概率论与数理统计——修改版答案

n 概率论与数理统计练习题

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第一章 随机事件及其概率（一）

一．选择题

1．对掷一粒骰子的试验，在概率论中将“出现奇数点”称为 [ C ] （A ）不可能事件 （B ）必然事件 （C ）随机事件 （D ）样本事件 2．下面各组事件中，互为对立事件的有 [ B ]

（A ）

1A ={抽到的三个产品全是合格品} 2A ={抽到的三个产品全是废品}

（B ）

1B ={抽到的三个产品全是合格品} 2B ={抽到的三个产品中至少有一个废品}

（C ）

1C ={抽到的三个产品中合格品不少于2个} 2C ={抽到的三个产品中废品不多于2个} （D ）

1D ={抽到的三个产品中有2个合格品} 2D ={抽到的三个产品中有2个废品}

3．下列事件与事件

A B -不等价的是 [ C ]

（A ）

A A

B - （B ）()A B B ?- （

C ）AB （

D ）AB

4．甲、乙两人进行射击，A 、B 分别表示甲、乙射中目标，则

A B ?表示 [ C]

（A ）二人都没射中 （B ）二人都射中 （C ）二人没有都射着 （D ）至少一个射中

5．以

A 表示事件“甲种产品畅销，乙种产品滞销”，则其对应事件A 为. [ D]

（A ）“甲种产品滞销，乙种产品畅销”； （B ）“甲、乙两种产品均畅销”； （C ）“甲种产品滞销”； （D ）“甲种产品滞销或乙种产品畅销

6．设

{|},{|02},{|13}x x A x x B x x Ω=-∞<<+∞=≤<=≤<，则AB 表

示 [ A]

（A ）

{|01}x x ≤< （B ）{|01}x x <<

（C ）

{|12}x x ≤< （D ）{|0}{|1}x x x x -∞<

7．在事件

A ，

B ，

C 中，A 和B 至少有一个发生而C 不发生的事件可表示为 [ A]

（A ）

C A C B ； （B ）C AB ；

（C ）

C AB C B A BC A ； （

D ）A B C .

8、设随机事件

,A B 满足()0P AB =，则 [ D ]

（A ）

,A B 互为对立事件 (B) ,A B 互不相容

(C) AB 一定为不可能事件 (D) AB 不一定为不可能事件

二、填空题

1．若事件A ，B 满足

AB φ=，则称A 与B 互不相容或互斥 。

2．“A ，B ，C 三个事件中至少发生二个”此事件可以表示为

ABC ABC ABC ABC AB AC BC

?????或 。

三、简答题：

1．一盒内放有四个球，它们分别标上1，2，3，4号，试根据下列3种不同的随机实验，写出对应的样本空间： （1）从盒中任取一球后，不放回盒中，再从盒中任取一球，记录取球的结果； （2）从盒中任取一球后放回，再从盒中任取一球，记录两次取球的结果； （3）一次从盒中任取2个球，记录取球的结果。

答：（1）｛(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3)｝

（2）｛（1,1）,(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4)｝ (3）｛(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4)｝

2．设A 、B 、C 为三个事件，用A 、B 、C 的运算关系表示下列事件。 （1）A 、B 、C 中只有A 发生； （2）A 不发生，B 与C 发生； （3）A 、B 、C 中恰有一个发生； （4）A 、B 、C 中恰有二个发生； （5）A 、B 、C 中没有一个发生； （6）A 、B 、C 中所有三个都发生； （7）A 、B 、C 中至少有一个发生； （8）A 、B 、C 中不多于两个发生。 答：

(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)ABC ABC ABC ABC ABC ABC ABC ABC

ABC

ABC

A B C

C A B ABC

????????=

概率论与数理统计练习题

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第一章 随机事件及其概率（二）

一、 选择题：

1．掷两颗均匀的骰子，事件“点数之和为3”的概率是 [ B ]

（A ）

136

（B ）118 （C ）112 （D ）1

11

2．袋中放有3个红球，2个白球，第一次取出一球，不放回，第二次再取一球，则两次都是红球的概率是 [ B ]

（A ）

925 （B ）310 （C ）625

（D ）3

20

3． 已知事件A 、B 满足

A B ?，则()P B A -≠ [ B]

（A ）

()()P B P A - （B ）()()()P B A P AB -+

（C ）

()P AB （D ）()()P B P AB -

4．A 、B 为两事件，若

()0.8,()0.2,()0.4P A B P A P B ?===，则 [ B]

（A ）

()0.32P A B = （B ）()0.2P A B =

（C ）

()0.4P B A -= （D ）()0.48P B A = 5．有6本中文书和4本外文书，任意往书架摆放，则4本外文书放在一起的概率是 [ D]

（A ）

4!6!10!? （B ）710 （C ）410 （D ）4!7!

10!

?

二、选择题：

1．设A 和B 是两事件，则

()()P A P AB =+ ()P AB

2．设A 、B 、C 两两互不相容，

()0.2,()0.3,()0.4

P A P B P C ===，则

[()]P A B C ?-=0.5

解答：

[()]()(()()()(()0.5

P A B C P A B P A B C P A B P P B φ?-=?-?=?-=）

因为A,B,C 两两互不相容）

＝P(A)+ 3．若

()0.5,()0.4,()0.3P A P B P A B ==-=，则()P A B ?= 0.8 。

解：()()()

0.30.5()()0.2()()1()0.8

P A B P A P AB P AB P AB P A B P AB P AB -=-=-?=?==-=

4．设两两独立的事件A ，B ，C 满足条件

ABC φ=，1

()()()2

P A P B P C ==<

，且已知 9

()16

P A B C ??=

，则()P A =1/4 。 解

：

2()()()()()()()()9/163()3()(,,ABC ()1/4

(3/4P A B C P A P B P C P AB P AC P BC P ABC P A P A A B C P A φ??=++---+=-=两两独立，且=)

舍）

5．设

1()()()4P A P B P C ===

，1()0,()()8

P AB P AC P BC ===，则A 、B 、C 全不发生的概率为 1/2 。 解

：

()1()

()()()()()()()()3/42/8012

()

/P ABC P A B C P A B C P A P B P C P AB P AC P BC P ABC ABC AB =-????=++---+?=-+=

6．设A 和B 是两事件，

B A ?，()0.9,()0.36P A P B ==，则()P AB =0.54 。

解：

()()()()0.54()P AB P A B P A P B B A =-=-=?

三、计算题：

1．罐中有12颗围棋子，其中8颗白子，4颗黑子，若从中任取3颗，求： （1）取到的都是白子的概率；

（2）取到的两颗白子，一颗黑子的概率； （3）取到的3颗中至少有一颗黑子的概率； （4）取到的3颗棋子颜色相同的概率。

解：（1）

33

1812213284123133348412(1)/14/55(2)/28/55

(3)141/55

(4)()/41/55

P C C P C C C P P P C C C =====-==+=

2．加工某一零件共需经过4道工序，设第一、二、三和四道工序的次品率分别为2%、3%、5%和3%，假定各道工序是互不影响的，求加工出来的零件的次品率。 解：A,B,C,D 分别表示第一、二、三四道工序出现次品

()2%,()3%,()5%,()3%()()()()()0.98*0.97*0.95*0.970.8761()0.124

P A P B P C P D P ABCD P A P B P C P D P ABCD =======加工出的成品率次品率－＝

3．袋中人民币五元的2张，二元的3张和一元的5张，从中任取5张，求它们之和大于12元的概率。

解：

2352215212523523102351023510251023528101213,14,15,16

P 12(13)(14)(15)(16)

////2/9P 12/2/9

P P P P C C C C C C C C C C C C C C C C C +++=+++==法一：大于的有（大于元）＝法二：

（大于元）＝

概率论与数理统计练习题

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第一章 随机事件及其概率（三）

一、 选择题：

1．设A 、B 为两个事件，

()()0P A P B ≠>，且A B ?，则下列必成立是 [ A ]

（A ）

(|)1P A B = （D ）(|)1P B A = （C ）(|)1P B A = （D ）

(|)0P A B =

2．设盒中有10个木质球，6个玻璃球，木质球有3个红球，7个蓝色；玻璃球有2个红色，4个蓝色。现在从盒中任取一球，用A 表示“取到蓝色球”，B 表示“取到玻璃球”，则P (B |A )=[ D ]。

（A ）

610 （B ）616 （C ）4

7

（D ）

4

11

3．设A 、B 为两事件，且

(),()P A P B 均大于0，则下列公式错误的是 [ B ]

（A ）

()()()()P A B P A P B P AB ?=+- （B ）()()()P AB P A P B =

（C ）

()()(|)P AB P A P B A = （D ）()1()P A P A =-

4．设10件产品中有4件不合格品，从中任取2件，已知所取的2件产品中有一件是不合格品，则另一件也是不合格品的概率为 [ B ]

（A ）25

（B ）

15 （C ）12

（D ）

3

5

解：A ：至少有一件不合格品，B ：两件均是合格品。

B A ?

24211

446()()43/2

(|)1/5()()624

C P AB P B P B A P A P A C C C ?=====++

5．设A 、B 为两个随机事件，且0()1,()0,(|)(|)P A P B P B A P B A <<>=，则必有

[ C ]

（A ）

(|)(|)P A B P A B = （B ）(|)(|)P A B P A B ≠

（C ）

()()()P AB P A P B = （D ）()()()P AB P A P B ≠

解：0()1,()0,

()()()()

(|)(|)()()1()

()(1())()(()())()()()()()()()()()()

P A P B P AB P BA P B P AB P B A P B A P A P A P A P AB P A P A P B P AB P AB P AB P A P A P B P A P AB P AB P A P B <<>-=?

==-∴-=-∴-=-∴=

二、填空题：

1．设A 、B 为两事件，

()0.8,()0.6,()0.3P A B P A P B ?===，则(|)P B A = 1/6

解：

()0.8,()0.6,()0.30.8()()()0.60.3()

()0.1()0.1

(|)1/6()0.6

P A B P A P B P A P B P AB P AB P AB P AB P B A P A ?===∴=+-=+-=∴=

==

2．设()0.6,()0.84,(|)0.4P A P A B P B A =?==，则()P B = 0.6

解

：

()()()0.6()

()0.6,(|)0.4()()0.6

0.6()0.24,()0.36()0.84()()()0.6()0.36()0.6

P AB P A P AB P AB P A P B A P A P A P AB P AB P A B P A P B P AB P B P B --===

==∴-=?=?==+-=+-∴=

3．若

()0.6,()0.8,(|)0.2P A P B P B A ===，则(|)P A B = 0.9

解：

()0.6,()0.8,()0.8()0.8()

(|)0.2()1()0.4

()0.72()0.72(|)0.9()0.8

P A P B P BA P AB P AB P B A P A P A P AB P AB P A B P B ==--==

==-∴==

==

4．某产品的次品率为2%，且合格品中一等品率为75%。如果任取一件产品，取到的是一等品的概率为 0.735 解

：

A

：

合

格

品

；

C

：

一

等

品

.

(|)0.75,()()(|)0.98*0.750.735P C A P C P A P C A ====

5．已知

123

,,A A A 为一完备事件组，且

121()0.1,()0.5,(|)0.2P A P A P B A ===2(|)0.6P B A = 3(|)0.1P B A =，则1(|)P A B = 1/18

解：

1111112233()()(|)

(|)()()(|)()(|)()(|)

0.10.2

1/18

0.10.20.50.60.10.4

P A B P A B A P A B P B P A B A P A B A P A B A =

=++?=

=?+?+?

三、计算题：

1．某种动物由出生活到10岁的概率为0.8，活到12岁的概率为0.56，求现年10岁的该动物活到12岁的概率是多少？ 解：A: 某种动物由出生活到10岁.B: 某种动物由出生活到12岁

()()

(|)0.7()()

P AB P B P B A P A A P B A ?=

==? 2．某产品由甲、乙两车间生产，甲车间占60%，乙车间占40%，且甲车间的正品率为90%，乙车间的正品率为95%，求：

（1）任取一件产品是正品的概率；

（2）任取一件是次品，它是乙车间生产的概率。

解：A ：某产品由甲两车间生产。B ：任取一件产品是正品。 已

知

：

()0.6,()0.4,(|)0.9,(|)0.95

(1)()()(|)()(|)0.60.90.40.950.92()()(|)0.4(10.95)

(2)(|)25%

1()10.92()

P A P A P B A P B A P B P A P B A P A P B A P AB P A P B A P A B P B P B =====+=?+?=?-=

==≈-- 3．为了防止意外，在矿内同时设有两报警系统A 与B ，每种系统单独使用时，其有效的概率系统A 为0.92，系统B 为0.93，在A 失灵的条件下，B 有效的概率为0.85，求： （1）发生意外时，这两个报警系统至少一个有效的概率； （2）B 失灵的条件下，A 有效的概率。

解: 设A 为系统A 有效, B 为系统B 有效, 则根据题意有

P (A )=0.92, P (B )=0.93,

85.0)|(=A B P

(1) 两个系统至少一个有效的事件为A +B , 其对立事件为两个系统都失效,

即

B A B A =+, 而15.085.01)|(1)|(=-=-=A B P A B P , 则

988

.0012.01)(1)(012.015.008.015.0)92.01()|()()(=-=-=+=?=?-==B A P B A P A B P A P B A P

(2) B 失灵条件下A 有效的概率为

)|(B A P , 则

829.093

.01012

.01)()(1)|(1)|(=--=-

=-=B P B A P B A P B A P

4．某酒厂生产一、二、三等白酒，酒的质量相差甚微，且包装一样，唯有从不同的价格才能区别品级。厂部取一箱给销售部做样品，但忘了标明价格，只写了箱内10瓶一等品，8瓶二等品，6瓶三等品，销售部主任从中任取1瓶，请3位评酒专家品尝，判断所取的是否为一等品。专家甲说是一等品，专家乙与丙都说不是一等品，而销售主任根据平时

资料知道甲、乙、丙3位专家判定的准确率分别为0.96,0.920.90和。问懂得概率论的主任该作出怎样的裁

决？

解：A ：这瓶酒是一等品。

123

,,B B B 分别表示甲、乙、丙说是一等品。

123

,,B B B 相互独立。

已知：

121103124

231232311231231231(|)0.96,(|)0.92,(|)0.9,()5/12

()

(|)()(|)()(|)(|)(|)()

(|)(|)(|)()55

0.960.080.10.040.920.9(11212(|)P B A P B A C

P B A P A C P B B B P B B B A P A P B B B A P A P B A P B A P B A P A P B A P B A P B A P A P A B B B ======+=+=???+???-

231231231231()

()(|)()()

5

0.960.080.11255

0.960.080.10.040.920.9(11212

14.2%

P B B B A P B B B P B B B A P A P B B B =

=

???

=

???+???-

≈

概率论与数理统计练习题

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第一章 随机事件及其概率（四）

一、 选择题：

1．设A ，B 是两个相互独立的事件，

()0,()0P A P B >>，则一定有()P A B ?= [ B ]

（A ）

()()

P A P B + （B ）

1()()P A P B - （C ）1()()P A P B + （D ）

1()P AB -

2．甲、乙两人各自考上大学的概率分别为0.7，0.8，则两人同时考上大学的概率是 [ B ]

（A ）0.75 （B ）0.56 （C ）0.50 （D ）0.94

3．某人打靶的命中率为0.8，现独立的射击5次，那么5次中有 2次命中的概率是 [ D ]

（A ）

322.08.0? （B ）28.0 （C ）28.05

2? （D ）322

52.08.0?C

4．设A ，B 是两个相互独立的事件，已知

11

(),()23

P A P B =

=，则()P A B ?= [ C ] （A ）

1

2

（B ）

56 （C ）23 （D ）

3

4

5．若A ，B 之积为不可能事件，则称A 与B [ B ]

（A ）独立 （B ）互不相容 （C ）对立 （D ）构成完备事件组

二、填空题：

1．设

A 与

B 是相互独立的两事件，且()0.7,()0.4P A P B ==，则()P AB =

2．设事件A ，B 独立。且

()0.4,()0.7P A P B ==，则A ，B 至少一个发生的概率为

3．设有供水龙头5个，每一个龙头被打开的可能为0.1，则有3个同时被打开的概率为

4．某批产品中有20%的次品，进行重复抽样调查，共取5件样品，则5件中恰有2件次品的概率为

，5件中至多有2件次品的概率

。

三、计算题：

1．设某人打靶，命中率为0.6，现独立地重复射击6次，求至少命中两次的概率。 解：所求的概率为

6

6662

101()()()K P P k P P ===--∑

6510460604095904(.)(.)(.).=--?=

2．某类灯泡使用寿命在1000个小时以上的概率为0.2，求三个灯泡在使用1000小时以后最多只坏一个的概率。

解：设A =“灯泡使用寿命在1000个小时以上”， 则

02().P A =

3202302080104(.)(.)..=+??=

3．甲、乙、丙3人同时向一敌机射击，设击中敌机的概率分别为0.4，0.5，0.7。如果只有一人击中飞机，则飞机被击落的概率是0.2；如果2人击中飞机，则飞机被击落的概率是0.6；如果3人都击飞机，则飞机一定被击落，求飞机被击落的概率。

解：设A =“甲击中敌机” B =“乙击中敌机” C =“丙击中敌机” D k =“k 人击中飞机”（k =1，2，3） H =“敌机被击中”

040503040507060507041..........=??+??+??=

3040507014()()....P D P ABC ==??=

112233()()(|)()(|)()(|)P H P D P H D P D P H D P D P H D =++

036020410601410458......=?+?+?=

4．一质量控制检查员通过一系列相互独立的在线检查过程（每一过程有一定的持续时间）以检查新生产元件的缺陷。已知若缺陷确实存在，缺陷在任一在线检查过程被查出的概率为

p 。

（1）求缺陷在第二个过程结束前被查出的概率（缺陷若在一个过程查出就不再进行下一个过程）； （2）求缺陷在第

n 个过程结束之前被查出的概率；

（3）若缺陷经3个过程未被查出，该元件就通过检查，求一个有缺陷的元件通过检查的概率； 注：（1）、（2）、（3）都是在缺陷确实存在的前提下讨论的。 （4）设随机地取一元件，它有缺陷的概率为0.1，设当元件无缺陷时将自动通过检查，求在（3）的假设下一元件通

过检查的概率；

（5）已知一元件已通过检查，求该元件确实是有缺陷的概率（设

0.5p =）

。 解：设A k =“第k 个过程前有缺陷的元件被查出”

B =“元件有缺陷”

C =“元件通过检查”

（1

（2）

21111()()()n p p p p p p p -=+-+-++-

11()n p =--

（3

（4

（5

（0.5p =）

5．设A ，B 为两个事件，

(|)(|),()0,()0P A B P A B P A P B =>>，证明A 与B 独立。

证：

即

()()()

P AB P A P B = 所以 A 与B 独立

概率论与数理统计练习题

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第一章 随机事件及其概率（五）

一、选择题：

1．对于任意两个事件A 和B [ B ]

（A ）若

AB φ≠，则A ，B 一定独立 （B ）若AB φ≠，则A ，B 有可能独立 （C ）若

AB φ=，则A ，B 一定独立 （D ）若AB φ=，则A ，B 一定不独立

2．

设

0()1,0()1,

(|)(|

P A P B P A B P A B <<<<+=，

则 [ D ]

（A ）事件A 和B 互不相容 （B ）事件A 和B 互相对立 （C ）事件A 和B 互不独立 （D ）事件A 和B 相互独立

3．设A ，B 为任意两个事件且

A B ?，()0P B >，则下列选项必然成立的是 [ B ]

（A ）

()(|)P A P A B < （B ）()(|)P A P A B ≤ （C ）

()(|)P A P A B > （D ）()(|)P A P A B ≥

二、填空题：

1．已知A ，B 为两个事件满足

()()P AB P AB =，且()P A p =，则()P B =

2．设两两独立的事件A ，B ，C 满足条件

ABC φ=，1

()()()2

P A P B P C ==<

，且已知

9

()16

P A B C ??=

，则()P A = 3．假设一批产品中一，二，三等品各占60%，30%，10%，从中任意取出一件，结果不是三等品，则取到的是一等品

的概率是

三、计算题：

1．设两个相互独立的事件都不发生的概率为

1

9

，A 发生B 不发生的概率与B 发生A 不发生的概率相等，求A 发生的概率

()P A

2．如果一危险情况

C 发生时，一电路闭合并发出警报，我们可以借用两个或多个开关并联以改善可靠性。在C 发

生时这些开关每一个都应闭合，且若至少一个开关闭合了，警报就发出。如果两个这样的开关并联连接，它们每个具有

0.96的可靠性（即在情况C 发生时闭合的概率），问这时系统的可靠性（即电路闭合的概率）是多少？如果需要有一个可靠性至少为0.9999的系统，则至少需要用多少只开关并联？设各开关闭合与否是相互独立的。

解：设一个电路闭合的可靠性为p ，已知

1221096().C p p p -+=，

所以

08.p =

设n 个开关并联，可使系统可靠性至少为0.9999

则

1

1

1080210209999()(.)(.)(.).n

n

k

k

k

k

k n k n n

n k k C

p p C -==-==-≥∑∑

所以 取6个开关并联，可使系统可靠性至少为0.9999。

3．将

A B C

、、三个字母之一输入信道，输出为原字母的概率为

α，而输出为其他一字母的概率为

12

α

-。

今将字母串

,,AAAA BBBB CCCC 之一输入信道，输入,,AAAA BBBB CCCC 的概率分别

为

123123,,(1)p p p p p p ++=，已知输出为ABCA ，问输入的是AAAA 的概率是多少？（设

信道传输各个字母的工作是相互独立的）

解：

(|)P AAAA ABCA

4．一条自动生产线连续生产n 件产品不出故障的概率为

(0,1,2,)!

n

e n n λλ-= ，假设产品的优质率为

(01)p p <<。如果各件产品是否为优质品相互独立。求：

（1）计算生产线在两次故障间共生产k 件（k = 0，1，2，…）优质品的概率；

（2）若已知在某两次故障间该生产线生产了k 件优质品，求它共生产m 件产品的概率。 解：

概率论与数理统计练习题

系 专业 班 姓名 学号

第二章 随机变量及其分布（一）

一．选择题：

1．设X 是离散型随机变量，以下可以作为X 的概率分布是 [ ]

（A ）

1234

11112

4

8

16X

x x x x p （B ） 12341111

2

4

8

8X

x x x x p

（C ）

1234

11112

3

4

12

X

x x x x p

（D ） 1234

111

12

3

412

X

x x x x p -

2．设随机变量ξ的分布列为

0123

0.10.30.40.2

X p )(x F 为其分布函数，则)2(F = [ ]

（A ）0.2 （B ）0.4 （C ）0.8 （D ）1 二、填空题：

1．设随机变量X 的概率分布为

10.2X p a 2．某产品15件，其中有次品2件。现从中任取3件，则抽得次品数X 的概率分布为

3．设射手每次击中目标的概率为0.7,连续射击10次，则击中目标次数X 的概率分布为

三、计算题：

1．同时掷两颗骰子，设随机变量X 为“两颗骰子点数之和”求：

（1）X 的概率分布； （2）

(3)P X ≤； （3）(12)P X >

2．产品有一、二、三等品及废品四种，其中一、二、三等品及废品率分别为60%，10%，20%及10%，任取一个产品检查其质量，试用随机变量X 描述检查结果

3．已知随机变量X 只能取

1-，0，1，2四个值，相应概率依次为

1357,,,24816c c c c

，试确定常数c ，并计算

(1)P X <

4．一袋中装有5只球编号1，2，3，4，5。在袋中同时取3只，以X 表示取出的3只球中最大号码，写出随机变量X 的分布律和分布函数。

5．设随机变量

~(2,),~(3,)X B P Y B P ，若5

{1}9

P X ≥=

，求{1

}P Y ≥ 概率论与数理统计练习题

系 专业 班 姓名 学号

第二章 随机变量及其分布（二）

一、选择题：

1．设连续性随机变量X 的密度函数为

201

()0x x f x <

?

其他，则下列等式成立的是 [ A ] （A ）

(1)1P X ≥-=

（Ｂ）

11()22

P X ==

（Ｃ）

11

()22

P X <=

（Ｄ）

11

()22

P X >=

解：（A ）

1

1

(1)()21P X f x dx xdx ∞-≥-===??

2．设连续性随机变量X 的密度函数为

ln [1,]

()0[1,]

x x b f x x b ∈?=?

??，则常数b = [ A ] （A ）

e （B ）1e + （C ）1e - （D ）2e

解：11

1

11

1()ln ln |ln ln ln |ln 11

ln 1(0b b

b

b

b

f x dx xdx x x xd x

b b dx b b x b b b b b b e

+∞-∞

===-=-=-=-+====?

???舍）

3．设

2~(,)X N μσ，要使~(0,1)Y N ，则 [ C ]

（A ）

X

Y μσ

=

+ （B ）Y X σμ=+ （C ）X Y μ

σ

-=

（D ）

Y X σμ=-

4．设

~(0,1)X N

，

22

()0)x x x e

dt x -

-∞

Φ=

≥（，则下列等式不成立的是

[ C ]

（A ）

()1()x x Φ=-Φ- （B ）(0)0.5Φ= （C ）()()x x Φ-=Φ （D ）

(||)2()1P x a a <=Φ-

5．X 服从参数

19

λ=

的指数分布，则

(39)P X <<= [ C ]

（A ）1(1)()3F F - （B

）

11)9e - （C

1e

- （D ）99

3x e dx -?

二、填空题：

1．设连续性随机变量X 的密度函数为

2

01()0

Ax x f x ?≤≤=?

?其他

，则常数A = 3

2．设随机变量2~(2,)X N σ，已知(24)0.4P X ≤≤=，则(0)P X ≤= 0.1

三、计算题：

1．设

~(1,4),X U 求(5)P X ≤和(0 2.5)P X ≤≤

2．设随机变量X 的密度函数为

01()120x

x f x ax b x ≤

=+≤≤???

其他，且37(0)28P X <≤=

求：（1）常数,a b （2）13

()22

P X << （3）X

的分布函数

()F x

解

：

3

2

32

121

1

1

2

1

112

37

7

(0)()288

(2)().1 2.

133()(2)224

000.501()0.521121P X xdx ax b dx f x dx xdx ax b dx a b P X xdx x dx x x x F x x x x +∞-∞

<≤=?

+

+=

=+

+=-=<<=+-+=

<≤<=-+-≤

?

?

??

??.(1)(2) 由又1= (3) 可得，

2

x ???

???≥?

3．设某种电子元件的使用寿命X （单位：h ）服从参数1

600

λ=

的指数分布，现某种仪器使用三个该电子元件，

且它们工作时相互独立，求：

（1）一个元件时间在200h 以上的概率；

（2）三个元件中至少有两个使用时间在200h 以上的概率。

116003

20011122

2

33

1

3

3

3

3

3

3

3 1

(200)600

"200"

(2)()(1)()

32

x P X e dx e Y h P Y C e e

C e

e

e +∞

---

-

-

-

->===≥=-+=-?使用时间在以上的元件个数.(1)(2)

概率论与数理统计练习题

系 专业 班 姓名 学号

第二章 随机变量及其分布（三）

1．已知X 的概率分辨为

210123

20.132i

X p a a a a a

-- ，试求：

（1）常数a ； （2）

21Y X =-的概率分布。

0.13210.130.30.20.30.2

a a a a a a Y p +++++=?= 2 -1 0 8 (1) (2 )

2．设随机变量X 在（0，1）服从均匀分布，求：

（1）X Y e =的概率密度； （2）

2ln Y X

=-的概率密度。

()()()(ln )01(ln )ln 111

1()()02X Y X Y Y F y P Y y P e y P X y y F y y y e

y e y e

dF y y

f y y other

=≤=≤=≤≤??

==<

.(1)

2

22

2

()()(2ln )()

101()001()0()2

0y Y y y y

Y Y F y P Y y P X y P X e e y P X e

y dF y e y f y y other

-

---=≤=-≤=≥??

-<<+∞=-≤=??≤??<<+∞

?∴==???

(2)

3．设

~(0,1)X N ，求： （1）221Y X =+的概率密度；

（2）||Y X =的概率密度。

2()()(21)(2(1213Y X F y P Y y P X y P X P X F =≤=+≤=≤≤=≤

-=-.(1)

112

2

4

14()2(1)

1()0Y X y y y Y f y f e

y y f y other ----

--∴==

=

≥?>∴=?

2

2()()()()2()12

0() 0

Y X y Y F y P Y y P X y P y X y y e y f y other -=≤=≤=-≤≤=Φ-?≥?∴=???

(2)

4．设随机变量X 的概率密度为

2

20()0

x x f x π

π?<

，求

sin Y X

=的概率密度。

概率论与数理统计第4章作业题解

第四章作业题解 4.1 甲、乙两台机床生产同一种零件, 在一天内生产的次品数分别记为 X 和 Y . 已知 ,X Y 的概率分布如下表所示: 如果两台机床的产量相同, 问哪台机床生产的零件的质量较好？ 解： 11.032.023.014.00)(=?+?+?+?=X E 9.0032.025.013.00)(=?+?+?+?=Y E 因为 )()(Y E X E >，即乙机床的平均次品数比甲机床少，所以乙机床生产的零件质量较好。 4.2 袋中有 5 个球, 编号为1,2,3,4,5, 现从中任意抽取3 个球, 用X 表示取出的3 个球中的 最大编号，求E (X ). 解：X 的可能取值为3,4,5. 因为1.01011)3(35 == = =C X P ；3.010 3)4(35 2 3== = =C C X P ； 6.010 6)5(3 5 24=== =C C X P 所以 5.46.053.041.03)(=?+?+?=X E 4.3 设随机变量X 的概率分布1 {}(0,1,2,),(1) k k a P X k k a +===+ 其中0a >是个常 数，求()E X 解: 1 1 2 1 1 1 ()(1) (1) (1) k k k k k k a a a E X k k a a a -∞ ∞ +-=== = +++∑∑ ，下面求幂级数11 k k k x ∞ -=∑的和函数， 易知幂级数的收敛半径为1=R ，于是有 1 2 1 1 1()( ),1,1(1) k k k k x k x x x x x ∞ ∞ -==''=== <--∑ ∑

数三概率论与数理统计教学大纲

数三《概率论与数理统计》教学大纲 教材：四川大学数学学院邹述超、何腊梅：《概率论与数理统计》，高等教育出版社出，2002年8月。 参考书：袁荫棠：《概率论与数理统计》（修订本），中国人民大学出版社。 四川大学数学学院概率统计教研室：《概率论与数理统计学习指导》 总学时：60学时，其中：讲课50学时，习题课10学时。 学分：3学分。 说明： 1.生源结构：数三的学生是由高考文科生和一部分高考理科生构成。有些专业全是文科生或含极少部分理科生（如：旅游管理，行政管理），有些专业约占1/4～1/3的理科生（国贸，财政学，经济学），有些专业全是理科生（如：国民经济管理，金融学）。 2.高中已讲的内容：高中文、理科都讲了随机事件的概率、互斥事件的概率、独立事件的概率，即教材第一章除条件概率以及有关的内容以外，其余内容高中都讲了。高中理科已讲离散型随机变量的概率分布（包括二项分布、几何分布）和离散型随机变量的期望与方差，统计基本概念、频率直方图、正态分布、线性回归。而高中文科则只讲了一点统计基本概念、频率直方图、样本均值和样本方差的简单计算。 3.基本要求：学生的数学基础差异大，不同专业学生对数学课重视程度的差异大，这就给讲授这门课带来一定的难度，但要尽量做到“分层次”培养学生。高中没学过的内容要重点讲解，学过的内容也要适当复习或适当增加深度。讲课时，既要照顾数学基础差的学生，多举基本例子，使他们掌握大纲要求的基本概念和方法；也要照顾数学基础好的学生，使他们会做一些综合题以及简单证明题。因为有些专业还要开设相关的后继课程（如：计量经济学），将用到较多的概率统计知识；还有一部分学生要考研，数三的概率考研题往往比数一的难。 该教材每一章的前几节是讲述基本概念和方法，习题(A)是针对基本方法的训练而编写的，因此，这一部分内容须重点讲解，并要求学生必须掌握；每一章的最后一节是综合例题，习题(B)具有一定的综合性和难度，可以选讲部分例题，数学基础好的学生可选做(B)题。 建议各章学时分配(+号后面的是习题课学时)： 第一章随机事件及其概率 一、基本内容 随机事件的概念及运算。概率的统计定义、古典定义及公理化定义。概率的基本性质、加法公式、条件概率与乘法公式、全概率公式、贝叶斯公式。事件的独立性，独立随机试验、

概率论与数理统计习题集及答案

* 《概率论与数理统计》作业集及答案 第1章 概率论的基本概念 §1 .1 随机试验及随机事件 1. (1) 一枚硬币连丢3次，观察正面H ﹑反面T 出现的情形. 样本空间是：S= ； (2) 一枚硬币连丢3次，观察出现正面的次数. 样本空间是：S= ； 2.(1) 丢一颗骰子. A ：出现奇数点，则A= ；B ：数点大于2，则B= . (2) 一枚硬币连丢2次， A ：第一次出现正面，则A= ； B ：两次出现同一面，则= ； C ：至少有一次出现正面，则C= . ? §1 .2 随机事件的运算 1. 设A 、B 、C 为三事件，用A 、B 、C 的运算关系表示下列各事件： (1)A 、B 、C 都不发生表示为： .(2)A 与B 都发生,而C 不发生表示为： . (3)A 与B 都不发生,而C 发生表示为： .(4)A 、B 、C 中最多二个发生表示为： . (5)A 、B 、C 中至少二个发生表示为： .(6)A 、B 、C 中不多于一个发生表示为： . 2. 设}42:{},31:{},50:{≤<=≤<=≤≤=x B x x A x x S ：则 （1）=?B A ，（2）=AB ，（3）=B A ， （4）B A ?= ，（5）B A = 。 \ §1 .3 概率的定义和性质 1. 已知6.0)(,5.0)(,8.0)(===?B P A P B A P ，则 (1) =)(AB P , (2)()(B A P )= , (3))(B A P ?= . 2. 已知,3.0)(,7.0)(==AB P A P 则)(B A P = . §1 .4 古典概型 1. 某班有30个同学,其中8个女同学, 随机地选10个,求:(1)正好有2个女同学的概率, (2)最多有2个女同学的概率,(3) 至少有2个女同学的概率. 2. 将3个不同的球随机地投入到4个盒子中,求有三个盒子各一球的概率. — §1 .5 条件概率与乘法公式 1．丢甲、乙两颗均匀的骰子，已知点数之和为7, 则其中一颗为1的概率是 。 2. 已知,2/1)|(,3/1)|(,4/1)(===B A P A B P A P 则=?)(B A P 。 §1 .6 全概率公式 1. 有10个签，其中2个“中”，第一人随机地抽一个签，不放回，第二人再随机地抽一个 签，说明两人抽“中‘的概率相同。

(完整版)概率论与数理统计课后习题答案

·1· 习 题 一 1．写出下列随机试验的样本空间及下列事件中的样本点： （1）掷一颗骰子，记录出现的点数. A =‘出现奇数点’； （2）将一颗骰子掷两次，记录出现点数. A =‘两次点数之和为10’，B =‘第一次的点数，比第二次的点数大2’； （3）一个口袋中有5只外形完全相同的球，编号分别为1,2,3,4,5；从中同时取出3只球，观察其结果，A =‘球的最小号码为1’； （4）将,a b 两个球，随机地放入到甲、乙、丙三个盒子中去，观察放球情况，A =‘甲盒中至少有一球’； （5）记录在一段时间内，通过某桥的汽车流量，A =‘通过汽车不足5台’，B =‘通过的汽车不少于3台’。 解 （1）123456{,,,,,}S e e e e e e =其中i e =‘出现i 点’ 1,2,,6i =L ， 135{,,}A e e e =。 （2）{(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6)S = (2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6) (3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6) (4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6) (5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6) (6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)}； {(4,6),(5,5),(6,4)}A =； {(3,1),(4,2),(5,3),(6,4)}B =。 （ 3 ） {(1,2,3),(2,3,4),(3,4,5),(1,3,4),(1,4,5),(1,2,4),(1,2,5) S = (2,3,5),(2,4,5),(1,3,5)} {(1,2,3),(1,2,4),(1,2,5),(1,3,4),(1,3,5),(1,4,5)}A = （ 4 ） {(,,),(,,),(,,),(,,),(,,),(,,), S ab ab ab a b a b b a =--------- (,,),(,,,),(,,)}b a a b b a ---，其中‘-’表示空盒； {(,,),(,,),(,,),(,,),(,,)}A ab a b a b b a b a =------。 （5）{0,1,2,},{0,1,2,3,4},{3,4,}S A B ===L L 。 2．设,,A B C 是随机试验E 的三个事件，试用,,A B C 表示下列事件：

概率论与数理统计练习题

概率论与数理统计练习题 一、填空题 1、设A 、B 为随机事件，且P (A)=，P (B)=，P (B A)=，则P (A+B)=__ __。 2、θθθ是常数21? ,?的两个 无偏 估计量，若)? ()?(21θθD D <，则称1?θ比2?θ有效。 3、设A 、B 为随机事件，且P (A )=, P (B )=, P (A ∪B )=，则P (B A )=。 4. 设随机变量X 服从[0,2]上的均匀分布，Y =2X +1，则D (Y )= 4/3 。 5. 设随机变量X 的概率密度是： ?? ?<<=其他 103)(2 x x x f ，且{}784 .0=≥αX P ，则α= 。 6. 已知随机向量（X ，Y ）的联合密度函数 ?????≤≤≤≤=其他 , 010,20, 2 3 ),(2y x xy y x f ，则 E (Y )= 3/4 。 7. 若随机变量X ～N (1，4)，Y ～N (2，9)，且X 与Y 相互独立。设Z ＝X －Y ＋3，则Z ～ N (2, 13) 。 * 8. 设A ，B 为随机事件，且P (A)=，P (A －B)=，则=?)(B A P 。 9. 设随机变量X ~ N (1, 4)，已知Φ=，Φ=，则{}=<2X P 。 10. 随机变量X 的概率密度函数1 22 1 )(-+-= x x e x f π ，则E (X )= 1 。 11. 已知随机向量（X ，Y ）的联合密度函数 ?? ?≤≤≤≤=其他 , 010,20, ),(y x xy y x f ，则 E (X )= 4/3 。 12. 设A ，B 为随机事件，且P (A)=, P (AB)= P (B A ), 则P (B )= 。 13. 设随机变量),(~2σμN X ，其密度函数6 4 4261)(+-- = x x e x f π ，则μ= 2 。 14. 设随机变量X 的数学期望EX 和方差DX >0都存在，令DX EX X Y /)(-=，则D Y= 1 。 15. 随机变量X 与Y 相互独立，且D (X )=4，D (Y )=2，则D (3X －2Y )＝ 44。 16. 三个人独立地向某一目标进行射击，已知各人能击中的概率分别为3 1 ,41,51，则目标能被击中 的概率是3/5 。 17. 设随机变量X ～N (2，2σ)，且P {2 < X <4}＝，则P {X < 0}＝ 。 ！ 18. 设随机变量X 的概率分布为5.0)3(,3.0)2(,2.0)1(======X P X P X P ，则X 的期望

概率论与数理统计课后习题答案

第一章 事件与概率 1．写出下列随机试验的样本空间。 （1）记录一个班级一次概率统计考试的平均分数 （设以百分制记分）。 （2）同时掷三颗骰子，记录三颗骰子点数之和。 （3）生产产品直到有10件正品为止，记录生产产 品的总件数。 （4）对某工厂出厂的产品进行检查，合格的记上 “正品”，不合格的记上“次品”，如连续查出2个次品 就停止检查，或检查4个产品就停止检查，记录检查的 结果。 （5）在单位正方形内任意取一点，记录它的坐标。 （6）实测某种型号灯泡的寿命。 解（1）},100,,1,0{n i n i ==Ω其中n 为班级人数。 （2）}18,,4,3{ =Ω。 （3）},11,10{ =Ω。 （4）=Ω{00，100，0100，0101，0110，1100， 1010，1011，0111，1101，0111，1111}，其中 0表示次品，1表示正品。 （5）=Ω{(x,y)| 0

（2）A 与B 都发生，而C 不发生。 （3）A ，B ，C 中至少有一个发生。 （4）A ，B ，C 都发生。 （5）A ，B ，C 都不发生。 （6）A ，B ，C 中不多于一个发生。 （7）A ，B ，C 至少有一个不发生。 （8）A ，B ，C 中至少有两个发生。 解 （1）C B A ，（2）C AB ，（3）C B A ++，（4）ABC ， （5）C B A ， （6）C B C A B A ++或 C B A C B A C B A C B A +++， （7）C B A ++， （8）BC AC AB ++或 ABC BC A C B A C AB ??? 3．指出下列命题中哪些成立，哪些不成立，并作 图说明。 （1）B B A B A =（2）AB B A = （3）AB B A B =?则若,（4）若 A B B A ??则, （5）C B A C B A = （6）若Φ=AB 且A C ?，

《概率论与数理统计》在线作业

第一阶段在线作业 第1题 您的答案:B 题目分数：0.５ 此题得分：0.5 批注：对立不是独立。两个集合互补。第２题 您的答案:D 题目分数：0．5 此题得分:0.5 批注:A发生，必然导致和事件发生。第３题

您的答案：B 题目分数:0.5 此题得分:0.５ 批注：分布函数的取值最大为1,最小为0. 第4题 您的答案:A 题目分数:０.５ 此题得分:0.5 批注：密度函数在【-1，1】区间积分。第5题

您的答案：Ａ 题目分数:0.5 此题得分：0.5 批注：A答案，包括了ＢC两种情况。 第６题 您的答案：A 题目分数:0.5 此题得分：0．5 批注:古典概型,等可能概型,16种总共的投法。第7题

您的答案:C 题目分数:0.5 此题得分:0.5 批注:几何概型,前两次没有命中，且第三次命中,三次相互独立,概率相乘。 第８题 您的答案:D 题目分数:０.5 此题得分：0.5 批注：利用随机变量单调性函数的概率密度求解公式公式。中间有反函数求导数，加绝对值。第9题

您的答案：C 题目分数：0.５ 此题得分:0.5 批注：利用概率密度的性质，概率密度在相应范围上的积分值为1.验证四个区间。 第10题 您的答案：B 题目分数:０.5 此题得分:0.5 批注：利用分布函数的性质，包括分布函数的值域[0，1]当自变量趋向无穷时，分布函数取值应该是1.排除答案。 第1１题

您的答案:C 题目分数:0.5 此题得分：0．5 批注：利用上分位点的定义。 第12题 您的答案：B 题目分数：0.5 此题得分：0.５ 批注：利用和事件的公式,还有概率小于等于1.P（AB)小于等于P（C）。第13题

概率论与数理统计课程教学大纲

概率论与数理统计课程教学大纲 一、课程说明 （一）课程名称：概率论与数理统计 所属专业：物理学 课程性质：必修 学分：3 （二）课程简介、目标与任务； 《概率论与数理统计》是研究随机现象规律性的一门学科；它有着深刻的实际背景，在自然科学、社会科学、工程技术、军事和工农业生产等领域中有广泛的应用。通过本课程的学习，使学生掌握概率与数理统计的基本概念，并在一定程度上掌握概率论认识问题、解决问题的方法。同时这门课程的学习对培养学生的逻辑思维能力、分析解决问题能力也会起到一定的作用。 （三）先修课程要求，与先修课与后续相关课程之间的逻辑关系和内容衔接； 先修课程：高等数学。后续相关课程：统计物理。《概率论与数理统计》需要用到高等数学中的微积分、级数、极限等数学知识与计算方法。它又为统计物理、量子力学等课程提供了数学基础，起了重要作用。 （四）教材与主要参考书。 教材： 同济大学数学系编，工程数学–概率统计简明教程（第二版），高等教 育出版社，2012. 主要参考书： 1.浙江大学盛骤，谢式千，潘承毅编，概率论与数理统计（第四版）， 高等教育出版社，2008. 2.J.L. Devore, Probability and Statistics(fifth ed.)概率论与数 理统计（第5版）影印版，高等教育出版社，2004. 二、课程内容与安排 第一章随机事件 1.1 样本空间和随机事件； 1.2 事件关系和运算。

第二章事件的概率 2.1概率的概念；2.2 古典概型；2.3几何概型；2.4 概率的公理化定义。第三章条件概率与事件的独立性 3.1 条件概率； 3.2 全概率公式； 3.3贝叶斯公式；3.4 事件的独立性； 3.5 伯努利试验和二项概率。 第四章随机变量及其分布 4.1 随机变量及分布函数；4.2离散型随机变量；4.3连续型随机变量。 第五章二维随机变量及其分布 5.1 二维随机变量及分布函数；5.2 二维离散型随机变量；5.3 二维连续随机变量；5.4 边缘分布； 5.5随机变量的独立性。 第六章随机变量的函数及其分布 6.1 一维随机变量的函数及其分布；6.2 多元随机变量的函数的分布。 第七章随机变量的数字特征 7.1数学期望与中位数； 7.2 方差和标准差； 7.3协方差和相关系数； *7.4大数律； 7.5中心极限定理。 第八章统计量和抽样分布 8.1统计与统计学；8.2统计量；8.3抽样分布。 第九章点估计

概率论与数理统计第四版课后习题答案

概率论与数理统计课后习题答案 第七章参数估计 1．[一] 随机地取8只活塞环，测得它们的直径为（以mm 计） 74.001 74.005 74.003 74.001 74.000 73.998 74.006 74.002 求总体均值μ及方差σ2的矩估计，并求样本方差S 2。 解：μ，σ2 的矩估计是 61 22 106)(1?,002.74?-=?=-===∑n i i x X n X σμ 621086.6-?=S 。 2．[二]设X 1，X 1，…，X n 为准总体的一个样本。求下列各总体的密度函数或分布律中的未知参数的矩估计量。 （1）? ??>=+-其它,0,)()1(c x x c θx f θθ 其中c >0为已知，θ>1，θ为未知参数。 （2）?? ???≤≤=-.,01 0,)(1其它x x θx f θ 其中θ>0，θ为未知参数。 （5）()p p m x p p x X P x m x m x ,10,,,2,1,0,)1()(<<=-==- 为未知参数。 解：（1）X c θc θc c θdx x c θdx x xf X E θθc θ θ =--=-== =+-∞+-∞+∞ -? ? 1 ,11)()(1令， 得c X X θ-= （2）,1)()(10 += = = ? ? ∞+∞ -θθdx x θdx x xf X E θ 2 )1(,1 X X θX θθ-==+得令 （5）E (X ) = mp 令mp = X ， 解得m X p =? 3．[三]求上题中各未知参数的极大似然估计值和估计量。 解：（1）似然函数 1211 )()()(+-=== ∏θn θ n n n i i x x x c θ x f θL 0ln ln )(ln ,ln )1(ln )ln()(ln 1 1 =- +=-++=∑∑ ==n i i n i i x c n n θθ d θL d x θc θn θn θL

概率论与数理统计习题解答

第一章随机事件及其概率 1. 写出下列随机试验的样本空间： （1）同时掷两颗骰子，记录两颗骰子的点数之和； （2）在单位圆内任意一点，记录它的坐标； （3）10件产品中有三件是次品，每次从其中取一件，取后不放回，直到三件次品都取出为止，记录抽取的次数； （4）测量一汽车通过给定点的速度. 解所求的样本空间如下 （1）S= {2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12} （2）S= {(x, y)| x2+y2<1} （3）S= {3，4，5，6，7，8，9，10} （4）S= {v |v>0} 2. 设A、B、C为三个事件，用A、B、C的运算关系表示下列事件： （1）A发生，B和C不发生； （2）A与B都发生，而C不发生； （3）A、B、C都发生；

（4）A、B、C都不发生； （5）A、B、C不都发生； （6）A、B、C至少有一个发生； （7）A、B、C不多于一个发生； （8）A、B、C至少有两个发生. 解所求的事件表示如下 3．在某小学的学生中任选一名，若事件A表示被选学生是男生，事件B表示该生是三年级学生，事件C表示该学生是运动员，则 （1）事件AB表示什么？ （2）在什么条件下ABC=C成立？ ?是正确的？ （3）在什么条件下关系式C B （4）在什么条件下A B =成立？ 解所求的事件表示如下 （1）事件AB表示该生是三年级男生，但不是运动员. （2）当全校运动员都是三年级男生时，ABC=C成立. ?是正确的. （3）当全校运动员都是三年级学生时，关系式C B

（4）当全校女生都在三年级，并且三年级学生都是女生时，A B =成立. 4．设P (A )＝，P (A －B )＝，试求()P AB 解 由于 A ?B = A – AB , P (A )= 所以 P (A ?B ) = P (A ?AB ) = P (A )??P (AB ) = , 所以 P (AB )=, 故 ()P AB = 1? = . 5. 对事件A 、B 和C ，已知P(A) = P(B)＝P(C)＝1 4 ，P(AB) = P(CB) = 0, P(AC)= 1 8 求A 、B 、C 中至少有一个发生的概率. 解 由于,()0,?=ABC AB P AB 故P(ABC) = 0 则P(A+B+C) = P(A)+P(B)+P(C) –P(AB) –P(BC) –P(AC)+P(ABC) 6. 设盒中有α只红球和b 只白球，现从中随机地取出两只球，试求下列事件的概率： A ＝{两球颜色相同}， B ＝{两球颜色不同}. 解 由题意，基本事件总数为2a b A +，有利于A 的事件数为2 2a b A A +，有利于B 的事件数为111111 2a b b a a b A A A A A A +=, 则 2 2 11 2 22()()a b a b a b a b A A A A P A P B A A +++==

《概率论与数理统计》课程教学大纲

《概率论与数理统计》课程教学大纲 一、课程基本信息 课程编号：450006 课程名称：概率论与数理统计 课程类别：公共基础课（必修） 学时学分：理论48学时/3学分 适用专业：计算机、自动化、经管各专业 开课学期：第一学期 先修课程：高等数学 后续课程： 执笔人： 审核人： 制（修）订时间：2015.9 二、课程性质与任务 概率论与数理统计是研究随机现象客观规律性的数学学科，是高等学校理、工、管理类本科各专业的一门重要的基础理论课。通过本课程的教学，应使学生掌握概率论与数理统计的基本概念，了解它的基本理论和方法，从而使学生初步掌握处理随机事件的基本思想和方法，培养学生运用概率统计方法分析和解决实际问题的能力。 三、课程教学基本要求 本课程以课堂讲授为主，致力于讲清楚基本的概率统计思想，使学生掌握基本的概率、统计计算方法。注意培养基本运算能力、分析问题和解决实际问题的能力。讲授中运用实例来说明本课程应用的广泛性和重要性。每节课布置适量的习题以巩固所学知识，使学生能够运用概率统计思想和方法解决一些实际问题。 四、课程教学内容及各教学环节要求 （一）概率论的基本概念

1、教学目的 理解随机现象、样本空间、随机事件、概率等概念，掌握事件的关系与运算，掌握古典概犁及其计算、条件概率的计算、全概率公式和贝叶斯公式的应用。 2、教学重点与难点 （1）教学重点 ① 概率、条件概率与独立性的概念； ② 加法公式；乘法公式；全概率公式；贝叶斯公式。 （2）教学难点 ① 古典概型的有关计算；② 全概率公式的应用； ③ 贝叶斯公式的应用。 3、教学方法 采用传统教学方式，以课堂讲授为主，课堂讨论、多媒体演示、课下辅导等为辅的教学方法。加强互动教学，学生对课程的某一学术问题通过检索资料、实际调查来提高自学能力和实践应用能力。 4、教学要求 （1）理解随机试验、样本空间、随机事件等基本概念；熟练掌握事件的关系及运算 （2）理解频率和概率定义；熟练掌握概率的基本性质 （3）理解等可能概型的定义性质；,会计算等可能概型的概率 （4）理解条件概率的定义；熟练掌握加法公式、乘法公式、全概率公式和贝叶斯公式（5）理解事件独立性概念,掌握应用独立性进行概率计算 （二）随机变量及其分布 1、教学目的 了解随机变量的概念；理解离散型随机变量的分布律和连续型随机变量的概率密度的概念及性质，会利用性质确定分布律和概率密度；理解分布函数的概念及性质，会利用此概念和性质确定分布函数，会利用概率分布计算有关事件的概率；掌握正态分布、均匀分布、指数分布、0-1分布、二项分布、泊松分布，会求简单的随机变量函数的分布 2、教学重点与难点 （1）教学重点 ① 随机变量及其概率分布的概念； ② 离散型随机变量分布律的求法；

概率论与数理统计习题答案

习题五 1.一颗骰子连续掷4次，点数总和记为X .估计P {10

【解】令1,,0,i i X ?? ?若第个产品是合格品其他情形. 而至少要生产n 件，则i =1,2,…,n ,且 X 1，X 2，…，X n 独立同分布，p =P {X i =1}=. 现要求n ,使得 1 {0.760.84}0.9.n i i X P n =≤ ≤≥∑ 即 0.80.9n i X n P -≤≤≥∑ 由中心极限定理得 0.9,Φ-Φ≥ 整理得0.95,Φ≥?? 查表 1.64,10≥ n ≥, 故取n =269. 3. 某车间有同型号机床200部，每部机床开动的概率为，假定各机床开动与否互不影响，开动时每部机床消耗电能15个单位.问至少供应多少单位电能 才可以95%的概率保证不致因供电不足而影响生产. 【解】要确定最低的供应的电能量，应先确定此车间同时开动的机床数目最大值m ，而m 要满足200部机床中同时开动的机床数目不超过m 的概率为95%,

(完整版)概率论与数理统计课程标准

《概率论与数理统计》课程标准 一、课程概述 （一）课程定位 《概率论与数理统计》(Probability Theory and Mathematical Statistics)，由概率论和数理统计两部分组成。它是研究随机现象并找出其统计规律的一门学科，是广泛应用于社会、经济、科学等各个领域的定量和定性分析的科学体系。从学科性质讲，它是一门基础性学科，它为建筑专业学生后继专业课程的学习提供方法论的指导。 （二）先修后续课程 《概率论与数理统计》的先修课程为《高等数学》、《线性代数》等，这些课程为本课程的学习奠定了理论基础。 《概率论与数理统计》的后续课程为《混凝土结构设计》、《地基与基础》等课程。通过该课程的学习可为这些课程中的模型建立等内容的知识学习奠定良好的基础,在教学中起到了承上启下的作用。 二.课程设计思路 本课程的基本设计思路是极力用较为通俗的语言阐释概率论的基本理论和数理统计思想方法;理论和方法相结合，以强调数理统计理论的应用价值。总之,强调理论与实际应用相结合的特点,力求在实际应用方面做些有益的探索，也为其它学科的

进一步学习打下一个良好的基础。 三、课程目标 《概率论与数理统计》是一门几乎遍及所有的科学技术领域以及工农业生产和国民经济各部门之中。通过学习该课程使学生掌握概率、统计的基本概念，熟悉数据处理、数据分析、数据推断的各种基本方法，并能用所掌握的方法具体解决工程实践中所遇到的各种问题。 （一）能力目标 力求在简洁的基础上使学生能从整体上了解和掌握该课程的内容体系，使学生能够在实际工作中、其它学科的学习中能灵活、自如地应用这些理论。 （二）知识目标 1.理解掌握概率论中的相关概念和公式定理； 2.学会应用概率论的知识解决一些基本的概率计算； 3.理解数理统计的基本思想和解决实际问题的方法。 （三）素质目标 1.培养学生乐于观察、分析、不断创新的精神； 2.培养具有较好的逻辑思维、较强的计划、组织和协调能力； 3.培养具有认真、细致严谨的职业能力。 四、课程内容 根据能力培养目标的要求，本课程的主要内容是随机事件、随机变量、随机向量、数字特征、极限定理。具体内容和学时分配见表4-1。 表4-1 课程内容和学时分配

概率论与数理统计复习题--带答案

概率论与数理统计复习题--带答案

;第一章 一、填空题 1.若事件A?B且P（A）=0.5, P(B) =0.2 , 则P(A －B)=（0.3 ）。 2.甲、乙各自同时向一敌机炮击，已知甲击中敌 机的概率为0.7，乙击中敌机的概率为0.8．求 敌机被击中的概率为（0.94 ）。 3.设Ａ、Ｂ、Ｃ为三个事件，则事件Ａ，Ｂ，Ｃ中 不少于二个发生可表示为（AB AC BC ++）。 4.三台机器相互独立运转，设第一，第二，第三 台机器不发生故障的概率依次为0.9，0.8，0.7，则这三台机器中至少有一台发生故障的概率 为（0.496 ）。 5.某人进行射击，每次命中的概率为０.6 独立 射击４次，则击中二次的概率为 （ 0.3456 ）。 6.设Ａ、Ｂ、Ｃ为三个事件，则事件Ａ，Ｂ与Ｃ都 不发生可表示为（ABC）。 7.设Ａ、Ｂ、Ｃ为三个事件，则事件Ａ，Ｂ，Ｃ中 不多于一个发生可表示为（AB AC BC I I）； 8.若事件A与事件B相互独立，且P（A）=0.5, P(B) =0.2 , 则P(A|B)=（0.5 ）；

9.甲、乙各自同时向一敌机炮击，已知甲击中敌机 的概率为0.6，乙击中敌机的概率为0.5．求敌机被击中的概率为（0.8 ）； 10.若事件A与事件B互不相容，且P（A）=0.5, P(B) =0.2 , 则P(B A-)=（0.5 ） 11.三台机器相互独立运转，设第一，第二，第三 台机器不发生故障的概率依次为0.8，0.8，0.7，则这三台机器中最多有一台发生故障的概率为（0.864 ）。 12.若事件A?B且P（A）=0.5, P(B) =0.2 , 则 P(B A)=（0.3 ）; 13.若事件A与事件B互不相容，且P（A）=0.5, P(B) =0.2 , 则P(B A)=（0.5 ） 14.Ａ、Ｂ为两互斥事件，则A B= U（S ）15.Ａ、Ｂ、Ｃ表示三个事件，则Ａ、Ｂ、Ｃ恰 有一个发生可表示为 （ABC ABC ABC ++） 16.若()0.4 P AB A B= U P AB=0.1则(|) P B=，() P A=，()0.2 （ 0.2 ） 17.Ａ、Ｂ为两互斥事件，则AB=（S ） 18.保险箱的号码锁定若由四位数字组成，则一次 ）。 就能打开保险箱的概率为（1 10000

《概率论与数理统计》课程重点与难点要记

《概率论与数理统计》课程重点与难点要记 第一章：随机事件及其概率 题型一：古典概型 1．房间里有10个人，分别佩戴从1号到10号的纪念章，任选3人记录其纪念章的号码，求最小号码为5的概率，及最大号码是5的概率。 2．设袋中有5个白球，3个黑球，从袋中随机摸取4个球，分别求出下列事件的概率： 1）采用有放回的方式摸球，则四球中至少有1个白球的概率； 2）采用无放回的方式摸球，则四球中有1个白球的概率。 3．一盒子中有10件产品，其中4件次品，每次随机地取一只进行检验， 1）求第二次检验到次品的概率； 2）求第二才次检验到次品的概率。 4．在1－2000的整数中随机的取一个数，问取到的整数既不能被6整除，又不能被8整除 的概率是多少？（合理的设置事件，通过概率的性质解题也很重要） 课后习题：P16：2，3，4，5， 7，9，10，11，12，13，14 P30：8，9，10，16 题型二：利用条件概率、乘法公式及事件的独立性计算事件的概率 1。3人独立去破译一个密码，他们能译出的概率分别为1/5、1/4、1/3，问能将此密码译出的概率。 2。设口袋有2n-1只白球，2n 只黑球，一次取出n 只球，如果已知取出的球都是同一种颜色，试计算该颜色是黑色的概率。 3。设袋中装有a 只红球，b 只白球，每次自袋中任取一只球，观察颜色后放回，并同时放入m 只与所取出的那只同色的球，连续在袋中取球四次，试求第一、第二次取到红球且第三次取到白球，第四次取到红球的概率。 课后习题：P23：1，2，3，4，6，10，11 P28：1，2，4，5，6，7，9，10，12， 13 题型三：全概率与贝叶斯公式 1．在一个每题有4个备选答案的测验中，假设有一个选项是正确的，如果一个学生不知道问题的正确答案，他就作随机选择。知道正确答案的学生占参加测验者的90%，试求： （1）学生回答正确的概率； （2）假如某学生回答此问题正确，那么他是随机猜出的概率。 2．一通讯通道，使用信号“0”和“1”传输信息。以A 记事件收到信号“1”，以B 记事件发出信号“1”。已知()0.4,(/)0.95,(/)0.90P B P A B P A B ===。 1）求收到信号“1”的概率？ 2）现已收到信号“1”，求发出信号是“1”的概率？ 课后习题：P23：7，8，9，12 P31：19，26，27，28 第二章：随机变量及其分布 题型一：关于基本概念：概率分布律、分布函数、密度函数 1．一房间有三扇同样大小的窗子，其中只有一扇是打开的。有一只鸟自开着的窗子飞入了

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第二章随机变量及其分布第一节随机变量及其分布函数 一、随机变量 随机试验的结果是事件，就“事件”这一概念而言，它是定性的。要定量地研究随机现象，事件的数量化是一个基本前提。很自然的想法是，既然试验的所有可能的结果是知道的，我们就可以对每一个结果赋予一个相应的值，在结果(本事件)数值之间建立起一定的对应关系，从而对一个随机试验进行定量的描述。 例2-1 将一枚硬币掷一次，观察出现正面H、反面T的情况。这一试验有两个结果：“出现H”或“出现T”。为了便于研究，我们将每一个结果用一个实数来代表。比如，用数“1”代表“出现H”，用数“0”代表“出现T”。这样，当我们讨论试验结果时，就可以简单地说成结果是1或0。建立这种数量化的关系，实际上就相当于引入一个变量X，对于试验的两个结果，将X的值分别规定为1或0。如果与样本空间 { } {H,T}联系起来，那么，对于样本空间的不同元素，变量X可以取不同的值。因此，X是定义在样本空间上的函数，具体地说是 1,当 H X X( ) 0,当 T 由于试验结果的出现是随机的，因而X(ω)的取值也是随机的，为此我们称 X( )X(ω)为随机变量。 例2-2 在一批灯泡中任意取一只，测试它的寿命。这一试验的结果（寿命）本身就是用数值描述的。我们以X记灯泡的寿命，它的取值由试验的结果所确定，随着试验结果的不同而取不同的值，X是定义在样本空间 {t|t 0}上的函数 X X(t) t,t 因此X也是一个随机变量。一般地有 定义2-1 设 为一个随机试验的样本空间，如果对于 中的每一个元素 ，都有一个实数X( )与之相对应，则称X为随机变量。 一旦定义了随机变量X后，就可以用它来描述事件。通常，对于任意实数集合L,X在 L上的取值，记为{X L}，它表示事件{ |X( ) L}，即 。 {X L} { |X( ) L} 例2-3 将一枚硬币掷三次，观察出现正、反面的情况。设X为“正面出现”的次数，则X是一个随机变量。显然，X的取值为0，1，2，3。X的取值与样本点之间的对应关系如表2-1所示。 表2-1 表2-1

概率论与数理统计习题集及答案

《概率论与数理统计》作业集及答案
第 1 章 概率论的基本概念
§1 .1 随机试验及随机事件 1. (1) 一枚硬币连丢 3 次，观察正面 H﹑反面 T 出现的情形. 样本空间是：S=
(2) 一枚硬币连丢 3 次，观察出现正面的次数. 样本空间是：S= 2.(1) 丢一颗骰子. A：出现奇数点，则 A= ；B：数点大于 2，则 B= (2) 一枚硬币连丢 2 次， A：第一次出现正面，则 A= ； B：两次出现同一面，则= ； C：至少有一次出现正面，则 C= ；b5E2RGbCAP ；p1EanqFDPw .DXDiTa9E3d .
§1 .2 随机事件的运算
1. 设 A、B、C 为三事件，用 A、B、C 的运算关系表示下列各事件： (1)A、B、C 都不发生表示为： .(2)A 与 B 都发生,而 C 不发生表示为： .RTCrpUDGiT (3)A 与 B 都不发生,而 C 发生表示为： .(4)A、B、C 中最多二个发生表示为： .5PCzVD7HxA (5)A、B、C 中至少二个发生表示为： .(6)A、B、C 中不多于一个发生表示为： .jLBHrnAILg 2. 设 S ? {x : 0 ? x ? 5}, A ? {x : 1 ? x ? 3}, B ? {x : 2 ?? 4}：则 （1） A ? B ? （4） A ? B = ， （2） AB ? ， （5） A B = ， （3） A B ? 。 ，
xHAQX74J0X
§1 .3 概率的定义和性质
1. 已知 P( A ? B) ? 0.8, P( A) ? 0.5, P( B) ? 0.6 ，则 (1) P( AB) ? , (2)( P( A B) )= 则 P( AB) = , (3) P( A ? B) = . .LDAYtRyKfE
2. 已知 P( A) ? 0.7, P( AB) ? 0.3,
§1 .4 古典概型
1. 某班有 30 个同学,其中 8 个女同学, 随机地选 10 个,求:(1)正好有 2 个女同学的概率, (2)最多有 2 个女同学的概率,(3) 至少有 2 个女同学的概率. 2. 将 3 个不同的球随机地投入到 4 个盒子中,求有三个盒子各一球的概率.
§1 .5 条件概率与乘法公式
1．丢甲、乙两颗均匀的骰子，已知点数之和为 7, 则其中一颗为 1 的概率是 2. 已知 P( A) ? 1 / 4, P( B | A) ? 1 / 3, P( A | B) ? 1 / 2, 则 P( A ? B) ? 。 。
§1 .6 全概率公式
1.
有 10 个签，其中 2 个“中” ，第一人随机地抽一个签，不放回，第二人再随机地抽一个签，说明两人 抽“中‘的概率相同。Zzz6ZB2Ltk 1 / 19

概率论与数理统计结课论文

概率论与数理统计课程总结报告——概率论与数理统计在日常生活中的应用 姓名： 学号： 专业：电子信息工程

摘要：数学作为一门工具性学科在我们的日常生活以及科学研究中扮演着极其重要的角色。概率论与 数理统计作为数学的一个重要组成部分，在生活中的应用也越来越广泛，近些年来，概率论与数理统计知识也越来越多的渗透到经济学，心理学，遗传学等学科中，另外在我们的日常生活之中，赌博，彩票，天气，体育赛事等都跟概率学有着十分密切的关系。本文着眼于概率论与数理统计在我们生活中的应用，通过前半部分对概率论与数理统计的一些基本知识的介绍，包括概率的基本性质，随机变量的数字特征及其分布，贝叶斯公式，中心极限定理等，结合后半部分的事例分析讨论了概率论与数理统计在我们生活中的指导作用，可以说，概率论与数理统计是如今数学中最活跃，应用最广泛的学科之一。 关键词：概率论 数理统计 经济生活 随机变量 贝叶斯公式 基本知识 §1.1 概率的重要性质 1.1.1定义 设E 是随机试验，S 是它的样本空间，对于E 的每一事件A 赋予一个实数，记为P （A ），称为事件的概率。 概率)(A P 满足下列条件： （1）非负性：对于每一个事件A 1)(0≤≤A P （2）规范性：对于必然事件S 1)S (=P （3）可列可加性：设n A A A ,,,21 是两两互不相容的事件，有∑===n k k n k k A P A P 1 1 )()( （n 可以取∞） 1.1.2 概率的一些重要性质 （i ） 0)(=φP （ii ）若n A A A ,,,21 是两两互不相容的事件，则有∑===n k k n k k A P A P 1 1 )()( （n 可以取∞） （iii ）设A ，B 是两个事件若B A ?，则)()()(A P B P A B P -=-，)A ()B (P P ≥ （iv ）对于任意事件A ，1)(≤A P （v ）)(1)(A P A P -= （逆事件的概率） （vi ）对于任意事件A ，B 有)()()()(AB P B P A P B A P -+=?

《概率论与数理统计》浙江大学第四版课后习题答案

概率论与数理统计习题答案 第四版 盛骤 (浙江大学) 浙大第四版（高等教育出版社） 第一章 概率论的基本概念 1.[一] 写出下列随机试验的样本空间 （1）记录一个小班一次数学考试的平均分数（充以百分制记分）（[一] 1） ??? ????=n n n n o S 1001, ，n 表小班人数 （3）生产产品直到得到10件正品，记录生产产品的总件数。（[一] 2） S={10，11，12，………，n ，………} （4）对某工厂出厂的产品进行检查，合格的盖上“正品”，不合格的盖上“次品”，如连续查出二个次品就停止检查，或检查4个产品就停止检查，记录检查的结果。 查出合格品记为“1”，查出次品记为“0”，连续出现两个“0”就停止检查，或查满4次才停止检查。 （[一] (3)） S={00，100，0100，0101，1010，0110，1100，0111，1011，1101，1110，1111，} 2.[二] 设A ，B ，C 为三事件，用A ，B ，C 的运算关系表示下列事件。 （1）A 发生，B 与C 不发生。 表示为： C B A 或A － (AB+AC )或A － (B ∪C ) （2）A ，B 都发生，而C 不发生。 表示为： C AB 或AB －ABC 或AB －C

（3）A ，B ，C 中至少有一个发生 表示为：A+B+C （4）A ，B ，C 都发生， 表示为：ABC （5）A ，B ，C 都不发生， 表示为：C B A 或S － (A+B+C)或C B A ?? （6）A ，B ，C 中不多于一个发生，即A ，B ，C 中至少有两个同时不发生 相当于C A C B B A ,,中至少有一个发生。故 表示为：C A C B B A ++。 （7）A ，B ，C 中不多于二个发生。 相当于：C B A ,,中至少有一个发生。故 表示为：ABC C B A 或++ （8）A ，B ，C 中至少有二个发生。 相当于：AB ，BC ，AC 中至少有一个发生。故 表示为：AB +BC +AC 6.[三] 设A ，B 是两事件且P (A )=0.6，P (B )=0. 7. 问(1)在什么条件下P (AB )取到最大值，最大值是多少？（2）在什么条件下P (AB )取到最小值，最小值是多少？ 解：由P (A ) = 0.6，P (B ) = 0.7即知AB ≠φ，（否则AB = φ依互斥事件加法定理， P (A ∪B )=P (A )+P (B )=0.6+0.7=1.3>1与P (A ∪B )≤1矛盾）. 从而由加法定理得 P (AB )=P (A )+P (B )－P (A ∪B ) (*) （1）从0≤P (AB )≤P (A )知，当AB =A ，即A ∩B 时P (AB )取到最大值，最大值为 P (AB )=P (A )=0.6， （2）从(*)式知，当A ∪B=S 时，P (AB )取最小值，最小值为 P (AB )=0.6+0.7－1=0.3 。 7.[四] 设A ，B ，C 是三事件，且0)()(,4 1 )()()(=== ==BC P AB P C P B P A P ，8 1 )(= AC P . 求A ，B ，C 至少有一个发生的概率。 解：P (A ，B ，C 至少有一个发生)=P (A +B +C )= P (A )+ P (B )+ P (C )－P (AB )－P (BC )