破解理科数学导数压轴题：极值点偏移问题的不等式解法
极值点偏移问题的不等式解法我们熟知平均值不等式：,a b R
+
∈
2
112
a b
a b
+
≤≤≤
+
即“调和平均数”小于等于“几何平均数”小于等于“算术平均值”小于等于“平方平均值”等号成立的条件是a b
=.
我们还可以引入另一个平均值：对数平均值：
ln ln
a b
a b
-
-
那么上述平均值不等式可变为：对数平均值不等式
,
?>≠
a b a b
ln ln2
a b a b
a b
-+
-
＜＜
以下简单给出证明：
不妨设a b
>，设a bx
=，则原不等式变为：
2(1)
1,ln
1
x
x x
x
-
?><<
+
以下只要证明上述函数不等式即可.
以下我们来看看对数不等式的作用.
题目1：（2015长春四模题）已知函数()x
f x e ax
=-有两个零点
12
x x
<，则下列说法错误的是A. a e
> B.
12
2
x x
+> C.
12
1
x x> D.有极小值点
x，且
120
2
x x x
+<
【答案】C
【解析】函数()
f x导函数：
'()x
f x e a
=-
有极值点ln
x a
=，而极值(ln)ln0
f a a a a
=-<，a e
∴>，A正确.
()
f x有两个零点：1
1
x
e ax
-=，2
2
x
e ax
-=，即：
11
ln ln
x a x
=+①
22
ln ln
x a x
=+②
①-②得：
1212ln ln x x x x -=-
根据对数平均值不等式：
1212
12
12ln ln x x x x x x +->=>-122x x ∴+>
，而1>121x x ∴< B 正确，C 错误 而①+②得：12122ln ln 2ln x x a x x a +=+<，即D 成立. 题目2：（2011辽宁理）已知函数()2ln (2)f x x ax a x =-+-.
若函数()y f x =的图像与x 轴交于,A B 两点，线段AB 中点的横坐标为0x ，证明：()0'0f x < 【解析】原题目有3问，其中第二问为第三问的解答提供帮助，现在我们利用不等式直接去证明第三问：
设11(,())A x f x ，22(,())B x f x ，12x x <，则12
02
+=
x x x ， 2
111ln (2)0x ax a x -+-=① 2222ln (2)0x ax a x -+-=②
①-②得：12121212ln ln ()()(2)()0x x a x x x x a x x --+-+--=，化简得：
12
1212
10()(2)ln ln x x a x x a x x -=>+---③
而根据对数平均值不等式：
121212ln ln 2
x x x x
x x -+<-
③等式代换到上述不等式
12012011()(2)22(2)
x x x a x x a ax a +
根据：002(2)0ax a x -->（由③得出）∴④式变为：
200002(2)10(21)(1)0ax a x x ax --->?+->
∵0(21)0x +>，∴01
x a
>
，∴0x 在函数单减区间中，即： 0'()0f x ∴<
题目3：(2010天津理)已知函数()x f x xe -= ()x R ∈.如果12x x ≠，且()()12f x f x =. 证明：122x x +>.
【解析】原题目有3问，其中第二问为第三问的解答提供帮助，现在我们利用不等式直接去证明第三问：
设12()()f x f x c ==，则
11x x c e =，2
2
x x c e =，12()x x ≠两边取对数 11ln ln x x c -=① 22ln ln x x c -=②
①-②得：
12
12
1ln ln x x x x -=-
根据对数平均值不等式
1212
12
12ln ln x x x x x x +->=- 122x x ∴+>
题目4：（2014江苏南通市二模）设函数()x f x e ax a =-+ ()a R ∈，其图象与x 轴交于
()()12,0,0A x B x 两点，且12x x <.
证明：0f '
<（()f x '为函数()f x 的导函数）.
【解析】根据题意：110x e ax a -+=，220x e ax a -+=移项取对数得：
11ln(1)ln x x a =-+① 22ln(1)ln x x a =-+②
①-②得：1212ln(1)ln(1)x x x x -=---，即：
1212(1)(1)
1ln(1)ln(1)
x x x x ---=---
根据对数平均值不等式：
1212(1)(1)
1ln(1)ln(1)
x x x x ---<
=---
1212(1)(1)1ln(1)(1)0x x x x ∴--
12122ln ln(1)(1)2ln x x a x x a +=+--<
根据均值不等式：
12
ln 2
x x a +<
< ∵函数()f x 在(,ln )a -∞单调递减
∴0f <
题目5：已知函数()ln f x x x =与直线y m =交于1122(,),(,)A x y B x y 两点. 求证：122
10x x e <<
【解析】由11ln =x x m ，22ln =x x m ，可得：
11ln m x x =
①，22
ln m x x =② ①-②得：
211212121212
ln ln (
)ln ln ln ln ln ln ----=?=
-x x x x m
x x m x x x x x x ③ ①+②得：
211212
(ln ln )
ln ln m x x x x x x ++=
④
根据对数平均值不等式
121212
()2ln ln +->≠-x x m
x x x x 利用③④式可得：
121212
(ln ln )2ln ln ln ln m x x m
x x x x +->
由题于y m =与ln y x x =交于不同两点，易得出则0m < ∴上式简化为:
212ln()2ln x x e -?<-=
∴12210<<
x x e
极值点偏移问题的两种常见解法之比较
极值点偏移问题的两种常见解法之比较 浅谈部分导数压轴题的解法 在高考导数压轴题中，不断出现极值点偏移问题，那么，什么是极值点偏移问题？参考陈宽宏、邢友宝、赖淑明等老师的文章，极值点偏移问题的表述是：已知函数()y f x =是连续函数，在区间12(,)x x 内有且只有一个极值点0x ，且 12()()f x f x =，若极值点左右的“增减速度”相同，常常有极值点12 02 x x x += ，我们称这种状态为极值点不偏移；若极值点左右的“增减速度”不同，函数的图象不具有对称性，常常有极值点12 02 x x x +≠的情况，我们称这种状态为“极值点偏移”. 极值点偏移问题常用两种方法证明：一是函数的单调性，若函数()f x 在区间(,)a b 内单调递增，则对区间(,)a b 内的任意两个变量12x x 、， 1212()()f x f x x x . 二是利用“对数平均不等式”证明，什么是“对数平均”？什么又是“对数平均不等式”？ 两个正数a 和b 的对数平均数定义：,,(,)ln ln ,, a b a b L a b a b a a b -?≠? =-??=? 对数平均数与算术平均数、 (,)2 a b L a b +≤≤，（此式记为对数平均不等式） 下面给出对数平均不等式的证明： i ）当0a b =>时，显然等号成立 ii ）当0a b ≠>时，不妨设0a b >>， ln ln a b a b --， ln ln a b a b -<-， 只须证：ln a b < 1x =>，只须证：1 2ln ,1x x x x ≤-> 设1 ()2ln ,1f x x x x x =-+>，则222 21(1)()10x f x x x x -'=--=- <，所以()f x
极值点偏移问题
2016版导数分类提高 第八讲极值点偏移一(纯偏型) 课类：技巧与方法课型：体验式 主讲：江海桃 电话：微信：dh 一、学习目标 1了解极值偏移的两种类型 2?掌握两种极值偏移的处理方法 二、学习过程 【定义】什么是极值点偏移？ 我们知道二次函数f(X)的顶点就是极值点x o，若f(X)=C的两根的中 点为凶X2，贝侧好有西X2=X o，即极值点在两根的正中间，也 2 2 就是极值点没有偏移；而函数g(X)二的极值点X o=1刚好在两根的中 e 点X1 X2的左边，我们称之为极值点左偏。 2
【分类】 【分类一】按极值点的偏移来分 分为两类：左偏乞4>X0 ；右偏d^Vx。. 2 2 【分类二】按极值点偏移的处理方法分 分为两类：纯偏移，非纯偏移. 【类型一】纯偏移型 纯偏移的处理策略为：构造函数F(x) f(x) f(2X o x)或 是F(x) f(X。x) f(x° x). 例题1.已知函数f(x) xe x(x R). (1)求函数f(x)的单调区间和极值； (2)已知函数y=g(x)的图像与函数y=f(x)的图像关于直线x=1对称，证明：当x>1 时，f(x)>g(x);
(3)若X i X2，且f( X i)=f( X2),证明：X I+X2>2. 练习.已知函数f (X) ln X ax2(2 a)x . (1)讨论f(X)的单调性； (2)设 a 0，证明：当0 X -时，f (丄X) f (- X)； a a a (3)若函数y f(x)的图像与x轴交于A，B两点，线段AB中点的横 坐标为X o, 证明：f (X o)V 0. 例题2.已知函数f(x) - Xre x. 1 x (1)求函数f(x)的单调区间； (2)证明：若X i X2，且f( X i)=f( X2)时，则X i+X2<0. 练习.已知函数f(x) e x ax a,a R ,其中图像与x轴交于A( X i,0) , B (X2‘0),且 X-I x2. (i)求a的取值范围; (2)证明：f'C, X i X2)0 ； (3)设点C在函数y f(x)的图像上，且ABC为等腰直角三角形，记 t，求
导数的极值点偏移问题
导数极值点偏移问题 如上图所示，0x 为函数的极值点，0x 处对应的曲线的切线的斜率为0 极值点左移：0212x x x >+，22 1x x x += 处切线与x 轴不平行 极值点右移：0212x x x <+，2 2 1x x x +=处切线与x 轴不平行 由上面图像可知，函数的图像分为凸函数和凹函数。当函数图像为凸函数，且极值点左偏时，有()020' 21' =?? ? ??+x f x x f 。当函数图像为凹函数，且极值点左偏时，()020'21'=>?? ? ??+x f x x f ；当函数图像为凹函数，且极值点右移时，有()020'21'=-=，且03x x <，故()()13x f x f >，即 ()()1202x f x x f >-，故我们可以构造函数()()()1202x f x x f x F --=，只需要判断函数
()x F 的单调性，然后根据单调性判断函数的最小值，只要满足()0min >x F ，我们就可以得 到0212x x x <+。同理，我们可以得到凸函数极值点左移以及凹函数极值点左移或右移的构造函数。 做题步骤： （1）求极值点0x ； （2）构造函数0()()(2)F x f x f x x =--； （3）判断极值点左移还是右移； （4）若是左移，求导时研究极值点左侧区间，比较()f x 和0(2)f x x -大小，然后在极值点右侧区间利用()f x 单调性，得出结论；若是右移，求导时研究极值点右侧区间，比较()f x 和0(2)f x x -大小，然后在极值点左侧区间利用()f x 单调性，得出结论； （5）若极值点求不出来，由' 0()0f x =，使用替换的思想，简化计算步骤.
(完整版)导数压轴题分类(2)---极值点偏移问题(含答案)
导数压轴题分类（2）---极值点偏移问题 极值点偏移问题常见的处理方法有⑴构造一元差函数()()()x x f x f F --=02x 或者 ()()()x x f x x f x F --+=00。其中0x 为函数()x f y =的极值点。⑵利用对数平均不等式。 2 ln ln ab b a b a b a +< --< 。⑶变换主元等方法。 任务一、完成下面问题，总结极值点偏移问题的解决方法。 1．设函数2 2 ()ln ()f x a x x ax a R =-+-∈ （1）试讨论函数()f x 的单调性; （2）()f x m =有两解12,x x （12x x <）,求证：122x x a +>. 解析：（1）由2 2 ()ln f x a x x ax =-+-可知 2222(2)()()2a x ax a x a x a f x x a x x x --+-'=-+-== 因为函数()f x 的定义域为(0,)+∞，所以 ① 若0a >时，当(0,)x a ∈时，()0f x '<，函数()f x 单调递减， 当(,)x a ∈+∞时，()0f x '>，函数()f x 单调递增； ② 若0a =时，当()20f x x '=>在(0,)x ∈+∞内恒成立，函数()f x 单调递增； ③ 若0a <时，当(0,)2 a x ∈-时，()0f x '<，函数()f x 单调递减， 当(,)2 a x ∈- +∞时，()0f x '>，函数()f x 单调递增； （2）要证122x x a +>，只需证12 2 x x a +>， (x)g =22 2(x)2,g (x)20(x)(x)a a f x a g f x x '''=-+-=+>∴=则为增函数。 只需证：12 x x ( )()02 f f a +''>=，即证()2121221212221+0+0a x x a x x a x x x x a -+->?-+->++（*） 又2222 111222ln ,ln ,a x x ax m a x x ax m -+-=-+-=两式相减整理得：
专题1.1 初识极值点偏移(解析版)-20届高考压轴题讲义(解答题)
一、极值点偏移的含义 众所周知，函数)(x f 满足定义域内任意自变量x 都有)2()(x m f x f -=，则函数)(x f 关于直线m x =对称；可以理解为函数)(x f 在对称轴两侧，函数值变化快慢相同，且若)(x f 为单峰函数，则m x =必为)(x f 的极值点. 如二次函数)(x f 的顶点就是极值点0x ，若c x f =)(的两根的中点为221x x +，则刚好有0212 x x x =+，即极值点在两根的正中间，也就是极值点没有偏移. 若相等变为不等，则为极值点偏移：若单峰函数)(x f 的极值点为m ，且函数)(x f 满足定义域内m x =左侧的任意自变量x 都有)2()(x m f x f ->或)2()(x m f x f -<，则函数)(x f 极值点m 左右侧变化快慢不同. 故单峰函数)(x f 定义域内任意不同的实数21,x x 满足)()(21x f x f =，则 2 21x x +与极值点m 必有确定的大小关系： 若221x x m +<，则称为极值点左偏；若2 21x x m +>，则称为极值点右偏. 如函数x e x x g =)(的极值点10=x 刚好在方程c x g =)(的两根中点221x x +的左边，我们称之为极值点左偏. 二、极值点偏移问题的一般题设形式：
1. 若函数)(x f 存在两个零点21,x x 且21x x ≠，求证：0212x x x >+（0x 为函数)(x f 的极值点）； 2. 若函数)(x f 中存在21,x x 且21x x ≠满足)()(21x f x f =，求证：0212x x x >+（0x 为函数)(x f 的极值点）； 3. 若函数)(x f 存在两个零点21,x x 且21x x ≠，令2210x x x += ，求证：0)('0>x f ； 4. 若函数)(x f 中存在21,x x 且21x x ≠满足)()(21x f x f =，令2210x x x +=，求证：0)('0>x f . 三、问题初现，形神合聚 ★函数x ae x x x f ++-=12)(2有两极值点21,x x ，且21x x <. 证明：421>+x x . 所以)2()2(x h x h -<+， 所以)4()]2(2[)]2(2[)()(22221x h x h x h x h x h -=--<-+==， 因为21
高中数学压轴题系列——导数专题——极值点偏移
高中数学压轴题系列——导数专题——极值点偏移 1.（2010?天津）已知函数f（x）=xe﹣x（x∈R） （Ⅰ）求函数f（x）的单调区间和极值； （Ⅱ）已知函数y=g（x）的图象与函数y=f（x）的图象关于直线x=1对称，证明：当x＞1时，f（x）＞g（x）； （Ⅲ）如果x1≠x2，且f（x1）=f（x2），证明x1+x2＞2． 【分析】（1）先求导求出导数为零的值，通过列表判定导数符号，确定出单调性和极值． （2）先利用对称性求出g（x）的解析式，比较两个函数的大小可将它们作差，研究新函数的最小值，使最小值大于零，不等式即可证得． （3）通过题意分析先讨论，可设x1＜1，x2＞1，利用第二问的结论可得f（x2）＞g（x2），根据对称性将g（x2）换成f（2﹣x2），再利用单调性根据函数值的大小得到自变量的大小关系． 【解答】解：（Ⅰ）解：f′（x）=（1﹣x）e﹣x令f′（x）=0，解得x=1 当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如下表 所以f（x）在（﹣∞，1）内是增函数，在（1，+∞）内是减函数． 函数f（x）在x=1处取得极大值f（1）且f（1）=． （Ⅱ）证明：由题意可知g（x）=f（2﹣x），得g（x）=（2﹣x）e x﹣2 令F（x）=f（x）﹣g（x），即F（x）=xe﹣x+（x﹣2）e x﹣2 于是F'（x）=（x﹣1）（e2x﹣2﹣1）e﹣x 当x＞1时，2x﹣2＞0，从而e2x﹣2﹣1＞0，又e﹣x＞0，所以F′（x）＞0， 从而函数F（x）在[1，+∞）是增函数． 又F（1）=e﹣1﹣e﹣1=0，所以x＞1时，有F（x）＞F（1）=0，即f（x）＞g（x）． （Ⅲ）证明：（1）若（x1﹣1）（x2﹣1）=0，由（I）及f（x1）=f（x2），则x1=x2=1．与x1≠x2矛盾．（2）若（x1﹣1）（x2﹣1）＞0，由（I）及f（x1）=f（x2），得x1=x2．与x1≠x2矛盾． 根据（1）（2）得（x1﹣1）（x2﹣1）＜0，不妨设x1＜1，x2＞1．由（Ⅱ）可知，f（x2）＞g（x2）， 则g（x2）=f（2﹣x2），所以f（x2）＞f（2﹣x2），从而f（x1）＞f（2﹣x2）． 因为x2＞1，所以2﹣x2＜1，又由（Ⅰ）可知函数f（x）在区间（﹣∞，1）内是增函数， 所以x1＞2﹣x2，即x1+x2＞2．
导数之极值点的偏移
导数之极值点的偏移 基础内容讲解： 一、极值点偏移的含义 单峰函数()x f 顶点的横坐标0x 就是极值点。如果对定义域内的任意自变量x 都有()()x x f x f －＝02成立。说明函数()x f 的图像关于直线0x x ＝对称，故在0x 两侧()x f 的图像的升降走势相同。若()x f ＝a 存在两个根1x 与2x ，则有2 2 10x x x ＋＝成立，此时极值点不偏移。反之极值点偏移。如果2210x x x ＋＜ ，则极值点左偏；如果2 210x x x ＋＞，则极值点右偏。 二、极值点偏移的判定定理 对于可导函数()x f y ＝在区间D 上只有一个极值点0x ，方程()0＝x f 在区间D 上的解分别为21x x 、。其中21x x ＜ （1）、若0221＞＋?? ? ??'x x f ，当22 10x x x ＋＜时，极小值点左偏，当2210x x x ＋＞时，极大值点右偏； （2）若0221＞＋??? ??'x x f ，当2210x x x ＋＜时，极大值点左偏，当 2210x x x ＋＞时，极小值点右偏； 三、极值点偏移的用处
函数存在两个零点时关于零点间不等式的证明。 四、极值点偏移的用法 例一、已知函数()x x x f ln ＝的图像与直线m y ＝交于不同的两个点 ()11y x A ，，()22y x B ，。求证：2211 e x x ＜ 变式练习一、已知函数()x x f ln ＝和()ax x g ＝，若存在两个不相同的实数21x x 、满足()()11x g x f ＝，()()22x g x f ＝。求证： （1）、e x x 221＞＋ （2）、221e x x ＞ 例二、已知()x x x f ln －＝，若存在两个不相同的正实数21x x 、满足 ()()21x f x f ＝。求证：()()021＜＋x f x f '' 变式练习二、已知函数()x x x f ln 2＝的图像与直线m y ＝交于不同的两个 点()11y x A ，，()22y x B ，。求证：e x x 2 22 21＞＋ 变式练习三、已知，＞＞0a b 且b ln ln －＝－a b a a b 。 求证：（1）、1＞－＋ab b a （2）、2＞＋b a （3）、211 ＞＋b a 变式练习四、已知函数()ax x x f －＝ln 2，若21x x 、（21x x ＜）是()x f 的两个零点，求证：032x 21＜＋?? ? ??'x f 例三、已知函数()x x x f －＝ln ，设021＞＞x x ，求证： ()()12 1212 2 2 11 ＜－－－＋x x x f x f x x x 变式练习五、已知函数()x mx x x x f －－＝22 1 ln 有两个极值点21x x 、（21x x ＜），求证：221e x x ＞
导数压轴题之极值点偏移归纳总结
极值点偏移问题 一、问题指引 极值点偏移的含义 众所周知，函数)(x f 满足定义域内任意自变量x 都有)2()(x m f x f -=，则函数)(x f 关于直线m x =对称；可以理解为函数)(x f 在对称轴两侧，函数值变化快慢相同，且若)(x f 为单峰函数，则m x =必为)(x f 的极值点. 如二次函数)(x f 的顶点就是极值点0x ，若c x f =)(的两根的中点为 2 2 1x x +，则刚好有02 12 x x x =+，即极值点在两根的正中间，也就是极值点没有偏移. 若相等变为不等，则为极值点偏移：若单峰函数)(x f 的极值点为m ，且函数)(x f 满足定义域内m x =左侧的任意自变量x 都有)2()(x m f x f ->或)2()(x m f x f -<，则函数)(x f 极值点m 左右侧变化快慢不同. 故单峰函数)(x f 定义域内任意不同的实数21,x x 满足)()(21x f x f =，则2 2 1x x +与极值点m 必有确定的大小关系： 若221x x m +< ，则称为极值点左偏；若2 2 1x x m +>，则称为极值点右偏. 如函数x e x x g = )(的极值点10 =x 刚好在方程c x g =)(的两根中点2 2 1x x +的左边，我们称之为极值点左偏. 以函数函数2x y =为例，极值点为0，如果直线1=y 与它的图像相交，交点的横坐标为1-和1，我
们简单计算： 02 1 1=+-.也就是说极值点刚好位于两个交点的中点处，此时我们称极值点相对中点不偏移. 当然，更多的情况是极值点相对中点偏移，下面的图形能形象地解释这一点. 二、极值点偏移问题的一般题设形式： 1. 若函数)(x f 存在两个零点21,x x 且21x x ≠，求证：0212x x x >+（0x 为函数)(x f 的极值点）； 2. 若函数)(x f 中存在21,x x 且21x x ≠满足)()(21x f x f =，求证：0212x x x >+（0x 为函数)(x f 的极值点）； 3. 若函数)(x f 存在两个零点21,x x 且21x x ≠，令2 2 10x x x += ，求证：0)('0>x f ； 4. 若函数)(x f 中存在21,x x 且21x x ≠满足)()(21x f x f =，令2 2 10x x x +=，求证：0)('0>x f . 二、方法详解 (一)基本解法之对称化构造 例1是这样一个极值点偏移问题：对于函数()e x f x x -=，已知()()12f x f x =，12x x ≠，证明122x x +>． 再次审视解题过程，发现以下三个关键点： （1）1x ，2x 的范围()1201x x <<<； （2）不等式()()()21f x f x x >->；
导数----极值点偏移
导数---极值点偏移 做题步骤： （1）求极值点0x ； （2）构造函数0()()(2)F x f x f x x =--； （3）判断极值点左移还是右移； （4）若是左移，求导时研究极值点左侧区间，比较()f x 和0(2)f x x -大小，然后在极值点右侧区间利用()f x 单调性，得出结论；若是右移，求导时研究极值点右侧区间，比较()f x 和0(2)f x x -大小，然后在极值点左侧区间利用()f x 单调性，得出结论； （5）若极值点求不出来，由'0()0f x =，使用替换的思想，简化计算步骤. 1.已知函数()2ln f x x ax =-，其中a R ∈ （1）若函数()f x 有两个零点，求a 的取值范围； （2）若函数()f x 有极大值为12 -，且方程()f x m =的两根为12,x x ，且12x x <，证明：124x x a +>. 2.已知函数()()x f x e ax a a R =-+∈，其中e 为自然对数的底数. （1）讨论函数()y f x =的单调性； （2）若函数()f x 有两个零点12,x x ，证明：122ln x x a +<. 3.设函数()()22ln f x a x x ax a R =-+-∈. （1）试讨论函数()f x 的单调性；
（2）如果0a >且关于x 的方程()f x m =有两解1x ，2x （12x x <），证明122x x a +>. 4. 已知函数()2ln (0).f x ax x x a =+-> (Ⅰ)求()f x 的单调区间； （Ⅱ）设()f x 极值点为0x ，若存在()12,0,x x ∈+∞，且12x x ≠，使()()12f x f x =，求证：1202.x x x +> 分析：极值点偏移，+替换'22 00000()0,210,21f x ax x ax x =+-==- 5.设函数()()22ln f x a x x ax a R =-+-∈. （1）试讨论函数()f x 的单调性； （2）设()()22ln x x a a x ?=+-，记()()()h x f x x ?=+，当0a >时，若方程()()h x m m R =∈有两个不相等的实根1x ，2x ，证明12'02x x h +?? > ???. 6.设函数()()21 1ln .2f x x a x a x =--- （Ⅰ）讨论函数()f x 的单调性； （Ⅱ）若()f x b =有两个不相等的实数根12,x x ，求证120.2x x f +?? > ???' 7.设函数()2ln f x x a x =-，()g x =()2a x -. （Ⅰ）求函数()f x 的单调区间； （Ⅱ）若函数()()()F x f x g x =-有两个零点12,x x . (1)求满足条件的最小正整数a 的值； (2)求证：1202x x F +?? > ???'.
导数-极值点偏移问题
1.已知f(x)=1?x 1+x2 ·e x （1）f(x)的单调区间。 （2）证明：当f(x1)=f(x2)(x1=x2)时。x1+x1<0. 2.设函数f(x)=ln x?cx(c∈R) （1）讨论函数f(x)的单调性。 （2）若f(x)≤x2恒成立，求c的取值范围。 （3）设f(x)有两个零点x1,x2,求证x1·x2>e2；求证x1+x2>2e.
3.已知：0
5.（2016年课标21）已知函数f(x)=(x?2)e x+a(x?1)2有两个零点。（1）求a的取值范围。 （2）设x1,x2是f(x)的两个零点。证明：x1+x2<2。 6.已知函数f(x)=ln x?ax2+(2?a)x. （1）讨论f(x)的单调性。 （2）设a>0,证明：当0
7.设函数f(x)=x2?(a?2)x?a ln x. （1）求函数f(x)的单调区间。 （2）若函数有两个零点，求满足条件的最小正整数a的值。 （3）若方程f(x)=c.有两个不等实根x1,x2。求证：f′(x1+x2 2 )>0。 8.已知函数f(x)=xe?x(x∈R),如果x1=x2且f(x1)=f(x2).求证：x1+x2>2.
3.不含参数的极值点偏移问题
3不含参数的极值点偏移问题 函数的极值点偏移问题，其实是导数应用问题，呈现的形式往往非常简洁，涉及函数的双零点，是一个多元数学问题，不管待证的是两个变量的不等式，还是导函数的值的不等式，解题的策略都是把双变量的等式或不等式转化为一元变量问题求解，途径都是构造一元函数 例1 :已知函数f(X)=xe~(x 亡R)，如果X, H X2，且f (xj = f (x2). 证明：X i + X2 :>2. 【鮮祈】法一（判定定理）；= 易得代◎在（7”1＞上单週遡S,在Ug上单调递羅, 工一> —00 时J (x} —?—0O f f (0) = 0 > X —>-KO0^ f f(X)—> 0 t 宙 数在"1处取得根天値/（I），且Ai）=-.^aa所示一 e Vi 由/佃再*Xj,不妨设码弋在，贝蛇有Ou ＜1 c巧， 构造函数F(x) = f(1+x) -f(1-x),x<^(0,1］， 则F'(x) =f'(1+x)-f'(1-x) =^(e2x -1)>0 , e 所以 F(x)在x<^(0,1］上单调递增，F(x) >F(0) = 0, 也即f(1+x) Af(1-X)对(0,1］恒成立. V X1 <1
法2：由f (Xi) = f (X2)，得Xi^^^X2^^2，化简得e X2」=竺川，不妨设X2〉X i，由法一知，0 c X i c i < X2 . 令t =X2 —X i，贝y t :>0,X2 =t +x i，代入式，得e t t +X I X i 反解出洛=丄- e -i 贝y x i +X2 =2x i +t 2t =一+t，故要证X i +X2 :>2，e -i 2t 即证羊二+t>2 , e t -i 又因为e t -^0，等价于证明：2t +(t —2)(e —i) A O HI, 构造函数G(t) =2t +(t -2)(e -1),(t A O)，则G'(t) =(t —1)￡ +lG'(t) “e t >0 , 故G(t)在H^(O^)上单调递增，G'(t) >G'(0) =0, 从而G(t)也在t<：(0，邑)上单调递增，G(t) A G(0) =0 , 即证：②式成立，也即原不等式Xi+X2>2成立
极值点偏移问题的两种常见解法之比较
极值点偏移问题的两种常见解法之比较 浅谈部分导数压轴题的解法 在高考导数压轴题中，不断出现极值点偏移问题，那么，什么是极值点偏移 问题？参考陈宽宏、邢友宝、赖淑明等老师的文章，极值点偏移问题的表述是： 已知函数y = f(x)是连续函数，在区间(捲卞2)内有且只有一个极值点 x 0，且 f(xj = f (X 2)，若极值 点左右的 增减速度”相同，常常有极值点x o 二为」，我 2 们称这种状态为极值点不偏移；若极值点左右的增减速度”不同，函数的图象不 具有对称性，常常有极值点的情况，我们称这种状态为 极值点偏移” 2 极值点偏移问题常用两种方法证明：一是 函数的单调性，若函数f(x)在区 间(a,b)内单调递增，则对区间(a,b)内的任意两个变量x i 、X 2 , f(xj ::： f(X 2)= X i ::： X 2;若函数f (x)在区间(a,b)内单调递减，则对区间(a,b) 内 的任意两个变量x 1> x 2， f (x 1p: f (x 2^ > x 2.二是利用 对数平均不等式”证 明，什么是对数平均”什么又是对数平均不等式” a -b L(a, b) = In a -1 n b a,a =b, 对数平均数与算术平均数、几何平均数的大小关系是： 85^2， (此式记为对数平均不等式) 下面给出对数平均不等式的 证明: i) 当a 二b 0时，显然等号成立 ii) 当a = b 0时，不妨设a b 0， ①先证..ab ，要证Jab ，只须证：In 空「 a 一” b In aTnb In aTnb b Yb V a / 1 2ln x 二 x ,x 1 x 1 ”21 设 f(x) =2ln x -x ,x 1，贝U f (x) 1 2 两个正数a 和b 的对数平均数定义: (x-1)1 2 X 2 0，所以 f (x)
极值点偏移问题(最新整理)
极值点偏移问题总结 一、判定方法 1、极值点偏移的定义 对于函数在区间内只有一个极值点，方程的解分别为 )(x f y =),(b a 0x 0)(=x f ，且， 21x x 、b x x a <<<21（1）若 ，则称函数在区间上极值点偏移；02 12x x x ≠+)(x f y =),(21x x 0x （2） 若，则函数在区间上极值点左偏，简称极值点 0212 x x x >+)(x f y =),(21x x 0x 左偏； 0x （3）若，则函数在区间上极值点右偏，简称极值点02 12 x x x <+)(x f y =),(21x x 0x 0 x 右偏。 2、极值点偏移的判定定理 判定定理1 对于可导函数，在区间上只有一个极大（小）值点，方)(x f y =),(b a 0x 程的解分别为，且， 0)(=x f 21x x 、b x x a <<<21（1）若， 则，即函数在区间上极大（小）0)2( '21>+x x f 021)(2x x x ><+)(x f y =),(21x x 值点右（左）偏； 0x （2）0若， 则，即函数在区间上极大（小）0)2( '21<+x x f 021)(2 x x x <>+)(x f y =),(21x x 值点左（右）偏。 0x 证明：（1）因为可导函数，在区间上只有一个极大（小）值点，)(x f y =),(b a 0x 则函数的单调递增（减）区间为，单调递减（增）区间为，又 )(x f y =),(0x a ),(0b x ，有 由于，故，所以b x x a <<<21),(221b a x x ∈+02('21>+x x f ),(2 021x a x x ∈+，即函数极大（小）值点右（左）偏。02 1)(2 x x x ><+0x
导数的极值点偏移问题
导数极值点偏移问题 如上图所示，x0 为函数的极值点，x0 处对应的曲线的切线的斜率为0 极值点左移：x1 x2 2x0，x x1 x2处切线与x 轴不平行 1 2 0 2 极值点右移：x1 x2 2x0，x x1 x2处切线与x 轴不平行 2 由上面图像可知，函数的图像分为凸函数和凹函数。当函数图像为凸函数，且极 值点左偏时，' x x ' 有f 1 2 f x00；当函数图像为凸函数，且极值点右偏时，有 20 0 。当函数图像为凹函数，且极值点左偏时， f x1 x2 f x 2 0 ；当函数图像为凹函数，且极值点右移 f ' x1 x2 f ' x 时，有 2 0。 f' x1 x2 f ' x 2 如图所示，上图的函数图像为凸函数，且极值点右移，x1和x2 处对应的函数值相等，我们
可以作x2关于x0的对称点x3，则x3 2x0 x2 x1，且x3 x0 ，故f x3 f x1 ，即 f 2x0 x2 f x1 ，故我们可以构造函数F x f 2x0 x2 f x1 ，只需要判断函数 0 ，我们 F x 的单调性，然后根据单调性判断函数的最小值，只要满足F x min 就可以得 到x1 x2 2x0 。同理，我们可以得到凸函数极值点左移以及凹函数极值点左移或右移的构造函数。 做题步骤： (1)求极值点x0 ； (2)构造函数F(x) f (x) f(2x0 x)； (3)判断极值点左移还是右移； (4)若是左移，求导时研究极值点左侧区间，比较f(x) 和f(2x0 x)大小，然后在极值 点右侧区间利用f ( x)单调性，得出结论；若是右移，求导时研究极值点右侧区间，比较f (x) 和f (2x0 x)大小，然后在极值点左侧区间利用f (x)单调性，得出结论； (5)若极值点求不出来，由f '(x0) 0 ，使用替换的思想，简化计算步骤 .
导数处理极值点偏移问题
第二讲 导数应用-------极值点偏移问题的处理策略及探究 所谓极值点偏移问题，是指对于单极值函数，由于函数极值点左右的增减速度不同，使得函数图像 没有对称性。若函数()f x 在0x x =处取得极值，且函数()y f x =与直线y b =交于1(,)A x b ,2(,)B x b 两点，则AB 的中点为12( ,)2x x M b +，而往往1202 x x x +≠.如下图所示. 极值点没有偏移 此类问题在近几年高考及各种模考，作为热点以压轴题的形式给出，很多学生对待此类问题经常是束手无策。而且此类问题变化多样，有些题型是不含参数的，而更多的题型又是含有参数的。不含参数的如何解决？含参数的又该如何解决，参数如何来处理？是否有更方便的方法来解决？其实，处理的手段有很多，方法也就有很多，我们先来看看此类问题的基本特征，再从几个典型问题来逐一探索！ 【问题特征】 2016年全国I 卷的第21题是一道导数应用问题，呈现的形式非常简洁，考查了函数的双零点的问题，也是典型的极值点偏移的问题, 是考生实力与潜力的综合演练场．虽然大多学生理解其题意，但对于极值点偏移的本质理解的深度欠佳，面对此类问题大多感到“似懂非懂”或“云里雾里”．
一、试题再现及解析 （一）题目 （2016年全国I 卷）已知函数()()()2 21x f x x e a x =-+-有两个零点． (1)求a 的取值范围； (2)设12,x x 是()f x 的两个零点，证明：122x x +<． 本题第（1）小题含有参数的函数()f x 有两个零点，自然想到研究其单调性，结合零点存在性定理求得a 的取值范围是()0,+∞．第（2）小题是典型的极值点偏移的问题，如何证明呢？ （二）官方解析 (2)不妨设12x x <，由（1）知，()()()122,1,1,,2,1x x x ∈-∞∈+∞-∈-∞，()f x 在(),1-∞上单调递减，所以122x x +<等价于()()122f x f x >-，即()()222f x f x >-． 由于()()2 2222221x f x x e a x --=-+-，而()()()22 22221x f x x e a x =-+-， 所以()()()2 22222222x x f x f x x e x e ---=---．令()()22x x g x xe x e -=---， 则()()() 21x x g x x e e -'=--，所以当1x >时，()0g x '<，而()10g =， 故当1x >时，()()10g x g <=．从而()()2220g x f x =-<，故122x x +<． 二、对解析的分析 本问待证是两个变量的不等式，官方解析的变形是122x x <-，借助于函数的特性及其单调性，构造以2x 为主元的函数．由于两个变量的地位相同，当然也可调整主元变形为212x x <-，同理构造以1x 为主元的函数来处理．此法与官方解析正是极值点偏移问题的处理的通法． 不妨设12x x <，由（1）知，()()()121,1,1,,21,x x x ∈-∞∈+∞-∈+∞，()f x 在()1,+∞上单调递增，所以122x x +<等价于()()212f x f x <-，即()()1120f x f x --<． 令()()()()()2221x x u x f x f x xe x e x -=--=--<，则()()()210x x u x x e e -'=-->， 所以()()10u x u <=，即()()()21f x f x x <-<， 所以()()()1212f x f x f x =<-；所以212x x <-，即122x x +<.
导数极值点偏移的相关问题分析
龙源期刊网 https://www.wendangku.net/doc/3b3531556.html, 导数极值点偏移的相关问题分析 作者：张德勇 来源：《理科爱好者(教育教学版)》2019年第04期 【摘要】随着年级的递增，学生所接受到知识的难度也在逐渐增长。在以往的数学教学中，函数的讲解仅仅围绕着未知数的个数以及相关图形走向去开展。但是函数的难度不仅限于此，随着导数的引入，函数的内容和角度逐渐的丰满起来。不过，根据笔者多年的教学经验，导数的一些基础概念还是比较简单的，唯一会出现问题的地方在极值的求取这方 面[1]。随着导数学习的不断深入，极值的求取不仅仅只是简单的数字替换和图形结合的 问题，还会进一步拓展难度，增加极值的偏移问题。有难度就一定有问题的出现，根据历年的教学情况来看，学生对于极值的偏移往往会抓不住重点，总结不出完善的解决方法，所以本文详细分析导数极值偏移的相关问题。 【关键词】极值点偏移;概念;分类;处理 【中图分类号】G633.6; 【文献标识码】A; 【文章编号】1671-8437（2019）22-0101-02 在历年的考试中，导数的偏移问题往往会作为压轴问题出现。因此，在日常的数学讲授过程，导数极值点偏移问题的讲解往往会占用大量的时间。究其原因在于学生对于导数极值点偏移的概念不熟、没有完整的分类以及没有完善的解题步骤。所以接下来，本文从这三个方面去进一步讲解相关的知识。 1; ;极值点偏移的概念 对于极值点的偏移的讲解，一定要从极值的概念说起。在函数不断推广的过程中，会逐渐的把公式和图形结合起来，而相对应的在函数图形凸起的部位会出现极值。其书上的大致定义为：函数f（x）在x0附近的所有点都有f（x）
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