数学试题
广西师范大学全日制普通本科课程考核试卷
（2007 —2008 学年第 二 学期）
课程名称：高等数学1（下） 课程序号：ZB07140209(08)(10)
开课学院：数学科学学院 任课教师：李秀英、雷庆祝、王金玉 年级、专业：2007级化学、应用化学 试卷序号：A 卷
考试时间：120 分钟 考核方式：闭卷 开卷 □ 实验操作 □
一、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
请在每小题的空格中填上正确答案.错填、不填均无分。
1. 函数()f x 在[a,b]上连续是()f x 在[a,b]上可积的
条件.
2．设(2,1,2),(4,1,10),a b c b a λ==-=-
，且a c ⊥ ，则λ= . 3．改换二次积分的积分次序：22
20
(,)y
y
dy f x y dx =?? .
4．若级数1
n n u ∞=∑条件收敛，则级数1
n n u ∞
=∑必定 .
5．将函数ln()a x +展开成x 的幂级数为 .
二、判断题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 请在每小题的括号中填上“√”或“×”，错填、不填均无分。
1. 函数()f x 在[,]a b 上有定义且|()|f x 在[,]a b 上可积,
此时()b
a f x dx ?一定存在. （ ）
2．(,)f x y 在点(,)x y 连续是(,)f x y 在该点可微的充分条件. （ ） 3. 部分和数列{}n s 有界是正项级数n u ∞
∑收敛的充要条件. （ ）
√
学 号： 姓 名： 所属学院： 年 级： 专 业： 装订密封线 考生答题不得出现红色字迹，除画图外，不能使用铅笔答题；答题留空不足时，可写到试卷背面；请注意保持试卷完整。
4. 设123λλλ、、不全为零，且1230a b c λλλ++=
,则a b 、、c 三向量是共面的. （ ） 5．(,)(,)z z
z f x y x y x y
??=??在点的偏导数
及存在是f(x,y)在该点可微的充分条件.（ ）
三、计算题（本大题共8小题，其中第1--2题每小题5 分，第3题6分,第4--8题每题8分，共
56分）
1．求
；（5分）
2．求2(arctan )lim
x
x t dt （5分）
3．设2
(),1
ax e y z u a +=-而
sin ,cos y a x z x ==，求du dx ；（6分）
4．设22222
,22,z x y x y z ?=+?++=?
求,dy dz
dx dx ；（8分） 5. 求
D
xyd σ??
，其中D 是由圆周2222
4,1x y x y +=+=及直线0,y y x ==所围成的在第一象限内的闭区域；（8分）
6.求由曲面222z x y =+及2262z x y =
--所围成的立体的体积;（8分）
7. 计算
2()x y dv Ω
+???，其中Ω是由曲面2
2249()z
x y =+及平面3z =所
围成的闭区域；（8分）
8. 求幂级数21
21n n x n +∞
=+∑的收敛域、和函数；（8分）
四、应用题（本大题1个小题，共14分）
1. 一均匀物体(密度ρ为常量)占有的闭区域Ω 由曲面 22z x y =+ 和平面 0z =,||,||,x a y a == 所围成, 求：
(1) 物体的质心；
(2) 物体关于z 轴的转动惯量。
广西师范大学全日制普通本科课程考核
试题参考答案及评分标准
（2007—2008学年第二学期）
课程名称：高等数学1（下） 课程序号：ZB07140109(08)(10) 开课学院：
数学科学学院 年级、专业：07化学与应用化学 考核方式：闭卷 开卷 □ 实验操作□
试卷代号：A 卷 命题教师：李秀英 考试时间：120分钟 命题时间：2008年6月12日
一、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）. 请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分. 1.充分; 2. 3;
3.
4
2
(,)x
dx f x y dy ?
?； 4. 发散; 5.11
(1)ln n n
n
n x a a n -∞
=-+∑.
二、判断题（本大题共5小题，每小题3分，共15分.
请在每小题的括号中填上“√”或“×”，错填、不填均无分。 1. ×; 2. ×; 3.√; 4.√; 5. ×.
三、计算题（本大题共8小题，其中第1、2题中每小题5 分；第3题6分，第4——8题每题8分，共56分）.
1.
解：
=
=
20
dx π
?
………………………….3分
=4
2
4
dx dx π
π
π+??
（cosx-sinx ）（sinx-cosx ） …………………………4分
=2）
. ………………………….5分
2 解：
2(arctan )lim
x
x t dt
装
订
线
=2(arctan ))'
lim
x
x t dt ( (2)
=2
(arctan )lim x x →+∞ ………………………….4分 =2
4
π . ……………….5分 3. 解：
du u u dy u dz
dx x y dx z dx
???=++
??? …………………3分 2
22()cos (sin )111
ax ax ax
ae y z e e a x x a a a +=++---+ 2(sin cos )cos sin 1ax ax ax ae a x x ae x e x
a ++-=- …………………5分
2
2cos sin 1
ax ax
ae x
e x a =+-. …………………6分 4． 解： 222
22
,
(1)22,
(2)
z x y x y z ?=+?++=?
方程(1)两边同时对x 求导得：
22dz dy x y dx dx
=+ ， (3) …………………3分 方程(2)两边同时对x 求导得：
2420dy dz x y z dx dx
++= ， (4) …………………6分 由(3) (4)解得：
(21),2(1)dy x z dx y z +=-+ …………………7分
.1
dz x dx z =+ …………………8分
5． 解：用极坐标表示区域D 为：(,)0,124πρθθρ??
≤≤≤≤????
，………………2分
∴
2
40
1
cos sin D
xyd d d π
σθρθρθρρ=???
? …………………7分
15
.16
=
…………………8分
6． 解：设Ω表示由222z x y =+及2262z x y =--所围成的立体，则Ω的柱面坐标表示为：
{}
222222(,,)02,0sin 6cos z z ρθθπρρρθρρθ≤≤≤≤+≤≤--， …………………3分 则所围成的立体的体积为：V dv Ω
=??? …………………5分
22222226cos 0
sin d d dz πρρθ
ρρθ
θθ--+=??
…………………7分
=6π. …………………8分
7． 解：用柱面坐标表示区域Ω为：
3(,,)02,02,32z z ρθθπρρ??
≤≤≤≤≤≤????
…………………3分
∴
223
2
230
2
()(cos sin )x y dv d d dz π
ρ
θρρθρθρΩ
+=+????
?? …………………6分
24.5
π
=
…………………8分 8． 解：先求收敛域.由比值审敛法：
23
22212123lim lim 2321
n n n n x
n n x x n x n ρ++→∞→∞++===++， 当1ρ<，即2
1x <，也即11x -<<时，
级数21
021
n n x
n +∞
=+∑收敛，从而级数21
021n n x n +∞
=+∑收敛；
当1ρ>，即21x >，也即1x >或1x <-时，
级数21
21n n x
n +∞
=+∑发散，从而级数21
021n n x n +∞
=+∑发散.
∴收敛半径1R =. …………………2分
211
n x +∞
∞
∑∑
当1x =-时，级数2100
1
2121n n n x n n +∞
∞
===-++∑∑
发散， ∴收敛域为(1,1)-. …………………4分
当(1,1)x ∈-时，设21
0()21
n n x s x n +∞
==+∑，则(0)0s =，
'
'
212122
000
1'()21211n n n
n n n x x s x x n n x ++∞∞∞
===????==== ? ?++-????∑∑∑ ……6分 ∴
20
0111()'()ln (11)121x
x
x
s x s x dx dx x x x
+===-<<--??
. …8分
四、应用题（本大题1个小题，共14分）。
解：(1)由题意知：物体的体积为V dv Ω
=???，其中Ω的坐标表示为：
22{}y ≤≤≤≤≤≤+（x,y,z ）|-a x a,-a y a,0z x , …………………2分 2240
8
3
a
a
x y a
a
M dx dy dz a ρρ+--∴==???
; …………………3分
由对称性知，0x y ==，2
715
z dz
a z M
ρΩ
=
=???, …………………6分 所以物体的质心是2
715
a （0，0，）. …………………7分
(2)关于z 轴的转动惯量为
22
22220
()z a a
x y a
a
I x y dv
dx dy x y dz
Ω
+--=+=+??????
…………………11分
=
6
11245
a ρ. …………………14分
广西师范大学全日制普通本科课程考核试卷
（2007 —2008 学年第 二 学期）
课程名称：高等数学（2） 课程序号：ZB07140109(08)(10)
开课学院：数学科学学院 任课教师：李秀英、雷庆祝、王金玉 年级、专业：2007级化学、应用化学 试卷序号：B 卷
考试时间：120 分钟 考核方式：闭卷 开卷 □ 实验操作 □
一、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
请在每小题的空格中填上正确答案.错填、不填均无分。
1. 函数()f x 在[a,b]上有界是()f x 在[a,b]上可积的
条件.
2．设(1,2,1),(2,0,4),a b c b a λ===+
，且a c ⊥ ，则λ= . 3．改换二次积分的积分次序：10
1(,)dx f x y dy =? .
4．若级数1
n n u ∞
=∑绝对收敛，则级数11
||2n n u ∞
=∑必定 .
5．将函数ln(1)x +展开成x 的幂级数为 .
二、判断题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 请在每小题的括号中填上“√”或“×”，错填、不填均无分。
2. 函数()f x 在[,]a b 上有定义且()f x 在[,]a b 上可积,
则
(())
()b
a d f x dx f x dx
=?. （ ）
2. (,)f x y 在点(,)x y 可微是(,)f x y 在该点连续的充分条件. （ ） ∞
√
学 号： 姓 名： 所属学院： 年 级： 专 业： 装订密封线 考生答题不得出现红色字迹，除画图外，不能使用铅笔答题；答题留空不足时，可写到试卷背面；请注意保持试卷完整。
4. 设123λλλ、、不全为零，且1230a b c λλλ++=
,则a b 、、c 三向量是共线的. （ ） 5. (,)(,)z z
z f x y x y x y
??=??在点可微是偏导数
及在该点存在的充分条件. （ ）
三、计算题（本大题共8小题，其中第1--2题每小题5 分，第3题6分,第4--8题每题8分，共56
分）
1．求
（5分）
2．求()lim
,()x
a
x a
x f t dt
f x x a
→-?其中连续；（5分）
3．设2()ln(),1y z ax u a +=
+
而sin ,cos y a x z x
==，求du
dx
； （6分）
4．设(,,)z f u v w =具有连续偏导数，而,,u v w ηζζξξη=-=-=-,
求
,
z z
ξη
????；（8分）
5. 求
D
σ，其中D 是由圆周22x y Rx +=(0R >)所
围成的闭区域；（8分）
6.求由曲面z =
及22z x
y =+所围成的立体的体积;（8分）
7. 计算
zdv Ω
???
，其中Ω是由曲面z =及平面22
z x y =+所围成 的闭区域；（8分）
8. 求幂级数21
2n
n x n ∞
=∑的收敛域、和函数；（8分）
四、应用题（本大题
1个小题，共14分）
设平面薄片所占的闭区域D 由抛物线2y x =及直线y x =所围成，它在
(,)x y 处的面密度2(,)x y x y μ=，求：
(１) 该薄片的质心；
(２) 该薄片关于y 轴的转动惯量。
广西师范大学全日制普通本科课程考核
试题参考答案及评分标准
（2007—2008学年第二学期）
课程名称：高等数学1（下） 课程序号：ZB07140109(08)(10) 开课学院：
数学科学学院 年级、专业：07化学与应用化学 考核方式：闭卷 开卷 □ 实验操作□
试卷代号：B 卷 命题教师：李秀英 考试时间：120分钟 命题时间：2008年6月12日
一、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）. 请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分.
1.必要;
2. －1;
3.
2
1
(,)y dy f x y dx ?； 4. 收敛; 5.11
(1)n n
n x n ++∞
=-∑.
二、判断题（本大题共5小题，每小题3分，共15分.
请在每小题的括号中填上“√”或“×”，错填、不填均无分。 1. ×; 2. √ ; 3.√; 4. ×; 5. √ .
三、计算题（本大题共8小题，其中第1、2题中每小题5 分；第3题6分，第4——8题每题8分，共56分）. 1.
解：0
=20
………………………….2分
=0
?? ………………………….4分 =
1. ………………………….5分
2 解： /
/()()lim
lim x
x
a
a
x a
x a x f t dt
x f t dt x a
x a →→=--??（）
（）
………………………….2分 =()()
lim
x a
f x dt xf x +? ………………………….4分
装
订
线
=()af a …………………………5分 3. 解：
du u u dy u dz
dx x y dx z dx
???=++
??? …………………2分 222ln()ln()
cos (sin )(1)11y z ax ax a x x x a a a +=
++---+ …………………4分
22
sin cos ln()cos ln()sin (11
a x x a ax x ax x
x a a +-=
+-+）. …………………5分
4． 解：
z z u z v z w
u v w ξξξξ
???????=++
??????? ………………………….2分 =
f u f v f w
u v w ξξξ
??????++
?????? =
f f
w v
??-?? ; …………………3分
z z u z v z w
u v w ηηηη
???????=++
??????? …………………5分 =
f u f v f w
u v w ηηη
??????++?????? =
f f u w
??-??. …………………6分 5 解：用极坐标表示区域D 为：(,),0cos 22R ππρθθρθ??
-≤≤≤≤????
…………………2分
∴
cos 220
2
R D
d d π
θ
πσθρρ-=??
…………………4分
33
22
1cos 3
R d π
πθθ-=?
…………………6分 3
4.9
R =
…………………8分
6 解：设Ω
表示由z =及22z x y =+所围成的立体，则Ω的柱面坐标表示为：
{}2
(,,)02,01,z z ρθθπρρ
ρ≤≤≤≤≤≤， …………………4分
则所围成的立体的体积为：V dv Ω
=???221
d d dz π
ρ
ρ
θρρ=???=
6
π
. …………………8分
7 解：用柱面坐标表示区域Ω为：
{2
(,,)02,01,z z ρθθπρρ
≤≤≤≤≤≤ …………………3分
∴
2
21
zdv d d dz π
ρθρρΩ
=????
? …………………6分
7.12
π
=
…………………8分 8 解：先求收敛域.由比值审敛法：
22
222222lim lim 222n n n n x
n n x x n x n
ρ+→∞→∞+===+， 当1ρ<，即2
1x <，也即11x -<<时，
级数
21
2n
n x n ∞
=∑
收敛，从而级数212n
n x n
∞=∑收敛； 当1ρ>，即21x >，也即1x >或1x <-时，
级数
21
2n
n x n ∞
=∑
发散，从而级数212n
n x n
∞=∑发散. ∴收敛半径1R =. …………………2分
又 当1x =时，级数2111
22n n n x n n
∞
∞===∑∑发散；
当1x =-时，级数2111
22n n n x n n
∞
∞===∑∑发散，
∴收敛域为(1,1)-. …………………4分
当(1,1)x ∈-时，设21
()2n
n x s x n ∞
==∑，则(0)0s =，
''
22222
111
'()221n n n
n n n x x x s x x n n x ∞∞∞
===????==== ? ?-????∑∑∑ ……6分 ∴
220
011()'()ln (11)121x
x
x x s x s x dx dx x x x x
+===--<<--?
?. …8分
四、应用题（本大题1个小题，共14分）。
解：（1）由题意知闭区域D 的坐标表示为2{(,)|01,}x y x x y x ≤≤≤≤，……2分
由质心定义知：质心的横坐标2
2
1
301
20
35
48
(,)x
x D
x
x
D
x d dx x ydy x x y d dx x ydy
μσμσ==
=
????????
（x,y ） ……4分 质心的纵坐标2
2
1
2201
20
35
54
x
x
D
x
x
D
y d dx x y dy y d dx x ydy
μσσ=
==
????????
（x,y ）； ……6分 所以物体的质心为
3535
4854
（，）。 ……7分 （2）由题意知物体关于y 轴的转动惯量:2(,)y D
I x x y dxdy μ=?? ……10分 21
40
1
63
x
x
dx x ydy ==
?? ……14分