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数值分析复习题答案

数值分析复习题一、填空

Chapter1 绪论

近似数x*=0.4231关于真值x=0.4229有 3 位有效数字. 用1000.1近似真值1000时，其有效数字有 4 位，

已知准确值x*与其有t 位有效数字的近似值12

10.10(0)s n x a a a a =?≠的绝对误差为

x*-x 102s t -≤

?。

设 2.40315x *

=是真值 2.40194x =的近似值，则x *

有 3 位有效数字。

设一近似数x*=2.5231具有5位有效数字，则其相对误差限是44

1010224--?=?? ，其绝对误差限是4

102-?。

当x 很大时，为防止损失有效数字，应该使

。

Chapter2 插值方法

设642

()3651f x x x x =+-+，则[3,2,1,0,1,2,3]f ---= 3 。若

f(x)=2x +x -3, 则f[1,2,3,4,5,6]= 0 。对

32f(x)=x +3x -x+5,差商f[0,1,2,3,4]= 0 。设

643()35f x x x x =-+-，则差商[0,1,2,3,4,5,6]f = 1 。已知y=f(x)的均差

021[,,]5f x x x =, 402[,,]9f x x x =, f[x4, x3, x2]=14，

f[x0, x3, x2]=8 ,.那么

均差f[x4, x2, x0]= 9 。（交换不变性）

设有数据112

032

x y

-则其

次

Larange

插值多项式为

(1)(2)(1)(1)23x x x x -+-++-，2次拟合多项式为（最佳平方逼近可求）。？？？

以n + 1个整数点k ( k =0,1,2,…,n) 为节点的 Lagrange 插值基函数为

()k l x ( k =0,1,2,…,n)，则

k=0

kl (x)=

∑ x 。？？（注：

k y k =，则有拉格朗日插值公式：

k k k=0

y l (x)

(),0,1,2...,0,1,2...,n y L x x n n

≈==∑；y=，即：y x =）

若

332

x -1x 1S(x)=1(x -1)+a(x -1)+b(x -1)+c 1x 2

20?≤≤??≤≤??是三次样条函数，则：

a=_3_, b=_3_, c= 0 。

三次样条函数S(x)满足：S(x)在区间[a,b]内二阶连续可导，S(xk)=yk(已知)， k=0,1,2,…,n ，且满足S(x)在每个子区间[xk, xk+1]上是不超过三次的多项式。

过(0，1)，(2，4)，(3，1)点的分段线性插值函数P(x)=

{

1.51[0,2]310[2,3]

x x x x +=-+=

设有函数表如：'i.x x0 x1 x2 x3 x4ii.

y y0 y1 y2 y3 y4

iii.

y m0 m1 m2 m3 m4，则可利用分段三次Hermite

插值，其插值多项式的次方为三次 .？？

Chapter3 函数的最佳平方逼近

无

Chapter4 数值积分与数值微分

牛顿—柯特斯求积公式的系数和()0n

n k k c ==

∑

积分区间的长度（b-a ）。（验证梯形、辛普森、

科特斯公式满足）？？

数值求积公式

311

f(x)dx f()+f(1)434=

的代数精度为：2次代数精度。（依次将函数

21,x,x ,...代入验证是否满足，可得代数精度）

求积公式

1113

()[2()()2()]

3424f x dx f f f ≈-+?

的代数精度为：3次代数精度。

求积分

dx x f )(的近似值，其辛卜生公式为[()()4()]62b a a b

f a f b f -+++.

求积分

()b

f x dx

的近似值，其复化梯形公式为11[()()2()]2n k k h

f a f b f x -=++∑

设

()I f =?

，则用梯形公式得近似值为[()()]2b a f a f b -+=

n 点高斯型求积公式其代数精度是2n-1 。如5点高斯求积公式，其代数精度为 9 。

Chapter5 线性方程组的直接解法

能用高斯消元法求解Ax b =的充要条件是 A 的各阶顺序主子式不为零（P113）

????

??+=1221a A ,当a 满足条件13a a ≠-≠且时( 各阶顺序主子式不为零),A 可作LU 分解,

当a 满足条件3a >时（A 为n 阶对称正定矩阵）,必有分解式T

LL A =,其中L 是对角元素

为正的下三角阵。

Chapter6线性方程组的迭代解法

设

215314278A -??

??=??

????，则1||||A = 17 ，设A ＝?????375 2117 ?????

623，则1A ＝20 。

设有矩阵3346A -??=??

??，则||||A ∞= 10 ，2||||A

= 。

已知A ＝

?????7

852

???943，x ＝?????

?????111，则=

1Ax 45 。

设

??????-=1253A ，???

???-=33x ，则： _8_,_3_,_9_,.24

A x Ax Ax A x ∞∞∞∞∞∞===≤=。

方阵A 的谱半径是指max

()1A i i n ρλ

≤≤

矩阵A 的条件数是指。

()cond A A A -=?

非奇异矩阵A 的条件数Cond(A)＝？？，A 是病态是指条件数数值很大。？？

已知 12,()01A A ∞??==

???则条件数cond 9 。

Chapter8非线性方程的数值解法

解方程f(x)=0的简单迭代法的迭代函数?(x)满足在有根区间内 ' (x)1

L ?≤< ，则在有根

区间内任意取一点作为初始值，迭代解都收敛。利用二分法求()0f x =在[,]a b 上根的近似值，误差限为

[]2k b a

R f -=

。

设f(x)可微，则求方程x 2=f(x)根的牛顿迭代格式为

1()()2k k k k k k f x x x x f x x +-=-

'- 。

k k n

x a

x x

。

求

53的近似值，其牛顿迭代格式是

k k

x x

。

求解方程

()0

f x=的Newton迭代公式为1

()

()'

k k

f x

x x

f x

，割线公式为

()

()1,2,3...

()()

k k k k

k k

f x

x x x x k

f x f x

=--=

。

序列

{}

n n=0

y∞

满足递推关系：n n-1

y=10y-1,(n=1,2,...)

，若0

有误差, 这个计算过程不稳定。

Chapter9常微分方程初值问题的数值解法

微分方程数值解的几何意义是指用直线代替曲线。？？

求解常微分方程处值问题

(,),

()

y f x y a x b

y aη

'=≤≤

?的改进Euler（梯形法）公式为111

[(,)(,)]

()0,1, (1)

j j j j j j

y y f x y f x y

y a j n

+++

=++

==-

，它是二阶方法(二阶精度)。Euler法是一阶方法(一阶精度)。P218

解常微分方程初值问题的改进欧拉法预报---校正公式是1

111

(,)0,1,2...,1

[(,)(,)]

j j j

j j j j j k

y y hf x y j n

y y f x y f x y

+++

?=+=-

=++

?。预报值：)

(

+，校正值：111

[(,)(,)

j j j j j k

y y f x y f x y

+++

=++

。

计算题

Chapter1 绪论

无

Chapter2 插值方法

一、求一个次数不高于4的多项式p4(x)，满足下列插值条件：

x 0 1 2

f(x) 0 1 1

f(x) 0 1

解：设：

4321

443210

P()x a x a x a x a x a

=++++

根据已知条件（五个未知数五个已知条件）解方程组可得：

4321024

a a a a a -=====

即：

19432

34244

P ()x x x x -=++

二、设)(x f 在],[20

x x 上具有三阶连续导数，且 2

'',)(x x x M x f ≤≤≤，1x 是

区间

],[20x x 的中点，)(2x P 是经过点 ))(,(,))(,(,))(,(221100x f x x f x x f x 的二次

多项式。试证明对任意

],[20x x x ∈有

39)()(32M h x P x f ≤

-，其中

2x x h -=

。

证明：由于，)(2x P 是经过点))(,(,))(,(,))(,(221100x f x x f x x f x 则可以构造出二次牛

顿插值或拉格朗日插值，其误差均为：

(1)21101()

()()[](),()()()...()

(1)!n n n n f x f x P x R f x x x x x x x x n ωω+++-===---+

本题中2n =，

'',)(x x x M x f

≤≤≤，

3012()()()()x x x x x x x ω=---

3000max[()]()()(2)x x x x x h x x h ω=-----，其中：

2x x h -=

。

3max[()]0.0276x h ω=≤

所以：

(1)33

1()[]()0.0276(1)!n n f x R f x h M n ω++==≤

+ 三、作一个三次多项式)(x H 使满足：1)1(,1)2(,0)1(,1)0(='===H H H H 。

解：()f x 为二次牛顿插值多项式，建立差商表，如下图所示：

011012

可得：()1(1)f x x x x =-+-，令()()(1)(2)H x f x Ax x x =+-- 则'

()22(362)H x x A x x =-++-+，因为'

(1)1H =，解得1A =-

最后得满足条件的三次多项式：23

()144H x x x x =-+-。

四、对于积分

)(dx x f ，若取节点,54,21,51210===x x x 试推导一个插值型求积公式，

并用这个公式求?

0dx

e x 的近似值。P74 解：

1、构造出三节点的拉格朗日插值多项式的基函数，如下：

202122(0.5)(0.8) 1.30.4()(0.20.5)(0.20.8)0.18(0.2)(0.8)10.16()(0.50.2)(0.50.8)0.09(0.2)(0.5)0.70.1

()(0.80.2)(0.80.5)0.18x x x x L x x x x x L x x x x x L x ?---+==?--??---+?

=?---?

?---+=

=?--??

2、先计算系数

,0,1,2k A k =，具体过程如下：

0012101210 1.30.4250.185410.1620.092710.1250.1854x x A dx x x A dx x x A dx ?-+==??

?-+?==?-?

?-+?==

?????

然后构造出积分公式：1

0120

25225

()()()()()542754

k k k f x dx A f x f x f x f x =≈=

++∑?

3、根据构造的积分公式，计算?

，具体过程如下：

0.20.50.80120

2522525225()()()542754542754x e dx f x f x f x e e e =

++=++?

五、给定数据

0 2 3 ()

4 1 1 9

f x 试求()f x 的3次Newton 插值多项式，并写出插值余项。解：求解差商，如下表所示：

043212

13102145

则：

3311

()4(2)(2)(3)226N x x x x x x x =-

+-+--

插值余项：(1)01011()[][,,,...,]()()...()()

(1)!n n n n f R f f x x x x x x x x x x x n ξω++=---=+

Chapter3 函数的最佳平方逼近

一、已知观测数据（1，-5），（2，0），（4，5），（5，6），试用最小二乘法求形如x

b ax x +

=)(?的经验公式。（10分）

解：

1541512

20400

415

115420454544656T T

A y A A A y -??-??????????????

====?

???????????

????????

6.4331.5377T

T b b A A A y

a a -??

????=?=??????

????

二、求1

(),[1,3]

f x x x =∈上的一次最佳平方逼近多项式及平方误差。

解：取

01φ=；1x φ=；1()P x a bx =+

分别计算：

000111

(,)12

(,)4

dx xdx φφφφ====??

11011

(,)8.667

(,)ln3

(,)2

x dx f dx f x dx x x φφφφ======???

根据0002002

222(,)(,)(,)(,)(,)(,)f a f b φφφφφφφφφφ????

??=????

????????代入求解得： 1.14060.2957a b ==-

即得：

2() 1.14060.2957P x x =-为()f x 在多项式集合=span{1,x}的最佳平方逼近。

平方误差：

222

(,)(,)(,)

i i i f f f f

C f δ

??==-=-∑

222

1.1406 1.09860.295720.005dx x δ

=-?+?=?

三、设1()[,1]

4f x x =∈，试求()f x 的一次最佳平方逼近多项式，并估计误差。

解：方法同上

四、设()sin 0,2f x x

x π??=∈??

??，试求()f x 的一次最佳平方逼近多项式，并估计误差。

解：方法同上五、设

{}221,.

M Span x =试在

2M 中求()||f x x =在区间[1,1]-上的最佳平方逼近元。

解：取01φ=；22x φ=；2

2()P x a bx =+

分别计算：

20002112

(,)12

(,)3

dx x dx φφφφ--====

222021

(,)(,)1

(,)52x dx f x dx f x x dx φφφφ---==

====

???

根据0002002

222(,)(,)(,)(,)(,)(,)f a f b φφφφφφφφφφ??????=????

????????代入求解得：3

1616a b ==

即得：

2315()1616P x x =

+为()f x 在多项式集合2

=span{1,x }的最佳平方逼近。

六、用最小二乘法确定一条经过原点的二次曲线，使之拟合下列数据 x 0 1.0 2.0 3.0 y 0.2 0.5 1.0 1.2

解：因为过原点，所以取1x φ=；22x φ=；二次曲线为：2

2()P x ax bx =+

011243

9A ?????

?=??????，01230149T A ??=????，14363698T A A ??=????， 6.115.3T

A y ??=????

由：

T T

AA C A y =，可得：0.6184,0.0711a b == 即得：22()0.61840.0711P x x x =-为()f x 在多项式集合

2=span{x,x }的最小二乘法拟合曲线。

平方误差：

220

[()] 1.7575

i i i y P x δ

==-=∑

七、求解矛盾方程组：1231112131125213152x x x ????

??????

--??????=??????

????????--?

??? 解：

111131252315A ??

??-??=????-??，

112313511125T A ????=-????-??，1511191136319331T A A ????=??????，365T

A y -????=????-?? 由：T T

AA C A y =，可得：1

231.5917,0.5899,0.7572x x x =-==

Chapter4 数值积分与数值微分

一、把区间分成两等份，用复合辛卜生公式计算dx x ?+1

14的近似值。保留小数点后四位，

并说明误差是多少。解：根据复合辛卜生公式

11112()[()()2()4()

6n n

k a

k k k h

f x dx f a f b f x f x --===+++∑∑?

{}{}1

040.5

(0)(1)2(00.5)4[(00.50.5)(0 1.50.5)160.54224[(00.50.5)(0 1.50.5)63.1416dx f f f f f x f f =+++++?++?+=++?++?++?=?

误差分析：二、如果

''()0

f x >，证明用梯形公式计算积分

()b

I f x dx

=?所得结果比准确值大，并说

明其几何意义。证明：

1、梯形积分公式余项：3''

()[](),12b a R f f a b

ξξ-=-≤≤，因为''()0f x >，所以[]0R f <，

根据：

()[()()][]

b a I f x dx f x f b R f -==

++?，可得用梯形公式计算积分

()b

I f x dx

=?所得结果比准确值大。

2、几何意义：？？？？？？

利用梯形aABb 的面积[()()]2b a f a f b -+近似的代替曲边梯形aABb 的面积()b

a f x dx

?。

（如上图所示）三、给定数据

x 1.30 1.32 1.34 1.36 1.38

()f x

3.602010 3.90330

4.25560 4.67344

5.17744

用Simpson 公式计算 1.38

1.30

()I f x dx

的近似值，并估计误差。

解：？？？？？

1、将[1.30,1.38]x =进行n=2等分，则根据复合辛普森公式可计算，计算过程如下：

复化的Simpson 公式：

11112()[()()2()4()

6n n

k a

k k k h

f x dx f a f b f x f x --===+++∑∑?

1.38

1.30

0.04

(){(1.30)(1.38)2(1.34)4[(1.32)(1.36)]}0.343986f x dx f f f f f =

++++=?

（注：(0.4/6)*(3.602010+5.17744+2*4.2556+4*3.9033+4*4.67344)）

2、误差估计：4(4)()[](),[,]

2880n b a h R f f a b ξξ-=-∈

本题中：()(1.38 1.30)0.08b a -=-=，0.04h =，设()f x 及其各阶导数的函数值在区间内不产生较大的变化，因而利用各点间的斜率代替曲线切线，最后计算取

(4)()38750f ξ=，可得：

-4

(1.38 1.30)(0.04)[]387500.34444102880n R f -=-?=-?

四、给定求积公式22()()(0)()

h h

f x dx Af h Bf Cf h -≈-++?

，试决定,,A B C 使它的代数精

度尽可能得高。

解：

1、由于该求积公式有三个未知系数可以确定，根据代数精度的定义，可知，该求积公式至

少是2次精度，则将()f x 分别取2

1,,x x 代入该求积公式可得三个等式，从而确定系数A 、

B 、

C ，具体过程如下：

22322834848

40()()(0)()

3333

A h

h A B C Ah Ch B h

f x dx hf h hf hf h h Ah Ch C h

=?=++?

=-+?

=-?

≈--+???=+=??

2、将34(),,...,m f x x x x =代入求得的积分公式进行验证，若m

x 成立而1m x +不成立，则该公

式为m 次代数精度，具体过程如下：

22333322848

0()()(0)()0

333h

x dx f x dx h h h h h --=≡=--+=?

，精确成立；

224

5444

5226484816()()(0)()53333h

h h h

x dx h f x dx h h h h h h --=≠=--+=??，不能精确成立；所以：求得的积分公式为22848

()()(0)()

333h

f x dx hf h hf hf h -≈--+?

，具有3次代数精度。

四、设

()f x 四阶连续可导，0,0,1,2,

,i x x ih i =+=试建立如下数值微分公式：

''01212()2()()

()f x f x f x f x h -+≈

并推导该公式的截断误差。P100

解：由已知条件0,0,1,2,

x x ih i =+=得：01121,,x x h x x x h =-=+

其中

1x 为中间点，02,x x 分别为1x 的左右等距点，利用泰勒公式展开得：

（注：四阶连续可

导，展开公式有四项）

23'

'''''21111123

''''''0111

11()()()()()()(1)2!3!()()()()()()(2)

2!3!h h f x f x h f x hf x f x f x h h f x f x h f x hf x f x f x ?=+=+++????=-=-+-??

将(1)、（2）两式相加得：

2''''012021112

()2()()

()()2()()

()f x f x f x f x f x f x h f x f x h -++=+?

将(1)、（2）两式相减得：

''212011()()

()()2()

()2f x f x f x f x hf x f x h --=?

两个公式精度均为

2()O h 。 Chapter5 线性方程组的直接解法

Chapter6线性方程组的迭代解法

一、写出计算线性方程组???

??=+-=+-=+-2

721352231

21321x x x x x x x 的高斯—赛德尔迭代格式，并分析此格式

的收敛性. 解：

123122513012072x A X x b AX b

x -??

????????=-==-=??

????

????????????

即：

1、高斯—赛德尔迭代格式为：12321311

1152211332277k k k

k k k k x x x x x x x +++++?=+-??

-?=+??

?=-??，

2、判断该高斯—赛德尔迭代格式的收敛性：

迭代公式的矩阵形式：(1)()k k s s x B x f +=+，其中：

11(),()s s B D L U f D L b --=+=+ 042421014142101212s B -??

?=-????-??，求得：123260,21λλλ===，计算：max 26()11321s B i i ρλ==>≤≤

所以，该迭代公式不收敛(即：发散)。

二、对下述方程组???

??=-+=++-=+-9

126418

1153

21321321x x x x x x x x x 直接应用高斯—塞德尔迭代法求解是否收敛？如果

不收敛试设法给出收敛的迭代公式，并简述理由。解：

123511118114612119x A X x b AX b

x -??

????????=-===??

????

??????-??????

即：

1、迭代公式的矩阵形式：(1)()k k s s x B x f +=+，其中：11(),()s

s B D L U f D L b --=-+=-+ 0 2.20.20 2.2 4.2028.6 6.6s B -????=-??

??-??，求得：1230, 2.210.0379, 2.210.0379i i λλλ==--=-+，计算：

max

() 10.27621

13s B i i ρλ=

=>≤≤，所以该迭代公式不收敛(即：发散)。

2、构造收敛的迭代公式？？？

将?????=-+=++-=+-9

126418115321321321x x x x x x x x x 化为：12312312312951118

46x x x x x x x x x +-=??-+=??-++=?则可得到新的：

'''23121195111181146x A X x b A X b

x -??

????????=-===??

??????-??????

即：

'A 为严格对角占优矩阵，所以采用雅可比和高斯塞德尔迭代都收敛！

三、已知

2011A =050,b

=3,203-1????

? ? ? ? ? ?????用迭代公式(1)()()

()k k k x

x Ax b α+=+-，其中：(0,1,2,)k =。求解,Ax b =问取什么实数α可使迭代收敛，什么α可使迭代收敛最快。

解：

1、将(1)()()()k k k x x Ax b α+=+-化为标准形式(1)()

()k k x E A x b αα+=+- 令(),B E A f b αα=+=-，可得：

(1)()k k x Bx f +=+ 由已经条件可得：12001502013B α

αααα+????=+??

??+??，解得：1

2315,14,1λαλαλα=+=+=+ 根据迭代法收敛的充要条件：max

()1

13B i i ρλ=<≤≤可得关于α的不等式：

051511

1410

(,0)

20ααααααα?-<

，所以在

(,0)

α∈-时，()1B ρ<，

即迭代收敛。

2、求解α可使迭代收敛最快：

题三示意图分别将

()15,()14,()1B B B ραραρα

=+=+=+作出曲线图，如上图所示。在

2(,0)5α∈-的区间内，max ()13B i i ρλ=≤≤的曲线为黑色粗线，则min

()B ρ为折线的最低点（红点），即为曲线()15B ρα

=+和

()1B ρα

=+的交点，求得：

3α=-

，使得()

B ρ最小。

判断()B ρ，越小收敛精度越高。当

3α=-

时， min ()()B B ρρ=，所以迭代收敛最快。

四、给定线性方程组

1231231

232231242122316

x x x x x x x x x -++=??

-++=??++=?

用列主元消元法求解所给线性方程组。

写出Gauss －Seidel 迭代格式，并分析该迭代格式是否收敛。解：

1、用列主元消元法求解所给线性方程组。

增广矩阵为：

22312|4211212316A b -??

??=-??

???? 对其进行列主元消元： 5513

32122458136

25454211242112428

401601933

01900x x x -??

??--???????=-

????????????????

2、223000200023421400020001123120003000A L D U --????????

????????=-=-++=++????????

????????????????

检验高斯－赛德尔迭代，(1)()k k s s x B x f +=+，其中：

(),()s s B D L U f D L b --=+=+ 其过程同下题六（2）！

五、给定线性方程组123310302342145x x x -????????????=??????????????????（1）写出Gauss －Seidel 迭代格式；（2）分

析该迭代格式是否收敛。

解：

310000300010023000020003214210004000A L D U --????????

????????==++=++????????

????????????????

检验高斯－赛德尔迭代，(1)()k k s s x B x f +=+，其中：

(),()s s B D L U f D L b --=+=+ 其过程同下题六（2）！

六、给定线性方程组Ax ＝b ，其中A ＝?????5

.05.01

5.015

?????15.05.0，证明雅可比迭代法发散，而高斯－赛德尔迭代法收敛。

证明：迭代公式的矩阵形式：

(1)()

k k s s x B x f +=+，分别检验()B ρ，进行敛散性判断。 1、检验雅可比迭代，(1)()k k x Bx f +=+，其中：

(),B D U L f D b --=-+=-， 0

0.50.50.500.50.50.50B --????=--??

??--??，求解得：1231,0.5,0.5λλλ=-==，()1B ρ=

所以雅可比迭代发散！

2、检验高斯－赛德尔迭代，(1)()k k s s x B x f +=+，其中：

(),()s s B D L U f D L b --=+=+ 00.50.500.250.2500.1250.375s B --????=-??

????，求解得：1

230,0.31250.1654,0.31250.1654i i λλλ==+=-，()0.35361B ρ=<，所以雅可比迭代收敛！

七、设n n

A R

?∈有n 个正的实的特征值

12.n λλλ≥≥

试证当

0αλ<<

时迭代公式

(1)()()()k k k x x b Ax α+=+-收敛。

解：利用：

(1)()()(1)()(1)()()()k k k k k k k x x b Ax x E A x b

x Bx f ααα+++=+-?=-+?=+，

则：(),B E A f b αα=-=，求解B 的特征值λ，可求得()B ρ 只需证明()1B ρ<即可证明收敛。过程同上！

八、给定线性方程组Ax b =，其中323,121A b ????==????-????，用迭代公式(1)()()()

(0,1,2)k k k x x b Ax k α+=+-=求解，问取什么实数α可使迭代收敛，什么α

可使迭代收敛最快。

解：同题三！

Chapter8非线性方程的数值解法

一、在求非线性f(x)=0根的近似值时，论证简单迭代法一般为线性收敛，而牛顿迭代法为平方收敛。 P200

证明：？？？？？？ 1、一般迭代法：

k+1k x =g(x )k=0,1,2, ，…，

由于*'*1()()k k x x g x x ξ+-=-，

*[,]k x x ξ∈，所以，'

()k k g εξε+=，因而1'

'*()()

k k

g g x k εξε+=→

→∞

若

'*()0

g x >，且

'*()1

g x <，则简单迭代法为线性收敛！

2、牛顿法，迭代格式为：

()()()'f x x x g x f x =-

=，对

()

()()'f x g x x f x =-求导，得： '2'''''

'2'2[()]()()()()

()1[()][()]f x f x f x f x f x g x f x f x -=-=

上式中*()0f x =，所以当'*

()0f x ≠时，

'*''*()0()0g x g x =≠，，牛顿法为平方收敛。

（注：P201，一般情况下，'*''*p-1*()()()0g x g x g x ===…=，而p *

()0g x ≠，称k +1k ()x g x =在*

x 附近为p 阶收敛）

二、考虑求解方程2cos 3120x x -+=的迭代公式

4cos ,0,1,2,

3k k x x k +=+

（1）试证：对任意初始值

0x R

∈，该方法收敛。

（2）写出用牛顿迭代法求解此方程的迭代公式。

解：

1、证明：由已知条件，迭代函数为'22

()4cos ()sin 33x x x x

??=+?=-

可得：

2()sin 13

3x x ?=-≤

<，所以，对于任意的初始值

0x R

∈，该方法收敛。

2、令：()2cos 312f x x x =-+，则其导数'

()2sin 3f x x =--，

由牛顿迭代公式

1()()'k k k k f x x x f x +=-

可得：12cos 312

2sin 3k k k k k x x x x x +-+=+

三、给定方程3

4100x x +-=分析该方程存在几个根，并构造求近似根的迭代公式，证明所用的迭代公式是收敛的。

解：

1、令：3

()410f x x x =+-，令'

()380f x x x =+=，解得108

3x x =-=

()f x 在8(,]3-∞-为增函数，8

[,0]3-为减函数，[0,)+∞为减函数，具体函数形状如图a 所示，又由于8()0.515,(0)103f f -=-=-，建立坐标系，从图中可以看出18

3x =-

，8

()0.5150

3f -=-<为局部[,0)-∞最大值， (0)100f =-<，图中可知该方程有一个根。

图a 图b

2、由于(1)50,(2)140f f =-<=<，可知*

[1,2]x ∈

已知：32()410f x x x =+-，'2()380f x x x =+>，''

()680f x x =+>构造牛顿迭代公式，

()410

()'38k k k k k k k k k f x x x x x x f x x x ++-=-=-+ 证明：验证迭代公式是否满足以下条件：？？？？？

(1) ()f x 在[1,2]x ∈上，'()f x 、''

()f x 存在且'''()0,()0f x f x >>符号不变，满足条件；

(2) (1)(2)0f f <，满足条件；

(3) 若要0()()0f x f x >0,[1,2]x x ∈，由于

()0f x >，应使0()0f x >，比如01.5,

(1.5)2.3750x f ==>，即可若满足条件；

综上，可知该迭代公式收敛！

五、给定方程20x Lnx --=。（1）分析该方程存在几个根，找出每个根所在的区间；（2）构造求近似根的迭代公式，并证明所用的迭代公式是收敛的。

解：方法同上下题！

四、给定方程

()(1)10x

f x x e =--=。分析该方程存在几个根；

用迭代法求出这些根，精确至四位有效数；证明所试用的格式是收敛的。解：

1、分析方程存在几个根：

'22()[(1)]0x f x x x e =-+>，所以()f x 在(),-∞+∞上为增函数，同时

()0,()0f f -∞<+∞>，所以()f x 存在一个根。

2、用迭代法求解：迭代格式为：2

11k x k x e -+=+，由于(1)0,(2)0f f <>，*

[1,2]x ∈取

0 1.5x =，计算过程如下：

2222221.5 1.2298171.1054 1.2203281.2946 1.2255391.1871 1.22274101.2443 1.22425111 1.10541 1.22031 1.29461 1.22551 1.18711 1.22271 1.24431 1.22421 1.2126x e x e x e x e x e x e x e x e x e x e

----------=+==+==+==+==+==+==+==+==+==2

1.2126 1.22346121 1.22341 1.2298

1 1.2238x e

x e

--+==+==+=

314

121111

101022x x ---≤?=?，具有四位有效数字，所以* 1.2238x =。

3、证明：迭代函数2

1()1k x k k g x x e -+==+，2

'()2x

g x xe -=-，检验是否满足一下条件， (1)

()1x

g x e -=+在[1,2]x ∈上存在且连续，满足条件； (2) ()g x 在[1,2]x ∈上为减函数，因而，

12max min ()(1)12,()(2)11g x g e g x g e --==+<==+>

可得：1()2,[1,2]g x x ≤≤∈，满足条件；

(3)

'2()21

x x x g x xe L e

-=-=

≤<，满足条件；

综上，可知该迭代公式收敛！

Chapter9常微分方程初值问题的数值解法

一、用预估一校正法求初值问题

?=≤≤-='1)0(1

02y x y x y y

在x=0.2处的数值解，步长取h=0.1。（要求保留小数点后4位）解：预估—校正公式如下：

1111(,)

[(,)(,)

2j j j j j j j j j j y y hf x y h

y y f x y f x y ++++=+=++

112220

10.1(1) 1.11

0.12020.1

1(1 1.1) 1.0959

21 1.1

1.09590.1(1.0959) 1.1872

1.0959

0.120.120.2

1.0959(1.0959 1.1872) 1.1841

2 1.0959 1.1872y y y y ?=+?-

=??=+?-+-=?=+?-=??=+?-+-= 二、若用梯形公式求0

(0)y ay

x y y ?=->?

的近似解，其中0a >，试证明：

（1）

02,0,1,2

i ah y y i ah -??== ?+?

?（其中h 为步长）。

（2）对固定的

n x nh

=，当0h →时，

y 收敛于准确解。

解：

（1）根据梯形公式（改进的欧拉法公式）：

0111(0)[(,)(,)],0,1,2,...,12k k k k k k y y h y y f x y f x y k n +++=???=++=-??

由已知条件得：(,)()f x y ay f y =-=，

0(0)y y = 利用：

111

2[()()]

22i i i i i i h

y y f y f y y y ah ----=++?

则：

2120

2222()()()2222i i

i i i i i ah ah ah ah y y y y y ah ah ah ah -------=

===++++…=

证毕！（2）对固定的

n x nh

=，当0h →时，即为0n →

根据0

22n

n ah y y ah -??= ?+??得：

1112(2)0

2(2)

n n n n n n y y ah ah ah

y y ah εε------==-→

→-+

则：

y 收敛于准确解。

三、用预估－校正法求初值问题??

?=+=0

)0(12'y y y 在x=0.2处的数值解，步长取h=0.1。（要求保

留小数点后4位解：方法同上题一！

四、已知初值问题,(0)0y ax b y '=+=有精确解2

()2ax y x bx

=+，求证：用欧拉法以h 为

步长所得近似解

n y 的整体截断误差为：

()2

n n n n

y x y ahx ε=-= 。

数值分析复习题及答案65177

数值分析复习题一、选择题 1. 3.142和3.141分别作为π的近似数具有（）和（）位有效数字. A ．4和3 B ．3和2 C ．3和4 D ．4和4 2. 已知求积公式()()2 11211()(2)636f x dx f Af f ≈++?，则A ＝（） A ． 16 B ．13 C ．12 D ．2 3 3. 通过点()()0011,,,x y x y 的拉格朗日插值基函数()()01,l x l x 满足（） A ．() 00l x ＝0，()110l x = B ． ()00l x ＝0，()111l x = C ．()00l x ＝1，()111l x = D ． ()00l x ＝1，()111l x = 4. 设求方程()0f x =的根的牛顿法收敛，则它具有（）敛速。 A ．超线性 B ．平方 C ．线性 D ．三次 5. 用列主元消元法解线性方程组1231231220223332x x x x x x x x ++=??++=??--=? 作第一次消元后得到的第3个方程（）. A ．232x x -+= B ．232 1.5 3.5x x -+= C ．2323x x -+= D ．230.5 1.5x x -=- 二、填空 1. 设 2.3149541...x *=，取5位有效数字，则所得的近似值x= . 2.设一阶差商 ()()()21122114,321f x f x f x x x x --= ==---， ()()()322332615,422f x f x f x x x x --===--

则二阶差商 ()123,,______f x x x = 3. 设(2,3,1)T X =--, 则2||||X = ，=∞||||X 。 4．求方程 2 1.250x x --= 的近似根，用迭代公式 1.25x x =+，取初始值 01x =，那么 1______x =。 5．解初始值问题 00'(,)()y f x y y x y =??=?近似解的梯形公式是 1______k y +≈。 6、 1151A ??= ?-??，则A 的谱半径＝。 7、设 2()35, , 0,1,2,... , k f x x x kh k =+== ，则[]12,,n n n f x x x ++= 和[]123,,,n n n n f x x x x +++= 。 8、若线性代数方程组AX=b 的系数矩阵A 为严格对角占优阵，则雅可比迭代和高斯-塞德尔迭代都。 9、解常微分方程初值问题的欧拉（Euler ）方法的局部截断误差为。 10、为了使计算 23123101(1)(1)y x x x =+ +----的乘除法运算次数尽量的少,应将表达式改写成。 11. 设T X )4,3,2(-=, 则=1||||X ，2||||X = . 12. 一阶均差()01,f x x = 13. 已知3n =时，科茨系数()()()33301213,88C C C ===，那么 ()33C = 14. 因为方程()420x f x x =-+=在区间[]1,2上满足，所以()0f x =在区间内有根。 15. 取步长0.1h =，用欧拉法解初值问题()211y y y x y ?'=+???=?的计算公式 . 16.设 * 2.40315x =是真值 2.40194x =的近似值，则*x 有位有效数字。

数值分析试题及答案汇总

数值分析试题一、填空题（2 0×2′） 1. ?? ????-=? ?????-=32,1223X A 设x =是精确值x *=的近似值，则x 有 2 位有效数字。 2. 若f (x )=x 7－x 3＋1，则f [20,21,22,23,24,25,26,27]= 1 ， f [20,21,22,23,24,25,26,27,28]= 0 。 3. 设，‖A ‖∞＝___5 ____，‖X ‖∞＝__ 3_____， ‖AX ‖∞≤_15_ __。 4. 非线性方程f (x )=0的迭代函数x =?(x )在有解区间满足 |?’(x )| <1 ，则使用该迭代函数的迭代解法一定是局部收敛的。 5. 区间[a ,b ]上的三次样条插值函数S (x )在[a ,b ]上具有直到 2 阶的连续导数。 6. 当插值节点为等距分布时，若所求节点靠近首节点，应该选用等距节点下牛顿差商公式的前插公式，若所求节点靠近尾节点，应该选用等距节点下牛顿差商公式的后插公式；如果要估计结果的舍入误差，应该选用插值公式中的拉格朗日插值公式。 7. 拉格朗日插值公式中f (x i )的系数a i (x )的特点是：=∑=n i i x a 0)( 1 ；所以当系数a i (x )满足 a i (x )>1 ，计算时不会放大f (x i )的误差。 8. 要使 20的近似值的相对误差小于%，至少要取 4 位有效数字。 9. 对任意初始向量X (0)及任意向量g ，线性方程组的迭代公式x (k +1)=Bx (k )+g (k =0,1,…)收敛于方程组的精确解x *的充分必要条件是 ?(B)<1 。 10. 由下列数据所确定的插值多项式的次数最高是 5 。 11. 牛顿下山法的下山条件为 |f(xn+1)|<|f(xn)| 。 12. 线性方程组的松弛迭代法是通过逐渐减少残差r i (i =0,1,…,n )来实现的，其中的残差 r i ＝ (b i -a i1x 1-a i2x 2-…-a in x n )/a ii ，(i =0,1,…,n )。 13. 在非线性方程f (x )=0使用各种切线法迭代求解时，若在迭代区间存在唯一解，且f (x )

数值分析复习题及答案

数值分析复习题及答案 Company number：【WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998】

数值分析复习题一、选择题 1. 和分别作为π的近似数具有（）和（）位有效数字. A ．4和3 B ．3和2 C ．3和4 D ．4和4 2. 已知求积公式 ()()2 1 121 1()(2)636f x dx f Af f ≈ ++? ，则A ＝（） A ． 16 B ．13 C ．12 D ．2 3 3. 通过点( )() 0011,,,x y x y 的拉格朗日插值基函数 ()() 01,l x l x 满足（） A ． ()00l x ＝0， ()110l x = B ． () 00l x ＝0， ()111 l x = C ．() 00l x ＝1，()111 l x = D ． () 00l x ＝1， ()111 l x = 4. 设求方程 ()0 f x =的根的牛顿法收敛，则它具有（）敛速。 A ．超线性 B ．平方 C ．线性 D ．三次 5. 用列主元消元法解线性方程组1231231 220223332 x x x x x x x x ++=?? ++=??--=?作第一次消元后得到的第3个方程（）. A ． 232 x x -+= B ． 232 1.5 3.5 x x -+= C ． 2323 x x -+=D ． 230.5 1.5 x x -=- 二、填空 1. 设 2.3149541...x * =，取5位有效数字，则所得的近似值x= .

2.设一阶差商 ()()()211221 14 ,3 21f x f x f x x x x --= = =---， ()()()322332615,422f x f x f x x x x --===-- 则二阶差商 ()123,,______ f x x x = 3. 设(2,3,1)T X =--, 则2||||X = ，=∞||||X 。 4．求方程2 1.250x x --= 的近似根，用迭代公式 1.25x x =+，取初始值 01x =，那么 1______x =。 5．解初始值问题 00'(,)()y f x y y x y =?? =?近似解的梯形公式是 1______k y +≈。 6、 1151A ?? = ? -??，则A 的谱半径＝。 7、设 2()35, , 0,1,2,... , k f x x x kh k =+==，则 []12,,n n n f x x x ++= 和 []123,,,n n n n f x x x x +++= 。 8、若线性代数方程组AX=b 的系数矩阵A 为严格对角占优阵，则雅可比迭代和高斯-塞德尔迭代都。 9、解常微分方程初值问题的欧拉（Euler ）方法的局部截断误差为。 10、为了使计算 23123 101(1)(1)y x x x =+ +- ---的乘除法运算次数尽量的少,应将表达式改写成。 11. 设T X )4,3,2(-=, 则=1||||X ，2||||X = . 12. 一阶均差 ()01,f x x = ？ 13. 已知3n =时，科茨系数 ()()() 33301213,88C C C ===，那么() 33C =

数值分析试卷及答案

二 1 求A的LU分解，并利用分解结果求解由紧凑格式故从而故 2求证：非奇异矩阵不一定有LU分解证明设非奇异，要说明A不一定能做LU分解，只需举出一个反例即可。现考虑矩阵，显然A为非奇异矩阵。若A有LU分解，则故，而，显然不能同时成立。这矛盾说明A不能做LU分解，故只假定A非奇异并不能保证A能做LU分解，只有在A的前阶顺序主子式时才能保证A一定有LU分解。 3用追赶法求解如下的三对角方程组解设有分解由公式其中分别是系数矩阵的主对角线元素及其下边和上边的次对角线元素，故有从而有故，，，故，，， 4设A是任一阶对称正定矩阵，证明是一种向量范数证明（1）因A正定对称，故当时，，而当时，（2）对任何实数，有（3）因A正定，故有分解，则故对任意向量和，总有综上可知，是一种向量范数。 5 设，，已知方程组的精确解为（1）计算条件数；（2）若近似解，计算剩余；（3）利用事后误差估计式计算不等式右端，并与不等式左边比较，此结果说明了什么？解（1）（2）

（3）由事后误差估计式，右端为而左端这表明当A为病态矩阵时，尽管剩余很小，误差估计仍然较大。因此，当A病态时，用大小作为检验解的准确度是不可靠的。 6矩阵第一行乘以一数成为，证明当时，有最小值证明设，则又故从而当时，即时，有最小值，且 7 讨论用雅可比法和高斯-赛德尔法解方程组时的收敛性。如果收敛，比较哪一种方法收敛较快，其中解对雅可比方法，迭代矩阵，故雅可比法收敛。对高斯-赛德尔法，迭代矩阵，故高斯-赛德尔法收敛。因=故高斯-赛德尔法较雅可比法收敛快。 8设，求解方程组，求雅可比迭代法与高斯-赛德尔迭代法收敛的充要条件。解雅可比法的迭代矩阵，故雅可比法收敛的充要条件是。高斯-赛德尔法的迭代矩阵，故高斯-赛德尔法收敛的充要条件是。 9 设求解方程组的雅可比迭代格式为，其中，求证：若，则相应的高斯-赛德尔法收敛。证明由于是雅可比法的迭代矩阵，故又，故，即，故故系数矩阵A按行严格对角占优，从而高斯-赛德尔法收敛。 10设A为对称正定矩阵，考虑迭代格式求证：（1）对任意初始向量，收敛；（2）收敛到的解。证明（1）所给格式可化为这里存在是因为，由A对称正定，，故也对称正定。设迭代矩阵的特征值为，为相应的特征向量，则与做内积，有因正定，故，从而，格式收敛。

数值分析试卷及其答案

1、（本题5分）试确定7 22 作为π的近似值具有几位有效数字，并确定其相对误差限。解因为 7 22 =3.142857…=1103142857 .0-? π=3.141592… 所以 312102 11021005.0001264.0722--?=?=<=- π （2分）这里，3,21,0=-=+-=n n m m 由有效数字的定义可知7 22 作为π的近似值具有3位有效数字。（1分）而相对误差限 3102 1 0005.00004138.0001264.07 22-?= <≈= -= π π πε r （2分） 2、（本题6分）用改进平方根法解方程组：??? ?? ??=????? ??????? ??--654131*********x x x ；解设???? ? ??????? ? ?????? ??===????? ??--11111 1 131321112323121 32 132 31 21 l l l d d d l l l LDL A T 由矩阵乘法得： 5 7,21,215 27 ,25,2323121321- ==-== -==l l l d d d （3分）由y D x L b Ly T 1 ,-==解得 T T x y )9 23 ,97,910(,)563, 7,4(== （3分） 3、（本题6分）给定线性方程组???????=++-=+-+=-+-=-+17 7222382311387 510432143213 21431x x x x x x x x x x x x x x 1）写出Jacoib 迭代格式和Gauss-Seidel 迭代格式； 2）考查Jacoib 迭代格式和Gauss-Seidel 迭代格式的敛散性；解 1）Jacoib 迭代格式为

数值分析复习题要答案

第一章 1、ln2＝0.69314718…，精确到 10－3 的近似值是多少？解精确到 10－3＝0.001，即绝对误差限是 e ＝0.05％，故至少要保留小数点后三位才可以。 ln2≈0.693。 2、设115.80,1025.621≈≈x x 均具有5位有效数字，试估计由这些数据计算21x x ， 21x x +的绝对误差限解：记126.1025, 80.115x x == 则有11232411 10, | 102|||2 x x x x --≤?-≤?- 所以 121212121212211122||||||||||||x x x x x x x x x x x x x x x x x x -=-+-+≤-- 3411 80.11610 6.10102522 0.007057-==??+≤?? 1212112243|()|||11 |10100.0005522 |x x x x x x x x --≤≤?+?=+-+-+- 3、一个园柱体的工件,直径d 为10.250.25mm,高h 为40.00 1.00mm,则它的体积V 的近似值、误差和相对误差为多少。解： ()() 22222222 4 314210254000000330064 221025400002510251002436444 3300624362436 0073873833006 , .....; ()()()......, ..().()..% .r d h V d h V mm d h V dh d d h V mm V V V πππππεεεεε= ≈=??===+=???+?==±====第二章： 1、分别利用下面四个点的Lagrange 插值多项式和Newton 插值多项式N 3(x )，计算L 3(0.5)及N 3(-0.5) x －2 －1 0 1 f (x ) －1 1 2

数值分析试卷及答案

3用追赶法求解如下的三对角方程组解设有分解由公式其中分别是系数矩阵的主对角线元素及其下边和上边的次对角线元素，故有从而有故，，，故，，，

4设A是任一阶对称正定矩阵，证明是一种向量范数证明（1）因A正定对称，故当时，，而当时，（2）对任何实数，有（3）因A正定，故有分解，则故对任意向量和，总有综上可知，是一种向量范数。 5 设，，已知方程组的精确解为（1）计算条件数；（2）若近似解，计算剩余；（3）利用事后误差估计式计算不等式右端，并与不等式左边比较，此结果说明了什么？解（1）（2）（3）由事后误差估计式，右端为而左端

这表明当A为病态矩阵时，尽管剩余很小，误差估计仍然较大。因此，当A病态时，用大小作为检验解的准确度是不可靠的。 6矩阵第一行乘以一数成为，证明当时，有最小值证明设，则又故从而当时，即时，有最小值，且 7讨论用雅可比法和高斯-赛德尔法解方程组时的收敛性。如果收敛，比较哪一种方法收敛较快，其中解对雅可比方法，迭代矩阵，故雅可比法收敛。对高斯-赛德尔法，迭代矩阵

，故高斯-赛德尔法收敛。因=故高斯-赛德尔法较雅可比法收敛快。 8设，求解方程组，求雅可比迭代法与高斯-赛德尔迭代法收敛的充要条件。解雅可比法的迭代矩阵，故雅可比法收敛的充要条件是。高斯-赛德尔法的迭代矩阵，

数值分析整理版试题及答案

例1、已知函数表 x -1 1 2 ()f x -3 0 4 求()f x 的Lagrange 二次插值多项式和Newton 二次插值多项式。解：（1）k x -1 1 2 k y -3 0 4 插值基函数分别为 ()()()()()()()()()() 1200102121()1211126 x x x x x x l x x x x x x x ----= ==-------- ()()()()()()()() ()()021******* ()1211122x x x x x x l x x x x x x x --+-= ==-+---+- ()()()()()()()()()()0122021111 ()1121213 x x x x x x l x x x x x x x --+-= ==-+--+- 故所求二次拉格朗日插值多项式为 () ()()()()()()()()()()2 20 2()11131201241162314 121123537623k k k L x y l x x x x x x x x x x x x x ==?? =-? --+?-+-+?+-????=---++-=+-∑ （2）一阶均差、二阶均差分别为

[]()()[]()()[][][]010********* 011201202303 ,11204 ,412 3 4,,5 2,,126 f x f x f x x x x f x f x f x x x x f x x f x x f x x x x x ---===-----= = =----=== --- k x ()k f x 一阶二阶 -1 -3 1 0 3/ 2 2 4 4 5/6 故所求Newton 二次插值多项式为 ()()[]()[]()() ()()()20010012012,,,35 311126537623P x f x f x x x x f x x x x x x x x x x x x =+-+--=-+ +++-=+- 例2、设2 ()32f x x x =++，[0,1]x ∈，试求()f x 在[0, 1]上关于()1x ρ=，{} span 1,x Φ=的最佳平方逼近多项式。解：若{}span 1,x Φ=，则0()1x ?=，1()x x ?=，且()1x ρ=，这样，有

数值分析课后题答案

数值分析第二章 2．当1,1,2x =-时，()0,3,4f x =-,求()f x 的二次插值多项式。解： 0120121200102021101201220211,1,2, ()0,()3,()4;()()1 ()(1)(2)()()2()()1 ()(1)(2) ()()6 ()()1 ()(1)(1) ()()3 x x x f x f x f x x x x x l x x x x x x x x x x x l x x x x x x x x x x x l x x x x x x x ==-===-=--==-+-----==------= =-+-- 则二次拉格朗日插值多项式为 2 20 ()()k k k L x y l x ==∑ 0223()4() 14 (1)(2)(1)(1)23 537623 l x l x x x x x x x =-+=---+ -+= +- 6．设,0,1,,j x j n =L 为互异节点，求证：（1） 0()n k k j j j x l x x =≡∑ (0,1,,);k n =L （2）0 ()()0n k j j j x x l x =-≡∑ (0,1,,);k n =L 证明（1）令()k f x x = 若插值节点为,0,1,,j x j n =L ，则函数()f x 的n 次插值多项式为0 ()()n k n j j j L x x l x == ∑。插值余项为(1)1() ()()()()(1)! n n n n f R x f x L x x n ξω++=-= + 又,k n ≤Q

(1)()0 ()0 n n f R x ξ+∴=∴= 0()n k k j j j x l x x =∴=∑ (0,1,,);k n =L 0 000 (2)()() (())()()(()) n k j j j n n j i k i k j j j i n n i k i i k j j i j x x l x C x x l x C x x l x =-==-==-=-=-∑∑∑∑∑ 0i n ≤≤Q 又由上题结论可知 ()n k i j j j x l x x ==∑ ()()0 n i k i i k i k C x x x x -=∴=-=-=∑原式 ∴得证。 7设[]2 (),f x C a b ∈且()()0,f a f b ==求证： 21 max ()()max ().8 a x b a x b f x b a f x ≤≤≤≤''≤- 解：令01,x a x b ==，以此为插值节点，则线性插值多项式为 10 101010 ()() ()x x x x L x f x f x x x x x --=+-- =() () x b x a f a f b a b x a --=+-- 1()()0()0 f a f b L x ==∴=Q 又插值余项为1011 ()()()()()()2 R x f x L x f x x x x x ''=-= -- 011 ()()()()2 f x f x x x x x ''∴= --

数值分析试卷及其答案1

1. 已知325413.0,325413*2*1==X X 都有6位有效数字，求绝对误差限。（4分）解：由已知可知6 5.0102 1 ,0,6,10325413.0016*1=?= =-=?=ε绝对误差限n k k X 2分 620*2102 1 ,6,0,10325413.0-?= -=-=?=ε绝对误差限n k k X 2分 2. 已知?? ???=0 01 A 220- ?????440求21,,A A A ∞ （6分）解： {}, 88,4,1max 1==A 1分 {}, 66,6,1max ==∞A 1分 () A A A T max 2λ= 1分 ?????=0 1 A A T 4 2 ???? ? -420?????0 01 2 20 - ???? ?440= ?????0 01 80 ???? ?3200 2分 {}32 32,8,1max )(max ==A A T λ

1分 24322==A 3. 设32)()(a x x f -= （6分） ① 写出f(x)=0解的迭代格式 ② 当a 为何值时，)(1k k x x ?=+ （0,1……）产生的序列{}k x 收敛于 2 解： ①迭代格式为： x a x x x a x a x x a x x x f x f x x k k k k k k k k k k 665)(665)(6)()(')(2 2 32 1 += +=---=-=+? 3 分 ②时迭代收敛即当222,112 10)2(',665)('2<<-<-=-= a a x a x ?? 3分 4. 给定线性方程组，其中：?? ?=13A ?? ?2 2，?? ? ???-=13b 用迭代公式 )()()()1(k k k Ax b x x -+=+α（0,1……）求解，问取什么实数α ，可使迭代收敛（8分）解：所给迭代公式的迭代矩阵为?? ? --???--=-=ααααα21231A I B 2分

数值分析期末考试复习题及其答案.doc

数值分析期末考试复习题及其答案 1. 已知325413.0,325413* 2* 1==X X 都有6位有效数字，求绝对误差限。（4分）解：由已知可知,n=6 5.01021 ,0,6,10325413.0016*1=?= =-=?=ε绝对误差限n k k X 2分 620* 21021,6,0,10325413.0-?=-=-=?=ε绝对误差限n k k X 2分 2. 已知?????=001A 220 - ???? ?440求21,,A A A ∞ （6分）解： {},88,4,1max 1==A 1分 {},66,6,1max ==∞A 1分 () A A A T max 2λ= 1分 ?????=001A A T 420 ?? ?? ? -420?????001 220 - ?????440=?????001 080 ???? ?3200 2分 {}3232,8,1max )(max ==A A T λ 1分 24322==A 3. 设3 2 )()(a x x f -= （6分） ① 写出f(x)=0解的Newton 迭代格式 ② 当a 为何值时，)(1k k x x ?=+ （k=0,1……）产生的序列{}k x 收敛于2 解： ①Newton 迭代格式为： x a x x x a x a x x a x x x f x f x x k k k k k k k k k k 665)(665)(6)()(')(2 2 32 1 += +=---=-=+? 3分

②时迭代收敛即当222,112 10)2(',665)('2<<-<-=-=a a x a x ?? 3分 4. 给定线性方程组Ax=b ，其中：? ??=1 3A ??? 22，??????-=13b 用迭代公式)()()()1(k k k Ax b x x -+=+α（k=0,1……）求解Ax=b ，问取什么实数α，可使迭代收敛（8分）解：所给迭代公式的迭代矩阵为?? ? --? ??--=-=ααααα21231A I B 2分其特征方程为 0) 21(2)31(=----= -αλα ααλλB I 2分即，解得αλαλ41,121-=-= 2分要使其满足题意，须使1)(

数值分析试卷及其答案2

1、（本题5分）试确定7 22作为π的近似值具有几位有效数字，并确定其相对误差限。解因为 7 22=3.142857…=1103142857.0-? π=3.141592… 所以 3 12 10 2 110 21005.0001264.07 22--?= ?= <=- π （2分）这里，3,21,0=-=+-=n n m m 由有效数字的定义可知7 22作为π的近似值具有3位有效数字。（1分）而相对误差限 3 10 2 10005.00004138.0001264.07 22-?= <≈= -= π π πε r （2分） 2、（本题6分）用改进平方根法解方程组：???? ? ??=????? ??????? ??--654131321 112321x x x ；解设???? ? ? ?????? ? ?????? ??===????? ? ?--11 1 11113 1321 11232312132 1 32 31 21 l l l d d d l l l LDL A T 由矩阵乘法得： 5 7,21,21527,25,2323121321- == - == -==l l l d d d （3分）由y D x L b Ly T 1 ,-==解得 T T x y )9 23,97,910( ,)5 63, 7,4(== （3分） 3、（本题6分）给定线性方程组??? ? ? ??=++-=+-+=-+-=-+17722238231138751043214321 321431x x x x x x x x x x x x x x 1）写出Jacoib 迭代格式和Gauss-Seidel 迭代格式； 2）考查Jacoib 迭代格式和Gauss-Seidel 迭代格式的敛散性；解 1）Jacoib 迭代格式为

数值分析整理版试题及答案

例1、已知函数表求()f x 的Lagrange 二次插值多项式和Newton 二次插值多项式。解：（1）故所求二次拉格朗日插值多项式为（2）一阶均差、二阶均差分别为例2、设2 ()32f x x x =++，[0,1]x ∈，试求()f x 在[0,1]上关于()1x ρ=，{}span 1,x Φ=的最佳平方逼近多项式。解：若{}span 1,x Φ=，则0()1x ?=，1()x x ?=，且()1x ρ=，这样，有所以，法方程为

011231261192 34a a ??????????=?????????? ?????????? ，经过消元得012311 62110123a a ??? ???????=???????????????????? 再回代解该方程，得到14a =，011 6 a = 故，所求最佳平方逼近多项式为* 111()46S x x =+ 例3、设()x f x e =，[0,1]x ∈，试求()f x 在[0,1]上关于()1x ρ=，{}span 1,x Φ=的最佳平方逼近多项式。解：若{}span 1,x Φ=，则0()1x ?=，1()x x ?=，这样，有所以，法方程为解法方程，得到00.8732a =，1 1.6902a =，故，所求最佳平方逼近多项式为例4、用4n = 的复合梯形和复合辛普森公式计算积分1 ? 。解：（1）用4n =的复合梯形公式由于2h =，( )f x =()121,2,3k x k k =+=，所以，有（2）用4n =的复合辛普森公式由于2h =，( )f x =()121,2,3k x k k =+=，()12 220,1,2,3k x k k + =+=，所以，有例5、用列主元消去法求解下列线性方程组的解。解：先消元再回代，得到33x =，22x =，11x = 所以，线性方程组的解为11x =，22x =，33x = 例6、用直接三角分解法求下列线性方程组的解。解：设则由A LU =的对应元素相等，有 1114u = ，1215u =，1316u =， 2111211433l u l =?=，3111311 22 l u l =?=， 2112222211460l u u u +=?=-，2113232311 545l u u u +=?=-，

数值分析试题及答案

一、单项选择题（每小题3分，共15分） 1. 3.142和3.141分别作为π的近似数具有（）和（）位有效数字. A ．4和3 B ．3和2 C ．3和4 D ．4和4 2. 已知求积公式 ()()2 1 121 1()(2)636f x dx f Af f ≈ ++? ，则A ＝（） A ． 16 B ．13 C ．12 D ．2 3 3. 通过点 ()()0011,,,x y x y 的拉格朗日插值基函数()()01,l x l x 满足（） A ． ()00l x ＝0， ()110l x = B ． ()00l x ＝0， ()111l x = C ．() 00l x ＝1，()111 l x = D ． () 00l x ＝1，()111 l x = 4. 设求方程 ()0 f x =的根的牛顿法收敛，则它具有（）敛速。 A ．超线性 B ．平方 C ．线性 D ．三次 5. 用列主元消元法解线性方程组 1231231 220223332 x x x x x x x x ++=?? ++=??--=? 作第一次消元后得到的第3个方程（）. A ． 232 x x -+= B ．232 1.5 3.5 x x -+= C ． 2323 x x -+= D ． 230.5 1.5 x x -=- 单项选择题答案 1.A 2.D 3.D 4.C 5.B 得分评卷人二、填空题（每小题3分，共15分）

1. 设T X )4,3,2(-=, 则=1||||X ，2||||X = . 2. 一阶均差 ()01,f x x = 3. 已知3n =时，科茨系数()()() 33301213,88C C C ===，那么 () 33C = 4. 因为方程()420 x f x x =-+=在区间 []1,2上满足，所以()0f x =在区间内有根。 5. 取步长0.1h =，用欧拉法解初值问题 ()211y y y x y ?'=+?? ?=? 的计算公式 . 填空题答案 1. 9和29 2. ()() 0101 f x f x x x -- 3. 1 8 4. ()()120 f f < 5. ()12 00.1 1.1,0,1,210.11k k y y k k y +???? ?=+? ?=+???? =??L 得分评卷人三、计算题（每题15分，共60分） 1. 已知函数 21 1y x = +的一组数据：求分段线性插值函数，并计算 () 1.5f 的近似值. 计算题1.答案 1. 解 []0,1x ∈， ()1010.510.50110x x L x x --=?+?=---% []1,2x ∈，()210.50.20.30.81221x x L x x --=?+?=-+--%

数值计算方法试题集及答案要点

《数值计算方法》复习试题一、填空题： 1、 ?? ??? ?????----=410141014A ，则A 的LU 分解为 A ? ???????? ???=????????? ?? ?。答案： ?? ????????--??????????--=1556141501 4115401411A 2、已知3.1)3(,2.1)2(, 0.1)1(===f f f ，则用辛普生（辛卜生）公式计算求得?≈3 1 _________ )(dx x f ,用三点式求得≈')1(f 。答案：2.367，0.25 3、1)3(,2)2(, 1)1(==-=f f f ，则过这三点的二次插值多项式中2x 的系数为，拉格朗日插值多项式为。答案：-1， )2)(1(21 )3)(1(2)3)(2(21)(2--------= x x x x x x x L 4、近似值*0.231x =关于真值229.0=x 有( 2 )位有效数字； 5、设)(x f 可微,求方程)(x f x =的牛顿迭代格式是( )；答案 )(1)(1n n n n n x f x f x x x '--- =+ 6、对 1)(3++=x x x f ,差商=]3,2,1,0[f ( 1 ),=]4,3,2,1,0[f ( 0 )； 7、计算方法主要研究( 截断 )误差和( 舍入 )误差； 8、用二分法求非线性方程f (x )=0在区间(a ,b )内的根时，二分n 次后的误差限为( 1 2+-n a b )； 9、求解一阶常微分方程初值问题y '= f (x ,y )，y (x 0)=y 0的改进的欧拉公

数值分析试题及答案

数值分析试题及答案一、单项选择题（每小题3分，共15分） 1. 3.142和3.141分别作为的近似数具有（）和（）位有效数字. A．4和3 B．3和2 C．3和4 D．4和4 2. 已知求积公式，则＝（） A． B．C．D． 3. 通过点的拉格朗日插值基函数满足（） A．＝0，B．＝0， C．＝1，D．＝1， 4. 设求方程的根的牛顿法收敛，则它具有（）敛速。 A．超线性B．平方C．线性D．三次 5. 用列主元消元法解线性方程组作第一次消元后得到的第3个方程（）. A．B． C．D．单项选择题答案 1.A 2.D 3.D 4.C 5.B 得分评卷人二、填空题（每小题3分，共15分） 1. 设, 则， . 2. 一阶均差 3. 已知时，科茨系数，那么 4. 因为方程在区间上满足，所以在区间内有根。 5. 取步长，用欧拉法解初值问题的计算公式.填空题答案

1. 9和 2. 3. 4. 5. 得分评卷人三、计算题（每题15分，共60分） 1. 已知函数的一组数据：求分段线性插值函数，并计算的近似值. 计算题1.答案 1. 解，，所以分段线性插值函数为 2. 已知线性方程组（1）写出雅可比迭代公式、高斯－塞德尔迭代公式；（2）对于初始值，应用雅可比迭代公式、高斯－塞德尔迭代公式分别计算（保留小数点后五位数字）. 计算题2.答案 1.解原方程组同解变形为雅可比迭代公式为高斯－塞德尔迭代法公式用雅可比迭代公式得用高斯－塞德尔迭代公式得 3. 用牛顿法求方程在之间的近似根（1）请指出为什么初值应取2？（2）请用牛顿法求出近似根，精确到0.0001. 计算题3.答案

2012研究生数值分析课期末考试复习题及答案

一、填空 1. 设 2.3149541...x * =，取5位有效数字，则所得的近似值x= 2.3150 . 2.设一阶差商 ()()()21122114 ,321f x f x f x x x x --= = =---， ()()()322332 615 ,422f x f x f x x x x --= = =-- 则二阶差商 ()123,,______ f x x x =11/6 3. 设(2,3,1)T X =--, 则2||||X = 14 ，=∞||||X 3 。p49 4. 4．求方程 2 1.250x x --= 的近似根，用迭代公式 1.25x x =+，取初始值 01 x =，那么 1______x =。 1.5 5．解初始值问题 00 '(,)()y f x y y x y =?? =?近似解的梯形公式是 1______k y +≈。 ()()[]11,,2 ++++k k k k k y x f y x f h y 6、 1151A ??= ? -??，则A 的谱半径＝ 6 。 7、设 2()35, , 0,1,2,... , k f x x x kh k =+== ，则 []12,,n n n f x x x ++= —————— ————3 和 []123,,,n n n n f x x x x +++= _______________0_____ 。 8、若线性代数方程组AX=b 的系数矩阵A 为严格对角占优阵，则雅可比迭代和高斯-塞德尔迭代都收敛。 9、解常微分方程初值问题的欧拉（Euler ）方法的局部截断误差为_______O(h ） ___。

数值分析最佳习题(含答案)

第一章绪论姓名学号班级习题主要考察点：有效数字的计算、计算方法的比较选择、误差和误差限的计算。 1 若误差限为5105.0-?,那么近似数有几位有效数字（有效数字的计算）解：2*103400.0-?=x ，325*102 1102 1---?=?≤-x x 故具有3位有效数字。 2 14159.3=π具有4位有效数字的近似值是多少（有效数字的计算）解：10314159.0?= π，欲使其近似值*π具有4位有效数字，必需 41*102 1 -?≤-ππ，3*3102 1102 1--?+≤≤?-πππ，即14209.314109.3*≤≤π 3 已知2031.1=a ，978.0=b 是经过四舍五入后得到的近似值，问b a +， b a ?有几位有效数字（有效数字的计算）解：3*1021 -?≤-a a ，2*102 1-?≤-b b ，而1811.2=+b a ，1766.1=?b a 2123****102 1 10211021)()(---?≤?+?≤ -+-≤+-+b b a a b a b a 故b a +至少具有2位有效数字。 2123*****102 1 0065.01022031.1102978.0)()(---?≤=?+?≤ -+-≤-b b a a a b b a ab

故b a ?至少具有2位有效数字。 4 设0>x ，x 的相对误差为δ，求x ln 的误差和相对误差（误差的计算）解：已知δ=-* *x x x ，则误差为 δ=-= -* **ln ln x x x x x 则相对误差为 * * ** * * ln ln 1ln ln ln x x x x x x x x δ = -= - 5测得某圆柱体高度h 的值为cm h 20*=，底面半径r 的值为cm r 5*=，已知cm h h 2.0||*≤-，cm r r 1.0||*≤-，求圆柱体体积h r v 2π=的绝对误差限与相对误差限。（误差限的计算）解：*2******2),(),(h h r r r h r r h v r h v -+-≤-ππ 绝对误差限为 πππ252.051.02052)5,20(),(2=??+????≤-v r h v 相对误差限为 %420 1 20525) 5,20() 5,20(),(2 ==??≤ -ππv v r h v 6 设x 的相对误差为%a ,求n x y =的相对误差。（函数误差的计算）解：%* *a x x x =-， )%(* **** *na x x x n x x x y y y n n n =-≤-= - 7计算球的体积，为了使体积的相对误差限为%1，问度量半径r 时允许的相对误差限为多大（函数误差的计算）

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