选修1-1导数练习题

导数期末复习题

一：基本知识点

1.导数就是瞬时变化率，它的几何意义为：曲线f （x ）在某一点（x 0，y 0）处的导数是过点（x 0，y 0）的切线的

3．几种常见函数的导数

'c =_____（c 为常数）；()n x '=_______（R n ∈）；'(sin )x = ；

'(cos )x = ； (l n

)x '=_______； (log )a x '=______ '()x e =_____；'()x a =_____

4运算法则'()u v ±=__________；'()uv = ；'

u v ??= ??? (0)v ≠. 5.函数的单调性,极值，最值与导数的关系，利用导数求解生活中的优化问题。 二：填空、选择题

1.（09期末）设函数f (x )的图象如右图所示，则导函数f '(x )的图象可能为

2.（09期末）已知函数()(2)x f x x e =+，则'(0)f = .

3.（09期末）为迎接2010年11月12日至27日在广州举办的第16届亚运会，某高台跳水运动员加强训练，经多次统计与分析，得到t 秒时该运动员相对于水面的高度（单位：m ）是2()

4.8810h t t t =-++. 则该运动员在2t =秒时的瞬时速度为 /m s ，经过 秒后该运动员落入水中

4. 函数)1()1(2-+=x x y 在1=x 处的导数等于_________。函数y =x x sin 2在x =2π处的

导数为_____

5.函数y ＝ax 2

＋1的图象与直线y ＝x 相切，则a ＝_______

'(

)f x

()x

)x 6.（10期末）函数f (x )的导函数'()f x 的图象如

右图所示，则下列说法正确的是

A ．函数()f x 在(2,3)-内单调递增

B ．函数()f x 在(4,0)-内单调递减

C ．函数()f x 在3x =处取极大值

D ．函数()f x 在4x =处取极小

7.（10期末）物体沿直线运动过程中，位移s 与时间2t =的附近区间[2,2]t +?内的平均速度(2)(2)s t s v t

+?-==? ，当t ?趋近于0时，平均速度v 趋近于确定的值，即瞬时速度，由此可得到2t =时的瞬时速度大小为 .

8.已知函数223)(a bx ax x x f +++=在x=1处有极值为10，则f (2)等于

9.函数443

1)(3+-=

x x x f 在[0，3]上的最值是 （ ） A ．最大值是4，最小值是34- B ．最大值是2，最小值是3

4- C ．最大值是4，最小值是31- D ．最大值是2，最小值是31- 10.函数x x x f ln 3)(?+=的单调递增区间是 （ ）

A ．)1

,0(e B ．),(+∞e C ．),1

(+∞e D ．),1(e e

11.(08高考)设a ∈R ，若函数y =e x +ax , x ∈R 有大于零的极值点，则

A ．a ＜1-

B ．a ＞1-

C ．a ＞1e -

D ．a ＜1e

- 12.（09高考）函数()(3)x f x x e =-的单调递增区间是

A ．(),2-∞

B ．（0，3）

C ．（1，4）

D ．()2,+∞

13. 曲线32y x x =-上一点(1,1)P --，则点P 处的切线与x 轴、y 轴所围成的平面图形的面积为________.

二：解答题

14.（09期末）已知函数1()sin ,(0,)2

f x x x x π=-∈. （1）求函数()f x 的单调递增区间；

（2）求函数()f x 的图象在点3x π=

处的切线方程.

15．（10期末）已知函数21()(2)3

f x x x =+. （1）求()f x 的导数'()f x ；（2）求()f x 在闭区间[]1,1-上的最大值与最小值.

16.（10期末）已知某精密仪器生产总成本C （单位：万元）与月产量x （单位：台）的函数关系为1004C x =+，月最高产量为150台，出厂单价p （单位：万元）与月产量x 的函数关系为21125801800

p x x =+-. （1）求月利润L 与产量x 的函数关系式()L x ；

（2）求月产量x 为何值时，月利润()L x 最大?

17有一块边长为6m 的正方形钢板，将其四个角各截去一个边长为x 的小正方形，然后焊接

成一个无盖的蓄水池。

（Ⅰ）写出以x 为自变量的容积V 的函数解析式V(x)，并求函数V(x)的定义域； （Ⅱ）指出函数V(x)的单调区间；

（Ⅲ）蓄水池的底边为多少时，蓄水池的容积最大？最大容积是多少？

18.（09期末）已知函数213()324

f x x x =--. 定义函数()f x 与实数m 的一种符号运算为()()[()()]m f x f x f x m f x ?=+- .

（1）求使函数值()f x 大于0的x 的取值范围；

（2）若27()4()2

g x f x x =?+，求()g x 在区间[0,4]上的最大值与最小值.

高等数学公式导数基本公式

高等数学公式 导数公式： 基本积分表： 三角函数的有理式积分： 2 222122an 11cos 12sin u du dx x t u u u x u u x +==+-=+=，　，　，　 a x x a a a ctgx x x tgx x x x x x x a x x ln 1 )(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(cot sec )(tan 22= '='?-='?='-='='2 2 22 11 )cot (11 )(arctan 11 )(arccos 11 )(arcsin x x arc x x x x x x +- ='+= '-- ='-= '? ?????????+±+=±+=+=+=+-=?+=?+-==+==C a x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx C a a dx a C x xdx x C x dx x x C x xdx x dx C x xdx x dx x x )ln(ln csc cot csc sec tan sec cot csc sin tan sec cos 222 22 22 2C a x x a dx C x a x a a x a dx C a x a x a a x dx C a x a x a dx C x x xdx C x x xdx C x xdx C x xdx t +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=????????arcsin ln 21ln 21arctan 1cot csc ln csc tan sec ln sec sin ln cot cos ln an 2 2222222? ????++-=-+-+--=-+++++=+-= ==-C a x a x a x dx x a C a x x a a x x dx a x C a x x a a x x dx a x I n n xdx xdx I n n n n arcsin 22ln 22)ln(221 cos sin 22 2222222 2222222 22 2 22 2 π π

导数及求导

导数定义: [1]（一）导数第一定义：设函数y = f(x) 在点x0 的某个邻域内有定义，当自变量x 在x0 处有增量△x ( x0 + △x 也在该邻域内) 时，相应地函数取得增量△y = f(x0 + △x) - f(x0) ；如果△y 与△x 之比当△x→0 时极限存在，则称函数y = f(x) 在点x0 处可导，并称这个极限值为函数y = f(x) 在点x0 处的导数记为f'(x0) ,即 导数第一定义 （二）导数第二定义：设函数y = f(x) 在点x0 的某个邻域内有定义，当自变量x 在x0 处有变化△x ( x - x0 也在该邻域内) 时，相应地函数变化△y = f(x) - f(x0) ；如果△y 与△x 之比当△x→0 时极限存在，则称函数y = f(x) 在点x0 处可导，并称这个极限值为函数y = f(x) 在点x0 处的导数记为f'(x0) ,即 导数第二定义 （三）导函数与导数：如果函数y = f(x) 在开区间I 内每一点都可导，就称函数f(x)在区间I 内可导。这时函数y = f(x) 对于区间I 内的每一个确定的x 值，都对应着一个确定的导数，这就构成一个新的函数，称这个函数为原来函数y = f(x) 的导函数，记作y', f'(x), dy/dx, df(x)/dx。导函数简称导数。

导数的几何意义是，导数在几何上表现为切线的斜率。对于一元函数，某一点的导数就是平面图形上某一点的切线斜率；对于二元函数而言，某一点的导数就是空间图形上某一点的切线斜率，故必须对极限的定义及几何意义非常了解，不然无法了解倒数的意义。 对于单侧可导，设函数f(x)在点x0及x0的某个领域内有定义 则当h从h=0的右边逼近于h=0即原点时，若lim[f(x0+h)-f(x0)]/h存在，这个极限就是f(x)在x=x0的右导数。左导数类似。区别在于逼近的方向不同。几何意义即函数f(x)左右的切线斜率，如果函数f(x)在点x0的左导数与右导数存在且相同，则称函数f(x)在点x0处可导。 同时，若函数f(x)在点x0可导，则函数f(x)在点x0一定连续，但f(x)在点x0连续却不一定可导。

求导法则与求导公式

§2.2 求导法则与导数的基本公式 教学目标与要求 1. 掌握并能运用函数的和、差、积、商的求导法则 2. 理解反函数的导数并能应用； 3. 理解复合函数的导数并会求复合函数的导数； 4. 熟记求导法则以及基本初等函数的导数公式。 教学重点与难度 1. 会用函数的和、差、积、商的求导法则求导； 2. 会求反函数的导数； 3. 会求复合函数的导数 前面，我们根据导数的定义，求出了一些简单函数的导数。但是，如果对每一个函数都用定义去求它的导数,有时候将是一件非常复杂或困难的事情。因此，本节介绍求导数的几个基本法则和基本初等函数的导数公式。鉴于初等函数的定义，有了这些法则和公式，就能比较方便地求出常见的函数——初等函数的导数。 一、函数的和、差、积、商求导法则 1.函数的和、差求导法则 定理1 函数()u x 与()v x 在点x 处可导，则函数()()y u x v x =±在点x 处也可导，且 [()()]()()y u x v x u x v x ''''=±=± 同理可证：' ' ' [()()]()()u x v x u x v x -=- 即证。 注意：这个法则可以推广到有限个函数的代数和，即 12''' ' 12[()()()]()()()n n u x u x u x u x u x u x ±± ±=±±±， 即有限个函数代数和的导数等于导数的代数和。

例1 求函数4 cos ln 2 y x x x π =+++ 的导数 解 4 c o s l n 2y x x x π'??'=+++ ?? ? ()()()4 cos ln 2x x x π'??'''=+++ ??? 3 1 4s i n x x x =-+ 2.函数积的求导公式 定理2 函数()u x 与()v x 在点x 处可导，则函数()()y u x v x =在点x 也可导，且 ''''[()()]()()()()y u x v x u x v x u x v x ==+。 注意：1）特别地，当u c =（c 为常数）时， '''[()]()y cv x cv x ==， 即常数因子可以从导数的符号中提出来。而且将其与和、差的求导法则结合，可得： ''''[()()]()()y au x bv x au x bv x =±=±。 2）函数积的求导法则，也可以推广到有限个函数乘积的情形，即 ''' '12 1212 12 ()n n n n u u u u u u u u u u u u =+++。 例2 求下列函数的导数。 1）32 3254sin y x x x x =+-+； 解 ()()()()3 2 3254sin y x x x x '''''=+-+

导数公式证明大全(更新版)

（麻烦那些盗取他人成果的人素质点，最近总有人把我的作品抄袭过去，改改标题就作为他的东西。愤怒啊！！！！！！） 导数的定义：f'(x)=lim Δy/Δx Δx→0（下面就不再标明Δx→0了） 用定义求导数公式 （1）f(x)=x^n 证法一：（n为自然数） f'(x) =lim [(x+Δx)^n-x^n]/Δx =lim (x+Δx-x)[(x+Δx)^(n-1)+x*(x+Δ x)^(n-2)+...+x^(n-2)*(x+Δx)+x^(n-1)]/Δx =lim [(x+Δx)^(n-1)+x*(x+Δx)^(n-2)+...+x^(n-2)*(x+Δ x)+x^(n-1)] =x^(n-1)+x*x^(n-2)+x^2*x^(n-3)+ ...x^(n-2)*x+x^(n-1) =nx^(n-1)

证法二：（n为任意实数） f(x)=x^n lnf(x)=nlnx (lnf(x))'=(nlnx)' f'(x)/f(x)=n/x f'(x)=n/x*f(x) f'(x)=n/x*x^n f'(x)=nx^(n-1) （2）f(x)=sinx f'(x) =lim (sin(x+Δx)-sinx)/Δx =lim (sinxcosΔx+cosxsinΔx-sinx)/Δx =lim (sinx+cosxsinΔx-sinx)/Δx

=lim cosxsinΔx/Δx =cosx （3）f(x)=cosx f'(x) =lim (cos(x+Δx)-cosx)/Δx =lim (cosxcosΔx-sinxsinΔx-cosx)/Δx =lim (cosx-sinxsinΔx-cos)/Δx =lim -sinxsinΔx/Δx =-sinx （4）f(x)=a^x 证法一： f'(x) =lim (a^(x+Δx)-a^x)/Δx

基本函数求导公式

基本初等函数求导公式 (1) 0)(='C (2) 1 )(-='μμμx x (3) x x cos )(sin =' (4) x x sin )(cos -=' (5) x x 2 sec )(tan =' (6) x x 2csc )(cot -=' (7) x x x tan sec )(sec =' (8) x x x cot csc )(csc -=' (9) a a a x x ln )(=' (10) (e )e x x '= (11) a x x a ln 1 )(log = ' (12) x x 1)(ln = '， (13) 211)(arcsin x x -= ' (14) 211)(arccos x x -- =' (15) 21(arctan )1x x '= + (16) 21(arccot )1x x '=- + 函数的和、差、积、商的求导法则 设)(x u u =， )(x v v =都可导，则 （1） v u v u '±'='±)( （2） u C Cu '=')(（C 是常数） （3） v u v u uv '+'=')( （4） 2v v u v u v u '-'=' ??? ?? 反函数求导法则 若函数 )(y x ?=在某区间y I 内可导、单调且0)(≠'y ?，则它的反函数)(x f y =在对应 区间x I 内也可导，且 )(1)(y x f ?'= ' 或 dy dx dx dy 1= 复合函数求导法则

设)(u f y =，而)(x u ?=且)(u f 及)(x ?都可导，则复合函数)]([x f y ?=的导数为 dy dy du dx du dx = 或()()y f u x ?'''= ２. 双曲函数与反双曲函数的导数. 双曲函数与反双曲函数都是初等函数，它们的导数都可以用前面的求导公式和求导法则求出． 可以推出下表列出的公式： 在第二章第六节中我们已经提出了隐函数的概念，并且指出了不经过显化直接由方程 ),(y x f =0 (1) 求它所确定的隐函数的方法。现在介绍隐函数存在定理，并根据多元复合函数的求导法来导出隐函数的导数公式. 隐函数存在定理 1 设函数),(y x F 在点 ),(00y x P 的某一邻域内具有连续的偏导数，且0),(00=y x F ，, 0),(00≠y x F y ，则方程),(y x F =0在点),(00y x 的某一邻域内恒能唯一确定一个单值连续且具有连续导数的函数)(x f y =，它满足条件)(00x f y =，并有 y x F F dx dy -= (2) 公式（2）就是隐函数的求导公式 这个定理我们不证。现仅就公式(2)作如下推导。 将方程(1)所确定的函数)(x f y =代入，得恒等式

求导公式

1. y=c(c 为常数) y'=0 2. y=x^n y'=nx^(n-1) 3. y=a^x y'=a^xlna y=e^x y'=e^x 4. y=logax y'=logae/x y=lnx y'=1/x 5. y=sinx y'=cosx 6. y=cosx y'=-sinx 7. y=tanx y'=1/cos^2x 8. y=cotx y'=-1/sin^2x 9. y =arcsinx y'=1/√1-x^2 10. y=arccosx y'=-1/√1-x^2 11. y=arctanx y'=1/1+x^2 12. y=arccotx y'=-1/1+x^2 1、a 是一个常数，对数的真数，比如ln5 5就是真数 2、log 对数 lognm 这里的n 是指底数，m 是指真数， 当底数为10时，简写成lgm 当底数为e （e = 2.718281828459）是一个常数 数学中成为超越数 经常要用到）时，简写成lnm 3、sin ，cos ，tan ，sec ，cot ，csc 分别为三角函数 分别表示正弦、余弦、正切、正割、余切、余割。 正弦余弦是一对，正切余切是一对，正割余割是一对 这六个是最基本的三角函数 4、arc 是指的反三角函数 比如反正弦Sin30°=0.5 则arcsin0.5=30°（角度制）=π/6（弧度制） 反正切 反余弦 反余切等等都是同一道理 四、基本求导法则与导数公式 １. 基本初等函数的导数公式和求导法则 基本初等函数的求导公式和上述求导法则，在初等函数的基本运算中起着重要的作用，我们必须熟练的掌握它，为了便于查阅，我们把这些导数公式和求导法则归纳如下： 基本初等函数求导公式 (1) 0 )(='C (2) 1 )(-='μμμx x (3) x x cos )(sin =' (4) x x sin )(cos -='

1常见函数的导数公式

1．常见函数的导数公式： （1）0'=C (C 为常数)； （2）1)'(-=n n nx x (Q n ∈)； （3）x x cos )'(sin =； （4）x x sin )'(cos -=； （5）a a a x x ln )'(=； （6）x x e e =)'(； （7）e x x a a log 1)'(log = ； （8）x x 1)'(ln = ． 2．导数的运算法则： 法则1 )()()]()(['''x v x u x v x u ±=±． 法则2 [()()]'()()()'()u x v x u x v x u x v x '=+, [()]'()Cu x Cu x '=． 法则3 ' 2 ''(0)u u v uv v v v -?? =≠ ??? ． 3．复合函数的导数：设函数u =?(x )在点x 处有导数u ′x =?′(x )，函数y =f (u )在点x 的对应点u 处有导数y ′u =f ′(u )，则复合函数y =f (? (x ))在点x 处也有导数，且x u x u y y '''?= 或f ′x (? (x ))=f ′(u ) ?′(x )． 例题：一：1：求函数323y x x =-+的导数. 2： y = x x sin 2．函数y =x 2cos x 的导数为 。 函数y =tanx 的导数为 。 2：求下列复合函数的导数： ⑴3 2 )2(x y -=； ⑵2 sin x y =； ⑶)4 cos(x y -=π ； ⑷)13sin(ln -=x y ．3 2 c bx ax y ++=

4．曲线y =x 3的切线中斜率等于1的直线 （ ） A ．不存在 B ．存在，有且仅有一条 C ．存在，有且恰有两条 D ．存在，但条数不确定 5．曲线3()2f x x x =+-在0P 处的切线平行于直线41y x =-，则0P 点的坐标为（ ） A 、( 1 , 0 ) B 、( 2 , 8 ) C 、( 1 , 0 )和(－1, －4) D 、( 2 , 8 )和 (－1, －4) 6．f (x )=ax 3 +3x 2 +2,若f ′(－1)=4,则a 的值等于 （ ） A. 3 19 B. 3 16 C. 3 13 D. 3 10 7．曲线22x y =在点（1，2）处的瞬时变化率为（ ） A 2 B 4 C 5 D 6 8．已知曲线122+=x y 在点M 处的瞬时变化率为-4，则点M 的坐标是（ ） A （1，3） B （-4，33） C （-1，3） D 不确定 9．物体按照s (t )=3t 2+t +4的规律作直线运动,则在4s 附近的平均变化率 . 10．曲线y ＝x 3－3x 2 ＋1在点(1,－1)处的切线方程为__________________. 11．已知l 是曲线y = 3 1x 3 +x 的切线中，倾斜角最小的切线，则l 的方程是 . 12.已知过曲线y =3 1x 3上点P 的切线l 的方程为12x -3y =16,那么P 点坐标只能为 ( ) A.?? ? ??38, 2 B.?? ? ??- 34,1 C.?? ? ??- -328,1 D.?? ? ??320, 3 13．已知c bx ax x f ++=24)(的图象经过点(0,1)，且在x =1处的切线方程是y=x －2. 求)(x f y =的解析式. 14．求过点（2，0）且与曲线y = x 1相切的直线的方程.

导数公式证明大全

导数的定义：f'(x)=lim Δy/Δx Δx→0（下面就不再标明Δx→0了） 用定义求导数公式 （1）f(x)=x^n 证法一：（n为自然数） f'(x) =lim [(x+Δx)^n-x^n]/Δx =lim (x+Δx-x)[(x+Δx)^(n-1)+x*(x+Δx)^(n-2)+...+x^(n-2)*(x+Δx)+x^(n-1)]/Δx =lim [(x+Δx)^(n-1)+x*(x+Δx)^(n-2)+...+x^(n-2)*(x+Δx)+x^(n-1)] =x^(n-1)+x*x^(n-2)+x^2*x^(n-3)+ ...x^(n-2)*x+x^(n-1) =nx^(n-1) 证法二：（n为任意实数） f(x)=x^n lnf(x)=nlnx (lnf(x))'=(nlnx)' f'(x)/f(x)=n/x f'(x)=n/x*f(x) f'(x)=n/x*x^n f'(x)=nx^(n-1) （2）f(x)=sinx

f'(x) =lim (sin(x+Δx)-sinx)/Δx =lim (sinxcosΔx+cosxsinΔx-sinx)/Δx =lim (sinx+cosxsinΔx-sinx)/Δx =lim cosxsinΔx/Δx =cosx （3）f(x)=cosx f'(x) =lim (cos(x+Δx)-cosx)/Δx =lim (cosxcosΔx-sinxsinΔx-cosx)/Δx =lim (cosx-sinxsinΔx-cos)/Δx =lim -sinxsinΔx/Δx =-sinx （4）f(x)=a^x f'(x) =lim (a^(x+Δx)-a^x)/Δx =lim a^x*(a^Δx-1)/Δx （设a^Δx-1=m，则Δx=loga^(m+1)） =lim a^x*m/loga^(m+1) =lim a^x*m/[ln(m+1)/lna] =lim a^x*lna*m/ln(m+1) =lim a^x*lna/[(1/m)*ln(m+1)]

导数计算公式

导数公式 一、基本初等函数的导数公式 已知函数：(1)y ＝f (x )＝c ；(2)y ＝f (x )＝x ；(3)y ＝f (x )＝x 2；(4)y ＝f (x )＝1 x ；(5)y ＝f (x )＝x . 问题：上述函数的导数是什么？ 提示：（1）∵ Δy Δx ＝f (x ＋Δx )－f (x )Δx ＝c －c Δx ＝0，∴y ′＝lim Δx →0 Δy Δx ＝0. 2)(x )′＝1，(3)(x 2 )′＝2x ，(4)? ???? 1x ′＝－1x 2，(5)(x )′＝12x . 函数(2)(3)(5)均可表示为y ＝x α(α∈Q *)的形式，其导数有何规律？ 提示：∵(2)(x )′＝1·x 1－1，(3)(x 2)′＝2·x 2－1，(5)(x )′＝(x 1 2 )′ ＝12 x 112 －＝1 2x ，∴(x α)′＝αx α－1. 基本初等函数的导数公式

二、导数运算法则 已知f(x)＝x，g(x)＝1 x. 问题1：f(x)，g(x)的导数分别是什么？ 问题2：试求Q(x)＝x＋1 x，H(x)＝x－ 1 x的导数． 提示：∵Δy＝(x＋Δx)＋ 1 x＋Δx－? ? ? ? ? x＋ 1 x＝Δx＋ －Δx x(x＋Δx)， ∴Δy Δx＝1－ 1 x(x＋Δx)，∴Q′(x)＝ lim Δx→0 Δy Δx＝ lim Δx→0? ? ? ? ? ? 1－ 1 x(x＋Δx)＝1－ 1 x2.同理H′(x)＝1＋1 x2. 问题3：Q(x)，H(x)的导数与f(x)，g(x)的导数有何关系？ 提示：Q(x)的导数等于f(x)，g(x)导数的和，H(x)的导数等于f(x)，g(x)导数的差． 导数运算法则 1．[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x) 2．[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)

常用的基本求导公式

盛年不重来，一日难再晨。及时宜自勉，岁月不待人。 1．基本求导公式 ⑴ 0)(='C （C 为常数）⑵ 1 )(-='n n nx x ；一般地，1 )(-='αααx x 。 特别地：1)(='x ，x x 2)(2 ='，21 )1(x x - ='，x x 21)(='。 ⑶ x x e e =')(；一般地，)1,0( ln )(≠>='a a a a a x x 。 ⑷ x x 1)(ln = '；一般地，)1,0( ln 1)(log ≠>='a a a x x a 。 2．求导法则 ⑴ 四则运算法则 设f (x )，g (x )均在点x 可导，则有：（Ⅰ）)()())()((x g x f x g x f '±'='±； （Ⅱ）)()()()())()((x g x f x g x f x g x f '+'='，特别)())((x f C x Cf '='（C 为常数）； （Ⅲ）)0)(( ,) ()()()()())()(( 2≠'-'='x g x g x g x f x g x f x g x f ，特别21() ()()()g x g x g x ''=-。 3．微分 函数()y f x =在点x 处的微分：()dy y dx f x dx ''== 4、 常用的不定积分公式 （1） ?????+==+=+=-≠++=+c x dx x x dx x c x xdx c x dx C x dx x 4 3,2,),1( 114 3 32 21αααα ； （2） C x dx x +=?||ln 1； C e dx e x x +=?； )1,0( ln ≠>+=?a a C a a dx a x x ； （3）? ?=dx x f k dx x kf )()(（k 为常数） 5、定积分 ()()|()()b b a a f x dx F x F b F a ==-? ⑴ ??? +=+b a b a b a dx x g k dx x f k dx x g k x f k )()()]()([2121 ⑵ 分部积分法 设u (x )，v (x )在[a ，b ]上具有连续导数)(),(x v x u ''，则 ?? -=b a b a b a x du x v x v x u x dv x u )()()()()()(

一般常用求导公式

四、基本求导法则与导数公式 １. 基本初等函数的导数公式和求导法则 基本初等函数的求导公式和上述求导法则，在初等函数的基本运算中起着重要的作用，我们必须熟练的掌握它，为了便于查阅，我们把这些导数公式和求导法则归纳如下： 基本初等函数求导公式 (1) 0)(=' C (2) 1 )(-='μμμx x (3) x x cos )(sin =' (4) x x sin )(cos -=' (5) x x 2 sec )(tan =' (6) x x 2 csc )(cot -=' (7) x x x tan sec )(sec =' (8) x x x cot csc )(csc -=' (9) a a a x x ln )(=' (10) (e )e x x '= (11) a x x a ln 1 )(log = ' (12) x x 1)(ln = '， (13) 2 11)(arcsin x x -= ' (14) 2 11)(arccos x x -- =' (15) 2 1(arctan )1x x '= + (16) 2 1(arc cot )1x x '=- + 函数的和、差、积、商的求导法则 设 )(x u u =，)(x v v =都可导，则 （1） v u v u ' ±'='±)( （2） u C Cu ' =')(（C 是常数） （3） v u v u uv ' +'=')( （4） 2 v v u v u v u '-'=' ??? ?? 反函数求导法则 若函数)(y x ?=在某区间 y I 内可导、单调且 0)(≠'y ?，则它的反函数 )(x f y =在对应区间 x I 内也可导，且

基本求导法则与导数公式

基本求导法则与导数公式 １. 基本初等函数的导数公式和求导法则 基本初等函数的求导公式和上述求导法则，在初等函数的基本运算中起着重要的作用，我们必须熟练的掌握它，为了便于查阅，我们把这些导数公式和求导法则归纳如下： 基本初等函数求导公式 (1) 0)(='C (2) 1 )(-='μμμx x (3) x x cos )(sin =' (4) x x sin )(cos -=' (5) x x 2 sec )(tan =' (6) x x 2 csc )(cot -=' (7) x x x tan sec )(sec =' (8) x x x cot csc )(csc -=' (9) a a a x x ln )(=' (10) (e )e x x '= (11) a x x a ln 1 )(log = ' (12) x x 1)(ln = '， (13) 211)(arcsin x x -= ' (14) 211)(arccos x x -- =' (15) 21(arctan )1x x '= + (16) 21(arccot )1x x '=- + 函数的和、差、积、商的求导法则 设)(x u u =，)(x v v =都可导，则 （1） v u v u '±'='±)( （2） u C Cu '=')(（C 是常数） （3） v u v u uv '+'=')( （4） 2v v u v u v u '-'=' ??? ?? 反函数求导法则 若函数)(y x ?=在某区间y I 内可导、单调且0)(≠'y ?，则它的反函数)(x f y =在对应 区间 x I 内也可导，且

常用的基本求导法则与导数公式

常用的基本求导法则与导数公式 １. 基本初等函数的导数公式和求导法则 基本初等函数的求导公式和上述求导法则，在初等函数的基本运算中起着重要的作用，我们必须熟练的掌握它，为了便于查阅，我们把这些导数公式和求导法则归纳如下： 基本初等函数求导公式 (1) 0)(='C (2) 1 )(-='μμμx x (3) x x cos )(sin =' (4) x x sin )(cos -=' (5) x x 2 sec )(tan =' (6) x x 2csc )(cot -=' (7) x x x tan sec )(sec =' (8) x x x cot csc )(csc -=' (9) a a a x x ln )(=' (10) (e )e x x '= (11) a x x a ln 1 )(log = ' (12) x x 1)(ln = '， (13) 211)(arcsin x x -= ' (14) 211)(arccos x x -- =' (15) 21(arctan )1x x '= + (16) 21(arccot )1x x '=- + 函数的和、差、积、商的求导法则 设 )(x u u =，)(x v v =都可导，则 （1） v u v u '±'='±)( （2） u C Cu '=')(（C 是常数） （3） v u v u uv '+'=')( （4） 2v v u v u v u '-'=' ??? ?? 反函数求导法则 若函数 )(y x ?=在某区间y I 内可导、单调且0)(≠'y ?，则它的反函数)(x f y =在对应 区间x I 内也可导，且

常用的基本求导公式

１.基本求导公式 ⑴ (Ｃ为常数)⑵ ;一般地,。 特别地:,,,。 ⑶ ;一般地,、 ⑷ ;一般地,。 2。求导法则 ⑴ 四则运算法则 设f (ｘ),g (x )均在点ｘ可导,则有:(Ⅰ); (Ⅱ),特别(C 为常数); (Ⅲ),特别。 3.微分 函数在点x 处得微分: 常用得不定积分公式 (1) ?????+==+=+=-≠++=+c x dx x x dx x c x xdx c x dx C x dx x 4 3,2,),1( 114 3 32 21αααα ; (２) ; ; ; (3)(k 为常数) 5、定积分 ⑴ ⑵ 分部积分法 设u (x ),v (ｘ)在［a ,b ]上具有连续导数,则 6、线性代数

特殊矩阵得概念 (1)、零矩阵(２)、单位矩阵二阶 (3)、对角矩阵(4)、对称矩阵 (5)、上三角形矩阵下三角形矩阵 (6)、矩阵转置转置后 ６、矩阵运算 7、MＡTLAＢ软件计算题 例6试写出用MＡTLAB软件求函数得二阶导数得命令语句。解:〉〉ｃlｅａr; 〉>syms x ｙ; 〉〉ｙ=loｇ(sqｒt(x＋x＾2)+eｘp(x)); >>dy=diｆf(ｙ,2) 例:试写出用MＡTLAB软件求函数得一阶导数得命令语句。>＞ｃleaｒ; 〉〉sｙms ｘy; 〉>y＝log(sqrt(ｘ)+exp(x)); 〉〉ｄｙ＝ｄiff(y) 例１1 试写出用MAＴLＡB软件计算定积分得命令语句。解:>＞cleａr; ＞>syms x y; >〉y=(1/ｘ)＊exp(ｘ^3);

>〉int(y,1,２) 例试写出用MATＬAＢ软件计算定积分得命令语句。 解:〉>cｌeａr; ＞>syｍs ｘｙ; >>ｙ＝(1/x)*exp(x^3); >＞iｎt(ｙ) MATLAB软件得函数命令 表1ＭATLAB软件中得函数命令 运算符号 典型例题 例１设某物资要从产地A１,A2,Ａ3调往销地B１,B2,B3,B4,运输平衡表(单位:吨)与运价表(单位:百元/吨)如下表所示: 运输平衡表与运价表

基本初等函数的导数公式表

导数基本知识汇总试题 基本知识点： 知识点一、基本初等函数的导数公式表（须掌握的知识点） 1、=c '0 2、 =n n x nx -1'（） （n 为正整数） 3、 ln =x x a a a '（） =x x e e '（） 4、ln =a long x x a 1'（） 5、ln =x x 1 '（） 6、 sin cos =x x '（） 7、 cos sin =-x x '（） 8、=-x x 211'（） 知识点二：导数的四则运算法则 1、v =u v u '''±±（） 2、 =u v uv v u '''+（） 3、(=Cu Cu '' ） 4、u -v =u v u v v 2'''（） 知识点三：利用函数导数判断函数单调性的法则 1、如果在(,)a b 内，()f x '>0，则()f x 在此区间是增区间，(,)a b 为()f x 的单调增区间。 2、如果在(,)a b 内，()f x '<0，则()f x 在此区间是减区间，(,)a b 为()f x 的单调减区间。 一、计算题 1、计算下列函数的导数； （1）y x 15 = （2）)-y x x 3=≠0（ （3）)y x x 5 4=0 （

（4）)y x x 23=0 （ （5）)-y x x 23=0 （ （6）y x 5= （7）sin y x = （8）cos y x = （9）x y =2 （10）ln y x = （11）x y e = 2、求下列函数在给定点的导数； （1）y x 14= ，x =16 （2）sin y x = ， x π=2 （3）cos y x = ，x π=2 （4）sin y x x = ， x π=4 （5）3y x = ， 1128（，） （6） +x y x 2= 1 ，x =1

导数求导定积分公式

圆梦教育中心 导数和积分知识点总结 一、导数: ① ② ③; ④; ⑤⑥; ⑦; ⑧. ( ‘=（v 0）。 1、单调区间：一般地，设函数在某个区间可导， 如果 ，则为增函数； 如果，则为减函数； 如果在某区间内恒有 ，则为常数； 2．极点与极值： 曲线在极值点处切线的斜率为0，极值点处的导数为0；曲线在极大值点左侧切线的斜率为正，右侧为负；曲线在极小值点左侧切线的斜率为负，右侧为正； 3．最值： 一般地，在区间[a ，b]上连续的函数f 在[a ，b]上必有最大值与最小值。 ①求函数?在(a ，b)内的极值； ②求函数?在区间端点的值?(a)、?(b)； ③将函数? 的各极值与?(a)、?(b)比较，其中最大的是最大值，其中最小的是最小值。 0;C '=()1 ;n n x nx -'=(sin )cos x x '=(cos )sin x x '=-();x x e e '=()ln x x a a a '=()1 ln x x '=()1l g log a a o x e x '=.)'''v u v u ±=±.)('''uv v u uv +=.)(''Cu Cu =??? ??v u 2''v uv v u -≠)(x f y = 'f )(x 0>)(x f 'f 0)(

二、定积分 （1）概念：设函数f(x)在区间[a ，b]上连续，用分点a ＝x0

常用导数公式

常用导数公式 1.y=c(c为常数)y'=0 2.y=x^n y'=nx^(n-1) 3.y=a^x y'=a^xlna y=e^x y'=e^x 4.y=logax y'=logae/x y=lnx y'=1/x 5.y=sinx y'=cosx 6.y=cosx y'=-sinx 7.y=tanx y'=1/cos^2x 8.y=cotx y'=-1/sin^2x 9.y=arcsinx y'=1/√1-x^2 10.y=arccosx y'=-1/√1-x^2 11.y=arctanx y'=1/1+x^2 12.y=arccotx y'=-1/1+x^2 在推导的过程中有这几个常见的公式需要用到： 1.y=f[g(x)],y'=f'[g(x)]?g'(x)『f'[g(x)]中g(x）看作整个变量，而g'(x)中把x看作变量』 2.y=u/v,y'=u'v-uv'/v^2

3.y=f(x)的反函数是x=g(y），则有y'=1/x' 证：1.显而易见，y=c是一条平行于x轴的直线，所以处处的切线都是平行于x的，故斜率为0。用导数的定义做也是一样的：y=c,⊿y=c-c=0,lim⊿x→0⊿y/⊿x=0。 2.这个的推导暂且不证，因为如果根据导数的定义来推导的话就不能推广到n为任意实数的一般情况。在得到y=e^x y'=e^x和y=lnx y'=1/x这两个结果后能用复合函数的求导给予证明。 3.y=a^x, ⊿y=a^(x+⊿x)-a^x=a^x(a^⊿x-1) ⊿y/⊿x=a^x(a^⊿x-1)/⊿x 如果直接令⊿x→0，是不能导出导函数的，必须设一个辅助的函数β＝a^⊿x-1通过换元进行计算。由设的辅助函数可以知道：⊿x=loga(1+β)。 所以(a^⊿x-1)/⊿x＝β/loga(1+β)=1/loga(1+β)^1/β 显然，当⊿x→0时，β也是趋向于0的。而limβ→0(1+β)^1/β=e,所以limβ→01/loga(1+β)^1/β=1/logae=lna。 把这个结果代入lim⊿x→0⊿y/⊿x=lim⊿x→0a^x(a^⊿x-1)/⊿x 后得到lim⊿x→0⊿y/⊿x=a^xlna。 可以知道，当a=e时有y=e^x y'=e^x。 4.y=logax ⊿y=loga(x+⊿x)-logax=loga(x+⊿x)/x=loga[(1+⊿x/x)^x]/x ⊿y/⊿x=loga[(1+⊿x/x)^(x/⊿x)]/x

高中数学导数公式-高中数学求导公式

1．导数的概念 (1)函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数 一般地，称函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率 lim Δx →0f （x 0＋Δx ）－f （x 0）Δx ＝lim Δx →0 Δy Δx 为函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)或y ′|x ＝x 0，即f ′(x 0)＝lim Δx →0 Δy Δx ＝lim Δx →0f （x 0＋Δx ）－f （x 0）Δx ． (2)导数的几何意义 函数f (x )在点x 0处的导数f ′(x 0)的几何意义是在曲线y ＝f (x )上点P (x 0，y 0)处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s (t )对时间t 的导数)．相应地，切线方程为y －y 0＝f ′(x 0)(x －x 0)． (3)函数f (x )的导函数 称函数f ′(x )＝lim Δx →0 f （x ＋Δx ）－f （x ）Δx 为f (x )的导函数． 2．基本初等函数的导数公式 (1)[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )． (2)[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )． (3)???? ??f （x ）g （x ）′＝f ′（x ）g （x ）－f （x ）g ′（x ）[g （x ）]2(g (x )≠0)． 4．复合函数的导数 复合函数y ＝f (g (x ))的导数和函数y ＝f (u )，u ＝g (x )的导数间的关系为y x ′＝y u ′·u x ′，即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积．