3.1二维随机变量
二维随机变量及其联合分布
前面研究了随机变量X 以及它的取值范围和取这些值的可能性，我们称之为分布，对离散的我们研究分布律，对连续的我们研究密度函数，或者是分布函数。又学习了随机变量的函数。分布就是求我关心的随机事件的概率的。
前面我们讨论的是随机实验中单独的一个随机变量，又称为一维随机变量；然而在许多实际问题中，常常需要同时研究一个试验中的两个甚至更多个随机变量。
例如 E ：抽样入学体检的身高 H 与体重 W,以研究当前该年龄段青少年的身体健康情况。知道一个范围而已，在抽之前，HW 都符合正太分布，因此，HW 都是随机变量。
不过此时我们需要研究的不仅仅是W 及H 各自的性质， 更需要了解这两个随机变量的相互依赖和制约关系。需要多个指标去衡量一个问题。因此，我们将二者作为一个整体来进行研究，记为(X, Y),称为二维随机变（向）量。
一、二维随机变量
1.定义：设X 、Y 为定义在同一样本空间S 上的随机变量，则称向量（ X ，Y ）为S 上的一个二维随机变量。
推广：设n x x x ......,21为定义在同一样本空间S 上的随机变量，则称向量
)......,(21n x x x 为S 上的一个n 维随机变量。
即找一个向量，每一个分量都是随机变量。主要研究多个量之间的某种相互关系，例如：
242≤h w （千克/米/男）。222
≤h w
（千克/米/女）
。超过即为肥胖。那么有的性质维数增加后变化，有些只是增加一些复杂性，不增加本质上的东西。比如布朗运动，
二维和三维差别很大，二维从哪儿出去还可以回来，三维回不来。但我们随机变量只是增加复杂性，二维到三维没区别，一维二维差别大。因此我们主要以二维为主。推广到n 维即可。例如：我们举例人为何生存在三维空间，可以画狗，见时间简史。 问题：我们如何研究之？
答曰：还是分布。它的取值范围和取这些值的可能性。所以我们要研究随机向量的分布。
二、二维随机变量离散型随机变量
1.定义：若二维随机变量 （X ，Y ）的所有可能取值只有限对或可列对，则称（X ，Y ）为二维离散型随机变量。
思考：如何反映（X ，Y ）的取值规律呢？联想一维离散型随机变量的分布律。 2.（X ，Y ）的联合概率分布（分布律） 表达式形式：
.......)2,1......,2,1(,),(=====j i p y Y x X P ij j i 有限或可数多个
由于它是离散的我们称之为分布律。下面这个方法更为直观。 表格形式（常见形式）：
以上两种均称为二维随机变量的分布律。
提问：.......)2,1......,2,1(,),(=====j i p y Y x X P ij j i 这里是交还是并？ 3.性质：1）非负 ：10≤≤ij p
2）和一：
111
=∑∑∞=∞
=i j ij
p
例：一个口袋中有三个球， 依次标有数字1， 2， 2， 从中任取一个， 不放回袋中， 再任取一个， 设每次取球时， 各球被取到的可能性相等.以Ｘ、Ｙ分别记第一次和第二次取到的球上标有的数字， 求其分布律. 解：（X,Y ）的可能取值为(1,2)， (2,1)， (2,2). 依靠乘法公式。
Ｐ{Ｘ＝１，Ｙ＝２}＝Ｐ{Ｙ＝２|Ｘ＝１}P{X=1} =(1/3) × (2/2)＝1/3， Ｐ{Ｘ＝２，Ｙ＝１}＝(2/3) ×(1/2)＝1/3， Ｐ{Ｘ＝２，Ｙ＝２}= (2/3) ×(1/2)＝1/3，
例2：一口袋中有大小形状相同的2黑4白6个球，从袋中不放回地取两次球，设随机变量X （第一次） Y （第二次） 可取0，1，分别表示黑白球，求(X,Y)的分布律及F(0.5,1).
1/3
1/3
２
1/3 ０ １ ２ １ Ｙ Ｘ Y
X 1y
2y
j y 1x
11p 12p 1j p 2x 21
p 22p 2j p i x
1i p
2i p
ij p
。。。
...
。。。... 。。。... ... 。。。 ... 。。。 ... 。。。
... 。。。
... 。。。 。。。 。。。... ... 。。。。。... ... 。。。 ... 。。。
。。。... ... 。。。 。。。... ... 。。。 。。。
解：（X,Y ）的可能取值为(0， 0)， (0， 1)， (1， 0)，（1，1）.
另：考虑3
}0{=
=X P ，因为}1,0{==Y X P 与}0,0{==Y X P 是不交的，并且只有这两种情况，因此}1{}0{=?=Y Y 是必然事件。同理3
2
}1{==X P ，且Y 也可以相同考虑。
一个离散型二维随机变量?两个离散一维随机变量。（有限多个，可数多个）
三、二维连续型随机变量的分布函数
数轴上我们研究随机变量在一段区间上面的概率，那么在平面上，我们研究二维随机变量落在一个矩形上面的概率。
几何意义：二维随机变量(X, Y)的取值可看作平面上的点。即：
},{d y c b x a P ≤<≤<在这里，如果abcd 都变化的话，有4个变量，那么能不能减少
变量？首先如果我们把ac 都取到负无穷，则有：},{d y b x P ≤≤（类比一维）大家都统一起来，都从负无穷过来，即只考虑西南这一块（上北下南左西右东）。那么对于我们原来要考虑的},{d y c b x a P ≤<≤<是否可以用},{d y b x P ≤≤这样的变量较少的拼凑而出？则有：=≤<≤<},{d y c b x a P },{},{},{c y b x P d y a x P d y b x P ≤≤-≤≤-≤≤
},{c y a x P ≤≤+
从上面我们可以看到等式的右边有一个统一的特性，每个概率的变量都只有2个，因此可以引入一个概念，二维的分布函数。
联合分布函数定义：若（X ，Y ）是随机变量，对于任意的实数x,y ，
},{),(y Y x X P y x F ≤≤=称为二维随机变量的联合分布函数。这是一个二元的函数而已。
联合分布函数的性质：1）},{),(y Y x X P y x F ≤≤=关于x ，y 单调不减，给定一个，对另一个不减。
2) 1),(0≤≤y x F
15/25/36/4}1,1{15/45/26/4}0,1{15
/45/46/2}1,0{15
/15/16/2}0,0{=?====?====?====?===Y X P Y X P Y X P Y X P
3）
可见，趋于0只需要一个负无穷，趋于1则需要2个。 联合分布函数表示矩形域概率：（两个最大加两个最小减去两个中不溜）
=≤<≤<},{d y c b x a P },{},{},{c b F d a F d b F --0},{≥+c a F
4）给定x 则F(x,y)关于y 右连续，反之也成立。之前解放以后跟苏联走，苏联用左连续。即用的小于，若用小于等于则是右连续。右连续为什么比左连续好？（画图）
理论上面有这个分布函数，但实际很少使用。因此需要一定的限制，才能研究。 四、二维连续型随机变量的概率密度函数
若对二维随机变量),(Y X 的分布函数),(y x F 如果存在非负可积函数),(y x f 使得对于任意的y x ,有??
∞-∞
-=
y x
dudv v u f y x F ),(),(，则称),(Y X 是连续型的随机变量，函数
),(y x f 称为二维随机变量),(Y X 的概率密度函数，或称为随机变量的联合概率密度。
它的产生是为了使用分布函数去研究连续型的随机变量的。 容易知道：1. 0),(≥y x f 2.
1),(),(=∞∞=??
+∞∞-+∞
∞
-F dxdy y x f 3.从几何上讲，
),(y x f z = 是一个曲面，
则??
∞-∞
-=y
x
dudv v u f y x F ),(),(是一个去顶柱体的体积。
（画图） 物理上讲，),(y x f 是面密度（类比一维），则
1),(),(=∞∞=??
+∞∞-+∞
∞
-F dxdy y x f 质量为1，
(,)0F y -∞=(,)0F x -∞=(,)0F -∞-∞=(,)1F +∞+∞=
?
?
∞-∞
-=y
x
dudv v u f y x F ),(),(是其部分质量，也是其百分比，可用来表示概率。为了算质
量，我给定一个形式的积分。4.如果知道了),(y x f 可以积分求),(y x F ，反之呢？知道了
),(y x F 如何求),(y x f ？若),(y x f 在点),(y x 连续，那么
),()
,(2y x f y
x y x F =???。 不要怕这里是二重广义积分吓倒，这里理解积分就是求和（有限），差别在于一个极限。这里只是为了解决一个具体类型问题给出的这样形式的一个积分，把负无穷当做一个数来处理，反正这里不会让你再取极限了。不然很多分布没法研究。 五、二维连续型随机变量 1. 二维随机变量
随机变量),(Y X ，G 是平面上的一个有界区域，其面积为A ，又设
??????∈=G
y x G
y x A
y x f ),(0),(1),( 若),(Y X 的密度函数为上式定义的函数),(y x f ，则称二维随机变量),(Y X 在G 上服从二维均匀分布。可验证),(y x f 满足二维连续型随机变量的基本性质。可以是任何类型区域。在G 中，只要面积一样，则质量一样，因为均匀。则可计算面积占总面积的百分比。
B A S S B y x P A y x P =?∈=∈}),{(}),{(
一碰到区域，就麻烦，麻烦在它的边界，边界最讨厌，现在有混沌，或者叫分数维，有
些曲线可以是1.5维的，一条曲线可以把[0,1]正方形充满。与我们之前的曲线不一样。微积分中需要边界光滑。 2.二维正态分布
若),(Y X 的),(y x f 密度函数为： 21212121222
1)
)((2)([)1(21exp{121),(σσμμρσμρρ
σπσ-------=
y x x y x f ]})(2
2
2
2σ
μ-+
y ),(+∞<<-∞+∞<<-∞y x
其中，ρσσμμ,,,,2121都是常数，且1||,0,21<>ρσσ，则称),(Y X 服从二维正太分布
);,;,(~),(2
22211ρσμσμN Y X 。（subject to ）可验证),(y x f 满足二维连续型随机变量
的基本性质。
简单版本：令???
?
??=∑22212121σσ
ρσσρσσ对称矩阵。且行列式大于0，是一个正定矩阵。回忆
正定矩阵A>0：对称且所有特征根大于0，或者等价定义：二次型Ax x '，有0,0≠>'x Ax x
0>?A
又设μμμ-=????
?
?--z y x )()(21 )}()[(2
1
exp{||21),(21
21
μμπ-∑'--∑=--z z y x f 则这是一个二次型。
回忆：???
?
??---=???? ??-a c b d bc ad d c b a 11
怎么求？先常规再结论。强调要记。
例题：设二维随机变量),(Y X 有密度函数
??
?>>=+-otherwise
y x e y x f y x 0
0,0),()
(
1求分布函数，2求概率}{X Y P ≤
解：由定义：??
???>==
????
∞-∞
-+-∞-∞
-otherwise y x dudv e dudv v u f y x F y x v u y
x
00
,),(),()( ??
?>--=??
???>=----??otherwise y x e e otherwise y x dv e du e y x F x u x y v 00,)|)(|00,),(y 0v 000u （
因此?
??>--=--otherwise y x e e y x F y x 00
,)1)(1(),(
另外，}),{(}{G Y X X Y ∈=≤为直线X Y =下方的部分，于是
2
1
),(}),{(}{0
)(=
==∈=≤?
?
??+∞
+∞
+-dudv e dudv v u f G Y X P X Y P y
v u G
【免费下载】概率论与数理统计 第三章 二维随机变量及其概率分布 例题
概率论与数理统计 第三章 二维随机变量及其概率分布 例题1．甲乙两人独立地进行两次射击，命中率分别为0.2、0.5，把X 、Y 分别表示甲乙命中的次数，求（X,Y ）联合分布律。2．袋中有两只白球，两只红球，从中任取两只以X 、Y 表示其中黑球、白球的数目，求（X,Y ）联合分布律。3．设，且P{}=1，求（）的X 1=(?1011/41/21/4) X 2=(011/21/2)X 1X 2=0X 1，X 2联合分布律，并指出是否独立。 X 1，X 24．设随机变量X 的分布律为Y=，求（X,Y ）联合分布律。X 2X Y 01
概率论与数理统计 第三章 二维随机变量及其概率分布 例题 5．设（X,Y ）的概率分布为 且事件{X=0}与{X+Y=1}独立求a ，b 。6. 设某班车起点上车人数X 服从参数λ(λ>0)的泊松分布，每位乘客中途下车的概率为P （0 概率论与数理统计 第三章 二维随机变量及其概率分布 例题 （1）C 的值 （2）， (3)P{X+Y ≤1}并判别X 与Y 是否独立。f z (x)f Y (y)9．设f(x,y)= 为（X,Y ）的密度函数，求{10 |y | 10.二维连续型随机变量 【教学内容】：高等教育出版社浙江大学盛骤，谢式千，潘承毅编的《概率论与数理统计》第三章第§1 中的二维连续型随机变量 【教材分析】：前一章我们已经研究了一维随机变量的一些有关概念、性质和计算，本节将这些内容推广到多维的情形，主要讲授二维的连续型随机变量，学习本节内容，要求学生掌握有关概念，并会对一些随机变量进行有关的计算。 【学情分析】： 1、知识经验分析 学生已经学习了一维随机变量的有关概念、性质和计算，掌握了随机变量的相关知识。 2、学习能力分析 学生虽然具备一定的基础的知识和理论基础，但概念理解不透彻，解决问题的能力不高，方法应用不熟练，知识没有融会贯通。 【教学目标】： 1、知识与技能 理解二维连续随机变量的联合密度函数的概念，会进行一些相关的计算，并熟练掌握几种常见的二维分布。 2、过程与方法 根据本节课的知识特点，教学中采用类比和启发式教学法，将一维连续型随机变量的概率密度函数转化二维连续随机变量的联合密度函数。 3、情感态度与价值观 将一维连续型随机变量的概率密度函数转化二维连续随机变量的联合密度函数的学习过程中，使得学生初步形成实事求是的科学态度和锲而不舍的求学精神 【教学重点、难点】： 重点：二维连续型随机变量的概念和性质，并对一些随机变量进行有关计算。 难点：对一些随机变量进行有关计算。 【教学方法】：讲授法启发式教学法 【教学课时】：1个课时 【教学过程】： 一、问题引入（复习） 定义 如果对于随机变量X 的分布函数)(x F ，存在非负可积函数)(x f ，使得对于任意实数x 有 .)(}{)(? ∞ -= ≤=x dt t f x X P x F 则称X 为连续型随机变量， 称)(x f 为X 的概率密度函数，简称为概率密度或密度函数。 密度函数)(x f 具有下述性质： （1）非负性0)(≥x f （1）规范性 ? ∞+∞ -=1)(dx x f （3）对于任意实数()1212,x x x x ≤ 1{}P x X x <≤11221(())()()()x x P x F x F x p y dy ξω≤<=-=? 2 1 )(x x dx x f （4）0}{0==x X p （5）若)(x f 在点x 处连续，则有 '()()F x f x = (由()()x F x f y dy -∞ = ? 式可知，对()f x 的连续点) 【设计意图】：采用类比的方法将一维连续型随机变量的概率密度函数转化二维连续随机变量的联合密度函数的问题，使学生掌握转化，类比的思想。 二、二维连续型随机变量 定义1 如果存在二元非负函数(,)f x y ，使得二维随机变量(,)X Y 的分布函数(,)F x y 可表示为 (,)(,),x y F x y f u v dvdu -∞-∞ =? ? 则称(,)X Y 为二维连续随机变量，称(,)f x y 为(,)X Y 的联合密度函数。 注 在偏导数存在的点上，有2(,)(,)p x y F x y x y ?=??。 联合密度函数的基本性质 2(,)012(,)1 (,)3(,)4((,))(,)G f x y f x y dxdy x y F f x y x y P x y f x y dxdy G ∞∞ -∞-∞ ≥=?=??∈=? ? ??（）（）（） （） §3 连续型随机变量 除了离散型随机变量之外，还有非离散型的随机变量，这些随机变量的取值已不再是有限个或可列个。在这类非离散型随机变量中，有一类常见而重要的类型，即所谓连续型随机变量。粗略地说，连续型随机变量可以在某特定区间内任何一点取值。例如某种树的高度；测量的误差；计算机的使用寿命等等都是连续型随机变量。对于连续型随机变量，不能一一列出它可能取值，因此不能像对离散型随机变量那样用它取各个可能值的概率来描述它的概率分布，而是要考虑该随机变量在某个区间上取值的概率，我们是用概率密度函数来研究连续型随机变量的。 一． 概率密度和连续型随机变量定义： 对于随机变量X ，如果存在非负可积函数 ()()f x x -∞<<+∞，使得对于任意实数， ,()a b a b <都有 {}()b a P a X b f x dx <<= ? ， 则称X 为连续型随机变量；称()f x 为X 的概率密度函数，简称概率密度或密度． 由定义可知，分布密度()f x 具有如下基本性质: （１）．()0()f x x ≥-∞<<+∞； （２）． ()()1f x dx P X +∞ -∞ =-∞<<+∞=? ． 这两条性质的几何意义是：概率分布密度曲线不在x 轴下方，且该曲线与x 轴所围的图形面积为1。性质(1)、(2)可以作为判定一个函数是否可以作为一个连续型随机变量的分布密度的条件。 对于连续型随机变量X 可以证明，它在某一点a 处取值的概率为零，即 对于任意实数a ，有()0P X a ==． 即研究X 在某一点处取值的概率是没有什么实际意义的。从而可知，研究X 在某区间上取值的概率时，该区间含不含端点，不影响概率值。即 (３)．对于任意实数， ,()a b a b <都有 {}{}{}{}()b a P a X b P a X b P a X b P a X b f x dx <<=≤<=<≤=≤≤=? 【例1】 设X 是连续型随机变量，已知X 的概率密度为 其中λ为正常数． 试 确定常数A ． 习题三 1.将一硬币抛掷三次，以X 表示在三次中出现正面的次数，以Y 表示三次中出现正面次数与 出现反面次数之差的绝对值.试写出X 和Y 的联合分布律. 【解】X 和Y 的联合分布律如表： 2.盒子里装有3只黑球、2只红球、2只白球，在其中任取4只球，以X 表示取到黑球的只数，以Y 表示取到红球的只数.求X 和Y 的联合分布律. 【解】X 和Y 的联合分布律如表： 3.设二维随机变量（X ，Y ）的联合分布函数为 F （x ，y ）=???? ? ≤ ≤≤ ≤. , 020,20, sin sin 其他ππy x y x 求二维随机变量（X ，Y ）在长方形域? ?? ? ?? ≤<≤ <36,40πππy x 内的概率. 【解】如图πππ {0,}(3.2)463 P X Y <≤ <≤公式 ππππππ(,)(,)(0,)(0,)434636 F F F F --+ ππππππsin sin sin sin sin 0sin sin 0sin 4 3 4 6 3 6 1). 4 =--+= 题3图 说明：也可先求出密度函数，再求概率。 4.设随机变量（X ，Y ）的分布密度 f （x ，y ）=?? ?>>+-. , 0, 0,0, )43(其他y x A y x e 求：（1） 常数A ； （2） 随机变量（X ，Y ）的分布函数； （3） P {0≤X <1，0≤Y <2}. 【解】（1） 由-(34) (,)d d e d d 112 x y A f x y x y A x y +∞+∞+∞+∞+-∞ -∞ == =? ??? 得 A =12 （2） 由定义，有 (,)(,)d d y x F x y f u v u v -∞ -∞ = ?? ( 34 ) 3400 12e d d (1e )(1e ) 0,0, 0,0, y y u v x y u v y x -+--??-->>? ==?? ? ????其他 (3) {01,02}P X Y ≤<≤< 12(34) 38 {01,02} 12e d d (1 e )(1e )0.9499. x y P X Y x y -+--=<≤<≤= =--≈?? 5.设随机变量（X ，Y ）的概率密度为 f （x ，y ）=?? ?<<<<--. , 0, 42,20),6(其他y x y x k （1） 确定常数k ； （2） 求P {X ＜1，Y ＜3}； （3） 求P {X <1.5}； （4） 求P {X +Y ≤4}. 【解】（1） 由性质有 几种常用的连续型随机变量 给出一个新概念：广义概率密度函数。 设连续型随机变量ξ的概率密度函数为φ(x ), 那么任何与之成正比的函数f (x )∝φ(x ), 都叫做ξ的广义概率密度函数, 或者说, 一个函数f (x )是ξ的广义概率密度函数, 说明存在着一实数a , 使得 φ(x )=af (x ) (1) 而知道了广义概率密度函数, ξ的概率密度函数就可以根据性质1)(=?+∞ ∞ -dx x ?, 求出 将(1)式代入得: 1)()(??+∞ ∞ -+∞ ∞ -==dx x af dx x ? 则?∞+∞ -= dx x f a )(1 因此, 知道了广义概率密度函数就等于知道了一般的概率密度函数, 我们只需关心函数的形状就可以了解概率密度的性质了. 因此也不必关于那个常数是什么. 4.4 指数分布 指数分布的概率密度函数为 ?? ?>=-其它 )(x e x x λλ? 它的图形如下图所示: 它的期望和方差如下计算: () λ λ λ?ξλλλλλ1 1 )(0 =- =+-=-= = = ∞ +-∞+-∞ +-+∞ -+∞ -+∞ ∞ -????x x x x x e dx e xe e xd dx e x dx x x E () 2 20 202 2 2 2 2 2)(|λξλ λ?ξλλλλ= = +-=-= = = ????∞+-∞+-+∞ -+∞ -+∞∞ -E dx xe e x e d x dx e x dx x x E x x x x 2 2 2 221 1 2 )(λ λ λ ξξξ= - = -=E E D 指数分布常用来作为各种"寿命"分布的近似. 4.5 Γ-分布 如果一个随机变量ξ只取正值, 且在正半轴的广义概率密度函数的形式是x 的某次方x k 乘上指数函数e -λx , 即 ?? ?>->>=-其它 ) 0,1(0)(λλk x e x x f x k 那么就称ξ服从Γ-分布了. 上式中之所以要求k >-1, λ>0, 是因为广义积分 ?? +∞ -+∞ ∞ -= )(dx e x dx x f x k λ 只有在这种条件下才收敛. 此外, 传统上为了方便起见, 用另一个常数r =k +1, 因此广义概率密度函数写为 ?? ?>>>=--其它 ) 0,0(0)(1λλr x e x x f x r 而真实的概率密度函数φ(x )=af (x ), 可以给出常数a 由下式计算: ?∞ +--= 11 dx e x a x r λ 这样, 计算的关键就是要计算广义积分 ?+∞ --0 1dx e x x r λ, 作代换t =λx , 则x =t /λ, dx =dt /λ, 则???+∞ --+∞ --+∞ --= ? ?? ? ?=0 101 011 1 dt e t dt e t dx e x t r r t r x r λ λ λλ, 问题就转成怎样计算广义积分? +∞ --0 1dt e t t r , 这个积分有一个参数r >0, 在r 为一些特定 的参数时, 如当r =1时, 上面的广义积分还是可以计算的, 但是当r 为任意的正实数时, 此广 义积分就没有一般的公式, 一般的原函数表达式. 在这种情况下数学家常用的办法就是定义一个新的函数. 比如说, 在中学学的三角函数就无法用一个加减乘除的公式表示, 因此就发明了sin , cos 这样的记号来代表三角函数. 同样, 上面的广义积分的取值只依赖于参数r , 每给定一个r 值就有一个积分值与之对应, 因此也可以定义一个函数, 叫Γ-函数, 定义为 一、单项选择题 1 ，那么下列结论正确的是 （）A B C D.以上都不正确 2设X与Y相互独立，X 0—1分布，Y 0—1分布，则方程 t 有相同实根的概率为 （A（B（C （D 3．设二维随机变量（X，Y）的概率密度为 则k的值必为 （A（B（C （D 4．设（X，Y）的联合密度函数为 （A （B（C（D 5．设随机变量X与Y相互独立，而且X服从标准正态分布N（0，1），Y服从二项分布B（n，p），0 二、填空题 2 若（X ，Y ）的联合密度 ， 3 4 ，则 且区域 5 。 6 . 7 =? ∞+∞ -)(x f X . 8 如果随机变量),(Y X 的联合概率分布为 X 1 2 3 1 61 91 181 2 3 1 α β 则βα,应满足的条件是 ；若X 与Y 相互独立，则=α ，=β . 9 设Y X ,相互独立，)1.0(~),1,0(~N Y N X ，则),(Y X 的联合概率密度 =),(y x f ，Y X Z +=的概率密度=)(Z f Z . 10、 设 ( 、 ) 的 联 合 分 布 函 数 为 ()()()()?? ??? ≥≥+-+-+++= y x y x y x A y x F 00,0111111,2 22则 A =_____。 11设X 服从参数为1的泊松分布，Y 服从参数为2的泊松分布，而且X 与Y 相互独立，则 (max(,)0)_______. (min(,)0)_______.P X Y P X Y ≠=≠= 12 设X 与Y 相互独立，均服从[1，3]上的均匀分布，记(),A X a =≤(),B Y a => 7 ()9 P A B ?= 且，则a=_______. 13 二维随机变量（X ，Y ）的联合概率密度为 221()21sin sin (,)(,),2x y x y f x y e x y π -++= -∞<<+∞ 则两个边缘密度为_________. 三．解答题 1 一个袋中有三个球,依次标有数字 1, 2, 2,从中任取一个, 不放回袋中 , 再任取一个, 设每次取球时,各球被取到的可能性相等,以 X , Y 分别记第一次和第二次取到的球上标有的数字 ,求 ( X , Y ) 的分布律与分布函数. 2．箱子里装有12件产品，其中2件是次品，每次从箱子里任取一件产品，共取2次，定义随机变量12,X X 如下： 连续型随机变量的分布 （一）连续型随机变量及其概率密度函数 1.定义：对于随机变量X 的分布函数 F(X) ，若存在非负函数f(x), 使对于 任意的实数 x，有F ( x)x f(x) 称为 X f (t)dt ，则称X为连续性随机变量， 的概率密度函数，简称概率密度。 注： F(x)表示曲线下x 左边的面积，曲线下的整个面积为1。 2 .密度函数f(x) 的性质：注： f( x)不是概率。 1) f( x)≥ 0 + f ( x) dx = 1 2) ò-x 2 3)P{x 1 < X ? x 2 }òx1 f (x) dx = F (x 2 ) - F (x 1 ) 特别地，连续型随机变量在某一点的概率为零，即 P{ X = x} = 0. （但 { X=x} 并不一定是不可能事件） 因此P(a≤X ≤ b)= P(a< X 一、单项选择题 1．设随机变量21,X X 独立，且2 1 }1{}0{= ===i i X P X P （2,1=i ），那么下列结论正确的是 （ ） A .21X X = B .1}{21==X X P C .2 1 }{21= =X X P D .以上都不正确 2设X 与Y 相互独立，X 服从参数为12的0—1分布，Y 服从参数为1 3 的0—1分布，则方程 220t Xt Y ++=中t 有相同实根的概率为 （A ） 13 （B ）12 （C ）16 （D ）2 3 [] 3．设二维随机变量（X ，Y ）的概率密度为 ()22 ,02,14, (,)0, .k x y x y f x y ?+<<< 江苏科技大学 毕业论文（设计） 题目：连续型随机变量在实际生活中的应用 姓名：顾苗 学号：1140503102 教学院：数理学院 专业班级：11级统计一班 指导教师：王康康 完成时间：2015年06月10日 二零一伍年六月 连续型随机变量在实际生活中的应用Continuous random variables applied in real life 江苏科技大学毕业设计（论文） 江苏科技大学 毕业设计（论文）任务书 学院名称：数理学院专业：统计学 学生姓名：顾苗学号：1140503102 指导教师：王康康职称：讲师 江苏科技大学毕业设计（论文） 毕业设计（论文）题目： 连续型随机变量在实际生活中的应用 一、毕业设计（论文）内容及要求（包括原始数据、技术要求、达到的指标和应做的实验等） 连续型随机变量在现实生活中有广泛的应用，许多物理过程和社会现象均可以由各种常见的随机过程来刻画。如泊松过程、正态过程、马氏过程等等，其应用非常广泛。在实际运用时，我们考虑它们在各种经济模型中的应用和计算，它们种类繁多，形式各异。具有很强的现实意义。 1、给出连续型随机变量的基本概念。 2、给出几种常见的连续型随机变量的理论意义。 3、给出几种常见的连续型随机变量在各种经济模型中的应用。 二、完成后应交的作业（包括各种说明书、图纸等） 1、至少6000字以上的论文 2、教师指定阅读的外文文献原文 3、指定外文文献的译文6000字以上 三、完成日期及进度 2015.2.25～2015.3.16 文献检索与资料收集； 2015.3.16～2015.4.12 文献阅读及撰写开题报告； 2015.4.12～2015.5.8 论文构思与内容； 2015.5.8～2015.5.24 撰写论文； 2015.5.24～2015.6.9 论文评阅及答辩。 《概率论与数理统计》习题及答案 习题三 1.将一硬币抛掷三次，以X 表示在三次中出现正面的次数，以Y 表示三次中出现正面次数与 出现反面次数之差的绝对值.试写出X 和Y 的联合分布律. 222??222 ?? 2.盒子里装有3只黑球、2只红球、2只白球，在其中任取4只球，以X 表示取到黑球的只数，以Y 表示取到红球的只数.求X 和Y 的联合分布律. 324 C 35= 32 4 C 35= 322 4 C 35= 11322 4 C C 12C 35=132 4 C 2C 35 = 21322 4 C C 6C 35 = 2324 C 3 C 35 = 3.设二维随机变量（X ，Y ）的联合分布函数为 F （x ，y ）=?????≤ ≤≤≤., 020,20,sin sin 其他ππy x y x 求二维随机变量（X ，Y ）在长方形域? ?? ? ??≤<≤<36,40πππy x 的概率. 【解】如图πππ {0,}(3.2)463 P X Y <≤ <≤公式 ππππππ(,)(,)(0,)(0,)434636 F F F F --+ ππππππ sin sin sin sin sin0sin sin0sin 434636 2 (31). 4 =--+ =- 题3图 说明：也可先求出密度函数，再求概率。 4.设随机变量（X，Y）的分布密度 f（x，y）= ? ? ?> > + - . ,0 ,0 ,0 ,)4 3( 其他 y x A y x e 求：（1）常数A； （2）随机变量（X，Y）的分布函数； （3）P{0≤X<1，0≤Y<2}. 【解】（1）由-(34) 00 (,)d d e d d1 12 x y A f x y x y A x y +∞+∞+∞+∞ + -∞-∞ === ???? 得A=12 （2）由定义，有 (,)(,)d d y x F x y f u v u v -∞-∞ =?? (34)34 00 12e d d(1e)(1e)0,0, 0, 0, y y u v x y u v y x -+-- ??-->> ? == ?? ? ?? ?? 其他 (3) {01,02} P X Y ≤<≤< 12 (34)38 00 {01,02} 12e d d(1e)(1e)0.9499. x y P X Y x y -+-- =<≤<≤ ==--≈ ?? 5.设随机变量（X，Y）的概率密度为 f（x，y）= ? ? ?< < < < - - . ,0 ,4 2,2 ), 6( 其他 y x y x k （1）确定常数k； （2）求P{X＜1，Y＜3}； （3）求P{X<1.5}； （4）求P{X+Y≤4}. 【解】（1）由性质有 连续型随机变量及其分布 知识要点 1．分布函数 随机变量的分布可以用其分布函数来表示，随机变量X 取值不大于实数x 的概率 ()P X x ≤称为随机变量X 的分布函数，记作()F x , 即 ()(),F x P X x x =≤-∞<<∞． 2．分布函数()F x 的性质 (1) 0()1;F x ≤≤ (２) ()F x 是非减函数，即当12x x <时，有12()()F x F x ≤； (3) ()0,()1lim lim x x F x F x →-∞ →+∞ ==; (4) ()F x 是右连续函数，即0()()lim x a F x F a →+=． 由已知随机变量X 的分布函数()F x ，可算得X 落在任意区间(,]a b 内的概率 ()()();P a X b F b F a <≤=- 也可以求得 ()()(0)P X a F a F a ==--． 3．联合分布函数 二维随机变量(,)X Y 的联合分布函数规定为随机变量X 取值不大于x 实数的概率，同时随机变量Y 取值不大于实数y 的概率，并把联合分布函数记为(,)F x y ，即 (,)(,),,F x y P X x Y y x y =≤≤-∞<<+∞-∞<<+∞． 4．联合分布函数的性质 (1) 0(,)1F x y ≤≤； (2) (,)F x y 是变量x (固定y )或y (固定x )的非减函数； (3) (,)0,(,)0 lim lim x y F x y F x y →-∞ →-∞ ==， (,)0,(,)1 lim lim x x y y F x y F x y →-∞ →+∞→-∞ →+∞ ==； (4) (,)F x y 是变量x (固定y )或y (固定x )的右连续函数； (5) 121222211211(,)(,)(,)(,)(,)P x X x y Y y F x y F x y F x y F x y <≤<≤=--+． 5．连续型随机变量及其概率密度 设随机变量X 的分布函数为()F x ，如果存在一个非负函数()f x ，使得对于任一实数x ，有 ()()x F x f x dx -∞ =? 成立，则称X 为连续型随机变量，函数()f x 称为连续型随机变量X 的概率密度． 6．概率密度()f x 及连续型随机变量的性质 （１）()0;f x ≥ （２） ()1 f x dx +∞ -∞ =? ； 第三讲 二维随机变量的概率分布 考纲要求 1.理解多维随机变量的概念，理解多维随机变量的分布的概念和性质，理解二维离散型随机变量的概率分布、边缘分布和条件分布，理解二维连续型随机变量的概率密度、边缘密度和条件密度，会求与二维随机变量相关事件的概率. 2.理解随机变量的独立性及不相关的概念，掌握随机变量相互独立的条件. 3.掌握二维均匀分布，了解二维正态分布的概率密度，理解其中参数的概率意义. 4.会求两个随机变量简单函数的分布，会求多个相互独立随机变量简单函数的分布. 一、二维随机变量的概率分布 问题1 何谓二维随机变量的联合分布函数？何谓二维随机变量的边缘分布函数？ 答 1.二维随机变量),(Y X 的联合分布函数{}(,),F x y P X x Y y =≤≤，即),(Y X 的取值落在无穷矩形域(,](,]x y -∞?-∞内的概率. 二维随机变量的联合分布函数具有如下性质： ⑴0(,)1F x y ≤≤； ⑵(,)(,)(,)0F F y F x -∞-∞=-∞=-∞=，(,)1F +∞+∞=； ⑶(,)F x y 关于x （关于y ）单调不减； ⑷(,)F x y 关于x （关于y ）右连续. 2.二维随机变量),(Y X 关于X 的边缘分布函数 {}{}(),(,)lim (,)X y F x P X x P X x Y F x F x y →+∞ =≤=≤<+∞=+∞=. 二维随机变量),(Y X 关于Y 的边缘分布函数 {}{}(),(,)lim (,)Y x F y P Y y P X Y y F y F x y →+∞ =≤=<+∞≤=+∞=. 问题2 何谓二维离散型随机变量联合分布、边缘分布和条件分布？ 答 ⑴联合分布 设二维离散随机变量(,)X Y 的所有可能值为(,),,1,2,i j x y i j = ，则称 {},(,1,2,)i j ij P X x Y y p i j ==== 为二维离散随机变量(,)X Y 的联合分布律，其中 01ij p ≤≤，1 1 1ij i j p ∞ ∞ ===∑ ∑ . ⑵边缘分布 1 第三章二维随机变量及其概率分布 一.二维随机变量与联合分布函数 1.定义若X 和Y 是定义在样本空间S 上的两个随机变量,则由它们所组成的向量(X,Y)称为二维随机向量或二维随机变量. 对任意实数x,y,二元函数F(x,y)=P{X ≤x,Y ≤y}称为(X,Y)的(X 和Y 的联合)分布函数.2.分布函数的性质 (1)F(x,y)分别关于x 和y 单调不减. (2)0≤F(x,y)≤1,F(x,-∞)=0,F(-∞,y)=0,F(-∞,-∞)=0,F(∞,∞)=1.(3)F(x,y)关于每个变量都是右连续的,即F(x+0,y)=F(x,y),F(x,y+0)=F(x,y).(4)对于任意实数x 110.二维连续型随机变量
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