高中数学奥林匹克基础教程1.21

高中数学奥林匹克基础教程

江苏沛县孙统权

前言

2007年7月15日至24日，江苏省高中数学奥林匹克夏令营在靖江举办，由省数学学会组织专家学者亲自授课。编者作为夏令营中的受训教练，亲身体会到与会专家博大精深的知识厚度和深入浅出的教学风格，并做了课堂笔记，对相关教学资料进行了整理。夏令营结束后，从自身实践出发，编成本教程。

教程共8讲，每讲4学时，共32学时。指导思想为“领略奥赛风采，拓展数学视野，训练数学思维，启迪数学方法”，内容选取原则为“参照竞赛数学知识体系，根据学生接受能力，与当前中学数学教学内容协调互补”。

对本教程建议采用“探索-讨论-启发-再探索-直至完成”的教学模式，使学生思维密度大，所受局限少，能充分的体会数学智慧和创造的乐趣，较直接的感受竞赛数学。在各知识点章节讲授时，宜通过具体解题展示数学体系，淡化数学术语而突出数学思想，选择、补充题目时注意结合实际情况，减少复杂度，使学生负担轻，进步感强，在领略数学美的同时达到训练目的。

本教程参考了2007年省夏令营专家的授课内容，使用了部分原题。同时，参考了华师大版《数学奥林匹克小丛书》，安徽少儿版《初中应用数学知识竞赛辅导训练》和其他若干书籍。在此予以感谢，并在补注中注明各题的直接来源。

本教程可以作为高中奥林匹克训练的起始教材，或供学生选修的一个模块。将它整理出来，意在抛砖引玉，为我们江苏乃至全国的数学奥林匹克的发展作一点贡献。虽力求严谨，由于个人能力经验所限，其中错误和不完善之处仍在所不少，恳请广大专家、教练、数学奥林匹克爱好者不吝指教。

本版版本号1.2。编者电子信箱：suntrain@https://www.wendangku.net/doc/353568285.html,。

第一讲赛题选例

一、课堂讨论：

1证明：任何四面体上都存在一个顶点，可以用由它发出的三条棱组成三角形。2用不在形内相交的对角线将正奇数边形划分为一系列三角形。证明：其中有且只有一个锐角三角形。

3证明：可以找到4个绝对值大于10000的整数a,b,c,d，使

11111

+++=。

a b c d abcd

4能否用两个边长小于1的正三角形盖住一个边长等于1的正三角形？

5能否用两个半径小于1的圆盖住一个半径等于1的圆？

6a>0，为了能盖住一个边长为4a的正方形，最多需要几个半径为3a的圆？

7数学老师让课代表走出教室，接着让学生随意在黑板上写上十几个数字，然后老师擦去一个数字，让课代表进来。结果发现课代表居然能准确地猜出被擦去的数字，且屡试不爽。请问这里面可能有什么秘诀？

二、课后思考：

1对于整数n>3，我们用n?表示所有小于n的素数的乘积。解方程：n?=2n+16 2在黑板上写有100个分数，它们的分子刚好为整数1-100各出现一次，分母也是这样。这100个分数之和可化为分母为2的最简分数。求证：可以交换某两个分数的分子，使这100个分数之和可化为分母为奇数的最简分数。310个人聚会，每个人在其余与会者中都至少有5个熟人。证明：可以从他们中叫出4个人围成一圈，使每两个邻座都是熟人。

4平面上有25个给定点，其中任何3点中都有两个点的距离不大于1。证明：可以用1个单位圆至少盖住其中13个点。

5在凸20边形的每个定点上都写有两个不同的数。证明：可以从每个顶点上划去一个数，使得任意两个相邻顶点上剩下的数都互不相同。

6 将边长为n的正三角形的每边n等分，过每个分点

分别作另两边的平行线。得到若干个单位正三角

形。设f(n)是从最上面的单位正三角形到最下面一

行中间的单位正三角形的通路的数目，求f(2005)

的值。（05年加拿大奥林匹克）

（通路是指可以从一个单位正三角形走向另一个

与其有公共边，且与其在同一行或在其所在行的下

一行。同时，每个单位正三角形不能经过2次或2

次以上。如图是n=5的一条通路的例子。）

一、上一讲思考题讨论

二、组合问题讨论：

●在数学竞赛中，组合题泛指非常规数学问题。这类题目往往只是涉及常识性

知识，然而相当灵活。

1 已知平面上10个圆，任意两个都相交。是否存在直线l，与每个圆都有公共

点？证明你的结论。

2 在一张矩形纸上画有一个圆。米老鼠在其中选了一个点，让唐老鸭猜。唐老

鸭在纸上每指出一个点，米老鼠就告诉他是否猜中，如果没有，就告诉他离被猜点有多大距离。唐老鸭带着刻度尺和圆规。问：他至少要猜几次，才能一定猜出米老鼠所选的点？怎样猜？

3教室里有n排椅子，每排n张，每张椅子上坐一个学生。现在有求按以下规则调换座位：(1)每个学生必须换到新的座位上；(2)每个学生只能换到相邻（前、后、左、右）的座位上（允许两个学生互换座位）。

证明：n为偶数时，可以完成座位调换，但n为奇数时不可以。（06年海湾）48个人围着桌子坐成一圈，有多少种握手方法，使得4对握手的人胳膊不交叉？（据01年英国试题简化）

5现有长为150cm的铁丝，要截成n(n>2)小段，每段的长为不小于1cm的整数，如果其中任意3小段都不能拼成三角形，试求n的最大值。（02年江苏初中）

三、课后思考：

1在正n边形的每个定点上各停有一只喜鹊。偶受惊吓，众喜鹊都飞去。一段时间后，它们又都飞回这些顶点上，仍是每个顶点上一只，但未必都回到原来的顶点。求所有的正整数n，使得一定存在3只喜鹊，以它们前后所在的顶点分别形成的三角形或同为锐角三角形，或同为直角三角形，或同为钝角三角形。（01年中国）

2T称为淘气子集：若对于任意的u、v∈T(u,v不必不同)，u+v?T。求证：{1,2,3,…，2006}的任意一个淘气子集至少有1003个元素。（06年越南）

3 高一（1）班语文、数学、英语三门课测试，成绩优秀的分别有15、12、9

名，并且这三门课中，至少有一门课优秀的共有22名。那么，三门课全是优秀的最多有多少名？最少有多少名？（00年江苏初中）

4把7个两两不同的球分给两个人，使每人至少分得两个球，则不同的分法共有多少种？（01年五羊杯初中）

5N为自然数，且61

<+<+,那么N的值是多少？（02年希望杯初

N N

中）

613名小运动员，他们着装的运动服号码分别是1-13号。问：这13名运动员能否站成一个圆圈，使得任意相邻的两名运动员号码数之差的绝对值都不小于3且不大于5？如果能，试举一例。如果不能，请说明理由。（03年北京初中）

一、上一讲思考题讨论

二、组合几何问题讨论：

● 凸多边形：如果多边形位于它任何一条边所在直线的同侧，则称其为

凸多边形。

● 凸包：给定平面上若干个点，用一根松紧性很强的线圈住它们，当线

绷紧时，所形成的凸多边形就可以视作这些点的凸包。

1 给定平面上n 个点，无三点共线。证明：在这n 个点中可以挑出三个点，使得从其中一个点引出的到其他两个点的射线之间的夹角不超过n

π。

2 平面上给出22个点，其中无三点共线。证明：可以将这些点配成11对，使

每对点连成的线段之间至少有五个交点。

3 证明：存在一个三角形，可以被分割成1989个全等的三角形。（提示：题目

中，若将1989改成13，原理相同。）

4 已知格点图形面积=+ ,,S aN bN c a b c R +∈边内格，，试确定a,b,c 的值并通过多

种格点图形验证之。

三、课后思考：

1 平面上给出2n+3个点，其中任意三点不共线，任意四点不共圆。证明：从这

些点中能够选取三个点，使得剩余的点中有n 个位于过这三点的圆的内部，

而另n 个点位于这个圆的外部。

2 在平面上给出有限个点，证明：在它们之中可以选出这样的点，使得与它最

近的已知点：（1）不超过6个；（2）不超过3个。

3 证明：任意三角形可以（用直线）分解成三部分，使得由它们能拼成一个长

方形。

4 平面上任给n 个不同的点（n ≧2）,确定并证明：以这些点为端点的线段，至

少有多少个不同的中点。

5 证明：整点三角形不能是正三角形。

一、上一讲思考题讨论

二、极端原理问题讨论：

1平面上有n个点，任意三个点构成面积不超过1的三角形。证明：存在面积不超过4的三角形覆盖这n个点。

2平面上有n个点不共线。证明：存在三个点A、B、C使得其余n-3个点都在△ABC外面（至少有5种方法）。

3有n(n≧3)个排球队参加单循环赛（排球赛的每场都要分出胜负），比赛结束后，发现没有一个队全胜。求证：必存在三个队A,B,C，使A胜B,B胜C，C 又胜A。

4平面上有n个红点与n个蓝点，任意三点都不共线。求证：可以用n条线段连接这2n个点，每条线段连接一个红点和一个蓝点，且这n条线段没有公共点。

三、课后思考：

1在边长为一的正方形四边上各任取一点，连成一个四边形。证明：这一四边

。

2证明：在任意的凸五边形中能找到三条对角线，用他们可以构成一个三角形。

3平面上一个有限点集，其中任何三点都是直角三角形的顶点。试确定这个点集最多可包含多少个点。

4平面上100个点，任意两点之间的距离≦1，任意三点为一个钝角三角形的顶点。证明：可作一个直径为1的圆，盖住这100个已知点。

5在某个星系的每一个星球上，都有一位天文学家在观测最近的星球。若每两个星球间的距离都不相等，证明：当星球的个数为奇数时，一定有一个星球没有被观测。

一、抽屉原理基本题讨论：

1在边长为1的正三角形中，任意放置5个点，则必有两点之间的距离不超过

0.5。

2在3行9列共27个小方格一一涂上红色或蓝色。证明无论如何涂法，其中至少有两列涂色方法相同。

二、上一讲思考题讨论

三、抽屉原理问题讨论：

1在坐标平面上，任取5个格点，其中一定存在两个格点，它们的中点仍是格点。

2有99个人参加了一次聚会，聚会正式开始前他们之间相互握手问候。统计发现他们每个人都恰好和66个人握过手。证明：可能出现这种情况，在任何四人中都一定存在两个人没有握过手。

3有6个点，任意3点不共线，证明：若将其中任意两点间的连线染成红色或蓝色之一，则必存在一个三边颜色相同的三角形。

4在边长为1的正方形内部，放置若干个圆，这些圆的周长之和等于10。证明：可作一条直线，至少和其中四个圆有交点。

5在边长为1的正方形内部有一条长度为1000的不自身相交的折线。证明：存在一条直线，它垂直于正方形的某一条边，并且与折线至少有500个交点。

四、课后思考：

1如图，编号为1到8的两组滚珠均匀放在内外两个圆环上，

开始时每两个相对滚珠号码均不相同。证明：当两个圆环

按照相反方向转动时，必有一时刻，内外两环中至少有两

对同号码滚珠相对。

2作一个圆的任意2003条直径，在它们和圆的4006个交点

上任意填写不大于1001的正整数（可以重复填写）。证明：

一定可以找到两条直径，它们两端的两个数字的和相等。

3把1到10的自然数摆成一个圆周。证明：一定存在三个相邻的数，它们的和数不小于18。

4把1到10的自然数摆成一个圆周。证明：一定存在三个相邻的数，它们的和数不小于17。

5在3×4。

6在边长为1的正方形内任取51个点。证明：它们中有三个点能被半径为1

7

的

圆覆盖。

7将66的圆任意放入一个边长为10的正方形内。证明：必有两个圆有公共点。

第六讲图论

一、上一讲思考题讨论

二、图论问题讨论：

1[七桥问题]欧洲的哥尼斯堡，景致迷人，碧波

荡漾的普莱格尔河横穿其境。河中有两个岛A

与D，河上有七座桥连接这两个岛及河的两岸B、

C。问：一个旅游者能否通过每座桥一次且仅一

次？

2九名数学家在一次国际数学会议上相遇，发现

他们之中的任意三个人中，至少有两个人可以

用同一种语言对话。如果每个数学家至多可说三种语言，证明至少有三名数学可以用同一种语言对话。（78年美国）

3在n(n>2)个人中，至少有两个人，他们的朋友数目一样多。

4在一次国际数学家大会上，7位来自不同国家的数学家会话能力如下：A)英语；B)英语和汉语；C)英语、意大利语和西班牙语；D)汉语和日语；E)德语和意大利语；F)法语、日语和西班牙语；G)法语和德语。问：怎样安排这7名数学家围着一个圆桌坐下，使得每个人都能和他身边的两个人交谈？

57个人参加一次会议，在会议期间，每天都要在一张圆桌上共进晚餐。如果要求每次晚餐就坐时，每个人相邻就坐者都不相同。问：这样的晚餐最多能进行多少次？画出各次的座位布置图。

6证明：在任何六个人中，总可以找到三个相互认识或相互不认识的人。

7大厅里会聚了100个客人，他们中每人至少认识67人，证明：在这些客人中一定可以找到4人，他们之中任何两人都彼此相识。（66年波兰）

三、课后思考：

1某大型聚会有605个人参加。已知他们每个人都至少和其中的另一个人握过手。证明：必有一个人至少和其中的两个人握过手。

2有n(n>3)个人，他们之间有些人互相认识，有些人互相不认识，而且至少有一个人没有与其他人都认识。问：与其他人都认识的人数的最大值是多少？

（美国）

3有n个药箱，每两个药箱里有一种相同的药，每种药恰好在两个药箱里出现，问：有多少种药？

4空间中六个点两两连线，用红、蓝两种颜色对这些边染色。证明恒存在两个同色三角形。

5甲、乙、丙、丁四个人比赛乒乓球，每两个人都要赛一场。结果甲胜了丁，且甲、乙、丙三人胜的场数相同。问：乙胜几场？

6N名棋手进行比赛，每一个人与若干人进行了比赛，假定比赛中没有平局。

如果没有v

1胜v

2

，v

2

胜v

3

，…，v

k

胜v

1

这样的情形出现，证明必有一个人在

所有的比赛中全胜，也必有一个人在所有的比赛中全负。

第七讲数论（含轨迹预习作业）

一、上一讲思考题讨论

二、数论问题讨论：

1 （03希望杯全国）对任意三个整数，则

A .它们的和是偶数的可能性小

B .它们的和是奇数的可能性小

C .其中必有两个数的和是奇数

D .其中必有两个数的和是偶数

2 下列各组数中，不是方程85x－324y=101的解的一组数是

A . x=329，y=86

B . x=653，y=171

C . x=1301，y=341

D .x=978，y=256

3 （01希望杯全国）已知两个不同的质数p、q满足下列关系：p2－2001p+m=0，

q2－2001q+m=0，m是适当的整数，那么p2+q2 =

A . 4 004 006

B . 3 996 005

C . 3 996 003

D . 4 004 004

4 若1 059,1 417和2 312 分别被自然数x除时,所得的余数都是正整数y，则x

－y等于

A .15

B . 1

C . 164

D . 179

5 （02重庆）设[x]表示不超过x的最大整数，若[x]=5，[y]=-3，[z]=-2，则[x-y+z]

可以取值的个数是：

A .1个

B .2个

C .3个

D .4个

6（00五羊杯）设[x]表示不大于x的最大整数，如[3.15]=3，[3]=3，则

++…等于

]45]2002]

A.2 000 000

B.2 001 000

C.2 002 000

D.2 003 001

7 （00五羊杯）今有正整数带余除式A÷B=C…8，如果A+B+C=2 178，那么A

为

A.2 000

B.2 001

C.2 071

D.2 100

8 （00五羊杯）设正整数x>y，x+y=667，x、y的最小公倍数为P，最大公约

数为Q，且P=120Q，则x-y的最大值为。

9 （03四川）对于一切大于2的正整数n，数n5-5n3+4n的最大公约数

是。

10 （02五羊杯）自然数n≧1，满足2002×n是完全立方数，n÷2002是完全平

方数，这样的n中的最小值是。

三、数论基础知识：

1.奇偶性分析

2.质因数分解（注意：2是质数中唯一的偶数。）

3.带余除法。设a,b是两个正整数，则存在唯一整数p,r(0≦r﹤b)，使a=bq+r。

r=0时，叫做b整除a，记作b|a。整除的主要性质有①若a|b,b|c，则a|c；

②若c|ab，(a,c)=1，则c|b；③若c|a,c|b，则c|(ma±nb)

4.同余。如果用m去除任意两个整数a与b所得的余数相同，则a与b对模m

同余，记作a≡b(mod m)。同余的主要性质有：①若a≡b(mod m)，则b≡a(mod m)；②若a≡b(mod m)，b≡c(mod m)，则a≡c(mod m)；③同余与整除的关系：a≡b(mod m)?m|(a-b)

5.数论函数[x]与{x}。设x 是实数，不大于x 的最大整数叫做x 的整数部分，记作[x]；x 与[x]的差x-[x]叫做x 的小数部分，记作{x}，即{x}=x-[x]。数论函数的常用性质有：[x]≦x ﹤[x]+1；若n 是整数，则[n+x]=n+[x]；[x]+[y]≦[x+y]；0≦{x}﹤1；{x}+{y}≧{x+y}。

6 最大公约数与最小公倍数。a 、b 的最小公倍数记作[a,b]，最大公约数记作(a,b),有[,](,)

ab a b a b 。 四、课后思考：

A.数论部分

1 （03希望杯）正整数m 和n 有大于1的最大公约数，且m 3+n=371，则mn= 。

2 （02全国）设N=23x+92y 为完全平方数，且N 不超过2392，则满足上述条件

的一切正整数对（x ，y ）共有 对。

3 （01五羊杯）今天是星期六，从今天开始，过了123123123123…（共2001

个123）天之后是星期 。

4 解方程x 2-x[x]-[x]2=0

5 （01北京）1与0交替排列，组成下面形式的一串数：101，10101，1010101，

101010101，…，请你回答，在这串数中有多少个质数？并证明你的论断。 6 （01北京）在六张纸片的正面分别写上整数1,2,3,4,5,6，打乱秩序后，将纸

片反过来，在他们的反面也随意分别写上1到6这六个整数，然后计算每张纸片正面和反面所写数字之差的绝对值，得出六个数。请你证明：所得六个数中至少有两个是相同的。

B.轨迹部分

1 一架立在光滑地板上的梯子抵墙下滑。一只猫正好坐在这架梯子的中间。试

问这只猫在梯子下滑时会沿着怎样的一条路线运动？

2 如果这只猫没有坐在梯子的中间，设其上部梯子长为a ，下部梯子长为b,以

地平线为x 轴，以墙为y 轴建系，猫的坐标为(x,y)，那么，在梯子下滑时，它的轨迹方程是？

第1题 第3题 第4题 3 在一个定圆O 内，有一个直径为其一半的小圆在作无滑动的滚动。试问：动

圆上的点K 将会划出一条怎样的线来？

4 半径为r 1和r 2（r 1>r 2）的两个轮子沿着一条直线l 滚动。试求其内公切线的

交点的集合。

5 已知一点A 和一圆。求顶点N 位于已知圆上的等边三角形ANM 的顶点M 的集

合。

6 已知一角和角内一点D ，过D 作一条直线，使它与已知角两边所形成的三角

形的面积最小。

[注：本讲所选数论竞赛题均来自初中竞赛]

第八讲轨迹

一、上一讲数论思考题讨论，轨迹预习思考题讨论。

二、轨迹问题讨论：

1平面内有一个已知圆和一个已知点A。过A点向已知圆引一系列的直线。试求被圆截取的所有弦的中点的集合。

第1题第2题

2已知两点A,B。过B作一系列的直线。试求以这些直线为对称轴的A点的所有的对称点的集合。

3已知一个圆和圆内两个已知点A和B。试求圆的内接直角三角形，使得这两个已知点在直角的两边上。

4已知A,B两点，求出这样的点M的集合，使得：直线AB

与两圆相切，与一圆切于A，与另一圆切于B，而两圆又

在M点相切。

5A,B为两个不同的城市。求出具有如下性质的M点的集合：若一个人沿一条直线从M点走到B点，那么，从M到A的距离总是在增加。

第5题第6题

6一个木制的三角形在一个平面上移动，使它的锐角顶点分别沿着一个已知直角的两边运动。试问这个三角形的顶点将如何移动？

补注

说明：本注中凡涉及“授课内容”，均为在2007年江苏省高中数学奥林匹克夏令营上的专家授课内容。该届夏令营由江苏省数学学会主办，江苏省靖江高

级中学承办。对部分专家，因未找到有关介绍，故只写姓名，敬请谅解。

本教程编者对原题的少许简化、改动，不再注明。

本教程于2007年8月8日首次发布。当前版本号1.2。

本教程各题答案及讲解建议请致函电子信箱：suntrain@https://www.wendangku.net/doc/353568285.html,，写明所在学校、教练姓名、联系电话、培训简况及教程版本号后索取。一般不接受学生的答案索取要求。

题目来源：

第一讲赛题选例本讲课堂讨论1-7题，课后思考1-5题源自国家奥数专家

组领队苏淳的授课内容。课后思考第6题源自国家奥数

金牌教练周敏泽的授课内容。

第二讲组合本讲课堂讨论1-4题，课后思考1-2题源自周敏泽的授课

内容。课堂讨论第5题，课后思考3-6题源自缪选民主

编《初中应用数学知识竞赛辅导训练》（安徽少儿版，

2005）。

第三讲组合几何本讲除课堂第四题外，全部内容均源自奥数国家集训队教

练余红兵著《组合几何》（华东师大版，2005）。

第四讲极端原理本讲课堂讨论题源自孙旭东的授课内容。课后思考1-4题

源自余红兵著《组合几何》，第5题源自刘诗雄著《集合》

（华东师大版，2005）。

第五讲抽屉原理本讲基本题1-2题，课堂讨论1-2题，课后思考1-4题源自

李红的授课内容。课堂讨论第3题源自张垚著《数学竞

赛中的组合问题》（华东师大版，2005）。课堂讨论4-5

题，课后思考5-7题源自余红兵著《组合几何》。

第六讲图论本讲全部内容均源自第46届IMO中国队领队熊斌（与郑

仲义合）编著《图论》（华东师大版，2005）。

第七讲数论本讲全部数论部分内容均源自缪选民主编《初中应用数学

知识竞赛辅导训练》。轨迹预习作业部分见第八讲注。第八讲轨迹本讲全部内容及上一讲轨迹作业部分均源自[苏]N.B.伐西

列也夫，V.L.古捷马赫著《直线与曲线》（北京出版社

1984）。

附录：

层次分析，抓住要点，宏观把握，化繁为简

——一道数学奥赛题的解法

江苏沛县孙统权

原题：将边长为n的正三角形的每边n等分，过每个

分点分别作另两边的平行线。得到若干个单位正三

角形。设f(n)是从最上面的单位正三角形到最下面

一行中间的单位正三角形的通路的数目，求f(2005)

的值。（05年加拿大奥林匹克）

（通路是指可以从一个单位正三角形走向另一个

与其有公共边，且与其在同一行或在其所在行的下

一行。同时，每个单位正三角形不能经过2次或2

次以上。如图是n=5的一条通路的例子。）

解：

引理一：对于该图形的任一层次，若入口确定，出口

确定，则从入口到出口的通路是唯一的。

证：如图，若出口在入口的右侧，则从出口进入该层

次后，只能往右走，且直奔出口。只有这样，才能

满足“每个单位正三角形不经过2次或2次以上”

的条件。同理可证，出口在入口左侧时也是这样。

引理二：如图塔形图中，从第一层到第二层有1个小

门，从第二层到第三层有2个小门，……，从第i

层到第i+1层有i个小门。则从顶层到第n层(n>=2)

的走法总数g(x)=(n-1)!

证：由分步计数原理可直接得出。

解答：由引理1，可将原题化为引理2的形式。由引理2

f(x)=g(x)=(n-1)! (n≧2)

所以：f(2005)=2004!

即边长为2005时，从最上面的单位正三角形到最下面一行中间的单位正三角形的通路的数目为2004!。

（2007年7月20日作于靖江高级中学）

2019-2020年三年级上册数学奥林匹克竞赛难题试卷

2019-2020年三年级上册数学奥林匹克竞赛难题试卷 小朋友，经过小学里两年多的学习，你一定掌握了不少本领，相信你一定会有大的收获。 一、我会填(每题2分，共26分) 1、小华和姐姐踢毽子。姐姐三次一共踢81下，小华第一次和第二次都踢了25下，要想超过姐姐，小华第三次最少要踢（）个。 2、学校有篮球和排球共80个，篮球比排球多4个，篮球有（）个。 3、7只猴子一共吃了13个桃，每只大猴吃3个，每只小猴吃1个，请你算一算，大猴有（）只。 4、某学生第一次与第二次数学测验的平均成绩是62分，第三次测验后，三次平均成绩是68分，他第三次得（）分。 5、由0、2、5、8组成的最大四位数是（），最小四位数是（）。 6、在（）里填上合适的数 2时=（）分 8米=（）分米=（）厘米 5000千克=（）吨 60毫米=（）厘米 7、下列算式中，□，○，△，☆各代表什么数？ (1)□+5=13-6； (2)28-○=15+7；(3)3×△=54； (4) 56÷☆= 7 □=（），○=（），△=（），☆=（）。 8、用4个边长是1厘米的正方形，拼成一个长方形，这个长方形的周长是（）厘米，如果拼成一个正方形，这个正方形的周长是（）厘米。 9、小惠今年6岁，爸爸今年年龄是她的5倍，（）年后，爸爸年龄是小惠的3倍。 10、四月份有30天，这个月共( )个星期余( )天。 11、在○里填上“＞”“＜”或“=” 3时○300分60毫米○6分米6千米○5800米6+7+8+9+0○6×7×8×9×0 12、一节课40 分钟，如果10时40分上课，那么( )时( )分下课。 13、在□内填入适当的数字，使下列加法竖式成立：

世界青少年奥林匹克数学竞赛(中国区)选拔赛2017春季省级初赛试题及答案

世界青少年奥林匹克数学竞赛（中国区）选拔赛 2017春季省级初赛 考生须知：本卷考试时间60分钟,共100分。 考试期间,不得使用计算工具或手机 七年级试题(A 卷) 一、填空(每题3分，共30分) 1、在△ABC 中，高BD 和CE 所在直线相交于O 点，若△ABC 不是直角三角形，且∠A ＝60°，则∠BOC ＝________度. 2、在等腰△ABC 中，AB=AC,一边上的中线BD 将这个三角形的周长分为15和12两部分，则这个等腰三角形的底边长为___________. 3、凸多边形恰好有三个内角是钝角，这样的多边形边数的最大值是____________. 4、凸n 边形除去一个内角外，其余内角和为2570°，则n 的值是________. 5、已知 是二元一次方程ay x -2=3的一个解，那么a 的值是________. 6、若关于x 、y 的方程组 无解，则a 的值是________. 7、正整数._______,698的最大值是则满足、m mn n m n m +=+ 8、已知关于x 的不等式组 无解，则a 的取值范围是________. 9、 都是正数， 那么N M 、的大小关系是________. 10、若n 为不等式 的解，则n 的最小正整数的值是________. 二、选择题(每题5分，共25分) 11、三元方程 的非负整数解的个数有（ ）. A.20001999个 B.19992000个 C.2001000个 D.2001999个 12、如图已知 分别 为ABC ?的两个外角的平分线，给出下列结论：①CD CP ⊥; ???-==1 1 y x ???=-=+1293y x y ax ???-≥--1250x a x ＞， 如果))((),)((,,,200332200421200432200321200421a a a a a a N a a a a a a M a a a ++++++=++++++= 3002006＞n 1999 =++z y x CD BD ACB CP ACB A ABC 、，平分，中，∠∠=∠?

七年级数学奥林匹克竞赛题(一)解析

初中一年级奥赛训练题(一)及解析 一、选择题（每题1分，共10分） 1．如果a，b都代表有理数，并且a＋b=0，那么( C) A．a，b都是0 B．a，b之一是0 C．a，b互为相反数D．a，b互为倒数 2．下面的说法中正确的是( D) A．单项式与单项式的和是单项式B．单项式与单项式的和是多项式C．多项式与多项式的和是多项式D．整式与整式的和是整式 3．下面说法中不正确的是( C) A. 有最小的自然数B．没有最小的正有理数 C．没有最大的负整数D．没有最大的非负数 4．如果a，b代表有理数，并且a＋b的值大于a－b的值，那么( D) A．a，b同号B．a，b异号C．a＞0 D．b＞0 5．大于－π并且不是自然数的整数有( B) A．2个B．3个C．4个D．无数个 6．有四种说法： 甲．正数的平方不一定大于它本身；乙．正数的立方不一定大于它本身；丙．负数的平方不一定大于它本身；丁．负数的立方不一定大于它本身。 这四种说法中，不正确的说法的个数是( B) A．0个B．1个C．2个D．3个 解析：负数的平方是正数，所以一定大于它本身，故丙错误。 7．a代表有理数，那么a和－a的大小关系是( D) A．a大于－a B．a小于－a C．a大于－a或a小于－a D．a不一定大于－a 解析：令a=0，马上可以排除A、B、C，应选D。 8．在解方程的过程中，为了使得到的方程和原方程同解，可以在原方程的两边( D) A．乘以同一个数B．乘以同一个整式 C．加上同一个代数式D．都加上1 解析：对方程同解变形，要求方程两边同乘不等于0的数，所以排除A。我们考察方程x－2=0，易知其根为x=2．若该方程两边同乘以一个整式x－1，得(x－1)(x －2)=0，其根为x=1及x=2，不与原方程同解，排除B。同理应排除C．事实上方程两边同时加上一个常数，新方程与原方程同解，D所加常数为1，因此选D．9．杯子中有大半杯水，第二天较第一天减少了10%，第三天又较第二天增加了10%，那么，第三天杯中的水量与第一天杯中的水量相比的结果是( C) A．一样多B．多了C．少了D．多少都可能 解析：设杯中原有水量为a，依题意可得， 第二天杯中水量为(1－10%)a=0.9a；第三天杯中水量为0.9a(1+10%)=0.9×1.1a；第三天杯中水量与第一天杯中水量之比为0.99∶1， 所以第三天杯中水量比第一天杯中水量少了，选C。

2018年世界少年奥林匹克数学竞赛六年级海选赛试题含答案

六年级 第1页 六年级 第2页 绝密★启用前 世界少年奥林匹克数学竞赛（中国区）选拔赛地方海选赛 选手须知： 1、本卷共三部分，第一部分：填空题，共计50分；第二部分：计算题，共计12分；第三部分：解答题，共计58分。 2、答题前请将自己的姓名、学校、赛场、参赛证号码写在规定的位置。 3、比赛时不能使用计算工具。 4、比赛完毕时试卷和草稿纸将被收回。 六年级试题（Ａ卷） （本试卷满分120分 ，考试时间90分钟 ） 一、填空题。（每题5分，共计50分） 1、有甲、乙两个两位数，甲数的 27等于乙数的 2 3 ，这个两位数的差最多是。 2、如果15111111111111111*=++++，242222222222*=+++，33*=3+33+333，那么7*4=。 3、由数字0,2,8（既可全用也可不全用）组成的非零自然数，按照从小到大排列，2008排在第个。 4、如图，正方形的边长是2（a+b ），已知图中阴影部分B 的面积是7平方厘米，则阴影部分A 和C 面积的和是平方厘米。 5、一辆出租车与一辆货车同时从甲地出发，开往乙地出租车4小时到达，货车6小时到达，已知出租车 比货车每小时多行35千米。甲乙两地相距千米 6、一个长方体铁块，被截成两个完全相同的正方体铁块，两个正方体铁块的棱长之和比原来长方体铁块的棱长之和增加了16厘米，则原来长方体铁块的长是。 7、四袋水果共46个，如果第一袋增加1个，第二袋减少2个，第三袋增加1倍，第四袋减少一半，那么四袋水果的个数就相等了，则第四袋水果原先有个。 8、有23个零件，其中有一个次品，不知它比正品轻还是重，用天平最少次可以找出次品。 9、123A5能被55整除，则A=。 10、在一次数学游戏中，每一次都可将黑板上所写的数加倍或者擦去它的末位数，假定一开始写的数是458，那么经过次上述变化得到14. 二、计算题。（每题6分，共计12分） 11、1232001 1 2320012002200220022002 ++++L 12、6328862363278624?-? a +省市 学校 姓名 赛场 参赛证号 ∕∕∕∕∕∕〇∕∕∕∕∕∕〇∕∕∕∕∕∕∕〇∕∕∕∕∕∕ 密 〇 封 〇 装 〇 订 〇 线 ∕∕∕∕∕∕〇∕∕∕∕∕∕〇∕∕∕∕∕∕〇∕∕∕∕∕∕〇∕∕∕∕∕∕ 密 封 线 内 不 要 答 题

高中数学奥林匹克竞赛的解题技巧(上中下三篇)

奥林匹克数学的技巧（上篇） 有固定求解模式的问题不属于奥林匹克数学，通常的情况是，在一般思维规律的指导下，灵活运用数学基础知识去进行探索与尝试、选择与组合。这当中，经常使用一些方法和原理（如探索法，构造法，反证法，数学归纳法，以及抽屉原理，极端原理，容斥原理……），同时，也积累了一批生气勃勃、饶有趣味的奥林匹克技巧。在2-1曾经说过：“竞赛的技巧不是低层次的一招一式或妙手偶得的雕虫小技，它既是使用数学技巧的技巧，又是创造数学技巧的技巧，更确切点说，这是一种数学创造力，一种高思维层次，高智力水平的艺术，一种独立于史诗、音乐、绘画的数学美。” 奥林匹克技巧是竞赛数学中一个生动而又活跃的组成部分。 2-7-1 构造 它的基本形式是：以已知条件为原料、以所求结论为方向，构造出一种新的数学形式，使得问题在这种形式下简捷解决。常见的有构造图形，构造方程，构造恒等式，构造函数，构造反例，构造抽屉，构造算法等。 例2-127 一位棋手参加11周（77天）的集训，每天至少下一盘棋，每周至多下12盘棋，证明这棋手必在连续几天内恰好下了21盘棋。 证明：用n a 表示这位棋手在第1天至第n 天（包括第n 天在内）所下的总盘数（1,2,77n =…），依题意 127711211132a a a ≤<<≤?=… 考虑154个数： 12771277,,,21,21,21a a a a a a +++…,? 又由772113221153154a +≤+=<，即154个数中，每一个取值是从1到153的自然数，因而必有两个数取值相等，由于i j ≠时，i i a a ≠ 2121i j a a +≠+ 故只能是,21(771)i j a a i j +≥>≥满足 21i j a a =+ 这表明，从1i +天到j 天共下了21盘棋。 这个题目构造了一个抽屉原理的解题程序，并具体构造了154个“苹果”与153个“抽屉”，其困难、同时也是精妙之处就在于想到用抽屉原理。 例 2-128 已知,,x y z 为正数且()1xyz x y z ++=求表达式()()x y y z ++的最最小值。 解：构造一个△ABC ，其中三边长分别为a x y b y z c z x =+??=+??=+? ，则其面积为 1?== 另方面2()()2sin x y y z ab C ?++==≥ 故知，当且仅当∠C=90°时，取值得最小值2，亦即222()()()x y y z x z +++=+

高中数学奥林匹克训练题

第1页共10页 高中数学高中数学奥林匹克训练题 奥林匹克训练题第一试 一、填空题 1.若集合22{(,)|(20)(12),}P x y x y x Z y Z =?+?≤ ∈∈,则集合P 中的元素个数为____________. 2.已知矩形ABCD 的顶点依次为(1,0)A ?,(1,0)B ,(1,1)C ,(1,1)D ?.若抛物线2y ax =平分矩形ABCD 的面积,则实数a 的值为______. 3.在各边长均为整数的直角三角形中,斜边上的高也是整数的三角形的周长的最小值为______. 4.在四面体ABCD 中,3,1==CD AB ,直线AB 与CD 的距离为2,夹角为°60,则四面体ABCD 的体积为____________. 5.若直线134=+y x 与椭圆19 162 2=+y x 相交于B A ,两点,则在该椭圆上满足PAB ?的面积为3的点P 的个 数为____________. 6.若关于x 的方程sin cos 2x x m =+在[,]2 π π? 内有两个不同实根,则m 的取值范围为____________.7.圆周上有100个等分点,以其中三个点为顶点的钝角三角形的个数为____________.8.若定义在],[b a 上的函数)(x f 满足:对任意的],[,21b a x x ∈,都有))()((2 1 )2( 2121x f x f x x f +≤+,则称函数)(x f 在],[b a 上具有性质P .如果已知函数)(x f 在]3,1[上具有性质P ,那么以下四个命题是真命题的有____________(写出相应命题的序号即可). ①函数)(x f 在]3,1[上的图像是连续(不间断)的；②函数)(2x f 在]3,1[上具有性质P ；③若函数 )(x f 在2=x 处取得最大值1,且1)1(=f ,则1)(=x f ,]3,1[∈x ；④对任意的]3,1[,,,4321∈x x x x ,都有不 等式))()()()((4 1 )4( 43214321x f x f x f x f x x x x f +++≤+++成立. 二、解答题 9.已知F 是椭圆2222x y +=的左焦点,椭圆上的动点,A B 使得ABF ?的内心总在直线1x =?上,求证:直线AB 过定点. 10.数列}{n a 的前4项依次为?,5,8,9,1,且4+i a 是i i a a ++3的个位数字,求证:2 20002198621985|4a a a +++?.

2012年IMO国际数学奥林匹克试题解答

2012年IMO国际数学奥林匹克试题解答 第一题 设J是三角形ABC顶点A所对旁切圆的圆心. 该旁切圆与边BC相切于点M, 与直线AB和AC分别相切于点K和L. 直线LM和BJ相交于点F, 直线KM与CJ相交于点G. 设S是直线AF和BC的交点, T是直线AG和BC 的交点. 证明: M是线段ST的中点. 2012年IMO国际数学奥林匹克试题第一题 解答: 因为 ∠JFL=∠JBM?∠FMB=∠JBM?∠CML=12(∠A+∠C)?12∠C=12∠A= ∠JAL, 所以A、F、J、L四点共圆. 由此可得AF⊥FJ, 而BJ是∠ABS的角平分线, 于是三角形ABS的角平分线与高重合, 从而AB=BS; 同理可得AC=CT.

综上, 有 SM=SB+BM=AB+BK=AK=AL=AC+CL=CT+CM=MT, 即M是线段ST的中点. 第二题 设n?3, 正实数a2,a3,?,a n满足a2?a3???a n=1, 证明: (a2+1)2(a3+1)3?(a n+1)n>n n. 解答:由均值不等式, 我们有 (a k+1)k=?(a k+1k?1+?+1k?1)k(ka k?(1k?1)k?1?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?√k)k=k k(k?1)k?1a k, 当a k=1k?1时等号成立, 其中k=2,3,?,n. 于是 (a2+1)2(a3+1)3?(a n+1)n?221a2?3322a3???n n(n?1)n?1a n=n n. 当对任意的k=2,3,?,n时, 若恒有a k=1k?1, 此时由n?3知 a2?a3???a n=1(n?1)!≠1, 因此上述不等式等号不成立, 从而不等式得证. 第三题 "欺诈猜数游戏" 在两个玩家甲和乙之间进行, 游戏依赖于两个甲和乙都知道的正整数k和n. 游戏开始时甲先选定两个整数x和N, 1?x?N. 甲如实告诉乙N的值, 但对x 守口如瓶. 乙现在试图通过如下方式的提问来获得关于x的信息: 每次提问, 乙任选一个由若干正整数组成的集合S(可以重复使用之前提问中使用过的集合), 问甲"x是否属于S?". 乙可以提任意数量的问题. 在乙每次提问之后, 家必须对乙的提问立刻回答"是" 或"否", 甲可以说谎话, 并且说谎的次数没有限制, 唯一的限制是甲在任意连续k+1次回答中至少又一次回答是真话. 在乙问完所有想问的问题之后, 乙必须指出一个至多包含n个正整数的集合X, 若x属于X, 则乙获胜; 否则甲获胜. 证明:

(完整)高中数学解析几何解题方法

高考专题：解析几何常规题型及方法 A:常规题型方面 （1）中点弦问题 具有斜率的弦中点问题，常用设而不求法（点差法）：设曲线上两点为(,)x y 11，(,)x y 22，代入方程，然后两方程相减，再应用中点关系及斜率公式，消去四个参数。 典型例题 给定双曲线x y 2 2 2 1-=。过A （2，1）的直线与双曲线交于两点P 1 及P 2，求线段P 1P 2的中点P 的轨迹方程。 分析：设P x y 111(,)，P x y 222(,)代入方程得x y 1 2 1221-=，x y 22 22 2 1-=。 两式相减得 ()()()()x x x x y y y y 121212121 2 0+-- +-=。 又设中点P （x,y ），将x x x 122+=，y y y 122+=代入，当x x 12≠时得 22201212x y y y x x - --=·。 又k y y x x y x = --=--12121 2 ， 代入得2402 2 x y x y --+=。 当弦P P 12斜率不存在时，其中点P （2，0）的坐标也满足上述方程。 因此所求轨迹方程是2402 2 x y x y --+= 说明：本题要注意思维的严密性，必须单独考虑斜率不存在时的情况。 （2）焦点三角形问题 椭圆或双曲线上一点P ，与两个焦点F 1、F 2构成的三角形问题，常用正、余弦定理搭桥。 典型例题 设P(x,y)为椭圆x a y b 222 21+=上任一点，F c 10(,)-，F c 20(,)为焦点，∠=PF F 12α，∠=PF F 21β。 （1）求证离心率β αβαsin sin ) sin(++= e ； （2）求|||PF PF 13 23 +的最值。

2020年中国高中数学奥林匹克试题与解答 精品

O R Q N M F E D C B A P 2020年中国数学奥林匹克试题与解答 (2020年1月11日) 一、给定锐角三角形PBC ，PC PB ≠．设A ，D 分别是边PB ，PC 上的点，连接AC ，BD ，相交于点O. 过点O 分别作OE ⊥AB ，OF ⊥CD ，垂足分别为E ，F ，线段BC ，AD 的中点分别为M ，N ． （1）若A ，B ，C ，D 四点共圆，求证：EM FN EN FM ?=?； （2）若 EM FN EN FM ?=?，是否一定有A ，B ，C ，D 四点共圆？证明你的结论． 解（1）设Q ，R 分别是OB ，OC 的中点，连接EQ ，MQ ，FR ，MR ，则 11 ,22 EQ OB RM MQ OC RF ====， 又OQMR 是平行四边形， 所以OQM ORM ∠=∠， 由题设A ，B ，C ，D 四点共圆， 所以ABD ACD ∠=∠， 于是22EQO ABD ACD FRO ∠=∠=∠=∠， 所以EQM EQO OQM FRO ORM FRM ∠=∠+∠=∠+∠=∠， 故 EQM MRF ???， 所以 EM ＝FM ， 同理可得 EN ＝FN ， 所以 EM FN EN FM ?=?． （2）答案是否定的． 当AD ∥BC 时，由于B C ∠≠∠，所以A ，B ，C ，D 四点不共圆，但此时仍然有 EM FN EN FM ?=?，证明如下： 如图2所示，设S ，Q 分别是OA ，OB 的中点，连接ES ，EQ ，MQ ，NS ，则 11 ,22 NS OD EQ OB ==， 所以 NS OD EQ OB =． ① 又11 ,22 ES OA MQ OC = =，

高中奥林匹克数学竞赛-几个重要定理

竞赛专题讲座－几个重要定理 《定理1》正弦定理 △ABC中，设外接圆半径为R，则 证明概要如图1-1，图1-2 过B作直径BA'，则∠A'=∠A，∠BCA'=90°，故 即；同理可 得 当∠A为钝角时，可考虑其补角，π-A. 当∠A为直角时，∵sinA=1，故无论哪种情况正弦定理成立。 《定理2》余弦定理△ABC中，有关系 a2=b2+c2-2bccosA；（*） b2=c2+a2-2cacosB； c2=a2+b2-2abcosC； 有时也用它的等价形式 a=ccosB+bcosC； b=acosC+ccosA；（**） c=acosB+bcosA. 证明简介 余弦定理的证法很多，下面介绍一种复数证法 如图建立复平面，则有 =（bcosA-c2）+(bsinθ)2即 a2=b2+c2-2bccosA，同理可证（*）中另外两式；至于**式，由图3显见。 《定理3》梅涅(Menelaus)劳斯定理（梅氏线）直线截△ABC的边BC，CA，AB或其延长线 于D、E、F. 则本题可以添加平行线来证明，也可不添辅助线，仅用正弦定理来证明。在△FBD、△CDE、△AEF中，由正弦定理，分别有

《定理4》塞瓦定理(Ceva) （塞瓦点） 设O 是△ABC 内任意一点，AB 、BO 、CO 分别交对边于D 、E 、F ，则 证法简介 （Ⅰ）本题可利用梅内劳斯定理证明： （Ⅱ）也可以利用面积关系证明 同理 ④ ⑤ ③×④×⑤得 《定理5》塞瓦定理逆定理 在△ABC 三边所在直线BC 、CA 、AB 上各取一点D 、E 、F ，若则AD 、BE 、CE 平行或共点。 证法简介 （Ⅰ）若AD∥BE（如图画5-1） 则 EA CE BD BC = 代入已知式：1=??FB AF BD BC DC BD 于是 CB DC FB AF = ， 故 AD∥CF，从而AD∥BE∥CF （Ⅱ）若AD 、BE 交于O （图5-2），则连CO 交AB 于F’.据塞瓦定理，可得 1='??B F AF EA CE DC BD 而已知1=??FB AF EA CE DC BD 可见FB AF B F F A ='' 则 FB AF AF B F F A F A +='+'' AB FB AF B F F A =+='+'ΘAF F A ='Θ 即F '即F ，可见命题成立 《定理6》斯特瓦尔特定理

2016年世界少年奥林匹克数学竞赛：三年级海选赛试题(Word版,含答案)

绝密★启用前 世界少年奥林匹克数学竞赛（中国区）选拔赛地方海选赛 （2016年10月） 选手须知： 1、本卷共三部分，第一部分：填空题，共计50分；第二部分：计算题，共计12分；第三部分：解答题，共计58分。 2、答题前请将自己的姓名、学校、赛场、参赛证号码写在规定的位置。 3、比赛时不能使用计算工具。 4、比赛完毕时试卷和草稿纸将被收回。 三年级试题（Ａ卷） （本试卷满分120分，考试时间90分钟） 一、填空题。（每题5分，共计50分） 1、一“台阶”图的每一层都由黑色和白色的正方形交错组成，且每一层的两端都是黑色的正方形，从上到下第一层到第四层如图所示，则第2016层中白色的正方形的数目___________。 2、一个课外小组活动日，老师进教室一看，来参加活动的学生只占教室里全体人数的一半．老师很生气．这天共来了____________名学生。 3、从小熊家到小猪家有一条小路，单侧有树，每隔45米种一棵树，加上两端共53棵；现在改成每隔60米种一棵树。可余下__________棵树。 4、小明家的小狗喝水时间很规律，每隔5分钟喝一次水，第一次喝水的时间是8点整，当小狗第20次喝水时，时间是_______________。 5、妈妈买来大米2袋，面粉4袋，共重200千克，已知1袋大米的重量和2袋面粉的重量相等，那么一袋大米重_______________千克。 6、学校食堂今天午餐的菜谱上有2个肉菜和2个素菜，小明想买1个肉菜和1个素菜，共有________种的搭配方法。 7、同学们进行队列训练,如果每排8人,最后一排6人；如果每排10人，最后一排少4人。参加队列训练的学生最少有________人。 8、小明心中想到三个自然数，这三个数的和等于这三个数的积，小明想的三个数是____________。9、某小学二年级一班和二班共有85人，一班比二班多3人，二班有_________人。 10、下图中有个正方形。 二、计算题。（每题6分，共计12分） 11、567+231-267+269 12、2000-99-9-98-8-97-7-96-6-95-5-94-4-93-3-92-2-91-1 省 市 学 校 姓 名 赛 场 参 赛 证 号 ∕ ∕ ∕ ∕ ∕ ∕ 〇 ∕ ∕ ∕ ∕ ∕ ∕ 〇 ∕ ∕ ∕ ∕ ∕ ∕ ∕ 〇 ∕ ∕ ∕ ∕ ∕ ∕ 密 〇 封 〇 装 〇 订 〇 线 ∕ ∕ ∕ ∕ ∕ ∕ 〇 ∕ ∕ ∕ ∕ ∕ ∕ 〇 ∕ ∕ ∕ ∕ ∕ ∕ 〇 ∕ ∕ ∕ ∕ ∕ ∕ 〇 ∕ ∕ ∕ ∕ ∕ ∕ 密 封 线 内 不 要 答 题

【高中教育】最新高中数学奥林匹克竞赛训练题(206)

——教学资料参考参考范本——【高中教育】最新高中数学奥林匹克竞赛训练题（206） ______年______月______日 ____________________部门

第一试 一、填空题（每小题8分，共64分） 1。已知正整数组成等比数列，且则的最大值为 。 ()a b c a b c <<、、201620162016log log log 3,a b c ++=a b c ++ 2。关于实数的方程的解集为 。x 2 12sin 2222log (1sin )x x -=+- 3。曲线围成的封闭图形的面积为 。 2224x y y +≤ 4。对于所有满足的复数均有，对所有正整数，有，若 。 z i ≠z ()z i F z z i -= +n 1()n n z F z -=020162016,z i z =+=则 5。已知P 为正方体棱AB 上的一点，满足直线A1B 与平面B1CP 所成角 为，则二面角的正切值为 。1111ABCD A B C D -0 6011A B P C -- 6。已知函数，集合则A= 。 22 ()224,()2f x x x g x x x =+-=-+()()f x A x Z g x +?? =∈?? ?? 7。在平面直角坐标系中，P 为椭圆在第三象限内的动点，过点P 引圆的两条切线PA 、PB ，切点分别为A 、B ，直线AB 与轴、轴分别交于点M 、 N ，则面积的最小值为 。 xOy 22 12516x y +=22 9x y +=x y OMN ? 8。有一枚质地均匀的硬币，现进行连续抛硬币游戏，规则如下：在抛掷的过程中，无论何时，连续出现奇数次正面后出现一次反面，则游戏停止；否则游戏继续进行，最多抛掷10次，则该游戏抛掷次数的数学期望为 。 二、解答题（共56分）

高中数学解析几何知识点总结

高中数学解析几何知识 点总结 IMB standardization office【IMB 5AB- IMBK 08- IMB 2C】

§0 7. 直线和圆的方程 知识要点 一、直线方程. 1. 直线的倾斜角：一条直线向上的方向与x 轴正方向所成的最小正角叫做这条直线的倾斜角，其中直线与x 轴平行或重合时，其倾斜角为0，故直线倾斜角的范围是 )0(1800παα ≤≤. 注：①当 90=α或12x x =时，直线l 垂直于x 轴，它的斜率不存在. ②每一条直线都存在惟一的倾斜角，除与x 轴垂直的直线不存在斜率外，其余每一条直线都有惟一的斜率，并且当直线的斜率一定时，其倾斜角也对应确定. 2. 直线方程的几种形式：点斜式、截距式、两点式、斜切式. 特别地，当直线经过两点),0(),0,(b a ，即直线在x 轴，y 轴上的截距分别为)0,0(,≠≠b a b a 时，直线方程是：1=+b y a x . 注：若23 2--=x y 是一直线的方程，则这条直线的方程是23 2--=x y ，但若 )0(23 2 ≥-- =x x y 则不是这条线. 附：直线系：对于直线的斜截式方程b kx y +=，当b k ,均为确定的数值时，它表示一条确定的直线，如果b k ,变化时，对应的直线也会变化.①当b 为定植，k 变化时，它们表示过定点（0，b ）的直线束.②当k 为定值，b 变化时，它们表示一组平行直线. 3. ⑴两条直线平行： 1l ∥212k k l =?两条直线平行的条件是：①1l 和2l 是两条不重合的直线. ②在1l 和2l 的斜 率都存在的前提下得到的. 因此，应特别注意，抽掉或忽视其中任一个“前提”都会导致结论的错误. （一般的结论是：对于两条直线21,l l ，它们在y 轴上的纵截距是21,b b ，则 1l ∥212k k l =?，且21b b ≠或21,l l 的斜率均不存在，即2121A B B A =是平行的必要不充分条 件，且21C C ≠）

2019年度高一数学奥林匹克竞赛决赛试题及答案解析

2019年**一中高一数学竞赛奥赛班试题（决赛） 及答案 （时间：5月16日18：40～20：40） 满分：120分 一、 选择题（本大题共6小题，每小题5分，满分30分） 1．已知 M =},13|{},,13|{},,3|{Z n n x x P Z n n x x N Z n n x x ∈-==∈+==∈=，且 P c N b M a ∈∈∈,,，设c b a d +-=，则∈d （ ） A. M B. N C. P D.P M 2.函数()1 42-+ =x x x x f 是（ ） A 是偶函数但不是奇函数 B 是奇函数但不是偶函数 C 既是奇函数又是偶函数 C 既不是奇函数也不是偶函数 3.已知不等式m 2 ＋(cos 2 θ－5)m ＋4sin 2 θ≥0恒成立，则实数m 的取值范围是（ ） A . 0≤m ≤4 B . 1≤m ≤4 C . m ≥4或x ≤0 D . m ≥1或m ≤0 4.在△ABC 中，c b a ,,分别是角C B A ,,所对边的边长，若 0sin cos 2sin cos =+- +B B A A ，则 c b a +的值是（ ） A.1 B.2 C.3 C.2 5. 设 0a b >>, 那么 2 1 () a b a b + - 的最小值是 A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 6．设ABC ?的内角A B C ,,所对的边,,a b c 成等比数列，则B C B A C A cos tan sin cos tan sin ++的取值范围是 （ ） A. (0,)+∞ B. C. D. )+∞． 二、填空题（本大题共10小题，每小题5分，满分50分） 7.母线长为3的圆锥中，体积最大的那一个的底面圆的半径为 8．函数| cos sin |2sin )(x x e x x f ++=的最大值与最小值之差等于 。

初中数学奥林匹克竞赛题和答案

初中数学奥林匹克竞赛题及答案 奥数题一 一、选择题（每题1分，共10分） 1．如果a，b都代表有理数，并且a＋b=0，那么 ( ) A．a，b都是0 B．a，b之一是0 C．a，b互为相反数 D．a，b互为倒数 答案：C 解析：令a=2，b=－2，满足2+(－2)=0，由此a、b互为相反数。 2．下面的说法中正确的是 ( ) A．单项式与单项式的和是单项式 B．单项式与单项式的和是多项式 C．多项式与多项式的和是多项式 D．整式与整式的和是整式 答案：D 解析：x2，x3都是单项式．两个单项式x3，x2之和为x3+x2是多项式，排除A。两个单项式x2，2x2之和为3x2是单项式，排除B。两个多项式x3+x2与x3－x2之和为2x3是个单项式，排除C，因此选D。 3．下面说法中不正确的是 ( ) A. 有最小的自然数 B．没有最小的正有理数 C．没有最大的负整数 D．没有最大的非负数 答案：C 解析：最大的负整数是-1，故C错误。 4．如果a，b代表有理数，并且a＋b的值大于a－b的值，那么 ( ) A．a，b同号 B．a，b异号 C．a＞0 D．b＞0 答案：D 5．大于－π并且不是自然数的整数有 ( ) A．2个 B．3个 C．4个 D．无数个 答案：C 解析：在数轴上容易看出：在－π右边0的左边（包括0在内）的整数只有－3，－2，

－1，0共4个．选C。 6．有四种说法： 甲．正数的平方不一定大于它本身； 乙．正数的立方不一定大于它本身； 丙．负数的平方不一定大于它本身； 丁．负数的立方不一定大于它本身。 这四种说法中，不正确的说法的个数是 ( ) A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 答案：B 解析：负数的平方是正数，所以一定大于它本身，故C错误。 7．a代表有理数，那么，a和－a的大小关系是 ( ) A．a大于－a B．a小于－a C．a大于－a或a小于－a D．a不一定大于－a 答案：D 解析：令a=0，马上可以排除A、B、C，应选D。 8．在解方程的过程中，为了使得到的方程和原方程同解，可以在原方程的两边( ) A．乘以同一个数 B．乘以同一个整式 C．加上同一个代数式 D．都加上1 答案：D 解析：对方程同解变形，要求方程两边同乘不等于0的数，所以排除A。我们考察方程x－2=0，易知其根为x=2．若该方程两边同乘以一个整式x－1，得(x－1)(x－2)=0，其根为x=1及x=2，不与原方程同解，排除B。同理应排除C．事实上方程两边同时加上一 个常数，新方程与原方程同解，对D，这里所加常数为1，因此选D． 9．杯子中有大半杯水，第二天较第一天减少了10%，第三天又较第二天增加了10%，那么，第三天杯中的水量与第一天杯中的水量相比的结果是( ) A．一样多 B．多了 C．少了 D．多少都可能 答案：C 解析：设杯中原有水量为a，依题意可得， 第二天杯中水量为a×(1－10%)=0.9a； 第三天杯中水量为(0.9a)×(1+10%)=0.9×1.1×a； 第三天杯中水量与第一天杯中水量之比为0.99∶1， 所以第三天杯中水量比第一天杯中水量少了，选C。

首届中国东南地区高中数学奥林匹克

首届中国东南地区数学奥林匹克 第一天 一、设实数a 、b 、c 满足2 2 2 3232 a b c ++= ，求证：39271a b c ---++≥ 二、设D 是ABC ?的边BC 上的一点，点P 在线段AD 上，过点D 作一直线分别与线段AB 、 PB 交于点M 、E ，与线段AC 、PC 的延长线交于点F 、N 。如果DE=DF ， 求证：DM=DN 三、（1）是否存在正整数的无穷数列{}n a ，使得对任意的正整数n 都有2 122n n n a a a ++≥。 （2）是否存在正无理数的无穷数列{}n a ，使得对任意的正整数n 都有2 122n n n a a a ++≥。 四、给定大于2004的正整数n ，将1、2、3、…、2 n 分别填入n ×n 棋盘（由n 行n 列方格构成）的方格中，使每个方格恰有一个数。如果一个方格中填的数大于它所在行至少2004个方格内所填的数，且大于它所在列至少2004个方格内所填的数，则称这个方格为“优格”。求棋盘中“优格”个数的最大值。 第二天 （2004年7月11日 8：00 — 12：00 温州） 五、已知不等式63)cos()2sin 2364 sin cos a a π θθθθ+- + -<++对于0,2πθ?? ∈?? ?? 恒成立，求a 的取值范围。 六、设点D 为等腰ABC ?的底边BC 上一点，F 为过A 、D 、C 三点的圆在ABC ?内的弧上一点，过B 、D 、F 三点的圆与边AB 交于点E 。求证：CD EF DF AE BD AF ?+?=? 七、n 支球队要举行主客场双循环比赛（每两支球队比赛两场，各有一场主场比赛），每支球队在一周（从周日到周六的七天）内可以进行多场客场比赛。但如果某周内该球队有主场比赛，在这一周内不能安排该球队的客场比赛。如果4周内能够完成全部比赛，球n 的最大值。 注：A 、B 两队在A 方场地举行的比赛，称为A 的主场比赛，B 的客场比赛。 八、求满足 0x y y z z u x y y z z u ---++>+++，且110x y z u ≤≤、、、的所有四元有序整数组（,,,x y z u ）的个数。 首届中国东南地区数学奥林匹克（答案）

世界奥林匹克数学竞赛(七年级总决赛)

A F E D C B 世界奥林匹克数学竞赛（中国区）总决赛 七年级数学试题 一、选择题（10个小题，每小题5.2分，共52分） 1、已知c a 、、b 是互不相等的有理数，那么 b a a c a c c b c b b a ------，，中，正数有（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D.3个 2、方程0|3||1|)1(2=+--++x x x 解的个数有（ ）A. 1个 B. 2个 C.3个D.无穷多个 3、已知2009192008 17)1() 1(++-+-=n n a ，当n 依次取1,2，…，2009时，a 的值为负数的个数是 （ ）。 A ．0个 B. 1个 C. 1004个 D.1005个 4、已知c a 、、b ，m 是有理数，且1b +>--=++m c b a m c a ，，则有（ ） A. b < 0 B. c < 0 C. 2 1 - <+c b D. 1>bc 5、已知2009 20082010 200720102008200920072010200920082007??-=??-=??- =c b a ，，，则有（ ） A ．c b a << B. c b a >> C. b a c << D. a c b >> 6、已知?? ?=+=+3 ||||0||y x x y x 中，0≠xy ，则有=y x （ ）A ．1 B. -1 C. 2 D. -2 7、小明在三张卡片上分别写上2，3，5，每张卡片作为数轴上的一个点，卡片上的数表示这个离原点的 距离，把三张卡片摆放到数轴上，不同的摆放方法最多有（ ） A ．12种 B. 8种 C. 6种 D. 2种 8、设三角形三边的长为c a 、、b ，且c b a >>，下面三个式子：①bc a +2；②ca b +2；③ ab c +2，其中值最大的是（ ） A ．① B. ② C. ③ D. 不确定 9、已知：如图，△ABC 中，D 是BC 上的点，BD= 2DC ，E 在AD 上，AE = DE ，BE 交AC 于F ，若△ABC 的面积是302 cm ，那么四边形CDEF 的面积是（ ） A ．92 cm B. 8.52 cm C. 82 cm D. 7.5 2 cm 10、圆周上有9个点，以这些为顶点构成三角形，那么所构成的三角形的个数共有（ ） A ．24个 B. 27个 C. 72个 D. 84个 二、填空题（8个小题，每小题6分，共48分） 1、已知a 是质数，则方程组?? ?=-=+a y x a y x 4的正整数解是 ；

高中数学奥林匹克竞赛中的不变量技巧

数学奥林匹克竞赛中的不变量技巧 在一个变化的数学过程中常常有个别的不变元素或特殊的不变状态，表现出相对稳定的较好性质，选择这些不变性作为解题的突破口是一个好主意。 例1.从数集{}3,4,12开始，每一次从其中任选两个数,a b ，用345 5 a b -和435 5 a b +代替它们，能否通过有限多次代替得到数集{}4,6,12。 解：对于数集{},,a b c ，经过一次替代后，得出3 443,,5 5 5 5a b a b c ??-+???? ， 有2222223443()()5555 a b a b c a b c -+++=++ 即每一次替代后，保持3个元素的平方和不变（不变量）。 由22222234124612++≠++知，不能由{}3,4,12替换为{}4,6,12。 例2.设21n +个整数1221,,,n a a a +…具有性质p ；从其中任意去掉一个，剩下的2n 个数可以分成个数相等的两组，其和相等。证明这2n+1个整数全相等。 证明：分三步进行，每一步都有“不变量”的想法： 第一步 先证明这2n+1个数的奇偶性是相同的 因为任意去掉一个数后，剩下的数可分成两组，其和相等，故剩下的2n 个数的和都是偶数，因此，任一个数都与这2n+1个数的总和具有相同的奇偶性； 第二步 如果1221,,,n a a a +…具有性质P ，则每个数都减去整数c 之后，仍具有性质P ，特别地取1c a =，得21312110,,,,n a a a a a a +---… 也具有性质P ，由第一步的结论知，2131211,,,n a a a a a a +---…都是偶数； 第三步 由21312110,,,,n a a a a a a +---…为偶数且具有性质P ，可得 31 211210, ,,,222 n a a a a a a +---… 都是整数，且仍具有性质P ，再由第一步知，这21n +个数的奇偶性相同，为偶数，所以都除以2后，仍是整数且具有性质P ，余此类推，对任意的正整数k ，均有 31 211210, ,,,222n k k k a a a a a a +---…为整数，且具有性质P ，因k 可以任意大，这就推得 21312110n a a a a a a +-=-==-=…即 1221n a a a +===…。

三年级上册数学奥林匹克竞赛难题试卷

中心小学三上年级数学竞赛试题 小朋友，经过小学里两年多的学习，你一定掌握了不少本领，相信你一定会有大的收获。 一、我会填(每题2分，共26分) 1、小华和姐姐踢毽子。姐姐三次一共踢81下，小华第一次和第二次都踢了25下，要想超过姐姐，小华第三次最少要踢（）个。 2、学校有篮球和排球共80个，篮球比排球多4个，篮球有（）个。 3、7只猴子一共吃了13个桃，每只大猴吃3个，每只小猴吃1个，请你算一算，大猴有（）只。 4、某学生第一次与第二次数学测验的平均成绩是62分，第三次测验后，三次平均成绩是68分，他第三次得（）分。 5、由0、2、5、8组成的最大四位数是（），最小四位数是（）。 6、在（）里填上合适的数 2时=（）分 8米=（）分米=（）厘米 5000千克=（）吨 60毫米=（）厘米 7、下列算式中，□，○，△，☆各代表什么数？ (1)□+5=13-6； (2)28-○=15+7；(3)3×△=54； (4) 56÷☆= 7 □=（），○=（），△=（），☆=（）。 8、用4个边长是1厘米的正方形，拼成一个长方形，这个长方形的周长是（）厘米，如果拼成一个正方形，这个正方形的周长是（）厘米。 9、小惠今年6岁，爸爸今年年龄是她的5倍，（）年后，爸爸年龄是小惠的3倍。 10、四月份有30天，这个月共( )个星期余( )天。 11、在○里填上“＞”“＜”或“=” 3时○300分60毫米○6分米6千米○5800米6+7+8+9+0○6×7×8×9×0 12、一节课40 分钟，如果10时40分上课，那么( )时( )分下课。 13、在□内填入适当的数字，使下列加法竖式成立：