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中考初三数学专题隐形圆

中考初三数学专题隐形圆
中考初三数学专题隐形圆

中考初三数学专题

隐形圆

辅助圆

模型一:“隐形圆”解点的存在性

模型分析“定边、定角”圆上找.具体来说:当边长一定,其所对角度也一定时,该角顶点

在两段弧上.

1. 如图,已知线段AB.

(1)请你在图①中画出使∠APB=90°的所有满足条件的点P;

(2)请你在图②中画出使∠APB=60°的所有满足条件的点P;

(3)请你在图③中画出使∠APB=45°的所有满足条件的点P.

2. (1)如图①,在矩形ABCD中,AB=2,BC=5.请你在图①中矩形ABCD的边上画出使∠BPC=90°的点P;

(2)如图②,在矩形ABCD中,AB=2,BC=.请你在图②中矩形ABCD的边上画出使∠BPC=60°的点P;(3)如图③,在正方形ABCD中,AB=2,BC= .请你在图③正方形ABCD的边上画出使∠BPC=45°的点P.

3. 如图,线段AB和动点C构成△ABC,AB=2,∠ACB=120°,则△ABC周长的最大值为___________.

.

模型二:“隐形圆”解角的最值

模型分析同弧所对的圆周角相等,其所对的“圆外角”小于圆周角,“圆内角”大于圆周角. 如图①,∠

B=∠D=∠E;如图②,∠F>∠B>∠G.

4. 如图,线段AB是球门的宽,球员(前锋)在距球门前一定距离的直线b上,在直线b上是否存在一点P,使得球员在P点射门更易进球?若存在这样的点,请找出;若不存在,请说明理由.

5. 如图,点A与点B的坐标分别是(1,0),(5,0),点P是该直角坐标系内的一个动点.

(1)使∠APB=30°的点P有________个;

(2)若点P在y轴上,且∠APB=30°,求满足条件的点P的坐标;

(3)当点P在y轴上移动时,∠APB是否有最大值?若有,求点P的坐标,并说明此时∠APB最大的理由;若没有,请说明理由.

模型三:“隐形圆”解线段的最值

模型分析平面内一定点D和⊙O上动点E的连线中,当连线过圆心O时,线段DE有最大值和最小值. 具体分以下三种情况讨论(规定OD=d,⊙O半径为r):

第一种:当点D在⊙O外时,d>r,如图①、②:当D,E,O三点共线时,线段DE出现最值,DE的最大值为(d+r),DE的最小值为(d-r);

第二种:当点D在圆上时,d=r,如图③:当D,E,O三点共线时,线段DE出现最值, DE的最大值为d+r=2r(即为⊙O的直径),DE的最小值为d-r=0(点D,E重合);

第三种:当点D在⊙O内时,d

6. 如图,已知⊙O及其圆外一点C,请在⊙O上找一点P,使其到点C的距离最近.

7. 如图,已知正方形ABCD的边长为4.点M和N分别从B,C同时出发,以相同的速度沿BC,CD方向向终点C和D运动.连接AM和BN,交于点P,则PC长的最小值为_________(请在图中画出点P的运动路

径)

8. 如图,在边长为2的菱形ABCD中,∠A=60°,M是AD边的中点,N是AB上一个动点,将△AMN沿MN所在直线翻折得到△A′MN,连接A′C,则A′C的最小值为___________.(请在图中画出点A′的

运动路径)

9. 如图,∠AOB=45°,边OA,OB上分别有两个动点C,D,连接CD,以CD为直角边作等腰直角△CDE,当CD长保持不变且等于2 cm时,则OE的最大值为___________..

模型四:“隐形圆”解面积的最值

模型分析三角形中,若一边长为定值,这一边所对的角度也为定值,则满足条件的点在两段弧上运动,

当这个角的顶点在其对边的中垂线与弧的交点处时该三角形的面积达到最大,此时该三角形为等腰三角形. 例:如图,AB=2,∠APB=90°,要求 S△APB的最大值,当且仅当PO⊥AB时,△APB的面积最大.

10. 如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,BD⊥DC,若AD=2,BC=4,则四边形ABCD面积的最大值是

___________..

11. 如图,已知在四边形ABCD中,AB=AD,∠BAD=60°,∠BCD=30°,AC=4,则四边形ABCD面积

的最小值是___________.

12. 如图,在△ABC中,AB=2,∠ACB=45°,分别以AC,BC为边向外作正方形ACED,正方形CBMN,

连接EN,则△ECN面积的最大值为___________.___..

13.如图,∠MON=90°,矩形ABCD的顶点A、B分别在边OM,ON上,当B在边ON上运动时,A随之在边OM上运动,矩形ABCD的形状保持不变,其中AB=2,BC=1,运动过程中,点D到点O的最大距离

为()

A. B.

C.

D.

13.如图,在Rt △ABC 中,∠B =60°,BC =3,D 为BC 边上的三等分点,BD =2CD ,E 为AB 边上一动点,将△DBE 沿DE 折叠到△DB ′E 的位置,连接AB ′,则线段AB ′的最小值为:___________.

14.如图,O 的直径为4,C 为O 上一个定点,∠ABC =30°,动点P 从A 点出发沿半圆弧AB ?向B 点运动(点P 与点C 在直径AB 的异侧),当P 点到达B 点时运动停止,在运动过程中,过点C 作CP 的垂线CD 交PB 的延长线于D 点。

(1)在点P 的运动过程中,线段CD 长度的取值范围为___.

(2)在点P 的运动过程中,线段AD 长度的最大值为___.

15.如图,在平面直角坐标系中,直线y =?43

x +3与x 轴交于点A ,与y 轴交于点B. 点Q 在直线AB 上,点P 在x 轴上,且∠OQP =90°.

(1)当点P 与点A 重合时,点Q 的坐标为___;

(2)设点P 的横坐标为a ,则a 的取值范围是___.

16.如图,已知抛物线y =ax 2+bx +c (a ≠0)与x 轴交于A (1,0)、B (4,0)两点,与y 轴交于C (0,2),连接AC 、BC .

(1)求抛物线解析式;

(2)BC 的垂直平分线交抛物线于D. E 两点,求直线DE 的解析式;

(3)若点P 在抛物线的对称轴上,且∠CPB =∠CAB ,求出所有满足条件的P 点坐标。

17.在矩形ABCD中,点P在AD上,AB=2,AP=1,将三角板的直角顶点放在点P处,三角板的两直角边分别能与AB、BC边相交于点E. F,连接EF.

(1)如图,当点E与点B重合时,点F恰好与点C重合,求此时PC的长;

(2)将三角板从(1)中的位置开始,绕点P顺时针旋转,当点E与点A重合时停止,在这个过程中,请你观察、探究并解答:

①∠PEF的大小是否发生变化?请说明理由;

②在旋转中,当点F与BC边中点重合时,求四边形AEFP的面积;

③直接写出从开始到停止,线段EF的中点所经过的路线长。

(专题精选)初中数学圆的易错题汇编及答案

(专题精选)初中数学圆的易错题汇编及答案 一、选择题 1.“直角”在几何学中无处不在,下列作图作出的AOB ∠不一定... 是直角的是( ) A . B . C . D . 【答案】C 【解析】 【分析】 根据作图痕迹,分别探究各选项所做的几何图形问题可解. 【详解】 解:选项A 中,做出了点A 关于直线BC 的对称点,则AOB ∠是直角. 选项B 中,AO 为BC 边上的高,则AOB ∠是直角. 选项D 中,AOB ∠是直径AB 作对的圆周角,故AOB ∠是直角. 故应选C 【点睛】 本题考查了尺规作图的相关知识,根据基本作图得到的结论,应用于几何证明是解题关键. 2.如图,在平行四边形ABCD 中,BD ⊥AD ,以BD 为直径作圆,交于AB 于E ,交CD 于F ,若BD=12,AD :AB=1:2,则图中阴影部分的面积为( ) A .3 B .36ππ C .312π D .48336ππ 【答案】C 【解析】 【分析】 易得AD 长,利用相应的三角函数可求得∠ABD 的度数,进而求得∠EOD 的度数,那么一个阴影部分的面积=S △ABD -S 扇形DOE -S △BOE ,算出后乘2即可.

【详解】 连接OE ,OF . ∵BD=12,AD :AB=1:2, ∴AD=43 ,AB=83,∠ABD=30°, ∴S △ABD =×43×12=243,S 扇形= 603616,633933602OEB S ππ?==??=V ∵两个阴影的面积相等, ∴阴影面积=() 224369330312ππ?--=- . 故选:C 【点睛】 本题主要是理解阴影面积等于三角形面积减扇形面积和三角形面积. 3.如图,在平面直角坐标系中,点P 是以C (﹣2,7)为圆心,1为半径的⊙C 上的一个动点,已知A (﹣1,0),B (1,0),连接PA ,PB ,则PA 2+PB 2的最小值是( ) A .6 B .8 C .10 D .12 【答案】C 【解析】 【分析】 设点P (x ,y ),表示出PA 2+PB 2的值,从而转化为求OP 的最值,画出图形后可直观得出OP 的最值,代入求解即可. 【详解】 设P (x ,y ), ∵PA 2=(x +1)2+y 2,PB 2=(x ﹣1)2+y 2, ∴PA 2+PB 2=2x 2+2y 2+2=2(x 2+y 2)+2, ∵OP 2=x 2+y 2, ∴PA 2+PB 2=2OP 2+2, 当点P 处于OC 与圆的交点上时,OP 取得最值,

初三数学圆经典例题

一.圆的定义及相关概念 【考点速览】 考点1: 圆的对称性:圆既是轴对称图形又是中心对称图形。经过圆心的每一条直线都是它的对称轴。圆心是它的对称中心。 考点2: 确定圆的条件;圆心和半径 ①圆心确定圆的位置,半径确定圆的大小; ②不在同一条直线上的三点确定一个圆; 考点3: 弦:连结圆上任意两点的线段叫做弦。经过圆心的弦叫做直径。直径是圆中最大的弦。 弦心距:圆心到弦的距离叫做弦心距。 弧:圆上任意两点间的部分叫做弧。弧分为半圆,优弧、劣弧三种。 (请务必注意区分等弧,等弦,等圆的概念) 弓形:弦与它所对应的弧所构成的封闭图形。 弓高:弓形中弦的中点与弧的中点的连线段。 (请务必注意在圆中一条弦将圆分割为两个弓形,对应两个弓高) 固定的已经不能再固定的方法: 求弦心距,弦长,弓高,半径时通常要做弦心距,并连接圆心和弦的一个端点,得到直角三角形。如下图: 考点4: 三角形的外接圆: 锐角三角形的外心在,直角三角形的外心在 ,钝角三角形的外心在。 考点5 点和圆的位置关系设圆的半径为r,点到圆心的距离为d,

则点与圆的位置关系有三种。 ①点在圆外?d >r ;②点在圆上?d=r ;③点在圆? d <r ; 【典型例题】 例1 在⊿ABC 中,∠ACB =90°,AC =2,BC =4,CM 是AB 边上的中线,以点C 为圆心,以5为半径作圆,试确定A,B,M 三点分别与⊙C 有怎样的位置关系,并说明你的理由。 例2.已知,如图,CD 是直径,?=∠84EOD ,AE 交⊙O 于B ,且AB=OC ,求∠A 的度数。 例3 ⊙O 平面一点P 和⊙O 上一点的距离最小为3cm ,最大为8cm ,则这圆的半径是_________cm 。 例4 在半径为5cm 的圆中,弦AB ∥CD ,AB=6cm ,CD=8cm ,则AB 和CD 的距离是多少? 例5 如图,⊙O 的直径AB 和弦CD 相交于点E ,已知AE=6cm ,EB=2cm, 30=∠CEA , 求CD 的长. 例6.已知:⊙O 的半径0A=1,弦AB 、AC 的长分别为3,2,求BAC ∠的度数. A B D C O · E

中考数学圆的综合-经典压轴题及答案

中考数学圆的综合-经典压轴题及答案 一、圆的综合 1.如图,点A、B、C分别是⊙O上的点, CD是⊙O的直径,P是CD延长线上的一点,AP=AC. (1)若∠B=60°,求证:AP是⊙O的切线; (2)若点B是弧CD的中点,AB交CD于点E,CD=4,求BE·AB的值. 【答案】(1)证明见解析;(2)8. 【解析】 (1)求出∠ADC的度数,求出∠P、∠ACO、∠OAC度数,求出∠OAP=90°,根据切线判定推出即可; (2)求出BD长,求出△DBE和△ABD相似,得出比例式,代入即可求出答案. 试题解析:连接AD,OA, ∵∠ADC=∠B,∠B=60°, ∴∠ADC=60°, ∵CD是直径, ∴∠DAC=90°, ∴∠ACO=180°-90°-60°=30°, ∵AP=AC,OA=OC, ∴∠OAC=∠ACD=30°,∠P=∠ACD=30°, ∴∠OAP=180°-30°-30°-30°=90°, 即OA⊥AP, ∵OA为半径, ∴AP是⊙O切线. (2)连接AD,BD,

∵CD是直径, ∴∠DBC=90°, ∵CD=4,B为弧CD中点, ∴BD=BC=, ∴∠BDC=∠BCD=45°, ∴∠DAB=∠DCB=45°, 即∠BDE=∠DAB, ∵∠DBE=∠DBA, ∴△DBE∽△ABD, ∴, ∴BE?AB=BD?BD=. 考点:1.切线的判定;2.相似三角形的判定与性质. 2.如图,已知△ABC内接于⊙O,BC交直径AD于点E,过点C作AD的垂线交AB的延长线于点G,垂足为F.连接OC. (1)若∠G=48°,求∠ACB的度数; (2)若AB=AE,求证:∠BAD=∠COF; (3)在(2)的条件下,连接OB,设△AOB的面积为S1,△ACF的面积为S2.若 tan∠CAF= 1 2,求1 2 S S的值. 【答案】(1)48°(2)证明见解析(3)3 4

初三数学圆专题经典 含答案

欢迎来主页下载---精品文档 九年级数学第二十四章圆测试题(A) 一、选择题(每小题3分,共33分) ,最aO上的点的最大距离为·资阳)若⊙O所在平面内一点P到⊙1.(2005 ),则此圆的半径为(小距离为b(a>b)b?baa?.A B.221 ——A图24ba?a?b ba?a?b或或 D .C.22,则弦的长为3到弦AB的距离OM1A—,⊙O的直径为10,圆心O2.(2005·浙江)如图24—)AB的长是( .8 DC.7 B.6 A.4 )°,则∠BOC的度数为(3.已知点O为△ABC的外心,若∠A=80120°D.80°C.160°A.40°B.)OBC的度数为(,△ABC内接于⊙O,若∠A=40°,则∠4.如 图24—A—270°D.°C.50°A.20°B.40 4 —AA——3 图图24—A—242 图24—5 —A—图24 点钉OB在O—3,小明同学设计了一个测量圆直径的工具,标有刻度的尺子OA、5.如图24—A个OE=8个单位,OF=6在一起,并使它们保持垂直,在测直径时,把O点靠在圆周上,读得刻度)单位,则圆的直径为(B.10个单位A.12个单位 15个单位D.个单位C.1 )等于(°,则∠A 为⊙O的直径,点C在⊙O上,若∠B=60—6.如图24A—4,AB°D.30.50°C.40°A.80°B、PA 于点E,分别交A、B,CD切⊙O,—A—5P为⊙O外一点,PA、PB分别切⊙O于7.如图24 )的周长为(、D,若PA=5,则△PCDPB于点C10 D.7 C.8 .A.5 B,为防雨需在粮仓顶部铺上,母线长为3m8.若粮仓顶部是圆锥形,且这个圆锥的底面直径为4m )油毡,则这块油毡的面积是(

备战中考数学圆的综合-经典压轴题及答案

一、圆的综合真题与模拟题分类汇编(难题易错题) 1.如图,△ABC的内接三角形,P为BC延长线上一点,∠PAC=∠B,AD为⊙O的直径,过C作CG⊥AD于E,交AB于F,交⊙O于G. (1)判断直线PA与⊙O的位置关系,并说明理由; (2)求证:AG2=AF·AB; (3)若⊙O的直径为10,AC=25,AB=45,求△AFG的面积. 【答案】(1)PA与⊙O相切,理由见解析;(2)证明见解析;(3)3. 【解析】 试题分析:(1)连接CD,由AD为⊙O的直径,可得∠ACD=90°,由圆周角定理,证得∠B=∠D,由已知∠PAC=∠B,可证得DA⊥PA,继而可证得PA与⊙O相切. (2)连接BG,易证得△AFG∽△AGB,由相似三角形的对应边成比例,证得结论. (3)连接BD,由AG2=AF?AB,可求得AF的长,易证得△AEF∽△ABD,即可求得AE的长,继而可求得EF与EG的长,则可求得答案. 试题解析:解:(1)PA与⊙O相切.理由如下: 如答图1,连接CD, ∵AD为⊙O的直径,∴∠ACD=90°. ∴∠D+∠CAD=90°. ∵∠B=∠D,∠PAC=∠B,∴∠PAC=∠D. ∴∠PAC+∠CAD=90°,即DA⊥PA. ∵点A在圆上, ∴PA与⊙O相切.

(2)证明:如答图2,连接BG , ∵AD 为⊙O 的直径,CG ⊥AD ,∴AC AD =.∴∠AGF=∠ABG. ∵∠GAF=∠BAG ,∴△AGF ∽△ABG. ∴AG :AB=AF :AG. ∴AG 2=AF?AB. (3)如答图3,连接BD , ∵AD 是直径,∴∠ABD=90°. ∵AG 2=AF?AB ,55∴5 ∵CG ⊥AD ,∴∠AEF=∠ABD=90°. ∵∠EAF=∠BAD ,∴△AEF ∽△ABD. ∴ AE AF AB AD =545=,解得:AE=2. ∴221EF AF AE = -=. ∵224EG AG AE = -=,∴413FG EG EF =-=-=. ∴1132322 AFG S FG AE ?=??=??=.

九年级 圆的专题-初三数学关于圆的大题

九年级 圆的专题(含答案) 1. 求证:若半径为R 的圆内接四边形对角线垂直,则以对角线交点到四边射影为顶点的四边形有内 切圆,且此圆半径不大于2 R . 解析 如图,已知圆内接四边形ABCD ,AC BD ⊥,垂足为P ,P 在AB 、BC 、CD 、DA 上的射影分别为E 、F 、G 、H ,则由几组四点共圆易知 sin sin sin 2AC BD EH FG AP BAD CP BCD AC BAD R ?+=∠+?∠=∠∠= ,同理EF HG +也是此值,因此四边形EFGH 有内切圆. 由于FEP CBD CAD HEP ∠=∠=∠=∠,故EP 平分FEH ∠,同理HP 、GP 、FP 平分另外3个角,P 为四边形EFGH 的内心.于是内切圆半径sin sin sin 2AD r PF PFG PF ACD PF PC ACB R =?∠=?∠=?=?∠? 2 2 24222AD PC AB AD PC PA R R R R R R ???==≤=.取到等号仅当P 为圆心时. 2. 如图(a),已知O e 的直径为AB ,1O e 过点O ,且与O e 内切于点B .C 为O e 上的点,OC 与 1O e 交于点D , 且满足OD CD >,点E 在线段OD 上,使得D 为线段CE 的中点,连结BE 并延长,与1O e 交于点F ,求证:BOC △∽1DO F △. 解析 如图(b),连结BD ,因为OB 为1O e 的直径,所以90ODB ∠=?,结合DC DE =,可得BDE △≌BDC △. 设BC 与1O e 交于点M ,连结OM ,则90OMB ∠=?,于是OM 平分COB ∠,从而有 122222BOC DOM DBM DBC DBE DBF DO F ∠=∠=∠=∠=∠=∠=∠. 又因为BOC ∠,1DO F ∠分别是等腰BOC △,1DO F △的顶角,所以BOC △∽1DO F △. 3. I 是ABC △的内心,线段AI 延长交ABC △的外接圆于D ,若3AB =,4AC =,且IBC DBC S S =△△, 求BC . 解析 如图,设BC 与AD 交于E ,则IE ED x ==,2BD CD ID x ===,又设AE y =,由于在等腰三角 形BCD 中,有熟知的结论22BD DE BE CE AE ED -=?=?,此即23x yx =,3y x =,故2AB AC AI BC IE +==, 72 BC =. C F G P H D B E A (b) (a)O 1A O B M E C D F O 1 O B E C D F

(完整)初三数学有关圆的经典例题

初三数学 有关圆的经典例题 1. 在半径为的⊙中,弦、的长分别为和,求∠的度数。132O AB AC BAC 分析:根据题意,需要自己画出图形进行解答,在画图时要注意AB 与AC 有不同的位置关系。 解:由题意画图,分AB 、AC 在圆心O 的同侧、异侧两种情况讨论, 当AB 、AC 在圆心O 的异侧时,如下图所示, 过O 作OD ⊥AB 于D ,过O 作OE ⊥AC 于E , ∵,,∴,AB AC AD AE = == = 32322 2 ∵,∴∠,OA OAD AD OA == =132 cos cos ∠OAE AE OA = = 22 ∴∠OAD=30°,∠OAE=45°,故∠BAC=75°, 当AB 、AC 在圆心O 同侧时,如下图所示, 同理可知∠OAD=30°,∠OAE=45°, ∴∠BAC=15° 点拨:本题易出现只画出一种情况,而出现漏解的错误。 例2. 如图:△ABC 的顶点A 、B 在⊙O 上,⊙O 的半径为R ,⊙O 与AC 交于D , 如果点既是的中点,又是边的中点,D AB AC ? (1)求证:△ABC 是直角三角形; ()22 求的值AD BC 分 析 : ()1由为的中点,联想到垂径定理的推论,连结交于,D AB OD AB F ? 则AF=FB ,OD ⊥AB ,可证DF 是△ABC 的中位线;

(2)延长DO 交⊙O 于E ,连接AE ,由于∠DAE=90°,DE ⊥AB ,∴△ADF ∽△,可得·,而,,故可求DAE AD DF DE DF BC DE R AD BC 2 2 122=== 解:(1)证明,作直径DE 交AB 于F ,交圆于E ∵为的中点,∴⊥,D AB AB DE AF FB ? = 又∵AD=DC ∴∥,DF BC DF BC = 12 ∴AB ⊥BC ,∴△ABC 是直角三角形。 (2)解:连结AE ∵DE 是⊙O 的直径 ∴∠DAE=90° 而AB ⊥DE ,∴△ADF ∽△EDA ∴ ,即·AD DE DF AD AD DE DF ==2 ∵,DE R DF BC ==21 2 ∴·,故AD BC R AD BC R 2 2 == 例3. 如图,在⊙O 中,AB=2CD ,那么( ) A A B CD B AB CD ..?>? ?

广州中考圆压轴题专题#(精选.)

1.如图甲,分别以两个彼此相邻的正方形OABC与CDEF的边OC、OA 所在直线为x轴、y轴建立平面直角坐标系(O、C、F三点在x轴正半轴上).若⊙P过A、B、E三点(圆心在x轴 上),抛物线y=1 4 x2+bx+c经过A、C两点,与x轴的另一交点为G,M是FG的中点,正方形 CDEF的面积为1. (1)求B点坐标; (2)求证:ME是⊙P的切线; 2.如图,△ABC内接于⊙O,AD⊥BC,OE⊥BC,OE=1 2 BC. (1)求∠BAC的度数; (2)将△ACD沿AC折叠为△ACF,将△ABD沿AB折叠为△ABG,延长FC和GB相交于点H;求证:四边形AFHG是正方形; (3)若BD=6,CD=4,求AD的长.

3.如图1所示,以点M(-1,O)为圆心的圆与y轴、x轴分别交于点A,B,C,D,直线y= 3 -x- 53 与⊙M相切于点H,交x轴于点E,交y轴于点F. (1)请直接写出OE、⊙M的半径r、CH的长; (2)如图2所示,弦HQ交x轴于点P,且DP:PH=3:2,求cos∠QHC的值; (3)如图3所示,点K为线段EC上一动点(不与E,C重合),连接BK交⊙M于点T,弦A T交x轴于点N.是否存在一个常数a,始终满足MN?MK=a,如果存在,请求出a的值;如果不存在,请说明 理由. 4.如图,E点为x轴正半轴上一点,⊙E交x轴于A、B两点,交y轴于C、D两点,P点 为劣弧?BC上一个动点,且A(-1,0),E(1,0). (1)求点C的坐标; (2)连接PA,PC.若CQ平分∠PCD交PA于Q点,当P点在运动时,线段AQ的长度是否发生变化; 若不变求出其值,若发生变化,求出变化的范围; (3)连接PD,当P点在运动时(不与B、C两点重合),求证:PC PD PA 的值不变

2016年中考压轴题专题与圆有关的最值问题附答案

B y C x A O D B O C A 与圆有关的最值(取值范围)问题 引例1:在坐标系中,点A 的坐标为(3,0),点B 为y 轴正半轴上的一点,点C 是第一象限 内一点,且AC=2.设tan ∠BOC=m ,则m 的取值范围是_________. 引例2:如图,在边长为1的等边△OAB 中,以边AB 为直径作⊙D ,以O 为圆心OA 长为半径 作⊙O ,C 为半圆弧?AB 上的一个动点(不与A 、B 两点重合) ,射线AC 交⊙O 于点E ,BC=a ,AC=b ,求a b 的最大值. 引例3:如图,∠BAC=60°,半径长为1的圆O 与∠BAC 的两边相切,P 为圆O 上一动点, 以P 为圆心,PA 长为半径的圆P 交射线AB 、AC 于D 、E 两点,连接DE ,则线段DE 长度的最大值为( ). A .3 B .6 C .332 D .33 一、题目分析: 此题是一个圆中的动点问题,也是圆中的最值问题,主要考察了圆内的基础知识、基本技能和基本思维方法,注重了初、高中知识的衔接 1.引例1:通过隐藏圆(高中轨迹的定义),寻找动点C 与两个定点O 、A 构成夹角的变化规律,转化为特殊位置(相切)进行线段、角度有关计算,同时对三角函数值的变化(增减性)进行了延伸考查,其实质是高中“直线斜率”的直接运用; 2.引例2:通过圆的基本性质,寻找动点C 与两个定点A 、B 构成三角形的不变条件,结合不等式的性质进行转化,其实质是高中“柯西不等式”的直接运用; 3.引例3:本例动点的个数由引例1、引例2中的一个动点,增加为三个动点,从性质运用、构图形式、动点关联上增加了题目的难度,解答中还是注意动点D 、E 与一个定点A 构成三角形的不变条件(∠DAE=60°),构造弦DE 、直径所在的直角三角形,从而转化为弦DE 与半径AP 之间的数量关系,其实质是高中“正弦定理”的直接运用; 综合比较、回顾这三个问题,知识本身的难度并不大,但其难点在于学生不知道转化的套路,只能凭直观感觉去寻找、猜想关键位置来求解,但对其真正的几何原理却无法通透. 二、解题策略 1.直观感觉,画出图形; 2.特殊位置,比较结果; 3.理性分析动点过程中所维系的不变条件,通过几何构建,寻找动量与定量(常量)之间的关系,建立等式,进行转化.

初三数学圆知识点复习专题经典

《圆》 一、圆的概念 概念:1、圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合; 2、圆的外部:可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合; 3、圆的内部:可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合 轨迹形式的概念:1、圆:到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心,定长为半径的圆; (补充)2、垂直平分线:到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线(也叫中垂线); 3、角的平分线:到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线; 4、到直线的距离相等的点的轨迹是:平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线; 5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是:平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线。 二、点与圆的位置关系 1、点在圆内?d r ?点A在圆外; 三、直线与圆的位置关系 1、直线与圆相离?d r >?无交点; 2、直线与圆相切?d r =?有一个交点; 3、直线与圆相交?d r +; 外切(图2)?有一个交点?d R r =+; 相交(图3)?有两个交点?R r d R r -<<+; 内切(图4)?有一个交点?d R r =-; 内含(图5)?无交点?d R r <-; A

r R d 图3 r R d 五、垂径定理 垂径定理:垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。 推论1:(1)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧; (2)弦的垂直平分线经过圆心,并且平分弦所对的两条弧; (3)平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的另一条弧 以上共4个定理,简称2推3定理:此定理中共5个结论中,只要知道其中2个即可推出其它3个结论,即: ①AB 是直径 ②AB CD ⊥ ③CE DE = ④ 弧BC =弧BD ⑤ 弧AC =弧AD 中任意2个条件推出其他3个结论。 推论2:圆的两条平行弦所夹的弧相等。 即:在⊙O 中,∵AB ∥CD ∴弧AC =弧BD 例题1、 基本概念 1.下面四个命题中正确的一个是( ) A .平分一条直径的弦必垂直于这条直径 B .平分一条弧的直线垂直于这条弧所对的弦 C .弦的垂线必过这条弦所在圆的圆心 D .在一个圆内平分一条弧和它所对弦的直线必过这个圆的圆心 2.下列命题中,正确的是( ). A .过弦的中点的直线平分弦所对的弧 B .过弦的中点的直线必过圆心 C .弦所对的两条弧的中点连线垂直平分弦,且过圆心 D .弦的垂线平分弦所对的弧 例题2、垂径定理 1、 在直径为52cm 的圆柱形油槽内装入一些油后,截面如图所示,如果油的最大 深度为16cm ,那么油面宽度AB 是________cm. r R d 图4 r R d 图5 r R d O E D C A O C D A B

初三数学圆专题经典(含答案)

九年级数学第二十四章圆测试题(A ) 一、选择题(每小题3分,共33分) 1.(2005·资阳)若⊙O 所在平面内一点P 到⊙O 上的点的 最大距离为a ,最小距离为b (a>b ),则此圆的半径为( ) A .2b a + B .2 b a - C .2 2b a b a -+或 D .b a b a -+或 2.(2005·浙江)如图24—A —1,⊙O 的直径为10,圆心O 到弦AB 的距离OM 的长为3,则弦AB 的长是( ) A .4 B .6 C .7 D .8 3.已知点O 为△ABC 的外心,若∠A=80°,则∠BOC 的度数为( ) A .40° B .80° C .160° D .120° 4.如图24—A —2,△ABC 内接于⊙O ,若∠A=40°,则∠OBC 的度数为( ) A .20° B .40° C .50° D .70° 图24—A

5.如图24—A —3,小明同学设计了一个测量圆直径的工具,标有刻度的尺子OA 、OB 在O 点钉在一起,并使它们保持垂直,在测直径时,把O 点靠在圆周上,读得刻度OE=8个单位,OF=6个单位,则圆的直径为( ) A .12个单位 B .10个单位 C .1个单位 D .15个单位 6.如图24—A —4,AB 为⊙O 的直径,点C 在⊙O 上,若∠B=60°,则∠A 等于( ) A .80° B .50° C .40° D .30° 7.如图24—A —5,P 为⊙O 外一点,PA 、PB 分别切⊙O 于A 、B ,CD 切⊙O 于点E ,分别交PA 、PB 于点C 、D ,若PA=5,则△PCD 的周长为( ) A .5 B .7 C .8 D .10 8.若粮仓顶部是圆锥形,且这个圆锥的底面直径为4m ,母线长为3m ,为防雨需在粮仓顶部铺上油毡,则这块油毡的面积是( ) A .26m B .26m π C .212m D .212m π 9.如图24—A —6,两个同心圆,大圆的弦AB 与小圆相切 于点P ,大圆的弦CD 经过点P ,且CD=13,PC=4,则两圆 组成的圆环的面积是( ) A .16π B .36π C .52π D .81π

中考圆压轴题训练精选

成都中考圆压轴题训练 一.选择题(共15小题) 1.如图1,⊙O的直径为AB,过半径OA的中点G作弦CE⊥AB,在上取一点D,分别作直线CD,ED,交直线AB于点F、M. (1)求∠COA和∠FDM的度数; (2)求证:△FDM∽△COM; (3)如图2,若将垂足G改取为半径OB上任意一点,点D改取在上,仍作直线CD、ED,分别交直线AB于点F、M.试判断:此时是否仍有△FDM∽△COM?证明你的结论. 2.已知:如图,BC为半圆的直径,O为圆心,D是弧AC的中点,四边形ABCD 的对角线AC、BD交于点E. (1)求证:△ABE∽△DBC; (2)已知BC=,CD=,求sin∠AEB的值; (3)在(2)的条件下,求弦AB的长. 3.如图,在半径为2的扇形AOB中,∠AOB=90°,点C是弧AB上的一个动点(不与点A、B重合)OD⊥BC,OE⊥AC,垂足分别为D、E. (1)当BC=1时,求线段OD的长; (2)在△DOE中是否存在长度保持不变的边?如果存在,请指出并求其长度,

如果不存在,请说明理由; (3)设BD=x ,△DOE 的面积为y ,求y 关于x 的函数关系式,并写出它的定义域. 4.如图,⊙M 交x 轴于B 、C 两点,交y 轴于A ,点M 的纵坐标为2.B (﹣3, O ),C (,O ). (1)求⊙M 的半径; (2)若CE ⊥AB 于H ,交y 轴于F ,求证:EH=FH . (3)在(2)的条件下求AF 的长. 5.已知:如图,△ABC 内接于⊙O ,BC 为直径,AD ⊥BC 于点D ,点E 为DA 延长线上一点,连接BE ,交⊙O 于点F ,连接CF ,交AB 、AD 于M 、N 两点. (1)若线段AM 、AN 的长是关于x 的一元二次方程x 2﹣2mx +n 2﹣mn +m 2=0的两个实数根,求证:AM=AN ; (2)若AN=,DN=,求DE 的长; (3)若在(1)的条件下,S △AMN :S △ABE =9:64,且线段BF 与EF 的长是关于y 的一元二次方程5y 2﹣16ky +10k 2+5=0的两个实数根,求直径BC 的长.

中考数学综合题专题【圆】专题训练含答案

中考数学综合题专题【圆】专题训练含答案 一、选择题 1.(北京市西城区)如图,BC 是⊙O 的直径,P 是CB 延长线上一点,PA 切⊙O 于点A ,如果PA =3,PB =1,那么∠APC 等于 ( ) (A ) 15 (B ) 30 (C ) 45 (D ) 60 2.(北京市西城区)如果圆柱的高为20厘米,底面半径是高的 41,那么这个圆柱的侧面积是 ( ) (A )100π平方厘米 (B )200π平方厘米 (C )500π平方厘米 (D )200平方厘米 3.(北京市西城区)“圆材埋壁”是我国古代著名的数学菱《九章算术》中的一个问题,“今在圆材,埋在壁中,不知大小.以锯锯之,深一寸,锯道长一尺,问径几何?”用 现在的数学语言表述是:“如图,CD 为⊙O 的直径,弦AB ⊥CD ,垂足为E ,CE =1寸,AB =寸,求直径CD 的长”.依题意,CD 长为 ( ) (A )2 25寸 (B )13寸 (C )25寸 (D )26寸 4.(北京市朝阳区)已知:如图,⊙O 半径为5,PC 切⊙O 于点C ,PO 交⊙O 于点A ,PA =4,那么PC 的长等于 ( ) (A )6 (B )25 (C )210 (D )214 5.(北京市朝阳区)如果圆锥的侧面积为20π平方厘米,它的母线长为5厘 米,那么此圆锥的底面半径的长等于 ( ) (A )2厘米 (B )22厘米 (C )4厘米 (D )8厘米 6.(天津市)相交两圆的公共弦长为16厘米,若两圆的半径长分别为10厘 米和17厘米,则这两圆的圆心距为 ( ) (A )7厘米 (B )16厘米 (C )21厘米 (D )27厘米 7.(重庆市)如图,⊙O 为△ABC 的内切圆,∠C = 90,AO 的延长线交BC 于点D ,AC =4,DC =1,,则⊙O 的半径等于 ( )

(完整版)中考数学圆-经典压轴题(带答案)

1.如图,四边形ABCD内接于⊙O,AB是⊙O的直径,AC和BD相交于点E,且DC2=CE?CA. (1)求证:BC=CD; (2)分别延长AB,DC交于点P,过点A作AF⊥CD交CD的延长线于点F,若PB=OB,CD =,求DF的长. 2.如图,AB是⊙O的直径,弦CD⊥AB于H,过CD延长线上一点E作⊙O的切线交AB的延长线于F.切点为G,连接AG交CD于K. (1)求证:KE=GE; (2)若=KD·GE,试判断AC与EF的位置关系,并说明理由; (3)在(2)的条件下,若sinE=,AK=,求FG的长.

3.如图,AB 是⊙O 的直径,点C 是⊙O 上一点,AD 与过点C 的切线垂直,垂足为点D ,直线DC 与AB 的延长线相交于点P ,弦CE 平分∠ACB ,交AB 于点F ,连接BE . (1)求证:AC 平分∠DAB ; (2)求证:△PCF 是等腰三角形; (3)若tan ∠ABC= 3 4,BE=72,求线段PC 的长. 4.

5.已知:如图,在半径为4的⊙O中,AB,CD是两条直径,M为OB的中点,CM的延长线交⊙O于点E,且EM>MC,连结DE,DE=。 (1)求证:AM·MB=EM·MC;(2)求EM的长;(3)求sin∠EOB的值。 6.如图,AE切⊙O于点E,AT交⊙O于点M,N,线段OE交AT于点C,OB⊥AT于点B,已知 ∠EAT=30°,AE=3,MN=2. (1)求∠COB的度数; (2)求⊙O的半径R; (3)点F在⊙O上(是劣弧),且EF=5,把△OBC经过平移、旋转和相似变换后,使它的两个顶点分别与点E,F重合.在EF的同一侧,这样的三角形共有多少个?你能在其中找出另一个顶点在⊙O上的三角形吗?请在图中画出这个三角形,并求出这个三角形与△OBC的周长之比.

圆中考数学压轴题

1 如图,将△AOB置于平面直角坐标系中,其中点O为坐标原点,点A的坐标为(3,0),∠ABO=60°. (1)若△AOB的外接圆与y轴交于点D,求D点坐标. (2)若点C的坐标为(-1,0),试猜想过D、C的直线与△AOB的外接圆的位置关系,并加以说明. (3)二次函数的图象经过点O和A且顶点在圆上,求此函数的解析式. 2 如图(4),正方形111 OA B C的边长为1,以O为圆心、 1 OA为半径作扇形 1111 OAC AC ,与 1 OB相交于点 2 B,设正方形 111 OA B C 与扇形 11 OA C之间的阴影部分的面积为 1 S;然后以 2 OB为对角线作正方形 222 OA B C,又以O为圆心,、 2 OA为半径作扇形 22 OA C,22 A C与 1 OB相交于点 3 B,设正方形 222 OA B C与扇形 22 OA C之间的阴影部分面积为 2 S;按此规律继续作下去,设正方形 n n n OA B C 与扇形 n n OA C之间的阴影部分面积为 n S. (1)求 123 S S S ,,; (2)写出 2008 S; (3)试猜想 n S(用含n的代数式表示,n为正整数). 3 (10分)如图,点I是△ABC的内心,线段A I的延长线交△ABC的外接圆于点D,交BC边于点E. (1)求证:I D=BD; (2)设△ABC的外接圆的半径为5,I D=6,AD x =,DE y =,当点A在优弧上运动时,求y与x的函数关系式,并指出自变量x的取值范围. 4 如图,点A,B,C,D是直径为AB的⊙O上四个点,C是劣弧BD的中点,AC交BD于点E,AE=2,EC=1. (1)求证:DEC △∽ADC △;(3分) (2)试探究四边形ABCD是否是梯形?若是,请你给予 证明并求出它的面积;若不是,请说明理由.(4分) (3)延长AB到H,使BH=OB. 1 B2 B3 A1 A2 A3 O C C C 图4 S2 S1 S3

初中数学“圆”专题复习(初三必备)

初中数学“圆”专题复习(初三必备) 一、知识点梳理 知识点1:圆的定义: 1. 圆上各点到圆心的距离都等于 . 2. 圆是对称图形,任何一条直径所在的直线都是它的; 圆又是对称图形,是它的对称中心. 知识点2:弦、弧、半圆、优弧、同心圆、等圆、等弧、圆心角、圆周角等与圆有关的概念 1.在同圆或等圆中,相等的弧叫做 2. 同弧或等弧所对的圆周角,都等于它所对的圆心角的 . 3. 直径所对的圆周角是,90°所对的弦是 . 例1 P为⊙O内一点,OP=3cm,⊙O半径为5cm,则经过P点的最短弦长为________;?最长弦长为_______. 例2 如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90度.点P是半圆弧AC的中点,连接BP交AC于点D,若半圆弧的圆心为O,点D、点E关于圆心O对称.则图中的两个阴影部分的面积S 1 , S 2 之间的关系是() A.S 1<S 2 B.S 1 >S 2 C.S 1 =S 2 D.不确定 例3 如图,正方形的边长为a,以各边为直径在正方形内画半圆,所围成的图形(阴影部分)的面积为()

A.2条 B.3条 C.4条 D.5条 知识点3:圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系 在同圆或等圆中,如果两个圆心角,两条弧,两条弦,两个圆周角中有一组量,那么它们所对应的其余各组量都分别 . 知识点4:垂径定理 垂直于弦的直径平分,并且平分; 平分弦(不是直径)的垂直于弦,并且平分 . 例1、如图(1)和图(2),MN是⊙O的直径,弦AB、CD?相交于MN?上的一点P,?∠APM=∠CPM. (1)由以上条件,你认为AB和CD大小关系是什么,请说明理由. (2)若交点P在⊙O的外部,上述结论是否成立?若成立,加以证明;若不成立,请说明理由. 例2 在圆柱形油槽内装有一些油.截面如图,油面宽AB为6分米,如果再注入一些油后,油面AB上升1分米,油面宽变为8分米,圆柱形油槽直径MN为() A.6分米 B.8分米 C.10分米 D.12分米

初三数学圆专题经典 (含答案)

九年级数学第二十四章圆测试题(A ) 一、选择题(每小题3分,共33分) 1.(2005·资阳)若⊙O 所在平面内一点P 到⊙O 上的点的最大距离为a ,最小距离为b (a>b ),则此圆的半径为( ) A . 2b a + B .2b a - C .2 2b a b a -+或 D .b a b a -+或 2.(2005·浙江)如图24—A —1,⊙O 的直径为10,圆心O 到弦AB 的距离OM 的长为3,则弦 AB 的长是( ) A .4 B .6 C .7 D .8 3.已知点O 为△ABC 的外心,若∠A=80°,则∠BOC 的度数为( ) A .40° B .80° C .160° D .120° 4.如图24—A —2,△ABC 内接于⊙O ,若∠A=40°,则∠OBC 的度数为( ) A .20° B .40° C .50° D .70° 5.如图24—A —3,小明同学设计了一个测量圆直径的工具,标有刻度的尺子OA 、OB 在O 点钉在一起,并使它们保持垂直,在测直径时,把O 点靠在圆周上,读得刻度OE=8个单位,OF=6个单位,则圆的直径为( ) A .12个单位 B .10个单位 C .1个单位 D .15个单位 6.如图24—A —4,AB 为⊙O 的直径,点C 在⊙O 上,若∠B=60°,则∠A 等于( ) A .80° B .50° C .40° D .30° 7.如图24—A —5,P 为⊙O 外一点,PA 、PB 分别切⊙O 于A 、B ,CD 切⊙O 于点E ,分别交PA 、PB 于点C 、D ,若PA=5,则△PCD 的周长为( ) A .5 B .7 C .8 D .10 8.若粮仓顶部是圆锥形,且这个圆锥的底面直径为4m ,母线长为3m ,为防雨需在粮仓顶部铺上油毡,则这块油毡的面积是( ) A .2 6m B .2 6m π C .2 12m D .2 12m π 9.如图24—A —6,两个同心圆,大圆的弦AB 与小圆相切于点P ,大圆的弦CD 经过点P ,且CD=13,PC=4,则两圆组成的圆环的面积是( ) A .16π B .36π C .52π D .81π 10.已知在△ABC 中,AB=AC=13,BC=10,那么△ABC 的内切圆的半径为( ) A .310 B .5 12 C .2 D . 3 图24—A — 5 图24—A — 6 图24—A — 1 图24—A — 2 图24—A — 3 图24—A —4

中考数学圆的综合-经典压轴题附答案解析

中考数学圆的综合-经典压轴题附答案解析 一、圆的综合 1.如图,点A、B、C分别是⊙O上的点, CD是⊙O的直径,P是CD延长线上的一点,AP=AC. (1)若∠B=60°,求证:AP是⊙O的切线; (2)若点B是弧CD的中点,AB交CD于点E,CD=4,求BE·AB的值. 【答案】(1)证明见解析;(2)8. 【解析】 (1)求出∠ADC的度数,求出∠P、∠ACO、∠OAC度数,求出∠OAP=90°,根据切线判定推出即可; (2)求出BD长,求出△DBE和△ABD相似,得出比例式,代入即可求出答案. 试题解析:连接AD,OA, ∵∠ADC=∠B,∠B=60°, ∴∠ADC=60°, ∵CD是直径, ∴∠DAC=90°, ∴∠ACO=180°-90°-60°=30°, ∵AP=AC,OA=OC, ∴∠OAC=∠ACD=30°,∠P=∠ACD=30°, ∴∠OAP=180°-30°-30°-30°=90°, 即OA⊥AP, ∵OA为半径, ∴AP是⊙O切线. (2)连接AD,BD,

∵CD 是直径, ∴∠DBC=90°, ∵CD=4,B 为弧CD 中点, ∴BD=BC= , ∴∠BDC=∠BCD=45°, ∴∠DAB=∠DCB=45°, 即∠BDE=∠DAB , ∵∠DBE=∠DBA , ∴△DBE ∽△ABD , ∴ , ∴BE?AB=BD?BD= . 考点:1.切线的判定;2.相似三角形的判定与性质. 2.如图,△ABC 是⊙O 的内接三角形,点D 在BC uuu r 上,点E 在弦AB 上(E 不与A 重 合),且四边形BDCE 为菱形. (1)求证:AC=CE ; (2)求证:BC 2﹣AC 2=AB?AC ; (3)已知⊙O 的半径为3. ①若AB AC =5 3 ,求BC 的长; ②当 AB AC 为何值时,AB?AC 的值最大? 【答案】(1)证明见解析;(2)证明见解析;(3)2;② 32

(完整版)九年级数学中考圆专题复习

九年级圆专题复习 第21题圆这道题对于升学考高中的学生来说是一道必得分题,随着中考复习的逐步深入,学生从知识上对于这道题已经很熟练了,都知道这道题的第(2)问主要考查圆与相似、三角函数、勾股定理等等。如果不进行归类,学生的脑海中还是显得比较杂,比较乱。在复习的过程中,教师如何引导学生进行归类,如何提升学生的转化能力,这些则是教学最需要突破的地方。如果教师能够引导学生对第21题考查的题型结构进行有效的归类,那么学生在面对这道题的时候,首先将这道题归纳为几个重要的熟悉的题型,然后利用自己对这几个题型的熟练理解,则可以大大提高解决问题的速度和准确性。 一、历年题型对比分析及2017年中考题型预测 1. (2013?武汉四月调考)在圆O 中,AB 为直径,PC 为弦,且PA=PC. (1)如图1,求证:OP//BC ; (2)如图2,DE 切圆O 于点C ,若DE//AB ,求tan ∠A 的值。 2. (2013?武汉中考)如图,已知△ABC 是⊙O 的内接三角形,AB =AC ,点P 是弧AB 的中点,连接PA 、PB 、PC (1)如图①,若∠BPC =60°,求证:AP AC 3 ; (2)如图②,若sin ∠BPC= 25 24 ,求tan ∠PAB 的值。 3. (2014?武汉四月调考)已知:P 为⊙O 外一点,PA 、PB 分别切⊙O 于A 、B 两点,点C 为⊙O 上一点. (1)如图1,若AC 为直径,求证:OP ∥BC ; (2)如图2,若sin ∠P=,求tan ∠C 的值.

4.(2014?武汉中考)如图,AB 是⊙O 的直径,C 、P 是弧AB 上两点,AB =13,AC =5 (1) 如图(1),若点P 是弧AB 的中点,求PA 的长 (2) 如图(2),若点P 是弧BC 的中点,求PA 得长 5.(2015?武汉四月调考)已知:⊙O 为Rt △ABC 的外接圆,点D 在边AC 上,AD =AO . (1)如图1,若弦BE ∥OD ,求证:OD=BE ; (2)如图2,点F 在边BC 上,BF =BO ,若OD =2 2 ,OF =3,求⊙O 的直径. 6.(2015?武汉中考)如图,AB 是⊙O 的直径,∠ABT=45°,AT=AB . (1)求证:AT 是⊙O 的切线; (2)连接OT 交⊙O 于点C ,连接AC ,求tan ∠TAC . 7.(2016?武汉四月调考) 已知⊙O 为△ABC 的外接圆,点E 是△ABC 的内心,AE 的延长线交BC 于点F ,交⊙O 于点D . (1)如图1,求证:BD= ED ; (2)如图2,AO 为⊙O 的直径,若BC= 6,sin ∠BAC=5 3 ,求OE 的长. E D O A B C F D O A B C

初三数学圆经典例题

.圆的定义及相关概念 【考点速览】 考点1:圆的对称性:圆既是轴对称图形又是中心对称图形。经过圆心的每一条直线都是它的对称轴。圆心是它的对称中心。 考点2: 确定圆的条件;圆心和半径①圆心确定圆的位置,半径确定圆的大小;②不在同一条直线上的三点确定一个圆; 考点3:弦:连结圆上任意两点的线段叫做弦。经过圆心的弦叫做直径。直径是圆中最大的 弦。 弦心距:圆心到弦的距离叫做弦心距。弧:圆上任意两点间的部分叫做弧。弧分为半圆,优弧、劣弧三种。(请务必注意区分等弧,等弦,等圆的概念)弓形:弦与它所对应的弧所构成的封闭图形。弓高:弓形中弦的中点与弧的中点的连线段。 (请务必注意在圆中一条弦将圆分割为两个弓形,对应两个弓高)固定的已经不能再固定的方法: 求弦心距,弦长,弓高,半径时通常要做弦心距,并连接圆心和弦的一个端点,得到直角三角形。如下图: 考点4: 三角形的外接圆:

例 2 .已知,如图, CD 是直径, EOD 84 ,AE 交⊙ O 于 B ,且 AB=OC ,求∠ A 的度数。 例 3 ⊙O 平面内一点 P 和⊙O 上一点的距离最小为 ________ cm 。 例 4 在半径为 5cm 的圆中,弦 AB ∥CD ,AB=6cm , CD=8cm ,则 AB 和 CD 的距离是多 少? 例 5 如图 , ⊙ O 的直径 AB 和弦 CD 相交于点 E ,已知 AE=6cm , EB=2cm, CEA 30 , 求 CD 的长. 例 6. 已知:⊙ O 的半径 0A=1,弦 AB 、 AC 的长分别为 2, 3 ,求 BAC 的度数. 锐角三角形的外心在 ,直角三角形的外心在 , 钝角三角形的外心在 考点 5 点和圆的位置关系 设圆的半径为 r ,点到圆心的距离为 d , 则点与圆的位置关系有三种。 ① 点在圆外 d > r ;②点在圆上 d=r ;③点在圆内 d

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