新北师大版九年级上数学第一章教案
第一章特殊平行四边形
1．菱形的性质与判定（一）
教学目标
1.经历从现实生活中抽象出图形的过程，了解菱形的概念及其与平行四边形的关系；
2.体会菱形的轴对称性，经历利用折纸等活动探索菱形性质的过程，发展合情推理能力；
3.在证明性质和运用性质解决问题的过程中进一步发展学生的逻辑推理能力
教学过程
第一环节课前准备
1、教师在课前布置学生复习平行四边形的性质，搜集菱形的相关图片。
2、教师准备菱形纸片，上课前发给学生上课时使用。
第二环节设置情境，提出课题
【教学内容】
教师：同学们，在观察图片后，你能从中发现你熟悉的图形吗？你认为它们有什么样的共同特征呢？
教师：请同学们观察，彩图中的平行四边形与ABCD相比较，还有不同点吗？
教师：同学们观察的很仔细，像这样，“一组邻边相等的平行四边形叫做菱形”。
注意：学生在通过观察对比得到菱形定义的过程中，会提出菱形的许多性质，如四条边相等、对角相等和对边平行等等。
第三环节猜想、探究与证明
1、想一想
①教师：菱形是特殊的平行四边形，它具有一般平行四边形的所有性质。你能列举一些这样的性质吗？（菱形的对边平行且相等，对角相等，对角线互相平分。）
②教师：同学们，你认为菱形还具有哪些特殊的性质？请你与同伴交流。
（教师巡视，并参与到学生的讨论中，启发同学们类比平行四边形，从图形的边、角和对角线三个方面探讨菱形的性质。对学生的结论，教师要及时评价，积极引导，激励学生。）
2、做一做
教师：请同学们用菱形纸片折一折，回答下列问题：
（1）菱形是轴对称图形吗？如果是，它有几条对称轴？对称轴之间有什么位置关系？ （2）菱形中有哪些相等的线段？
（学生活动。教师巡视并参与学生活动，引导学生分析怎样折纸才能得到正确的结论。学生研讨完毕，教师要展示汇总学生的折纸方法以及相应的结论，以便于后面的教学。）
结论：①菱形是周对称图形，有两条对称轴，是菱形对角线所在的直线，两条对角线互相垂直。②菱形的四条边相等。
3、证明菱形性质
教师：通过折纸活动，同学们已经对菱形的性质有了初步的理解，下面我们要对菱形的性质进行严格的逻辑证明。
已知：如图1-1，在菱形ABCD 中，AB=AD,对角线AC 与BD 相交于点O.求证：（1）AB=BC=CD=AD ；（2）AC ⊥BD.
证明：（1）∵四边形ABCD 是菱形，
∴AB = CD ， AD= BC （菱形的对边相等）. 又∵AB=AD ∴AB=BC=CD=AD （2）∵AB=AD
∴△ABD 是等腰三角形 又∵四边形ABCD 是菱形
∴OB=OD （菱形的对角线互相平分） 在等腰三角形ABD 中， ∵OB=OD ∴AO ⊥BD 即AC ⊥BD
第四环节 性质应用与巩固
1、例1 如图1-2，在菱形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O, ∠BAD=60°，BD=6，求菱形的边长AB 和对角线AC 的长。
解：∵ 四边形ABCD 是菱形
∴AB=AD(菱形的四条边都相等) AC ⊥BD （菱形的对角线互相垂直）
OB=OD= BD = ×6 =3（菱形的对角线互相平分）
在等腰三角形ABC 中，
∵∠BAD=60° ∴△ABD 是等边三角形
A
A
212
1
∴AB=BD=6 在Rt△AOB中，由勾股定理，得OA2+OB2=AB2
===
=2OA
2、随堂练习
如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD 相交于点O.
已知AB=5cm，AO=4cm 求 BD的长.
第五环节课堂小结
本节课我们探讨了菱形的定义、性质，我们来共同总结一下：
1、菱形的定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形.
C
2、菱形的性质：①菱形是轴对称图形，对称轴是两条对角线所在的直线；②菱形的四条边都相等；③菱形的对角线互相垂直平分。
3、菱形具有平行四边形的所有，应用菱形的性质可以进行计算和推理。
第六环节布置作业:
课本习题1.1 知识技能1、2、3 数学理解 4
教学反思
1、本节课的主要教学内容为菱形的定义和性质。学生已经学习了平行四边形的性质，这是本节的知识基础。关于菱形的定义和性质，就是在平行四边形的基础上，进一步强化条件得到的。
2、本节授课思路为“创设情境——猜想归纳——逻辑证明——知识运用”。课堂上的折纸活动，可以让学生直观感知图形的特点，还可以激发学生的兴趣和积极性，教师要引导学生积极思考，抓住表面现象中的本质。在性质的证明和应用过程中，教师要鼓励学生大胆探索新颖独特的证明思路和证明方法，提倡证明方法的多样性，并引导学生在与其他同学的交流中进行证明方法比较，优化证明方法，有利于提高学生的逻辑思维水平。
3、教师应该留给学生充分的独立思考的时间，不要让一些思维活跃的学生的回答代替了其他学生的思考，掩盖了其他学生的疑问。
1. 菱形的性质与判定（二）
教学目标：
1.理解菱形的判别条件及其证明，并能利用这两个定理解决一些简单的问题。
2．经历运用几何符号和图形描述命题的条件和结论的过程，建立初步的符号感，发展抽象思维．经历实际操作，探索菱形判定定理的证明过程，发展合情推理能力和初步的演绎推理的能力；
在具体问题的证明过程中，有意识地渗透实验论证、逆向思维的思想，提高学生的能力。
3．通过“实验—猜想—证明—应用“的数学活动提升科学素养.
重点与难点
重点：菱形判定定理的证明.
菱形判定定理的应用.
难点：学生独立完成证明的过程，增强学生对待科学的严谨治学态度。
教学过程
第一环节：课前准备
制作菱形：在一张纸上用尺规作图做出边长为10cm的菱形；
想办法用一张长方形纸剪折出一个菱形.
利用长方形纸你还能想到哪些制作菱形的方法.
第二环节：温故知新
通过练习复习上节课探究过的菱形的性质
第三环节：展示交流，引导探究.
利用实物投影或者课件，请学生说明自己制作的菱形的过程，教师从中抓住“对角线垂直的平行四边形是菱形”、“四条边相等的四边形是菱形(菱形的尺规作图)”和“利用长方形纸剪折菱形”等的实例资源，引导学生认识到理论证明的必要性，并引导学生思考菱形的判定与菱形的性质之间的关系。
用实物投影、课件、板书等方式罗列发现的学生资源:
（1）对角线垂直的平行四边形是棱形
（2）四条边相等的四边形是菱形请学生交流大体思路
（3）菱形的尺规作图
（4）利用长方形纸剪折菱形
第四环节：教师引导，独立证明
组织学生以小组合作的方式独立完成“对角线垂直的平行四边形是菱形”和
“四条边相等的四边形是菱形”两个判定定理的证明，并进行全班交流。
（一）对角线垂直的平行四边形是菱形
已知:如图1-3,在□ABCD中,对角线AC与BD交于点O,AC⊥BD.
O
D
C
A
求证: □ABCD 是菱形
证明:∵四边形ABCD 是平行四边形 ∴OA=OC 又∵AC ⊥BD ∴BD 是线段AC 的垂直平分线 ∴BA=BC ∴四边形ABCD 是菱形(菱形定义) （二）四条边相等的四边形是菱形
已知:如图1-5,四边形ABCD 中,AB=BC=CD=DA. 求证: 四边形ABCD 是菱形 证明:∵AB=CD,AD=BC
∴四边形ABCD 是平行四边形 又∵AB=BC
∴四边形ABCD 是菱形(菱形定义) 第五环节：实际应用，练习巩固
1.随堂练习
画一个菱形,使它的两条对角线长分别是4cm 、6cm.
2.已知:如图,在□ABCD 中,对角线AC 的垂直平分线分别与AD 、AC 、BC 相较于点E 、O 、F.求证: 四边形AECF 是菱形 第六环节：课堂小结
学生互相交流菱形的性质与判定定理，何时该选用性质定理，何时选择判定定理，菱形与平行四边形的关系，遇到菱形实际题目时如何分析思路，以及遇到困难时如何克服等。 第六环节：作业布置 1.知识技能2
此题要求有能力的同学分别运用本节课学习的菱形的两条判定定理进行证明. 2.数学理解3
教学反思
本节课，课前布置的任务为本节课的探究做了有效的铺垫，学生资源的灵活运用提高了学生参与探究的兴趣，在证明思路的分析过程中体会了逆向思维、一题多解等的数学思想，另外，学生通过经历“实验—猜想—证明—应用”的探索过程提高了自身的科学素养。
1. 菱形的性质与判定（三）
教学目标：
1.能灵活运用菱形的性质定理及判定定理解决一些相关问题，并掌握菱形面积的求法。
2.经历菱形性质定理及判定定理的应用过程，体会数形结合、转化等思想方法。
3.在学习过程中感受数学与生活的联系，增强学生的数学应用意识；在学习过程中通过小组合作交流，培养学生的合作交流能力与数学表达能力。
重点与难点
重点：能运用菱形的性质定理及判定定理解决一些相关问题
难点：掌握菱形面积的求法
教学过程
第一环节：知识回顾
同学们通过前两节课的学习我们已经知道了菱形的性质及判定，你能完成下面几个题目吗？
1.如图1所示：在菱形ABCD中，AB=6，请回答下列问题：
(1)其余三条边AD、DC、BC的长度分别是多少？
(2)对角线AC与BD有什么位置关系？
(3)若∠ADC=120°，求AC的长。
2. 如图2所示：在□ABCD中添加一个条件使其成为菱形：
添加方式1： .
添加方式2： .
第二环节：知识应用
1.典型例题：
例3 如图3，四边形ABCD是边长为13cm的菱形，其中对角线BD长为10cm.
求：(1)对角线AC的长度；(2)菱形ABCD的面积.
解：(1)∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD,即∠AED=90°，
DE=1
2
BD×10=5（cm）∴在Rt△ADE中，由勾股定理可得：
12().
AE cm
===∴AC=2AE=2×12=24(cm).
（2）S
菱形ABCD = S
△ABD
+ S
△CBD
=2×S
△ABD
=2×
1
2
×BD×AE= BD×AE=10×12=120(cm2
2.变式训练：如上图3，四边形ABCD是菱形，其中对角线BD长为12cm，AC长为16cm.求：(1)菱形的边长；(2)求菱形一条边上的高。
3.已知菱形的周长为40cm，一条对角线长为16cm，则这个菱形的面积是 cm2. D
C
图2 图3
第三环节：拓展提高
1.如图4，两张等宽的纸条交叉重叠在一起，重叠部分ABCD 是菱形吗？为什么？
2.如图5,你能用一张锐角三角形纸片ABC 折出一个菱形，使∠A 成为菱形一个内角吗？ 第四环节：效果检测
1.如图6所示，菱形ABCD 的周长为40cm ，它的一条对角线BD 长10cm ，则
∠ABC= °，AC= cm.
2.如图7，四边形ABCD 是菱形，对角线AC 和BD 相交于点O ，AC=4cm ，BD=8cm ，则这个菱形的面积是 cm 2．
3.已知，如图8，在四边形ABCD 中，AD=BC ，点E 、F 、G 、H 分别是AB 、CD 、AC 、BD 的中点，四边形EGFH 是（ ） A.矩形 B.菱形 C.等腰梯形 D.正方形
4. 已知：如图9，在菱形ABCD 中，E 、F 分别是AB 和BC 上的点，且BE=BF ，求证：(1)△ADE ≌CDF ； (2) ∠DEF=∠DFE 第五环节：课堂小结
通过本节课的学习你有哪些收获，你还存在什么疑问？ 第六环节：作业
知识技能第3题，第4题，第8题； 教学反思：
本节课是菱形的第三课时，学生的学习差异是非常大的，有些学生不用老师讲解本节课已经掌握差不多了，还有一些学生在前两节课的学习中就积累了很多的问题，本节课要提升就会出现很多的困难，如何解决这一难题呢？在实际教学中我注意了分层教学，设计中有两个环节来体现，一是针对优生的知者加速，一是针对学困生的补读帮困，两个环节的设置兼顾到了每一个层次的学生，让课堂效率进一步得到了提升。学生对于几何题的规范答题是在课堂上需要重点强调的，这也是培养学生严谨细致的数学素养的一个手段，同时在教学中应注意学生解题的反思过程，例如由例题及变式训练完成反思过程后，学生的思维得到了升华，同时对于同类题目的突破方式有了初步的框架，对于以后的学习是一个促进，本质上讲学习就是在学生不断反思中完成的。
图4
E
A
图6
O A
图7
H G
F A
D C
图8
F
A
D
B
E
图9
图
A
B
2. 矩形的性质与判定（一）
教学目标
1.掌握矩形的的定义，理解矩形与平行四边形的关系。
2.理解并掌握矩形的性质定理;会用矩形的性质定理进行推导证明;
3.会初步运用矩形的定义、性质来解决有关问题，进一步培养学生的分析能力．
重点与难点
重点：掌握矩形的的定义，理解矩形与平行四边形的关系
难点：理解并掌握矩形的性质定理;会用矩形的性质定理进行推导证明
教学过程
第一环节：创设情景，导入新课
1、平行四边形具有哪些性质？
2、探究矩形的定义。
利用一个活动的平行四边形教具演示,使平行四边形的一个内角变化，让学生注意观察。在演示过程中让学生思考：
（1）在运动过程中四边形还是平行四边形吗？（2）在运动过程中四边形不变的是什么？
（3）在运动过程中四边形改变的是什么？
不变：对边仍保持相等，对边仍分别平行，所以仍然是平行四边形
变：角的大小
（4）角的大小改变过程中有特殊值吗？这时的平行四边形是什么图形。（矩形）
矩形的定义：有一个内角是直角的平行四边形是矩形
A
B C D A
B C
D 一个角变形成直角
第二环节：分组讨论，探究新知
1.既然矩形是平行四边形,那么它具有平行四边形的哪些性质？在同学回答的基础上进行归纳：
2.但矩形是特殊的平行四边形，它还具有一些特殊性质。下面我们来进一步研究矩形的其他性质。（板书）：矩形的性质定理1：矩形的四个角都是直角.
矩形的性质定理2：矩形的对角线相等.
第三环节：层层递进，推理论证
提问：怎样证明你的猜想？
已知：如图,四边形ABCD是矩形，∠ABC=90°对角线AC与DB相交于点O。
求证：(1)∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠DAB=90°
(2) AC=BD
第四环节：乘胜追击，完善性质
问题1：请同学们拿出准备好的矩形纸片，折一折，观察并思考。
①矩形是不是中心对称图形? 如果是，那么对称中心是什么？
②矩形是不是轴对称图形?如果是，那么对称轴有几条?
结论：矩形是轴对称图形，它有两条对称轴。
问题2：请你总结一下矩形有哪些性质？
归纳概括矩形的性质：
从边来说，矩形的对边平行且相等；从角来说，矩形的四个角都是直角；
从对角线来说，矩形的对角线相等且互相平分；
从对称性来说，矩形既是轴对称图形，又是中心对称图形。
问题3：矩形具有而一般平行四边形不具有的性质是 ( ）
A.对角相等
B.对边相等
C.对角线相等
D.对角线互相平分
第五环节：建构新知，发展问题
提出问题：由矩形的四个角都是直角可得几个直角三角形？在直角三角
形ABC中，你能找到它的一条特殊线段吗？你能发现它有什么特殊的性
质吗？你能借助于矩形加以证明吗？
定理：直角三角形斜边的中线等于斜边的一半.
第六环节：合作交流，解决问题
例1：如图，在矩形ABCD 中，两条对角线相交于点O ，∠AOD=120°，AB=2.5cm ， 求矩形对角线的长。
证明：∵四边形ABCD 是矩形，∴ AC=BD(矩形的对角线相等)
OA=OC=21AC ，OB=OD=2
1
BD ，∴OA=OD 。
∵∠AOD=120°，∴∠ODA=∠OAD=
2
1
(180°-120°)= 30°。 又∵∠DAB=90°(矩形的四个角都是直角) ∴BD=2AB=2×2.5=5. 第七环节：反思交流，反馈提高 1.本节课你学到了什么？
（1）矩形定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.（2）矩形的性质
（3）直角三角形的性质（4）矩形的一条对角线把矩形分成两个全等的直角三角形；矩形的两条对角线把矩形分成两对全等的等腰三角形。因此，有关矩形的问题往往可化为直角三角或等腰三角形的问题来解决。 2.自我检测。
（1）下列说法错误的是（ ）．
A.矩形的对角线互相平分
B. 矩形的对角线相等。
C.有一个角是直角的四边形是矩形
D. 有一个角是直角的平行四边形叫做矩形 （2）已知矩形的一条对角线长为10cm ，两条对角线的一个交角为120°，则矩形的边长分别为 _____。 教学反思：
本节课依据新课标的要求，设计的每个环节都是以学生为主体，在学生已有的知识经验的基础上，让学生自己动手探究完成，以便提高学生的探索创新思维和创造能力。首先，从矩形的定义和平行四边形的性质引入，提出问题，让学生猜想矩形应具有的性质，调动学生的思维积极性，激发探究欲望；教学过程中充分利用学生手中的矩形实物：如书本，课桌等，让学生通过观察、测量和思考讨论等活动，得出矩形性质，在解决问题的过程中发展了学生的合情推理意识；再引导学生进行推理证明及应用，通过探索证明，开拓学生的思路，发展了学生的思维能力，帮助他们在自主探索和合作交流过程中真正理解和掌握矩形性质定理，体验数学学习过程中的探索性和挑战性以及推理的严谨性。
2. 矩形的性质与判定(二)
教学目标
1．能够运用综合法和严密的数学语言证明矩形的性质和判定定理以及其他相关结论；
2．经历探索、猜测、证明的过程，发展学生的推理论证能力，培养学生找到解题思路的能力，使学生进一步体会证明的必要性以及计算与证明在解决问题中的作用；
3．学生通过对比前面所学知识，体会证明过程中所运用的归纳、概括以及转化等数学思想方法；
教学过程
第一环节：创设情境，提出问题
课前准备小木板和橡皮筋，制作一个如图所示的平行四边形的活动框架。在一个平行四边形活动框架上，用两根橡皮筋分别套在两个相对的顶点上，拉动一对不相邻的顶点时，平行四边形的形状会发生什么变化？
第二环节：先猜想再实践，发展几何直觉
根据上面的实践活动提出以下两个问题：
（1）随着α
∠的变化，两条对角线将发生怎样的变化?
（2）当两条对角线相等时，平行四边形有什么特征？由此你能得到一个怎样的猜想?
学生在小组中完成这个活动的过程中，会引发对于这两个问题的讨论，请学生根据实践的结果对问题进行回答，再对比前面所学的平行四边形及菱形的判定定理的证明过程，来思考如何证明矩形的判定定理。然后通过小组合作，将定理的证明严格的完成，最后同学实物投影的形式，各小组之间进行交流。
对比前一节学习的菱形和矩形的性质定理，引导学生对矩形独有的第一个判定定理进行证明：教师板书本题证明过程。
定理两条对角线相等的平行四边形是矩形。
第三环节：再创情境，猜想实践
教师给出PPT中的情境二：李芳同学用四步画出一个四边形，“边、直角、边----直角、边----直角、边”，她说这就是一个矩形，她说的对吗？为什么？
学生现猜想然后小组讨论，将讨论的结果进行证明。
定理三个角是直角的四边形是矩形。
学生独立画出图形，在教师引导下写出已知、求证；
第四环节：实际应用，范例教学；
1． 教师实际问题：
①如果仅有一根足够长的绳子，如何判断一个四边形是平行四边形？ ②如果仅有一根足够长的绳子，如何判断一个四边形是菱形？ ③如果仅有一根足够长的绳子，如何判断一个四边形是矩形？ 请说明如何操作，并说明这样做的原因。
2. 例：如图在□ABCD 中，对角线AC 和BD 相较于点O ，△ABO 是等边三角形，
AB =4，求□ABCD 的面积.
第五环节：反馈练习，注重参与
1．已知：如图，M 为平行四边形ABCD 边AD 的中点，且MB=MC.
求证：四边形ABCD 是矩形.
2. 已知：如图，菱形ABCD 中，对角线AC 和BD 相较于点O ，CM ∥BD,
DM ∥AC .求证:四边形OCMD 是矩形. 第六环节：课堂小节，作业布置
学生互相交流矩形的判定定理，何时选择判定定理，矩形与平行四边形的关系，遇到矩形实际题目时如何分析思路，以及遇到困难时如何克服等。 教学反思
1．灵活处理教材
对于本节课的知识，不能机械地照搬教材内容，而应该对教材内容进行再加工，灵活运用，使教材内容得到升华。分层次教学对于不同层次的学生，在课堂上的要求要有所不同，一味的提高难度满足有能力的学生和降低难度适应困难学生都不是明智的做法，在教学中选择因材施教，使每个学生都有所得才是课堂教学效果的关键。在同一题目中，通过一题多问或者一题多解等形式，可以使优生有所突破，也可以让学困生受到关注，获得解题的成就感，这就对我们的备课和选题提出了更高的要求。
2．充分给学生以时间和空间
课堂是学生展示自己的一个舞台，在课堂教学中，给予学生充分的时间和空间展示自己，不仅有利于提高学生的积极性，更有利于教师发现学生的独到见解和新思维、新想法，同时还能让教师发现学生存在的问题，这对于课堂教学是非常有利的。
3．应当注意的问题
几何教学有时对学生想象能力要求比较高，有些学生在这方面很有优势，而有一些学生可能要差一点，课堂教学不能过急；此外，几何教学中要合理把握学生的课堂兴奋点，合理安排时间，力图让学生在注意力最集中时完成最重要的知识内容，掌握本节课重要的学习方法；还要注意的是，不要让思维活跃的学生的回答掩盖了其他学生的疑问，应该争取关注每一个学生。
2．矩形的性质与判定（三）
教学目标
1．能够运用综合法和严密的数学语言证明矩形的性质和判定定理以及其他相关结论；提高实际动手操作能力。
2．经历探索、猜测、证明的过程，发展学生的推理论证能力，培养学生找到解题思路的能力，使学生进一步体会证明的必要性以及计算与证明在解决问题中的作用；
3．通过课堂的自主探究活动，让学生感受合作学习的成功，培养主动探求、勇于实践的精神，激发学生学习数学的激情，树立学好数学的信心。 教学过程
第一环节 复习导入
1.如图1，矩形ABCD 的两条对角线相交于点O ，已知∠AOD= 120°，AB=
2.5cm ，
则∠DAO= ,AC= cm ，ABCD S =
矩形_______。
2. 如图2，四边形ABCD 是平行四边形，添加一个条件 ，可使它成为矩形。 第二环 讲授新课
例3 如图1-14，在矩形ABCD 中，AD=6，对角线AC 与BD 交于点O ，AE ⊥BD ，垂足为E ，ED=3BE.求AE 的长.
解∵ 四边形ABCD 是矩形，
∴AO=BO=DO=21
BD （矩形的对角线相等且互相平分）.
∠BAD=90°（矩形的四个都是直角）. ∵ED=3BE ，∴BE=OE. 又∵ AE ⊥BD ，∴AB=AO.
∴AB=AO=BO.即 △ABO 是等边三角形. ∴∠ABO=60°.∴∠ADB=90°-∠ABO=30°. 在Rt △AED 中，∵∠ADB=30°，
∴AE=21AD=21
×6=3.
例4 如图1-15，在△ABC 中，AB=AC ，AD 为∠BAC 的平分线，AN 为△ABC 外角∠CAM 的平分线，CE ⊥AN ，垂足为E.求证：四边形ADCE 是矩形.
第三环节 巩固提高
在例题4中，若连接DE，交AC于点F（如图1-16）
（1）试判断四边形ABDE的形状，并证明你的结论.
（2）线段DF与AB有怎样的关系？请证明你的结论.
练习：已知：如图，四边形ABCD是由两个全等的等边三角形ABD和CBD组
成，M、N分别是BC和AD的中点.
求证：四边形BMDN是矩形.
第四环节课堂小结:
说说你的收获。说说你的困惑。说说你的方法。
第五环节布置作业
习题1.6 知识技能1、2、3、
教学反思
1．灵活处理教材，在精不在多
对于本节课的知识，不能机械地照搬教材内容，应该视各班学生情况而定，对教材内容进行再加工，灵活运用，使教材内容得到升华。也不应加大习题量，题目在精不在多，扎实的讲解和学习比大量练习要有效果的多。把关注学生能力的培养提到首位，达到本节课所要完成的真正目标。
4．分层次教学
对于不同层次的学生，在课堂上的要求要有所不同。在同一题目中，通过一题多问或者一题多解等形式，可以使优生有所突破，也可以让学困生受到关注，获得解题的成就感，这就对我们的备课和选题提出了更高的要求。
5．充分给学生以时间
本课时，是综合运用的一节课，应给予学生充分的时间和空间展示自己，不仅有利于提高学生的积极性，更有利于教师发现学生的独到见解和新思维、新想法，同时还能让教师发现学生存在的问题，这对于课堂教学是非常有利的。
3. 正方形的性质与判定（一）
山东省青岛市第四中学张晓
教学目标
1、在对平行四边形、矩形、菱形的认识基础上探索正方形的性质，体验数学发现的过程，并得出正确的结论．
2、进一步了解平行四边形、矩形、菱形、正方形及梯形之间的相互关系，并形成文本信息与图形信息相互转化的能力．
3、在观察、操作、推理、归纳等探索过程中，发展合情推理能力，进一步培养自己的说理习惯与能力．
教学过程
第一环节：课前准备
搜集身边的矩形（提前布置）。
以合作小组为单位，开展调查活动：
各尽所能收集生活中应用的各种矩形图形。
准备好数学常用的度量工具：直尺、量角器、圆规。
第二环节：情境引入
展示学生的成果，包括图片以及实物等各种学生能得到的“图形”。并让学生利用适当的度量工具，对搜集到的图形素材进行度量或者对素材进行适当的操作，并记录、整理数据。
图形名称数据
角
线边数量关系
位置关系
对角线数量关系
位置关系
对称性
选取一些有代表性的小组，对其得到的的数据或是操作得到的结论进行交流。
第四环节：性质应用
①引用课本例1：如图1-18，在正方形ABCD中，E为CD上一点，F为BC边延
长线上一点，且CE=CF.BE与DF之间又怎样的关系？请说明理由。
②选用课本议一议进行阶段小结“平行四边形、菱形、矩形、正方形之间有什
么关系？你能用一个图直观地表示它们之间的关系吗？与同伴交流”
第五环节：练习提高
1：如图，在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，图中有多少个等腰
三角形？
2：如图，在正方形ABCD中，点F为对角线AC上一点，连接BF,DF。你能找出图
中的全等三角形吗？选择其中一对进行证明。
第六环节：课堂小结
总结正方形的性质：包括其边角关系以及对称性。其次将平行四边形、菱形、矩形、正方形之间的联系建立起适合学生自己的知识结构并内化为自己数学品质的一部分。
第七环节：布置作业
习题1.7知识技能T1，T2
教学反思：
1：要智慧的用教材：
教材只是为教师提供最基本的教学素材，教师完全可以根据学生的实际情况进行适当调整。让学生通过搜集材料亲自去感受数学在实际生活中的应用，体会数学的实际价值。培养学生善于观察生活、搜集数学信息、对信息进行整理的能力。
2：给学生提供充分展示自己的机会
通过课前小组合作社会调查、课堂展示讲解的过程，为学生提供展示自己聪明才智的机会，并且在此过程中更利于教师发现学生分析问题解决问题的独到见解、思维误区以及学生的发展就近区，以便指导今后的教学。课堂上要把激发学生学习热情和获得学习能力放在教学首位，通过运用各种启发、激励的语言，以及组织小组合作学习，帮助学生形成积极主动的求知态度。
留给学生充分的独立思考的时间、给予它们充分交流的自由、争论，因为这样学生自身的知识结构才能更好的重建，才有可能碰撞出灵感产生新的问题，毕竟源自于自身思考的问题才是带领学生更深入思考的利器。其次学生主导不要忽略教师应有的必要引领与指导才能使学习更具实效性。
4.正方形的性质与判定（二）
教学目标
1.掌握正方形的判定定理，并能综合运用特殊四边形的性质和判定解决问题。
2.发现决定中点四边形形状的因素，熟练运用特殊四边形的判定及性质对中点四边形进行判断，并能对自己的猜想进行证明，进一步发展学生演绎推理的能力。
3.使学生进一步体会证明的必要性以及计算与证明在解决问题中的作用。
教学过程
第一环节：情景引入
问题：将一张长方形纸对折两次，然后剪下一个角，打开，怎样
剪才能剪出一个正方形？
（学生动手折叠、思考、剪切）
本环节中教师可以鼓励操作快的学生帮助有困难的学
生，请同学到讲台前讲解自己的做法和判断依据，顺势引导
学生总结出正方形的判定定理：
1.对角线相等的菱形是正方形。对角线垂直的矩形是正方
形。有一个角是直角的菱形是正方形。
教师可以课件展示下面的框架图，复习巩固平行四边
形、矩形、菱形、正方形之间的关系。
第二环节：运用巩固
。
第三环节：猜想结论，分组验证 活动 1：
图1-8-1 图1-8-2 图1-8-3
问题：1.如图，在ΔABC 中，EF 为ΔABC 的中位线，
①若∠BEF=30°，则∠A= . ②若EF=8cm, 则AC= .
2.在AC 的下方找一点D,做CD 和AD 的中点G 、H,问EF 和GH 有怎样的关系？EH 和FG 呢？
3.四边形EFGH 的形状有什么特征？
活动2：问题：如果四边形ABCD 变为特殊的四边形，中点四边形EFGH 会有怎样的变化呢？ 活动3：学生以数学小组的形式，在众多的特殊四边形（平行四边形，矩形，菱形，正方形，等腰梯形，梯形和直角梯形）中选择一种自己感兴趣的原四边形来研究中点四边形，并验证结论的正确性。
图1-8-4 图1-8-5 图1-8-6 图1-8-7
图1-8-8 图1-8-9 图1-8-10
得出结论：
平行四边形的中点四边形是平行四边形；矩形的中点四边形是菱形； 菱形的中点四边形是矩形；正方形的中点四边形是正方形；
等腰梯形的中点四边形是菱形；直角梯形的中点四边形是平行四边形； 梯形的中点四边形是平行四边形。 活动4：
问题：1.矩形和等腰梯形是形状不同的四边形，为什么中点四边形都由平行四边形变化为菱形？
2.平行四边形变化为菱形需要增加什么条件？
3.你是从什么角度考虑的？
4.
你从哪儿得到的启发？
5.你能用你的发现解释其它的图形变化吗？例如：原四边形为菱形，其中点四边形为矩形？
C
F D C
F D A
B
C
D
E
F
G
H
A
B
C
D
E
F
G
H
概括出规律：
决定中点四边形EFGH 的形状的主要因素是原四边形ABCD 的对角线的长度和位置关系。 （1） 若对角线相等，则中点四边形EFGH 为菱形； （2） 若对角线互相垂直，则中点四边形EFGH 为矩形； （3） 若对角线既相等，又垂直，则中点四边形EFGH 为正方形；
（4） 若对角线既不相等，又不垂直，则中点四边形EFGH 为平行四边形。
图1-8-11 图1-8-12 图1-8-13 图1-8-14
第四环节：学以致用
利用几何画板，拖动A 点使四边形ABCD 的图形变化进行研究。
图1-8-15 图1-8-16 图1-8-17 图1-8-18 第五环节：课堂小结
1．本节课重点学习了什么知识，应用了哪些数学思想和方法？ 2．通过本节课的学习你有哪些收获？在今后的学习过程中应该怎么做？ 第六环节：布置作业 习题1.8（1、3） 教学反思
1.要创造性的使用教材在新教材中，课本只是一个载体，因此，本节课教师充分利用这个载体和学生已有的知识、经验，教学设计不拘泥于教材，由一般到特殊再到一般，符合学生的认知基础和认知规律，体现了新课标的观念，水到渠成，效果非常好。
2.充分利用现代技术，提高课堂容量本节课容量较大，但由于采用了电脑辅助教学手段，为学生创建了一个学习情境，通过图形的变换，使学生很容易发现问题的规律、找出解决方法，并且学生在老师的启发下，一步一步地探索、归纳、学习，在探索的过程中培养了学生的创新精神和创新意识。
C
第一章 特殊平行四边形
回顾与思考
山东省青岛大学市北附属中学 李 璐
教学目标：
1.复习三种特殊平行四边形的性质及判定，及理解他们之间的关系。
2.经历运用几何符号和图形描述命题的条件和结论的过程，建立初步的符号感，发展抽象思维．
3.经历课前准备总结，探索三种特殊平行四边形的关系，发展总结归纳能力和初步的演绎推理的能力；
重点与难点
重点：三种特殊平行四边形性质和判定的复习. 三种特殊平行四边形的关系. 难点：总结关系方法的多样性和系统性。 教学过程
第一环节：交流创意，导入课题
事先布置好任务，让学生用自己的方式总结三种特殊平行四边形的关系图，课堂上先交流讨论。
第二环节：交流创意，总结归纳
事先布置好任务，让学生用自己的方式总结三种特殊平行四边形的性质和判定方法。 第三环节：小试牛刀，基础巩固
一组考察基础的判断，填空题 1、一组对边平行的四边形是梯形。（ ）
2、一组对边平行，另一组对边相等的的四边形是平行四边形。（ ）
3、两条对角线相等的四边形是矩形。（ ）
4、一组邻边相等的的矩形是正方形。（ ）
5、对角线互相垂直的四边形是菱形。（ ）
6、两条对角线互相平分的四边形是平行四边形。（ ） 目的：巩固基础知识
注意事项：学生通过简单快速答题，查漏补缺。
最新北师大版九年级数学下册全套教案复习过程
第一章 直角三角形的边角关系 §1.1 从梯子的倾斜程度谈起（第一课时） 学习目标: 1.经历探索直角三角形中边角关系的过程.理解正切的意义和与现实生活的联系. 2.能够用tanA 表示直角三角形中两边的比，表示生活中物体的倾斜程度、坡度等，外能够用正切进行简单的计算. 学习重点: 1.从现实情境中探索直角三角形的边角关系. 2.理解正切、倾斜程度、坡度的数学意义，密切数学与生活的联系. 学习难点: 理解正切的意义，并用它来表示两边的比. 学习方法: 引导—探索法. 学习过程: 一、生活中的数学问题: 1、你能比较两个梯子哪个更陡吗？你有哪些办法？ 2、生活问题数学化： ⑴如图：梯子AB 和EF 哪个更陡？你是怎样判断的？ ⑵以下三组中，梯子AB 和EF 哪个更陡？你是怎样判断的？ 二、直角三角形的边与角的关系（如图，回答下列问题） ⑴Rt △AB 1C 1和Rt△AB 2C 2有什么关系? ⑵ 2 2 2111B AC C B AC C 和有什么关系？ ⑶如果改变B 2在梯子上的位置(如B 3C 3)呢? ⑷由此你得出什么结论?
三、例题： 例1、如图是甲，乙两个自动扶梯，哪一个自动扶梯比较陡? 例2、在△ABC中，∠C=90°，BC=12cm，AB=20cm，求tanA和tanB 的值. 四、随堂练习： 1、如图，△ABC是等腰直角三角形，你能根据图中所给数据求出tanC吗? 2、如图，某人从山脚下的点A走了200m后到达山顶的点B，已知点B到山脚的垂直距离为55m，求山的坡度.(结果精确到0.001) 3、若某人沿坡度i＝3：4的斜坡前进10米，则他所在的位置比原来的位置 升高________米. 4、菱形的两条对角线分别是16和12.较长的一条对角线与菱形的一边的夹角为θ，则 tanθ＝______. 5、如图，Rt△ABC是一防洪堤背水坡的横截面图，斜坡AB的长为12 m，它的坡角为45°，为了提高该堤的防洪能力，现将背水坡改造成坡比为1：1.5的斜坡AD，求DB的长.(结果保留根号) 五、课后练习： 1、在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=3,BC=1,则tanA= _______. 2、在△ABC中,AB=10,AC=8,BC=6,则tanA=_______. 3、在△ABC中,AB=AC=3,BC=4,则tanC=______. 4、在Rt△ABC中,∠C是直角,∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c,且a=24,c= 25,求tanA、tanB的值.
北师大版九年级数学上册知识点总结
北师大版初中数学知识点汇总九年级(上册) 班级姓名 第一章证明(二) 1、三角形全等的性质及判定 全等三角形的对应边相等，对应角也相等 判定：SSS、SAS、ASA、AAS、 2、等腰三角形的判定、性质及推论 性质：等腰三角形的两个底角相等（等边对等角） 判定：有两个角相等的三角形是等腰三角形（等角对等边） 推论：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（即“三线合一”） 3、等边三角形的性质及判定定理 性质定理：等边三角形的三个角都相等，并且每个角都等于60度；等边三角形的三条边都满足“三线合一”的性质；等边三角形是轴对称图形，有3条对称轴。判定定理：有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形。或者三个角都相等的三角形是等边三角形。 含30度的直角三角形的边的性质 定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30度，那么它所对的直角边等于斜边的一半。 4、直角三角形 （1）勾股定理及其逆定理 定理：直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方。 逆定理：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。 （2）命题包括已知和结论两部分；逆命题是将倒是的已知和结论交换；正确的逆命题就是逆定理。 （3）直角三角形全等的判定定理 定理：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（HL） 5、线段的垂直平分线 （1）线段垂直平分线的性质及判定 性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。 判定：到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上。 （2）三角形三边的垂直平分线的性质 三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等。（3）如何用尺规作图法作线段的垂直平分线 分别以线段的两个端点A、B为圆心，以大于AB的一半长为半径作弧，两弧交于点M、N；作直线MN，则直线MN就是线段AB的垂直平分线。 6、角平分线 （1）角平分线的性质及判定定理 性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等； 判定：在一个角的内部，且到角的两边的距离相等的点，在这个角的平分线上。
北师大版数学九年级上册知识点归纳
北师大版《数学》（九年级上册）知识点归纳 第一章 证明（二） 一、公理（1）三边对应相等的两个三角形全等（可简写成“边边边”或“SSS ”）。 （2）两边及其夹角对应相等的两个三角形全等（可简写成“边角边”或“SAS ”）。 （3）两角及其夹边对应相等的两个三角形全等（可简写成“角边角”或“ASA ”）。 （4）全等三角形的对应边相等、对应角相等。 推论：两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等（可简写成“角角边”或“AAS ”）。 二、等腰三角形 1、等腰三角形的性质 （1）等腰三角形的两个底角相等（简称：等边对等角） （2）等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（三线合一）。 等腰三角形的其他性质： ①等腰直角三角形的两个底角相等且等于45° ②等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）。 ③等腰三角形的三边关系：设腰长为a ，底边长为b ，则2 b 北师大版初中数学九年级章节知识点总结
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