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概率(古典,几何概型)

专题5 概率

一、古典概型

（一）基本概念：

1．基本事件：在一次试验中可能出现的每一个基本结果称为基本事件.

2．等可能性事件：若在一次试验中，每个基本事件发生的可能性相同，则称这些基本事件为等可能基本事件． 3．古典概型的特点：⑴所有的基本事件只有有限个；⑵每个基本事件发生的概率相等，⑶不需要通过大量重复的试验，只要通过对一次试验可能出现的结果进行分析即可． 4．古典概型的概率公：:如果一次试验的等可能基本事件共有n 个，那么每个等可能基本事件发生的概率都是1

n ，如果某个事件A 包含了其中m 个等可能基本事件，那么事件A 发

生的概率为P(A)=

m n

． 5．从集合的角度来理解古典概型的概率：把一次试验中等可能出现的所有结果组成全集I ，把事件A 发生的结果组成集合A ，则A 是I 的一个子集，则有P(A) =card(A)

card(t) ．

例、1一个口袋内装有大小相同的5只球，其中3只白球，２只黑球，从中一次摸出两个球， (1)共有多少个基本事件？ (2)摸出的两个都是白球的概率是多少？例2、（2010辽宁文数）三张卡片上分别写上字母E 、E 、B ，将三张卡片随机地排成一行，

恰好排成英文单词BEE 的概率为。例3. （2010江苏卷）盒子中有大小相同的3只白球，1只黑球，若从中随机地摸出两只球，两只球颜色不同的概率是_ __.

例4、（2010北京文数）从{1,2,3,4,5}中随机选取一个数为a ，从{1,2,3}中随机选取一个数为b ，则b>a 的概率是（A ）45 (B)35 （C ）25 (D)15

例5（福建卷）每次抛掷一枚骰子（六个面上分别标以数字1,2,3,4,5,6).

（I）连续抛掷2次，求向上的数不同的概率；

（II）连续抛掷2次，求向上的数之和为6的概率；

例6．用3中不同的颜色给右图中的3个矩形随机的涂色，每个矩形只涂一种颜色，求(1)3个矩形颜色都相同的概率；

(2)3个矩形颜色都不同的概率．

二、几何概型.

（一）、长度型的几何概率模型

例1、在线段[0，3]上任取一点，则此点坐标大于1的概率是（）

A、3

B、

C、

D、

例2、（2010湖南理数）在区间上随机取一个数x，则的概率为

（二）、角度型的几何概率模型

例3、(2009福建文)点A 为周长等于3的圆周上的一个定点，若在该圆周上随机取一点B ，则劣弧AB 的长度小于1的概率为。

例4、如图，在直角三角形ABC 中，0

30=∠A ，过直角顶点C 作射线CM 交线段AB 于点M ，求使|AM|>|AC|的概率。

（三）、面积型的几何概率模型

例5、(2009辽宁文)ABCD 为长方形，AB ＝2，BC ＝1，O 为AB 的中点，在长方形ABCD 内随机取一点，取到的点到O 的距离大于1的概率为

（A ）

（B ）14

（C ）

（D ）18

π-

w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

例6、甲、乙两人约定在6时到7时之间在某处会面，并约定先到者应等候另一个人15分钟，过时即可离去。求两人能会面的概率。。

（四）、体积型的几何概率模型

例7、在1L 高产小麦种子中混入了一粒带麦绣病的种子，现从中随机抽出10mL ，含带麦绣病的种子的概率有多大？

三、基础训练。

1．(2008辽宁文、理) 4张卡片上分别写有数字1，2，3，4，从这4张卡片中随机抽取2张，则取出的2张卡片上的数字之和为奇数的概率为（） A ．

B ．

C ．

D ．

2．(2008惠州调研二理)方程))1,0((02∈=++n n x x 有实根的概率为（）．

A 、

21 B 、31 C 、41 D 、4

3．( 2005年广东)先后抛掷两枚均匀的正方体骰子（它们的六个面分别标有1，2，3，4，5，6），骰子朝上的面的点数分别为x,y ，则使 1log 2=y x 的概率为（）

A ．

61 B ．36

5 C ．121 D ．21 4. 设集合{1

2}{123}A B ==，，，，，分别从集合A 和B 中随机取一个数a 和b ，确定平面上的一个点()P a b ，，记“点()P a b ，落在直线x y n +=上”为事件(25)n C n n ∈N ≤≤，，若

事

件

C 的概率最大，则

的所有可能值为

（） A ．3

B ．4

C ．2和5

D ．3和4

5. 连掷两次骰子得到的点数分别为m 和n ，记向量()m n ，a =与向量(1

1)=-，b 的夹角为θ

，则

0θπ?

?∈ ?

2??

，的概率是

（） A ．512

B ．

C ．

712

D ．

6．(2008佛山一模理)如图，矩形长为6，宽为4，在矩形内随机地撒300颗黄豆，数得落在椭圆外的黄豆数为96颗，以此实验数据为依据可以估计出椭圆的面积约为( )

A ．7.68

B ．16.32

C ．17.32

D ．8.68

7．(2008广州一模理)在区间[]0,1上任取两个数,a b ，方程2

0x ax b ++=

的两根均为实数的概率为（） A ．18 B ．14 C ．12 D ．34

8． (2008深圳调研文)甲、乙两人各抛掷一次正方体骰子（它们的六个面分别标有数字1,2,3,4,5,6），设甲、乙所抛掷骰子朝上的面的点数分别为x 、y ，则满足复数i x y +的实部大于虚部的概率是（）

A ．

16 B ．512 C ．712 D ．13

9、在平面直角坐标系xoy 中，设D 是横坐标与纵坐标的绝对值均不大于2 的点构成的区域，

E 是到原点的距离不大于1 的点构成的区域，向D 中随机投一点，则落入E 中的概率．

10、若以连续投掷两次骰子分别得到的点数m 、n 作为点P 的坐标，则点P 落在直线x +y =5下方的概率是____________

11、为了了解《中华人民共和国道路交通安全法》在学生中的普及情况，调查部门对某校6名学生进行问卷调查，6人得分情况如下：5，6，7，8，9，10。把这6名学生的得分看成一个总体。（1）求该总体的平均数；（2）用简单随机抽样方法从这6名学生中抽取2名，他们的得分组成一个样本。求该样本平均数与总体平均数之差的绝对值不超过0.5的概率。

12、设有关于x 的一元二次方程2

20x ax b ++=．

(Ⅰ)若a 是从0123，

，，四个数中任取的一个数，b 是从012，，三个数中任取的一个数，求上述方程有实根的概率． (Ⅱ)若a 是从区间[03]，任取的一个数,b 是从区间[02]，任取的一个数, 求上述方程有实根的概率．

13、(2008山东)现有8名奥运会志愿者，其中志愿者123A A A ，，通晓日语，123B B B ，，通晓俄语，12C C ，通晓韩语．从中选出通晓日语、俄语和韩语的志愿者各1名，组成一个小组．（Ⅰ）求1A 被选中的概率（Ⅱ）求1B 和1C 不全被选中的概率．

14、将一颗质地均匀的正方体骰子（六个面的点数分别为1，2，3，4，5，6）先后抛掷两次，记第一次出现的点数为x ，第二次出现的点数为y ．

（1）求事件“3x y +≤”的概率；（2）求事件“2x y -=”的概率．

15、（2009广东）随机抽取某中学甲乙两班各10名同学,测量他们的身高(单位:cm),获得身高

数据的茎叶图如图.

(1)根据茎叶图判断哪个班的平均身高较高; (2)计算甲班的样本方差

(3)现从乙班这10名同学中随机抽取两名身高不低于173cm 的同学,求身高为176cm 的同学被抽中的概率.

16、(2009山东卷) 一汽车厂生产A,B,C 三类轿车,每类轿车均有舒适型和标准型两种型号,某月的产量如下表(单位:辆):

轿车A 轿车B 轿车C 舒适型 100 150 z 标准型

300

450

600

按类型分层抽样的方法在这个月生产的轿车中抽取50辆,其中有A 类轿车10辆. （1）求z 的值.

（2）用分层抽样的方法在C 类轿车中抽取一个容量为5的样本.将该样本看成一个总体,

从中任取2辆,求至少有1辆舒适型轿车的概率;

（3）用随机抽样的方法从B 类舒适型轿车中抽取8辆,经检测它们的得分如下:9.4, 8.6,

9.2, 9.6, 8.7, 9.3, 9.0, 8.2.把这8辆轿车的得分看作一个总体,从中任取一个数,求该数与样本平均数之差的绝对值不超过0.5的概率.

17、（2010广东）某电视台在一次对收看文艺节目和新闻节目观众的抽样调查中，随机抽取了100名电视观众，相关的数据如下表所示：

（1）由表中数据直观分析，收看新闻节目的观众是否与年龄有关?

（2）用分层抽样方法在收看新闻节目的观众中随机抽取5名，大于40岁的观众应该抽取几名?

（3）在上述抽取的5名观众中任取2名，求恰有1名观众的年龄为20至40岁的概率．18、（

已知在全校学生中随机抽取1名，抽到初二年级女生的概率是0.19.

（1）求x的值；

（2）现用分层抽样的方法在全校抽取48名学生，问应在初三年级抽取多少名？

（3）已知y≥245,z≥245,求初三年级中女生比男生多的概率.

参考答案基础训练 CCCDC BBB

16π 6

11、（Ⅰ）总体平均数为

(5678910)7.56

+++++=． ·························································································· 4分（Ⅱ）设A 表示事件“样本平均数与总体平均数之差的绝对值不超过0.5”．

从总体中抽取2个个体全部可能的基本结果有：

(56)，，(57)，，(58)，，(59)，，(510)，，(67)，，(68)，，(69)，，(610)，，(78)，，(79)，，(710)，，(89)，，(810)，，(910)，．共15个基本结果．事件A 包括的基本结果有：(59)，

，(510)，，(68)，，(69)，，(610)，，(78)，，(79)，．共有7个基本结果．所以所求的概率为7

()15

P A =． 12、解：设事件A 为“方程22

20a ax b ++=有实根”．

当0a >，0b >时，方程22

20x ax b ++=有实根的充要条件为a b ≥．

（Ⅰ）基本事件共12个：

(00)(01)(02)(10)(11)(12)(20)(21)(22)(30)(31)(32)，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，．其中第一个数表示a 的取值，第二个数表示b 的取值．

事件A 中包含9个基本事件，事件A 发生的概率为93()124

P A =

=．（Ⅱ）试验的全部结束所构成的区域为{}()|0302a b a b ，，≤≤≤≤．构成事件A 的区域为{}

()|0302a b a b a b ，，

，≤≤≤≤≥．所以所求的概率为2

32222323

?-?==?

13、解：（Ⅰ）从8人中选出日语、俄语和韩语志愿者各1名，其一切可能的结果组成的基

本事件空间Ω={1

11112121()()()A B C A B C A B C ，，，，，，，，，122131()()A B C A B C ，，，，，， 132()A B C ，，，211212221()()()A B C A B C A B C ，，，，，，，，，222()A B C ，，， 231()A B C ，，，232()A B C ，，，311312321()()()A B C A B C A B C ，，，，，，，，， 322331332()()()A B C A B C A B C ，，，，，，，，}

由18个基本事件组成．由于每一个基本事件被抽取的机会均等，因此这些基本事件的发生是等可能的．

用M 表示“1A 恰被选中”这一事件，则

M ={111112121()()()A B C A B C A B C ，，，，，，，，， 122131132()()()A B C A B C A B C ，，，，，，，，},事件M 由6个基本事件组成，

因而61()183

P M =

=．（Ⅱ）用N 表示“11B C ，不全被选中”这一事件，则其对立事件N 表示“11B C ，全被选

中”这一事件，由于N ={111211311()()()A B C A B C A B C ，，，，，，，，}，事件N 有3个基本事件组成，

所以31()186P N =

=，由对立事件的概率公式得15

()1()166

P N P N =-=-= 14、解：设(),x y 表示一个基本事件，则掷两次骰子包括：()1,1，()1,2，()1,3，()1,4，

()1,5，()1,6，()2,1，()2,2，……，()6,5，()6,6，共36个基本事件．（1）用A 表示事件“3x y +≤”，则A 的结果有()1,1，()1,2，()2,1，共3个基本事件．

∴()31

3612

P A =

=．答：事件“3x y +≤”的概率为1

．（2）用B 表示事件“2x y -=”，

则B 的结果有()1,3，()2,4，()3,5，()4,6，()6,4，()5,3，()4,2，()3,1，共8个基本事件． ∴()82

369

P B =

= 15、（1）由茎叶图可知：甲班身高集中于160179:之间，而乙班身高集中于170180: 之间。因此乙班平均身高高于甲班;

(2) 158162163168168170171179179182

17010

x +++++++++==

甲班的样本方差为()()()()22222

1[(158170)16217016317016817016817010

-+-+-+-+-

()(

)()()()2

170170171170

179

170179170182170]

+-+-+-+-+-＝

57。2 （3）设身高为176cm 的同学被抽中的事件为A ；

从乙班10名同学中抽中两名身高不低于173cm 的同学有：（181，173）（181，176）（181，178）（181，179）（179，173）（179，176）（179，178）（178，173） (178, 176) （176，173）共10个基本事件，而事件A 含有4个基本事件； ()42

105

P A ∴=

= ； 16、解: (1).设该厂本月生产轿车为n 辆,由题意得,5010100300

n =+,所以n=2000. z=2000-100-300-150-450-600=400

(2) 设所抽样本中有m 辆舒适型轿车,因为用分层抽样的方法在C 类轿车中抽取一个容量为5的样本,所以

40010005

=,解得m=2也就是抽取了2辆舒适型轿车,3辆标准型轿车,分别记作S 1,S 2;B 1,B 2,B 3,则从中任取2辆的所有基本事件为(S 1, B 1), (S 1, B 2) , (S 1, B 3) (S 2 ,B 1), (S 2 ,B 2), (S 2 ,B 3),( (S 1, S 2),(B 1 ,B 2), (B 2 ,B 3) ,(B 1 ,B 3)共10个,其中至少有1辆舒适型轿车的基本事件有7个基本事件: (S 1, B 1), (S 1, B 2) , (S 1, B 3) (S 2 ,B 1), (S 2 ,B 2), (S 2 ,B 3),( (S 1, S 2),所以从中任取2辆,

至少有1辆舒适型轿车的概率为710

. (3)样本的平均数为1

(9.48.69.29.68.79.39.08.2)98

x =

+++++++=, 那么与样本平均数之差的绝对值不超过0.5的数为9.4, 8.6, 9.2, 8.7, 9.3, 9.0这6个数,总的个数为8,所以该数与样本平均数之差的绝对值不超过0.5的概率为75.08

=. 17 、

18、（1）

0.192000

= ∴ 380x = （2）初三年级人数为y ＋z ＝2000－（373＋377＋380＋370）＝500，

现用分层抽样的方法在全校抽取48名学生，应在初三年级抽取的人数为：

500122000

?= 名（3）设初三年级女生比男生多的事件为A ，初三年级女生男生数记为（y ，z ）；由（2）知 500y z += ，且 ,y z N ∈,基本事件空间包含的基本事件有：（245，255）、（246，254）、（247，253）、……（255，245）共11个

事件A 包含的基本事件有：（251，249）、（252，248）、（253，247）、(254,246)、(255,245) 共5个

∴ 5()11

P A =