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微分方程(习题及解答)

第十二章微分方程

§ 微分方程基本概念、可分离变量的微分方程、齐次微分方程

一、单项选择题

1. 下列所给方程中，不是微分方程的是( ) ． (A)2xy y '=； (B)222x y C +=；

(A)1； (B)2； (C)3； (D)4；答(C). 3. 下列所给的函数，是微分方程0y y ''+=的通解的是( )． (A)1cos y C x =； (B)2sin y C x =；

(C)cos sin y x C x =+； (D)12cos sin y C x C x =+ 答(D).

4. 下列微分方程中，可分离变量的方程是( )． (A)x y y e +'=； (B)xy y x '+=；

二、填空题

1．函数25y x =是否是微分方程2xy y '=的解．答：是 .

2．微分方程

3d d 0,4x x y y y x

=+==的解是．答：2225x y +=． 3．微分方程2

3550x x y '+-=的通解是

．答：32

x x y C =++．

4．微分方程ln 0xy y y '-=的通解是．答： Cx y e =.

5'=的通解是．答：arcsin arcsin y x C =+． 6．微分方程 (ln ln )xy y y y x '-=-的通解是．答：

y e x

=．

三、解答题

1．求下列微分方程的通解．

(1) 22sec tan d sec tan d 0x y x y x y +=； (2) 2()y xy a y y '''-=+；解：解： (3)

d 10d x y y x +=； (4) 23d (1)0.d y

y x x

++=

解：解：

2．求下列微分方程满足所给初始条件的特解：

(1) 20,0x y x y e y -='==； (2) 2

sin ln ,x y x y y y e π='==；

解：解：

(3) 2d 2d 0,1x x y y x y =+==； (4) d 10d x y y

+=．解：解：

3*．设连续函数20

()d ln 22x t f x f t ??

=+ ???

?，求()f x 的非积分表达式．答：()ln 2x f x e =?．

§ 一阶线性微分方程、全微分方程

一、单项选择题

1. 下列所给方程中，是一阶微分方程的是( ).

d (A)3(ln )d y y x y x x

+=； 5

2d 2(B)

(1)d 1y y x x x -=++ 2d (C)()d y x y x

=+； (D)()d ()d 0x y x x y y -++=．答(B).

2. 微分方程2()d 2d 0x y x xy y ++=的方程类型是( )．

(A) 齐次微分方程； (B)一阶线性微分方程；

3. 方程y y x y x ++='22是( )．

(A)齐次方程； (B)一阶线性方程；

(C)伯努利方程； (D)可分离变量方程. 答(A).

二、填空题

1．微分方程d d x y

y e x

-+=的通解为．答：x x y Ce xe --=+． 2．微分方程2

()d d 0x y x x y --=的通解为．答：33

x xy C -=．

3．方程()(d d )d d x y x y x y +-=+的通解为．答：ln()x y x y C --+=．

三、简答题

1．求下列微分方程的通解：

(1) sin cos x y y x e -'+=； (2) d ln d y y x y x x

=；解：解：

(3) 232xy y x x '+=++； (4) tan sin 2y y x x '+=；解：解：

(5) 2d (6)

20d y

y x y x

-+=； (6) (2)d 0y y e xe y y +-=；解：解：

(7) 222(2)d ()d 0a xy y x x y y ---+=．解：

2．求下列微分方程满足所给初始条件的特解．

(1) 0d 38,2d x y

y y x

=+==； (2)

d sin ,1d x y y x y x x x π=+==．解：解：

3*．求伯努利方程2d 3d y

xy xy x

-=的通解．解：

§ 可降阶的高阶微分方程、二阶线性微分方程

一、单项选择题

1. 方程x y sin ='''的通解是( ).

(A)322121

cos C x C x C x y +++

=； (B)1cos C x y +=；

sin C x C x C x y +++=； (D)x y 2sin 2=. 答(A)

2. 微分方程y y xy '''''+=满足条件21x y ='=，21x y ==的解是( ).

(A)2(1)y x =-； (B)2

12124y x ?

?=+- ??

?；

1524y x ?

?=-- ??

?．答(C).

3. 对方程2y y y '''=+，以下做法正确的是( )．

(A)令()y p x '=，y p '''=代入求解； (B)令()y p y '=，y p p '''=代入求解； (C)按可分离变量的方程求解； (D)按伯努利方程求解．答(B). 4. 下列函数组线性相关的().是

(A)22,3x x e e ; (B)23,x x

e e ；

(C)sin ,cos x x ; (D)22,x x e xe ．答(A).

5. 下列方程中，二阶线性微分方程是( )．

(A)32()0y y y '''-=； (B)2x y yy xy e '''++=；

(C)2223y x y y x '''++=； (D)222x y xy x y e '''++=．答(D). 6. 12,y y 是0y py qy '''++=的两个解，则其通解是( )． (A)112y C y y =+； (B)1122y C y C y =+； (C)1122y C y C y =+，其中1y 与2y 线性相关；

(D)1122y C y C y =+，其中1y 与2y 线性无关．答(D). 7. 下列函数组线性相关的().是

22(A),3x x e e ； 23(B),x x e e ；

(C)sin ,cos x x ； 22(D),x x e xe ．答(A).

二、填空题

1．微分方程sin y x x ''=+的通解为．答： 3

12sin .6x y x C x C =-++

2．微分方程y y x '''=+的通解为．答： 2

12.2

x y C e x C =--+

三、简答题

1．求下列微分方程的通解．

(1) 21()y y '''=+； (2) 21

()2

y y '''=．

解：解：

2．求方程2()0y x y '''+=满足条件12x y ='=，11x y ==-的特解．解：

§ 二阶常系数线性齐次微分方程

一、单项选择题

1. 下列函数中，不是微分方程0y y ''+=的解的是( )．

(A)sin y x =； (B)cos y x =；

(C)x y e =； (D)sin cos y x x =+．答(C).

2. 下列微分方程中，通解是312x x y C e C e -=+的方程是( )． (A)230y y y '''--=； (B)250y y y '''-+=；

3. 下列微分方程中，通解是12x x y C e C xe =+的方程是( )． (A)20y y y '''--=； (B)20y y y '''-+=；

4. 下列微分方程中，通解是12(cos2sin 2)x y e C x C x =+的方程是( )． (A)240y y y '''--=； (B)240y y y '''-+=

(A)x ； (B)x e ； (C)x e -； (D)sin x ．答(B). 6*. 设()y f x =是方程220y y y '''-+=的一个解，若00()0,()0f x f x '>=，则()f x 在0x x =处

( )．

(A)0x 的某邻域内单调减少； (B)0x 的某邻域内单调增加；

二、填空题

1．微分方程的通解为40y y '''-=的通解为．答：412x y C C e =+．

2．微分方程20y y y '''+-=的通解为．答：212x x y C e C e -=+． 3．微分方程440y y y '''-+=的通解为．答：2212x x y C e C xe =+．

4．微分方程40y y ''+=的通解为．答：12cos2sin 2y C x C x =+． 5．方程6130y y y '''++=的通解为．答：312(cos2sin 2)x y e C x C x -=+．

三、简答题

1．求下列微分方程的通解：

(1) 20y y y '''--=； (2) 22d d 420250d d x x

x t t

-+=．

解：解：

2．求下列方程满足初始条件的特解．

(1) 00430,10,6x x y y y y y ==''''-+===； (2) 0

250,5,2x x y y y y

=='''+===．

解：解：

§ 二阶常系数线性非齐次微分方程

一、单项选择题

1. 微分方程2y y x ''+=的一个特解应具有形式( )．

2(A)Ax ； 2(B)Ax Bx +；

2(C)Ax Bx C ++； 2(D)()x Ax Bx C ++．答(C).

2. 微分方程2y y x '''+=的一个特解应具有形式( )．

2(A)Ax ； 2(B)Ax Bx +；

2(C)Ax Bx C ++； 2(D)()x Ax Bx C ++．答(C). 3. 微分方程256x y y y xe -'''-+=的一个特解应具有形式( )．

2(A)x Axe -； 2(B)()x Ax B e -+；

22(C)()x Ax Bx C e -++； 2(D)()x x Ax B e -+．答(B).

4. 微分方程22x y y y x e '''+-=的一个特解应具有形式( )．

2(A)x Ax e ； 2(B)()x Ax Bx e +；

2(C)()x x Ax Bx C e ++； 2(D)()x Ax Bx C e ++．答(C). 5. 微分方程23sin x y y y e x '''+-=的一个特解应具有形式( )．

(A)(cos sin )x e A x B x +； (B)sin x Ae x ；

(C)(sin cos )x xe A x B x +； (D)sin x Axe x 答(A).

二、填空题

1．微分方程3

4y y x x ''+=+的一个特解形式为

答：3*48

x x

y =-．

2．微分方程2y y x '''+=的一个特解形式为 . 答：*()y x Ax B =+． 3．微分方程56x y y y xe '''-+=的一个特解形式为 . 答：*()x y Ax B e =+． 4．微分方程356x y y y xe '''-+=的一个特解形式为 . 答：3*()x y x Ax B e =+． 5．微分方程sin y y x ''-=的一个特解形式为 . 答：*sin y A x =． 6．微分方程sin y y x ''+=的一个特解形式为 . 答：*(cos sin )y x A x B x =+.

三、简答题

1．求下列微分方程的通解．：

(1) 22x y y y e '''+-=； (2) 5432y y y x '''++=-；解：解：

(3) 269(1)x y y y x e '''-+=+．解：

第七章微分方程经典例题

第七章微分方程例7 有高为1米的半球形容器，水从它的底部小孔流出，小孔横截面积为1平方厘米. 开始时容器内盛满了水, 求水从小孔流出过程中容器里水面的高度h (水面与孔口中心间的距离)随时间t 的变化规律. 解由力学知识得，水从孔口流出的流量为 62.0dt dV Q ?=＝孔口截面面积重力加速度 ,12cm S = .262.0dt gh dV =∴ ① 设在微小的时间间隔],,[t t t ?+水面的高度由h 降至,h h ?+则,2dh r dV π-= ,200)100(100222h h h r -=--= .)200(2dh h h dV --=∴π ② 比较①和②得: ,262.0)200(2dt gh dh h h =--π 即为未知函数得微分方程. ,)200(262.03dh h h g dt --- =π ,1000==t h ,1015 14 262.05?? = ∴g C π 所求规律为 ).310107(265.45335h h g t +-?= π 例10 求解微分方程 .2222xy y dy y xy x dx -=+- 解原方程变形为=+--=222 2y xy x xy y dx dy ,1222 ? ?? ??+--??? ??x y x y x y x y 令,x y u =则,dx du x u dx dy +=方程化为,1222u u u u dx du x u +--=+ 分离变量得? ? ????-+--??? ??--112212121u u u u ,x dx du = 两边积分得 ,ln ln ln 2 1 )2ln(23)1ln(C x u u u +=----

常微分方程试题库

常微分方程试题库二、计算题（每题6分） 1. 解方程：0cot tan =-xdy ydx ； 2. 解方程：x y x y e 2d d =+； 3. 解方程：； 4. 解方程： t e x dt dx 23=+； 5. 解方程：0)2(=+---dy xe y dx e y y ； 6. 解方程：0)ln (3=++dy x y dx x y ； 7. 解方程：0)2()32(3222=+++dy y x x dx y x xy ； 8. 解方程：0485=-'+''-'''x x x x ； 9. 解方程：02)3()5()7(=+-x x x ； 10. 解方程：02=-''+'''x x x ； 11. 解方程：1,0='-'='+'y x y x ； 12. 解方程： y y dx dy ln =； 13. 解方程：y x e dx dy -=； 14. 解方程：02)1(22=+'-xy y x ； 15. 解方程：x y dx dy cos 2=； 16. 解方程：dy yx x dx xy y )()(2222+=+； 17. 解方程：x xy dx dy 42=+； 18. 解方程：23=+ρθ ρ d d ； 19. 解方程：22x y xe dx dy +=； 20. 解方程：422x y y x =-'；选题说明：每份试卷选2道题为宜。

二、计算题参考答案与评分标准：（每题6分） 1. 解方程：0cot tan =-xdy ydx 解： ,2,1,0,2 ,±±=+==k k x k y π ππ是原方程的常数解，（2分）当2 ,π ππ+ ≠≠k x k y 时，原方程可化为： 0cos sin sin cos =-dx x x dy y y ，（2分）积分得原方程的通解为： C x y =cos sin . （2分） 2. 解方程： x y x y e 2d d =+ 解：由一阶线性方程的通解公式 ? ? +? =-),)(()()(dx e x f C e y dx x p dx x p （2分） x x x x dx x dx e Ce dx e C e dx e e C e 3 1 )() (23222+=+=?+?=---?? 分）（分）（22 3. 解方程：解：由一阶线性方程的通解公式 ??+?=-))(()()(dx e x f C e y dx x p dx x p （2分） =??+?-)sec (tan tan dx xe C e xdx xdx （2分） ?+=)sec (cos 2xdx C x x x C sin cos +=. （2分） 4. 解方程： t e x dt dx 23=+ 解：由一阶线性方程的通解公式 ??+? =-))(()()(dt e t f C e x dt t p dt t p （2分） =??+?-)(323dt e e C e dt t dt （2分） ?+=-)(53dt e C e t t

常微分方程习题及答案

第十二章常微分方程 (A) 一、是非题 1．任意微分方程都有通解。( ) 2．微分方程的通解中包含了它所有的解。( ) 3．函数x x y cos 4sin 3-=是微分方程0=+''y y 的解。( ) 4．函数x e x y ?=2是微分方程02=+'-''y y y 的解。( ) 5．微分方程0ln =-'x y x 的通解是()C x y += 2ln 2 1 (C 为任意常数)。( ) 6．y y sin ='是一阶线性微分方程。( ) 7．xy y x y +='33不是一阶线性微分方程。( ) 8．052=+'-''y y y 的特征方程为0522=+-r r 。( ) 9． 221xy y x dx dy +++=是可分离变量的微分方程。( ) 二、填空题 1．在横线上填上方程的名称 ①()0ln 3=-?-xdy xdx y 是。 ②()()022=-++dy y x y dx x xy 是。 ③x y y dx dy x ln ?=是。 ④x x y y x sin 2+='是。 ⑤02=-'+''y y y 是。 2．x x y x y cos sin =-'+'''的通解中应含个独立常数。 3．x e y 2-=''的通解是。 4．x x y cos 2sin -=''的通解是。 5．124322+=+'+'''x y x y x y x 是阶微分方程。 6．微分方程()06 ='-''?y y y 是阶微分方程。 7．y 1 = 所满足的微分方程是。

8．x y y 2='的通解为。 9． 0=+x dy y dx 的通解为。 10．()2511 2+=+-x x y dx dy ，其对应的齐次方程的通解为。 11．方程()012=+-'y x y x 的通解为。 12．3阶微分方程3x y ='''的通解为。三、选择题 1．微分方程()043 ='-'+''y y y x y xy 的阶数是( )。 A ．3 B ．4 C ．5 D ． 2 2．微分方程152=-''-'''x y x y 的通解中应含的独立常数的个数为( )。 A ．3 B ．5 C ．4 D ． 2 3．下列函数中，哪个是微分方程02=-xdx dy 的解( )。 A ．x y 2= B ．2x y = C ．x y 2-= D ． x y -= 4．微分方程3 23y y ='的一个特解是( )。 A ．13+=x y B ．()3 2+=x y C ．()2 C x y += D ． ()3 1x C y += 5．函数x y cos =是下列哪个微分方程的解( )。 A ．0=+'y y B ．02=+'y y C ．0=+y y n D ． x y y cos =+'' 6．x x e C e C y -+=21是方程0=-''y y 的( )，其中1C ，2C 为任意常数。 A ．通解 B ．特解 C ．是方程所有的解 D ．上述都不对 7．y y ='满足2|0==x y 的特解是( )。 A ．1+=x e y B ．x e y 2= C ．2 2x e y ?= D ． x e y ?=3 8．微分方程x y y sin =+''的一个特解具有形式( )。 A ．x a y sin *= B ．x a y cos *?= C ．()x b x a x y cos sin *+= D ． x b x a y sin cos *+= 9．下列微分方程中，( )是二阶常系数齐次线性微分方程。

常微分方程试题(卷)

一单项选择题(每小题2分, 共40分) 1. 下列四个微分方程中, 为三阶方程的有( )个. (1) (2) (3) (4) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 2. 为确定一个一般的n阶微分方程=0的一个特解, 通常应给出的初始条件是( ). A. 当时, B. 当时, C. 当时, D. 当时, 3. 微分方程的一个解是( ). A. B. C. D.

4. 下列方程中, 既是齐次方程又是线性方程的是( ). A. B. C. D. 5. 若方程是恰当方程, 则（）. A. B. C. D. 6. 若方程有只与y有关的积分因子, 则可取为( ). A. B. C. D. 7. 可用变换( )将伯努利方程化为线性方程. A. B. C. D. 8. 是满足方程和初始条件( )的唯一解. A. B. C. D. 9. 设是n阶齐线性方程的解,

其中是某区间中的连续函数. 如下叙述中, 正确的是( ). A.若的伏朗斯基行列式为零, 则线性无关 B.若的伏朗斯基行列式不为零, 则线性相关 C.若的伏朗斯基行列式不为零, 则线性无关 D.由的伏朗斯基行列式是否为零, 不能确定的线性相关性 10. 设线性无关的函数和是方程的解,则方程的通解是( ) A.(是任意常数, 下同) B. C. D. 11. 三阶系数齐线性方程的特征根是( ). A. 0, 1, 1 B. 0, 1, -1 C. 1, D. 1, 12. 方程的基本解组是( ).

A. B. C. D. 13. 方程的待定特解可取如下( )的形式: A. B. C. D. 14. 已知是某一三阶齐线性方程的解, 则和的伏朗斯基行列式( ). A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 15. 可将三阶方程化为二阶方程的变换为( ). A. B. C. D. 16. 方程组满足初始条件的解为( ). A. B. C. D. 17. n阶函数方阵在上连续, 方程组有基解矩阵,

常微分方程练习题及答案复习题)

常微分方程练习试卷一、填空题。 1. 方程23 2 10d x x dt +=是阶（线性、非线性）微分方程. 2. 方程 ()x dy f xy y dx =经变换_______，可以化为变量分离方程 . 3. 微分方程 3230d y y x dx --=满足条件(0)1,(0)2y y '==的解有个. 4. 设常系数方程 x y y y e αβγ'''++=的一个特解*2()x x x y x e e xe =++，则此方程的系数α= ，β= ，γ= . 5. 朗斯基行列式 ()0W t ≡是函数组12(),(),,()n x t x t x t 在a x b ≤≤上线性相关的条件. 6. 方程 22(2320)0xydx x y dy ++-=的只与y 有关的积分因子为 . 7. 已知 ()X A t X '=的基解矩阵为()t Φ的，则()A t = . 8. 方程组 20'05??=???? x x 的基解矩阵为． 9.可用变换将伯努利方程化为线性方程. 10 .是满足方程 251y y y y ''''''+++= 和初始条件的唯一解. 11.方程的待定特解可取的形式: 12. 三阶常系数齐线性方程 20y y y '''''-+=的特征根是二、计算题 1.求平面上过原点的曲线方程, 该曲线上任一点处的切线与切点和点(1,0)的连线相互垂直. 2．求解方程13 dy x y dx x y +-=-+. 3. 求解方程 222()0d x dx x dt dt += 。 4．用比较系数法解方程. . 5．求方程 sin y y x '=+的通解. 6．验证微分方程 22(cos sin )(1)0x x xy dx y x dy -+-=是恰当方程，并求出它的通解.

微分方程例题选解

微分方程例题选解 1. 求解微分方程3ln (ln )0,|2 x e x xdy y x dx y =+-==。解：原方程化为 x y x x dx dy 1ln 1=+，通解为 ?+? ?=-]1[ln 1ln 1C dx e x e y dx x x dx x x ?+=]ln [ln 1C dx x x x ]ln 21[ln 12C x x += 由e x =，23=y ，得1=C ，所求特解为 11 ln ln 2 y x x = +。 2. 求解微分方程22'0x y xy y -+=。解：令ux y =，u x u y '+='，原方程化为 2 u u u x u -='+，分离变量得 dx x u du 1 2 =-，积分得 C x u +=ln 1 ，原方程的通解为 ln x y x C = +。 3. 求解微分方程dy y y x dx xy x )()(3223+=-。解：此题为全微分方程。下面利用“凑微分”的方法求解。原方程化为 03 2 2 3 =---dy y ydy x dx xy dx x ，由 dy y ydy x dx xy dx x 3 2 2 3 --- 42222441 )(2141dy dy x dx y dx -+-= )2(41 4224y y x x d --=，得 0)2(4 224=--y y x x d ，原方程的通解为 C y y x x =--4 2 2 4 2。注：此题也为齐次方程。 4. 求解微分方程2''1(')y y =+。解：设y p '=，则dx dp y =''，原方程化为 21p dx dp +=，分离变量得 dx p dp =+2 1，积分得 1arctan C x p +=，于是 )tan(1C x p y +=='，积分得通解为 12ln cos()y x C C =-++。 5. 求解微分方程''2'20y y y -+=。解：特征方程为 0222 =--r r ，特征根为 i r ±=1，通解为12(cos sin )x y e C x C x =+。

高等数学微分方程练习题

(一)微分方程的基本概念微分方程:含未知函数的导数或微分的方程,称为微分方程、微分方程的阶:微分方程所含未知函数的最高阶导数或微分的阶数称为微分方程的阶数、 1、不就是一阶微分方程. A、正确 B、不正确 2、不就是一阶微分方程. A、正确 B、不正确一阶线性微分方程:未知函数及其导数都就是一次的微分方程d ()() d y P x y Q x x +=称为一阶线性微分方程、微分方程的解:如果一个函数代入微分方程后,方程两边恒等,则称此函数为微分方程的解、通解:如果微分方程的解中所含独立任意常数C的个数等于微分方程的阶数,则此解称为微分方程的通解、特解:在通解中根据附加条件确定任意常数C的值而得到的解,称为特解、 1、就是微分方程的解. A、正确 B、不正确 2、就是微分方程的解. A、正确 B、不正确 3、就是微分方程的通解. A、正确 B、不正确 4、微分方程的通解就是( ). A、 B、 C、 D、

(二)变量可分离的微分方程:()()dy f x g y dx = 一阶变量可分离的微分方程的解法就是: (1)分离变量:1221()()()()g y f x dy dx g y f x =;(2)两边积分:1221()()()()g y f x dy dx g y f x =?? 左边对y 积分,右边对x 积分,即可得微分方程通解、 1、微分方程的通解就是( ). A 、 B 、 C 、 D 、 2、微分方程的通解就是( ). A 、 B 、 C 、 D 、 3、微分方程的通解就是( ). A 、 B 、 C 、 D 、 4、微分方程的通解就是( ). A 、 B 、 C 、 D 、 5、微分方程的通解就是( ). A 、 B 、 C 、 D 、 6、微分方程的通解( ). A 、 B 、 C 、 D 、 7、微分方程的通解就是( ). A 、 B 、 C 、 D 、 8、 x y dy e dx -=就是可分离变量的微分方程. A 、正确 B 、不正确

(完整版)高等数学微分方程试题

第十二章微分方程 §12-1 微分方程的基本概念一、判断题 1.y=ce x 2(c 的任意常数)是y '=2x 的特解。 ( ) 2.y=(y '')3是二阶微分方程。 ( ) 3.微分方程的通解包含了所有特解。 ( ) 4.若微分方程的解中含有任意常数，则这个解称为通解。（） 5.微分方程的通解中任意常数的个数等于微分方程的阶数。（）二、填空题 1. 微分方程.(7x-6y)dx+dy=0的阶数是。 2. 函数y=3sinx-4cosx 微分方程的解。 3. 积分曲线y=(c 1+c 2x)e x 2中满足y x=0=0, y ' x=0=1的曲线是。三、选择题 1．下列方程中是常微分方程（A ）、x 2+y 2=a 2 (B)、 y+0)(arctan =x e dx d (C)、22x a ??+22y a ??=0 （D ）、y ''=x 2+y 2 2.下列方程中是二阶微分方程（A ）（y ''）+x 2y '+x 2=0 (B) (y ') 2+3x 2y=x 3 (C) y '''+3y ''+y=0 (D)y '-y 2=sinx 3.微分方程2 2dx y d +w 2 y=0的通解是其中c.c 1.c 2均为任意常数（A ）y=ccoswx (B)y=c sinwx (C)y=c 1coswx+c 2sinwx (D)y=c coswx+c sinwx 4. C 是任意常数，则微分方程y '=3 23y 的一个特解是（A ）y-=(x+2)3 (B)y=x 3+1 (C) y=(x+c)3 (D)y=c(x+1)3 四、试求以下述函数为通解的微分方程。 1．2 2 C Cx y +=（其中C 为任意常数） 2.x x e C e C y 3221+=（其中21,C C 为任意常数）五、质量为m 的物体自液面上方高为h 处由静止开始自由落下，已知物体在液体中受的阻力与运动的速度成正比。用微分方程表示物体，在液体中运动速度与时间的关系并写出初始条件。

一阶微分方程典型例题

一阶微分方程典型例题例1 在某一人群中推广新技术是通过其中掌握新技术的人进行的.设该人群的总人数为N ，在0=t 时刻已掌握新技术的人数为0x ，在任意时刻t 已掌握新技术的人数为)(t x (将)(t x 视为连续可微变量)，其变化率与已掌握新技术的人数和未掌握新技术人数之积成正比，比例常数0>k ，求)(t x . 解由题设知未掌握新技术人数为)(t x N ?，且有 )(x N kx dt dx ?=，00x x t == 变量分离后，有 kdt x N x dx =?)(，积分之，kNt kNt ce cNe x +=1，由00x x t ==，求得 0 0x N x c ?= 例2 求2 sin 2sin y x y x y ?=++′的通解. 解：利用三角公式将方程改写为2sin 2cos 2y x y ?=′.当02 sin ≠y 时，用它除方程的两端，得变量分离方程dx x y dy 2cos 22 sin ?=, 积分之，得通积分 2 sin 44tan ln x c y ?=. 对应于02 sin =x ，再加特解 ),2,1,0(2"±±==n n y π. 在变量分离时，这里假设02sin ≠y ，故所求通解中可能会失去使 02 sin =y 的解.因此，如果它们不能含于通解之中的话，还要外加上这种形式的特解. 例3 求微分方程 x xe y y x =+′ 满足条件11==x y 的特解.

解法1 把原方程改写为x e y x y =+′1，它是一阶线性方程，其通解为 ()11()()1()1dx dx p x dx p x dx x x x x y e q x e c e e e dx c x e c x ????∫∫??∫∫??=+=?+=?+?????????? ∫∫ 用1,1==y x 代入，得 1=c ，所以特解为x e x x y x 11+?=. 解法2 原方程等价于x xe xy dx d =)(，积分后，得c e x xy x +?=)1(. 当 1,1==y x 时， 1=c 故所求特解为x e x x y x 11+?=. 例4 求方程 0)cos 2()1(2=?+?dx x xy dy x 满足初始条件 10 ==x y 之特解. 解将原方程改写为1 cos 1222?=?+x x y x x dx dy . 于是，通解为 ????????+∫?∫=∫??? c dx e x x e y dx x x dx x x 12212221cos 即 1sin 2?+=x c x y ，由01x y ==，得1c =?，故特解为2sin 11 x y x ?=?. 例5 求方程 4y x y dx dy +=的通解. 解将原方程改写成以为未知函数的方程 31y x y dx dy =?. 于是，由一阶线性方程的通解公式，得 ?? ????+=????????+∫∫=∫?c y y c dy e y e x dy y dy y 313131 在判断方程的类型时，不能只考虑以y 为因变量的情况.因有些方程在以 x 为因变量时方能为线性方程或伯努利方程，解题时必须全面分析.

常微分方程试题

高等数学微分方程试题及答案.docx

第九章常微分方程一．变量可分离方程及其推广 1．变量可分离的方程（ 1）方程形式：dy P x Q y Q y0通解 dy P x dx C dx Q y （注：在微分方程求解中，习惯地把不定积分只求出它的一个原函数，而任意常数另外再加）（ 2）方程形式：M1x N1 y dx M 2x N 2y dy0 通解M 1x dx N 2 y dy C M 2 x 0, N 1 y 0 M 2x N 1y 2．变量可分离方程的推广形式 dy f y （ 1）齐次方程 x dx 令y u ，则 dy u x du f u f du dx c ln | x | c x dx dx u u x 二．一阶线性方程及其推广 1．一阶线性齐次方程 dy P x y0 它也是变量可分离方程，通解y Ce P x dx ，（c为任意常数）dx 2．一阶线性非齐次方程精品文档令 z y1把原方程化为dz1P x z 1Q x 再按照一阶线性 dx 非齐次方程求解。 dy1可化为 dx P y x Q y y x 以为自变量，．方程： P y x dy dx Q y 为未知函数再按照一阶线性非齐次方程求解。三、可降阶的高阶微分方程方程类型解法及解的表达式通解 y n C 2 x n 2C n 1 x C n y n f f x dx C1 x n 1 x n次令 y p ，则 y p ，原方程 y f x, y f x, p ——一阶方程，设其解为p g x, C1 p，即y g x, C1，则原方程的通解为y g x, C1dx C2。令 y p ，把p看作y的函数，则 y dp dp dy p dp dx dy dx dy y f 把 y， y 的表达式代入原方程，得 dp1 f y, p—一阶方程， y, y dy p dy dx P x y Q x用常数变易法可求出通解公式设其解为 p g y, C 1 , 即 dy g y, C1，则原方程的通解为 dx 令 y C x e P x dx代入方程求出 C x 则得ye P x dx Q x e P x dx dx C 3．伯努利方程 dy Q x y0,1 P x y dx dy x C2。 g y, C1

【典型例题】第三章一阶微分方程的解的存在定理

第三章一阶微分方程的解的存在定理例3-1 求方程 22y x dx dy += 满足初始条件0)0(=y 的解的逐次逼近)(),(),(321x y x y x y ，并求出h 的最大值，其中h 的意义同解的存在唯一性定理中的h 。解函数2 2 ),(y x y x f +=在整个平面上有意义，则在以原点为中心的任一闭矩形区域 b y a x D ≤≤,:上均满足解的存在唯一性定理的条件，初值问题?????=+=0 )0(22y y x dx dy 的解在],[h h -上存在唯一，其中)(max ),, min(22),(y x M M b a h D y x +==∈。因为逐次逼近函数序列为 ?-+=x x n n dx x y x f y x y 0 ))(,()(10，此时，2 200),(,0,0y x y x f y x +===，所以 0)(0=x y ， ?=+=x x dx x y x x y 03 2 02 13 )]([)(， | 63 3)]([)(7 032 12 2x x dx x y x x y x +=+=?， ?? +++=+=x x dx x x x x dx x y x x y 0 14 1062 2 223)3969 18929()]([)( 59535 20792633151173x x x x +++=。现在求h 的最大值。因为 ),, min(2 2b a b a h += 对任给的正数b a ,，ab b a 22 2 ≥+，上式中，当 b a = 时， 2 2b a b +取得最大值

a ab b 21 2= 。此时，)21,min()2, min(a a ab b a h ==，当且仅当a a 21 = ，即22==b a 时，h 取得最大值为 2 2 。评注：本题主要考查对初值问题的解的存在唯一定理及其证明过程的基本思想（逐次逼近方法）的理解。特别地，对其中的b y a x D y x f M M b a h D y x ≤≤==∈,:),,(max ),, min(),(等常数意义的理解和对逐次逼近函数列? -+=x x n n dx x y x f y x y 0 ))(,()(10的构造过程的理解。例3-2 证明下列初值问题的解在指定区间上存在且唯一。 1） 2 1 0,0)0(cos 2 2≤ ≤=+='x y x y y ，。 2） 32 2 )2 1 (0,0)0(≤≤=+='x y y x y ，。 | 证 1）以原点为中心作闭矩形区域1,2 1 :≤≤ y x D 。易验证2 2 cos ),(x y y x f +=在区域D 上满足解的存在唯一性定理的条件，求得 2cos m ax 22),(=+=∈x y M D y x ，则2 1 )21,21min(==h 。因此初值问题 ?? ?=+='0 )0(cos 2 2y x y y 的解在]21,21[- 上存在唯一，从而在区间]2 1 ,0[上方程 cos 22， x y y +='满足条件0)0( =y 的解存在唯一。 2）以原点为中心作闭矩形区域b y a x D ≤≤,:。易验证x y y x f +=2 ),(在D 上满足解的存在唯一性定理的条件，并求得 22),(m ax b a x y M D y x +=+=∈，

微分方程练习题基础篇答案

常微分方程基础练习题答案求下列方程的通解 1.dy xy dx = 分离变量 dy xdx y =，2 2x y Ce =，C 为任意常数 2.0xydx = 分离变量 dy y = ，y =C 任意常数 3.ln 0xy y y '-= 分离变量 1 ln dy dx y y x =，x y Ce = 224.()()0xy x dx x y y dy ++-= 分离变量 22 11ydy xdx y x =+-，22 (1)(1)y x C +-= 2 5.(25)dy x y dx =++ 令25u x y =++则2du dy dx dx =+，22du dx u =+ 1x C =+ 6.dy x y dx x y +=-，原方程变为11y dy x y dx x + =-，令y u x =，dy du u x dx dx =+，代入得22111u du dx u x -=+ 2arctan ln u u x C -=+ ， y u x = 回代得通解 2arctan ln y y x C x x =++ 7.0xy y '-= 方程变形为0dy y dx x =+=，令y u x = dx x = arctan ln u x C =+， y u x = 回代得通解arctan ln y y x C x x =++ 8.ln dy y x y dx x =，方程变形为ln dy y y dx x x =，令y u x =，(ln 1)du dx u u x =-，1 Cx u e +=，1Cx y xe +=

9.24dy xy x dx +=，一阶线性公式法222(4)2xdx xdx x y e xe dx C Ce --??=+=+? 210.2dy y x dx x -=,一阶线性公式法112 3(2)dx dx x x y e x e dx C x Cx -??=+=+? 2211.(1)24x y xy x '++=，方程变形为2 222411x x y y x x '+=++一阶线性公式法3 2 14()13 y x C x =++ 212.(6) 20dy y x y dx -+=，方程变形为312dx x y dy y -=-一阶线性公式法2312y y Cy =+ 2 13.3y xy xy '-=，方程变形为2113dy x x y dx y -=伯努利方程，令12,dz dy z y y dx dx --==-代入方程得 3dz xz x dx +=-一阶线性公式法再将z 回代得23 2 113x Ce y -=- 411 14. (12)33 dy y x y dx +=-，方程变形为4 3 1111(12)33dy x y dx y +=-伯努利方程，令 34, 3dz dy z y y dx dx --==-代入方程得21dz z x dx -=-，一阶线性公式法再将z 回代得3121x Ce x y =-- 15.560y y y '''++=，特征方程为2560r r ++=，特征根为122,3r r =-=-，通解 2312x x y C e C e --=+ 16.162490y y y '''-+=，特征方程为2 162490r r -+=，特征根为1,23 4 r =，通解 34 12()x y C C x e =+

微分方程试题及部分应用题答案整理版

第十章微分方程习题一.填空题：（33） 1-1-40、微分方程4233''4''')'(x y x y y =++的阶数是 . 1-2-41、微分方程 0'2'2=+-xy yy xy 的阶数是 . 1-3-42、微分方程0d d d d 22=++s x s x s 的阶数是 . 1-4-43、 x y y y y sin 5''10'''4)()4(=-+-的阶数是 . 1-5-44、微分方程xy x y 2d d =满足条件1|'0==x y 的特解是 . 1-6-45、微分方程0d d =+y x y 的通解是 . 1-7-46、方程 y e y x ='的通解是 . 1-8-47、方程y y y ln '=的通解是 . 1-9-48、方程04'4''=+-y y y 的通解是 . 1-10-49、方程04'4''=+-y y y 的通解是 . 1-11-50、方程013'4''=+-y y y 的通解是 . 1-12-51、已知特征方程的两个特征根,3,221-==r r 则二阶常系数齐次微分方程为 1-13-52、微分方程x e y =''的通解为 . 1-14-53、微分方程 x e y x sin ''2-=的通解为 . 1-15-54、若0d ),(dx ),(=+y y x Q y x P 是全微分方程, 则Q P ,应满足 . 1-16-55、与积分方程x y x f y x x d ),(0?=等价的微分方程初值问题

是 . 1-17-56、方程0d )2(d )(22=-++y xy x x y xy 化为齐次方程是 . 1-18-57、通解为 21221,(C C e C e C y x x +=为任意常数)的微分方程为 . 1-19-58、方程y x e y -=2'满足条件00==x y 的特解是 . 1-19-59、方程 0dy 1dx 2=-+x xy 化为可分离变量方程是 1-20-60、方程xy y 2'=的通解是 1-21-61、方程 x y xy x y x y d d d d 22=+化为齐次方程是 1-22-62、若t y ωcos =是微分方程09''=+y y 的解, 则=ω . 1-23-63、若kt Ce Q =满足Q dt dQ 03.0-=, 则=k . 1-24-64、y y 2'=的解是 1-25-65、某城市现有人口50(万), 设人口的增长率与当时的人口数x (万)和x -1000的积成正比, 则该城市人口)(t x 所满足的微分方程为 1-26-66、圆222r y x =+满足的微分方程是 1-27-67、 a x ae y =满足的微分方程是 1-28-68、一阶线性微分方程)()(d dy x Q y x P x =+的通解是 . 1-29-69、已知特征方程的两个根3,221-==r r , 则二阶常系数线性齐次微分方程为 . 1-30-70、方程25x y =是微分方程y xy 2'=的解. 1-31-71、二阶常系数非齐次微分方程的结构为其一个特解与之和. 1-32-72、二阶常系数齐次线性微分方程0'''=++qy py y 对应的特征方程有两个不

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常微分方程一、填空题 1 .微分方程(立)n +业—VEX? = 0的阶数是 dx dx 答：1 2 .若M (x, V)和N (x, V)在矩形区域R内是(x, V)的连续函数，且有连续的一阶偏导数，则方程M (x,y)dx + N(x, y)dy =0有只与V有关的积分因子的充要条件是血 f N -1 答：(亏一寸M)= (V) 3. ^为齐次方程. 答：形如dV =g(V)的方程 dx x 4 .如果f (x, V) ___________________________________________ M ,业=f (x, V)存在 dx 唯一的解y = %x)，定义丁区问x-x o

8. 若X i (t)(i =1,2,.....n)为齐次线性方程的一个基本解组，x(t)为非齐次线性方程的一个特解,则非齐次线性方程的所有解可表为答：X =' c i x i - X i 4 9. 若中(X)为毕卡逼近序列虬(X)}的极限，则有|%x)M n(x)W 答：MLh n1 (n 1)! 10. 为黎卡提方程，若它有一个特解y(x),则经过变换 ____________________ ,可化为伯努利方程. 答：形如—=p(x)y2+q(x)y + r (x)的方程y = z + y dx 11. 一个不可延展解的存在区间一定是区间. 答：开 12. ______________________________________________________________ 方程业=后〔满足解的存在唯一性定理条件的区域是_______________________________ . dx ' 答：D ={(x,y)在R2y >0},(或不含x轴的上半平■面) 13 .方程华=x2sin y的所有常数解是. dx 答：y =k二，k =0, —1, —2, 14. 函数组明(x)*2(x)，…，气(x)在区间I上线性无关的条件是它们的朗斯基行列式在区间I上不包等丁零. 答：充分 15. 二阶线性齐次微分方程的两个解y〔(x), y2(x)为方程的基本解组充分必要条件是. 答：线性无关(或：它们的朗斯基行列式不等丁零) 16. 方程广-2y'+y=0的基本解组是答：e x, xe X 17. 若y =%x)在(s,十8)上连续，则方程d^=

微分方程习题及答案

微分方程习题 §1 基本概念 1. 验证下列各题所给出的隐函数是微分方程的解. （1）y x y y x C y xy x -='-=+-2)2(,22 （2）?'=''=+y 0 222t -)(,1e y y y x dt 2..已知曲线族，求它相应的微分方程（其中21C , ,C C 均为常数）（一般方法：对曲线簇方程求导，然后消去常数，方程中常数个数决定求导次数.）（1）1)(22=++y C x ；（2）x C x C y 2cos 2sin 21+=. 3．写出下列条件确定的曲线所满足的微分方程。（1）曲线在()y x , 处切线的斜率等于该点横坐标的平方。（2）曲线在点P ()y x ,处的法线x 轴的交点为Q,，PQ 为y 轴平分。（3）曲线上的点P ()y x ,处的切线与y 轴交点为Q , PQ 长度为2，且曲线过点（2，0）。 §2可分离变量与齐次方程 1.求下列微分方程的通解（1）2211y y x -='-；（2）0tan sec tan sec 22=?+?xdy y ydx x ；（3） 23xy xy dx dy =-；（4）0)22()22 (=++-++dy dx y y x x y x . 2．求下列微分方程的特解（1）0 ,02=='=-x y x y e y ；（2）2 1 ,12= =+'=x y y y y x

3. 求下列微分方程的通解（1）)1(ln +='x y y y x ；（2）03)(233=-+dy xy dx y x . 4. 求下列微分方程的特解（1） 1 ,0 22=-==x y y x xy dx dy ；（2）1 ,02)3(0 22==+-=x y xydx dy x y . 5. 用适当的变换替换化简方程，并求解下列方程（1）2)(y x y +='；（2）)ln (ln y x y y y x +=+' （3）11 +-= 'y x y （4）0)1()1(22=++++dy y x xy x dx xy y 6. 求一曲线，使其任意一点的切线与过切点平行于y 轴的直线和x 轴所围城三角形面积等于常数2a . 7. 设质量为m 的物体自由下落，所受空气阻力与速度成正比，并设开始下落时)0(=t 速度为0，求物体速度v 与时间t 的函数关系. 8. 有一种医疗手段，是把示踪染色注射到胰脏里去，以检查其功能.正常胰脏每分钟吸收掉%40染色，现内科医生给某人注射了0.3g 染色，30分钟后剩下0.1g ，试求注射染色后t 分钟时正常胰脏中染色量)(t P 随时间t 变化的规律，此人胰脏是否正常？ 9.有一容器内有100L 的盐水，其中含盐10kg ，现以每分钟3L 的速度注入清水，同时又以每分钟2L 的速度将冲淡的盐水排出，问一小时后，容器内尚有多少盐？

微分方程例题选解演示教学

微分方程例题选解

微分方程例题选解 1. 求解微分方程3ln (ln )0,|2x e x xdy y x dx y =+-== 。解：原方程化为 x y x x dx dy 1ln 1=+，通解为 ?+??=-]1[ln 1ln 1C dx e x e y dx x x dx x x ?+=]ln [ln 1C dx x x x ]ln 2 1[ln 12C x x += 由e x =，23=y ，得1=C ，所求特解为 11ln ln 2 y x x =+。 2. 求解微分方程22'0x y xy y -+=。解：令ux y =，u x u y '+='，原方程化为 2u u u x u -='+，分离变量得 dx x u du 12=-，积分得 C x u +=ln 1，原方程的通解为 ln x y x C =+。 3. 求解微分方程dy y y x dx xy x )()(3223+=-。解：此题为全微分方程。下面利用“凑微分”的方法求解。原方程化为 03223=---dy y ydy x dx xy dx x ，由 dy y ydy x dx xy dx x 3223--- 4222244 1)(2141dy dy x dx y dx -+-= )2(4 14224y y x x d --=，得 0)2(4224=--y y x x d ，原方程的通解为 C y y x x =--42242。注：此题也为齐次方程。 4. 求解微分方程2''1(')y y =+。解：设y p '=，则dx dp y =''，原方程化为 21p dx dp +=，分离变量得 dx p dp =+2 1，积分得 1arctan C x p +=，于是 )tan(1C x p y +=='，积分得通解为 12ln cos()y x C C =-++。 5. 求解微分方程''2'20y y y -+=。解：特征方程为 0222=--r r ，特征根为 i r ±=1，

微分方程(习题及解答)

第七章 微分方程经典例题

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常微分方程习题及答案

常微分方程试题(卷)

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微分方程例题选解

高等数学微分方程练习题

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一阶微分方程典型例题

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【典型例题】 第三章 一阶微分方程的解的存在定理

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第七章微分方程经典例题

【典型例题】第三章一阶微分方程的解的存在定理