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复变函数试题(卷)和答案解析

第一章复数与复变函数

一、

选择题

1．当i

z -+=

11时，5075100z z z ++的值等于（）（A ）i （B ）i - （C ）1 （D ）1- 2．设复数z 满足3

)2(π

+z arc ，6

5)2(π

-z arc ，那么=z （）（A ）i 31+- （B ）i +-3 （C ）i 2321+-

（D ）i 2

123+- 3．复数)2

(tan πθπ

θ<<-=i z 的三角表示式是（）（A ）)]2sin()2[cos(

sec θπθπ

θ+++i （B ）)]2

3sin()23[cos(sec θπ

θπθ+++i （C ）)]23sin()23[cos(

sec θπθπθ+++-i （D ）)]2

sin()2[cos(sec θπ

θπθ+++-i 4．若z 为非零复数，则22z z -与z z 2的关系是（）（A ）z z z z 222≥- （B ）z z z z 222=- （C ）z z z z 222≤- （D ）不能比较大小

５．设y x ,为实数，yi x z yi x z +-=++=11,1121且有1221=+z z ，则动点)

,(y x 的轨迹是（）

（A ）圆（B ）椭圆（C ）双曲线（D ）抛物线

６．一个向量顺时针旋转

，向右平移３个单位，再向下平移１个单位后对应的复数为

i 31-，则原向量对应的复数是（）

（A ）2 （B ）i 31+

（C ）i -3 （D ）i +3

７．使得2

z z =成立的复数z 是（）

（A ）不存在的（B ）唯一的（C ）纯虚数（D ）实数８．设z 为复数，则方程i z z +=+2的解是（）

（A ）i +-

43 （B ）i +43 （C ）i -4

3 （D ）i --43 ９．满足不等式

2≤+-i

z i

z 的所有点z 构成的集合是（）（A ）有界区域（B ）无界区域（C ）有界闭区域（D ）无界闭区域 10．方程232=

-+i z 所代表的曲线是（）

（A ）中心为i 32-，半径为2的圆周（B ）中心为i 32+-，半径为２的圆周（C ）中心为i 32+-，半径为2的圆周（D ）中心为i 32-，半径为２的圆周 11．下列方程所表示的曲线中，不是圆周的为（）

（A ）

=+-z z （B ）433=--+z z （C ）

)1(11<=--a az

z （D ）)0(0>=-+++c c a a z a z a z z

12．设,5,32,1)(21i z i z z z f -=+=-=，则=-)(21z z f （）（A ）i 44--（B ）i 44+（C ）i 44-（D ）i 44+-

13．0

Im()Im(lim

0z z z z x x --→（）

（A ）等于i （B ）等于i -（C ）等于0（D ）不存在

14．函数),(),()(y x iv y x u z f +=在点000iy x z +=处连续的充要条件是（）（A ）),(y x u 在),(00y x 处连续（B ）),(y x v 在),(00y x 处连续

（C ）),(y x u 和),(y x v 在),(00y x 处连续（D ）),(),(y x v y x u +在),(00y x 处连续

15．设C z ∈且1=z ，则函数z

z z z f 1)(2+-=的最小值为（）

（A ）3- （B ）2- （C ）1- （D ）1

二、填空题

1．设)

2)(3()

3)(2)(1(i i i i i z ++--+=

，则=z

2．设)2)(32(i i z +--=，则=z arg 3．设4

3)arg(,5π

i z z ，则=z 4．复数2

)

3sin 3(cos )5sin 5(cos θθθθi i -+的指数表示式为 5．以方程i z 1576

-=的根的对应点为顶点的多边形的面积为６．不等式522<++-z z 所表示的区域是曲线的内部

７．方程

1)1(212=----z

i i

z 所表示曲线的直角坐标方程为

８．方程i z i z +-=-+221所表示的曲线是连续点和的线段的垂直平分线９．对于映射z

i =

ω，圆周1)1(2

2=-+y x 的像曲线为 10．=+++→)21(lim 4

1z z i

三、若复数z 满足03)21()21(=+++-+z i z i z z ，试求2+z 的取值范围．四、设0≥a ，在复数集C 中解方程a z z =+22. 五、设复数i z ±≠，试证

1z z

+是实数的充要条件为1=z 或0)(=z IM . 六、对于映射)1

(21z

z +=

ω，求出圆周4=z 的像. 七、试证１.

)0(022

≠≥z z z 的充要条件为2121z z z z +=+；２.

)),,2,1,,,0(02

n j k j k z z z j =≠≠≥的充要条件为 n n z z z z z z +++=+++ 2121.

八、若0)(lim 0

≠=→A z f x x ，则存在0>δ，使得当δ<-<00z z 时有A z f 2

1)(>

. 九、设iy x z +=，试证

y x z y x +≤≤+2

十、设iy x z +=，试讨论下列函数的连续性：

1.??

???=≠+=0,00,2)(22

z z y

x xy

z f

2.??

???=≠+=0,00

,)(223z z y x y x z f .

第二章解析函数

一、选择题：

1．函数2

3)(z z f =在点0=z 处是( )

（A ）解析的（B ）可导的

（C ）不可导的（D ）既不解析也不可导 2．函数)(z f 在点z 可导是)(z f 在点z 解析的( )

（A ）充分不必要条件（B ）必要不充分条件

（C ）充分必要条件（D ）既非充分条件也非必要条件 3．下列命题中，正确的是( )

（A ）设y x ,为实数，则1)cos(≤+iy x

（B ）若0z 是函数)(z f 的奇点，则)(z f 在点0z 不可导

（C ）若v u ,在区域D 内满足柯西-黎曼方程，则iv u z f +=)(在D 内解析（D ）若)(z f 在区域D 内解析，则)(z if 在D 内也解析 4．下列函数中，为解析函数的是( )

（A ）xyi y x 22

--（B ）xyi x +2

（C ）)2()1(22

2x x y i y x +-+-（D ）3

3iy x +

5．函数)Im()(2

z z z f =在

=z 处的导数( )

（A ）等于0 （B ）等于1 （C ）等于1-（D ）不存在

6．若函数)(2)(2

222x axy y i y xy x z f -++-+=在复平面内处处解析，那么实常数=a ( )

（A ）0（B ）1（C ）2（D ）2-

7．如果)(z f '在单位圆1

（A ）0（B ）1（C ）1-（D ）任意常数

8．设函数)(z f 在区域D 内有定义，则下列命题中，正确的是

（A ）若)(z f 在D 内是一常数，则)(z f 在D 内是一常数（B ）若))(Re(z f 在D 内是一常数，则)(z f 在D 内是一常数（C ）若)(z f 与)(z f 在D 内解析，则)(z f 在D 内是一常数（D ）若)(arg z f 在D 内是一常数，则)(z f 在D 内是一常数 9．设2

2)(iy x z f +=，则=+')1(i f ( ) （A ）2（B ）i 2（C ）i +1（D ）i 22+ 10．i i 的主值为( )

（A ）0（B ）1（C ）2

πe （D ）2

π-

11．z e 在复平面上( )

（A ）无可导点（B ）有可导点，但不解析

（C ）有可导点，且在可导点集上解析（D ）处处解析 12．设z z f sin )(=，则下列命题中，不正确的是( ) （A ）)(z f 在复平面上处处解析（B ）)(z f 以π2为周期

（C ）2

)(iz

iz e e z f --=（D ）)(z f 是无界的

13．设α为任意实数，则α1( ) （A ）无定义（B ）等于1

（C ）是复数，其实部等于1（D ）是复数，其模等于1 14．下列数中，为实数的是( )

（A ）3

)1(i -（B ）i cos （C ）i ln （D ）i e 2

3π

15．设α是复数，则( )

（A ）αz 在复平面上处处解析（B ）αz 的模为α

（C ）αz 一般是多值函数（D ）αz 的辐角为z 的辐角的α倍二、填空题

1．设i f f +='=1)0(,1)0(，则=-→z

z f z 1

)(lim

2．设iv u z f +=)(在区域D 内是解析的，如果v u +是实常数，那么)(z f 在D 内是 3．导函数x

v i x u z f ??+??=

')(在区域D 内解析的充要条件为 4．设2

233)(y ix y x z f ++=，则=+-

')2

23(i f

5．若解析函数iv u z f +=)(的实部2

2y x u -=，那么=)(z f 6．函数)Re()Im()(z z z z f -=仅在点=z 处可导 7．设z i z z f )1(5

1)(5

+-=

，则方程0)(='z f 的所有根为 8．复数i i 的模为 9．=-)}43Im{ln(i

10．方程01=--z e 的全部解为三、设

),(),()(y x iv y x u z f +=为iy x z +=的解析函数，若记

)2,2()2,2(

),(i

z z z z iv i z z z z u z z w -++-+=，则0=??z w

．

四、试证下列函数在z 平面上解析，并分别求出其导数 1．;sinh sin cosh cos )(y x i y x z f -=

2．);sin cos ()sin cos ()(y ix y y ie y y y x e z f x

++-=

五、设023

=+-z

e zw w ，求2

2,dz w

d dz dw . 六、设??

???=≠++=0,00

,)()(422z z y x iy x xy z f 试证)(z f 在原点满足柯西-黎曼方程，但却不可导.

七、已知2

y x v u -=-，试确定解析函数iv u z f +=)(. 八、设s 和n 为平面向量，将s

按逆时针方向旋转

即得n .如果iv u z f +=)(为解析函数，

则有

s v n u n v s u ??-=????=??,（s ??与n

分别表示沿s ,n 的方向导数）. 九、若函数)(z f 在上半平面内解析，试证函数)(z f 在下半平面内解析. 十、解方程i z i z 4cos sin =+.

第三章复变函数的积分

一、选择题：

1．设c 为从原点沿x y =2

至i +1的弧段，则=+?

dz iy x )(2

( )

（A ）

i 6561- （B ）i 6561+- （C ）i 6561-- （D ）i 6

561+ 2．设c 为不经过点1与1-的正向简单闭曲线，则

dz z z z

?+-2

)1)(1(为( ) （A ）

2i π（B ）2

π-（C ）0 （D ）(A)(B)(C)都有可能

3．设1:1=z c 为负向，3:2=z c 正向，则

=?+=dz z z

c c c 2

12sin ( ) （A ） i π2- （B ）0 （C ）i π2 （D ）i π4 4．设c 为正向圆周2=z ，则=-?

dz z z

)

1(cos ( ) （A ）1sin -（B ）1sin （C ）1sin 2i π-（D ）1sin 2i π

5．设c 为正向圆周21

z ，则=--?dz z z z c

1(2

cos

( ) （A ）)1sin 1cos 3(2-i π（B ）0（C ）1cos 6i π（D ）1sin 2i π-

6．设ξξξξ

d z

e z

f ?=-=4)(，其中4≠z ，则='）i f π(( )

（A ）i π2-（B ）1-（C ）i π2（D ）1

7．设)(z f 在单连通域B 内处处解析且不为零，c 为B 内任何一条简单闭曲线，则积分

dz z f z f z f z f c

+'+'')

()

()(2)( ( )

（A ）于i π2（B ）等于i π2-（C ）等于0（D ）不能确定 8．设c 是从0到i 2

1π

的直线段，则积分=?c z dz ze （）

（A ）21e π-

(B) 21e π--(C)i e 21π+

(D) i e 2

1π- 9．设c 为正向圆周022

2=-+x y x ，则

=-?

dz z z c

)

4sin(

( )

（A ）

i π22（B ）i π2（C ）0（D ）i π2

2- 10．设c 为正向圆周i a i z ≠=-,1，则

=-?c

dz i a z

z 2

)(cos ( ) （A ）ie π2（B ）

π2（C ）0（D ）i i cos 11．设)(z f 在区域D 内解析，c 为D 内任一条正向简单闭曲线，它的内部全属于D ．如果

)(z f 在c 上的值为2，那么对c 内任一点0z ,)(0z f ( )

（A ）等于0 （B ）等于1 （C ）等于2 （D ）不能确定 12．下列命题中，不正确的是( ) （A ）积分

=--r

a z dz a

z 1

的值与半径)0(>r r 的大小无关（B ）

2)(22

≤+?c

dz iy x

,其中c 为连接i -到i 的线段

（C ）若在区域D 内有)()(z g z f ='，则在D 内)(z g '存在且解析

（D ）若)(z f 在10<

)(z f 在0=z 处解析

13．设c 为任意实常数，那么由调和函数2

y x u -=确定的解析函数iv u z f +=)(是 ( )

(A)c iz +2（B ）ic iz +2 （C ）c z +2（D ）ic z +2 14．下列命题中，正确的是( )

（A ）设21,v v 在区域D 内均为u 的共轭调和函数，则必有21v v = （B ）解析函数的实部是虚部的共轭调和函数

（C ）若iv u z f +=)(在区域D 内解析，则

??为D 内的调和函数（D ）以调和函数为实部与虚部的函数是解析函数

15．设),(y x v 在区域D 内为),(y x u 的共轭调和函数，则下列函数中为D 内解析函数的是( )

（A ）),(),(y x iu y x v +（B ）),(),(y x iu y x v -

（C ）),(),(y x iv y x u -（D ）

v i x u ??-?? 二、填空题

1．设c 为沿原点0=z 到点i z +=1的直线段，则=?

dz z 2

2．设c 为正向圆周14=-z ，则=-+-?c dz z z z 2

2)4(2

3．设?

=-=2)

2sin()(ξξξξπ

d z

z f ,其中2≠z ，则=')3(f 4．设c 为正向圆周3=z ，则

5．设c 为负向圆周4=z ，则=-?c z

dz i z e 5

)

(π =+?

dz z

6．解析函数在圆心处的值等于它在圆周上的

7．设)(z f 在单连通域B 内连续，且对于B 内任何一条简单闭曲线c 都有0)(=?c

dz z f ，那

么)(z f 在B 内

8．调和函数xy y x =),(?的共轭调和函数为

9．若函数2

3),(axy x y x u +=为某一解析函数的虚部，则常数=a

10．设),(y x u 的共轭调和函数为),(y x v ，那么),(y x v 的共轭调和函数为三、计算积分 1.

?=+-R

z dz z z z

)2)(1(62

,其中1,0≠>R R 且2≠R ; 2.

?=++22

2z z z dz

．四、设)(z f 在单连通域B 内解析，且满足)(1)(1B x z f ∈<-.试证

１．在B 内处处有0)(≠z f ；２．对于B 内任意一条闭曲线c ，都有

()

(=''?

dz z f z f 五、设)(z f 在圆域R a z <-内解析，若)0()()(max R r r M z f r

a z <<==-，

则),2,1()

(!)()

( =≤

n r

r M n a f

n . 六、求积分?=1

z z

dz z e ，从而证明πθθπθ=?0cos )cos(sin d e . 七、设)(z f 在复平面上处处解析且有界，对于任意给定的两个复数b a ,，试求极限

?=+∞→--R z R dz b z a z z f ))(()

(lim

并由此推证)()(b f a f =（刘维尔Liouville 定理）.

八、设)(z f 在)1(>

?+?+

?+?.

十、若)(2

y x u u +=，试求解析函数iv u z f +=)(.

第四章级数

一、选择题：

1．设),2,1(4

)1( =++-=

n n ni

a n n ，则n n a ∞→lim ( ) （A ）等于0 （B ）等于1 （C ）等于i （D ）不存在 2．下列级数中，条件收敛的级数为( )

（A ）∑∞

=+1

)231(n n

i （B ）∑∞

=+1!)43(n n

n i （C ） ∑∞

=1n n n i （D ）∑∞

=++-1

1)1(n n n i

3．下列级数中，绝对收敛的级数为( )

（B ） ∑∞

=+1)1(1n n i

（B ）∑∞

=+-1]2)1([n n n i n (C)∑∞

=2ln n n n i （D ）∑∞

=-1

2)1(n n

n i 4．若幂级数

∑∞

n n n

z c

在i z 21+=处收敛，那么该级数在2=z 处的敛散性为( )

（A ）绝对收敛（B ）条件收敛（C ）发散（D ）不能确定 5．设幂级数

∑∑∞

=-∞=0

,n n n n n

n z

nc z c 和

∑∞

=++0

1n n n z n c 的收敛半径分别为321,,R R R ，则321,,R R R 之间的关系是( )

（A ）321R R R << （B ）321R R R >>

（C ）321R R R <=（D ）321R R R == 6．设10<

∑∞

n n n z q 的收敛半径=R ( )

（A ）q （B ）

（C ）0 （D ）∞+ 7．幂级数

∑

∞

(2sin

n n z n n π

的收敛半径=R ( ) （A ） 1（B ）2（C ）2（D ）∞+

8．幂级数∑∞

=++-01

)1(n n n z n 在1

(D) z

-11ln 9．设函数z e z cos 的泰勒展开式为∑∞=0n n

n z c ，那么幂级数∑∞=0

n n n z c 的收敛半径=R ( )

（A ）∞+（B ）1（C ）

（D ）π 10．级数

+++++2

111z z z z

的收敛域是( ) （A ）1

11．函数

z 在1-=z 处的泰勒展开式为( )

（A ）

)11()

1()

1(1

<++-∑∞

=-z z n n n n

（B ）)11()1()1(1

1<++-∑∞

=--z z n n n n

（C ）)11()

1(1

<++-

∑∞

=-z z n n n （D ）)11()1(1

<++∑∞

=-z z n n n

12．函数z sin ，在2

z 处的泰勒展开式为( )

（A ）)2

()2()!12()1(012+∞<-

-+-∑∞

=+π

z z n n n n

（B ）)2

()2()!

2()1(02+∞<-

--∑∞

=π

πz z n n n n

（C ）)2

()2()!

12()1(0121+∞<-

-+-∑∞

=++π

πz z n n n n

（D ）)2

()2()!

2()1(021+∞<-

--∑∞

=+π

πz z n n n n

13．设)(z f 在圆环域201:R z z R H <-<内的洛朗展开式为

∑∞

-∞

=-n n n

z z c

)(0，c 为H 内

绕0z 的任一条正向简单闭曲线，那么

=-?c dz z z z f 20)()

(( )

(A)12-ic π （B ）12ic π （C ）22ic π（D ）)(20z f i 'π

14．若?

??--==-+= ,2,1,4,2,1,0,)1(3n n c n

n n n ，则双边幂级数∑∞-∞=n n

n z c 的收敛域为( ) （A ）

41<

+∞<

15．设函数)

4)(1(1

)(++=

z z z z f 在以原点为中心的圆环内的洛朗展开式有m 个，那么=

m ( )

（A ）1（B ）2 （C ）3（D ）4 二、填空题 1．若幂级数

∑∞

=+0)(n n n

i z c

在i z =处发散，那么该级数在2=z 处的收敛性为．

2．设幂级数

∑∞

n n

z c

与∑∞

)][Re(n n n z c 的收敛半径分别为1R 和2R ，那么1R 与2R 之间的关

系是． 3．幂级数

∑∞

=+0

12)

2(n n n

z i 的收敛半径=R

4．设)(z f 在区域D 内解析，0z 为内的一点，d 为0z 到D 的边界上各点的最短距离，那么当

d z z <-0时，∑∞

=-=0

0)()(n n n z z c z f 成立，其中=n c ．

5．函数z arctan 在0=z 处的泰勒展开式为． 6．设幂级数

∑∞

n n

z c

的收敛半径为R ，那么幂级数∑∞

=-0

)12(n n n n z c 的收敛半径为．

7．双边幂级数∑∑∞

=∞

=--+--11

)21()1()2(1)1(n n n n

z z 的收敛域为． 8．函数z

e e 1

+在+∞<

9．设函数z cot 在原点的去心邻域R z <<0内的洛朗展开式为

∑∞

-∞

=n n n

z c

，那么该洛朗级数

收敛域的外半径=R ． 10．函数

)

i z z -在+∞<-

三、若函数2

z z --在0=z 处的泰勒展开式为∑∞

n n n z a ，则称{}n a 为菲波那契(Fibonacci)数列，试确定n a 满足的递推关系式，并明确给出n a 的表达式．四、试证明 1．);(11+∞<≤-≤-z e

z e

e z

2．);1()1(1)3(<-≤-≤-z z

e e z e z

五、设函数)(z f 在圆域R z <内解析，∑

k k

k n z k f S 0

)(!

)0(试证 1．)()

(21

)(1

11R r z d z z f i

z S n r

n n n <<--=

+=++?ξξξξξπξ

2．)()()

(2)((1

R r z d z f i

z z S z f r

n n n <<-=-?=++ξξξξπξ）

。

六、设幂级数∑∞

n n

z n 的和函数，并计算∑∞

=12

2n n n 之值.

七、设)()(),()(20

R z z b z g R z z a

z f n n n n n

<=<=

∑∑∞

=∞

=，则对任意的)0(1R r r <<，在

2rR z <内?

∑=∞

n n n n d z g f i

z b a ξξ

ξξξπ)()(21

。

八、设在R z <内解析的函数)(z f 有泰勒展开式 +++++=n

n z a z a z a a z f 2210)(

试证当R r <≤0时

∑?

∞

==0

)(21

n n n i r a d re f π

θπ

九、将函数

)

1()

2ln(--z z z 在110<-

十、试证在+∞<

∑∞

=+++=1

01)1

(n n n

n z

z z z c c e

其中),2,1,0(cos 10

cos 2 ==

n d n e c n π

θθ

θπ.

第五章留数

一、选择题：

1．函数

2cot -πz z

在2=-i z 内的奇点个数为 ( )

（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4

2．设函数)(z f 与)(z g 分别以a z =为本性奇点与m 级极点，则a z =为函数)()(z g z f 的( )

（A ）可去奇点（B ）本性奇点（C ）m 级极点（D ）小于m 级的极点

3．设0=z 为函数z

z e x

sin 142

-的m 级极点，那么=m ( )

（A ）5 （B ）4 (C)3 （D ）2 4．1=z 是函数1

sin

)1(--z z 的( ) (A)可去奇点（B ）一级极点

复变函数试题及答案

1、复数i 212--的指数形式是 2、函数w = z 1将Z S 上的曲线()1122 =+-y x 变成W S (iv u w +=)上的曲线是 3.若01=+z e ,则z ＝ 4、()i i +1= 5、积分()?+--+i dz z 22 22= 6、积分 ?==1sin 21z dz z z i π 7、幂级数()∑∞ =+0 1n n n z i 的收敛半径R= 8、0=z 是函数 z e z 1 11--的奇点 9、=??? ? ??-=1Re 21z e s z z 10、将点∞,i,0分别变成0,i,∞的分式线性变换=w 二、单选题（每小题2分） 1、设α为任意实数，则α1=（） A 无意义 B 等于1 C 是复数其实部等于1 D 是复数其模等于1 2、下列命题正确的是（） A i i 2< B 零的辐角是零 C 仅存在一个数z,使得 z z -=1 D iz z i =1 3、下列命题正确的是（） A 函数()z z f =在z 平面上处处连续 B 如果()a f '存在,那么()z f '在a 解析 C 每一个幂级数在它的收敛圆周上处处收敛 D 如果v 是u 的共轭调和函数,则u 也是v 的共轭调和函数

4、根式31-的值之一是（） A i 2321- B 2 23i - C 223i +- D i 2321+- 5、下列函数在0=z 的去心邻域内可展成洛朗级数的是（） A z 1sin 1 B z 1cos C z ctg e 1 D Lnz 6、下列积分之值不等于0的是( ) A ? =-12 3z z dz B ? =-1 2 1z z dz C ?=++1242z z z dz D ?=1 cos z z dz 7、函数()z z f arctan =在0=z 处的泰勒展式为（） A ()∑∞ =+-02121n n n n z （z <1） B ()∑∞ =+-0 1221n n n n z （z <1） C ()∑∞ =++-012121n n n n z （z <1） D ()∑∞=-0 221n n n n z （z <1） 8、幂级数n n n z 20 1)1(∑∞ =+-在1w 的分式线性变换是（） A )1(1>--=a z a a z e w i β B )1(1<--=a z a a z e w i β C )1(>--=a a z a z e w i β D )1(<--=a a z a z e w i β 三、判断题（每小题2分）

复变函数试题与答案

第一章复数与复变函数一、选择题 1．当i i z -+= 11时，5075100z z z ++的值等于（）（A ）i （B ）i - （C ）1 （D ）1- 2．设复数z 满足3 )2(π = +z arc ，6 5)2(π = -z arc ，那么=z （）（A ）i 31+- （B ）i +-3 （C ）i 2321+- （D ）i 2 123+- 3．复数)2 ( tan πθπ θ<<-=i z 的三角表示式是（）（A ）)]2 sin()2 [cos(sec θπ θπθ+++i （B ）)]2 3sin()23[cos(sec θπ θπθ+++i （C ）)]23sin()23[cos(sec θπθπθ+++-i （D ）)]2 sin()2[cos(sec θπ θπθ+++-i 4．若z 为非零复数，则2 2z z -与z z 2的关系是（）（A ）z z z z 222≥- （B ）z z z z 22 2=- （C ）z z z z 22 2≤- （D ）不能比较大小５．设y x ,为实数，yi x z yi x z +-=++=11,1121且有1221=+z z ，则动点),(y x 的轨迹是（）（A ）圆（B ）椭圆（C ）双曲线（D ）抛物线６．一个向量顺时针旋转 3 π ，向右平移３个单位，再向下平移１个单位后对应的复数为 i 31-，则原向量对应的复数是（）（A ）2 （B ）i 31+ （C ）i -3 （D ）i +3

７．使得2 2 z z =成立的复数z 是（）（A ）不存在的（B ）唯一的（C ）纯虚数（D ）实数８．设z 为复数，则方程i z z +=+2的解是（）（A ）i +- 43 （B ）i +43 （C ）i -4 3 （D ）i --43 ９．满足不等式 2≤+-i z i z 的所有点z 构成的集合是（）（A ）有界区域（B ）无界区域（C ）有界闭区域（D ）无界闭区域 10．方程232= -+i z 所代表的曲线是（）（A ）中心为i 32-，半径为2的圆周（B ）中心为i 32+-，半径为２的圆周（C ）中心为i 32+-，半径为2的圆周（D ）中心为i 32-，半径为２的圆周 11．下列方程所表示的曲线中，不是圆周的为（）（A ） 22 1 =+-z z （B ）433=--+z z （C ） )1(11<=--a az a z （D ）)0(0>=-+++c c a a z a z a z z 12．设,5,32,1)(21i z i z z z f -=+=-=，则=-)(21z z f （）（A ）i 44--（B ）i 44+（C ）i 44-（D ）i 44+- 13．0 0) Im()Im(lim 0z z z z x x --→（）（A ）等于i （B ）等于i -（C ）等于0（D ）不存在 14．函数),(),()(y x iv y x u z f +=在点000iy x z +=处连续的充要条件是（）（A ）),(y x u 在),(00y x 处连续（B ）),(y x v 在),(00y x 处连续（C ）),(y x u 和),(y x v 在),(00y x 处连续（D ）),(),(y x v y x u +在),(00y x 处连续

复变函数_期末试卷及答案

一、单项选择题(本大题共15小题，每小题2分，共30分) 在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 1．下列复数中，位于第三象限的复数是（） A. 12i + B. 12i -- C. 12i - D. 12i -+ 2．下列等式中，不成立的等式是（） 3．下列命题中，正确．．的是（） A. 1z >表示圆的内部 B. Re()0z >表示上半平面 C. 0arg 4 z π << 表示角形区域 D. Im()0z <表示上半平面 4．关于0 lim z z z z ω→=+下列命题正确的是（） A.0ω= B. ω不存在 C.1ω=- D. 1ω= 5．下列函数中，在整个复平面上解析的函数是（） 6．在复平面上，下列命题中，正确．．的是（） A. cos z 是有界函数 B. 2 2Lnz Lnz = 7 ．在下列复数中，使得z e i =成立的是（） 8．已知3 1z i =+，则下列正确的是（） 9．积分 ||342z dz z =-??的值为（） A. 8i π B.2 C. 2i π D. 4i π 10．设C 为正向圆周||4z =, 则10()z C e dz z i π-??等于（） A. 1 10! B. 210! i π C. 29! i π D. 29! i π- 11．以下关于级数的命题不正确的是（） A.级数0327n n i ∞ =+?? ?? ?∑是绝对收敛的 B.级数 212 (1)n n i n n ∞ =??+ ?-??∑是收敛的 C. 在收敛圆内，幂级数绝对收敛 D.在收敛圆周上，条件收敛 12．0=z 是函数(1cos ) z e z z -的（） A. 可去奇点 B.一级极点 C.二级极点 D. 三级极点

复变函数经典习题及答案

练习题一、选择、填空题 1、下列正确的是（ A ）； A 1212()Arg z z Argz Argz =+； B 1212()arg z z argz argz =+； C 1212()ln z z lnz lnz =+； D 10z Ln Ln Lnz Lnz z ==-=. 2、下列说法不正确的是（ B ）； A 0()w f z z =函数在处连续是0()f z z 在可导的必要非充分条件； B lim 0n n z →∞=是级数1 n n z ∞=∑收敛的充分非必要条件； C 函数()f z 在点0z 处解析是函数()f z 在点0z 处可导的充分非必要条件； D 函数()f z 在区域D 内处处解析是函数()f z 在D 内可导的充要条件. 3、(34)Ln i -+=（ 45[(21)arctan ],0,1,2,3ln i k k π++-=±± ），主值为（ 4 5(arctan )3 ln i π+- ）. 4、2|2|1 cos z i z dz z -=? =（ 0 ）. 5、若幂级数0n n n c z ∞=∑ 在1(1)2z = +处收敛，那么该级数在45 z i =处的敛散性为（绝对收敛）. 6、 311z -的幂级数展开式为（ 30n n z ∞=∑ ），收敛域为（ 1z < ）； 7、 sin z z -在0z =处是（ 3 ）阶的零点； 8、函数221 (1)z z e -在0z =处是（ 4 ）阶的极点；二、计算下列各值 1．3i e π+； 2．tan()4i π -； 3．(23)Ln i -+； 4 ． 5．1i 。解：（略）见教科书中45页例2.11 - 2.13

《复变函数》-期末试卷及答案(A卷)

《复变函数》试卷第1页（共4页）《复变函数》试卷第2页（共4页） XXXX 学院2016—2017学年度第一学期期末考试复变函数试卷一、单项选择题（本大题共10小题，每题3分，共30分，请从每题备选项中选出唯一符合题干要求的选项，并将其前面的字母填在题中括号内。） 1. =)i Re(z ( ) A.)i Re(z - B.)i Im(z C.z Im - D.z Im 2. 函数2 ) (z z f =在复平面上 ( ) A.处处不连续 B. 处处连续，处处不可导 C.处处连续，仅在点0= z 处可导 D.处处连续，仅在点0=z 处解析 3.设复数a 与b 有且仅有一个模为1，则b a b a --1的值 ( ) A.大于1 B.等于1 C.小于1 D.无穷大 4. 设x y z f y x z i )(i +-=+=，，则=')(z f ( ) A.i 1+ B.i C.1- D.0 5.设C 是正向圆周 1=z ，i 2sin π=?dz z z C n ，则整数n 等于 ( ) A.1- B.0 C.1 D.2 6.0=z 是2 1 )( z e z f z -=的 ( ) A.1阶极点 B.2阶极点 C. 可去奇点 D.本性奇点 7.幂级数!2)1(0 n z n n n n ∑∞ =-的和函数是 ( ) A.z e - B.2 z e C.2 z e - D.z sin 8.设C 是正向圆周 2=z ，则 =?C z dz 2 ( ) A.0 B.i 2π- C.i π D.i 2π 9.设函数)(z f 在)0( 00+∞≤<<-

复变函数试题及标准答案样本

二．判断题（每题3分，共30分） 1．n z z (在0=z解析。【】 f= z )

2．)(z f 在0z 点可微，则)(z f 在0z 解析。【】 3．z e z f =)(是周期函数。【】 4．每一种幂函数在它收敛圆周上处处收敛。【】 5．设级数∑∞=0n n c 收敛，而||0∑∞=n n c 发散，则∑∞ =0n n n z c 收敛半径为1。【】 6． 1tan()z 能在圆环域)0(||0+∞<<<

复变函数与积分变换(A)参照答案与评分原则 (.7.5) 一.填空(各3分) 1.3ln 2i k e +-π； 2. 三级极点； 3. 23z ； 4. 0 ； 5. 0 ； 6. e 1 ；7. 322)1(26+-s s ；8. 0； 9. 0 ；10. )]2()2()2(1)2(1[ 21++-+++-ωπδωπδωωj j 。二.判断1.错；2.错；3.对的； 4. 错；5.对的；6.错； 7.错； 8. 错；9. 对的；10. 错。三(8分) 解：1)在2||1<

复变函数试题与答案

复变函数试题与答案 Document serial number【UU89WT-UU98YT-UU8CB-UUUT-

５．设y x ,为实数，yi x z yi x z +-=++=11,1121且有1221=+z z ，则动点),(y x 的轨迹是（）（A ）圆（B ）椭圆（C ）双曲线（D ）抛物线６．一个向量顺时针旋转 3 π ，向右平移３个单位，再向下平移１个单位后对应的复数为i 31-，则原向量对应的复数是（）（A ）2 （B ）i 31+ （C ）i -3 （D ）i +3 ７．使得2 2z z =成立的复数z 是（）（A ）不存在的（B ）唯一的（C ）纯虚数（D ）实数８．设z 为复数，则方程i z z +=+2的解是（）（A ）i +- 43 （B ）i +43 （C ）i -4 3 （D ）i -- 4 3 ９．满足不等式 2≤+-i z i z 的所有点z 构成的集合是（）（A ）有界区域（B ）无界区域（C ）有界闭区域（D ）无界闭区域 10．方程232=-+i z 所代表的曲线是（）

复变函数论第三版课后习题答案解析

1．设 z 1 3i ，求 z 及 Arcz 。解：由于 z 1， Arcz 2k , k 0, 1, 。 3 (z 1 z 2)( z 1 z 2) z 1z 1 z 2z 2 (z 1z 2 z 2z 1) 2 z 1z 2 z 1 z 2 3 第一章习题解答 (一) 2．设 z 1 i , z 3 1 ，试用指数形式表示 1 2 2 z 1z 2 及 z 1 。 z 2 4 i 6i 1 i i 解：由于 z 1 e 3 4 , z 2 3 i 2e 1 2 2 i i ( )i i 所以 z1z2 e 4i 2e 6i 2e ( 4 6)i 2e 12i i z 1 e 4 1 e (4 6)i i z 2 2e 6 2 5i 1 1 e 12 。 2 3．解二项方程 z 4 a 4 0,(a 0) 。 2k i 解： z 4 a 4 (a 4e i )4 ae 4 ,k 0,1,2,3 。 4．证明 z 1 2 2 z 1 z 2 z 1 z 2 证明：由于 2 2 z 1 z 2 z 1 2 2 z 2 2 z 1 z 2 2( z 1 所以 z 1 z 2 其几何意义是： z 2 ) 2 2 ，并说明其几何意义。 2 2 Re(z 1 z 2) z 2 2Re(z 1 z 2) z 1 z 2 2( z 1 z 2 ) 平行四边形对角线长平方和等于于两边长的和的平方。 5．设 z 1， z 2，z 3三点适合条件： z1 z2 z3 0 z 1 z 2 z3 1 。证明 z 1，z 2， z 3是内接于单位圆 z 1 的一个正三角形的顶点。证由于 z 1 z 2 z3 1 ，知 z 1z 2z 3 的三个顶点均在单位圆上。因为所以， z 1z 2 z 1z 2 1 ，所以 z 1 z 2

复变函数测试题及答案

第一章复数与复变函数一、选择题 1．当i i z -+= 11时，5075100z z z ++的值等于（）（A ）z z z z 222≥- （B ）z z z z 222=- （C ）z z z z 222≤- （D ）不能比较大小５．设y x ,为实数，yi x z yi x z +-=++=11,1121且有1221=+z z ，则动点),(y x 的轨迹是（）

（A ）圆（B ）椭圆（C ）双曲线（D ）抛物线６．一个向量顺时针旋转 3 π ，向右平移３个单位，再向下平移１个单位后对应的复数为i 31-，则原向量对应的复数是（）（A ）2 （B ）i 31+ （C ）i -3 （D ）i +3 i （A ）中心为i 32-，半径为2的圆周（B ）中心为i 32+-，半径为２的圆周（C ）中心为i 32+-，半径为2的圆周（D ）中心为i 32-，半径为２的圆周 11．下列方程所表示的曲线中，不是圆周的为（）（A ） 22 1 =+-z z （B ）433=--+z z

（C ） )1(11<=--a az a z （D ）)0(0>=-+++c c a a z a z a z z 12．设,5,32,1)(21i z i z z z f -=+=-=，则=-)(21z z f （）（A ）i 44-- （B ）i 44+ （C ）i 44- （D ）i 44+- 0) Im()Im(z z -） 1 1．设) 2)(3() 3)(2)(1(i i i i i z ++--+= ，则=z 2．设)2)(32(i i z +--=，则=z arg 3．设4 3)arg(,5π = -=i z z ，则=z

(完整)《复变函数与积分变换》期末考试试卷及答案,推荐文档

2 3 ∞ ?复变函数与积分变换?期末试题（A） 1．1 -i 一．填空题（每小题3 分，共计15 分）的幅角是（）；2. Ln(-1 +i) 的主值是（1 ）；3.f (z) =1 +z 2 ， z - sin z f (5)(0) =（）； f (z) = 1 ， 4．z = 0 是 z 4 的（）极点；5．z Re s[f(z),∞]=（）；二．选择题（每小题3 分，共计15 分） 1．解析函数f (z) =u(x, y) +iv(x, y) 的导函数为（）；（A）f '(z) =u x +iu y ；（B）f '(z) =u x-iu y；（C） f '(z) =u x +iv y ；（D） f '(z) =u y +iv x. 2．C 是正向圆周z = 3 ，如果函数f (z) =（），则?C f (z)d z = 0 ． 3 ；（B）3(z -1) ；（C） 3(z -1) ；（D） 3 . （A） z - 2 z - 2 (z - 2)2 (z - 2)2 3.如果级数∑c n z n 在z = 2 点收敛，则级数在 n=1 （A）z =-2 点条件收敛；（B）z = 2i 点绝对收敛；（C）z = 1 +i 点绝对收敛；（D）z = 1 + 2i 点一定发散．４．下列结论正确的是( ) （A）如果函数f (z) 在z0点可导，则f (z) 在z0点一定解析；得分

e (B) 如果 f (z ) 在 C 所围成的区域内解析，则 ? C f (z )dz = 0 （C ）如果 ? C f (z )dz = 0 ，则函数 f (z ) 在 C 所围成的区域内一定解析；（D ）函数 f (z ) = u (x , y ) + iv (x , y ) 在区域内解析的充分必要条件是 u (x , y ) 、v (x , y ) 在该区域内均为调和函数． 5．下列结论不正确的是（）． (A) ∞为sin 1 的可去奇点 z (B) ∞为sin z 的本性奇点 ∞为 1 的孤立奇点; ∞ 1 (C) sin 1 z (D) 为的孤立奇点. sin z 三．按要求完成下列各题（每小题 10 分，共计 40 分）（1）设 f (z ) = x 2 + axy + by 2 + i (cx 2 + dxy + y 2 ) 是解析函数，求 a , b , c , d . z （2）．计算 ? C z (z - 1)2 d z 其中 C 是正向圆周： z = 2 ；得分

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【最新整理，下载后即可编辑】【最新整理，下载后即可编辑】《复变函数论》试题库梅一A111 《复变函数》考试试题（一） 1、 =-?=-1||00)(z z n z z dz __________.（n 为自然数） 2.=+z z 2 2 cos sin _________. 3.函数z sin 的周期为___________. 4.设 11 )(2+= z z f ，则)(z f 的孤立奇点有__________. 5.幂级数0 n n nz ∞ =∑的收敛半径为__________. 6.若函数f(z)在整个平面上处处解析，则称它是__________. 7.若ξ=∞→n n z lim ，则=+++∞→n z z z n n (i) 21______________. 8.= )0,(Re n z z e s ________，其中 n 为自然数. 9. z z sin 的孤立奇点为________ . 10.若0z 是)(z f 的极点，则___ )(lim 0=→z f z z . 三.计算题（40分）： 1. 设)2)(1(1 )(--= z z z f ，求)(z f 在}1||0:{<<=z z D 内的罗朗展式. 2. .cos 1 1||?=z dz z 3. 设 ? -++=C d z z f λ λλλ1 73)(2，其中}3|:|{==z z C ，试求).1('i f + 4. 求复数 11 +-= z z w 的实部与虚部. 四. 证明题.(20分) 1. 函数)(z f 在区域D 内解析. 证明：如果|)(|z f 在D 内为常数，那么它在D 内为常数. 2. 试证 : ()f z =在割去线段0Re 1z ≤≤的z 平面内能分出两个单值解析分支, 并求出支割线0Re 1z ≤≤上岸取正值的那支在1z =-的值. 《复变函数》考试试题（二）二. 填空题. (20分) 1. 设i z -=，则____,arg __,||===z z z 2.设C iy x z y x i xy x z f ∈+=?+-++=),sin(1()2()(222，则=+→)(lim 1z f i z ________. 3. =-?=-1||0 0)(z z n z z dz _________.（n 为自然数）

第一章复变函数习题及解答

第一章复变函数习题及解答 1.1 写出下列复数的实部、虚部；模和辐角以及辐角的主值；并分别写成代数形式，三角形式和指数形式．(其中,,R αθ为实常数) （1）1-；（2） ππ2(cos isin )33-；（3）1cos isin αα-+；（4）1i e +；（5）i sin R e θ ；（6）i + 答案（1）实部－1；虚部 2；辐角为 4π 2π,0,1,2,3k k +=±±；主辐角为4π 3；原题即为代数形式；三角形式为 4π4π2(cos isin )33+；指数形式为4π i 32e ．（2）略为 5π i 3 5π5π 2[cos sin ], 233i e + （3）略为 i arctan[tan(/2)][2sin()]2c e αα （4）略为 i ;(cos1isin1)ee e + （5）略为：cos(sin )isin(sin )R R θθ+ （6）该复数取两个值略为 i i isin ),arctan(1isin ),πarctan(1θθ θθθθθθ+=+=+ 1.2 计算下列复数 1）() 10 3 i 1+-；2）()3 1i 1+-；答案 1）3512i 512+-；2） ()13π/42k π i 6 3 2e 0,1,2k +=； 1.3计算下列复数（1 （2 答案（1）（2）(/62/3) i n e ππ+ 1.4 已知x 的实部和虚部．

【解】令 i ,(,)p q p q R =+∈，即,p q 为实数域(Real).平方得到 2 2 12()2i x p q xy +=-+，根据复数相等，所以 22 1,(p q pq p x q x ?-=??=??=±==±+ 即实部为 ,x ± 虚部为说明已考虑根式函数是两个值，即为±值． 1.5 如果 ||1,z =试证明对于任何复常数,a b 有| |1 az b bz a +=+ 【证明】因为||1,11/z zz z z =∴=∴=，所以 1() ()1||||| |||||||1()az b az b az b z az b az b z bz a bz a z z bzz az b az b az +++++=====+++++ 1.6 如果复数b a i +是实系数方程 ()011 10=++++=--n n n n a z a z a z a z P 的根，则b a i -一定也是该方程的根．证因为0a ，1a ，… ，n a 均为实数，故00a a =，11a a =，… ，n n a a =．且()() k k z z =，故由共轭复数性质有：()()z P z P =．则由已知()0i ≡+b a P ．两端取共轭得 ()( ) 00i i =≡+=+b a P b a P 即()0i ≡-b a P ．故b a i -也是()0=z P 之根．注此题仅通过共轭的运算的简单性质及实数的共轭为其本身即得证．此结论说明实系数多项式的复零点是成对出现的．这一点在代数学中早已被大家认识．特别地，奇次实系数多项式至少有一个实零点． 1.7 证明： 2222 121212||||2(||||)z z z z z z ++-=+,并说明其几何意义． 1.8 若 (1)(1)n n i i +=-，试求n 的值.

复变函数测试试题库

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《复变函数论》试题库梅一A111 《复变函数》考试试题（一） 1、 =-?=-1||0 0)(z z n z z dz __________.（n 为自然数） 2. =+z z 22cos sin _________. 3.函数z sin 的周期为___________. 4.设 11 )(2+= z z f ，则)(z f 的孤立奇点有__________. 5.幂级数 n n nz ∞ =∑的收敛半径为__________. 6.若函数f(z)在整个平面上处处解析，则称它是__________. 7.若ξ =∞ →n n z lim ，则= +++∞→n z z z n n (i) 21______________. 8.= )0,(Re n z z e s ________，其中n 为自然数. 9. z z sin 的孤立奇点为________ . 10.若0z 是)(z f 的极点，则___ )(lim 0 =→z f z z . 三.计算题（40分）： 1. 设 )2)(1(1 )(--= z z z f ，求)(z f 在}1||0:{<<=z z D 内的罗朗展式. 2. .cos 1 1||?=z dz z 3. 设 ? -++=C d z z f λ λλλ1 73)(2，其中 }3|:|{==z z C ，试求).1('i f + 4. 求复数 11 +-= z z w 的实部与虚部. 四. 证明题.(20分) 1. 函数 )(z f 在区域D 内解析. 证明：如果|)(|z f 在D 内为常数，那么它在D 内

复变函数及积分变换试题及答案

第一套第一套一、选择题（每小题3分，共21分） 1. 若（），则复函数()(,)(,)f z u x y iv x y =+是区域D 内的连续函数。 A. (,)u x y 、(,)v x y 在区域D 内连续； B. (,)u x y 在区域D 内连续； C. (,)u x y 、(,)v x y 至少有一个在区域D 内连续； D. 以上都不对。 2. 解析函数()f z 的实部为sin x u e y =，根据柯西-黎曼方程求出其虚部为（）。 A.cos x e y C -+； B cos x e y C -+； C sin x e y C -+； D cos x e y C + 3. 2|2|1(2)z dz z -==-?（）。 A. i π2； B. 0； C. i π4； D. 以上都不对. 4. 函数()f z 以0z 为中心的洛朗展开系数公式为（）。 A. 1 01 ()2()n n f d c i z ξξ πξ+= -? B. 0()!n n f z c n = C. 2 01()2n k f d c i z ξξπξ= -? D. 210! ()2()n n k n f d c i z ξξ πξ+= -? 5. z=0是函数z z sin 2 的（）。 A.本性奇点 B.极点 C. 连续点 D.可去奇点 6. 将点∞，0，1分别映射成点0，1，∞的分式线性映射是（）。 A.1 z z w -= B. z 1z w -= C. z z 1w -= D. z 11 w -= 7. sin kt =（）L （），（()Re 0s >）。 A. 22k s k +； B.22k s s +； C. k s -1； D. k s 1 . 二、填空题（每小题3分，共18分） 1. 23 (1)i += [1] ； ---------------------------------------- 装 --------------------------------------订 ------------------------------------- 线 ----------------------------------------------------

复变函数论第三版课后习题答案解析

第一章习题解答（一） 1 ．设z ，求z 及Arcz 。解：由于3i z e π-== 所以1z =，2,0,1, 3 Arcz k k ππ=-+=±。 2 ．设121z z =，试用指数形式表示12z z 及12 z z 。解：由于6412,2i i z e z i e ππ -==== 所以()6 46 41212222i i i i z z e e e e π πππ π --=== 54()14612 26 11222i i i i z e e e z e πππππ +-===。 3．解二项方程44 0,(0)z a a +=>。 : 解：1 244 4 (),0,1,2,3k i i z a e ae k ππ π+====。 4．证明2 2 21212122()z z z z z z ++-=+，并说明其几何意义。证明：由于2 2 2 1212122Re()z z z z z z +=++ 22 2 12 12122Re()z z z z z z -=+- 所以2 2 21212 122()z z z z z z ++-=+ 其几何意义是：平行四边形对角线长平方和等于于两边长的和的平方。 5．设z 1，z 2，z 3三点适合条件：0321=++z z z ,1321===z z z 。证明z 1，z 2，z 3 是内接于单位圆 1 =z 的一个正三角形的顶点。证由于1 321 ===z z z ，知 321z z z ?的三个顶点均在单位圆上。因为 3 33 31z z z == ()[]()[]212322112121z z z z z z z z z z z z +++=+-+-= ] 2 1212z z z z ++= 所以， 12121-=+z z z z ，又 ) ())((1221221121212 21z z z z z z z z z z z z z z +-+=--=- ()322121=+-=z z z z

(完整版)复变函数试题库

《复变函数论》试题库梅一A111 《复变函数》考试试题（一） 1、 =-?=-1||0 0)(z z n z z dz __________.（n 为自然数） 2. =+z z 2 2cos sin _________. 3.函数z sin 的周期为___________. 4.设 11 )(2+= z z f ，则)(z f 的孤立奇点有__________. 5.幂级数 n n nz ∞ =∑的收敛半径为__________. 6.若函数f(z)在整个平面上处处解析，则称它是__________. 7.若ξ=∞→n n z lim ，则=+++∞→n z z z n n ...lim 21______________. 8.= )0,(Re n z z e s ________，其中n 为自然数. 9. z z sin 的孤立奇点为________ . 10.若0z 是 )(z f 的极点，则___ )(lim 0 =→z f z z . 三.计算题（40分）： 1. 设 )2)(1(1 )(--= z z z f ，求)(z f 在} 1||0:{<<=z z D 内的罗朗展式. 2. .cos 1 1||?=z dz z 3. 设 ? -++=C d z z f λ λλλ1 73)(2，其中 }3|:|{==z z C ，试求).1('i f + 4. 求复数 11 +-= z z w 的实部与虚部. 四. 证明题.(20分) 1. 函数 )(z f 在区域D 内解析. 证明：如果|)(|z f 在D 内为常数，那么它在 D 内为常数. 2. 试证 : ()f z = 在割去线段0Re 1z ≤≤的z 平面内能分出两个单值解析分支, 并求出支割线0Re 1z ≤≤上岸取正值的那支在1z =-的值.

复变函数试题及答案

一、填空题（每小题2分） 1、复数i 212-- 的指数形式是 2、函数w =z 1将Z S 上的曲线()1122=+-y x 变成W S (iv u w +=)上的曲线是 3.若01=+z e ,则z ＝ 4、()i i +1= 5、积分()?+--+i dz z 2222= 6、积分 ?==1sin 21z dz z z i π 7、幂级数()∑∞ =+0 1n n n z i 的收敛半径R= 8、0=z 是函数 z e z 1 11- -的奇点 9、=??? ? ??-=1Re 21z e s z z 10、将点∞,i,0分别变成0,i,∞的分式线性变换=w 二、单选题（每小题2分） 1、设α为任意实数，则α1=（） A 无意义 B 等于1 C 是复数其实部等于1 D 是复数其模等于1 2、下列命题正确的是（） A i i 2< B 零的辐角是零 C 仅存在一个数z,使得z z -=1 D iz z i =1 3、下列命题正确的是（） A 函数()z z f =在z 平面上处处连续

B 如果()a f '存在,那么()z f '在a 解析 C 每一个幂级数在它的收敛圆周上处处收敛 D 如果v 是u 的共轭调和函数,则u 也是v 的共轭调和函数 4、根式31-的值之一是（） A i 232 1- B 2 23i - C 223i +- D i 2 3 21+ - 5、下列函数在0=z 的去心邻域内可展成洛朗级数的是（） A z 1sin 1 B z 1 cos C z ctg e 1 D Lnz 6、下列积分之值不等于0的是( ) A ? =- 1 2 3 z z dz B ?=- 1 2 1 z z dz C ?=++12 42z z z dz D ?=1 cos z z dz 7、函数()z z f arctan =在0=z 处的泰勒展式为（） A ()∑∞ =+-0 2121n n n n z （z <1） B () ∑∞ =+-0 1 221n n n n z （z <1） C ()∑∞ =++-0 1 2121n n n n z （z <1） D () ∑∞ =-0 221n n n n z （z <1） 8、幂级数n n n z 20 1)1(∑∞ =+-在1

复变函数与积分变换试题及答案(2)

复变函数与积分变换试题与答案 1.（5）复数z与点(,) x y对应,请依次写出z的代数、几何、三角、指数表达式和z的3次方根。 2.（6）请指出指数函数z e w=、对数函数z w ln =、正切函数=的解析域，并说明它们的解析域是哪类点集。 z w tan 3.（9）讨论函数2 2i =的可导性，并求出函数)(z z f+ ) (y x f在可导点的导数。另外，函数) f在可导点解析吗？是或否请说明 (z

理由。 4.（7）已知解析函数v u z f i )(+=的实部y x y u 233-=，求函数 v u z f i )(+=的表达式，并使0)0(=f 。 5.（6×2）计算积分：（1）?+-C n z z z 1 0) (d ,

其中C 为以0z 为圆心,r 为半径的正向圆周, n 为正整数；（2）?=+-3||2d ) 2()1(e z z z z z 。 6.（5×2）分别在圆环（1）1||0<

7.（12）求下列各函数在其孤立奇点的留数。 (1) 3 sin )(z z z z f -=; (2) z z z f sin 1)(2=; (3) 11 e )(-=z z z f . 8.（7）分式线性函数、指数函数、幂函数的映照特点各是什么。

9.（6分）求将上半平面 0)Im( z 保形映照成单位圆 1|| w 的分式线性函数。 10.（5×2）（1）己知 F )()]([ωF t f =，求函数)52(-t f 的傅里叶变换；（2）求函数) i 5)(i 3(2 )(ωωω++= F 的傅里叶逆变换。

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