高考数学 统计与概率汇编分类 理

高考数学 统计与概率汇编分类 理

（福建）如图，矩形ABCD 中，点E 为边CD 的中点，若在矩形ABCD 内部随机取一个点Q ，则点Q 取自△ABE 内部的概率等于

A.

1

4

B.13

C.12

D.23

（福建）(1+2x)3的展开式中，x 2

的系数等于

A.80

B.40

C.20

D.10

（广东）甲、乙两队进行排球决赛．现在的情形是甲队只要再赢一局

就获冠军，乙队需要再赢两局才能得冠军.若两队胜每局的概率相同，则甲队获得冠军的概率为 A.

12 B.35 C.23 D.34

（湖北）已知随机变量ξ服从正态分布()

22N ，a ，且Ｐ（ξ＜4）＝0.8，则Ｐ（0＜ξ＜2）＝

Ａ.0.6 B.0.4 C.0.3 D.0.2

（辽宁）从1，2，3，4，5中任取2各不同的数，事件A =“取到的2个数之和为偶数”，事件B =“取到的2个数均为偶数”，则P （B ︱A ）= A ．

1

8

B ．

1

4

C ．

25

D ．

12

（全国2）某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4位朋友每位朋友1本，则不同的赠送方法共有

(A)4种 (B)10种 (C)18种 (D)20种

【思路点拨】本题要注意画册相同，集邮册相同，这是重复元素，不能简单按照排列知识来铸。所以要分类进行求解。

【精讲精析】选B.分两类：取出的1本画册，3本集邮册，此时赠送方法有1

44C =种；取出的2本画册，

2本集邮册，此时赠送方法有2

46C =种。总的赠送方法有10种。

（全国新）有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组

的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为

（A ）13 （B ）12 （C ）23 （D ）34

（全国新）5

12a x x x x ?

???+- ???????的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为

（A ）-40 （B ）-20 （C ）20 （D ）40

（陕西）

6(42)x x （x ∈R 展开式中的常数项是 （ ） （A ）-20 （B ）-15 （C ）15 （D ）20

（陕西）甲乙两人一起去游“2011西安世园会”，他们约定，各自独立地从1到6号景点中任

选4个进行游览，每个景点参观1小时，则最后一小时他们同在一个景点的概率是【D 】 （A ）

136 （B ）19 （C ）536 （D ）16

（四川）有一个容量为66的样本，数据的分组及各组的频数如下：

[11.5，15.5) 2 [15.5,19.5) 4 [19.5，23．5) 9 [23.5,27.5) 18 [27.5，31.5) 1l [31.5，35.5) 12 [35.5．39.5) 7 [39.5,43.5) 3 根据样本的频率分布估计，数据落在[31.5，43.5)的概率约是 (A)

16 (B)13 (C)12 （D ）23

（四川）在集合{}1,2,3,4,5中任取一个偶数a 和一个奇数b 构成以原点为起点的向量(,)a b α=.从所有得到的以原点为起点的向量中任取两个向量为邻边作平行四边形.记所有作成的平行四边形的个数为

n ，其中面积不超过．．．4的平行四边形的个数为m ，则

m

n

= （A ）

415 （B ）13 （C ）25 （D ）23

（天津）在6

2?? ?的二项展开式中，2

x 的系数为 A ．154- B ．154 C ．38- D ．3

8

（浙江）．有5本不同的书，其中语文书2本，数学书2本，物理书1本．若将其随机的并排摆放到书架的同一层上，则同一科目的书都不相邻的概率

A ．

1

5

B ．

2

5

C ．

35 D 45

（重庆）(13)(6)n

x n N n +∈其中且≥的展开式中5

6

x x 与的系数相等，则n=

（A ）6 （B ）7 （C ）8 （D ）9

（重庆）将一枚均匀的硬币投掷6次，则正面出现的次数比反面出现的次数多的概率__________

（天津）一支田径队有男运动员48人，女运动员36人，若用分层抽样的方法从该队的全体运动员中抽取

一个容量为21的样本，则抽取男运动员的人数为___________ （浙江）设二项式（

6

（a>0）的展开式中X 的系数为A,常数项为B ，若B=4A ，则a 的值是 。

（浙江）某毕业生参加人才招聘会，分别向甲、乙、丙三个公司投递了个人简历，假定该毕业生得到甲公

司面试的概率为

2

3

，得到乙丙公司面试的概率为p ，且三个公司是否让其面试是相互独立的。记X 为该毕业生得到面试得公司个数。若1

(0)12

P X ==，则随机变量X 的数学期望

()E X =

（全国2）

20

的二项展开式中，x 的系数与x 9

的系数之差为: .

【思路点拨】解本题一个掌握展开式的通项公式，另一个要注意r n r

n n C C -=.

【精讲精析】0.

由20120(r

r T C +=得x 的系数为220

C , x 9

的系数为1820C ,而1822020C C =. （江苏）从1，2，3，4这四个数中一次随机取两个数，则其中一个数是另一个的两倍的概率是______ （江苏）某老师从星期一到星期五收到信件数分别是10，6，8，5，6，则该组数据的方差___2

=s

（江西）小波通过做游戏的方式来确定周末活动，他随机地往单位圆内投掷一点，若

此点到圆心的距离大于

21，则周末去看电影；若此点到圆心的距离小于4

1

，则去打篮球；否则，在家看书.则小波周末不在家看书的概率为 .

答案：1613 解析：方法一：不在家看书的概率=16

1321-412

2=???? ??+??? ???=+ππ

ππ所有情况打篮球看电影 方法二：不在家看书的概率=1—在家看书的概率=1—

16

1341-212

2

=???

?????? ???πππ

（PS: 通过生活实例与数学联系起来，是高考青睐的方向，但在我们春季班讲义二第一页的第五题已经做过类

似题型，那么作为理科生，并且是上过新东方春季班课程的理科生，是不是应该作对，不解释。）

（湖南）如图4， EFGH 是以O 为圆心，半径为1的圆的内接正方形，将一颗豆子随机地扔到该圆内，

用A 表示事件“豆子落在正方形EFGH 内”，B 表示事件“豆子落在扇形OHE （阴影部分）内”，则

（1）=______P A （）；（2）=______P

A （B|） 答案：（1）

2

π

；（2）1=4P

A （B|） 解析：（1）由几何概型概率计算公式可得2

=

=S P A S π

正圆（）；

（2）由条件概率的计算公式可得211

4===24

P AB P A P A ππ

?

（）（B|）（）。

（湖南）对于*

n N ∈，将n 表示为1210012122222k k k k k n a a a a a ---=?+?+?+

+?+?，当0i =时，

1i a =，当1i k ≤≤时，i a 为0或 1.记()I n 为上述表示中i a 为0的个数，（例如0112=?，

2104120202=?+?+?：故(1)0,(4)2I I ==）则

（1）(12)_____I = （2）127

()

1

2

______I n n ==∑

答案：（1）2；（2）1093

解析：（1）因3210

1212+120202=??+?+?，故(12)2I =；

（2）在2进制的(2)k k ≥位数中，没有0的有1个，有1个0的有1

1k C -个，有2个0的有2

1k C -个，……

有m 个0的有1m k C -个，……有1k -个0的有1

11k k C --=个。故对所有2进制为k 位数的数n ，在所求式

中的()2I n 的和为：

01122

11

111112222

3k k k k k k C C C ------?+?+?+

+?=。 又7

12721=-恰为2进制的最大7位数，所以

127

7

()

11

2

2

231093I n k n k -===+=∑∑。

（重庆）某市公租房的房源位于A,B,C 三个片区，设每位申请人只申请其中一个片区的房子，申请其中任一个片区的房屋是等可能的求该市的任4位申请人中： （Ⅰ）恰有2人申请A 片区房源的概率；

（Ⅱ）申请的房源所在片区的个数ξ的分布列与期望

（天津）学校游园活动有这样一个游戏项目：甲箱子里装有3个白球、2个黑球，乙箱子里装有1个白球、2个黑球，这些球除颜色外完全相同，每次游戏从这两个箱子里各随机摸出2个球，若摸出的白球不少于2个，则获奖．（每次游戏结束后将球放回原箱）

（Ⅰ）求在1次游戏中，

（i ）摸出3个白球的概率； （ii ）获奖的概率；

（Ⅱ）求在2次游戏中获奖次数X 的分布列及数学期望()E X . （I ）（i ）解：设“在1次游戏中摸出i 个白球”为事件(0,1,2,3),i A i ==则

21

32322531

().5

C C P A C C =?=

（ii ）解：设“在

1次游戏中获奖”为事件B ，则2

3B A A =，又

22111

3222222222

53531

(),2

C C C C C P A C C C C =?+?= 且A 2，A 3互斥，所以23117

()()().2510

P B P A P A =+=

+= （II ）解：由题意可知X 的所有可能取值为0，1，2.

212

279(0)(1),10100

7721(1)(1),101050749

(2)().

10100

P X P X C P X ==-

===-==== 所以X 的分布列是 X 0

1

2

P

9100 2150 49

100

X 的数学期望921497

()012.100501005

E X =?+?+?=

（上海）马老师从课本上抄录一个随机变量ε的概率分布律如下表请小牛同学计算ε的数学期望，尽管“！”处无法完全看清，且两个“？”处字迹模糊，但能肯定这两个“？”处的数值相同。据此，小牛给出了正确答案E ε= 。

（上海）、随机抽取9个同学中，至少有2个同学在同一月出生的概率是 （默认每月天数相同，结果精确到0.001）。

（山东）若6

a x ??

- ? ???

展开式的常数项为60，则常数a 的值为 .

（陕西）如图，A 地到火车站共有两条路径L 1和L 2，据统计，通过两条路径所用的时间互不影

响，所用时间落在各时间段内的频率如下表：

?

!

?

321P(ε=x )

x

现甲、乙两人分别有40分钟和50分钟时间用于赶往火车站。

（Ⅰ）为了尽最大可能在各自允许的时间内赶到火车站，甲和乙应如何选择各自的路径？ （Ⅱ）用X 表示甲、乙两人中在允许的时间内能赶到火车站的人数，针对（Ⅰ）的选择方案，

求X 的分布列和数学期望。

解 （Ⅰ）A i 表示事件“甲选择路径L i 时，40分钟内赶到火车站”，B i 表示事件“乙选择路

径L i 时，50分钟内赶到火车站”，i=1,2.用频率估计相应的概率可得 P(A 1)=0.1+0.2+0.3=0.6，P(A 2)=0.1+0.4=0.5，

P(A 1) ＞P(A 2),

∴甲应选择L i

P(B 1)=0.1+0.2+0.3+0.2=0.8，P(B 2)=0.1+0.4+0.4=0.9，

P(B 2) ＞P(B 1),

∴乙应选择L

2.

（Ⅱ）A,B 分别表示针对（Ⅰ）的选择方案，甲、乙在各自允许的时间内赶到火车站，由（Ⅰ）

知()0.6,()0.9P A P B ==,又由题意知，A,B 独立，

(2)()()()0.60.90.54P X P AB P A B ====?=

00.0410.4220.54 1.5.EX =?+?+?=

（山东）红队队员甲、乙、丙与蓝队队员A 、B 、C 进行围棋比赛，甲对A ，乙对B ，丙对C 各一盘，已知甲胜A ，乙胜B ，丙胜C 的概率分别为0.6,0.5,0.5，假设各盘比赛结果相互独立。 （Ⅰ）求红队至少两名队员获胜的概率；

（Ⅱ）用ξ表示红队队员获胜的总盘数，求ξ的分布列和数学期望Eξ.

（全国新）某种产品的质量以其质量指标值衡量，质量指标值越大表明质量越好，且质量指标值大于或等于102的产品为优质品，现用两种新配方（分别称为A配方和B配方）做试验，各生产了100件这种产品，并测试了每件产品的质量指标值，得到下面试验结果：

（Ⅰ）分别估计用A配方，B配方生产的产品的优质品率；

（Ⅱ）已知用B配方生成的一件产品的利润y(单位：元)与其质量指标值t的关系式为

从用B配方生产的产品中任取一件，其利润记为X（单位：元），求X的分布列及数学期望.（以实验结果中质量指标值落入各组的频率作为一件产品的质量指标值落入相应组的概率）

解（Ⅰ）由实验结果知，用A配方生产的产品中优质的平率为228

=0.3

100

+

，所以用A配方生

产的产品的优质品率的估计值为0.3。

由实验结果知，用B配方生产的产品中优质品的频率为3210

0.42

100

+

=，所以用B配方生

产的产品的优质品率的估计值为0.42

（Ⅱ）用B配方生产的100件产品中，其质量指标值落入区间[)[)[]

90,94,94,102,102,110的频率分别为0.04，,054,0.42，因此

P(X=-2)=0.04, P(X=2)=0.54, P(X=4)=0.42,

即X的分布列为

X的数学期望值EX=2×0.04+2×0.54+4×0.42=2.68

（全国2）根据以往统计资料，某地车主购买甲种保险的概率为0．5，购买乙种保险但不购买甲种保险的概率为0.3,设各车主购买保险相互独立

(I)求该地1位车主至少购买甲、乙两种保险中的l种的概率；

(Ⅱ)X表示该地的l00位车主中，甲、乙两种保险都不购买的车主数。求X的期望。【思路点拨】解本题应首先主出该车主购买乙种保险的概率为p,利用乙种保险但不购买甲种保险的概率为0.3，即可求出p=0.6.然后（ii）利用相互独立事件的概率计算公式和期望公式计算即可.

【精讲精析】设该车主购买乙种保险的概率为p,由题意知：(10.5)0.3p ?-=，解得0.6p =。 （I ）

设所求概率为P 1，则11(10.5)(10.6)0.8P =--?-=.

故该地1位车主至少购买甲、乙两种保险中的1种的概率为0.8。 （II ）

对每位车主甲、乙两种保险都不购买的概率为(10.5)(10.6)0.2-?-=。

(100,0.2).1000.220X B EX =?=

所以X 的期望是20人。

（辽宁）某农场计划种植某种新作物，为此对这种作物的两个品种（分别称为品种家和品种乙）进行田间试验．选取两大块地，每大块地分成n 小块地，在总共2n 小块地中，随机选n 小块地种植品种甲，另外n 小块地种植品种乙．

（I ）假设n =4，在第一大块地中，种植品种甲的小块地的数目记为X ，求X 的分布列和数学期望； （II ）试验时每大块地分成8小块，即n =8，试验结束后得到品种甲和品种乙在个小块地上的每公顷产

2

品种甲 403 397 390 404 388 400 412 406 品种乙 419

403

412

418

408

423

400

413

分别求品种甲和品种乙的每公顷产量的样本平均数和样本方差；根据试验结果，你认为应该种植哪一品种？ 附：样本数据n x x x ,,,21???的的样本方差])()()[(1

222212x x x x x x n

s n -+???+-+-=

，其中x 为样本平均数．

解： （I ）X 可能的取值为0，1，2，3，4，且

4

813444

8

22444

8

31

444

8

4811(0),70

8

(1),3518

(2),358

(3),3511(4).70

P X C C C P X C C C P X C C C P X C P X C ==

============

= 即X 的分布列为

………………4分

X 的数学期望为

181881()01234 2.7035353570

E X =?

+?+?+?+?= ………………6分 （II ）品种甲的每公顷产量的样本平均数和样本方差分别为：

2

22222221

(403397390404388400412406)400,

8

1(3(3)(10)4(12)0126)57.25.

8

x S =+++++++==+-+-++-+++=甲甲

………………8分 品种乙的每公顷产量的样本平均数和样本方差分别为：

2

222222221

(419403412418408423400413)412,

8

1(7(9)06(4)11(12)1)56.

8

x S =+++++++==+-+++-++-+=乙乙

………………10分

由以上结果可以看出，品种乙的样本平均数大于品种甲的样本平均数，且两品种的样本方差差异不大，故应该选择种植品种乙.

（湖南）某商店试销某种商品20天，获得如下数据：

试销结束后（假设该商品的日销售量的分布规律不变），设某天开始营业时有该商品3件，当

天营业结束后检查存货，若发现存货少于2件，则当天进货补充．．至3件，否则不进货．．．，将频率视为概率。

(Ⅰ）求当天商品不进货．．．

的概率； （Ⅱ）记X 为第二天开始营业时该商品的件数，求X 的分布列和数学期望。

解析：（I ）P （“当天商店不进货”）=P （“当天商品销售量为0件”）+P （“当天商品销售量1

件”）=

153202010

+=。 （II ）由题意知，X 的可能取值为2，3.

51(2)("")204

P x P ===

=当天商品销售量为1件；

(3)("")+("")+("

1953

")++

2020204

P x P P P

==

==

当天商品销售量为0件当天商品销售量为2件当天商品销售

量为3件

故X的分

X 2 3

P1

4

3

4

X的数学期望为2+3=

444

EX=??。

（湖北）如图，用K、

1

A、

2

A三类不同的元件连接成一个系统。当K正常工作且

1

A、

2

A至少有

一个正常工作时，系统正常工作，已知K、

1

A、

2

A正常工作的概率依次是0.9、0.8、0.8，则系统正常工作的概率为

A．0.960 B.0.864 C.0.720 D.0.576

（湖南）.通过随机询问110名性别不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下的列联表：

男女总计

爱好40 20 60

不爱好20 30 50

总计60 50 110

由

2

2

()

()()()()

n ad bc

K

a b c d a c b d

-

=

++++

算得

2

2

110(40302020)

7.8

60506050

K

??-?

=≈

???

附表：

2

()

P K k

≥

0.050 0.010 0.001

k 3.841 6.635 10.828

参照附表，得到的正确结论是（）

A．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”

B．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”

C．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”

D．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”

答案：C

解析：由2

7.8 6.635K ≈>，而2

( 6.635)0.010P K ≥=，故由独

（湖北）18

13x x ??- ?

?

?的展开式中含15

x 的项的系数为 （湖北）在30瓶饮料中，有3瓶已过了保质期。从这30瓶饮料中任取2瓶，则至少取到一

瓶已过保质期的概率为 。（结果用最简分数表示）

（湖北）给n 个自上而下相连的正方形着黑色或白色。当4n ≤时，在所有不同的着色方案中，

黑色正方形互不相连．．．．

的着色方案如下图所示：

由此推断，当6n =时，黑色正方形互不相连．．．．

的着色方案共有 种，至少有两个黑色正方形相连．．

的着色方案共有 种，（结果用数值表示）

（福建）何种装有形状、大小完全相同的5个球，其中红色球3个，黄色球2个。若从中随机取出2个球，则所取出的2个球颜色不同的概率等于_______。 （广东）72()x x x

-的展开式中，4x 的系数是______ (用数字作答).

（安徽）设()

x a a x a x a x 21

22101221-1=+++，则a a 1011+= .

（北京）用数字2,3组成四位数，且数字2,3至少都出现一次，这样的四位数共有__________个。（用数

字作答）

（广东）为了解甲、乙两厂的产品质量，采用分层抽样的方法从甲、乙两厂生产的产品中分别抽取14件和5件，测量产品中微量元素x ，y 的含量（单位：毫克）.下表是乙厂的5件产品的测量数据：

（1）已知甲厂生产的产品共98件，求意厂生产的产品数量；

（2）当产品中的微量元素x，y满足≥175且y≥75，该产品为优等品，用上述样本数据估计乙厂生产的优等品的数量；

（3）从乙厂抽出的上述5件产品中，随即抽取2件，求抽取的2件产品中优等品数 的分布列及其均值

（即数学期望）.

（福建）某产品按行业生产标准分成8个等级，等级系数X依次为1,2，……，8，其中X≥5为标准A，X ≥3为标准B，已知甲厂执行标准A生产该产品，产品的零售价为6元/件；乙厂执行标准B生产该产品，产品的零售价为4元/件，假定甲、乙两厂得产品都符合相应的执行标准

（I）已知甲厂产品的等级系数X1的概率分布列如下所示：

且X1的数字期望EX1=6，求a，b的值；

（II）为分析乙厂产品的等级系数X2，从该厂生产的产品中随机抽取30件，相应的等级系数组成一个样本，数据如下：

3 5 3 3 8 5 5 6 3 4

6 3 4

7 5 3 4

8 5 3

8 3 4 3 4 4 7 5 6 7

用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，求等级系数X2的数学期望.

在（I）、（II）的条件下，若以“性价比”为判断标准，则哪个工厂的产品更具可购买性？说明理由.

注：（1）产品的“性价比”=

产品的零售价期望

产品的等级系数的数学

；（2）“性价比”大的产品更具可购买性.

（安徽）工作人员需进入核电站完成某项具有高辐射危险的任务，每次只派一个人进去，且每个人只派一次，工作时间不超过10分钟，如果有一个人10分钟内不能完成任务则撤出，再派下一个人。现在一共只有甲、乙、丙三个人可派，他们各自能完成任务的概率分别,,p p p 123,,p p p 123，假设,,p p p 123互不相等，且假定各人能否完成任务的事件相互独立.

（Ⅰ）如果按甲在先，乙次之，丙最后的顺序派人，求任务能被完成的概率。若改变三个人被派出的先后顺序，任务能被完成的概率是否发生变化？

（Ⅱ）若按某指定顺序派人，这三个人各自能完成任务的概率依次为,,q q q 123，其中,,q q q 123是

,,p p p 123的一个排列，求所需派出人员数目X 的分布列和均值（数字期望）EX ；

（Ⅲ）假定p p p 1231>>>，试分析以怎样的先后顺序派出人员，可使所需派出的人员数目的均值（数字期望）达到最小。

（北京）以下茎叶图记录了甲、乙两组个四名同学的植树棵树。乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中以X 表示。

（Ⅰ）如果X=8,求乙组同学植树棵树的平均数和方差；

（Ⅱ）如果X=9，分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，求这两名同学的植树总棵树Y 的分布列和

数学期望。

（注：方差()()

()

222

2

121n s x x x x x x n ?

?=

-+-++-?

???

，其中x 为1x ，2x ，…… n x 的平均数）

解（1）当X=8时，由茎叶图可知，乙组同学的植树棵数是：8，8，9，10，

所以平均数为

;4

35

410988=+++=

方差为

.16

11

])43510()4359()4358()4358[(4122222=-+-+-+-=s

（Ⅱ）当X=9时，由茎叶图可知，甲组同学的植树棵树是：9，9，11，11；乙组同学的植树棵

数是：9，8，9，10。分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，共有4×4=16种可能的结果，这两名同学植树总棵数Y 的可能取值为17，18，19，20，21事件“Y=17”等价于“甲组选出的同学植树9棵，乙组选出的同学植树8棵”所以该事件有2种可能的结果，因此P （Y=17）=.8

1

162= 同理可得;41)18(=

=Y P ;41)19(==Y P .8

1)21(;41)20(====Y P Y P Y 17

18

19

20

21

P

81 41 41 41 8

1 EY=17×P （Y=17）+18×P （Y=18）+19×P （Y=19）+20×P （Y=20）+21×P （Y=21）=17×81+18×41+19×41+20×41+21×8

1 =19