人教A版高中数学必修一练习：习题课5对数函数与幂函数

习题课(五) 对数函数与幂函数

(时间：45分钟 满分：75分)

一、选择题(每小题5分，共30分)

1．在同一直角坐标系中，函数f (x )＝x a (x ≥0)，g (x )＝log a x 的图象可能是( )

解析：若a ＞1，则函数g (x )＝log a x 的图象过点(1,0)，且单调递增，但当x ∈[0,1)时，y ＝x a 的图象应在直线y ＝x 的下方，故C 选项错误；若0＜a ＜1，则函数g (x )＝log a x 的图象过点(1,0)，且单调递减，函数y ＝x a (x ≥0)的图象应单调递增，且当x ∈[0,1)时图象应在直线y ＝x 的上方，因此A ，B 均错，只有D 项正确．

答案：D

2．若函数y ＝f (x )的定义域为[1,2]，则y ＝f (log 12

x )的定义域为( )

A ．[1,4]

B ．[4,16]

C ．[1,2]

D ．????14，12

解析：由1≤log 12

x ≤2，

解得14≤x ≤1

2.故选D.

答案：D

3．已知a ＝log 32，那么log 38－2log 36用a 表示为( ) A ．a －2

B ．5a －2

C ．3a －(1＋a )2

D ．3a －a 2－1

解析：log 38－2log 36＝log 323－2log 3(2×3)

＝3log 3 2－2log 3 2－2log 3 3＝log 3 2－2＝a －2. 答案：A

4．设函数f (x )＝log a |x |在(－∞，0)上单调递增，则f (a ＋1)与f (2)的大小关系是( ) A ．f (a ＋1)＞f (2) B ．f (a ＋1)＜f (2) C ．f (a ＋1)＝f (2)

D ．不能确定

解析：由已知得0＜a ＜1，所以1＜a ＋1＜2，根据函数f (x )为偶函数，可以判断f (x )在(0，＋∞)上单调递减，所以f (a ＋1)＞f (2)．

答案：A

5．已知函数f (x )＝log 0.5(x 2－ax ＋4a )在[2，＋∞)上单调递减，则a 的取值范围是( ) A ．(－∞，4] B ．[4，＋∞) C ．[－2,4]

D ．(－2,4]

解析：令u ＝x 2－ax ＋4a .

∵y ＝log 0.5u 在(0，＋∞)上为单调减函数，

∴u ＝x 2－ax ＋4a 在[2，＋∞)上是单调增函数且u ＞0， ∴?????

a 2≤2，22－2a ＋4a ＞0，∴－2＜a ≤4，故选D.

答案：D

6．函数y ＝f (x )的图象如图所示，则函数y ＝log 12

f (x )的图象大致是( )

解析：由函数y ＝f (x )的图象知，当x ∈(0,2)时，f (x )≥1，所以log 1

2f (x )≤0.又函数f (x )在

(0,1)上是减函数，在(1,2)上是增函数，所以y ＝log 1

2f (x )在(0,1)上是增函数，在(1,2)上是减函

数．结合各选项知，选C.

答案：C

二、填空题(每小题5分，共20分) 7．若函数f (x )＝(2m ＋3)x m

2－3

是幂函数，则m 的值为______．

解析：本题主要考查幂函数的概念．由幂函数的定义可得2m ＋3＝1，即m ＝－1. 答案：－1

8．方程ln(3×2x －2)＝log 23＋log 21

3

的解为______．

解析：本题主要考查对数的运算．因为ln(3×2x －2)＝log 23＋log 21

3＝log 2????3×13＝log 21＝0，所以3×2x －2＝1，解得x ＝0.

答案：x ＝0

9．函数f (x )＝log 18

(x －3)的单调递减区间为______．

解析：本题主要考查复合函数的单调性．首先令x －3＞0，得x ＞3，即函数的定义域为(3，＋∞)．又已知函数的底数为1

8，而g (x )＝x －3在R 上单调递增，根据复合函数的单调性，

可知函数f (x )＝log 18

(x －3)的单调递减区间为(3，＋∞)．

答案：(3，＋∞)

10．若关于x 的方程|log 3x |＝a (a ∈R )有2个解，则实数a 的取值范围是________． 解析：设函数y 1＝|log 3x |，y 2＝a ，

则y 1＝????

?

log 3x ，x ≥1，－log 3

x ，0＜x ＜1，其图象为

∵方程|log 3x |＝a 有2个解， ∴函数y 1与y 2的图象有2个交点． 由图象可知，此时a ＞0. 答案：(0，＋∞) 三、解答题

11．(本小题满分12分)已知幂函数f (x )＝(m 2－m －1)·x －5m －3

在(0，＋∞)上是增函数，又

g (x )＝log a

1－mx

x －1

(a ＞1)． (1)求函数g (x )的解析式．

(2)当x ∈(t ，a )时，g (x )的值域为(1，＋∞)，试求a 与t 的值． 解：(1)因为f (x )是幂函数，且在(0，＋∞)上是增函数，

所以?

????

m 2－m －1＝1，－5m －3＞0，解得m ＝－1，

所以g (x )＝log a x ＋1x －1

.

(2)由

x ＋1

x －1

＞0可解得x ＜－1或x ＞1， 所以g (x )的定义域是(－∞，－1)∪(1，＋∞)． 又a ＞1，x ∈(t ，a )，可得t ≥1，

设x 1，x 2∈(1，＋∞)，且x 1＜x 2，于是x 2－x 1＞0，x 1－1＞0，x 2－1＞0， 所以x 1＋1x 1－1－x 2＋1x 2－1＝2(x 2－x 1)(x 1－1)(x 2－1)＞0，

所以x 1＋1x 1－1＞x 2＋1x 2－1

.

由a ＞1，有log a x 1＋1x 1－1＞log a x 2＋1

x 2－1，

即g (x )在(1，＋∞)上是减函数． 又g (x )的值域是(1，＋∞)，

所以?

????

t ＝1，g (a )＝1，得g (a )＝log a a ＋1a －1＝1，可化为a ＋1

a －1＝a ，

解得a ＝1±2，因为a ＞1，所以a ＝1＋2， 综上，a ＝1＋2，t ＝1.

12．(本小题满分13分)已知f (x )为偶函数，且x ＞0时，f (x )＝1a －1

x (a ＞0)．

(1)判断函数f (x )在(0，＋∞)上的单调性，并说明理由； (2)若f (x )在????12，2上的值域是????1

2，2，求a 的值； (3)求x ∈(－∞，0)时，函数f (x )的解析式． 解：(1)函数f (x )在(0，＋∞)上是增函数． 理由如下：任取x 1，x 2∈(0，＋∞)，设x 1＜x 2，则

f (x 1)－f (x 2)＝(1a －1x 1)－(1a －1x 2)＝1x 2－1x 1＝x 1－x 2

x 1x 2，∵x 2＞x 1＞0，

∴x 1－x 2＜0，x 1x 2＞0， ∴f (x 1)－f (x 2)＜0. 即f (x 1)＜f (x 2)，

∴f (x )在(0，＋∞)上为增函数．

(2)由(1)知函数f (x )在区间[1

2，2]上是增函数，

又f (x )在[12，2]上的值域为[1

2，2]，

∴f (12)＝1

2

，f (2)＝2，

即???

1a －2＝12

1a －12＝2

，解得a ＝2

5

.

(3)设x ∈(－∞，0)，则－x ∈(0，＋∞)， ∴f (－x )＝1a －1－x ＝1a ＋1

x .

又∵f (x )为偶函数， ∴f (x )＝f (－x )＝1a ＋1

x

.