数论之同余定理

第六讲 数论之同余定理、个位律

回顾

【例1】 （北大附中入学测试题）有一个自然数，用它分别去除63，90，130都有余数，这三个余数的和是25。这三个余数中最大的一个是多少？

【例2】 （人大附中入学测试题）一个两位数被它的各位数字之和去除，问余数最大是多少？

专题

题型一、余数规律

想 挑 战 吗 ？

射雕英雄传第29回写到,黄蓉给瑛姑出了三道算题.其中第三题是所谓的“鬼谷算题”:今有物不知其数,三三数之剩二,五五数之剩三,七七数之剩二,问物几何?

这个其实是我国古代比较有名的一道题.你能答出黄蓉的这道题吗？

【例1】 2005432120054321+++++ 除以10所得的余数为多少？

【例2】 试求25310×1685的末两位数。

题型二、余数定理、性质的运用

余数定理：

a ：两数的和除以m 的余数等于这两个数分别除以m 的余数和。

实例：7÷3=…1，5÷3=…2，这样（7+5）÷3的余数就等于1+2=3，所以余0。

b: 两数的差除以m 的余数等于这两个数分别除以m 的余数差。

实例：8÷3=…2，4÷3=…1，这样（8-4）÷3的余数就等于2-1=1，所以余1。

如果是（7-5）÷3呢? 会出什么问题？

c: 两数的积除以m 的余数等于这两个数分别除以m 的余数积。

实例：7÷3=…1，5÷3=…2，这样（7×5）÷3的余数就等于1×2=2，所以余2。

性质：

带余除法：

一般地，如果a 是整数，b 是整数（b ≠0）,那么一定有另外两个整数q 和r ，0?r ＜b,使得a=b ×q+r

当r=0时，我们称a 能被b 整除。

当r ≠0时，我们称a 不能被b 整除，r 为a 除以b 的余数，q 为a 除以b 的不完全商

（亦简称为商）。用带余数除式又可以表示为a ÷b=q ……r, 0?r ＜b

【例3】一个大于10的自然数去除90、164后所得的两个余数的和等于这个自然数去除220后所得的余数，则这个自然数是多少？

【例4】甲、乙、丙三数分别为603，939，393.某数A除甲数所得余数是A除乙数所得余数的2倍，A 除乙数所得余数是A除丙数所得余数的2倍.求A等于多少？

题型三、一个数除以多个数，得不同余数

一般解题步骤:

①凑“多”相同，即把余数处理成相同条件：余数与除数的和相同

②凑“缺”相同，即把余数处理成缺的数字相同条件：除数与余数的差相同

③先考虑上面两种，如果都不行，则用“中国剩余定理”

【例5】一个大于10的数，除以3余1，除以5余2，除以11余7，问满足条件的最小自然数是多少？【例6】一个大于2的数，除以3余1，除以5余3，除以7余5，问满足条件的最小自然数是____.

【例7】一个数除以3余2，除以5余3，除以7余4，问满足条件的最小自然数____.

【例8】一个数除以3、5、7、11的余数分别是2、3、4、5，求符合条件的最小的数：

题型四：余数和应用题相结合。

【例9】在3×3的方格表中已如右图填入了9个质数。将表中同一行或同一列的3个数加上相同的自然数称为一次操作。问：你能通过若干次操作使得表中9个数都变为相同的数吗？为什么？

【例10】六张卡片上分别标上1193，1258，1842，1866，1912，2494六个数，甲取3张，乙取2张，丙取1张，结果发现甲手中卡片上的数之和是乙各自手中卡片上的数之和的2倍，则丙手中卡片上的数是几？

【例11】甲、乙两个代表团乘车去参观，每辆车可乘36人，两代表团坐满若干辆车后，甲代表团余下的11人与乙代表团余下的成员正好又坐满一辆车。参观完，甲代表团的每个成员与乙代表团的每

个成员两两合拍一张照片留念，那么拍完最后一张照片后，照相机里的胶卷还可拍____张照片（每个胶卷可拍36张照片）。

【例12】（南京市第三届“兴趣杯”少年数学邀请赛决赛D卷第11题）现有糖果254粒,饼干210块和桔子186个.某幼儿园大班人数超过40.每人分得一样多的糖果,一样多的饼干,也分得一样多的桔子。余下的糖果、饼干和桔子的数量的比是：1：3：2，这个大班有_____名小朋友，每人分得糖果_____粒，饼干_____块，桔子_____个。

练习六

1、有一个数，除以3余数是2，除以4余数是1。问这个数除以12余数是几？

2、五(3)班同学上体育课，排成3行少1人，排成4行多3人，排成5行少1人，排成6行多5人.问上体育课的同学最少多少名?

3、一个数除以3余2，除以5余3，除以7余2，求适合此条件的最小数

4、一个数去除70、103所得的余数为a、2a+2，求a的值，

5、一个数除以5余3，除以6余4，除以7余1，求适合条件的最小的自然数。

初中数学定义、定理(大全)

第一篇数与代数 第一节数与式 一、实数 1.实数的分类：整数(包括:正整数、0、负整数)和分数(包括:有限小数和无限环循小数)都是有理数.如:－ 3, ,0.231,0.737373…, , 等；无限不环循小数叫做无理数. 如: π, ,0.1010010001…(两个1之间依次多1个0)等.有理数和无理数统称为实数. 2.数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫数轴。实数和数轴上的点一一对应。 3.绝对值：在数轴上表示数a的点到原点的距离叫数a的绝对值，记作∣a∣。正数的绝对值 是它本身；负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0。如:丨－ _丨= ；丨3.14－π丨=π－3.14. 4.相反数：符号不同、绝对值相等的两个数，叫做互为相反数。a的相反数是-a，0的相反数 是0。 5.有效数字：一个近似数,从左边笫一个不是0的数字起,到最末一个数字止,所有的数字,都叫 做这个近似数的有效数字.如:0.05972精确到0.001得0.060,结果有两个有效数字6,0. 6.科学记数法：把一个数写成a×10n的形式(其中1≤a<10,n是整数),这种记数法叫做科学记 数法. 如:407000=4.07×105,0.000043=4.3×10－5. 7.大小比较：正数大于0，负数小于0，两个负数，绝对值大的反而小。 8.数的乘方：求相同因数的积的运算叫乘方，乘方运算的结果叫幂。 9.平方根：一般地，如果一个数x的平方等于a,即x2=a那么这个数a就叫做x的平方根（也叫做二次方根式）。一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0只有一个平方根，它是0本身；负数没有平方根． 10．开平方：求一个数a的平方根的运算，叫做开平方． 11．算术平方根：一般地，如果一个正数x的平方等于a,即x2=a，那么这个正数x就叫做a的算术平方根，0的算术平方根是0． 12．立方根：一般地，如果一个数x的立方等于a,即x3=a，那么这个数x就叫做a的立方根（也叫做三次方根）,正数的立方根是正数;负数的立方根是负数；0的立方根是0． 13．开立方：求一个数a的立方根的运算叫做开立方． 14．平方根易错点：（1）平方根与算术平方根不分，如 64的平方根为士8，易丢掉－8，而求为64的算术平方根；（2）的平方根是士，误认为平方根为士 2，应知道=2． 15.二次根式： (1)定义:___________________________________________________叫做二次根式. 16．二次根式的化简： 17．最简二次根式应满足的条件：（1）被开方数的因式是整式或整数；（2）被开方数中不含有能开得尽的因数或因式． 18．同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式． 19．二次根式的乘法、除法公式 20．.二次根式运算注意事项：（1）二次根式相加减，先把各根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式，防止：①该化简的没化简；②不该合并的合并；③化简不正确；④合并出错．（2）二次根式的乘法除法常用乘法公式或除法公式来简化计算，运算结果一定写成最简二次根式或整式． 21．有理数加法法则：同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；异号两数相加，绝对值相等时和为0；绝对值不等时，取绝对值较大的数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；一个数同0相加，仍得这个数． 22．有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数．

对热力学第三定律的理解及应用

对热力学第三定律的理解及应用 在学习了物理书中的“热学”篇后，对于书中提到的热力学四大定律很感兴趣。其中热力学第一定律与热力学第二定律在书中都有了较为详尽的介绍，并且我们也认真地做了相关的习题，可以说对于这两个定律较为熟悉，而对于热力学第零定律与第三定律却了解不多。因此，在课下，我查阅了相关资料。对于这两个定律有了一定了解。 热力学第零定律表述为：“如果两个热力学系统中的每一个都与第三个热力学系统处于热平衡(温度相同)，则它们彼此也必定处于热平衡。” 热力学第三定律表述为：“热力学系统的熵在温度趋近于绝对零度时趋于定值，特别地，对于完整晶体，这个定值为零。”可以用这一公式表达，0)(lim 0=?=s t 而另一种表述为：“不可能通过有限的步骤，将一个物体冷却到绝对温度的零度。” 对于第三定律中提到的，“不能通过有限步骤，达到绝对零度”我感到了困惑与好奇。 对于这一定律有这么一种解释：理论上，若粒子动能低到量子力学的最低点时，物质即达到绝对零度，不能再低。然而，绝对零度永远无法达到，只可无限逼近。因为任何空间必然存有能量和热量，也不断进行相互转换而不消失。所以绝对零度是不存在的，除非该空间自始即无任何能量热量。 另一种解释是：当原子达到绝对零度后，就会处于静止状态，而这违反了海森堡不确定原理指出的“不可能同时以较高的精确度得知一个粒子的位置和动量”。

尽管，绝对零度在实际生活中似乎无法达到，但科学家还是不遗余力的尝试着接近绝对零度。据报道，由德国、美国、奥地利等国科学家组成的一个国际科研小组在实验室内创造了仅仅比绝对零度高0.5纳开尔文的温度纪录，而此前的纪录是比绝对零度高3纳开。这是人类历史上首次达到绝对零度以上1纳开以内的极端低温。 而通过研究物体在接近绝对零度度过程中材料属性的变化，可以为工程应用提供材料，而在微观领域也可研究低温环境对于原子产生的影响，比如原子在接近绝对零度时是如何运动的，物体呈现一种什么样的状态，这对于原子物理的发展有巨大促进作用。 热力学第三定律在生活中也得到了应用。比如在研究过程中，发现了一些物体存在着超导现象，这一发现对于降低能耗，减少能源浪费都有着不可估量的意义。将一个金属样品放置在通有高频电流的线圈上时，高频电磁场会在金属材料表面产生一高频涡流，这一高频涡流与外磁场相互作用，使金属样品受到一个洛沦兹力的作用。在合适的空间配制下，可使洛沦兹力的方向与重力方向相反，通过改变高频源的功率使电磁力与重力相等，即可实现电磁悬浮。即磁悬浮。对于磁悬浮技术的应用，主要是磁悬浮列车，其优点在于耗能不仅低于普通火车，更大大低于汽车和飞机。在驱动功率相同时，其耗能仅为汽车的1/3，飞机的1/4，而降低能耗是环境保护的最主要问题。 通过科学家对于绝度零度都不断的追求，我们可以看出科学永无止境，作为科学工作者要有一种锲而不舍的精神。

算数公式

三角形的面积＝底×高÷2。公式S= a×h÷2 正方形的面积＝边长×边长公式S= a×a 长方形的面积＝长×宽公式S= a×b 平行四边形的面积＝底×高公式S= a×h 梯形的面积＝（上底+下底）×高÷2 公式S=(a+b)h÷2 内角和：三角形的内角和＝180度。 长方体的体积＝长×宽×高公式：V=abh 长方体（或正方体）的体积＝底面积×高公式：V=abh 正方体的体积＝棱长×棱长×棱长公式：V=aaa 圆的周长＝直径×π 公式：L＝πd＝2πr 圆的面积＝半径×半径×π 公式：S＝πr2 圆柱的表（侧）面积：圆柱的表（侧）面积等于底面的周长乘高。公式：S=ch=πdh＝2πrh 圆柱的表面积：圆柱的表面积等于底面的周长乘高再加上两头的圆的面积。公式：S=ch+2s=ch+2πr2圆柱的体积：圆柱的体积等于底面积乘高。公式：V=Sh 圆锥的体积＝1/3底面×积高。公式：V=1/3Sh 分数的加、减法则：同分母的分数相加减，只把分子相加减，分母不变。异分母的分数相加减，先通分，然后再加减。 分数的乘法则：用分子的积做分子，用分母的积做分母。 分数的除法则：除以一个数等于乘以这个数的倒数。 读懂理解会应用以下定义定理性质公式 一、算术方面 1、加法交换律：两数相加交换加数的位置，和不变。 2、加法结合律：三个数相加，先把前两个数相加，或先把后两个数相加，再同第三个数相加，和不变。 3、乘法交换律：两数相乘，交换因数的位置，积不变。 4、乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或先把后两个数相乘，再和第三个数相乘，它们的积不变。 5、乘法分配律：两个数的和同一个数相乘，可以把两个加数分别同这个数相乘，再把两个积相加，结果不变。 如：（2+4）×5＝2×5+4×5 6、除法的性质：在除法里，被除数和除数同时扩大（或缩小）相同的倍数，商不变。O除以任何不是O 的数都得O。 简便乘法：被乘数、乘数末尾有O的乘法，可以先把O前面的相乘，零不参加运算，有几个零都落下，添在积的末尾。 7、什么叫等式？等号左边的数值与等号右边的数值相等的式子 叫做等式。 等式的基本性质：等式两边同时乘以（或除以）一个相同的数， 等式仍然成立。 8、什么叫方程式？答：含有未知数的等式叫方程式。 9、什么叫一元一次方程式？答：含有一个未知数，并且未知数的次数是一次的等式叫做一元一次方程式。学会一元一次方程式的例法及计算。即例出代有χ的算式并计算。 10、分数：把单位“1”平均分成若干份，表示这样的一份或几分的数,叫做分数。 11、分数的加减法则：同分母的分数相加减，只把分子相加减，分母不变。异分母的分数相加减，先通分，

热力学定律及其微观本质读后感

《热力学定律及其微观本质》读后感 能电院电气四班丁小柳0905020414 读了《热力学定律及其围观本质》这篇论文，体会和收获还是蛮多的。它很有条理的从它的宏观表达和具体应用后，然后应用分子动理论和统计物理学知识揭示了他们的微观本质。 一、热力学四大定律（虽然我们现在只学了两大定律）： 1、热力学第零定律——能量守恒定律在热学形式的表现。 如果两个热力学系统中的每一个都与第三个热力学系统处于热平衡(温度相同)，则它们彼此也必定处于热平衡。这一结论称做“热力学第零定律”。热力学第零定律的重要性在于它给出了温度的定义和温度的测量方法。定律中所说的热力学系统是指由大量分子、原子组成的物体或物体系。它为建立温度概念提供了实验基础。这个定律反映出：处在同一热平衡状态的所有的热力学系统都具有一个共同的宏观特征，这一特征是由这些互为热平衡系统的状态所决定的一个数值相等的状态函数，这个状态函数被定义为温度。而温度相等是热平衡之必要的条件。 另一种表述：处于热力学平衡状态的所有物质均具有某一共同的宏观物理性质。 2、热力学第一定律——能量守恒定律在热学形式的表现。 我们知道热力学第一定律的表达式是ΔU = Q+ W（这里的W是外界对系统做的功），也就是说物体吸收的热量等于物体对外界做的功与物体内能增加之和。这从另一个角度体现了能量守恒定律 （1）能量守恒定律 大量事实证明：各种形式的能都可以相互转化，并且在转化过程中守恒。 能量既不会凭空产生，也不会凭空消失，它只能从一种形式转化为另一种形式，或者从一个物体转移到别的物体；在转化和转移过程中其总量不变．这就是能量守恒定律。在学习力学知识时，学习了机械能守恒定律。机械能守恒定律是有条件限制的定律，而且实际现象中是不可能实现的。而能量守恒定律是存在于普遍自然现象中的自然规律。这规律对物理学各个领域的研究，如力学、电学、热学、光学等都有指导意义。它也对化学、生物学等自然科学的研究都有指导作用。 （2）永动机不可能制成 历史上不少人希望设计一种机器，这种机器不消耗任何能量，却可以源源不断地对外做功。

初中数学竞赛重要定理公式(代数篇)

初中数学竞赛重要定理、公式及结论 代数篇 【乘法公式】 完全平方公式：(a±b)2=a2±2ab+b2， 平方差公式：（a+b）(a-b)=a2-b2， 立方和（差）公式：(a±b)(a2 ?ab+b2)=a3±b3 多项式平方公式：(a+b+c+d)2=a2+b2+c2+d2+2ab+2ac+2ad+2bc+2bd+2cd 二项式定理：(a±b)3=a3±3a2b+3ab2±b3 (a±b)4=a4±4a3b+6a2b2±4ab3+b4） (a±b)5=a5±5a4b+10a3b2±10a2b3＋5ab4±b5） ………… 在正整数指数的条件下，可归纳如下：设n为正整数(a+b)(a2n-1- a2n-2b+a2n-3b2- … ＋ab2n-2- b2n-1)=a2n-b2n(a+b)(a2n-a2n-1b+a2n-2b2n-…-ab2n-1+b2n)=a2n+1+b2n+1 类似地：（a-b）(a n-1+a n-2b+a n-3b2+…＋ab n-2+b n-1)=a n-b n 公式的变形及其逆运算 由(a+b)2=a2+2ab+b2得a2+b2=(a+b)2-2ab 由(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3=a3+b3+3ab(a+b) 得a3+b3=(a+b)3-3ab(a+b) 由公式的推广③可知：当n为正整数时 a n- b n能被a-b 整除，a2n+1+b2n+1能被a+b整除，a2n-b2n能被a+b 及a-b整除。重要公式（欧拉公式） (a+b+c)(a2+b2+c2+ab+ac+bc)=a3+b3+c3-3abc 【综合除法】一个一元多项式除以另一个一元多项式，并不是总能整除。当被 除式f(x)除以除式g(x)，(g(x)≠0) 得商式q(x)及余式r(x)时，就有下列等式： f(x)=g(x)q(x)-r(x) 其中r(x)的次数小于g(x)的次数，或者r(x)=0。当r(x)=0时，就是f(x)能被g(x)整除。 【余式定理】多项式f(x)除以x-a所得的余数等于f(a)。 【因式分解方法】拆项、添项、配方、待定系数法、求根法、对称式和轮换对称式等。 【部分分式】把一个分式写成几个简单分式的代数和，称为将分式化为部分分式，它是分式运算的常用技巧。分式运算的技巧还有：换元法、整体法、逐项求和、拆项求和等。 【素数和合数】2是最小的素数，也是唯一的一个既是偶数又是素数的数．

《数论》第一章补充例题

《数论》第一章补充例题 整除性理论是初等数论的基础.本章要介绍带余数除法,辗转相除法,最大公约数,最小公倍数,算术基本定理以及它们的一些应用. 1整数的整除性 例1设A={d1,d2,···,dk}是n的所有约数的集合,则 }{nnn,,···,B=d1d2dk 也是n的所有约数的集合. 解由以下三点理由可以证得结论: (i)A和B的元素个数相同; (ii)若di∈A,即di|n,则(iii)若di=dj,则问: d(1)+d(2)+···+d(1997) 是否为偶数? n解对于n的每个约数d,有n=d·n,因此,n的正约数d与是成对地出现的.只有 n2当d=n,即d=n时,d和才是同一个数.故当且仅当n是完全平方数时,d(n)是奇数.nini|n,反之亦然;=nj.例2以d(n)表示n的正约数的个数,例 如:d(1)=1,d(2)=2,d(3)=2,d(4)=3,···. 因为442<1997<452,所以在d(1),d(2),···,d(1997)中恰有44个奇数,故 d(1)+d(2)+···+d(1997)是偶数. 问题d2(1)+d2(2)+···+d2(1997)被4除的余数是多少? 例3证明:存在无穷多个正整数a,使得 n4+a(n=1,2,3,···) 都是合数. ? ?例题中引用的定理或推论可以在教材相应处找到. 1 解取a=4k4,对任意的n∈N,有 n4+4k4=(n2+2k2)2?4n2k2=(n2+2k2+2nk)(n2+2k2?2nk). 由 n2+2k2?2nk=(n?k)2+k2??k2, 所以,对于任意的k=2,3,···以及任意的n∈N,n4+a是合数.

尔雅数学文化满分期末答案

尔雅数学文化满分期末答案 一、单选题（题数：50，共50.0 分） 1在解决“哥尼斯堡七桥问题”时，数学家先做的第一步是（）。1.0 分A、分析B、概括C、推理D、抽象 正确答案：D 我的答案：D 2哈雷彗星的回归周期是（）年。1.0 分A、74.0 B、75.0 C、76.0 D、77 正确答案：C 我的答案：C 3最大的无限集合是（）。1.0 分A、 实数集合B、 有理数集合C、 自然数集合D、不存在 正确答案：D 我的答案：D 4向日葵、松果、花菜的表面，呈现的顺时针与逆时针对数螺线间的关系，实际是和植物生成的（）有关。1.0 分A、调节剂B、向光性C、 新陈代谢D、 动力学特性 正确答案：D 我的答案：D 5欧多克索斯与阿契塔关于“两个量的比”的证明，部分解决了毕达哥拉斯学派的（）问题。1.0 分 A、 自然数的存在B、整数比C、可公度D、无理数 正确答案：C 我的答案：C 6以下属于二阶递推公式的是（）。1.0 分A、 圆的面积公式B、 等差数列C、

等比数列D、 斐波那契数列 正确答案：D 我的答案：D 7第一次数学危机的真正解决，是发生在（）。1.0 分A、16世纪B、17世纪C、18世纪D、19世纪 正确答案：D 我的答案：D 8用运动的观点来看对称，平面图形的对称的本质可以用（）来描述。1.0 分A、 变中有不变B、反射C、折射D、 不变应万变 正确答案：A 我的答案：A 9在1,1,2,3,5,8,13,21,34??这一斐波那契数列中，第12项是（）。 1.0 分A、143.0 B、144.0 C、145.0 D、146.0 正确答案：B 我的答案：B 10目前发现的人类最早的记数系统是刻在哪里？（）1.0 分A、猪骨B、牛骨C、龟甲D、狼骨 正确答案：D 我的答案：D 11“四色猜想”，最终在哪一年被人们用计算机得到证明？（）1.0 分A、1970年B、1971年C、1972年D、1973年正确答案：C 我的答案：C 12形式的公理化方法在逻辑上的要求，是满足相容性，（）和完全性。1.0 分A、一致性B、成套性C、独立性D、安全性正确答案：C 我的答案：C 13无论是“说谎者悖论”，还是哥德尔的模仿，问题的核心都指向了（）。1.0 分A、 自相矛盾B、 自相抵消C、 自我指谓D、

算术基本定理

关于质和计算基本定理的问题 一、知识 大于 1 的整数n总有两个不同的正约数：1和n . 若n仅有两个正约数（称n没有正因子），则称n为质数（或素数）.若n有真因子，即n可以表示为 a b的形式（这里a,b为大于1的整数），则称n为合数. 正整数被分为三类：数1，素数类，合数类关于素数的一些重要理论 1.大于1的整数必有素约数. 2.设p为素数，n为任意一个整数，则或者p整除n，或者p与n互素. 事实上，p与n的最大公约数（p,n）必整除p ，故由素数的定义推知，或者（p,n） 1，或者（p,n） p，即或者p与n互素，或者p|n. 3.设p为素数，a,b为整数.若p | ab ，则a, b中至少有一个数被p整除. 事实上，若p不整除a和b ，由性质2知，p与a和b均互素，从而p与ab互素。这与已知的p|ab 矛盾. 特别地：若素数p 整除a n（n 1），则p|a 4. 定理1 素数有无限多个（公元前欧几里得给出证明）证明：（反证 法）假设只有k个素数，设它们是p1，p2，，p k。记 N p1 p2 p w 1 。（N不一定是素数） 由第一节定理 2 可知，p有素因数p ，我们要说明p p i ,1 i k 从而得出矛盾事实上，若有某个i,1 i k 使得p p i ,则由 p | N p1 p2 p w 1 推出p |1 ，这是不可能的。因此在p1，p2，，p k之外又有一个素数p ，这与假设是矛盾的。所以素数不可能是有限个 5. 引理1 任何大于1的正整数n可以写成素数之积，即 n p1 p2 p m (1)

其中p i ,1 i m是素数。 证明当n=2 时，结论显然成立。 假设对于 2 n k ，式(1) 成立，我们来证明式(1) 对于n=k 1也成立，从而 由归纳法推出式(1) 对任何大于 1 的整数n 成立。 如果k 1 是素数，式(1) 显然成立。 如果k 1是合数，则存在素数p与整数d，使得k 1=pd 。由于 2 d k，由归纳假定知存在素数q1,q2, q l ，使得 d q1,q2, q l ，从而k 1 pq1, q2, q l 。证毕。 6. 定理2( 算术基本定理) 任何大于 1 的整数n 可以唯一地表示成 n p11p22p k k，(2) 其中p1，p2，，p k是素数，p1 p2 p k ，a1,a2, ,a k 是正整数。 我们称n p11p22p k k a1,a2, , a k是n的标准分解式，其中p i,1 i k 是素数，p1 p2 p k ，是正整数. 证明：由引理1，任何大于1的整数n可以表示成式(2)的形式，因此，证明表示式(2) 的唯一性。 假设p i,1 i k 与q j,1 j l 都是素数， p1 p2 p k，q1 q2 q l，(3) 并且 n p1p2 p k q1q2 q l ，(4) 则由第三节定理 4 推论1，必有某个q j,1 j l ，使得p1| q i，所以p1=q i；又有某个p i,1 i k ，使得q1 | p i，所以q1=p i 。于是，由式(3)可知p1=q1，从而由式

论文对热力学定律的认识

1 题目：浅谈热力学定律 班级：11物理学本科班 姓名：徐春山 学号：110800048 指导老师：廖昱博

浅谈热力学定律 1 引言 热物理学是整个物理学理论的四大柱石之一，热力学是热学理论的一个重要组成部分，也就是热现象的宏观理论。热力学主要是从宏观角度出发按能量转化的观点来研究物质的热性质，热现象和热现象所服从的规律。它揭示了能量从一种形式转换为另一种形式时遵从的宏观规律。热力学是总结物质的宏观现象而得到的热学理论，不涉及物质的微观结构和微观粒子的相互作用，具有高度的可靠性和普遍性，无论是在热力学理论中或在热工技术中，都有重要的作用。 2 热力学第零定律 什么是温度？人们在日常生活中，凭自己的感觉就能判断一个物体是冷还是热。感到热就认为温度高一些，感到冷就认为温度低一些。当然这种感觉是不可靠的。于是人们就简单地建立起了有关温度的初步概念。温度是描述物体冷热程度的物理量。 在不受外界影响的情况下，只要A物体和B物体同时与C物体处于热平衡，即使A和B没有热接触，他们仍然处于热平衡状态，这种规律称为热平衡定律，也称为热力学第零定律。 热力学第零定律告诉我们，互为热平衡的物体之间必存在一个相同的特征——它们的温度是相同的。实验也证实，在外界条件不变的情况下把已经达到热平衡的系统中的各个部分相互分开，是绝不会改变每个部分本身的热平衡状态的. 3 热力学第一定律 热力学第一定律是能量守恒和转化定律在热力学上的具体表现，能量守恒与转换定律的发现与其他物理规律的发现最大不同之处在于它不是某一位科学家独立研究而提出的，而是由许多科学家在不同的研究领域分别发现的。 自然界一切物体都具有能量，能量有各种不同形式，它能从一种形式转化为- 2 -

算术基本定理精品教案

算数基本定理 【教学目标】 1．熟练运用素因数分解解决实际问题。 2．亲历的素因数分解式惟一性的探索过程，体验分析归纳得出算数基本定理，进一步发展学生的探究、交流能力。 【教学重难点】 重点：掌握算数基本定理和素因数分解式概念。 难点：掌握素因数分解的惟一性。 【教学过程】 一、直接引入 师：今天这节课我们主要学习算数基本定理，这节课的主要的内容有素因数分解的概念和惟一性，并且我们要掌握这些知识的具体应用，能熟练解决相关问题。 二、讲授新课 （1）教师引导学生在预习的基础上了解算数基本定理的内容，形成初步感知。 （2）首先，我们来学习素因数分解式的概念，它的具体内容是： 任何大于1的整数总可以分解成素因数乘积的形式，这就是算数基本定理，定理中的分解式叫做素因数分解式。 它是如何在题目中应用的呢？我们通过一道例题来具体说明。 例：分别将720,152进行素因数分解.由素因数分解式，你能求出以及()720,152[]720,152吗？ 解析：容易知道，720的素因数只有2,3,5，且42720=235 ??152的素因数只有2，19且3152=219 ?由此我们不难得到 ()3720,152=2=8 []42720,152=23519=13680 ???根据例题的解题方法，让学生自己动手练习。 练习：分别将26和132进行素因数分解.由素因数分解式，你能求出以及 ()26,132

吗？ []26,132解：容易知道，26的素因数只有2,13.且26=213 ?132的素因数只有2,3,11.且2132=2311 ??由此我们不难得到，()26,132=2[]226,132=231113=1716 ???（3）接着，我们再来看下素因数分解式的惟一性内容，它的具体内容是： 任何大于1的整数总可以分解成素因数乘积的形式，并且，如果不计分解式中素因数的次序，这种分解式是惟一的． 证明：对大于1的整数，其素因数分解式的存在性 已经指出，余下只需要素因数分解n 式的惟一性.假定有如下两个素因数分解式：n 1212r r n p p p q q q ==……其中与都是的素因数. 12,r p p p ，…，12r q q q ，，…，n 由于为素数，且，故整除中的某个.当不计素因数次序 1p 112s p q q q |…1p 12s q q q ，，…，i q 时在，总可假定，而，均为素数，故.于是，再由11p q |1p 1q 11p q =22r s p p q q =，…，，…，2p 为素数，且知，故整除中的某个，若不计素因数的次序，可假定22s p q q |…2p 2s q q ，…，j q ，而均为素数，同样有.如此进行下去，最后得，并且22p q |22p q ，22=p q r s =,1,2,,r i j p q i ==…所以的素因数分解式是惟一的. n 三、课堂总结 （1）这节课我们主要讲了算数基本定理以及素因数分解式. （2）它们在解题中具体怎么应用？ 四、习题检测 1．用素因数分解式计算：() 152,2162．用素因数分解式计算：[] 152,216

从四大定律角度对热力学学习的认识

从四大定律角度对热力学学习的认识 2013级物理萃英班洪熹宇 摘要： 热力学是一门研究热运动的宏观理论，它与统计物理学的研究目的，都在于研究运动的规律，同时研究与热运动有关的物性，以及宏观物质系统的演化过程。但是它与统计物理学的研究方法上有着很大的不同，统计物理学侧重于从微观角度分析和解决问题，而热学的基础则是建立在宏观的基础上。它是一种唯象的宏观理论，具有较高的普适性和一般性。本文由学生在热力学学习过程中，将自己的体会与知识相结合，从四大定律着手给出学生对于热力学研究意义的思考和认识。 关键词：热力学三大定律，热平衡定律，能量守恒，自由能，熵，绝对零度 正文： 一、热力学四大定律的发现与形式 宏观角度看待问题的是经典的，因此热力学总是能给出一个条件给定系统的最终平衡状态的各个参数。人们在对热力学研究的基础上，总结出了热力学的三大定律，加上热平衡定律，便构成了热力学最主要的四个结论。 首先，能量守恒与转换定律是自然界最普遍、最基本的规律之一。它指出，自然界中的一切物质都具有能量，能量有各种不同的形式，这种不同形式的能量都可以转移（从一个物体传递到另一个物体），也可以相互转换(从一种能量形式转变为另一种能量形式)，但在转移和转换过程中，它们的总量保持不变。这一规律成为能量守恒与转换定律。能量守恒与转换定律应用在热力学中，或者说应用在伴有热效应的各种过程中，便是热力学第一定律。历史上，焦耳在绝热过程中所做的两个实验，首先认识到外界对于系统所做的功，仅仅与系统的初态和末态是相关联的。在此人们定义了一个内能的概念，它的意义是，系统在末态和初态的内能之差，等于在过程中外界对系统所做的功与系统从外界吸收的热量之和，这便是热力学第一定律的数学表达形式。此外，在工程热力学上，热力学第一定律也可表述成“热是能的一种，机械能变热能或热能变机械能时，它们之间的比值是一定的”，或者“热可以变功，功可以变热。一定量的热消失时必定产生相应量的功；消耗一定量的功时必定出现与之相应量的热”。 其次，人们在各类实验基础上又发现了热力学第二定律。卡诺在研究中发现，各种热机运动最终都服从于卡诺关于可逆热机的两个定理。然而卡诺在热机工作过程的认知上并不正确，由此克劳修斯和开尔文分别提出了热力学第二定律的两种表述：开尔文提出了“利用无生命物质的作用，把物质任何部分冷到比它周围最冷的客体以下，以产生机械效应，这是不可能的”。现在表述为“不可能从单一热源吸取热量，使之完全变为有用的功，而不产生其它影响”，克劳修斯提出了“不可能把热量，从低温物体传到高温物体，而不引起其他变化。”，二者分别从不同角度说明了热力学第二定律的实质，即任何与热现象有关的实际过程都有着其自发进行的方向，是不可逆的。这两种表述也可以相互进行逻辑上的论证，由此也发现了不同种类的不可逆过程本质上其实是可以互相进行推断的。特别的，在孤立系统下，由热力学第二定律可以推出重要的熵增加原理，为今后判断孤立系统的稳定平衡条件提供了依据。 随着科学研究的深入和对于低温条件获取的需要，人们在思考，究竟可不可以通过有限的过程实现绝对零度？20世纪初,人们通过对低温下热力学现象的研究,确定了物质熵值的零点,逐步建立起了热力学第三定律,进而提出了规定熵的概念,为解决一系列的热力学问题提供了极大的方便。热力学第三定律可以准确、简洁的表述为:0K时,任何完美晶体的熵值为0。也可以表达为，绝对零度不能达到。

九章算术

九章算术

九章算术》是中国古代的数学专著，是《算经十书》(汉唐之间出现的十部古算书)中最重要的一种。魏晋时刘徽为《九章算术》作注时说:“周公制礼而有九数，九数之流则《九章》是矣”，又说“汉北平侯张苍、大司农中丞耿寿昌皆以善算命世。苍等因旧文之遗残，各称删补，故校其目则与古或异，而所论多近语也”。 根据研究，西汉的张苍、耿寿昌曾经做过增补。最后成书最迟在东汉前期，但是其基本内容在东汉后期已经基本定型。《汉书艺文志》(班固根据刘歆《七略》写成者)中着录的数学书仅有《许商算术》、《杜忠算术》两种，并无《九章算术》，可见《九章算术》的出现要晚于《七略》。《后汉书马援传》载其侄孙马续“博览群书，善《九章算术》”，马续是公元1世纪最后二、三十年时人。再根据《九章算术》中可供判定年代的官名、地名等来推断，现传本《九章算术》的成书年代大约是在公元1世纪的下半叶。九章算术将书中的所有数学问题分为九大类，就是“九章”。 1984年，在湖北出土了《算数书》书简。据考证，它比《九章算术》要早一个半世纪以上，书中有些内容和《九章算术》非常相似，一些内容的文句也基本相同。有人推测两书具有某些继承关系，但也有不同的看法认为《九章算术》没有直接受到《算数书》影响。 后世的数学家，大都是从《九章算术》开始学习和研究数学，许多人曾为它作过注释。其中最著名的有刘徽(263)、李淳风(656)等人。刘、李等人的注释和《九章算术》一起流传至今。唐宋两代，《九章算术》都由国家明令规定为教科书。到了北宋，《九章算术》还曾由政府进行过刊刻(1084)，这是世界上最早的印刷本数学书。在现传本《九章算术》中，最早的版本乃是上述北宋本的南宋翻刻本(1213)，现藏于上海图书馆(孤本，残，只余前五卷)。清代戴震由《永乐大典》中抄出《九章算术》全书，并作了校勘。此后的《四库全书》本、武英殿聚珍本、孔继涵刻的《算经十书》本(1773)等，大多数都是以戴校本为底本的。 作为一部世界数学名著，《九章算术》在隋唐时期即已传入朝鲜、日本。它已被译成日、俄、德、法等多种文字版本。 主要内容 《九章算术》的内容十分丰富，全书采用问题集的形式，收有246个与生产、生活实践有联系的应用问题，其中每道题有问（题目）、答（答案）、术（解题的步骤，但没有证明），有的是一题一术，有的是多题一术或一题多术。这些问题依照性质和解法分别隶属于方田、粟米、衰（音cui）分、少广、商功、均输、盈不足、方程及勾股九章如下所示。原作有插图，今传本已只剩下正文了。

算术基本定理 .doc

算术基本定理——每个大于1的正整数均可唯一的写为素数的乘积 在正整数的理论中，有一类称为素数的书扮演着非常重要的角色。事实上，素数是指那些大于1的且除了1和它本身以外再没有其他因子的正整数。例如2，3，5，7，11，13，17，19等。不是素数且不是1的正整数称为合数。于是就可以把正整数分为三类：1，素数，合数。（这个好像在小学里就学过了...） 素数的重要性首先表现在数的乘法分解方面。因为每个大于1的正整数a，如果本身不是素数，则存在不为a和1的因子b，使得a=bc，其中b,c>1。如果b,c不是素数的话，就重复此过程，显然这个过程不能无限的进行下去，也就是说，经过有限步后就可以将a分解成一些素数的乘积了。于是就验证了各种数论书上的一句话——在正整数理论中遇到的许多问题都可以归结为有关素数的研究。（虽然我对此还是没能很好的理解） 再回到算术基本定理上来，这个定理我认为可以分为两个部分：1.分解的存在性（上面已经证明完了）；2.分解的唯一性，即是在不考虑各个素数的排列顺序的话，正整数分解为素数乘积的表达式是唯一的。（对于唯一性的证明我个人有点小看法，但不影响整个证明的思路） 证明： 引理1：如果d是a,b的最大公因子，则存在整数x和y，使得d=ax+by。 引理2：设p为素数，若P整除两个正整数a和b的乘积，则a必整除其中之一，即p整除a或者整除b。（这两个引理在高等代数选讲里讲过） 下面证明整个定理：假设大于1的正整数n有两种素数分解方式 n=p1*p2*...pr=q1*q2*...qs 下证r=s即可（而老师上讲的是还需要证明与排列顺序无关，我认为不需要，因为数量相等的话就可以说明这里的因子是数目相同并且是有顺序可能不同，否则正整数n就不唯一了）至于证明r=s就可以用辗转相处的方法了（思想是相同的但具体操作略有不同）由于p1整除n,故p1整除每个qj,而qj也是素

初等数论期末复习资料

数论教案 §1整数的整除 带余除法 1 整数的整除 设a,b 是整数,且b ≠0,如果有整数q,使得a=bq,则称b 整除a,记为b|a,也称b 是a 的因数,a 是b 的倍数. 如果没有整数q,使得a=bq,则称b 不能整除a,记为b?a.例如 2|4, 4|-12, -5|15; 2?3， -3?22. 在中小学数学里,整除概念中的整数是正整数,今天讲的整除中的整数可正可负. 判断是否b|a 当a,b 的数值较大时,可借助计算器判别. 如果b 除a 的商数是整数,说明b|a;如果b 除a 的商不是整数,说明b?a. 例1判断下列各题是否b|a(1) 7|127 (2) 11|129 (3) 46|9529 (4) 29|5939 整除的简单性质 (1)如果c|b,b|a,那么c|a; (2)如果d|a,d|b,那么对任意整数m,n,都有d|ma+nb. (3)如果 12,,,n a a a L 都是m 的倍数,12,,,n q q q L 是任意整数,那么 1122n n q a q a q a +++L 是m 的倍数. (4)如果c|a,d|b,那么cd|ab 。 例如： 2|4,2|(-6),那么2|4+(-6),2|4-(-6). 2|4,3|(-6),那么2×3|4×(-6). 例2证明任意2个连续整数的乘积,一定可被2整除. 练习 证明任意3个连续整数的乘积,一定可被3整除. 2.带余除法 设a,b 是整数,且b>0,那么有唯一一对整数q,r 使得 a=bq+r,0≤r ＜ b . (1) 这里q 称为b 除a 的商,r 称为b 除a 的余数. 例如-5=3×(-2)+1 5=3×1+2 -5=(-3)×2+1 5=(-3)×(-1)+2 15=(-5)×(-3), -24=(-2)×12. 事实上,以b 除a 的余数也可以是负的.例如 -5=3×(-1)-2=3×(-2)+1. 求b 除a 的余数,也称为模运算(取余):mod.可用计算器进行. 具体操作:输入a-按mod(取余)键-输入b-按=键得出余数.如果b 除a 的余数=0,则b|a;如果b 除a 的余数≠0,则b?a. 例3 利用计算器求余数: (1) 7除127;(2)11除-129 ;(3)46除-9529;(4)-29除5939 奇数、偶数及性质

算术基本定理及其应用

万方数据

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算术基本定理及其应用 作者：李涛， LI Tao 作者单位：广州大学数学与信息科学学院,510006 刊名： 中等数学 英文刊名：HIGH-SCHOOL MATHEMATICS 年，卷(期)：2010(7) 参考文献(18条) 1.李建泉第48届IMO预选题(一)[期刊论文]-中等数学 2008(08) 2.王宇2009中欧数学竞赛 2010(增刊) 3.2005英国数学奥林匹克 2006(增刊) 4.李建泉第18届日本数学奥林匹克 2009(增刊) 5.2003白俄罗斯数学奥林匹克 2004(增刊) 6.第28届巴西数学奥林匹克(2006) 2007(增刊) 7.第34届美国数学奥林匹克(2005) 2006(增刊) 8.李涛2007克罗地亚数学竞赛 2008(增刊) 9.2003泰国数学奥林匹摘选 2005(增刊) 10.2003泰国数学奥林匹摘选 2005(增刊) 11.李涛2007克罗地亚数学竞赛 2008(增刊) 12.第34届美国数学奥林匹克(2005) 2006(增刊) 13.第28届巴西数学奥林匹克(2006) 2007(增刊) 14.2003白俄罗斯数学奥林匹克 2004(增刊) 15.李建泉第18届日本数学奥林匹克 2009(增刊) 16.2005英国数学奥林匹克 2006(增刊) 17.王宇2009中欧数学竞赛 2010(增刊) 18.李建泉第48届IMO预选题(一) 2008(8) 本文链接：https://www.wendangku.net/doc/353853502.html,/Periodical_zdsx201007002.aspx

热力学四大定律第零定律热平衡Thezerolawofthermodynamics

第零定律：熱平衡 The zero law of thermodynamics T1=T2=T3=T4 第一定律：The first Law of thermodynamics 能量守恆定律(The Law of conservation of energy) △E=Q-W Q=-W= Pdv = -nRTln v2/v1 Q=+nRT ln V2/V1代入 S= dnRT ln V2/V1 T 第二定律: 每一自發性的變化均伴隨著熵的增加 宇宙趨向最大亂度S＞0 熵entropy S ：熱力學函數(thermodynamic function)，熵可解釋為一種物系「亂度」或不規律的一種量度。熵可視為一機率函數 S宇宙= S系統+ S週邊＞0 判斷自發的方法：S＞0(不可逆) S= 0(可逆)，S＜0(不發生)S 表示熵的改變。 宇宙上能量傳遞有方向性的，總是由高能量傳到低能量。 第三定律： 在OK時，一完全結晶物體之熵會等於零， Ｓ＝０ 所有物體都呈現靜止狀態。 海水轉變成淡水化工程 要生產出1噸淡水，需要抽取2.5噸海水作為“原水”。海水被抽出後，首先通過加藥-混凝沉澱環節除去海水大顆粒懸浮物，然後進入氣浮池進行預處理，後經過超濾、反滲透兩個主要環節，充分去除海水中的鹽分、懸浮物、有機物和藻類物質等，最後進入後礦化環節調節水的硬度和pH值，苦澀的海水就變成能夠直飲的淡水了 自然科學: 1543年─哥白尼：(天體運行論)以太陽為中心(日心論) 1.伽利略：望遠鏡→h=1/2gt2 2.刻卜勒：行星三大運動定律 第一定律：「軌道定律」─所有的行星繞著太陽運行 第二定律：等面積定律─T=T2-T1=T4-T3 第三定律：週期定律R13= R23=K T12T22

对热力学第三定律的理解

对热力学第三定律的理解 摘要：热物理学是整个物理学四大理论之一，热力学是热学理论的一个重要组成部分，也就是热现象的宏观理论。热力学主要是从宏观角度出发按能量转化的观点来研究物质的热性质，热现象和热现象所服从的规律。热力学中有四大定律，其中热力学第三定律更是重要。本文主要介绍对热力学第三定律的认识和对其应用价值的理解。 关键词：热力学第三定律；绝对零度；应用价值 1.引言 热力学第三定律的建立已近一百年，是热力学统计物理学的基本理论基础之一.l906年德国物理化学家能斯特从化学平衡常数的确定出发，建立了热力学第三定律.接着，许多其他科学家在此基础上进一步对该定律作了大量的研究，并提出了他们相应的说法.本文简要地介绍该定律的创立与发展过程，并说明它的重要意义以及在科学上的应用。 2.正文 2.1热力学第三定律的发现 我们可以想象如果不停降温，那么，蒸汽就会凝结成水，然后冻成冰。那么，是否存在降低温度的极限呢？为此早在开尔文提出热力学温标时，就提出温度是存在下限的。也就是说，存在一个绝对的唯一的温度值，并且在达到这一临界值后温度就无法继续下降了。其实，早在1702年，法国物理学家阿蒙顿也曾提到过“绝对零度”的概念。他根据空气受热时体积和压强都随温度的增加而增加这一现象出发，计算出在某个温度下，空气的压力将等于零。这个温度用后来提出的摄氏温标表示，约为-239℃，后来，兰伯特更精确地重复了阿蒙顿实验，计算出这个温度为-270.3℃。他说，在这个“绝对的冷”的情况下，空气将紧密地挤在一起。然而他们的这个看法没有得到人们的重视。直到盖吕萨克定律提出之后，

存在绝对零度的思想才得到物理学家的普遍承认。现在我们知道，绝对零度更准确的值是-273.15℃。由于绝对零度不能达到原理的表述简洁且物理意义明确，所以被现代人们公认为热力学第三定律的标准表述，热力学第三定律作为热力学基本定律，从此，热力学的基础基本得以完备。 在统计物理学上，热力学第三定律反映了微观运动的量子化。在实际意义上，第三定律并不像第一、二定律那样明白地告诫人们放弃制造第一种永动机和第二种永动机的意图。而是鼓励人们想方设法尽可能接近绝对零度。目前使用绝热去磁的方法已达到K 10105-?，但永远达不到0K 。 2.2热力学第三定律的两种描述 热力学第二定律只定义了过程的熵变,而没有定义熵本身. 因而熵的确定，有赖于热力学第三定律的建立，1902年美国科学家雷查德(T.W.Richard)在研究低温电池反应时发现电池反应的?G 和?H 随着温度的降低而逐渐趋于相等,而且两者对温度的斜率随温度同趋于一个定值：零 ? 由热力学函数的定义式, ?G 和?H 当温度趋于绝对零度时,两者必会趋于相等： ? ?G= ?H －T ?S ? limT →0?G= ?H －limT →0T ?S ? = ?H (T →0K) ? 虽然两者的数值趋于相同，但趋于相同的方式可以有所不同. ? 雷查德的实验证明对于所有的低温电池反应, ?G 均只会以一种方式趋近于?H. 上图中给出三种不同的趋近方式, 实验的结果支持最后一种方式, 即曲线的斜率均趋于零. 0000)/(lim )/(lim ====??=??P K T P T T H P G 0)(lim )/(lim 00=?-=??==S T G T P T 上式的物理含义是: 温度趋于绝对零度时, 反应的熵变趋于零, 即反应物的熵等于产物的熵. 推广到所有的化学反应, 即是:一切化学反应的熵变当温度趋于绝对零

数学算术定义定理的公式总结

数学算术定义定理的公式总结 1.加法交换律：两数相加交换加数的位置，和不变。 2.加法结合律：三个数相加，先把前两个数相加，或先把后两个数相加，再同第三个数相加，和不变。 3.乘法交换律：两数相乘，交换因数的位置，积不变。 4.乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或先把后两个数相乘，再和第三个数相乘，它们的积不变。 5.乘法分配律：两个数的和同一个数相乘，可以把两个加数分别同这个数相乘，再把两个积相加，结果不变。如：(2+4)×5=2×5+4×5。 6.除法的性质：在除法里，被除数和除数同时扩大(或缩小)相同的倍数，商不变。0除以任何不是0的数都得0。 7.等式：等号左边的数值与等号右边的数值相等的式子叫做等式。等式的基本性质：等式两边同时乘以(或除以)一个相同的数，等式仍然成立。 8.方程式：含有未知数的等式叫方程式。 9.一元一次方程式：含有一个未知数，并且未知数的次数是一次的等式叫做一元一次方程式。 学会一元一次方程式的例法及计算。即例出代有的算式并计算。 10.分数：把单位“1”平均分成若干份，表示这样的一份或几分的数，叫做分数。

11.分数的加减法则：同分母的分数相加减，只把分子相加减，分母不变。异分母的分数相加减，先通分，然后再加减。 12.分数大小的比较：同分母的分数相比较，分子大的大，分子小的小。异分母的分数相比较，先通分然后再比较;若分子相同，分母大的反而小。 13.分数乘整数，用分数的分子和整数相乘的积作分子，分母不变。 14.分数乘分数，用分子相乘的积作分子，分母相乘的积作为分母。 15.分数除以整数(0除外)，等于分数乘以这个整数的倒数。 16.真分数：分子比分母小的分数叫做真分数。 17.假分数：分子比分母大或者分子和分母相等的分数叫做假分数。假分数大于或等于1。 18.带分数：把假分数写成整数和真分数的形式，叫做带分数。 19.分数的基本性质：分数的分子和分母同时乘以或除以同一个数(0除外)，分数的大小不变。 20.一个数除以分数，等于这个数乘以分数的倒数。 21.甲数除以乙数(0除外)，等于甲数乘以乙数的倒数。