圆的综合练习题及答案
圆的综合练习题答案
1.如图，已知AB 为⊙O 的弦，C 为⊙O 上一点，∠C =∠BAD ，且BD ⊥AB 于B .
（1）求证：AD 是⊙O 的切线；
（2）若⊙O 的半径为3，AB =4，求AD 的长.
（1）证明: 如图, 连接AO 并延长交⊙O 于点E , 连接BE , 则∠ABE =90°.
∴ ∠EAB +∠E =90°. ……………………1分 ∵ ∠E =∠C , ∠C =∠BAD ， ∴ ∠EAB +∠BAD =90°.
∴ AD 是⊙O 的切线. ……………………2分
（2）解：由（1）可知∠ABE =90°.
∵ AE =2AO =6, AB =4,
∴ 5222=-=
AB AE BE . …………………………………………………3分
∵ ∠E=∠C =∠BAD , BD ⊥AB ,
∴ .cos cos E BAD ∠=∠ …………………………………………………4分 ∴ .AE
BE
AD AB = .6
524=AD 即
∴ 5
5
12=
AD . …………………………………………………5分 2.已知：在⊙O 中，AB 是直径，AC 是弦，OE ⊥AC
于点E ，过点C 作直线FC ，使∠FCA ＝∠AOE ，交 AB 的延长线于点D.
（1）求证：FD 是⊙O 的切线；
（2）设OC 与BE 相交于点G ，若OG ＝2，求⊙O
半径的长； 证明：（1）连接OC （如图①）， ∵OA ＝OC ，∴∠1＝∠A.
∵OE ⊥AC ，∴∠A ＋∠AOE ＝90°. ∴∠1＋∠AOE ＝90°.
又∠FCA ＝∠AOE ， 图① ∴∠1＋∠FCA ＝90°. 即∠OCF ＝90°.
∴FD 是⊙O 的切线. ……………………………………………………2分
（2）连接BC （如图②），
∵OE ⊥AC ，∴AE ＝EC. 又AO ＝OB ， ∴OE ∥BC 且BC OE 2
1
=
.……………3分 ∴△OEG ∽△CBG. 图②
∴
2
1
==CB OE CG OG . ∵OG ＝2，∴CG ＝4.
∴OC ＝6. ………………………………………………………………5分 即⊙O 半径是6.
3.如图，以等腰ABC ?中的腰AB 为直径作⊙O ，交底边BC 于 点D ．过点D 作DE AC ⊥，垂足为E ． （I ）求证：DE 为⊙O 的切线；
（II ）若⊙O 的半径为5，60BAC ∠=，求DE 的长． 解：（I ）证明：连接AD ，连接OD
AB 是直径，∴BC AD ⊥，
又 ABC ?是等腰三角形，∴D 是BC 的中点． OD AC ∴∥．
DE AC ⊥，DE OD ⊥∴． DE ∴为⊙O 的切线．
（II ）在等腰ABC ?中，60BAC ∠=，知ABC △是等边三角形．
⊙O 的半径为5，10AB BC ∴==，1
52
CD BC =
=． 53
sin 602
DE CD ∴==
4. 如图，△ABC 中，AB =AE ，以AB 为直径
作⊙O 交BE 于C ，过C 作CD ⊥AE 于D ， DC 的延长线与AB 的延长线交于点P . （1）求证：PD 是⊙O 的切线； （2）若AE =5，BE =6，求DC 的长. （1）证明：连结OC …………………1分 ∵PD ⊥AE 于D ∴∠DCE ＋∠E =900
∵ AB=AE , OB =OC ∴∠CBA =∠E =∠BCO 又∵∠DCE =∠PCB ∴∠BCO ＋∠PCB =900
∴PD 是⊙O 的切线 ……………2分 （2）解：连结AC ………………3分 ∵ AB=AE =5 AB 是⊙O 的直径 BE =6
∴ AC ⊥BE 且EC=BC =3 ∴ AC =4
又 ∵ ∠CBA =∠E ∠EDC =∠ACB =90
°
∴△ EDC ∽△BCA ………………4分
∴
AC DC =AB EC
即4DC =53 ∴ DC =5
12
5分
5.在Rt △ABC 中，∠C=90 ， BC =9， CA =12，∠ABC 的平分线BD 交AC 于点D ， DE ⊥DB 交AB 于点E ，⊙O 是△BDE 的
外接圆，交BC 于点F
（1）求证:AC 是⊙O 的切线; （2）联结EF ，求
EF
AC
的值. （1） 证明：连结OD ，-------1分 ∵90C ∠=，∴90DBC BDC ∠+∠=． 又∵BD 为∠ABC 的平分线，∴ABD DBC ∠=∠． ∵OB OD =，∴ABD ODB ∠=∠
∴90ODB BDC ∠+∠=，即∴90ODC ∠=-----2分 又∵OD 是⊙O 的半径，
∴AC 是⊙O 的切线． ………………………………………………3分
（2） 解：∵ DE ⊥DB ，⊙O 是Rt △BDE 的外接圆， ∴BE 是⊙O 的直径， 设⊙O 的半径为r ，
在Rt △ABC 中， 22222912225AB BC CA =+=+=， ∴15AB =
∵A A ∠=∠，90ADO C ∠=∠=，∴△ADO ∽△ACB ．
∴
AO OD AB BC =．∴15159r r
-=．
∴458r =．∴454
BE = ······································· 4分
又∵BE 是⊙O 的直径．∴90BFE ∠=．∴△BEF ∽△BAC
∴4534154
EF BE AC BA ===．……………………………5分
A C
E
O
B
F
D
（第5题）
F
E C
A D o B
O
F E
D
C
B A A B C
D
E F
O 7. 已知：如图，AB 是⊙O 的直径，E 是AB 延长线上的一点，D 是⊙O 上的一点，且AD 平分∠FAE ，ED ⊥AF 交AF 的延长线于点C ．
（1）判断直线CE 与⊙O 的位置关系，并证明你的结论；
（2）若AF ∶FC =5∶3，AE =16，求⊙O 的直径AB 的长．
解：（1）直线CE 与⊙O 相切．
证明：如图，连结 OD ．
∵AD 平分∠FAE ，
∴∠CAD =∠DAE ． ∵OA =OD ，
∴∠ODA =∠DAE ．
∴∠CAD =∠ODA ．
∴OD ∥AC ． ∵EC ⊥AC ， ∴OD ⊥EC ．
∴CE 是⊙O 的切线． ……………………………………………………………2分
（2）如图，连结BF ．
∵ AB 是⊙O 的直径，
∴ ∠AFB =90°． ∵∠C =90°， ∴∠AFB =∠C ． ∴BF ∥EC ．
∴AF ∶AC = AB ∶AE ．
∵ AF ∶FC =5∶3，AE =16， ∴5∶8=AB ∶16．
∴AB = 10．…………………………………………………………5分
8已知：如图，在△ABC 中，AB = AC ，点D 是边BC 的中点．以BD 为直径作圆O ，交边AB 于点P ，联结PC ，交AD 于点E ． （1）求证：AD 是圆O 的切线；
（2）若PC 是圆O 的切线，BC = 8，求DE 的长． （1）证明：∵AB = AC ，点D 是边BC 的中点，
∴AD ⊥BD ． 又∵BD 是圆O 直径，
∴AD 是圆O 的切线．……2分
（2）解：连结OP ，
由BC = 8，得CD = 4，OC = 6，OP = 2．
∵PC 是圆O 的切线，O 为圆心，∴90OPC ∠=?． 由勾股定理，得42PC = 在△OPC 中，2
tan 4
42OP OCP PC ∠===
在△DEC 中，
A
B
C
D
P E ．
O
（第8题）
2tan ,
4
tan DE
DCE DC DE DC DCE ∠=
=
∴=∠
9.如图，已知⊙O 是△ABC 的外接圆，AB 是⊙O 的直径，D 是AB 延长线的一点，AE ⊥CD 交DC 的延长线于E ，CF ⊥AB 于F ，且CE ＝CF ．
（1） 求证：DE 是⊙O 的切线；
（2） 若AB ＝6，BD ＝3，求AE 和BC 的长． 证明：（1）连接OC,
,,,1 2.,2 3.1 3.//.1.2AE CD CF AB CE CF OA OC OC AE OC CD DE O ⊥⊥=∴∠=∠=∴∠=∠∴∠=∠∴∴⊥∴又分
是
的切线.
分
00(2)6,
1
3.
2
3,6,30.60.
39,
19
.422
,3.
5AB OB OC AB Rt OCD OC OD OB BD D COD Rt ADE D AB BD AE AD OBC OB OC BC OB =∴===?==+=∴∠=∠=?=+=∴==?∠=∴==0解：在中，分
在中， A 分
在中，COD=60分
10如图，⊙O 的直径4=AB ，点P 是AB 延长线上的一点，过P 点作⊙O 的切线，切点为
C ，联结AC ．
（1）若?=∠30CPA ，求PC 的长；
（2）若点P 在AB 的延长线上运动，CPA ∠的平分线交AC 于点M ．你认为CMP ∠的大 小是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变化，求出CMP ∠的大小． 解：（1）联结OC ，则PC OC ⊥．
在Rt △OCP 中，22
1
==AB OC ，?=∠30CPA ． ∴ 323==
OC PC ． ……………………2分
（2）CMP ∠的大小不发生变化． …………………3分
MPA A CMP ∠+∠=∠ CPO COP ∠+∠=
2121 ?=??=45902
1
． ………5分 F A O B C
D
第19题
11如图，点P 在半
O 的直径BA 的延长线上，2AB PA =，PC 切半O 于点C ，连结
BC .
（1）求P ∠的正弦值；
（2）若半O 的半径为2，求BC 的长度.
（1）证明：如图，连接OC ． ∵PC 切半O 于点C ，
90PCO ∴∠=?．…………………1分
∵2AB PA =，
PA OA OB OC ∴===． 在Rt PCO △中，1
sin 2
OC P OP ∠==． ························································ 2分
（2）过点O 作OD BC ⊥于点D ，则2BC BD =． ········································ 3分
1
sin 2
P ∠=，
30P ∴∠=?， 60POC ∴∠=?． ∵OC OB =，
30B OCB ∴∠=∠=?． 在Rt OBD △中，2OB =，
cos30BD OB ∴=?= ····································································· 4分
BC ∴= ···················································································· 5分
12已知：如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，以AC 为直径的⊙O 交AB 于点D ，过点D 作⊙O 的切线DE 交BC 于点E ． 求证：BE=CE ．
证明：连接CD.
∵∠ACB=90° ,AC 为⊙O 直径，
∴EC 为⊙O 切线，且∠ADC=90°. ………………………2分 ∵ED 切⊙O 于点D,
∴EC ＝E D . …………………………………3分 ∴∠ECD =∠EDC.
∵∠B+∠ECD =∠BDE+∠EDC=90°， ∴∠B=∠BDE.
∴BE=ED. ………………………………………………4分
13.已知：如图，AB 是⊙O 的直径，C 是⊙O 上的一点，且∠BCE =∠CAB ，CE 交AB 的延长线于点E ，AD ⊥AB ，交EC 的延长线于点D ．
（1）判断直线DE 与⊙O 的位置关系，并证明你的结论；