上海甘泉外国语中学九年级上册期末精选试卷检测题

上海甘泉外国语中学九年级上册期末精选试卷检测题

一、初三数学 一元二次方程易错题压轴题（难）

1．如图，在平面直角坐标系中，()4,0A -，()0,4B ，四边形ABCO 为平行四边形，

4,03D ??

- ???

在x 轴上一定点，P 为x 轴上一动点，且点P 从原点O 出发，沿着x 轴正半轴方向以每秒

4

3

个单位长度运动，已知P 点运动时间为t ． (1)点C 坐标为________，P 点坐标为________；(直接写出结果，可用t 表示) (2)当t 为何值时，BDP ?为等腰三角形；

(3)P 点在运动过程中，是否存在t ，使得ABD OBP ∠=∠，若存在，请求出t 的值，若不存在，请说明理由！

【答案】（1）（4，4），（4

3

t ，0）；（2）1101-，4； （3）存在，310

9

t

【解析】 【分析】

（1）利用平行四边形的性质和根据P 点的运动速度，利用路程公式求解即可； （2）分三种情况：①当BD BP 时，②当BD DP =时，③当BP DP =时，分别讨论求

解，即可得出结果； （3）过D 点作DF BP 交BP 于点F ，设OP x =

，则可得2

24BP

x ，43

DP

x ，

4

53

DF

,利用1

1

22

BDP

S DP BO BP DF ，即可求出OP 的长，利用路程公式可求得t 的值。 【详解】

解：（1）∵()4,0-A ，()0,4B ，四边形ABCO 为平行四边形， ∴点C 坐标为（4，4），

又∵P 为x 轴上一动点，点P 从原点O 出发，沿着x 轴正半轴方向以每秒4

3

个单位长度运动，P 点运动时间为t ，

∴P 点坐标为（

4

3

t ，0）， （2）∵B ，D 的坐标分别为：()0,4B ，4,03D ??

- ???

， ∴4OB =,43

OD =

, 由勾股定理有：2

2

2

2

44

4

103

3

DB OB

OD

, 当BDP ?为等腰三角形时， ①如图所示，当BD

BP 时，

OD OP =,

∴P 点坐标为（4

3

，0）, ∴1t =

②如图所示，当BD DP =时，

∵4

103DB ，OP DP OD

∴44410101333

OP ,

∴101t

③如图所示，当BP DP =时，

设P 点坐标为：（x ，0） 则有：2

2

24BP x

，2

2

4

3

DP

x

， ∴2

2

2

4

4

3x

x

，解之得：163x = ∴P 点坐标为（16

3

，0）, ∴4t =

综上所述，当t 为1，101-，4时，BDP ?为等腰三角形；

（3）答：存在t ，使得ABD OBP ∠=∠。

证明：∵A ，B 两点坐标分别为：()4,0-A ，()0,4B ， ∴OA OB =,45ABO ∠=, 又∵ABD OBP ∠=∠

∴ABD OBD OBP OBD ∠+∠=∠+∠ 即有：45ABO

DBP

，

如图示，过D 点作DF

BP 交BP 于点F,

∵4

103DB ， ∴4

53

DF

, 设OP x =，根据勾股定理有：2

24BP

x ，

并且43

DP x ，

则：1

1

2

2

BDP

S DP BO BP DF

∴

22

44

4453

3

x x ， 化简得：2610x x +-=， 解之得：3

10x （取正值），

即4310

3

t ∴3

310

310

94

t

．

【点睛】

本题考查的是平行四边形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，三角形的面积公式，一元二次方程得解等知识点，在（2）中懂得分类讨论，在（3）中能做出垂线，利用面积求解是解题的关键．

2．近期猪肉价格不断走高，引起了民众与政府的高度关注．当市场猪肉的平均价格每千克达到一定的单价时，政府将投入储备猪肉以平抑猪肉价格．

（1）从去年年底至今年3月20日，猪肉价格不断走高，3月20日比去年年底价格上涨了60%．某市民在今年3月20日购买2.5千克猪肉至少要花200元钱，那么去年年底猪肉的最低价格为每千克多少元？

（2）3月20日，猪肉价格为每千克60元，3月21日，某市决定投入储备猪肉并规定其销售价在每千克60元的基础上下调a %出售．某超市按规定价出售一批储备猪肉，该超市在非储备猪肉的价格仍为每千克60元的情况下，该天的两种猪肉总销量比3月20日增加了a %，且储备猪肉的销量占总销量的

3

4

，两种猪肉销售的总金额比3月20日提高了1

%10

a ，求a 的值． 【答案】（1）去年年底猪肉的最低价格为每千克50元；（2）a 的值为20． 【解析】 【分析】

（1）设去年年底猪肉价格为每千克x 元；根据题意列出一元一次不等式，解不等式即可； （2）设3月20日两种猪肉总销量为1；根据题意列出方程，解方程即可． 【详解】

解：（1）设去年年底猪肉价格为每千克x 元； 根据题意得：2．5×（1+60%）x ≥200， 解得：x ≥50．

答：去年年底猪肉的最低价格为每千克50元； （2）设3月20日的总销量为1；

根据题意得：60（1﹣a%）×3

4

(1+a%）+60×

1

4

(1+a%）=60（1+

1

10

a%），

令a%=y，原方程化为：60（1﹣y）×3

4

(1+y）+60×

1

4

(1+y）=60（1+

1

10

y），

整理得：5y2﹣y=0，

解得：y=0.2，或y=0（舍去），

则a%=0.2，

∴a=20；

答：a的值为20．

【点睛】

本题考查了一元一次不等式的应用、一元二次方程的应用；根据题意列出不等式和方程是解决问题的关键．

3．阅读下面材料：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，它通常用字母d表示，我们可以用公

式

(1)

2

n n

S na d

-

=+?来计算等差数列的和．（公式中的n表示数的个数，a表示第一个

数的值，）

例如：3＋5＋7＋9＋11＋13＋15＋17＋19＋21＝10×3＋10(101)

2

-

×2＝120．

用上面的知识解决下列问题．

（1）计算：2+8+14+20+26+32+38+44+50+56+62+68+74+80+86+92+98+104+110+116

（2）某县决定对坡荒地进行退耕还林．从2009年起在坡荒地上植树造林，以后每年植树后坡荒地的实际面积按一定规律减少，下表为2009、2010、2011、2012四年的坡荒地面积的统计数据．问到哪一年，可以将全县所有坡荒地全部种上树木．

【答案】（1）1180；（2）到2017年，可以将全县所有的坡荒地全部种上树木．

【解析】

【分析】

（1）根据题意，由公式

(1)

2

n n

S na d

-

=+?来计算等差数列的和，即可得到答案；

（2）根据题意，设再过x年可以将全县所有的坡荒地全部种上树木．列出方程，解方程即可得到答案．

【详解】

解：（1）由题意，得

6

d=，20

n=，2

a=，

∵

(1)

2

n n

S na d

-

=+?，

∴

20(201)

2206

2

S

-

=?+?401140=1180

=+；

（2）解：设再过x年可以将全县所有的坡荒地全部种上树木．根据题意，得

1200x+

(1)

2

x x-

×400＝25200，

整理得：（x﹣9）（x+14）＝0，

∴x＝9或x＝﹣14（负值舍去）．

∴2009+9-1=2017；

答：到2017年，可以将全县所有的坡荒地全部种上树木．

【点睛】

本题考查了一元二次方程的应用，解一元二次方程，以及计算等差数列的和公式，解题的关键是熟练掌握题意，正确找出等量关系，列出方程进行解题．

4．“父母恩深重，恩怜无歇时”，每年5月的第二个星期日即为母亲节，节日前夕巴蜀中学学生会计划采购一批鲜花礼盒赠送给妈妈们．

（1）经过和花店卖家议价，可在原标价的基础上打八折购进，若在花店购买80个礼盒最多花费7680元，请求出每个礼盒在花店的最高标价；（用不等式解答）

（2）后来学生会了解到通过“大众点评”或“美团”同城配送会在（1）中花店最高售价的基础上降价25%，学生会计划在这两个网站上分别购买相同数量的礼盒，但实际购买过程

中，“大众点评”网上的购买价格比原有价格上涨5

2

m%，购买数量和原计划一样：“美团”网

上的购买价格比原有价格下降了9

20

m元，购买数量在原计划基础上增加15m%，最终，在

两个网站的实际消费总额比原计划的预算总额增加了15

2

m%，求出m的值．

【答案】（1）120；（2）20．

【解析】

试题分析：（1）本题介绍两种解法：

解法一：设标价为x元，列不等式为0.8x?80≤7680，解出即可；

解法二：根据单价=总价÷数量先求出1个礼盒最多花费，再除以折扣可求出每个礼盒在花店的最高标价；

（2）先假设学生会计划在这两个网站上分别购买的礼盒数为a个礼盒，表示在“大众点评”

网上的购买实际消费总额：120a（1﹣25%）（1+5

2

m%），在“美团”网上的购买实际消费

总额：a[120（1﹣25%）﹣9

20

m]（1+15m%）；根据“在两个网站的实际消费总额比原计划

的预算总额增加了15

2

m%”列方程解出即可．

试题解析：（1）解：解法一：设标价为x元，列不等式为0.8x?80≤7680，x≤120；

解法二：7680÷80÷0.8=96÷0.8=120（元）．

答：每个礼盒在花店的最高标价是120元；

（2）解：假设学生会计划在这两个网站上分别购买的礼盒数为a个礼盒，由题意得：

120×0.8a（1﹣25%）（1+5

2

m%）+a[120×0.8（1﹣25%）﹣

9

20

m]（1+15m%）=120×0.8a（

1﹣25%）×2（1+ 15

2

m%），即72a（1+

5

2

m%）+a（72﹣

9

20

m）（1+15m%）=144a（1+

15

2

m%），整理得：0．0675m2﹣1.35m=0，m2﹣20m=0，解得：m1=0（舍），m2=20．答：m的值是20．

点睛：本题是一元二次方程的应用，第二问有难度，正确表示出“大众点评”或“美团”实际消费总额是解题关键．

5．如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A和点B（1，0），与y轴交于点C（0，3），其对称轴l为x=﹣1．

（1）求抛物线的解析式并写出其顶点坐标；

（2）若动点P在第二象限内的抛物线上，动点N在对称轴l上．

①当PA⊥NA，且PA=NA时，求此时点P的坐标；

②当四边形PABC的面积最大时，求四边形PABC面积的最大值及此时点P的坐标．

【答案】（1）y=﹣（x+1）2+4，顶点坐标为（﹣1，4）；（2）①点P2﹣1，

2）；②P（﹣3

2

，

15

4

）

【解析】

试题分析：（1）将B、C的坐标代入已知的抛物线的解析式，由对称轴为1

x=-即可得到抛物线的解析式；

（2）①首先求得抛物线与x轴的交点坐标，然后根据已知条件得到PD=OA，从而得到方

程求得x 的值即可求得点P 的坐标；

②ΔOBC ΔAPD ABCP C =PDO S S S S ++四边形梯形，表示出来得到二次函数，求得最值即可．

试题解析：（1）∵抛物线2

y ax bx c =++与x 轴交于点A 和点B （1，0），与y 轴交于

点C （0，3），其对称轴l 为1x =-，∴0

{3

12a b c c b a

++==-=-，解得：1

{23a b c =-=-=，∴二次函数的

解析式为2

23y x x =--+=2

(1)4x -++，∴顶点坐标为（﹣1，4）；

（2）令2230y x x =--+=，解得3x =-或1x =，∴点A （﹣3，0），B （1，0），作PD ⊥x 轴于点D ，∵点P 在223y x x =--+上，∴设点P （x ，223x x --+）， ①∵PA ⊥NA ，且PA=NA ，∴△PAD ≌△AND ，∴OA=PD ，即2232y x x =--+=，解得x=21-（舍去）或x=21--，∴点P （21--，2）；

②设P(x ，y)，则223y x x =--+，∵ΔOBC ΔAPD ABCP C =PDO S S S S ++四边形梯形 =

12OB?OC+12AD?PD+1

2(PD+OC)?OD=11131+(3)(3)()222

x y y x ???+++-=333222

x y -+ =

2333(23)222x x x -+--+=239622x x --+=23375()228

x -++， ∴当x=32-时，ABCP S 四边形最大值=758，当x=32

-时，2

23y x x =--+=154，此时P

（32

-

，15

4）．

考点：1．二次函数综合题；2．二次函数的最值；3．最值问题；4．压轴题．

二、初三数学 二次函数易错题压轴题（难）

6．已知点P(2，﹣3)在抛物线L ：y ＝ax 2﹣2ax+a+k （a ，k 均为常数，且a≠0）上，L 交y 轴于点C ，连接CP ．

（1）用a 表示k ，并求L 的对称轴及L 与y 轴的交点坐标；

（2）当L 经过(3，3)时，求此时L 的表达式及其顶点坐标；

（3）横、纵坐标都是整数的点叫做整点．如图，当a ＜0时，若L 在点C ，P 之间的部分与线段CP 所围成的区域内（不含边界）恰有4个整点，求a 的取值范围；

（4）点M(x 1，y 1)，N(x 2，y 2)是L 上的两点，若t≤x 1≤t+1，当x 2≥3时，均有y 1≥y 2，直接写出t 的取值范围．

【答案】（1）k=-3-a ；对称轴x ＝1；y 轴交点(0，-3)；（2）2

y=2x -4x-3，顶点坐标(1，-

5)；（3）-5≤a ＜-4；（4）-1≤t ≤2． 【解析】 【分析】

（1）将点P(2，-3)代入抛物线上，求得k 用a 表示的关系式；抛物线L 的对称轴为直线

2a

x==12a

--

，并求得抛物线与y 轴交点； （2）将点(3，3)代入抛物线的解析式，且k=-3-a ，解得a=2，k=-5，即可求得抛物线解析式与顶点坐标；

（3）抛物线L 顶点坐标(1，-a-3)，点C ，P 之间的部分与线段CP 所围成的区域内（不含边界）恰有4个整点，这四个整点都在x=1这条直线上，且y 的取值分别为-2、-1、0、1，可得1＜-a-3≤2，即可求得a 的取值范围；

（4）分类讨论取a ＞0与a ＜0的情况进行讨论，找出1x 的取值范围，即可求出t 的取值范围． 【详解】

解：（1）∵将点P(2，-3)代入抛物线L ：2

y=ax -2ax+a+k ，

∴-3=4a 4a a+k=a+k -+ ∴k=-3-a ；

抛物线L 的对称轴为直线-2a

x=-=12a

，即x ＝1； 将x=0代入抛物线可得：y=a+k=a+(-3-a)=-3，故与y 轴交点坐标为(0，-3)；

（2）∵L 经过点(3，3)，将该点代入解析式中， ∴9a-6a+a+k=3，且由（1）可得k=-3-a ，

∴4a+k=3a-3=3，解得a=2，k=-5，

∴L 的表达式为2

y=2x -4x-3；

将其表示为顶点式：2

y=2(x-1)-5， ∴顶点坐标为(1，-5)；

（3）解析式L 的顶点坐标(1，-a-3)，

∵在点C ，P 之间的部分与线段CP 所围成的区域内（不含边界）恰有4个整点，这四个整点都在x=1这条直线上，且y 的取值分别为-2、-1、0、1， ∴1＜-a-3≤2， ∴-5≤a ＜-4；

（4）①当a ＜0时，∵2x 3≥，为保证12y y ≥，且抛物线L 的对称轴为x=1， ∴就要保证1x 的取值范围要在[-1,3]上， 即t ≥-1且t+1≤3，解得-1≤t ≤2；

②当a ＞0时，抛物线开口向上，t ≥3或t+1≤-1，解得：t ≥3或t ≤-2，但会有不符合题意的点存在，故舍去， 综上所述：-1≤t ≤2． 【点睛】

本题考查二次函数的图象及性质；熟练掌握二次函数的图象及性质，数形结合解题是关键．

7．如图所示，在平面直角坐标系中，抛物线2

(0)y ax bx c a =++≠的顶点坐标为

()3, 6C ，并与y 轴交于点()0, 3B ，点A 是对称轴与x 轴的交点．

(1)求抛物线的解析式;

(2)如图①所示, P 是抛物线上的一个动点,且位于第一象限，连结BP 、AP ,求ABP ?的面积的最大值;

(3)如图②所示，在对称轴AC 的右侧作30ACD ∠=交抛物线于点D ,求出D 点的坐标;并探究:在y 轴上是否存在点Q ,使60CQD ∠=?若存在，求点Q 的坐标;若不存在，请说明理由．

【答案】（1）21233y x x =-

++；（2）当9

2n =时，PBA S ?最大值为818

；（3）存在，

Q 点坐标为((0,-或，理由见解析

【解析】 【分析】

(1)利用待定系数法可求出二次函数的解析式；

(2)求三角形面积的最值，先求出三角形面积的函数式.从图形上看S △PAB=S △BPO+S △APO-S △AOB,设P 2

1,233

n n n ?

?-++ ??

?

求出关于n 的函数式，从而求S △PAB 的最大值. (3) 求点D 的坐标，设D 2

1,233

t t t ??-++ ??

?

,过D 做DG 垂直于AC 于G,构造直角三角形，利用勾股定理或三角函数值来求t 的值即得D 的坐标;探究在y 轴上是否存在点Q ,使

60CQD ∠=?根据以上条件和结论可知∠CAD=120°,是∠CQD 的2倍，联想到同弧所对

的圆周角和圆心角，所以以A 为圆心，AO 长为半径做圆交y 轴与点Q,若能求出这样的点，就存在Q 点. 【详解】

解：()1抛物线顶点为()3,6

∴可设抛物线解析式为()2

36y a x =-+

将()0,3B 代入()2

36y a x =-+得

396a =+ 1

3

a ∴=-

∴抛物线()2

1363y x =-

-+，即21233

y x x =-++ ()2连接,3, 3OP BO OA ==，

PBA BPO PAO ABO S S S S ????=+- 设P 点坐标为21,233n n n ??-++

???

113

3222

BPO x S BO P n n ?=== 2211119323322322PAO y S OA P n n n n ???

=

=-++=-++ ???

11933222

ABO S OA BO ?=

=??=

2

2231

99191981322

2222228PBA

S n n n n n n ?????=+-++-=-+=--+ ? ????? ∴当9

2n =

时，PBA S ?最大值为818

()3存在，设点D 的坐标为2

1

,233

t t t ??-++ ??

?

过D 作对称轴的垂线，垂足为G , 则2

13,6233

DG t CG t t ??=-=--++ ???

30ACD ∠=

2DG DC ∴=

在Rt CGD ?中有

222243CG CD DG DG DG DG =+=-=

)21336233t t t ??

-=--++ ???

化简得(1

133303t t ??---= ???

13t ∴=（舍去），2333t =+∴点D(333+

3,33AG GD ∴==连接AD ，在Rt ADG ?中

229276AD AG GD ++=

6,120AD AC CAD ∴==∠=

Q ∴在以A 为圆心，AC 为半径的圆与y 轴的交点上

此时1

602

CQD CAD ∠=

∠=

设Q 点为(0,m), AQ 为A 的半径

则AQ 2=OQ 2+OA 2, 62=m 2+32

即2936m +=

∴1233,33m m ==-

综上所述，Q 点坐标为()()

0,330,33-或 故存在点Q ，且这样的点有两个点.

【点睛】

(1)本题考查了利用待定系数法求二次函数解析式，根据已知条件选用顶点式较方便； (2)本题是三角形面积的最值问题，解决这个问题应该在分析图形的基础上，引出自变量，再根据图形的特征列出面积的计算公式，用含自变量的代数式表示面积的函数式,然后求出最值.

(3)先求抛物线上点的坐标问题及符合条件的点是否存在.一般先假设这个点存在，再根据已知条件求出这个点.

8．如图1，抛物线2

1:C y x b =+交y 轴于()0,1A ．

（1）直接写出抛物线1C 的解析式______________．

（2）如图1，x 轴上两动点,M N 满足：m n X X n -==．若,B C （B 在C 左侧）为线段

MN 上的两个动点，且满足：B 点和C 点关于直线:1l x =对称．过B 作BB x '⊥轴交1

C 于B '，过C 作CC x '⊥轴交1C 于C '，连接B C ''．求B C ''的最大值（用含n 的代数式表示）．

（3）如图2，将抛物线1C 向下平移7

8

个单位长度得到抛物线2C ．2C 对称轴左侧的抛物线上有一点M ，其横坐标为m ．以OM 为直径作K ，记⊙K 的最高点为Q ．若Q 在

直线2y x =-上，求m 的值．

【答案】（1）2

1y x =+；（2）1|n -；（3）14m =-

或12

m =- 【解析】 【分析】

（1）将()0,1A 带入抛物线1C 解析式，求得b 的值，即可得到抛物线1C 的解析式； （2）设(),0B q ，则()2,0C q -，求()2

B C ''

并进行化简，由1n q -≤<且12,

q

n <-得21n q -<，则当()

2

max

B C ''??????时，取min 2q q n ==-，带入()

2B C ''，即可求得()

max

B C '

'

；

（3）依题意将抛物线1C 向下平移

7

8

个单位长度得到抛物线2C ，求得2C 解析式，根据解析式特点设21,8M m m ??+ ???，得到2

222

18OM m m ??=++ ??

?，由圆的特性易求得，⊙K 的

最高点点Q 坐标为：2111,22

28m OM m ??

??++ ?

?????，设Q y k =，则

2111228k OM m ??=

++ ???，化简得到22211084k m k m ?

?++-= ??

?，由Q 点在2y x =-上，得2Q k x m =-=-，继而得到2

31048m m -

+=，解得14m =-或12

m =-． 【详解】

解：（1）将()0,1A 带入抛物线2

1:C y x b =+，得b=1， 则2

1:1C y x =+，

（2）设(),0B q ，则()2,0C q -， ∴()

2

2

222

(2)(2)B C q q q q ''

??=--+--??

2204020q q =-+

()2

201q =-，

∵1n q -≤<且12,q n <-

21n q -<∴，

∴()

2max

B C ''??????时，min 2q q n ==-， 即()2

2220(21)20(1)B C n n ''

=--=-，

∴()

max

1|B C n ''

=-，

（3）根据题意，将抛物线1C 向下平移7

8

个单位长度得到抛物线2C ， ∴2

21:8

C y x =+， ∴2

1,8M m m ??+

??

?

， ∴2

2

2218OM m m ??=++ ??

?，

∴由圆的特性易求得，⊙K 的最高点点Q 坐标为：

2111,22

28m OM m ??

??++ ?

?????， 设Q y k =，则2111228k OM m ??

=

++ ???

， ∴2

22111428OM k m ??

??=-+ ???????， 化简上式得：2

2211084k m k m ??++-= ?

?

?， ∵Q 点在2y x =-上，则2Q k x m =-=-， ∴k m =-为上述方程的一个解， ∴分析可知1()04k m k m ??

+-

= ???

， 21148

m m m -=+∴，

∴2

31

048

m m -

+=， 解得：114m =-

，212m =-（经检验114m =-，212m =-是方程2

31048

m m -+=的

解），

故14m =-

或12

m =-． 【点睛】

本题主要考查二次函数的图像及性质、图像平移的性质、及二次函数与一元二次方程的综合应用、最值求法等知识．解题关键是熟练掌握二次函数的性质，充分利用数形结合的思想．

9．如图，直线3y

x

与x 轴、y 轴分别交于点A ，C ，经过A ，C 两点的抛物线

2y ax bx c =++与x 轴的负半轴的另一交点为B ，且tan 3CBO ∠=

（1）求该抛物线的解析式及抛物线顶点D 的坐标；

（2）点P 是射线BD 上一点，问是否存在以点P ，A ，B 为顶点的三角形，与ABC 相似，若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由

【答案】（1）2

43y x x =++，顶点(2,1)D --；（2）存在，52,33P ??

--

???

或(4,3)-- 【解析】 【分析】

（1）利用直线解析式求出点A 、C 的坐标，从而得到OA 、OC ，再根据tan ∠CBO=3求出OB ，从而得到点B 的坐标，然后利用待定系数法求出二次函数解析式，整理成顶点式形式，然后写出点D 的坐标；

（2）根据点A 、B 的坐标求出AB ，判断出△AOC 是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质求出AC ，∠BAC=45°，再根据点B 、D 的坐标求出∠ABD=45°，然后分①AB 和BP 是对应边时，△ABC 和△BPA 相似，利用相似三角形对应边成比例列式求出BP ，过点P 作PE ⊥x 轴于E ，求出BE 、PE ，再求出OE 的长度，然后写出点P 的坐标即可；②AB 和BA 是对应边时，△ABC 和△BAP 相似，利用相似三角形对应边成比例列式求出BP ，过点P 作PE ⊥x 轴于E ，求出BE 、PE ，再求出OE 的长度，然后写出点P 的坐标即可． 【详解】

解：（1）令y=0，则x+3=0， 解得x=-3， 令x=0，则y=3，

∴点A （-3，0），

C （0，3）， ∴OA=OC=3， ∵tan ∠CBO=3OC

OB

=， ∴OB=1， ∴点B （-1，0），

把点A 、B 、C 的坐标代入抛物线解析式得，

93003a b c a b c c -+=??-+=??=?

，解得：143a b c =??

=??=?，

∴该抛物线的解析式为：2

43y x x =++， ∵y=x 2+4x+3=（x+2）2-1， ∴顶点(2,1)D --；

（2）∵A （-3，0），B （-1，0）， ∴AB=-1-（-3）=2， ∵OA=OC ，∠AOC=90°， ∴△AOC 是等腰直角三角形， ∴AC=2OA=32，∠BAC=45°， ∵B （-1，0），D （-2，-1）， ∴∠ABD=45°，

①AB 和BP 是对应边时，△ABC ∽△BPA ， ∴AB AC

BP BA =， 即

232

2

BP =

， 解得BP=

22

， 过点P 作PE ⊥x 轴于E ，

则BE=PE=223×22=2

3

， ∴OE=1+

23=53

， ∴点P 的坐标为（-

53，-2

3

）； ②AB 和BA 是对应边时，△ABC ∽△BAP ， ∴AB AC

BA BP =， 即

232

2BP

=

， 解得BP=32， 过点P 作PE ⊥x 轴于E ， 则BE=PE=32×2

2

=3， ∴OE=1+3=4，

∴点P 的坐标为（-4，-3）； 综合上述，当52,33P ??

-- ???

或(4,3)--时，以点P ，A ，B 为顶点的三角形与ABC ?相似； 【点睛】

本题是二次函数综合题型，主要利用了直线与坐标轴交点的求解，待定系数法求二次函数解析式，等腰直角三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，难点在于（2）要分情况讨论．

10．如图，已知抛物线2

y x bx c =-++与x 轴交于A ，B 两点，过点A 的直线l 与抛物线

交于点C ，其中点A 的坐标是()1,0，点C 的坐标是()2,3-，抛物线的顶点为点D ．

（1）求抛物线和直线AC 的解析式．

（2）若点P 是抛物线上位于直线AC 上方的一个动点，求APC ?的面积的最大值及此时

点P 的坐标．

（3）若抛物线的对称轴与直线AC 相交于点E ，点M 为直线AC 上的任意一点，过点

M 作//MN DE 交抛物线于点N ，以D ，E ，M ，N 为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，求出点M 的坐标；若不能，请说明理由．

【答案】（1）y=-x 2-2x+3，y=-x+1；（2）最大值为278

，此时点P(12-，15

4)；（3）能，

(0，1)，

)或

【解析】 【分析】

（1）直接利用待定系数法进行求解，即可得到答案；

（2）设点P(m ，-m 2-2m+3)，则Q(m ，-m+1)，求出PQ 的长度，结合三角形的面积公式和二次函数的性质，即可得到答案；

（3）根据题意，设点M(t ，-t+1)，则点N(t ，-t 2-2t+3)，可分为两种情况进行分析：①当点M 在线段AC 上时，点N 在点M 上方；②当点M 在线段AC （或CA ）延长线上时，点N 在点M 下方；分别求出点M 的坐标即可． 【详解】

解：（1）∵抛物线y=-x 2+bx+c 过点A(1，0)，C(-2，3)，

∴10423b c b c -++=??--+=?，，解得：23b c =-??=?

，

．

∴抛物线的解析式为y=-x 2-2x+3． 设直线AC 的解析式为y=kx+n ． 将点A ，C 坐标代入，得 023k n k n +=??

-+=?，，解得11k n =-??=?

，

． ∴直线AC 的解析式为y=-x+1． （2）过点P 作PQ ∥y 轴交AC 于点Q ． 设点P(m ，-m 2-2m+3)，则Q(m ，-m+1)． ∴PQ=(-m 2-2m+3)-(-m+1)=-m 2-m+2． ∴S △APC =S △PCQ +S △APQ =12PQ·(x A -x C )=12

(-m 2-m+2)×3=23127

()228m -++．

∴当m=12-

时，S △APC 最大，最大值为278

，此时点P(12-，15

4)．

（3）能．

∵y=-x 2-2x+3，点D 为顶点， ∴点D(-1，4)，

令x=-1时，y=-（-1）+1=2， ∴点E(-1，2)． ∵MN ∥DE ，

∴当MN=DE=2时，以D，E，M，N为顶点的四边形是平行四边形．∵点M在直线AC上，点N在抛物线上，

∴设点M(t，-t+1)，则点N(t，-t2-2t+3)．

①当点M在线段AC上时，点N在点M上方，则

MN=(-t2-2t+3)-(-t+1)=-t2-t+2．

∴-t2-t+2=2，

解得：t=0或t=-1（舍去）．

∴此时点M的坐标为（0，1）．

②当点M在线段AC（或CA）延长线上时，点N在点M下方，则MN=(-t+1)-(-t2-2t+3)=t2+t-2．

∴t2+t-2=2，

解得：t=

117

2

-+

或t=

117

2

--

．

∴此时点M的坐标为（

117

-+

，

317

-

）或（

117

--

，

317

+

）．

综上所述，满足条件的点M的坐标为：（0，1），（

117

-+

，

317

-

）或

（

117

--

，

317

+

）．

【点睛】

本题考查了待定系数法求一次函数解析式、待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象上点的坐标特征、一次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质、三角形的面积以及周长，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出抛物线及直线AC的函数关系式；（2）利用三角形的面积公式和二次函数的性质解题；（3）利用二次函数图象的对称性结合两点之间线段最短找出点M的位置．

三、初三数学旋转易错题压轴题（难）

11．在Rt△ACB和Rt△AEF中，∠ACB＝∠AEF＝90°，若点P是BF的中点，连接PC，PE．

(1) 如图1，若点E，F分别落在边AB，AC上，求证：PC＝PE；

(2) 如图2，把图1中的△AEF绕着点A顺时针旋转，当点E落在边CA的延长线上时，探索PC与PE的数量关系，并说明理由．

(3) 如图3，把图2中的△AEF绕着点A顺时针旋转，点F落在边AB上．其他条件不变，