降到2η-。+S 和-S 容许我们从z S 的一个本征态跳跃到另一个本征态，它们在自旋的计算中是非常有用的。