2012年北京市密云县高考数学一模试卷(理科)(解析版)
2012年北京市密云县高考数学一模试卷（理科）
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 设全集U={x∈N?|x<6}，集合A={1,?3}，B={3,?5}，则?U(A∪B)=()
A.{1,?4}
B.{1,?5}
C.{2,?4}
D.{2,?5}
2. 设S n为等比数列{a n}的前n项和，8a2+a5=0，则S5
S2
=()
A.?11
B.?8
C.5
D.11
3. 在极坐标系中，点(1,?0)到直线ρ(cosθ+sinθ)=2的距离为( )
A.√2
2B.1 C.√2 D.3√2
2
4. 阅读如图所示的程序框图．若输入a=6，b=1，则输出的结果是（）
A.1
B.2
C.3
D.4
5. 某班级要从4名男生、2名女生中选派4人参加某次社区服务，如果要求至少有1名女生，那么不同的选派方案种数为( ) A.14 B.24 C.28 D.48
6. 已知函数y=sin(ωx+φ)，(ω>0,?|φ|
<
π
2
)的简图如图，则ω
φ
的值为（）
A.6
π
B.π
6
C.π
3
D.3
π
7. 在△ABC中，点P是BC上的点BP
→
=2PC
→
，AP
→
=λAB
→
+μAC
→
，则（）
A.λ=2，μ=1
B.λ=1，μ=2
C.λ=1
3
，μ=2
3
D.λ=2
3
，μ=1
3
8. 若定义在[?2010,?2010]上的函数f(x)满足：对于任意x1，x2∈[?2010,?2010]有f(x1+x2)=f(x1)+
f(x2)?2011，且x>0时，有f(x)>2011，f(x)的最大值，最小值分别为M，N，则M+N的值为（）
A.2011
B.2010
C.4022
D.4010
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中横线上.
复数?1+3i
1+2i
=________．
样本容量为1000的频率分布直方图如图所示．根据样本的频率分布直方图，计算x的值为________，样本数
据落在[6,?14)内的频数为________．
已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为________．
如图所示，AB 与CD 是⊙O 的直径，AB ⊥CD ，P 是AB 延长线上一点，连PC 交⊙O 于点E ，连DE 交AB 于点F ，若AB ＝2BP ＝4，则PF ＝________．
若双曲线x 2
a 2?y 2
b 2=1(a >0,b >0)的两个焦点为F 1，F 2，P 为双曲线上一点，且|PF 1|=3|PF 2|，则该双曲线离心率的取值范围是________．
已知数列{a n }中，a 1=√2，[a n ]表示a n 的整数部分，(a n )表示a n 的小数部分，a n+1=[a n ]+
1(a n )
(n ∈N ?)，
则a n =________；数列{b n }中，b 1=3，b 2=2，b n+12
=b n ?b n+2(n ∈N ?)，则∑a i n i=1b i =________．
三、解答题：本大题共6小题，共计80分，解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤.
已知函数f(x)=√3cos 2x +2sin x ?sin (x +π2
)．
（1）求f(x)的最小正周期，最大值以及取得最大值时x 的集合；
（2）若A 是锐角△ABC 的内角，f(A)=0，b =5，a =7，求△ABC 的面积．
如图，已知E ，F 分别是正方形ABCD 边BC 、CD 的中点，EF 与AC 交于点O ，PA 、NC 都垂直于平面ABCD ，且
PA =AB =4，NC =2，M 是线段PA 上一动点．
（1）求证：平面PAC ⊥平面NEF ；
（2）若PC?//?平面MEF ，试求PM:MA 的值；
（3）当M 是PA 中点时，求二面角M ?EF ?N 的余弦值．
在一个选拔项目中，每个选手都需要进行4轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答者进入下一轮考核，否
则被淘汰．已知某选手能正确回答第一、二、三、四轮问题的概率分别为56、45、34、1
3，且各轮问题能否正确回答互不影响．
（1）求该选手进入第三轮才被淘汰的概率；
（2）求该选手至多进入第三轮考核的概率；
（3）该选手在选拔过程中回答过的问题的个数记为X ，求随机变量X 的分布列和期望．
已知函数f(x)=x 2e ax ．
（1）当a =1时，求f(x)在（1,?f(1)）处的切线方程；
（2）求函数f(x)的单调区间；
（3）若f(x)在(1,?+∞)单调递增，求a 的取值范围．
如图，已知椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，长轴长是短轴长的2倍且经过点M(2,?1)，平行于OM 的直线l
在y 轴上的截距为m(m ≠0)，l 交椭圆于A 、B 两个不同点．
（1）求椭圆的方程；
（2）求m的取值范围；
（3）求证直线MA、MB与x轴始终围成一个等腰三角形．
?x j．
将正整数2012表示成n个正整数x1，x2，x3，…x n之和．记S=∑x i
1≤i （I）当n=2时，x1，x2取何值时S有最大值； （II）当n=5时，x1，x2，x3，x4，x5分别取何值时，S取得最大值，并说明理由； （III）设对任意的1≤i 参考答案与试题解析 2012年北京市密云县高考数学一模试卷（理科） 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 【答案】 C 【考点】 交、并、补集的混合运算 【解析】 由全集U={x∈N?|x<6}，可得U={1,?2,?3,?4,?5}，然后根据集合混合运算的法则即可求解． 【解答】 解：∵A={1,?3}，B={3,?5}， ∴A∪B={1,?3,?5}， ∵U={x∈N?|x<6}={1,?2,?3,?4,?5}， ∴?U(A∪B)={2,?4}. 故选C． 2. 【答案】 A 【考点】 等比数列的前n项和 【解析】 先由等比数列的通项公式求得公比q，再利用等比数列的前n项和公式求之即可． 【解答】 解：设公比为q， 由8a2+a5=0，得8a2+a2q3=0， 解得q=?2， 所以S5 S2=1?q5 1?q2 =?11． 故选A． 3. 【答案】 A 【考点】 直线的极坐标方程与直角坐标方程的互化 点到直线的距离公式 【解析】 先把点坐标化为直角坐标、极坐标方程化为普通方程，然后利用点到直线的距离公式可得答案．【解答】 解：直线ρ(cosθ+sinθ)=2的普通方程为：x+y=2， 则点(1,?0)到直线x+y=2的距离为： √2=√2 2 ， 故选A． 4. 【答案】 B 【考点】 程序框图 【解析】 根据题意，按照程序框图的顺序进行执行，当x=2时跳出循环，输出结果． 【解答】 解：当输入a=6，b=1时， x=5>2， 进入循环得a=4，b=6， 此时x=2，退出循环， 输出的结果为2． 故选B 5. 【答案】 A 【考点】 排列、组合及简单计数问题 排列、组合的应用 【解析】 用直接法，4人中至少有1名女生包括1女3男及2女2男两种情况，计算各种情况下的选派方案种数，由加法原 理，计算可得答案. 【解答】 解：4人中至少有1名女生，包括1女3男及2女2男两种情况， 故不同的选派方案种数为C21?C43+C22?C42=2×4+1×6=14. 故选A． 6. 【答案】 A 【考点】 由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式 【解析】 由y=sin(ωx+φ)的图象可知，T 4 =π 4 ，利用其周期公式可求得ω，再由?π 6 ω+φ=0可求得φ，从而可得答 案． 【解答】 解：设函数y=sin(ωx+φ)的周期为T，则T 4 =π 4 ，又ω>0， ∴T=2π ω =π， ∴ω=2； 又y =sin (ωx +φ)的图象过(?π 6,?0)，且在[?π 6,?π 12]上单调递增， ∴ sin (?π6×2+φ)=0，?π 3+φ=2kπ，k ∈Z ， ∴ φ=2kπ+π3，k ∈Z ，又|φ|<π 2， ∴ φ=π 3． ∴ ω?=6 π． 故选A ． 7. 【答案】 C 【考点】 平面向量的基本定理及其意义 【解析】 如图所示，由BP →=2PC →，可得BP →=23BC →；利用向量的运算法则可得BC →=AC →?AB →，因此BP →=23(AC → ?AB)→．故AP →=AB →+BP →=AB →+23 (AC →?AB →)=13 AB →+23 AC → ．又由AP →=λAB →+μAC →．根据向量相等即可得出． 【解答】 解：如图所示， ∵ BP → =2PC → ，∴ BP → =23BC → ， ∵ BC → =AC → ?AB → ，∴ BP → =2 3(AC → ?AB)→ ． ∴ AP → =AB → +BP → =AB → +2 3(AC → ?AB → )=13AB → +23AC → ． 又AP → =λAB → +μAC → ． ∴ λ=1 3 ，μ=2 3 ． 故选C ． 8. 【答案】 C 【考点】 抽象函数及其应用 【解析】 构造函数：g(x)=f(x)?2011，可得函数g(x)是奇函数，且在[?2010,?2010]上是增函数．由此可得g(x)最大值为g(2010)=m ，则最小值为g(?2010)=?m ，再结合f(x)与g(x)的关系，不难得到f(x)的最大值与最小值的和M +N ． 【解答】 解：令g(x)=f(x)?2011，由已知条件： 对任意x 1，x 2∈[?2010,?2010]有f(x 1+x 2)=f(x 1)+f(x 2)?2011， ∴ f(x 1+x 2)?2011=[f(x 1)?2011]+[f(x 2)?2011]， 可得g(x 1+x 2)=g(x 1)+g(x 2) ∵ x >0时，有f(x)>2011，∴ x >0时，g(x)>0 令x 1=x 2=0，可得g(0)=0 令x 1=x ，x 2=?x ，可得g(0)=g(?x)+g(x)=0， 所以 g(?x)=?g(x)，得g(x)是奇函数 ∵ g(x 1)?g(x 2)=g(x 1)+g(?x 2)=g(x 1?x 2) ∴ 当x 1>x 2时，g(x 1?x 2)>0，得g(x 1)>g(x 2)，所以g(x)是[?2010,?2010]上的增函数 由此可得 g(x) 最大值为g(2010)=m ，则最小值为g(?2010)=?m 因此，由f(x)=g(x)+2011 得f(x)最大值为M =m +2011，最小值为?m +2011， 所以 M +N =m +2011+(?m)+2011=4022 故答案为：C 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中横线上. 【答案】 1+i 【考点】 复数代数形式的乘除运算 【解析】 直接利用复数的除法运算求解． 【解答】 解： ?1+3i 1+2i = (?1+3i)(1?2i)(1+2i)(1?2i) = 5+5i 5 =1+i ． 故答案为1+i ． 【答案】 0.09,680 【考点】 频率分布直方图 【解析】 由题意，可先求出最高的小矩形的高x 的值，再计算出[6,?14)内所有小矩形的面积即可得到样本数据落在[6,?14)内的频率，再根据公式频数=样本容量×频率求得样本数据落在[6,?14)内的频数． 【解答】 解：由图及频率分布直方图的意义得，4×(0.02+0.03+0.03+0.08+x)=1，解得x =0.09 ∴ 样本数据落在[6,?14)内的频数为1000×4×(0.08+0.09)=680． 故答案为：0.09，680． 【答案】 32 【考点】 由三视图求体积 【解析】 由已知中的三视图，我们可以判断出几何体的形状，进而求出几何体的底面面积和高后，代入棱锥体积公式，可得答案． 【解答】 由已知中的三视图可得几何体是一个三棱锥 且棱锥的底面是一个以(2+1)＝3为底，以1为高的三角形 棱锥的高为3 故棱锥的体积V=1 3?1 2 (2+1)?1?3=3 2 【答案】 3 【考点】 相似三角形的性质 圆周角定理 【解析】 先依据条件得到Rt△DOF∽RtPEF，结合相交弦定理得到关于PF乘积式，后再利用方程的思想列方程求解即可． 【解答】 由题意得：CD是⊙O的直径， 且AB⊥CD， ∴Rt△DOF∽RtPEF， ∴OF EF =DF PF ， ∴OF×PF＝EF×DF． 又相交弦定理得：DF?FE＝BF?AF，所以BF×AF＝OF×PF； 设OF＝x，BF＝2?x，AF＝2+x，PF＝4?x 代入可求得x＝1， 即PF＝3． 【答案】 1 【考点】 双曲线的特性 双曲线的定义 【解析】 先根据双曲线定义可知|PF1|?|PF2|=2a进而根据|PF1|=3|PF2|，求得a=|PF2|，同时利用三角形中两边之和大于第三边的性质，推断出，|F1F2|<|PF1|+|PF2|，进而求得a和c的不等式关系，分析当p为双曲线顶 点时，c a =2且双曲线离心率大于1，可得最后答案． 【解答】 解根据双曲线定义可知|PF1|?|PF2|=2a，即3|PF2|?|PF2|=2a． ∴a=|PF2|，|PF1|=3a 在△PF1F2中，|F1F2|<|PF1|+|PF2|， 2c<4|PF2|，c<2|PF2|=2a，∴c a <2， 当p为双曲线顶点时，c a =2 又∵双曲线e>1， ∴1 故答案为：1 【答案】 2(n?1)+√2,=(n?2)?2n+1+√2?2n+4?√2 【考点】 进行简单的合情推理 【解析】 根据新定义，结合合情推理，可求数列{a n}、数列{b n}的通项，利用错位相减法，可求和．【解答】 解：∵a1=√2，[a n]表示a n的整数部分，(a n)表示a n的小数部分，a n+1=[a n]+1 (a n) ， ∴a2=1 √2?1 =2+√2，a3=3+ √2?1 =4+√2， ∴a n=2(n?1)+√2， ∵数列{b n}中，b1=3，b2=2，b n+1 2=b n?b n+2， ∴b3=4 3 ，b4=8 9 ，b5=16 27 ， ∴b n=2n?1 3n?2 (n≥2)， ∴∑a i n i=1 b i=√2+(2+√2)?2+...+[2(n?1)+√2]?2n?1 3n?2 ， 令S=(2+√2)?2+...+[2(n?1)+√2]?2 n?1 3n?2 ，则 2 3 S=(2+√2)?4 3 +...+[2(n?2)+√2]?2n?1 3n?2 +2(n?1)+√2]?2n 3n?1 ， 两式相减，化简可得S=(n?2)?2n+1+√2?2n+4?2√2 ∴∑a i n i=1 b i=(n?2)?2n+1+√2?2n+4?√2． 故答案为：2(n?1)+√2，(n?2)?2n+1+√2?2n+4?√2． 三、解答题：本大题共6小题，共计80分，解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤. 【答案】 解：（1）∵f(x)=√3cos2x+2sin x?sin(x+π 2 )=√3cos2x+2sin x?cos x =√3cos2x+sin2x=2sin(2x+π 3 )，… ∴f(x)的最小正周期是π．… 令2x+π 3 =π 2 +2kπ，k∈Z，解得x=π 12 +kπ，k∈Z， ∴函数f(x)的最大值为2，此时，x值的集合为{x|x=kπ+π 12 ,?k∈z}．… （2）∵f(A)=sin(2A+π 3 )=0，0 2 ∴ A=π 3 ．… 在△ABC中，a2=b2+c2?2bc．cos A，c2?5c?24=0，解得c=8，或c=?3（舍），…∴S△ABC=1 2 bc?sin A=10√3．… 【考点】 余弦定理 三角函数中的恒等变换应用 【解析】 （1）利用三角函数的恒等变换化简函数f(x)的解析式为2sin(2x+π 3)，由此求得它的周期．令2x+π 3 =π 2 + 2kπ，k∈Z，解得x的值，可得函数的最大值以及取得最大值时x的集合． （2）由f(A)=0求得A的值，再由b=5，a=7以及余弦定理求得c的值，由△ABC的面积等于S△ABC=1 2 bc?sin A，运算求得结果． 【解答】 解：（1）∵f(x)=√3cos2x+2sin x?sin(x+π 2 )=√3cos2x+2sin x?cos x =√3cos2x+sin2x=2sin(2x+π 3 )，… ∴f(x)的最小正周期是π．… 令2x+π 3=π 2 +2kπ，k∈Z，解得x=π 12 +kπ，k∈Z， ∴函数f(x)的最大值为2，此时，x值的集合为{x|x=kπ+π 12 ,?k∈z}．… （2）∵f(A)=sin(2A+π 3)=0，0 2 ∴ A=π 3 ．… 在△ABC中，a2=b2+c2?2bc．cos A，c2?5c?24=0，解得c=8，或c=?3（舍），…∴S△ABC=1 2 bc?sin A=10√3．… 【答案】 解：（1）连接BD， ∵PA⊥平面ABCD，BD?平面ABCD， ∴PA⊥BD， 又∵BD⊥AC，AC∩PA=A， ∴BD⊥平面PAC， 又∵E，F分别是BC、CD的中点， ∴EF?//?BD， ∴EF⊥平面PAC，又EF?平面NEF，∴平面PAC⊥平面NEF； （2）连接OM， ∵PC?//?平面MEF，平面PAC∩平面MEF=OM， ∴PC?//?OM， ∴PM PA =OC AC =1 4 ，故PM:MA=1:3 （3）∵EF⊥平面PAC，OM?平面PAC，∴EF⊥OM， 在等腰三角形NEF中，点O为EF的中点，∴NO⊥EF， ∴∠MON为所求二面角M?EF?N的平面角， ∵点M是PA的中点，∴AM=NC=2， 所以在矩形MNCA中，可求得MN=AC=4√2，NO=√6，MO=√22， 在△MON中，由余弦定理可求得cos∠MON=MO 2+ON2?MN2 2?MO?ON =?√33 33 ， ∴二面角M?EF?N的余弦值为?√33 33 ． 【考点】 二面角的平面角及求法 直线与平面平行的性质 平面与平面垂直的判定 【解析】 （1）连接BD，由已知中E，F分别是正方形ABCD边BC、CD的中点，EF与AC交于点O，PA、NC都垂直于平面ABCD，由线面垂直的性质及三角形中位线定理可得EF⊥平面PAC，再由面面垂直的判定定理，即可得到平面PAC⊥平面NEF； （2）连接OM，由线面平行的性质定理，可得PC?//?OM，再由平行线分线段成比例定理得到PM:MA的值；（3）由（1）的结论，EF⊥平面PAC，可得EF⊥OM，而在等腰三角形NEF中，由等腰三角形“三线合一”可得NO⊥EF，故∠MON为所求二面角M?EF?N的平面角，解三角形MON即可得到答案． 【解答】 解：（1）连接BD， ∵PA⊥平面ABCD，BD?平面ABCD， ∴PA⊥BD， 又∵BD⊥AC，AC∩PA=A， ∴BD⊥平面PAC， 又∵ E ，F 分别是BC 、CD 的中点， ∴ EF?//?BD ， ∴ EF ⊥平面PAC ，又EF ?平面NEF ， ∴ 平面PAC ⊥平面NEF ； （2）连接OM ， ∵ PC?//?平面MEF ，平面PAC ∩平面MEF =OM ， ∴ PC?//?OM ， ∴ PM PA =OC AC =1 4，故PM:MA =1:3 （3）∵ EF ⊥平面PAC ，OM ?平面PAC ，∴ EF ⊥OM ， 在等腰三角形NEF 中，点O 为EF 的中点，∴ NO ⊥EF ， ∴ ∠MON 为所求二面角M ?EF ?N 的平面角， ∵ 点M 是PA 的中点，∴ AM =NC =2， 所以在矩形MNCA 中，可求得MN =AC =4√2，NO =√6，MO =√22， 在△MON 中，由余弦定理可求得cos ∠MON =MO 2+ON 2?MN 2 2?MO?ON =? √33 33 ， ∴ 二面角M ?EF ?N 的余弦值为? √33 33 ． 【答案】 解：设事件A i (i =1,?2,?3,?4)表示“该选手能正确回答第i 轮问题”， 由已知P(A 1)=5 6，P(A 2)=4 5，P(A 3)=3 4，P(A 4)=1 3，（1）设事件B 表示“该选手进入第三轮被淘汰”， 则P(B)=P(A 1A 2A ˉ 3)=P(A 1)P(A 2)P(A ˉ 3)=5 6×4 5×(1?3 4)=1 6． （2）设事件C 表示“该选手至多进入第三轮考核”， 则P(C)=P(A ˉ 1+A 1A ˉ 2+A 1A 2A ˉ 3)=P(A ˉ 1)+P(A 1A ˉ 2)+P(A 1A 2A ˉ 3)=1 6 +5 6 ×1 5 +5 6 ×4 5 ×(1?3 4 )=1 2 ． （3）X 的可能取值为1，2，3，4.P(X =1)=P(A ˉ 1)=1 6，P(X =2)=P(A 1A ˉ 2)=56×(1?45)=1 6， P(X =3)=P(A 1A 2A 3ˉ )=5 6×4 5×1 4=1 6， P(X =4)=P(A 1A 2A 3A 4ˉ )+P(A 1A 2A 3A 4)=5 6×4 5×3 4×1=1 2， 所以，X 的分布列为 E(X)=1×1 6 +2×1 6 +3×1 6 +4×1 2 =3． 【考点】 离散型随机变量及其分布列 互斥事件的概率加法公式 【解析】 （1）求该选手进入第三轮才被淘汰即第一、二轮均通过，而第三轮未通过，利用独立事件的概率求解即可． （2）求该选手至多进入第三轮考核分为三类，第一轮被淘汰、第二轮被淘汰、第三轮被淘汰，此三类事件互斥，分别求概率取和即可． （3）X 的所有可能取值为1，2，3，4，分别求概率即可． 【解答】 解：设事件A i (i =1,?2,?3,?4)表示“该选手能正确回答第i 轮问题”， 由已知P(A 1)=5 6，P(A 2)=4 5，P(A 3)=3 4，P(A 4)=1 3，（1）设事件B 表示“该选手进入第三轮被淘汰”， 则P(B)=P(A 1A 2A ˉ 3)=P(A 1)P(A 2)P(A ˉ 3)=5 6 ×4 5 ×(1?3 4 )=1 6 ． （2）设事件C 表示“该选手至多进入第三轮考核”， 则P(C)=P(A ˉ 1+A 1A ˉ 2+A 1A 2A ˉ 3)=P(A ˉ 1)+P(A 1A ˉ 2)+P(A 1A 2A ˉ 3)=1 6+5 6×1 5+5 6×4 5×(1?3 4)=1 2． （3）X 的可能取值为1，2，3，4.P(X =1)=P(A ˉ 1)=1 6，P(X =2)=P(A 1A ˉ 2)=5 6×(1?4 5)=1 6， P(X =3)=P(A 1A 2A 3ˉ )=5 6×4 5×1 4=1 6， P(X =4)=P(A 1A 2A 3A 4ˉ )+P(A 1A 2A 3A 4)=5 6×4 5×3 4×1=1 2， 所以，X 的分布列为 E(X)=1×1 6+2×1 6+3×1 6+4×1 2=3． 【答案】 解：（1）当 a =1时，f(x)=x 2e x ，f′(x)=(x 2)′e x +x 2(e x )′=2xe x +x 2e x =(2x +x 2)e x ∴ f′(1)=3e ，f(1)=e ， ∴ 切线方程为y ?e =3e(x ?1)，即3ex ?y ?2e =0… （2）f′(x)=(x 2)′e ax +x 2(e ax )′=2xe ax +ax 2e ax =x(ax +2)e ax … ①当a =0时，f′(x)=2x ，当x >0时，f′(x)>0，当x <0时，f′(x)<0， ∴单调增区间为(0,?+∞)，单调减区间为(?∞,?0)…当a≠0时，令f′(x)=0，得x1=0或x2=?2 a … ②当a>0时，0>?2 a ， 当x a 时，f′(x)>0，当?2 a 单调增区间为(?∞,?2 a )，(0,?+∞)，单调减区间为(?2 a ，0)… ③当a<0时，0 a ，当x>?2 a 时，f′(x)<0，当0 a 时，f′(x)>0，当x<0时，f′(x)<0， ∴f(x)的单调增区间是(0,??2 a )，单调减区间是(?∞,?0)，(?2 a ,?+∞)… 综上：当a=0时，单调增区间为(0,?+∞)，单调减区间为(?∞,?0) 当a>0时，单调增区间为(?∞,?2 a )，(0,?+∞)，单调减区间为(?2 a ，0) 当a<0时，f(x)的单调增区间是(0,??2 a )，单调减区间是(?∞,?0)，(?2 a ,?+∞) （3）由（2）知，当a≥0时，f(x)在(0,?+∞)单调递增，满足条件；… 当a<0时，单调增区间为(0,??2 a )与f(x)在(1,?+∞)单调递增不符… 综上：a≥0… 【考点】 利用导数研究曲线上某点切线方程 利用导数研究函数的单调性 【解析】 （1）当a=1时，求导函数，确定切线的斜率，求出切点的坐标，即可求f(x)在（1,?f(1)）处的切线方程；（2）分类讨论，利用导数的正负，可求函数f(x)的单调区间； （3）利用（2）的结论，结合f(x)在(1,?+∞)单调递增，即可求a范围． 【解答】 解：（1）当a=1时，f(x)=x2e x，f′(x)=(x2)′e x+x2(e x)′=2xe x+x2e x=(2x+x2)e x ∴f′(1)=3e，f(1)=e， ∴切线方程为y?e=3e(x?1)，即3ex?y?2e=0… （2）f′(x)=(x2)′e ax+x2(e ax)′=2xe ax+ax2e ax=x(ax+2)e ax… ①当a=0时，f′(x)=2x，当x>0时，f′(x)>0，当x<0时，f′(x)<0， ∴单调增区间为(0,?+∞)，单调减区间为(?∞,?0)… 当a≠0时，令f′(x)=0，得x1=0或x2=?2 a … ②当a>0时，0>?2 a ， 当x a 时，f′(x)>0，当?2 a 单调增区间为(?∞,?2 a )，(0,?+∞)，单调减区间为(?2 a ，0)… ③当a<0时，0 a ，当x>?2 a 时，f′(x)<0，当0 a 时，f′(x)>0，当x<0时，f′(x)<0， ∴f(x)的单调增区间是(0,??2 a )，单调减区间是(?∞,?0)，(?2 a ,?+∞)… 综上：当a=0时，单调增区间为(0,?+∞)，单调减区间为(?∞,?0) 当a>0时，单调增区间为(?∞,?2 a )，(0,?+∞)，单调减区间为(?2 a ，0) 当a<0时，f(x)的单调增区间是(0,??2 a )，单调减区间是(?∞,?0)，(?2 a ,?+∞) （3）由（2）知，当a≥0时，f(x)在(0,?+∞)单调递增，满足条件；… 当a<0时，单调增区间为(0,??2 a )与f(x)在(1,?+∞)单调递增不符… 综上：a≥0… 【答案】 设椭圆方程为x 2 a2 +y2 b2 =1(a>b>0) 则{ a=2b 4 a2 +1 b2 =1，解得{ a2=8 b2=2 ∴椭圆方程x2 8 +y2 2 =1 ∵直线l平行于OM，且在y轴上的截距为m 又K OM=1 2 ∴l的方程为：y=1 2 x+m 由{ y=1 2 x+m x2 8 +y2 2 =1 ，∴x2+2mx+2m2?4＝0 ∵直线l与椭圆交于A、B两个不同点，∴△＝(2m)2?4(2m2?4)>0， ∴m的取值范围是{m|?2 设直线MA、MB的斜率分别为k1，k2，只需证明k1+k2＝0即可 设A(x1,y1),B(x2,y2),k1=y1?1 x1?2 ,k2=y2?1 x2?2 由x2+2mx+2m2?4＝0可得x1+x2＝?2m，x1x2＝2m2?4 而k1+k2=y1?1 x1?2 +y2?1 x2?2 =(y1?1)(x2?2)+(y2?1)(x1?2) (x1?2)(x2?2) = ( 1 2x1+m?1)(x2?2)+( 1 2x2+m?1)(x1?2) (x1?2)(x2?2) = x1x2+(m?2)(x1+x2)?4(m?1) (x1?2)(x2?2) = 2m2?4+(m?2)(?2m)?4(m?1) (x1?2)(x2?2) =2m 2?4?2m 2+4m ?4m +4(x 1?2)(x 2?2) =0 ∴ k 1+k 2＝0 故直线MA 、MB 与x 轴始终围成一个等腰三角形． 【考点】 直线与椭圆结合的最值问题 椭圆的离心率 【解析】 （1）设出椭圆的标准方程，长轴长是短轴长的2倍求得a 和b 的关系，进而把点M 代入椭圆方程求得a 和b 的另一个关系式，然后联立求得a 和b ，则椭圆的方程可得． （2）依题意可表示出直线l 的方程，与椭圆方程联立消去y ，根据判别式大于0求得m 的取值范围． （3）设直线MA 、MB 的斜率分别为k 1，k 2，问题转化为证明k 1+k 2＝0．设出点A ，B 的坐标，进而表示出两斜率，根据（2）中的方程式，根据韦达定理表示出x 1+x 2和x 1x 2，进而代入到k 1+k 2，化简整理求得结果为0，原式得证． 【解答】 设椭圆方程为 x 2a 2 + y 2b 2 =1(a >b >0) 则{a =2b 4a 2+1b 2=1 ，解得{a 2 =8b 2=2 ∴ 椭圆方程 x 28 + y 22 =1 ∵ 直线l 平行于OM ，且在y 轴上的截距为m 又K OM =1 2 ∴ l 的方程为：y =1 2x +m 由{y =1 2 x +m x 28 +y 22=1 ，∴ x 2+2mx +2m 2?4＝0 ∵ 直线l 与椭圆交于A 、B 两个不同点，∴ △＝(2m)2?4(2m 2?4)>0， ∴ m 的取值范围是{m|?2 设直线MA 、MB 的斜率分别为k 1，k 2，只需证明k 1+k 2＝0即可 设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),k 1=y 1?1x 1 ?2,k 2=y 2?1 x 2 ?2 由x 2+2mx +2m 2?4＝0可得x 1+x 2＝?2m ，x 1x 2＝2m 2?4 而k 1+k 2=y 1?1x 1 ?2+y 2?1 x 2 ?2= (y 1?1)(x 2?2)+(y 2?1)(x 1?2) (x 1?2)(x 2?2) =(12x 1+m ?1)(x 2?2)+(1 2x 2+m ?1)(x 1?2)(x 1?2)(x 2?2) = x 1x 2+(m ?2)(x 1+x 2)?4(m ?1) (x 1?2)(x 2?2) =2m 2?4+(m ?2)(?2m)?4(m ?1)(x 1?2)(x 2?2) =2m 2?4?2m 2+4m ?4m +4(x 1?2)(x 2?2) =0 ∴ k 1+k 2＝0 故直线MA 、MB 与x 轴始终围成一个等腰三角形． 【答案】 解：(I)根据 x 1+x 2=2012，利用均值不等式，可得当x 1=x 2=1006时，S 有最大值10062．-------- （II ）当x 1=x 2=x 3=402，x 4=x 5=403时，S 取得最大值．------ 由x 1+x 2+x 3+x 4+x 5=2012，利用基本不等式可得当这5个数相等时，S 取得最大值．再由这5个数都是正整数， 可得S 取得最大值时，必有|x i ?x j |≤1(?1≤i （III ）由x 1+x 2+x 3+x 4+x 5=2012且|x i ?x j |≤2，只有①x 1=401，x 2=402，x 3=x 4=x 5=403； ②x 1=x 2=x 3=402，x 4=x 5=403； ③x 1=x 2=x 3=x 4=402，x 5=404；三种情况．-------- 而在②时，根据（2）知原式取得最大值； 在①时，设t =402，S =∑x i 1≤i 【解析】 （I ）根据 x 1+x 2=2012，利用均值不等式，求得当x 1=x 2=1006时，S 有最大值10062． （II ）当x 1=x 2=x 3=402，x 4=x 5=403时，S 取得最大值．理由：x 1+x 2+x 3+x 4+x 5=2012，利用基本不等式可得当这5个数相等时，S 取得最大值． 再由这5个数都是正整数，可得S 取得最大值时，必有|x i ?x j |≤1(1≤i 【解答】 解：(I)根据 x 1+x 2=2012，利用均值不等式，可得当x 1=x 2=1006时，S 有最大值10062．-------- （II ）当x 1=x 2=x 3=402，x 4=x 5=403时，S 取得最大值．------ 由x 1+x 2+x 3+x 4+x 5=2012，利用基本不等式可得当这5个数相等时，S 取得最大值．再由这5个数都是正整数， 可得S 取得最大值时，必有|x i ?x j |≤1(?1≤i （III ）由x 1+x 2+x 3+x 4+x 5=2012且|x i ?x j |≤2，只有①x 1=401，x 2=402，x 3=x 4=x 5=403； ②x 1=x 2=x 3=402，x 4=x 5=403； ③x 1=x 2=x 3=x 4=402，x 5=404；三种情况．-------- 而在②时，根据（2）知原式取得最大值； 在①时，设t =402，S =∑x i 1≤i