第三角投影法

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第三角投影法简介

目前，在国际上使用的有两种投影制，即第一角投影（又称“第一角画法”）和第三角投影（又称“第三角画法”）。中国、英国、法国及意大利等欧洲国家采用第一角投影，美国、日本、新加坡及港资台资企业采用第三叫投影。

ISO 国际标准规定：在表达机件结构中，第一角和第三角投影法同等有效。 第一角投影法起于法国，盛行于欧洲大陆、德、法、意、俄等国，其中美、日及荷兰等国原先亦采用第一角投影法，后来改采用第三角法讫今。

在三投影面体系中，若将物体放在第三分角内，并使投影面处于观察者和物体之间，这样使得的投影称为第三角投影。

第一角投影与第三角投影的空间位置：

第三 分角

第一 分角

第一分角：第三分角：

第三角投影的六个基本视图：

空间模型

六个基本视图：

工程图样上，为了区别两种投影，允许在图样（纸）上的适当位置画出第一、第三投影的特征标志符号，该符号以圆锥带的视图表示，如下图：

第一角投影与第三角投影的区别：

第一视角第三视角

上图所示是对同一物体分别进行第一角投影和第三角投影时的轴测图。

主要有如下区别:

1)第一角投影：将物体放在观察者与投影面之间，即人→物→面的相对关系。第

三角投影：将投影面放在观察者与物体之间，即人→面→物的相对关系，假定投影面为透明的平面。

2)第一角投影各投影面展开的方法：H面向下旋转， W面向由后方旋转。第三角投影投影面展开的方法： H面上向旋转，P面向右前方旋转。

第三角投影图和第一角投影图之间的快速的转换方法

第三角投影第一角投影

前视图对应主视图

右视图移到V面投影左方右视图

顶视图移到V面投影下方俯视图

左视图移到V面投影右方左视图

底视图移到V面投影上方仰视图

后视图对应后视图

每个视图可以理解为：当观察者的视线垂直于相应的投影面时，他所看到的物体的实际图像。

图样中只有两个视图时，第三角投影与第一角投影的快速辨认方法：

正面正面

第一角投影左视图中正面背离主视图，第三角投影右视图中正面向着前视图。

实例：

第一角投影：

第三视角投影：

三角形全等的证明教案

三角形全等的证明 【知识梳理】 （一）三角形概述： 1．定义（包括内、外角） 2．性质：三角形的边角关系：⑴角与角：①内角和及推论;②外角和;③n 边形内角和;④n 边形外角和。 ⑵边与边：三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。 ⑶角与边：在同一三角形中 3．三角形的主要线段 （1）定义：高线、中线、角平分线、中垂线 （2）××线的交点—-- 三角形的×心及性质 4．特殊三角形（等腰三角形、等边三角形）的判定与性质 等腰三角形： 定理：等腰三角形的两个底角相等，（简称：“等边对等角”） 定理：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合，（简称：“三线合一”） 等腰三角形的判定定理：如果一个三角形的两个角相等，那么这两个角所对的边也相等，（简称“等角对等边”）。 等边三角形的性质及判定： 有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形 5．全等三角形 全等三角形的的性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等； 全等的判定：SAS 、ASA 、AAS 、SSS ： 注意问题： （1）在判定两个三角形全等时，至少有一边对应相等； （2）不能证明两个三角形全等的是，a: 三个角对应相等，即AAA ；b :有两边和其中一角对应相等，即SSA 。 记两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上。 寻找对应元素的方法： （1）根据对应顶点找 如果两个三角形全等，那么，以对应顶点为顶点的角是对应角；以对应顶点为端点的边是对应边。通常情况下，两个三角形全等时，对应顶点的字母都写在对应的位置上，因此，由全等三角形的记法便可写出对应的元素。 （2）根据已知的对应元素寻找 全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边； （3）通过观察，想象图形的运动变化状况，确定对应关系。 通过对两个全等三角形各种不同位置关系的观察和分析，可以看出其中一个是由另一个经过下列各种运动而形成的。 翻折 如图（1），?BOC ≌?EOD ，?BOC 可以看成是由?EOD 沿直线AO 翻折180?得到的； 等边 等角 大边 大角 小边 小角

新人教版数学八年级上册第十一章三角形教案

新人教版八年级上册数学教案 第11章三角形 教材内容 本章主要内容有三角形的有关线段、角，多边形及内角和，镶嵌等。 三角形的高、中线和角平分线是三角形中的主要线段，与三角形有关的角有内角、外角。教材通过实验让学生了解三角形的稳定性，在知道三角形的内角和等于1800的基础上，进行推理论证，从而得出三角形外角的性质。接着由推广三角形的有关概念，介绍了多边形的有关概念，利用三角形的有关性质研究了多边形的内角和、外角和公式。这些知识加深了学生对三角形的认识，既是学习特殊三角形的基础，也是研究其它图形的基础。最后结合实例研究了镶嵌的有关问题，体现了多边形内角和公式在实际生活中的应用. 教学目标 〔知识与技能〕www. 12999. com 1、理解三角形及有关概念，会画任意三角形的高、中线、角平分线； 2、了解三角形的稳定性，理解三角形两边的和大于第三边，会根据三条线段的长度判断它们能否构成三角形； 3、会证明三角形内角和等于1800，了解三角形外角的性质。 4、了解多边形的有关概念，会运用多边形的内角和与外角和公式解决问题。 5、理解平面镶嵌，知道任意一个三角形、四边形或正六边形可以镶嵌平面，并能运用它们进行简单的平面镶嵌设计。 〔过程与方法〕 1、在观察、操作、推理、归纳等探索过程中，发展学生的合情推理能力，逐步养成数学推理的习惯； 2、在灵活运用知识解决有关问题的过程中，体验并掌握探索、归纳图形性质的推理方法，进一步培说理和进行简单推理的能力。 〔情感、态度与价值观〕 1、体会数学与现实生活的联系，增强克服困难的勇气和信心； 2、会应用数学知识解决一些简单的实际问题，增强应用意识； 3、使学生进一步形成数学来源于实践，反过来又服务于实践的辩证唯物主义观点。 重点难点 三角形三边关系、内角和，多边形的外角和与内角和公式，镶嵌是重点；三角形内角和等于1800的证明，根据三条线段的长度判断它们能否构成三角形及简单的平面镶嵌设计是难点。 课时分配 11.1与三角形有关的线段……………………………………… 2课时 11.2 与三角形有关的角………………………………………… 2课时 11.3多边形及其内角和………………………………………… 2课时 本章小结………………………………………………………… 2课时

高中数学竞赛教案讲义(7)解三角形

第七章 解三角形 一、基础知识 在本章中约定用A ，B ，C 分别表示△ABC 的三个内角，a, b, c 分别表示它们所对的各边长，2 c b a p ++=为半周长。 1．正弦定理：C c B b A a sin sin sin ===2R （R 为△ABC 外接圆半径）。 推论1：△ABC 的面积为S △ABC =.sin 2 1sin 21sin 21B ca A bc C ab == 推论2：在△ABC 中，有bcosC+ccosB=a. 推论3：在△ABC 中，A+B=θ，解a 满足) sin(sin a b a a -=θ，则a=A. 正弦定理可以在外接圆中由定义证明得到，这里不再给出，下证推论。先证推论1，由正弦函数定义，BC 边上的高为bsinC ，所以S △ABC =C ab sin 2 1；再证推论2，因为B+C=π-A ，所以sin(B+C)=sinA ，即sinBcosC+cosBsinC=sinA ，两边同乘以2R 得bcosC+ccosB=a ；再证推论3，由正弦定理B b A a sin sin =，所以)sin()sin(sin sin A a A a --=θθ，即sinasin(θ-A)=sin(θ-a)sinA ，等价于21-[cos(θ-A+a)-cos(θ-A-a)]= 2 1-[cos(θ-a+A)-cos(θ-a-A)]，等价于cos(θ-A+a)=cos(θ-a+A)，因为0<θ-A+a ，θ-a+A<π. 所以只有θ-A+a=θ-a+A ，所以a=A ，得证。 2．余弦定理：a 2=b 2+c 2-2bccosA bc a c b A 2cos 2 22-+=?，下面用余弦定理证明几个常用的结论。 （1）斯特瓦特定理：在△ABC 中，D 是BC 边上任意一点，BD=p ，DC=q ，则AD 2=.22pq q p q c p b -++ （1） 【证明】 因为c 2=AB 2=AD 2+BD 2 -2AD ·BDcos ADB ∠， 所以c 2=AD 2+p 2-2AD ·pcos .ADB ∠ ① 同理b 2=AD 2+q 2-2AD ·qcos ADC ∠， ② 因为∠ADB+∠ADC=π， 所以cos ∠ADB+cos ∠ADC=0， 所以q ×①+p ×②得 qc 2+pb 2=(p+q)AD 2+pq(p+q)，即AD 2=.22pq q p q c p b -++ 注：在（1）式中，若p=q ，则为中线长公式.2 222 22a c b AD -+=

【北师大版初三数学】第1讲：三角形的证明-教案

知识讲解： 1．通过探索、猜测、计算、证明得到的定理： （1）与等腰三角形、等边三角形有关的结论： 性质：等腰三角形的两个底角相等，即等边对等角； 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合； 等腰三角形两底角的平分线相等，两条腰上的中线相等，两条腰上的高相等． 等边三角形的三条边都相等，三个角都相等，并且每个角都等于60°； 等边三角形的三条角平分线、三条中线、三条高互相相等． 判定：有两个角相等的三角形是等腰三角形； 有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形； 三个角都相等的三角形是等边三角形． （2）与直角三角形有关的结论： 勾股定理的逆定理； 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半； 斜边和一直角边对应相等的两个直角三角形全等．(HL) （3）与一般三角形有关的结论：

在一个三角形中，两个角不相等，它们所对的边也不相等（用反证法证明）． 2．命题的逆命题及其真假： 在两个命题中，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题称为互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题． 一个命题是真命题，它的逆命题不一定是真命题．如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理称为互逆定理．其中一个定理称为另一个定理的逆定理．例如勾股定理及其逆定理． 3．尺规作图 线段垂直平分线的性质定理和判定定理；用尺规作线段的垂直平分线；已知底边和底边上的高，用尺规作等腰三角形 角平分线的性质定理和判定定理；用尺规作已知角的平分线． 课堂练习： 考点一：等腰三角形 【例题】 1、【14外国语期中】等腰三角形的一边为5另一边为9，这这个三角形的周长为（）A．19 B.23 C .14 D.19或23 2、【14外国语月考】等腰三角形补充下列条件后，仍不一定成为等边三角形的是（） A．有一个内角是600 B.有一个外角是1200 C．有两个角相等 D.腰与底边相等 3、【经开一中月考】将两个全等的有一个角为３００的直角三角形拼成如图所示，其中两条直角边在同一直线上，则图中等腰三角形的个数是（） Ａ．４Ｂ．３Ｃ．２Ｄ．１ 4、【14外国语月考】腰长为5，一条高为4的等腰三角形的底边长为。 5、【经开一中月考】一个等腰三角形有一角是７００，则其余两角分别为。 6、【经开一中月考】等腰直角三角形一条边长是1cm,那么它斜边上的高是 cm. 7、【经开一中月考】已知：如图ＡＢ＝ＡＣ，DE∥AC求证：△ＤＢＥ是等腰三角形。 8、【14外国语月考】如图，等边△ABC中，AO是BC边上的中线，D为AO上一点，以CD为一边且在CD 下方作等边△CDE，连结BE。 （1）求证：AD＝BE

新人教版八年级数学第十一章三角形教案(共8课时)

第十一章三角形 11.1.1三角形的边 三维目标 知识与能力:认识三角形,了解三角形的意义,认识三角形的边、内角、顶点，能用符号语言表示三角形. 过程与方法:经历度量三角形边长的实践活动中,理解三角形三边不等的关系. 情感态度与价值观:懂得判断三条线段可否构成一个三角形的方法,并能运用它解决有关的问题. 重点:1.对三角形有关概念的了解,能用符号语言表示三条形. 难点: 1.在具体的图形中不重复,且不遗漏地识别所有三角形. 2.用三角形三边不等关系判定三条线段可否组成三角形. 教学过程 一、看一看 1.图形见章前图. 教师叙述:三角形是一种最常见的几何图形之一.(看条件许可,可以把古埃及的金字塔、飞机、飞船、分子结构……的投影,给同学放映)从古埃及的金字塔到现代的飞机、上天的飞船,从宏大的建筑如P1的图,到微小的分子结构,处处都有三角形的身影.结合以上的实际使学生了解到:我们所研究的“三角形”这个课题来源于实际生活之中. 学生活动:(1)交流在日常生活中所看到的三角形. (2)选派代表说明三角形的存在于我们的生活之中. 2.板书:在黑板上老师画出以下几个图形. (1) C B A (2) C B A (3) E D C B A (4) E D B A (5) D C B A (1)教师引导学生观察上图:区别三条线段是否存在首尾顺序相接所组成的.图(1)三条线段AC 、CB 、AB 是否首尾顺序相接.(是) (2)观察发现,以上的图,哪些是三角形? (3)描述三角形的特点: 板书:“不在一直线上三条线段首尾顺次相接组成的图形叫做三角形”. 教师提问:上述对三角形的描述中你认为有几个部分要引起重视. 学生回答: a.不在一直线上的三条线段.

2021版高考数学第四章三角函数、解三角形第7讲解三角形的综合应用练习理北师大版

第7讲 解三角形的综合应用 [基础题组练] 1．已知A ，B 两地间的距离为10 km ，B ，C 两地间的距离为20 km ，现测得∠ABC ＝120°，则A ，C 两地间的距离为( ) A ．10 km B ．10 3 km C ．10 5 km D ．107 km 解析：选 D.由余弦定理可得，AC 2 ＝AB 2 ＋CB 2 －2AB ×CB ×cos 120°＝102 ＋202 － 2×10×20×? ?? ??－12＝700. 所以AC ＝107(km)． 2．如图，从气球A 上测得正前方的河流的两岸B ，C 的俯角分别为75°，30°，此时气球的高是60 m ，则河流的宽度BC 等于( ) A ．240(3－1) m B ．180(2－1) m C ．120(3－1) m D ．30(3＋1) m 解析：选C.因为tan 15°＝tan(60°－45°)＝tan 60°－tan 45° 1＋tan 60°tan 45° ＝2－3，所以 BC ＝60tan 60°－60tan 15°＝120(3－1)(m)． 3．一个大型喷水池的中央有一个强大喷水柱，为了测量喷水柱喷出的水柱的高度，某人在喷水柱正西方向的点A 测得水柱顶端的仰角为45°，沿点A 向北偏东30°前进100 m 到达点B ，在B 点测得水柱顶端的仰角为30°，则水柱的高度是( ) A ．50 m B ．100 m C ．120 m D ．150 m 解析：选A.作出示意图如图所示，设水柱高度是h m ，水柱底端为C ，则在△ABC 中，∠BAC ＝60°，AC ＝h ，AB ＝100，在Rt △BCD 中，BC ＝3h ，根据余弦定理得，(3h )2 ＝h 2 ＋1002 －2·h ·100·cos 60°，即h 2 ＋50h －5 000＝0，即(h －50)(h ＋100)＝0，即h ＝50，故水柱的高度是50 m.

八年级数学下册第一章三角形的证明回顾与思考教案1新版北师大版

《回顾与思考》 教学目标 1、在回顾与思考中建立本章的知识框架图，复习有关定理的探索与证明，证明的思 路和方法，尺规作图等。 2、发展学生的初步的演绎推理能力，进一步掌握综合法的证明方法，提高学生用规 范的数学语言表达论证过程的能力。 教学重点 通过例题的讲解和课堂练习对所学知识进行复习巩固 教学难点 本章知识的综合性应用。 教学过程 知识回顾 1、等腰三角形的性质：（边）_______________ ；（角）_______________ ；“三线合一”的 内容____________________________________ 。 2、等边三角形的性质：（边）_______________ ;（角）__________________ 。 3、判定等腰三角形的方法有：（边）_______________ ;（角）________________________ 。 4、判定等边三角形的方法有：（边）_______________ ;（角）________________________ 。 5、_________________________________________________ 线段垂直平分线的性质定理：。 逆定理：____________________________________________________________________ 。 三角形的垂直平分线性质：___________________________________________________ 。 6、_____________________________________________________________ 角的性质定理：。 逆定理：____________________________________________________________________ 。 三角形的角平分线性质：_____________________________________________________ 。 7、___________________________________________________ 三角形全等的判定方法有：。 8 30°锐角的直角三角形的性质： ______________________________________________ 。 9、方法总结： （1）证明线段相等的方法：1）可证明它们所在的两个三角形全等；2）角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等；3）等角对等边；4）等腰三角形三线合一的性 质；5）中垂线的性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等。 （2）证明两角相等的方法：1）同角的余角相等；2）平行线性质；3）对顶角相等；4）全等三角形对应角相等；5）等边对等角；6）角平分线的性质定理和逆定理。

机械制图三视图的第三角法和第一角如何区分

三视图的第三角法和第一角法划分： 一、第一角投影法 1.凡将物体置於第一象限内，以「视点(观察者)」→「物体」→「投影面」关系而投影视图的画法，即称为第一角法。亦称第一象限法 2.第一角投影箱之展开方向，以观察者而言，为由近而远之方向翻转展开。 3.第一角法展开后之视图排列如下，以常用之三视图(前视、俯视、右侧视图)而言，其右侧视图位於前视图之左侧，俯视固则位於前视图之正下方。 二.、第三角投影法 1.凡将物体置於第三象限内，以「视点(观察者)」→「投影面」→「物体」关系而投影视图的画法，即称为第三角法。亦称第三象限法。

2.第三角投影箱之展开方向，以观察者而言，为由远而近之方向翻转展开。 3．第三角法展开后之六个视固排列如下，以常用之三视图而言，其右侧视图位於前视图之右侧，而俯视图则位於前视图之正上方。 CNS 相关规定 CNS中国国家标准之象限投影符号，系将一截头圆锥之前视图与左侧视图，依投影之排列而得。主要之区别为第一角法符号(左侧视图排在右边)，而第三角法符号(左侧视图位在左边)。 对於正投影方法之使用，CNS规定第一角法或第三角法同等适用。但在同一张图纸上不可混合使用，且须在标题概内或其他明显处绘制符号或加注「第一角法」或「第三角法」字样。以作为读图之识别。 由於第二象限投影与第四象限投影因水平投影面旋转后与直立投影面重叠，致使投影视图线条混淆不清，增加绘固及识图不便，故不予采用。 欧洲各国盛行第一角法投影制，所以第一角法投影亦有「欧式投影制」之称呼。例如德国(DIN)、瑞士(VSM)、法国(NF).挪威(NS)等国家使用之。 美国采用第三角投影制，故有「美式投影制」之称呼。除美国(ANSI)外，尚盛行於美洲地区。而中华民国(CNS)、国际标准化机构(ISO)与日本[JIS]则采第一角法及第三角两制并行。 视图之排列，应依投影原理上下左右对齐排列，不得任意更换或未依据投影方式排置。 六种视图中最常用之三视图组合为:前视图、上视圆及右侧视图，一般均以L字形或逆向L字形之方式排列於图纸上。 我们国内用的是第一角画法，国外用第三角画法的比较多 第一角画法和第三角画法的区别是视图放的位置 第一角画法：左视图放右边，右视图放左边，上视图放下面，依此类推 第三角画法：左视图放左边，右视图放右边，上视图放上面，依此类推 在我们国家有关制图方面的国家标准中规定，我国采用第一角投影法。但有些国家（如美国、日本）则采用第三角投影法。伴随着我国的对外开放和WTO的加入及对外贸易和国际间技术交流的日趋增多，我们会越来越多的接触到采用第三角投影法绘制的图纸。为了更好地进行国际间的技术交流和发展国际贸易的需要，我们应该了解和掌握第三角投影法。 如图

第十一章三角形教案

11．1 全等三角形 一、学习目标 1、知道什么是全等形、全等三角形及全等三角形的对应元素。 2、知道全等三角形的性质，能用符号正确地表示两个三角形 全等。 3、能熟练找出两个全等三角形的对应角、对应边。 二、重点难点 教学重点：全等三角形的性质。 教学难点：找全等三角形的对应边、对应角。 三、合作探究 １.观察p 2图案，指出这些图案中中形状与大小相同的图形 2．学生自己动手（同桌两名同学配合） 取一张纸，将自己事先准备好的三角板按在纸上，画下图形，照图形裁下来，纸样与三角板 、 完全一样． 3．获取概念 形状与大小都完全相同的两个图形就是 ．（要是把两个图形放在一起，能够完全重合，就可以说明这两个图形的形状、大小相同．） 即：全等形的准确定义：能够完全重合的两个图形叫做全等形． 推得出全等三角形的概念： 对应顶点： 、对应角： 、 对应边： 。 “全等”符号： 读作“全等于” 导入新课 D C A B O

将△ABC 沿直线BC 平移得△DEF ；将△ABC 沿BC 翻折180°得到△DBC ；将△ABC 旋转180°得△AED ． 甲 D C A B F E 乙 D C A B 丙 D C A B E 议一议：各图中的两个三角形全等吗？ 得出： ≌△DEF ，△ABC ≌ ，△ABC ≌ ． （注意强调书写时对应顶点字母写在对应的位置上） 启示：一个图形经过平移、翻折、旋转后，位置变化了，?但 、 都没有改变，所以平移、翻折、旋转前后的图形 ，这也是我们通过运动的方法寻求全等的一种策略． 观察与思考： 寻找甲图中两三角形的对应元素，它们的对应边有什么关系？对应角呢？ 全等三角形的性质： ， 。 四、精讲精练 精讲： 例1、如图，△OCA ≌△OBD ，C 和B ，A 和D 是对应顶点，? 说出这两个三角形中相等的边和角． 例2、如图，已知△ABE ≌△ACD ，∠ADC=∠AEB ， ∠B=∠C ，?指出其他的对应边和对应角． （1）全等三角形对应角所对的边是对应边；两个对应角所夹的 B C

第一角投影法与第三角投影法

第一角投影法与第三角投影法 当前,世界上各国的机械工程图样,基本上采用正投影法来表达机件的结构和形状。所不同的是:有的国家采用第一角投影法;有的国家则采用第三角投影法;还有的国家则两种投影法并用。在国际标准150128一1982《技术制图一画法通则》,中,对机械工程图样采用的投影法作了明砷的规定:在表达机件结构时,第一角和第三角没影法具有同等效力。 第一角投影法： 1.凡将物体置于第一象限内，以「视点(观察者)」→「物体」→「投影面」关系而投影视图的画法，即称为第一角法。亦称第一象限法。 2.第一角投影箱之展开方向，以观察者而言，为由近而远之方向翻转展开。 3.第一角法展开后之视图排列如下，以常用之三视图(前视、俯视、右侧视图)而言，其右侧视图位於前视图之左侧，俯视固则位于前视图之正下方。 第三角投影法： 1.凡将物体置于第三象限内，以「视点(观察者)」→「投影面」→「物体」关系而投影视图的画法，即称为第三角法。亦称第三象限法。 2.第三角投影箱之展开方向，以观察者而言，为由远而近之方向翻转展开。 3.第三角法展开后之六个视图排列如下，以常用之三视图而言，其右侧视图位于前视图之右侧，而俯视图则位于前视图之正上方。 各国根据国情均有所侧重，其中俄罗斯、乌克兰、德国、罗马尼亚、捷克、斯洛伐克以及东欧等国均主要用第一角投影，而美国、日本、法国、英国、加拿大、瑞士、澳大利业、荷兰和墨西哥等国均主要用第三角投影。解放前我国也采用第三角投影，新中国成立后改用第一角投影。在引进的国外机械图样和科技书刊中经常会遇到第三角投影。 ISO国际标准规定了第一角和第三角的投影标记（图1和图2）。在标题栏中，画有标记符号，根据这些符号可识别图样画法，但有的图纸无投影标记。 图1 第一角画法标记符号图2 第三角画法标记符号 第三角投影空间可由正平面V、水平面H、侧平面W将其划分成八个区域，分别为第1、第2、第3、第4、第5、第6、第7、第8分角，如图3所示。 图3 将物体放在第一分角内投影称为第一角投影；将物体放在第三分角内投影称为第

(课程标准卷)高考数学二轮复习专题限时集训(七)第7讲解三角形配套作业文(解析版)

专题限时集训(七) [第7讲解三角形] (时间：45分钟) 1．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a2＋c2－b2＝3ac，则角B的值为( ) A.π 6 B. π 3 C.π 6 或 5π 6 D. π 3 或 2π 3 2．在△ABC，已知A＝45°，AB＝2，BC＝2，则C＝( ) A．30° B．60° C．120° D．30°或150° 3．△ABC的外接圆半径R和△ABC的面积的大小都等于1，则sin A sin B sin C的值为( ) A.1 4 B. 3 2 C. 3 4 D. 1 2

图7－1 4．如图7－1，要测量底部不能到达的电视塔AB的高度，在C点测得塔顶A的仰角是45°，在D点测得塔顶A的仰角是30°，并测得水平面上的∠BCD＝120°，CD＝40 m，则电视塔的高度为( ) A．10 2 m B．20 m C．20 3 m D．40 m 5．在△ABC中，已知角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a＝3，c＝8，B＝60°，则sin A的值是( ) A.3 16 B. 3 14 C.33 16 D. 33 14

6．若满足条件C ＝60°，AB ＝3，BC ＝a 的△ABC 有两个，那么a 的取值范围是( ) A ．(1，2) B ．(2，3) C ．(3，2) D ．(1,2) 7．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若a ，b ，c 成等比数列，且c ＝2a ，则cos B ＝( ) A.14 B.34 C.24 D.23 8．在△ABC 中，AB ＝3，AC ＝1，B ＝30°，则△ABC 的面积等于( ) A. 32 B.34 C. 32或 3 D.32或34 9．在△ABC 中，已知sin A ∶sin B ∶sin C ＝2∶3∶4，则cos C ＝________. 10．已知A 船在灯塔C 北偏东80°处，且A 船到灯塔C 的距离为2 km ，B 船在灯塔C 北偏西40°处，A 、B 两船间的距离为3 km ，则B 船到灯塔C 的距离为________km. 11．在△ABC 中，A ＝60°，BC ＝10，D 是AB 边上的一点，CD ＝2，△BCD 的面积为1，则AC 的长为________． 12．△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c 且满足c sin A ＝a cos C . (1)求角C 的大小； (2)求3sin A －cos B ＋π 4的最大值，并求取得最大值时A ，B 的大小．

北师版八年级数学下册教案第一章三角形的证明

第一章三角形的证明 1等腰三角形 第1课时全等三角形及等腰三角形的性质 1．理解作为证明基础的几条公理的内容，应用这些公理证明等腰三角形的性质定理． 2．经历“探索－发现－猜想－证明”的过程，让学生进一步掌握证明的基本步骤和书写格式． 3．掌握等腰三角形性质定理的推论． 重点 掌握等腰三角形的性质定理及推论． 难点 证明等腰三角形的相关性质． 一、复习导入 1．请学生回忆并整理已经学过的8条基本事实中的5条： (1)两直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行； (2)两条平行线被第三条直线所截，同位角相等； (3)两边及其夹角对应相等的两个三角形全等(SAS)； (4)两角及其夹边对应相等的两个三角形全等(ASA)； (5)三边对应相等的两个三角形全等(SSS)． 2．在此基础上回忆全等三角形的判定定理：(推论)两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等(AAS)，并要求学生利用前面所提到的公理进行证明． 3．回忆全等三角形的性质． 二、探究新知 1．等腰三角形的性质定理 问题1：什么是等腰三角形？ 问题2：你会画一个等腰三角形吗？并把你画的等腰三角形裁剪下来． 问题3 ：试用折纸的方法回忆等腰三角形有哪些性质． 引导学生得出等腰三角形的性质： 等腰三角形的两底角相等．(简称为“等边对等角”) 问题4：你能利用已有的基本事实和定理证明这些结论吗？ 已知：如图，在△ABC中，AB＝AC. 求证：∠B＝∠C. 分析：方法一：作∠BAC的平分线，交BC边于点D；方法二：过点A作AD ⊥BC于点D；方法三：取BC的中点D. 证法一：取BC的中点D，连接AD. ?? ? ?? AB＝AC BD＝CD AD＝AD ?△ABD≌△ACD?∠B＝∠C.

八年级数学上册第十一章三角形11.1与三角形有关的线段教案(新版)新人教版

八年级数学上册第十一章三角形11.1与三角形有关的线段教案 （新版）新人教版 一、课标要求 (1)理解三角形及三角形有关的线段(边、高、中线、角平分线)的概念，证明三角形两边的和大于第三边，了解三角形的重心的概念，了解三角形的稳定性。 (2)理解三角形的内角、外角的概念，探索并证明三角形内角和定理，探索并掌握直角三角形的两个锐角互余，掌握有两个角互余的三角形是直角三角形，掌握三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和。 (3)了解多边形的有关概念(边、内角、外角、对角线、正多边形)，探索并掌握多边形的内角和公式与外角和。 二、教材分析 第1节研究与三角形有关的线段。首先结合引言中的实际例子给出三角形的概念，进而研究三角形的分类。对于三角形的边，证明了三角形两边的和大于第三边。然后给出三角形的高、中线与角平分线的概念。结合三角形的中线介绍三角形的重心的概念。最后结合实际例子介绍三角形的稳定性。 第2节研究与三角形有关的角，对于三角形的内角，证明了三角形内角和定理。然后由这个定理推出直角三角形的性质：直角三角形的两个锐角互余。最后给出三角形的外角的概念，并由三角形内角和定理推出：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和。 第3节介绍多边形的有关概念与多边形的内角和公式、外角和。三角形是多边形的一种，因而可以借助三角形给出多边形的有关概念，如多边形的边、内角、外角、内角和都可由三角形的有关概念推广而来。三角形是最简单的多边形，因而常常将多边形分为若干个三角形，利用三角形的性质研究多边形。多边形的内角和公式就是利用上述方法得到的。将多边形的有关内容与三角形的有关内容紧接安排，可以加强它们之间的联系，便于学生学习。 三、教学建议 1．把握好教学要求 与三角形有关的一些概念在本章中只要求达到理解的程度就可以了，进一步的要求可通过后续学习达到。如对于三角形的角平分线，在本章中只要知道它的定义，能够从定义得出角相等就可以了，学生在画角平分线时发现三条角平分线交于一点，可直接肯定这个结论，在下一章“全等三角形”中再证明这个结论，同样，三角形的三条中线交于一点的结论也可直接点明。 在本章中，三角形的稳定性是通过实验得出的，待以后学过“三边分别相等的两个三角形全等”，可进一步明白其中的道理，证明三角形的内角和等于180°有一定的难度，只要学生了解得出结论的过程，不要在辅助线上花太多的精力，以免影响对内容本身的理解与掌握，

第7讲解三角形应用举例

第7讲解三角形应用举例 、选择题 1.在相距2 km 的A , B 两点处测量目标点 C ,若/ CAB = 75°,/ CBA = 60°, C 两点之间的距离为（） B ^/2 km 则A , A 应 C.V 3 km km D.2 km 解析 AC 如图，在△ ABC 中，由已知可得/ AC 吐45 °,扃 2 sin ；,/AC = 2迈 x ￥=V 6(km). 答案 A 2.—艘海轮从A 处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东40°的方向直线航 行，30分钟后到达B 处，在C 处有一座灯塔，海轮在A 处观察灯塔，其方向 是南偏东70 ，在B 处观察灯塔，其方向是北偏东 65 ,那么B ，C 两点间 的距离是（ ） A.10迈海里 B.1^/3海里 D.20迄海里 解析女口图所示，易知, 在 △ ABC 中，AB = 20,/CAB = 30° ,ACB = 45°, BC AB 根据正弦定理得討.乔 解得BC = 10寸2（海里）. 答案 A 3.（2017合肥调研）如图所示，已知两座灯塔A 和B 与海洋观察站C 的距 离都等于a km ,灯塔A 在观察站C 的北偏东20°,灯塔B 在观察站C 的南偏东40°,则灯塔A 与B 的距离为（ ） B A /3 a km A. a km C.>/2a D.2a km

解析 由题图可知，/ ACB = 120°, 由余弦定理，得 AB 2 =AC 2 + BC 2 - 2AC BC cosZACB =a 2 + a 2 -2a a ?—舟卜3a 2 ,解得 AB = ^/3a(km). 答案 B 4. 如图，一条河的两岸平行，河的宽度d = 0.6 km , 一艘客 船从码头A 出发匀速驶往河对岸的码头 B.已知AB = 1 km ,水的流速为2 km/h ,若客船从码头A 驶到码头B 所 用的最短时间为6 min ,则 客船在静水中的速度为（ ） B. 6V 2 km/h D.10 km/h 解析 设AB 与河岸线所成的角为0,客船在静水中的速度为V km/h ，由题意 知，sin 0=016 = 5，从而cos 0=4 ，所以由余弦定理得 1 4 厂 2X —x 2X 1X 5,解得 V = 6讥.选 B. 答案 B 5. 如图，测量河对岸的塔高AB 时可以选与塔底B 在同一水平 面内的两个测点C 与D ，测得/ BCD = 15°,/ BDC = 30°, CD = 30,并在点C 测得塔顶A 的仰角为60°,则塔高AB 等于（） A .^/6 C.5迈 解析 在^BCD 中，/CBD = 180°-5°-0°W35°. 口 C on 由正弦定理得s^=砲’所以BC =吨 在 Rt ^ABC 中，AB = BCtan ZACB = 15^2x 73= 15^6. 答案 D 、填空题 A.8 km/h C.2V34 km/h B.15V 3 D.15^/6 x 2,+ 12 n

《三角形的证明》复习教案

第一章《三角形的证明》 1、性质和判定 2、尺规作图 垂直平分线的应用： （1）确定到两点（三点）距离相等的点的位置 （2）确定线段的中点 （3）过一点作已知直线或线段的垂线 角平分线的应用 （1）把一个角分成n2等份 （2）确定到角的两边或三角形三边距离相等的点 （3）与垂直平分线结合，解决实际问题 3、全等三角形的判定（AAS，SSS，SAS，ASA，HL） 双基训练： 1．已知等腰三角形的两边长分别为5㎝、2㎝，则该等腰三角形的周长是____________. 2．一个等腰三角形的顶角是40°，则它的底角是________________. 3．已知△ABC的三边长分别是6cm、8cm、10cm，则△ABC的面积是________________. 4．在△ABC中，边AB、BC、AC的垂直平分线相交于P，则PA、PB、PC的大小关系是 . 5．已知⊿ABC中，∠A = 090，角平分线BE、CF交于点O，则∠BOC = . 6．在△ABC中，∠A=40°，AB=AC ，AB的垂直平分线交AC与D，则∠DBC 的度数为． 7．Rt⊿ABC中，∠C=90o，∠B=30o，则AC与AB两边的关系

是 ， 8.等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为300 ，腰长为6，则其底边上的高是 。 9. 如图，在△ABC 和△DEF 中，已知AC=DF ，BC=EF ， 要使△ABC ≌△DEF ，还需要的条件是（ ） A.∠A=∠D B.∠ACB=∠F C.∠B=∠DEF D.∠ACB=∠D 10．如图，△ABC 中，AB=AC ，点D 在AC 边上，且BD=BC=AD ，则∠A 的度数为（ ） A.30° B.36° C.45° D.70° 11．如图，△ABC ≌△AEF ，AB ＝AE ，∠B ＝∠E ，则对于结论①AC ＝AF ；②∠FAB ＝∠EAB ；③EF ＝BC ；④∠EAB ＝∠FAC ，其中正确结论的个数是（ ） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 12． 如图， DC ⊥CA ，EA ⊥CA ， CD=AB ，CB=AE ．求证：△BCD ≌△EAB ． 13.如图，∠A=∠D=90°，AC=BD.求证：OB=OC ； 14．如图，在△ABD 和△ACE 中，有下列四个等式： ①AB=AC ②AD=AE ③∠1=∠2 ④BD=CE ．以其中．．三个条件为已知，填入已知栏中，一个为结论，填入下面求证栏中，使之组成一个真命题，并写出证明过程。 已知： . 求证： . 证明： 提升练习 16.如图，CE ⊥AB ，BF ⊥AC ，CE 与BF 相交于D ，且BD=CD. 求证：D 在∠BAC 的平分线上. D E C B A

第十一章三角形全章教学设计

三角形的边

检测练习一、如图，在三角形ABC中， （1）AB+BC AC AC+BC AB AB+AC BC （2）假设一只小虫从点B出发，沿三角形的边爬到点C， 有路线。路线最近，根据是：， 于是有：（得出的结 论）。 （3）下列下列长度的三条线段能否构成三角形，为什么？ ①3、4、8 ②5、6、11 ③5、6、10 研读三、认真阅读课本认真看课本（ P64例题，时间：5分钟） 要求：（1）、注意例题的格式和步骤，思考（2）中为什么要分情况讨论。 （2）、对这例题的解法你还有哪些不理解的？ （3）、一边阅读例题一边完成检测练习三。 检测练习二 9、一个等腰三角形的周长为28cm.①已知腰长是底边长的3倍，求各边的长； ②已知其中一边的长为6cm,求其它两边的长.（要有完整的过程啊！） 解： （三）在研读的过程中，你认为有哪些不懂的问题？ 四、归纳小结 （一）这节课我们学到了什么？（二）你认为应该注意什么问题？ 五、强化训练 【A】组 1、下列说法正确的是 （1）等边三角形是等腰三角形 （2）三角形按边分类课分为等腰三角形、等边三角形、不等边三角形 （3）三角形的两边之差大于第三边 （4）三角形按角分类应分锐角三角形、直角三角形、钝角三角形 其中正确的是（） A、1个 B、2个 C、3个 D、4个 2、一个不等边三角形有两边分别是 3、5另一边可能是（） A、1 B、2 C、3 D、4 3、下列长度的各边能组成三角形的是（） A、3cm、12cm、8cm B、6cm、8cm、15cm 、3cm、5cm D、6.3cm、6.3cm、12cm 【B】组 4、已知等腰三角形的一边长等于4，另一边长等于9，求这个三角形的周长。 5、已知三角形的一边长为5cm,另一边长为3cm.则第三边的长取值范围是多少？ 【C】组（共小1-2题） 6、已知三角形的一边长为5cm,另一边长为3cm.则第三边的长取值范围是。 小方有两根长度分别为5cm、8cm的游戏棒，他想再找一根，使这三根游戏棒首尾相连能搭成一个三角形. （1）你能帮小方想出第三根游戏棒的长度吗？（长度为正整数） （2）想一想：如果已知两边，则构成三角形的第三边的条件是什么？

第一角与第角投影法

第一角投影法,,与第三角投影法 一、第一角投影法 1.凡将物体置於第一象限内，以「视点(观察者)」→「物体」→「投影面」关系 而投影视图的画法，即称为第一角法。亦称第一象限法。， 2.第一角投影箱之展开方向，以观察者而言，为由近而远之方向翻转展开。 3.第一角法展开后之视图排列如下，以常用之三视图(前视、俯视、右侧视图)而 言，其右侧视图位於前视图之左侧，俯视固则位於前视图之正下方。 二、第三角投影法 1.凡将物体置於第三象限内，以「视点(观察者)」→「投影面」→「物体」关系 而投影视图的画法，即称为第三角法。亦称第三象限法。 2.第三角投影箱之展开方向，以观察者而言，为由远而近之方向翻转展开。 3．第三角法展开后之六个视固排列如下，以常用之三视图而言，其右侧视图位於前视图之右侧，而俯视图则位於前视图之正上方。 在工程图的配置文件修改,如图示： 附件 2005-5-15 20:52

06.jpg(22.62 KB) 自改革开放以来，我引进了不少国外设备、图纸和其它技术资料，有不少发达国家的机械图样投影方法与我国所采用的投影方法不同。为了更好地学习发达国家的先进技术，故快速看懂国外机械图纸很有必要。 1 概述 当今世界上，ISO国际标准规定，第一角和第三角投影同等有效。各国根据国情均有所侧重，其中俄罗斯、乌克兰、德国、罗马尼亚、捷克、斯洛伐克以及东欧等国均主要用第一角投影，而美国、日本、法国、英国、加拿大、瑞士、澳大利业、荷兰和墨西哥等国均主要用第三角投影。解放前我国也采用第三角投影，新中国成立后改用第一角投影。在引进的国外机械图样和科技书刊中经常会遇到第三角投影。ISO 国际标准规定了第一角和第三角的投影标记（图1和图2）。在标题栏中，画有标记符号，根据些符号可识别图样画法，但有的图纸无投影标记。

第01讲-三角形的证明-教案

第01讲 三角形的证明 温故知新 三角形全等的条件 （1）三角形全等条件1：三条边分别相等的两个三角形全等，简写成“边边边”或“SSS”。 注意：①在运用“SSS”判定三角形全等，必须同时满足三边对应相等，只有一边或两边对应相等是不能得到全等的。②“SSS ”判定全等只适用于三角形，不能适用其他图形。 符号语言：已知△ABC 与△DEF 的三条边对应相等。 在△ABC 与△DEF 中，?? ? ??===DF AC EF BC DE AB ∴△ABC ≌△DEF （SSS ） （2）三角形全等条件2：两角及其夹边分别相等的两个三角形全等，简写成“角边角”或“ASA”。 注意：①用“ASA”判定两个三角形全等时，一定要说明两个角及夹边对应相等 ②在书写两个三角形全等的条件“ASA”时，一般把夹边相等写在中间的位置。 符号语言：已知∠D=∠E ，AD ＝AE ，∠BAD ＝∠CAE ．求证：△ABD ≌△ACE ． 证明：在△ABD 和△ACE 中， ∠D=∠E AD=AE ∠BAD ＝∠CAE ∴△ABD ≌△ACE （ASA ） （3）三角形全等条件3： 两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等，简写成“边边角”或“AAS”。 符号语言：如图：D 在AB 上，E 在AC 上，DC=EB,∠C=∠B ．求证：△ACD ≌△ABE 证明：在△ACD 和△ABE 中． ∠C=∠B ∠A=∠A DC=EB ∴△ACD ≌△ABE （AAS ）． 注意：“AAS”中的“S”是有限制条件的，必须是两组对应等角中一组等角的对边。 （4）三角形全等条件4：两边及其夹角分别相等的两个三角形全等，简写成“边角边”或“SAS”。 符号语言：在△ABC 与△DEF 中，

2019高考数学文一轮复习第4章三角函数与解三角形第7讲含解析

2AC ·AD 2×30 5×20 10 6 000 2 2 一、选择题 1.两座灯塔 A 和 B 与海岸观察站 C 的距离相等，灯塔 A 在观察站南偏西 40°，灯塔 B 在观察站南偏东 60°，则灯塔 A 在灯塔 B 的( ) A ．北偏东 10° B ．北偏西 10° C ．南偏东 80° D ．南偏西 80° 解析：选 D.由条件及题图可知，∠A ＝∠B ＝40°，又∠BCD ＝60°，所以∠CBD ＝30°， 所以∠DBA ＝10°，因此灯塔 A 在灯塔 B 南偏西 80°. 2．已知 A 、B 两地间的距离为 10 km ，B 、C 两地间的距离为 20 km ，现测得∠ABC ＝ 120°，则 A ，C 两地间的距离为( ) A ．10 km C ．10 5 km 解析：选 D.如图所示，由余弦定理可得： B ．10 3 km D ．10 7 km AC 2＝100＋400－2×10×20×cos 120°＝700， 所以 AC ＝10 7(km)． 3. 如图，两座相距 60 m 的建筑物 AB ，CD 的高度分别为 20 m 、50 m ，BD 为水平面， 则从建筑物 AB 的顶端 A 看建筑物 CD 的张角∠CAD 等于( ) A ．30° C ．60° B ．45° D ．75° 解析：选 B.依题意可得 AD ＝20 10 m ，AC ＝30 5 m ，又 CD ＝50 m ，所以在△ACD 中，由余弦定理得 AC 2＋AD 2－CD 2 cos ∠CAD ＝ （30 5）2＋（20 10）2－502 6 000 2 ＝ ＝ ＝ ， 又 0°<∠CAD <180°，所以∠CAD ＝45°，所以从顶端 A 看建筑物 CD 的张角为 45°. 4. 如图，一条河的两岸平行，河的宽度d ＝0.6 km ，一艘客船从码头 A 出发匀速驶往河 对岸的码头 B .已知 AB ＝1 km ，水的流速为 2 km/h ，若客船从码头 A 驶到码头 B 所用的最短 时间为 6 min ，则客船在静水中的速度为( )