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异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角专题复习与进步

空间角专题复习●知识梳理

一、异面直线所成的角及求法

(1)定义：在空间任意取一点，过该点分别作两异面直线的平行线所成的锐角或直角称为两异面直线所成的角．

(2)取值范围：若θ是异面直线a 和b 所成的角，则其取值范围是θ∈(0，π

2]，当θ＝π

2时，称异面直线a 和b 垂直，记为a ⊥b .

(3)求法：平移法：将两异面直线中的一条或两条平移至某特殊点后，构造三角形，通过解该三角形而求其大小；

二、直线与平面所成的角及求法

(1)定义：设l 和α分别表示直线与平面．①若l ∥α或l ?α，则称直线l 和平面α所成的角为0；②若l ⊥α，则称l 与α所成的角为

；③若l 与α相交，则l 与l 在α内的射影所成的锐角为直线l 与平面α所成的角．

(2)取值范围：设θ是直线l 与平面α所成的角，则θ的取值范围是[0,]2π

．

(3)求法：定义法：探寻直线l 在平面α内的射影，(通常由垂直法找射影)构造直线l 与平面α所成角对应的直角三角形，通过解该直角三角形而求得直线与平面所成的角．

三、二面角及求法

(1)定义：在二面角的棱上任取一点，分别在二面角的两个面内作棱的垂线，则这两垂线所成的角称为该二面角的平面角，且定义平面角的大小为该二面角的大小．

(2)取值范围：规定二面角的取值范围为[0，π]．

(3)求法：定义法：分别在二面角的两个面内作棱的垂线，则这两垂线所成的角称为该二面角的平面角

●练习提升

1．如图，E 、F 分别是三棱锥P －ABC 的棱AP 、BC 的中点，PC ＝10，AB ＝6，EF ＝7，则异面直线AB 与PC 所成的角为 ( )

A ．30°

B ．45°

C ．60°

D ．90° 答案：C

2. 已知长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝BC ＝4，CC 1＝2，则直线BC 1和平面DBB 1D 1所成的角的正弦值为( )

A.32

B.52

105 D.1010

答案：C

3.如图，在边长为1的菱形ABCD 中，∠ABC ＝60°，将菱形沿对角线AC 折起，使折起后BD ＝1，则二面角B －AC －D 的余弦值为 ( )

A.13

B.12

C.223

D.32 答案：A

4．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，B 1C 与对角面DD 1B 1B 所成角的大小是 ( ) A ．15° B ．30° C ．45° D ．60° 答案：B

5．如图，ABCD －A 1B 1C 1D 1是长方体，AA 1＝a ，∠BAB 1＝∠B 1A 1C 1＝30°，则AB 与A 1C 1所成的角为________，AA 1与B 1C 所成的角为________．

答案：0

30，0

6. 在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，

(1)直线A 1B 与平面ABCD 所成的角是________； (2)直线A 1B 与平面ABC 1D 1所成的角是________； (3)直线A 1B 与平面AB 1C 1D 所成的角是________．答案 (1)45° (2)30° (3)90°

7．设直线与平面所成角的大小范围为集合P ，二面角的平面角大小范围为集合Q ，异面直线所成角的大小范围为集合R ，则P 、Q 、R 的关系为( )

A．R＝P?Q B．R?P?Q

C．P?R?Q D．R?P＝Q

答案：B

8．设△ABC和△DBC所在两平面互相垂直，且AB＝BC＝BD＝a，∠CBA＝∠CBD＝120°，则AD与平面BCD所成角的大小为()

A．30°B．45°

C．60°D．75°

解析：作AO⊥CB交CB的延长线于O，连接OD，则OD即为AD在平面BCD内的射影，∠ADO即为AD与平面BCD所成的角．

∵AO＝OD＝

2a，

∴∠ADO＝45°.

答案：B

9. 如图，AB是圆的直径，P A垂直于圆所在的平面，C是圆上一点(不同于A、B)且P A＝AC，

则二面角P—BC—A的大小为()

A．60°B．30°C．45°D．15°

答案 C

10．如图，已知四棱锥P－ABCD的底面是正方形，P A⊥平面ABCD，且P A＝AD，则平面

P AB与平面PCD所成的二面角的度数为()

A．90°B．60°

C．45°D．30°

解析：∵AB∥CD，

∴面P AB与平面PCD的交线l必为过P点与AB平行的直线．

∵P A⊥平面ABCD，

∴P A⊥AB，P A⊥CD，又CD⊥AD，

∴DC⊥平面P AD，

∴DC⊥PD，

∴P A ⊥l ，PD ⊥l ，即∠APD 为所求二面角的平面角， ∠APD ＝45°. 答案：C

11．把正方形ABCD 沿对角线BD 折成直二面角，对于下列结论：

①AC ⊥BD ；②△ADC 是正三角形；③AB 与CD 成60°角；④AB 与平面BCD 成60°角．则其中正确结论的个数是( )

A ．1个

B ．2个

C ．3个

D ．4个

解析：取BD 的中点O ，则BD ⊥OC ，BD ⊥OA ，得BD ⊥平面AOC ，

∴BD ⊥AC ，①正确；cos ADC ＝cos45°·cos45°＝12，∠ADC ＝60°，AD ＝

DC ，△ADC 是正三角形，②正确；AB 与CD 成60°角，③正确；AB 与平面BCD 成角∠ABO ＝45°，④错误．

答案：C

12．如图所示的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，过顶点B 、D 、C 1作截面，则二面角B －DC 1

－C 的平面角的余弦值是________．

解析：取C 1D 的中点O ，连接BO 、CO ，则BO ⊥C 1D ，CO ⊥C 1D ， ∴∠BOC 是二面角B －DC 1－C 的平面角．设正方体的棱长为1，则CO ＝2

， ∵△BDC 1为正三角形， ∴OB ＝

，且BC ＝1， ∴cos ∠BOC ＝OB 2＋OC 2－BC 22OB ·OC ＝3

答案：

13．如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ＝BC ＝AA 1，∠ABC ＝90°，点E 、F 分别是棱

AB 、BB 1的中点．则直线EF 和BC 1所成的角是( )

A ．45°

B ．60°

C ．90°

D ．120°

解析：取B 1C 1的中点G ，A 1B 1的中点H ，连结FG 、BG 、HG 、EH ，则FG ∥BC 1，且∠EFG 或其补角就是所求的角，利用余弦定理可求得cos ∠EFG ＝－1

，故所求角为60°.

答案：B

14．如图，将Rt △ABC 沿斜边上的高AD 折成120°的二面角C －AD －C ′，若直角边AB ＝43，AC ＝46，则二面角A －BC ′－D 的正切值为( )

A. 2

B.22

C.2

D ．1

解析：∠CDC ′＝120°，过D 作DE ⊥BC ′于E ，连结AE ，则∠AED 即为所求．又知AD ⊥平面BC ′D ，AD ＝42，在△BC ′D 中，由余弦定理求得BC ′＝43，再由面积公式S △BC ′D ＝12BC ′·DE ＝12·BD ·C ′D ·sin60°知DE ＝4，∴tan ∠AED ＝AD DE

＝ 2. 答案：A

点评：考查二面角的知识，余弦定理及三角形的边角计算．如何作出二面角的平面角是解决此类问题的关键．

15．在矩形ABCD 中，AB ＝3，AD ＝4，P A ⊥平面ABCD ，P A ＝435，那么二面角A —BD —P

的度数是( )

A ．30°

B ．45°

C ．60°

D ．75°

解析：如右图所示，过A 作AE ⊥BD ，

垂足为E ，连结PE ，则PE ⊥BD (三垂线定理)，

故∠PEA 为二面角P —BD —A 的平面角．在Rt △BAD 中，AE ＝AB ·AD BD ＝125

在Rt △P AE 中，tan ∠PEA ＝P A AE ＝3

，∴∠PEA ＝30°.

答案：A

16．正四棱锥P —ABCD 的两个侧面P AB 与PCD 互相垂直，则相邻两个侧面所成二面角的平面角为( )

A ．60°

B ．90°

C ．120°

D ．150°

解析：如图，作BE ⊥PC ，连结DE . ∵△PDC ≌△PBC ，∴DE ⊥PC

∴∠DEB 就是二面角D —PC —B 的平面角， ∵O 为DB 的中点， ∴∠OEB ＝1

2∠DEB ，

又∵面P AB ⊥面PCD ， ∴PO ＝1

2AB ，

在Rt △POC 中，OC ＝

22AB ，所以PC ＝32

AB . ∴OE ＝12AB ·2

2AB 3

2AB ＝66AB .

∴tan ∠OEB ＝22

AB 66AB ＝3，

∴∠OEB ＝π3，∴∠DEB ＝2π

答案：C

17. 如图，在四棱锥V —ABCD 中，底面ABCD 是边长为2的正方形，其它四个侧面都是侧棱长为5的等腰三角形，则二面角V —AB —C 的度数是________．

答案 60°

18．如图①，直角梯形ABCD 中，AB ∥CD ，∠DAB ＝π

2，点M 、N 分别在AB ，CD 上，且

MN ⊥AB ，MC ⊥CB ，BC ＝2，MB ＝4，现将梯形ABCD 沿MN 折起，使平面AMND 与平面MNCB 垂直(如图②)．

(1)求证：AB ∥平面DNC ；

(2)当DN ＝3

时，求二面角D －BC －N 的大小．

解：(1)证明：MB ∥NC ，MB ?平面DNC ，NC ?平面DNC ，∴MB ∥平面DNC . 同理MA ∥平面DNC ，又MA ∩MB ＝M ，且MA 、MB ?平面MAB .

????∴平面MAB ∥平面NCD AB ?平面MAB

?AB ∥平面DNC .

(2)过N 作NH ⊥BC 交BC 延长线于H ，

∵平面AMND ⊥平面MNCB ，DN ⊥MN ， ∴DN ⊥平面MBCN ，从而DH ⊥BC ， ∴∠DHN 为二面角D －BC －N 的平面角．由MB ＝4，BC ＝2，∠MCB ＝90°知∠MBC ＝60°， CN ＝4－2cos60°＝3，∴NH ＝3sin60°＝33

由条件知：tan NHD ＝DN NH ＝3

，∴∠NHD ＝30°.

19.如图，已知在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是矩形，P A ⊥平面ABCD ，P A ＝AD ＝1，AB ＝2，E 、F 分别是AB 、PD 的中点．

(1)求证：AF ∥平面PEC ；

(2)求PC 与平面ABCD 所成的角的正切值； (3)求二面角P －EC －D 的正切值．解：(1)证明：如图，取PC 的中点O ，连接OF 、OE ，则FO ∥DC ，且FO ＝1

2DC ，

∴FO ∥AE ，

又E 是AB 的中点，且AB ＝DC ， ∴FO ＝AE .

∴四边形AEOF 是平行四边形，

∴AF ∥OE .

又OE ?平面PEC ， AF ?平面PEC ， ∴AF ∥平面PEC . (2)如图，连接AC ， ∵P A ⊥平面ABCD ，

∴∠PCA 是直线PC 与平面ABCD 所成的角．在Rt △P AC 中， tan ∠PCA ＝P A

＝

15＝55

，即直线PC 与平面ABCD 所成的角的正切值为55

. (3)如图，作AM ⊥CE ，交CE 的延长线于M .

连接PM ，由三垂线定理得PM ⊥CE ， ∴∠PMA 是二面角P －EC －D 的平面角．

由△AME ∽△CBE 可得 AM ＝

， ∴tan ∠PMA ＝P A

＝ 2.

∴二面角P －EC －D 的正切值为 2.

20. 如图所示，四棱锥P —ABCD 的底面ABCD 是边长为1的菱形， ∠BCD ＝60°，E 是CD 的中点，P A ⊥底面ABCD ，P A ＝ 3. (1)证明：平面PBE ⊥平面P AB ；

(2)求二面角A —BE —P 的大小．

(1)证明如图所示,连接BD ,由ABCD 是菱形且∠BCD ＝60°知，△BCD 是等边三角形．

因为E 是CD 的中点，所以BE ⊥CD .

又AB ∥CD ，所以BE ⊥AB .

又因为P A ⊥平面ABCD ， BE ?平面ABCD ，所以P A ⊥BE . 而P A ∩AB ＝A ，因此BE ⊥平面P AB . 又BE ?平面PBE ，所以平面PBE ⊥平面P AB .

(2)解由(1)知，BE ⊥平面P AB ，PB ?平面P AB ，所以PB ⊥BE .又AB ⊥BE ，

所以∠PBA 是二面角A —BE —P 的平面角．在Rt △P AB 中，tan ∠PBA ＝

P A

＝3，则∠PBA ＝60°. 故二面角A —BE —P 的大小是60°.

21．已知平面α外两点A 、B 到平面α的距离分别为1和2，A 、B 两点在α内的射影之间距离为3，求直线AB 和平面α所成的角．

解 (1)如图(1)，当A 、B 位于平面α同侧时，由点A 、B 分别向平面α作垂线，垂足分别为

A 1、

B 1，则AA 1＝1，BB 1＝2，B 1A 1＝ 3.过点A 作AH ⊥BB 1于H ，则AB 和α所成角即为∠HAB .

而tan ∠BAH ＝2－13

＝3

3.∴∠BAH ＝30°.

(2)如图(2)，当A 、B 位于平面α异侧时，经A 、B 分别作AA 1⊥α于A 1，BB 1⊥α于B 1，AB ∩α＝C ，则A 1B 1为AB 在平面α上的射影，∠BCB 1或∠ACA 1为AB 与平面α所成角． ∵△BCB 1∽△ACA 1，∴BB 1AA 1＝B 1C

CA 1＝2，∴B 1C ＝2CA 1，而B 1C ＋CA 1＝3，

∴B 1C ＝23

∴tan ∠BCB 1＝BB 1B 1C ＝2

＝3，

∴∠BCB 1＝60°，∴AB 与α所成角为60°. 综合(1)、(2)可知：AB 与平面α所成角为30°或60°.

22. 如图，在三棱锥P —ABC 中，P A ⊥底面ABC ，∠BCA ＝90°，点D 、E 分别在棱PB 、PC

上，且DE ∥BC .

(1)求证：BC ⊥ 平面P AC .

(2)是否存在点E 使得二面角A —DE —P 为直二面角？并说明理由

(1)证明 ∵P A ⊥底面ABC ，

∴P A ⊥BC .又∠BCA ＝90°， ∴AC ⊥BC .又∵AC ∩P A ＝A ，

∴BC⊥平面P AC.

(2)解∵DE∥BC，又由(1)知，

BC⊥平面P AC，∴DE⊥平面P AC.

又∵AE?平面P AC，PE?平面P AC，

∴DE⊥AE，DE⊥PE.

∴∠AEP为二面角A—DE—P的平面角．

∵P A⊥底面ABC，

∴P A⊥AC，∴∠P AC＝90°.

∴在棱PC上存在一点E，

使得AE⊥PC.这时∠AEP＝90°，

故存在点E，使得二面角A—DE—P为直二面角．