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微积分课后题答案习题详解

第二章

习题2-1

1. 试利用本节定义5后面的注（3）证明：若lim n →∞

x n =a ,则对任何自然数k ，有lim n →∞

x n +k =a .

证：由lim n n x a →∞

=，知0ε?>，1N ?，当1n N >时，有

取1N N k =-，有0ε?>，N ?，设n N >时（此时1n k N +>）有由数列极限的定义得 lim n k x x a +→∞

2. 试利用不等式A B A B -≤-说明：若lim n →∞

x n =a ,则lim n →∞

∣x n ∣=|a|.考察数列x n =(-1)n ，说明上

述结论反之不成立. 证：

而 n n x a x a -≤- 于是0ε?>，,使当时，有N n N ?>

n n x a x a ε-≤-< 即 n x a ε-<

由数列极限的定义得 lim n n x a →∞

考察数列 (1)n

n x =-，知lim n n x →∞不存在，而1n x =，lim 1n n x →∞

=，

所以前面所证结论反之不成立。

3. 利用夹逼定理证明：

(1) lim n →∞2221

11(1)(2)n n n ??+++ ?+??

L =0； (2) lim n →∞2!n n =0. 证：（1）因为

222222111112(1)(2)n n n n n n n n n n

++≤+++≤≤=+L 而且 21lim

0n n →∞=，2lim 0n n

→∞=，

所以由夹逼定理，得

222111lim 0(1)(2)n n n n →∞??

+++= ?+?

?L . （2）因为22222240!1231n n n n n

=<-g g g L g g ，而且4lim 0n n →∞=，所以，由夹逼定理得

4. 利用单调有界数列收敛准则证明下列数列的极限存在. (1) x n =

n e +，n =1,2,…；

(2) x 1x n +1,n =1,2,…. 证：（1）略。

（2）因为12x <，不妨设2k x <，则

故有对于任意正整数n ，有2n x <，即数列{}n x 有上界，

又 1n n x x +-=

，而0n x >,2n x <，

所以 10n n x x +-> 即 1n n x x +>，即数列是单调递增数列。

综上所述，数列{}n x 是单调递增有上界的数列，故其极限存在。

习题2-2

1※

. 证明：0

lim x x →f (x )=a 的充要条件是f (x )在x 0处的左、右极限均存在且都等于a .

证：先证充分性：即证若0

lim ()lim ()x x x x f x f x a -+

→→==，则0

lim ()x x f x a →=. 由0

lim ()x x f x a -→=及0

lim ()x x f x a +

→=知： 10,0εδ?>?>,当010x x δ<-<时，有()f x a ε-<，

20δ?>当020x x δ<-<时，有()f x a ε-<。

取{}12min ,δδδ=，则当00x x δ<-<或00x x δ<-<时，有()f x a ε-<，而00x x δ<-<或00x x δ<-<就是00x x δ<-<，于是0,0εδ?>?>，当00x x δ<-<时，有()f x a ε-<，所以 0

lim ()x x f x a →=.

再证必要性：即若0

lim ()x x f x a →=，则0

lim ()lim ()x x x x f x f x a -+

→→==, 由0

lim ()x x f x a →=知，0,0εδ?>?>，当00x x δ<-<时，有()f x a ε-<，

由00x x δ<-<就是 00x x δ<-<或00x x δ<-<，于是0,0εδ?>?>，当00x x δ<-<或

00x x δ<-<时，有()f x a ε-<.

所以 0

lim ()lim ()x x x x f x f x a -+

→→== 综上所述，0

lim x x →f (x )=a 的充要条件是f (x )在x 0处的左、右极限均存在且都等于a .

2. (1) 利用极限的几何意义确定0

lim x → (x 2+a ),和0

lim x -

→1

e x

； (2) 设f (x )= 1

e ,0,,0,

x x a x ??

解：（1）因为x 无限接近于0时，2x a +的值无限接近于a ，故2

0lim()x x a a →+=.

当x 从小于0的方向无限接近于0时，1

e x

的值无限接近于0，故1

lim e 0x

x -

→=. （2）若0

lim ()x f x →存在，则0

0lim ()lim ()x x f x f x +-

→→=，由（1）知 2

lim ()lim()lim()x x x f x x a x a a +--

→→→=+=+=，所以，当0a =时，0

lim ()x f x →存在。

3. 利用极限的几何意义说明lim x →+∞

sin x 不存在.

解：因为当x →+∞时，sin x 的值在-1与1之间来回振摆动，即sin x 不无限接近某一定直线

y A =，亦即()y f x =不以直线y A =为渐近线，所以lim sin x x →+∞

不存在。

习题2-3

1. 举例说明：在某极限过程中，两个无穷小量之商、两个无穷大量之商、无穷小量与无穷大量之积都不一定是无穷小量，也不一定是无穷大量.

解：例1：当0x →时，tan ,sin x x 都是无穷小量，但由sin cos tan x

x x

=（当0x →时，cos 1x →）不是无穷大量，也不是无穷小量。

例2：当x →∞时，2x 与x 都是无穷大量，但

22x

=不是无穷大量，也不是无穷小量。例3：当0x +

→时，tan x 是无穷小量，而cot x 是无穷大量，但tan cot 1x x =g 不是无穷大量，也不是无穷小量。

2. 判断下列命题是否正确：

(1) 无穷小量与无穷小量的商一定是无穷小量； (2) 有界函数与无穷小量之积为无穷小量； (3) 有界函数与无穷大量之积为无穷大量； (4) 有限个无穷小量之和为无穷小量； (5) 有限个无穷大量之和为无穷大量；

(6) y =x sin x 在(-∞，+∞)内无界，但lim x →∞

x sin x ≠∞；

(7) 无穷大量的倒数都是无穷小量； (8) 无穷小量的倒数都是无穷大量.

解：（1）错误，如第1题例1；（2）正确，见教材§定理3；

（3）错误，例当0x →时，cot x 为无穷大量，sin x 是有界函数，cot sin cos x x x =g 不是无穷大量；

（4）正确，见教材§定理2；

（5）错误，例如当0x →时，1x 与1x -都是无穷大量，但它们之和11

()0x x

+-=不是无穷大量；

（6）正确，因为0M ?>，?正整数

k ，使π

2π+

k M >，从而ππππ

(2π+)(2π+)sin(2π+)2π+2222

f k k k k M ==>，即sin y x x =在(,)-∞+∞内无界，又

0M ?>，

无论X 多么大，总存在正整数k ，使π>k X ，使(2π)πsin(π)0f k k k M ==<，即x →+∞时，sin x x 不无限增大，即lim sin x x x →+∞

≠∞；

（7）正确，见教材§定理5；

（8）错误，只有非零的无穷小量的倒数才是无穷大量。零是无穷小量，但其倒数无意义。 3. 指出下列函数哪些是该极限过程中的无穷小量，哪些是该极限过程中的无穷大量. (1) f (x )=

x -,x →2; (2) f (x )=ln x ，x →0+，x →1,x →+∞； (3) f (x )= 1e x

,x →0+，x →0-； (4) f (x )=

2π

-arctan x ,x →+∞;

(5) f (x )=

1x sin x ,x →∞; (6) f (x )= 21x

x →∞. 解：（1）2

lim(4)0x x →-=因为，即2x →时，2

4x -是无穷小量，所以

x -是无穷小量，因而

x -也是无穷大量。（2）从()ln f x x =的图像可以看出，1

lim ln ,limln 0,lim ln x x x x x x +

→→+∞

→=-∞==+∞，所以，当0x +→时，x →+∞时，()ln f x x =是无穷大量；

当1x →时，()ln f x x =是无穷小量。

（3）从1

()e x f x =的图可以看出，110

lim e ,lim e 0x x

x x +-

→→=+∞=，所以，当0x +

→时，1()e x

f x =是无穷大量；当0x -

→时，1()e x

f x =是无穷小量。（4）πlim (arctan )02

x x →+∞

-=Q ，

∴当x →+∞时，π

()arctan 2

f x x =

-是无穷小量。

（5）Q 当x →∞时，

是无穷小量，sin x 是有界函数， ∴

sin x x

是无穷小量。（6）Q 当x →∞时，

∴

是无穷小量。习题2-4

1.若0

lim x x →f (x )存在，0

lim x x →g (x )不存在，问0

lim x x →［f (x )±g (x )］, 0

lim x x →［f (x )·g (x )］是否存在，为什么?

解：若0

lim x x →f (x )存在，0

lim x x →g (x )不存在，则

（1）0

lim x x →［f (x )±g (x )］不存在。因为若0

lim x x →［f (x )±g (x )］存在，则由()()[()()]

g x f x f x g x =--或()[()()]()g x f x g x f x =+-以及极限的运算法则可得0

lim x x →g (x )，与题设矛盾。

（2）0

lim x x →［f (x )·g (x )］可能存在，也可能不存在，如：()sin f x x =，1

()g x x

，则0limsin 0x x →=，

01lim x x →不存在，但0

lim x x →［f (x )·

g (x )］=01

lim sin 0x x x →=存在。又如：

()sin f x x =，1()cos g x x =

，则π2

limsin 1x x →=，π2

lim cos x x

→不存在，而

lim x x →［f (x )·

g (x )］π

lim tan x x →

=不存在。 2. 若0

lim x x →f (x )和0

lim x x →g (x )均存在，且f (x )≥g (x )，证明0

lim x x →f (x )≥0

lim x x →g (x ).

证：设0

lim x x →f (x )=A ，0

lim x x →g (x )=B ，则0ε?>，分别存在10δ>，20δ>，使得当01

0x x δ<-<时，有()A f x ε-<，当020x x δ<-<时，有()g x B ε<+

令{}12min ,δδδ=，则当00x x δ<-<时，有从而2A B ε<+，由ε的任意性推出A B ≤即

lim ()lim ()x x x x f x g x →→≤.

3. 利用夹逼定理证明：若a 1,a 2，…，a m 为m 个正常数，则

lim

→∞

=A ,

其中A =max{a 1,a 2,…，a m }.

≤，即

而lim

n A A

→∞=，

lim n

m A A

→∞

g，由夹逼定理得

4※. 利用单调有界数列必存在极限这一收敛准则证明：若x1

,x2

，x n+1

（n=1,2,…），则lim

n→∞

x n存在，并求该极限.

证：因为

x x

==有

x x

今设

k k

x x

，则

k k

x x

=>=，由数学归纳法知，对于任意正整数n有1

n n

x x

>，即数列{}n x单调递增。

又因为

x<，今设2

，则

=<=，由数学归纳法知，对于

任意的正整数n有2

x<，即数列{}n x有上界，由极限收敛准则知lim n

→∞

存在。

设lim

x b

→∞

=，

对等式

两边取极限得b=即22

b b

=+，解得2

b=，1

b=-（由极限的保号性，舍去），所以lim2

→∞

5. 求下列极限：

(1) lim

n→∞

324

n n

n n n

+-+

；(2) lim

→∞

1cos n

???

；

(3) lim

n→∞

(4) lim

n→∞11

(2)3

n n

；

(5) lim

n→∞

+++

解：（1）原式=

lim

1115

n n

n n n

→∞

+-+

；

（2

）因为lim(10

n→∞

=，即当n→∞

时，1是无穷小量，而cos n是有界变量，由无穷

小量与有界变量的乘积是无穷小量得：lim(10

→∞

；

（3

）

2 n n

→∞

而

lim0

n n

→∞→∞

==，

n n

→∞

∴==∞；

（4）

121

(1)()

(2)31

333

lim lim

(2)33

(1)()1

n n

n n n n

→∞→∞++

-+-+

g g

；

（5）

1()

1111

114[1()]4

2222

lim lim lim

11113 11()3[1()]

3333

n n n

n n

→∞→∞→∞

+++--

===

+++--

6. 求下列极限：

(1)

lim

x→2

；(2)

lim

x→2

x x

；

(3) lim

x→∞

x x

; (4)

lim

→

sin cos

cos2

x x

;

(5)

lim

h→

()

x h x

; (6)

lim

→

;

(7)

lim

x→

x x x n

+++-

; (8)lim

x→∞

sin

x x

；

(9) lim

→+∞

(10)

lim

x→3

()

x x

；

(11)

lim

x→

(sin)

解：

333

3311

(1)lim lim lim

9(3)(3)36

x x x

x x

x x x x

→→→

===

--++

（2）2

lim(54)0,lim(23)1

x x

x x x

→→

-+=-=-

（3）3

422

6464lim lim 03

232x x x x x x x x

→∞→∞++==++；（4）π2

ππ

sin

cos sin cos 22lim

1cos 2cos π

x x x

x →

--=

=-；（5）[]22

3300()()()()lim lim

h h x h x x h x h x x x h x h h

→→??+-+++++-??= 222

lim ()()3h x h x h x x x →??=++++=??；（6

）

3(23)92)x x x →→+-+

334

x x →→===；

（7）2211(1)(1)(1)

lim lim 11

n n x x x x x n x x x x x →→+++--+-++-=--L L

123(1)2

n n n =++++=

+L ；（8）sin lim

0x x x →∞=Q （无穷小量1

与有界函数sin x 之积为无穷小量）

sin 1sin lim lim 1sin sin 1x x x x x x x

x x x

→∞→∞+

+∴==-

；（9

）22lim lim

x x →+∞

lim

1x x ===；

（10）1lim x →3

()11x x ---231(1)3lim 1x x x x →++-=-

（11）Q 当0x →时，2

x 是无穷小量，1

sin x

是有界函数， ∴它们之积2

1sin

x x 是无穷小量，即2

01lim sin 0x x x →??= ??

?。

习题2-5

求下列极限(其中a ＞0,a ≠1为常数）： 1. 0

lim

x →sin 53x x

; 2. 0lim x →tan 2sin 5x

x ; 3. 0lim x →x cot x ;

4. 0lim x

→x ; 5. 0lim x →2cos5cos 2x x x -; 6. lim x →∞1x

x x ??

?+??

; 7. 0

lim x →()

cot 13sin x

x +; 8. 0lim x →1

x a x

-; 9. 0lim x →x x a a x --;

10. lim x →+∞ln(1)ln x x x +-; 11. lim x →∞3222x

x x -?? ?-??; 12.lim x →∞211x

x ?

?+ ???

; 13. 0lim

x →arcsin x x ; 14. 0lim x →arctan x

; .

解：1. 000sin 55sin 55sin 55

lim lim lim 335353x x x x x x x x x →→→===g ；

2. 000tan 2sin 221sin 25lim lim lim sin 5cos 2sin 55cos 22sin 5x x x x x x x x x x x x x

→→→==g g g 0205021sin 252lim lim lim 5cos 22sin 55

x x x x x x x x →→→==g g ； 3. 0000

lim cot lim cos lim limcos 1cos01sin sin x x x x x x

x x x x x x →→→→=?==?=g ；

4. 0

00sin

x x x x x x →→→→===g

0sin

2122

x x

x →===； 5. 2200073732sin sin sin sin cos5cos 2732222lim lim lim (2)732222x x x x x x x x x x x x x →→→??-??-==-????????

0073sin sin 212122lim

lim 7322

x x x x x x →→=-?=-； 6. 111lim lim lim 111e

(1)x

x x x x x x x x x →∞→∞→∞

?? ???=== ? ?++?? ?+??

；

7. 3cos cos 1

cot sin 3sin 0

lim(13sin )

lim (13sin )x

x x

x x x x x x x →→→??+=+=+????

8.令1x

u a =-，则log (1)a x u =+，当0x →时，0u →，

ln log e

limlog (1)

a u

a u a u →=

=+. 9. 000(1)(1)

11lim lim lim x x x x x x x x x a a a a a a x x x x ---→→→??------==+ ?-??

（利用了第8题结论01

lim ln x x a a x

→-=）；

10. ln(1)ln 11lim

lim ln

x x x x x

x x x

→+∞→+∞+-+=? 1111

lim ln(1)lim lim ln(1)0x x x x x x x

→+∞→+∞→+∞=+=+=； 11. 22223211lim lim 1lim 1222222x x x x

x x x x x x x --→∞

→∞→∞??-??????=+=+??

? ? ?

---?????????

232lim e 22x

x x x -→∞-??∴= ?-??

； 12. 1

1222

11ln (1)lim ln(1)2211lim(1)lim (1)lim e e x x x

x x

x x x x

x x x x x →∞?

?++

→∞→∞→∞?

?+=+==????

1lim lim ln(1)0lne 0e e e 1x

x x x x

→∞→∞

?====；

13.令arcsin x u =，则sin x u =，当0x →，0u →，

000arcsin 1

lim

lim 1sin sin lim

x u u x u u x u u

→→→===；

14.令arctan x u =，则tan x u =，当0x →，0u →，

00000arctan 1lim lim lim cos lim limcos 1sin tan sin x u u u u x u u u u u x u u

→→→→→====g g . 习题2-6

1. 证明：若当x →x 0时，α(x )→0,β(x )→0,且α(x )≠0，则当x →x ０时，α(x )～β(x )的充要条件是

lim

x x →()()

()

x x x αβα-＝０.

证：先证充分性.

若0

lim

x x →()()()x x x αβα-＝０，则0lim x x →()

(1)()

x x βα-

＝0, 即0

()1lim

0()x x x x βα→-=，即0

()

lim 1()

x x x x βα→=.

也即0

()

lim

1()

x x x x αβ→=，所以当0x x →时，()()x x αβ:. 再证必要性：

若当0x x →时，()()x x αβ:，则0

()

lim

1()

x x x x αβ→=，所以0

lim

x x →()()()x x x αβα-＝0lim x x →()(1)()x x βα-

＝0

()1lim ()x x x x βα→-=0

1110()lim

()

x x x x αβ→-=-=. 综上所述，当x →x 0时，α(x )～β(x )的充要条件是

lim

x x →()()

()

x x x αβα-＝０.

2. 若β(x )≠0，0

lim x x →β(x )=0且0

lim

x x →()

()

x x αβ存在，证明0lim x x →α(x )=0.

证：0

()()lim ()lim

()lim lim ()()

()x x x x x x x x x x x x x x x αααββββ→→→→==g g 0

()

lim 00()x x x x αβ→==g

即 0

lim ()0x x x α→=.

3. 证明：若当x →0时，f (x )=o (x a )，g (x )=o (x b )，则f (x )·g (x )＝o (a b

x +)，其中a ,b 都大于0，并由

此判断当x →0时，tan x －sin x 是x 的几阶无穷小量.

证: ∵当x →0时, f (x )=o (x a )，g (x )=o (x b )

∴00()()

lim

(0),lim (0)a b

x x f x g x A A B B x x →→=≠=≠

于是: 0000()()()()()()

lim

lim lim lim 0a b a b

a b x x x x f x g x f x g x f x g x AB x x x x x +→→→→?=?=?=≠ ∴当x →0时, ()()()a b

f x

g x O x

+?=,

∵tan sin tan (1cos )x x x x -=-

而当x →0时, 2

tan (),1cos ()x O x x O x =-=, 由前面所证的结论知, 3tan (1cos )()x x O x -=,

所以,当x →0时,tan sin x x -是x 的3阶无穷小量. 4. 利用等价无穷小量求下列极限： (1) 0

lim

x →sin tan ax bx (b ≠0)； (2) 0lim x →2

1cos kx

x -；

(3) 0

lim

→； (4) 0lim

→

(5) 0lim x →arctan arcsin x

x ； (6) 0lim x →sin sin e e ax bx ax bx

-- (a ≠b )；

(7) 0lim

x →ln cos 2ln cos3x x ； (8) 设0lim x →2

()3

f x x -＝100,求0lim x →f (x ).

解 00sin (1)lim lim .tan x x ax ax a

bx bx b

→→==

(8)由20()3

lim 100x f x x

→-=,及20lim 0x x →=知必有0lim[()3]0x f x →-=, 即 0

lim[()3]lim ()30x x f x f x →→-=-=,

所以 0

lim ()3x f x →=.

习题2-7 １.研究下列函数的连续性，并画出函数的图形：

(1) f (x )= 31,01,3,12;x x x x ?+≤

1,1 1.x x x x -≤

解: (1) 3

lim ()lim(1)1(0)x x f x x f ++

→→=+==Q ∴ f (x )在x =0处右连续, 又1

lim ()lim(3)2x x f x x ++

→→=-=Q ∴ f (x )在x =1处连续.

又 2

lim ()lim(3)1(2)x x f x x f --

→→=-== ∴ f (x )在x =2处连续.

又f (x )在(0,1),(1,2)显然连续,综上所述, f (x )在[0,2]上连续.图形如下:

图2-1 (2) 1

lim ()lim 1x x f x x --

→→==Q ∴ f (x )在x =1处连续.

又1

lim ()lim 11x x f x -+→-→-==

故1

lim ()lim ()x x f x f x -+→-→-≠

∴ f (x )在x =-1处间断, x =-1是跳跃间断点.

又f (x )在(,1),(1,1),(1,)-∞--+∞显然连续.

综上所述函数f (x )在x =-1处间断,在(,1),(1,)-∞--+∞上连续.图形如下:

图2-2

2. 说明函数f (x )在点x 0处有定义、有极限、连续这三个概念有什么不同?又有什么联系? 略.

3.函数在其第二类间断点处的左、右极限是否一定均不存在?试举例说明. 解:函数在其第二类间断点处的左、右极限不一定均不存在.

例如0(),01

x x f x x x x

≤??

==?>??是其的一个第二类间断点,但0

lim ()lim 0x x f x x --

→→==即在0x =处左极限存在,而0

lim ()lim x x f x x

→→==+∞,即在0x =处右极限不存在. 4.求下列函数的间断点，并说明间断点的类型：

(1) f (x )= 22132x x x -++； (2) f (x )＝sin sin x x

+；

(3) f (x )= ()

x +； (4) f (x )=

x x +-； (5) f (x )= 1sin

x x

. 解: (1)由2

320x x ++=得x =-1, x =-2 ∴ x =-1是可去间断点,x =-2是无穷间断点. (2)由sin x =0得πx k =,k 为整数. ∴ x =0是跳跃间断点. (4)由x 2-4=0得x =2,x =-2.

∴ x =2是无穷间断点,x =-2是可去间断点. (5) 0

lim ()lim sin

0,()x x f x x f x x

→→==Q 在x =0无定义故x =0是f (x )的可去间断点.

5.适当选择a 值，使函数f (x )= ,0,

,0x e x a x x ?

在点x =0处连续.

解: ∵f (0)=a ,

要f (x )在x =0处连续,必须0

lim ()lim ()(0)x x f x f x f +-

→→==. 即a =1.

6※

.设f (x )= lim x →+∞x x

x x

a a a a ---+，讨论f (x )的连续性.

解: 2210

1()lim

lim sgn()10100

x x

x a a x a a a f x x x a a a x --→+∞→+∞-?++?

=? 所以, f (x )在(,0)(0,)-∞+∞U 上连续,x =0为跳跃间断点. 7. 求下列极限： (1) 2

lim

x →222

x x x +-； (2) 0lim x

→ (3) 2

lim x →ln(x -1); (4) 1

lim x →

arcsin

(5) lim x e

→(ln x )x .

解: 22

222

(1)lim

1;2222

x x x x →?==+-+- 习题2-8

1. 证明方程x 5-x 4-x 2-3x =1至少有一个介于1和2之间的根. 证: 令542

()31f x x x x x =----,则()f x 在[1,2]上连续, 且 (1)50f =-<, (2)50f =>

由零点存在定理知至少存在一点0(1,2),x ∈使得0()0f x =.

即 542

000031x x x x ---=,

即方程542

31x x x x ---=至少有一个介于1和2之间的根. 2. 证明方程ln （１＋e x ）-2x =0至少有一个小于1的正根.

证: 令()ln(1)2e x

f x x =+-,则()f x 在(,)-∞+∞上连续,因而在[0,1]上连续, 且 0

(0)ln(1)20ln 20e f =+-?=>

由零点存在定理知至少存在一点0(0,1)x ∈使得0()0f x =. 即方程ln(1)20e x

x +-=至少有一个小于1的正根.

3※

. 设f (x )∈C （-∞，+∞），且lim x →-∞f (x )=A , lim x →+∞

f (x )=B , A ·B ＜0，试由极限及零点存在定理的几何

意义说明至少存在一点x 0∈（－∞,＋∞），使得f (x 0)＝０. 证: 由A ·B <0知A 与B 异号,不防设A >0,B <0

由lim ()0,lim ()0x x f x A f x B →-∞

→+∞

=>=<,及函数极限的保号性知,10X ?>,使当1x X <-,有

()0,f x >

20X ?<,使当2x X >时,有()0f x <.

现取1x a X =<-,则()0f a >,

2x b X =>,则()0f b <,且a b <,

由题设知()f x 在[,]a b 上连续,由零点存在定理,至少存在一点0(,)x a b ∈使0()0f x =, 即至少存在一点0(,)x ∈-∞+∞使0()0f x =.

4.设多项式P n (x )＝x n +a 11

n x -+…+a n .，利用第3题证明：当n 为奇数时，方程P n (x )=0至少有一

实根.

证: 12

2()1n

n n n a a a P x x x x x ??

+++ ???

Q L ()

lim

10n n

x P x x →∞∴=>,由极限的保号性知.

0X ?>,使当X x >时有()

0n n P x x

>,此时()n P x 与n x 同号,因为n 为奇数,所以(2X )n 与(-2X )n 异号,

于是(2)n P X -与(2)n P X 异号,以()n P x 在[2,2]X X -上连续,由零点存在定理,至少存在一点

0(2,2)X X X ∈-,使0()0n P x =,即()0n P x =至少有一实根.

微积分期末测试题及复习资料

一单项选择题(每小题3分,共15分) 1.设lim ()x a f x k →=,那么点x =a 是f (x )的( ). ①连续点 ②可去间断点 ③跳跃间断点 ④以上结论都不对 2.设f (x )在点x =a 处可导,那么0()(2)lim h f a h f a h h →+--=( ). ①3()f a ' ②2()f a ' ③()f a ' ④ 1()3f a ' 3.设函数f (x )的定义域为[-1,1],则复合函数f (sinx )的定义域为( ). ①(-1,1) ②,22ππ??-??? ? ③(0,+∞) ④(-∞,+∞) 4.设2()()lim 1() x a f x f a x a →-=-,那么f (x )在a 处( ). ①导数存在,但()0f a '≠ ②取得极大值 ③取得极小值 ④导数不存在 5.已知0lim ()0x x f x →=及( ),则0 lim ()()0x x f x g x →=. ①g (x )为任意函数时 ②当g (x )为有界函数时 ③仅当0lim ()0x x g x →=时 ④仅当0 lim ()x x g x →存在时二填空题(每小题5分,共15分) 1.sin lim sin x x x x x →∞-=+____________. 2.31lim(1)x x x +→∞+=____________. 3.()f x =那么左导数(0)f -'=____________,右导数(0)f +'=____________. 三计算题(1-4题各5分,5-6题各10分,共40分) 1.111lim()ln 1 x x x →-- 2.t t x e y te ?=?=?,求22d y dx 3.ln(y x =,求dy 和22d y dx . 4.由方程0x y e xy +-=确定隐函数y =f (x ) ,求dy dx . 5.设111 1,11n n n x x x x --==++,求lim n x x →∞.

大学高等数学上考试题库(附答案)

《高数》试卷1（上）一．选择题（将答案代号填入括号内，每题3分，共30分）. 1．下列各组函数中，是相同的函数的是（）. （A ）()()2ln 2ln f x x g x x == 和（B ）()||f x x = 和 ()2g x x = （C ）()f x x = 和 ()() 2 g x x = （D ）()|| x f x x = 和 ()g x =1 2．函数()()sin 42 0ln 10x x f x x a x ?+-≠? =+?? =? 在0x =处连续，则a =（）. （A ）0 （B ）1 4 （C ）1 （D ）2 3．曲线ln y x x =的平行于直线10x y -+=的切线方程为（）. （A ）1y x =- （B ）(1)y x =-+ （C ）()()ln 11y x x =-- （D ）y x = 4．设函数()||f x x =，则函数在点0x =处（）. （A ）连续且可导（B ）连续且可微（C ）连续不可导（D ）不连续不可微 5．点0x =是函数4 y x =的（）. （A ）驻点但非极值点（B ）拐点（C ）驻点且是拐点（D ）驻点且是极值点 6．曲线1 || y x = 的渐近线情况是（）. （A ）只有水平渐近线（B ）只有垂直渐近线（C ）既有水平渐近线又有垂直渐近线（D ）既无水平渐近线又无垂直渐近线 7． 211 f dx x x ??' ???? 的结果是（）. （A ）1f C x ?? -+ ??? （B ）1f C x ?? --+ ??? （C ）1f C x ?? + ??? （D ）1f C x ?? -+ ??? 8． x x dx e e -+?的结果是（）. （A ）arctan x e C + （B ）arctan x e C -+ （C ）x x e e C --+ （ D ）ln()x x e e C -++ 9．下列定积分为零的是（）.

大一高等数学期末考试试卷及答案详解

大一高等数学期末考试试卷一、选择题（共12分） 1. （3分）若2,0, (),0x e x f x a x x ?<=?+>?为连续函数,则a 的值为( ). (A)1 (B)2 (C)3 (D)-1 2. （3分）已知(3)2,f '=则0 (3)(3) lim 2h f h f h →--的值为（）. (A)1 (B)3 (C)-1 (D) 12 3. （3分）定积分22 π π-?的值为（）. (A)0 (B)-2 (C)1 (D)2 4. （3分）若()f x 在0x x =处不连续,则()f x 在该点处( ). (A)必不可导 (B)一定可导(C)可能可导 (D)必无极限二、填空题（共12分） 1．（3分）平面上过点(0,1)，且在任意一点(,)x y 处的切线斜率为23x 的曲线方程为 . 2. （3分） 1 241 (sin )x x x dx -+=? . 3. （3分） 20 1 lim sin x x x →= . 4. （3分） 3223y x x =-的极大值为 . 三、计算题（共42分） 1. （6分）求2 ln(15) lim .sin 3x x x x →+ 2. （6分）设2 ,1 y x =+求.y ' 3. （6分）求不定积分2ln(1).x x dx +?

4. （6分）求3 (1),f x dx -? 其中,1,()1cos 1, 1.x x x f x x e x ?≤? =+??+>? 5. （6分）设函数()y f x =由方程0 cos 0y x t e dt tdt +=??所确定,求.dy 6. （6分）设2()sin ,f x dx x C =+?求(23).f x dx +? 7. （6分）求极限3lim 1.2n n n →∞ ? ?+ ??? 四、解答题（共28分） 1. （7分）设(ln )1,f x x '=+且(0)1,f =求().f x 2. （7分）求由曲线cos 22y x x π π??=-≤≤ ???与x 轴所围成图形绕着x 轴旋转一周所得旋转体的体积. 3. （7分）求曲线3232419y x x x =-+-在拐点处的切线方程. 4. （7 分）求函数y x =+[5,1]-上的最小值和最大值. 五、证明题(6分) 设()f x ''在区间[,]a b 上连续,证明 1()[()()]()()().22b b a a b a f x dx f a f b x a x b f x dx -''=++--? ? 标准答案一、 1 B; 2 C; 3 D; 4 A. 二、 1 31;y x =+ 2 2 ;3 3 0; 4 0. 三、 1 解原式205lim 3x x x x →?= 5分 5 3 = 1分 2 解 22ln ln ln(1),12 x y x x ==-++ 2分

高等数学下册试题(题库)及参考答案

高等数学下册试题库一、选择题（每题4分，共20分） 1. 已知A (1,0,2), B (1,2,1)是空间两点，向量的模是：（ A ） A ）5 B ） 3 C ） 6 D ）9 解 ={1-1，2-0，1-2}={0，2，-1}， |AB |= 5)1(20222=-++. 2. 设a ={1,-1,3}, b ={2,-1,2}，求c =3a -2b 是：（ B ） A ）{-1,1,5}. B ） {-1,-1,5}. C ） {1,-1,5}. D ）{-1,-1,6}. 解 (1) c =3a -2b =3{1,-1,3}-2{2,-1,2}={3-4,-3+2,9-4}={-1,-1,5}. 3. 设a ={1,-1,3}, b ={2, 1, -2}，求用标准基i , j , k 表示向量c=a-b ; （ A ） A ）-i -2j +5k B ）-i -j +3k C ）-i -j +5k D ）-2i -j +5k 解c ={-1,-2,5}=-i -2j +5k . 4. 求两平面032=--+z y x 和052=+++z y x 的夹角是：（C ） A ）2π B ）4π C ）3 π D ）π 解由公式（6-21）有 2 1112)1(211)1(1221cos 2222222 121= ++?-++?-+?+?= ??= n n n n α，因此，所求夹角 32 1 arccos π α= =． 5. 求平行于z 轴，且过点)1,0,1(1M 和)1,1,2(2-M 的平面方程．是：（D ） A ）2x+3y=5=0 B ）x-y+1=0 C ）x+y+1=0 D ）01=-+y x ．解由于平面平行于z 轴，因此可设这平面的方程为 0=++D By Ax 因为平面过1M 、2M 两点，所以有 ?? ?=+-=+020D B A D A 解得D B D A -=-=,，以此代入所设方程并约去)0(≠D D ，便得到所求的平面方程 01=-+y x 6．微分方程()043 ='-'+''y y y x y xy 的阶数是( D )。 A ．3 B ．4 C ．5 D ． 2

微积分复习题题库超全

习题 1—2 1．确定下列函数的定义域：（1）91 2 -=x y ；（2）x y a arcsin log =；（3）x y πsin 2 = ；（4）)32(log 213-+-=x x y a ；（5）)4(log 2 1 arccos 2x x y a -+-= 2．求函数 ?????=≠=) 0(0 )0(1sin x x x y 的定义域和值域。 3．下列各题中，函数)(x f 和)(x g 是否相同？（1）2)(,)(x x g x x f ==；（2）2 sin 21)(,cos )(2π -==x g x x f ；（3）1)(,1 1 )(2-=+-= x x g x x x f ；（4）0)(,)(x x g x x x f == 。 4．设x x f sin )(=证明： ?? ? ?? +=-+2cos 2sin 2)()(x x x x f x x f ??? 5．设5)(2++=bx ax x f 且38)()1(+=-+x x f x f ，试确定b a ,的值。 6．下列函数中哪些是偶函数？哪些是奇函数？哪些是既非奇函数又非偶函数？（1）)1(22x x y -= （2）3 23x x y -=；（3）2211x x y +-=；（4）)1)(1(+-=x x x y ；（5）1cos sin +-=x x y （6）2 x x a a y -+=。 7．设)(x f 为定义在),(∞+-∞上的任意函数，证明：（1）)()()(1x f x f x F -+= 偶函数；（2）)()()(2x f x f x F --=为奇函数。 8．证明：定义在),(∞+-∞上的任意函数可表示为一个奇函数与一个偶函数的和。 9．设)(x f 定义在),(L L -上的奇函数，若)(x f 在),0(L 上单增，证明：)(x f 在)0,(L -上也单增。 10．下列各函数中哪些是周期函数？对于周期函数，指出其周期：（1）)2cos(-=x y （2）x y 4cos =；（3）x y πsin 1+=；（4）x x y cos =；（5）x y 2sin = （6）x x y tan 3sin +=。 11．下列各组函数中哪些不能构成复合函数？把能构成复合函数的写成复合函数，并指出其定义域。（1）t x x y sin ,3== （2）2,x u a y u ==；（3）23,log 2+==x u u y a ；（4）2sin ,-==x u u y （5）3,x u u y == （6）2,log 2-==x u u y a 。 12．下列函数是由哪些简单函数复合而成的？（1）321)1(++=x y （2）2 )1(3+=x y ；

大一微积分期末试卷及答案

微积分期末试卷选择题（6×２） cos sin 1.()2 ,()()22 ()()B ()()D x x f x g x f x g x f x g x C π ==1设在区间（0，）内（　）。Ａ是增函数，是减函数是减函数，是增函数二者都是增函数二者都是减函数 2x 1 n n n n 20cos sin 1n A X (1) B X sin 21C X (1) x n e x x n a D a π→-=--== >、x 时，与相比是（　）Ａ高阶无穷小Ｂ低阶无穷小Ｃ等价无穷小Ｄ同阶但不等价无价小３、ｘ=０是函数ｙ=（１-sinx)的（　）Ａ连续点Ｂ可去间断点Ｃ跳跃间断点Ｄ无穷型间断点４、下列数列有极限并且极限为１的选项为（）n 1 X cos n = 2 00000001() 5"()() ()()0''( )<0 D ''()'()0 6x f x X X o B X o C X X X X y xe =<===、若在处取得最大值，则必有（　）Ａf ＇f ＇f ＇且f f 不存在或f 、曲线（）Ａ仅有水平渐近线Ｂ仅有铅直渐近线Ｃ既有铅直又有水平渐近线Ｄ既有铅直渐近线 1~6 DDBDBD 一、填空题 1d 12lim 2,,x d x ax b a b →++=ｘｘ２２１１、（）＝ｘ+1 、求过点（２，０）的一条直线，使它与曲线ｙ＝相切。这条直线方程为：ｘ２３、函数ｙ＝的反函数及其定义域与值域分别是：２＋１４、ｙ拐点为：ｘ５、若则的值分别为：ｘ＋2x-3

1 In 1x + ; 2 322y x x =-; 3 2 log ,(0,1),1x y R x =-; 4(0,0) 5解：原式=11 (1)() 1m lim lim 2 (1)(3) 3 4 77,6 x x x x m x m x x x m b a →→-+++== =-++∴=∴=-= 二、判断题 1、无穷多个无穷小的和是无穷小（） 2、 0 sin lim x x x →-∞+∞在区间（，）是连续函数（） 3、 0f"(x ）=0一定为f(x)的拐点（） 4、若f(X)在0x 处取得极值，则必有f(x)在0x 处连续不可导（） 5、设函数ｆ(x)在 [] 0,1上二阶可导且 ' ()0A ' B ' (f x f f C f f <===-令（），则必有 1~5 FFFFT 三、计算题 1用洛必达法则求极限2 1 2 lim x x x e → 解：原式=2 2 2 1 1 1 3 3 2 (2)lim lim lim 12x x x x x x e e x e x x --→→→-===+∞- 2 若3 4 ()(10),''(0)f x x f =+求解：3 3 2 2 3 3 3 3 2 3 2 2 3 3 4 3 2 '()4(10)312(10) ''()24(10)123(10)324(10)108(10)''()0 f x x x x x f x x x x x x x x x x f x =+?=+=?++??+?=?+++∴= 3 2 4 lim (cos )x x x →求极限

大学微积分复习题

0201《微积分(上)》20１5年0６月期末考试指导一、考试说明考试题型包括：选择题(10道题，每题２分或者3分）。填空题（５-10道题,每题2分或者3分)。计算题（一般5-7道题,共4０分或者50分）。证明题(2道题，平均每题10分）。考试时间：90分钟。二、课程章节要点第一章、函数、极限、连续、实数的连续性 (一)函数１．考试内容集合的定义,集合的性质以及运算，函数的定义，函数的表示法,分段函数,反函数，复合函数,隐函数，函数的性质（有界性、奇偶性、周期性、单调性)，基本初等函数，初等函数。 2.考试要求（１)理解集合的概念。掌握集合运算的规则。（2）理解函数的概念。掌握函数的表示法,会求函数的定义域。 (3)了解函数的有界性、奇偶性、周期性、单调性。 (４)了解分段函数、反函数、复合函数、隐函数的概念。 (5)掌握基本初等函数的性质和图像，了解初等函数的概念。 (二)极限１．考试内容数列极限的定义与性质，函数极限的定义及性质,函数的左极限与右极限,无穷小与无穷大的概念及其关系，无穷小的性质及无穷小的比较,极限的四则运算，极限存在的两个准则（单调有界准则和夹逼准则),两个重要极限。 2.考试要求 (1）理解数列及函数极限的概念（2)会求数列极限。会求函数的极限(含左极限、右极限)。了解函数在一点处极限存在的充分必要条件。（3)了解极限的有关性质(惟一性，有界性）。掌握极限的四则运算法则。 (４）理解无穷小和无穷大的概念。掌握无穷小的性质、无穷小和无穷大的关系。了解高阶、同阶、等价无穷小的概念。（5）掌握用两个重要极限求极限的方法。 (三)连续１．考试内容函数连续的概念，左连续与右连续，函数的间断点,连续函数的四则运算法则,复合函数的连续性，反函数的连续性,初等函数的连续性,闭区间上连续函数的性质（最大值、最小值定理，零点定理)。 2．考试要求（1）理解函数连续性的概念(含左连续、右连续)。会求函数的间断点。

微积分试题及答案

5、ln 2111x y y x +-=求曲线，在点（，）的法线方程是__________ 三、判断题（每题2分） 1、2 21x y x =+函数是有界函数 ( ) 2、有界函数是收敛数列的充分不必要条件 ( ) 3、lim ββαα=∞若，就说是比低阶的无穷小( )4可导函数的极值点未必是它的驻点 ( ) 5、曲线上凹弧与凸弧的分界点称为拐点 ( ) 四、计算题（每题6分）1、1sin x y x =求函数的导数 2、 21()arctan ln(12f x x x x dy =-+已知），求 3、2326x xy y y x y -+="已知，确定是的函数，求 4、20tan sin lim sin x x x x x →-求 5、31)x x +计算（ 6、21 0lim(cos )x x x + →计算五、应用题 1、设某企业在生产一种商品x 件时的总收益为2 )100R x x x =-（，总成本函数为2 ()20050C x x x =++，问政府对每件商品征收货物税为多少时，在企业获得利润最大的情况下，总税额最大？（8分） 2、描绘函数21 y x x =+的图形（12分）六、证明题（每题6分） 1、用极限的定义证明：设01lim (),lim ()x x f x A f A x + →+∞→==则 2、证明方程10,1x xe =在区间（）内有且仅有一个实数一、选择题

1、C 2、C 3、A 4、B 5、D 6、B 二、填空题 1、0x = 2、6,7a b ==- 3、18 4、3 5、20x y +-= 三、判断题 1、√ 2、× 3、√ 4、× 5、× 四、计算题 1、 1sin 1sin 1sin ln 1sin ln 22))1111cos ()ln sin 1111(cos ln sin )x x x x x x y x e e x x x x x x x x x x x '='='??=-+??? ?=-+（（ 2、 22()112(arctan )121arctan dy f x dx x x x dx x x xdx ='=+-++= 3、解： 2222)2)22230 2323(23)(23(22)(26) (23x y xy y y x y y x y y x y x y yy y x y --'+'=-∴'=--'----'∴''=-

大一微积分期末试题附答案

微积分期末试卷一、选择题（6×２） cos sin 1.()2,()()22 ()()B ()()D x x f x g x f x g x f x g x C π ==1设在区间（0，）内（　）。Ａ是增函数，是减函数是减函数，是增函数二者都是增函数二者都是减函数 2x 1 n n n n 20cos sin 1n A X (1) B X sin 21C X (1) x n e x x n a D a π →-=--==>、x 时，与相比是（　）Ａ高阶无穷小Ｂ低阶无穷小Ｃ等价无穷小Ｄ同阶但不等价无价小３、ｘ=０是函数ｙ=（１-sinx)的（　）Ａ连续点Ｂ可去间断点Ｃ跳跃间断点Ｄ无穷型间断点４、下列数列有极限并且极限为１的选项为（）n 1 X cos n = 2 00000001 () 5"()() ()()0''( )<0 D ''()'()06x f x X X o B X o C X X X X y xe =<===、若在处取得最大值，则必有（　）Ａf ＇f ＇f ＇且f f 不存在或f 、曲线（）Ａ仅有水平渐近线Ｂ仅有铅直渐近线Ｃ既有铅直又有水平渐近线Ｄ既有铅直渐近线二、填空题 1 d 1 2lim 2,,x d x ax b a b →++=ｘｘ２２１１、（）＝ｘ+1 、求过点（２，０）的一条直线，使它与曲线ｙ＝相切。这条直线方程为：ｘ２３、函数ｙ＝的反函数及其定义域与值域分别是：２＋１ｘ５、若则的值分别为：ｘ＋2x-3

三、判断题 1、无穷多个无穷小的和是无穷小（） 2、 0sin lim x x x →-∞+∞在区间（，）是连续函数（） 3、 0f"(x ）=0一定为f(x)的拐点（） 4、若f(X)在0x 处取得极值，则必有f(x)在0x 处连续不可导（） 5、设函数ｆ (x) 在 [] 0,1上二阶可导且 '()0A '0B '(1),(1)(0),A>B>C( )f x f f C f f <===-令（），则必有四、计算题 1用洛必达法则求极限2 1 2 lim x x x e → 2 若34()(10),''(0)f x x f =+求 3 2 4 lim(cos )x x x →求极限 4 (3y x =-求 5 3tan xdx ? 五、证明题。 1、证明方程3 10x x +-=有且仅有一正实根。 2、arcsin arccos 1x 12 x x π +=-≤≤证明（）六、应用题 1、描绘下列函数的图形 21y x x =+

清华大学微积分习题(有答案版)

第十二周习题课一．关于积分的不等式 1．离散变量的不等式（1） Jensen 不等式：设 )(x f 为],[b a 上的下凸函数，则 1),,,2,1),1,0(],,[1 ==∈?∈?∑=n k k k k n k b a x λλΛ，有 2),(1 1≥≤??? ??∑∑==n x f x f k n k k k n k k λλ （2）广义AG 不等式：记x x f ln )(=为),0(+∞上的上凸函数，由Jesen 不等式可得 1),,,2,1),1,0(,01 ==∈?>∑=n k k k k n k x λλΛ，有 ∑==≤∏n k k k k n k x x k 1 1 λλ 当),2,1(1 n k n k Λ==λ时，就是AG 不等式。（3） Young 不等式：由（2）可得设111,1,,0,=+>>q p q p y x ，q y p x y x q p +≤1 1 。（4） Holder 不等式：设11 1, 1,),,,2,1(0,=+>=≥q p q p n k y x k k Λ，则有 q n k q k p n k p k n k k k y x y x 111 11?? ? ????? ??≤∑∑∑=== 在（3）中，令∑∑======n k q k n k p k p k p k y Y x X Y y y X x x 1 1,,,即可。（5） Schwarz 不等式： 2 1122 1 121?? ? ????? ??≤∑∑∑===n k k n k k n k k k y x y x 。（6） Minkowski 不等式：设1),,,2,1(0,>=≥p n k y x k k Λ，则有 ()p n k p k p n k p k p n k p k k y x y x 11111 1?? ? ??+??? ??≤??????+∑∑∑=== 证明： ()()() () () ∑∑∑∑=-=-=-=+++=+?+=+n k p k k k n k p k k k n k p k k k k n k p k k y x y y x x y x y x y x 1 1 1 1 1 1 1

(微积分II)课外练习题期末考试题库

《微积分Ⅱ》课外练习题一、选择： 1. 函数在闭区间上连续是在上可积的． ( ) A．必要而不充分条件 B．充分而不必要条件 C．充要条件 D．无关条件 2. 二元函数定义域是． ( ) B． D．比较大小：． ( ) B． C． D．不确定 4.微分方程的阶数是． ( ) A．5 B．3 C．2 D．1 5.下列广义积分发散的是． ( ) A． B． C． D． 6.是级数收敛的条件． ( ) A．必要非充分 B．充分非必要 C．充分必要 D．无关7．如果点为的极值点，且在点处的两个一阶偏导数存在,则点必为的． ( ) 最大值点 B．驻点 C．最小值点 D．以上都不对微分方程是微分方程． ( ) A．一阶线性非齐次 B. 一阶齐次 C. 可分离变量的 D. 一阶线性齐次 9 .设是第一象限内的一个有界闭区域，而且。记，，，则的大小顺序是． ( ) C. D. 10. 函数的连续区域是． ( ) B. D.

1. ． ( ) B. C. D. 12．下列广义收敛的是． ( ) A． B． C． D．．下列方程中，不是微分方程的是． ( ) A． B． C． D．．微分方程的阶数是． ( ) A．5 B．3 C．2 D．1 ．二元函数的定义域是． ( ) A． B． C． D．．设，则 ( ) A． B． C． D．．= 其中积分区域D为区域：． ( ) A． B． C． D． 18．下列等式正确的是． ( ) A．B． C．D． 19．二元函数的定义域是． ( ) A． B． C． D． 20．曲线在上连续，则曲线与以及轴围成的图形的面积是．( ) A．B．C．D．|| ．． ( ) A． B． C． D． 22．= 其中积分区域D为区域：． ( ) A． B． C． D．

清华大学微积分试题库完整

(3343)．微分方程0cos tan =-+'x x y y 的通解为 x C x y cos )(+=。 (4455)．过点)0,2 1(且满足关系式11arcsin 2 =-+ 'x y x y 的曲线方程为 21arcsin - =x x y 。 (4507)．微分方程03='+''y y x 的通解为 2 2 1x C C y + =。 (4508)．设)(),(),(321x y x y x y 是线性微分方程)()()(x f y x b y x a y =+'+''的三个特解，且 C x y x y x y x y ≠--) ()() ()(1312，则该微分方程的通解为 )())()((())()((1132121x y x y x y C x y x y C y +-+-=。 (3081)．设x e x y x y -++=+=22213,3是某二阶线性非齐次微分方程的两个特解，且相应齐次方程的一个解为x y =3，则该微分方程的通解为x e C x C x y -+++=212 3。 (4725)．设出微分方程x e xe x y y y x x 2cos 32++=-'-''-的一个特解形式 )2sin 2cos ()(*x F x E e e D Cx x B Ax y x x +++++=-。 (4476)．微分方程x e y y y =+'-''22的通解为 )sin cos 1(21x C x C e y x ++=。 (4474)．微分方程x e y y 24=-''的通解为 x x e x C e C y 222141??? ? ? ++=-。 (4477)．函数x C x C y 2s i n 2c o s 21+=满足的二阶线性常系数齐次微分方程为04=+''y y 。 (4532)．若连续函数)(x f 满足关系式 2ln )2 ()(20 +=? x dt t f x f ，则=)(x f 2ln 2x e 。 (6808)．设曲线积分 ?--L x ydy x f ydx e x f cos )(sin ])([与路径无关，其中)(x f 具有一阶连续导数，且0)0(=f ，则)(x f 等于[ ] (A) )(2 1x x e e --。 (B) )(21 x x e e --。

大一上微积分试题(山东大学)

数学试题热工二班温馨提示：各位同学请认真答题，如果您看到有的题目有种似曾相识的感觉，请不要激动也不要紧张，沉着冷静的面对，诚实作答，相信自己，你可以的。祝你成功！一、填空题（共5小题，每题4分，共20分） 1、求极限2 2lim (1)(1)......(1)n n x x x →∞ +++= (1x <) 2、曲线y=（2x-1）e x 1 的斜渐近线方程是（） 3、计算I=dx e x e x x ? -+2 2 41sin π π =（） 4、设y=x e x 1si n 1t an ，则'y =（） 5、已知()()() 100 2 1000 ln 1212x y x t t t ??=++-+? ?? ? ?dt ，求( ) ()x y 1001 二、选择题（共5小题，每题4分，共20分）６、设()0 ()ln 1sin 0,1,1lim x x f x x A a a a →? ?+ ? ? ?=>≠-求20 ()lim x f x x →＝（）Ａ．ln a Ｂ．Ａln a Ｃ２Ａln a Ｄ．Ａ７、函数 1.01 ().12 x x x f x e e x -≤

（）Ａ.当()f x 是偶函数时，()F x 必是偶函数Ｂ.当()f x 是奇函数时，()F x 必是偶函数Ｃ．当()f x 是周期函数时,()F x 必是周期函数Ｄ．当()f x 是单调增函数时，()F x 必是单调增函数９、设函数()f x 连续，则下列函数中必为偶函数的是（）Ａ．2 0()x f t dt ? Ｂ．2 0()x f t dt ? Ｃ[]0 ()()x t f t f t - -?dt Ｄ．[]0 ()()x t f t f t + -?dt １０、设函数ｙ＝()f x 二阶导数，且 () f x 的一阶导数大于０， ()f x 二阶导数也大于０，x 为自变量ｘ在0x 处得增量，y 与dy 分别为()f x 在点0 x 处的增量与微分，若x ＞０，则（）Ａ．０＜dy ＜ y Ｂ．０＜y ＜dy Ｃ．y ＜dy ＜０Ｄ．dy ＜ y ＜０三、计算，证明题（共６０分）１１、求下列极限和积分（１）222 22 sin cos (1)ln(1tan ) lim x x x x x x e x →--+（５分）（２）3 5 sin sin x xdx π -? （５分）（３）lim (cos 1cos x x x →∞ +-）（５分）１２．设函数()f x 具有一阶连续导数，且 " (0)f （二阶）存在，(0) f

大学高等数学上习题(附答案)

《高数》习题1（上）一．选择题 1．下列各组函数中，是相同的函数的是（）. （A ）()()2ln 2ln f x x g x x == 和（B ）()||f x x = 和 ( )g x =（C ）()f x x = 和 ( )2 g x = （D ）()|| x f x x = 和 ()g x =1 4．设函数()||f x x =，则函数在点0x =处（）. （A ）连续且可导（B ）连续且可微（C ）连续不可导（D ）不连续不可微 7． 211 f dx x x ??' ???? 的结果是（）. （A ）1f C x ?? - + ??? （B ）1f C x ?? --+ ??? （C ）1f C x ?? + ??? （D ）1f C x ?? -+ ??? 10．设()f x 为连续函数，则()10 2f x dx '?等于（）. （A ）()()20f f - （B ）()()11102f f -????（C ）()()1 202f f -??? ?（D ）()()10f f - 二．填空题 1．设函数()21 00x e x f x x a x -?-≠? =??=? 在0x =处连续，则a = . 2．已知曲线()y f x =在2x =处的切线的倾斜角为5 6 π，则()2f '=. 3． ()21ln dx x x = +?. 三．计算 1．求极限 ①21lim x x x x →∞+?? ??? ②() 20sin 1 lim x x x x x e →-- 2．求曲线()ln y x y =+所确定的隐函数的导数x y '. 3．求不定积分x xe dx -?

微积分考试题库(附答案)

85 考试试卷（一）一、填空 1．设c b a ,,为单位向量，且满足0=++c b a ，则a c c b b a ?+?+?= 2．x x e 10 lim +→= ，x x e 10 lim -→= ，x x e 1 lim →= 3．设2 11)(x x F -= '，且当1=x 时，π2 3)1(=F ，则=)(x F 4．设= )(x f ? dt t x 2sin 0 ，则)(x f '= 5．???>+≤+=0 ,0 ,1)(x b ax x e x f x 在x =0处可导，则=a ，=b 二、选择 1．曲线???==-0 1 22z y x 绕x 轴旋转一周所得曲面方程为（）。（A ）12222=+-z y x ；（B ）122222=--z y x ；（C ）12222=--z y x ；（D ）122222=+-z y x 2．2 )1 1(lim x x x x -∞→-+=（）。（A ）1 （B ）2 1 e （C ）0 （D ）1-e 3．设函数)(x f 具有连续的导数，则=+'? dx x f x f x )]()([（）（A ）c x xf +)(；（B ）c x f x +')(；（C ）c x f x +'+)(；（D ）c x f x ++)( 4．设)(x f 在],[b a 上连续，则在],[b a 上至少有一点ξ，使得（）（A ）0)(='ξf （B ）a b a f b f f --= ') ()()(ξ

86 （C ）0)(=ξf （D ）a b dx x f a b f -=?)()(ξ 5．设函数x x a y 3sin 3 1sin +=在x = 3 π 处取得极值，则=a （）（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3 三、计算题 1．求与两条直线?? ? ??+=+==2 11 t z t y x 及112211-= +=+z y x 都平行且过点（3，-2，1）的平面方程。 2．求下列极限（1）12cos 1lim 21 +-+→x x x x π；（2）1 arctan lim 30--→x x e x x 3．计算下列积分（1）?dx x sin ；（2） ? +dx x sin 21 （3）?+dx x x e ln 11 2；（4）?--+2/12/111dx x x 4．求下列导数或微分（1）设3 2 ) 1)(21()2(x x x y +--=，求dy 。（2）? ??+=+-=2 3)1ln(t t y t t x ，求22dx y d 。（3）x x x y sin )1( +=，求dy 。（4）设a y x =+，求隐函数)(x y y =的二阶导数22dx y d 。四、设)1,0()(],1,0[)(D x f C x f ∈∈，且1)2 1(,0)1()0(===f f f ，证明：（1）存在)1,2 1(∈η，使ηη=)(f （2）对任意实数λ，必存在),0(ηξ∈，使1])([)(=--'ξξλξf f

高等数学试题库

高等数学试题库第二章导数和微分一．判断题 2-1-1 设物体的运动方程为S=S(t),则该物体在时刻t 0的瞬时速度 v=lim lim ()()??????t t s t s t t s t t →→=+-0000与 ?t 有关. ( ) 2-1-2 连续函数在连续点都有切线. ( ) 2-1-3 函数y=|x|在x=0处的导数为0. ( ) 2-1-4 可导的偶函数的导数为非奇非偶函数. ( ) 2-1-5 函数f(x)在点x 0处的导数f '(x 0)=∞ ,说明函数f(x)的曲线在x 0点处的切线与x 轴垂直. ( ) 2-1-6 周期函数的导数仍是周期函数. ( ) 2-1-7 函数f(x)在点x 0处可导,则该函数在x 0点的微分一定存在. ( ) 2-1-8 若对任意x ∈(a,b),都有f '(x)=0,则在(a,b)内f(x)恒为常数. ( ) 2-1-9 设f(x)=lnx.因为f(e)=1,所以f '(e)=0. ( ) 2-1-10(ln )ln (ln )'ln x x x x x x x x x 2224 3 21 '=-=- ( ) 2-1-11 已知y= 3x 3 +3x 2 +x+1,求x=2时的二阶导数: y '=9x 2 +6x+1 , y '|x=2=49 所以 y"=(y ')'=(49)'=0. ( ) 二．填空题 2-2-1 若函数y=lnx 的x 从1变到100,则自变量x 的增量 ?x=_______,函数增量 ?y=________. 2-2-2 设物体运动方程为s(t)=at 2 +bt+c,(a,b,c 为常数且a 不为0),当t=-b/2a 时, 物体的速度为____________,加速度为________________. 2-2-3 反函数的导数,等于原来函数___________. 2-2-4 若曲线方程为y=f(x),并且该曲线在p(x 0,y 0)有切线,则该曲线在 p(x 0,y 0) 点的切线方程为____________. 2-2-5 若 lim ()() x a f x f a x a →-- 存在,则lim ()x a f x →=______________. 2-2-6 若y=f(x)在点x 0处的导数f '(x)=0,则曲线y=f(x)在[x 0,f(x 0)]处有 __________的切线.若f '(x)= ∞ ,则曲线y=f(x)在[x 0,f(x 0)]处有 _____________的切线. 2-2-7 曲线y=f(x)由方程y=x+lny 所确定,则在任意点(x,y)的切线斜率为 ___________在点(e-1,e)处的切线方程为_____________. 2-2-8 函数

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