多星座组合导航自适应联合卡尔曼滤波算法研究_孙永荣

第30卷第5期2009年9月　

宇　航　学　报

J o u r n a l o f A s t r o n a u t i c s

V o l .30S e p t e m b e r

N o .5

2009

多星座组合导航自适应联合卡尔曼滤波算法研究

孙永荣,吴　玲,赵　伟,刘建业

(南京航空航天大学自动化学院,南京210016)

摘　要:针对多星座卫星组合导航,提出了一种自适应联合卡尔曼滤波算法,采用描述机动载体运动的“当前”统计模型,直接从各卫星导航系统接收机输出的定位信息入手,将各种误差因素的影响等效为一个总误差,建立一种动态定位的自适应卡尔曼滤波模型。为了进一步提高滤波器的动态性能,通过引入调整系数、加权因子和自适应调节量对自适应滤波算法进行了改进,并分别对G P S 、G L O N A S S 和G A L I L E O 系统设计了自适应子滤波器,然后采用联合滤波算法对各个子滤波器进行数据融合处理,最后对G P S /G L O N A S S /G A L I L E O 组合导航系统进行了仿真验证,结果表明,该算法增强了滤波器的跟踪能力,改善了滤波效果,提高了定位精度。

关键词:组合导航;自适应滤波;卡尔曼滤波;定位精度

中图分类号:V 448 文献标识码:A 文章编号:1000-1328(2009)05-1879-06D O I :10.3873/j .i s s n .1000-1328.2009.05.022

收稿日期:2008-10-11;　修回日期:2008-10-23

基金项目:国家863计划航空多传感器组合导航技术资助项目(2006A A 12A 108)

0　引言

随着全球信息化的快速发展,卫星导航系统已经成为全球发展最快的三大信息产业之一。为了充分利用各种卫星导航系统,进一步提高导航定位精度和可靠性,从而将目前广泛使用的G P S 全球定位系统、不断完善中的G L O N A S S 系统以及正在建设中的欧洲G A L I L E O 卫星系统组合起来,构成多星座组合导航系统。为了提高导航定位的精度和可靠性,组合导航系统多应用联合卡尔曼滤波技术进行多种导航系统信息的融合

[1-2]

。

本文针对G P S /G L O N A S S /G A L I L E O 多星座组合导航定位系统基于卡尔曼滤波提出了一种自适应联合卡尔曼滤波算法,并进行了仿真研究。该滤波器首先对每个子滤波器进行自适应卡尔曼滤波,采用描述机动载体运动的“当前”统计模型,直接从各卫星导航系统接收机输出的定位信息入手,将各种误差因素的影响等效为一个总误差,建立一种动态定位自适应卡尔曼滤波模型,利用线性卡尔曼滤波器进行动态定位数据的处理,然后对各星座导航系统滤波输出采用联合滤波算法实现组合导航系统联合卡尔曼滤波。

1　数学模型的建立1.1　系统方程的建立

由于G P S 、G L O N A S S 和G A L I L E O 的卫星星座分布基本相似,因此可以采用相同的方法建立数学模型,不妨以G P S 系统为例进行建模。研究表明,将G P S 定位的各种误差源在各方向上造成的总误差等效为一个当前均值和一个符合一阶马尔可夫过程的有色噪声的和,利用线性卡尔曼滤波器进行动态定位数据的滤波处理是可行的

[3]

。

选取状态变量为:

X =[xv x a x εx yv y a y εy z v z a z εz

]T

,式中,x ,v x ,a x ,y ,v y ,a y ,z ,v z ,a z 分别表示G P S 机动载体在3个坐标轴方向上的位置、速度和加速度分量;εx ,εy ,εz 分别表示各种误差源在3个坐标轴方向上造成的总的位置误差。

在研究动态定位的最优问题时,首先需要建立比较准确合理的运动模型。目前已有多种运动模型,如:微分多项式模型、C V (常速)与C A (常加速)模型、时间相关模型、半马尔可夫模型、N o v a l 统计模型及机动载体“当前”统计模型。其中C V 与C A 模型适用于匀速或匀加速运动,一阶时间相关模型(S i n g e r 模型)适用于等速和等加速范围的载体运动。

对于实际载体运动,一般采用机动载体的“当前”统计模型,能够更准确更合理地描述载体的运动状态。其本质是非零均值时间相关模型,均值为“当前”加速度预测值,随机机动加速度在时间轴上符合一阶时间相关过程[4]

。由此可得,系统的状态

方程可描述为:

X ·

(t )=A X (t )+U (t )+W (t )

(1)

式中:A=d i a g (A x A y A z

),A i =

010*******-1/τa i

00

-1/τi

　i =x ,y ,z

U (t )=00

a x τa x 000 a y τa y 000 a z

τa z

0T

W (t )=[00ωa x ωx 00ωa y ωy 00ωa z ωz ]T

,式中,τx ,τy ,τz 分别为对应马尔可夫过程的相关时间常数;τa x ,τa y ,τa z 分别为加速度相关时间常数;ωa x ,ωa y ,ωa z ,ωx ,ωy ,ωz 分别为(0,σ2

a x ),(0,σ2

a y ),(0,σ2a z

),(0,σ2

x

),(0,σ2y

),(0,σ2z

)的高斯白噪声; a x , a y , a z 是3个坐标轴上的“当前”加速度均值。1.2　量测方程的建立

取G P S 输出的3个坐标轴方向上的定位结果L x ,L y ,L z 为测量值,L i 由状态变量i 、一阶马尔可夫过程εi 和量测噪声ωl i 组成,其中ωl i 为(0,R 2

i

)的高斯白噪声(i =x ,y ,z ),则:

L x =x +εx +ωl x ,L y =y +εy +ωl y ,L z =z +εz +ωl z

记:Z=L=[L x L y L z

]T

,则量测方程为:Z =H X+V

(2)

其中,H 为量测矩阵,V 为量测噪声矢量。

H =100100000000000010010000

000000001001V =[ωl x ωl y ωl z

]T

根据系统可观测性判据,因为r a n k [H T

(H A )

T

(H A 2

)T

…(H A 11

)T ]T

=12,故系统是完全可观

测的。

2　卡尔曼滤波方程的建立

由式(1)、(2)知,上述模型是一个典型的线性

卡尔曼滤波模型[5]

。设采样周期为T ,建立离散卡

尔曼滤波方程如下:

状态一步预测方程

X (k +1/k )=Υ1(

k +1/k )X (k )(3)

一步预测均方误差方程

P (k +1/k )=Υ(k +1/k )P (k )ΥT

(k +1/k )+Q (k )

(4)

状态估计方程

X (k +1)=X (k +1/k )+K (k +1)·

[Z (k +1)-H (k +1)X (k +1/k )]

(5)

估计均方误差方程

P (k +1)=[I -K (k +1)H (k +1)]P (k +1/k )

(6)

滤波增益方程

K (k +1)=P (k +1/k )H T

(k +1)·

[H (k +1)P (k +1/k )H T

(k +1)+R (k +1)]

-1

(7)

系统噪声协方差阵

Q =d i a g [00σ2

a x σ2

x 00σ2

a y σ2

y 00σ2

a z σ2

z

](8)

量测噪声协方差阵

R =d i a g [R 2

x R 2

y R 2

z

](9)

式(3)中,

Υ1(

k +1/k )=Υ1x (

k +1/k )Υ1y (

k +1/k )Υ1z

(k +1/k )Υ1i =1T

T

2

2

00

1T 000100

e

-T /τi

　i =x ,y ,z

式(4)中的Υ(k +1/k )为系统转移矩阵A 的离散化

矩阵,令:

Υ(k +1/k )=Υx

(k +1/k )Υy

(k +1/k )Υz

(k +1/k )由线性系统理论可得

1880

宇航学报 第30卷

Υx(k+1/k)=1T(

T

τa x-1+e-T/τa x

)τ2a x0

01(1-e-T/τa x)τa x0

00e-T/τa x0 000e-T/τx

(10)

同样,可以得到Υy(k+1/k)和Υz(k+1/k)。

3　自适应卡尔曼滤波算法

3.1　自适应算法的建立

直接利用上述建立的卡尔曼滤波模型进行动态定位实时滤波时,发现滤波器的动态性能较差,有时甚至发散[6-8]。这是因为所建立的模型与真实情况存在误差,且某些状态变量会发生突变所致。为了解决这一问题,本文提出了自适应卡尔曼滤波算法。

由于当前加速度只能在前一时刻的邻域内波动,因此可以把加速度的一步预测值看作“当前”加速度均值,建立加速度均值自适应算法。下面以x 轴为例,说明3个机动加速度均值a x,a y,a z的自适应算法和加速度方差σ2a x,σ2a y,σ2a z的确定方法[4]。

均值:a x(k+1)=a x(k+1/k)

方差:

σ2a x=4-π

π

[a x m a x-a x(k)]2当前加速度为正时;

σ2a x=4-π

π

[a-x m a x+a x(k)]2当前加速度为负时;式中a m a x为已知载体加速度分量正上限;a-m a x为已知载体加速度分量负下限。同理可得y轴和z轴方向上的机动加速度均值和方差的自适应算法。

同时,从式(4)可以看出,均方误差矩阵P(k+

1/k)应是正定对称阵。然而由于滤波过程计算会累计误差,使P(k+1/k)失去正定对称性,也会导致滤波发散。因此,文中通过引入自适应遗忘因子λ(k+1),用遗忘因子限制卡尔曼滤波器的记忆长度,以便充分利用“现时”的测量数据,改善滤波器的动态性能。

此时,一步预测均方误差方程变为:

P(k+1/k)=λ(k+1)Υ(k+1/k)P(k)·

ΥT(k+1/k)+Q(k)(11)遗忘因子的确定方法[9]如下:

λ(k+1)=m a x{1,t r[N(k+1)]/t r[M(k+1)]}

(12)M(k+1)=H(k+1)Υ(k+1/k)P(k)·

ΥT(k+1/k)H T(k+1)(13) N(k+1)=C0(k+1)-H(k+1)Q(k+1)·

H T(K+1)-R(k+1)(14) C0(k+1)=

λ(k)v(k+1)v T(k+1)

1+λ(k)

(k>1)

1

2

v(1)v T(1)(k=0)

(15)

v(k+1)=L(k+1)-H(k+1)X(k+1/k)(16)该自适应算法与现有的衰减记忆滤波算法[10]相比,不需要修改系统噪声和量测噪声的统计特性,因此计算量较小,更适合工程实际应用。

3.2　自适应算法的改进

将上述的自适应滤波算法应用于仿真过程中发现,尽管滤波器的收敛效果得到改善,但是动态滤波效果还不理想,原因在于如果状态发生突变,λ(k+ 1)尽管大于1但仍然太小,滤波器跟踪能力不强。为此,文中将进一步对算法加以改进,以提高系统的动态性能。

(1)引入调整系数α

λ(k+1)=m a x{1,α·t r[N(k+1)]/t r[M(k+1)]}

(17)式中α称为调整系数(α>1)。α的引入人为地加大了λ(k+1),强制提高了滤波器的跟踪性能。

(2)引入自适应加权因子d

N(k+1)=d C0(k+1)-H(k+1)Q(k)·

H T(k+1)-R(k+1)(18) d根据估计残差v(k+1)的大小进行确定:

d=

d0(v(k+1)v T(k+1)≥U)

1(v(k+1)v T(k+1)

d的引入加强了λ(k+1)根据估计残差变化的调节能力。

(3)引入自适应调节量β

N(k+1)=d C0(k+1)-H(k+1)Q(k)·

H T(k+1)-R(k+1)+β(19)β由下式确定:

β=[x i(k+1)-x i(k)]2η(20)β的引入加大了突变状态变量对λ(k+1)的影响。

该改进的自适应算法与传统的强跟踪滤波算法[11]相比,能够自适应调节预测均方差加权因子,增大滤波增益,从而增强了目标发生突发机动时的

1881

第5期孙永荣等:多星座组合导航自适应联合卡尔曼滤波算法研究

跟踪能力。

4　组合导航系统联合滤波器实现

根据上述方法分别对G P S 、G L O N A S S 和G A L I -L E O 卫星导航系统设计相应的自适应子滤波器,然后采用联合滤波算法,实现组合导航联合卡尔曼滤波

[12]

。多星座组合导航系统联合滤波器如图1所

示。该联合滤波器由3个自适应子滤波器和1个主滤波器组成,各子滤波器单独工作,主滤波器只进行数据融合

。

图1　组合导航系统联合滤波器

F i g .1　F e d e r a t e d f i l t e r o f i n t e g r a t e d n a v i g a t i o ns y s t e m

主滤波器对各个子滤波器进行信息融合的算法为:

P

-1

g ,k

=∑3

i =1

P -1

i ,k

(21)X g ,k =P g ,k ∑3

i =1

P -1i ,k X i ,k

(22)

信息分配方式为:

P i ,k =β-1i P g ,k ,　X i ,k =X g ,k

(23)

其中,P g ,k ,X g ,k 表示k 时刻全局均方误差估计值;P i ,k ,X i ,k 表示k 时刻第i 个子滤波器的方差和估计值;βi 为信息分配系数。5　仿真结果与分析

利用上述自适应卡尔曼滤波模型,设计每个子系统滤波器,并对输出的x ,y 轴(经度、纬度)定位结果进行实时滤波处理。各个系统均选取初始条件为:

x (0)=L x (0),v x (0)=0m /s ,a x (0)=0m /s 2

,y (0)=L y (0),v y (0)=0m /s ,a y (0)=0m /s 2εx (0)=εy (0)=0,P (0)=0

有关参数分别选取

[13]

为:G P S 系统中τa x =τa y =

10.0,σ2

a x =σ2

a y =(3.0)2

,τx =τy =0.1,σ2

x =σ2

y =(10.0)2

,R 2

x =R 2

y =(1×10-3

)2

;G L O N A S S 系统中τa x =τa y =1.0,σ2

a x =σ2

a y =(4.0)2

,τx =τy =0.1,σ2

x =σ2

y =(23.0)2

,R 2

x =R 2

y =(5×10-3

)2

;G A L I L E O 系统中τa x =τa y =100,σ2

a x =σ2

a y =(1.5)2

,τx =τy =0.1,σ2

x =σ2

y =(5.0)2

,R 2

x =R 2

y =(1×10-4

)2

。相关调整参数均选取为α=4,d 0=500,U =1202

,η=104

。采样周期取T=1s 。组合导航系统联合滤波器中信息分配系数取为:β1=1

3

(G P S ),β2=

16(G L O N A S S ),β3=1

2

(G A L I L E O )。仿真中飞机的初始位置为北纬32°、东经118°、

飞行高度为300m ;飞机的初始速度为300m /s ,航向正北。其飞行轨迹包括爬升、平飞、变速和转弯等各种飞行状态,仿真共进行了1000s 。其航迹如图2所示。对各个星座分别设计了星座仿真器仿真输出定位结果,然后进行组合系统滤波算法仿真验证。按

照上述仿真条件得到仿真结果分别如图3、4所示。

1882宇航学报

第30卷

从仿真结果可以看出,采用自适应联合卡尔曼滤波算法使滤波器的动态性能得到了比较明显的提高。在状态机动时,该滤波器也具有较好的跟踪能力,如图5所示,载体机动的局部放大误差曲线。从仿真曲线的比较可以看出,滤波精度相比于普通卡尔曼滤波器提高了,性能得到了明显的改善。滤波前后所获得的组合导航系统稳态误差统计值如表1所示。

表1　组合导航系统的稳态误差统计值

T a b l e1　T h e s t e a d y s t a t e e r r o r v a l u e o f i n t e g r a t e d

n a v i g a t i o n s y s t e m

误差项

均值(m)

经度纬度

方差(m2)经度纬度

最小二乘组合2.8254.2334.74410.537卡尔曼滤波　2.7242.7252.4272.424自适应滤波　1.0581.0481.3251.311

6　结束语

本文通过对多星座组合导航自适应卡尔曼滤波算法的研究,并对G P S/G L O N A S S/G A L I L E O多星座组合系统进行了仿真验证,结果表明本文提出的多星座组合导航自适应联合卡尔曼滤波算法能够增强滤波器的跟踪能力,改善滤波效果,提高了定位精度。随着G A L I L E O系统的建成和投入使用,特别是我国正在筹划的北斗二代导航系统的建设,使得多星座组合导航系统的研究具有更加重要的意义。

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作者简介:孙永荣(1969-),男,副教授,研究方向为惯性技

术、组合导航与智能交通。

通信地址:南京航空航天大学自动化学院导航研究中心

(210016)

电话:(025)84895879

E-m a i l:s u n y r@n u a a.e d u.c n

A d a p t i v e K a l m a n F i l t e r i n g f o r Mu l t i-c o n s t e l l a t i o n

I n t e g r a t e d N a v i g a t i o nS y s t e m

S U NY o n g-r o n g,W UL i n g,Z H A OW e i,L I UJ i a n-y e

(C o l l e g e o f A u t o m a t i o n,N a n j i n g U n i v e r s i t y o f A e r o n a u t i c s＆A s t r o n a u t i c s,N a n j i n g210016,C h i n a)

A b s t r a c t:Am u l t i-c o n s t e l l a t i o ni n t e g r a t e dn a v i g a t i o na d a p t i v ef e d e r a t e dK a l m a nf i l t e r i n g a l g o r i t h m i s p u t f o r w a r di n

t h i s p a p e r.A s s u m i n g a c u r r e n t s t a t i s t i c a l m o d e l f o r m a n e u v e r i n g t a r g e t s a n d c o n s i d e r i n g t h a t e r r o r s c a u s e d b y d i f f e r e n t e r r o r s o u r c e s c a nb e e q u i v a l e n t t oa t o t a l e r r o r o f p o s i t i o n i n g r e s u l t s f r o m t h e r e c e i v e r s o f e a c hs a t e l l i t e n a v i g a t i o ns y s t e m,a n a-

d a p t i v

e K a l m a n

f i l t e r i n

g m o d e l i n k i n e m a t i c p o s i t i o n i n g i s p r e s e n t e d.I n o r d e r t o i m p r o v e t

h e p e r f o r m a n c e o f k

i n e m a t i c p o s i-

t i o n i n g f i l t e r,a m o d i f i e da d a p t i v e f i l t e r i n ga l g o r i t h m i s p r o p o s e db y m e a n s o f i n t r o d u c i n g a d j u s t m e n t c o e f f i c i e n t,w e i g h t e d

f a c t o r a n da d a p t i v er e

g u l a t i n g v a r i a b l e.S u b f i l t e r sf o r G P S,G L O N A S Sa n dG A L I L E O s y s t e m a r ed e s i g n e dr e s p e c t i v e l y;

t h e nd a t a f u s i o n p r o c e s s i n g i s p r a c t i c e d o n t h e s u b f i l t e r s b y f e d e r a t e d f i l t e r i n g a l g o r i t h m;f i n a l l y t h e s i m u l a t i o n e x p e r i m e n t i s

c a r r i e do u t o nG P S/G L O N A S S/G A L I L E Om u l t i-c o n s t e l l a t i o ni n t e g r a t e dn a v i g a t i o ns y s t e m.T h es i m u l a t i o nr e s u l t s i n

d i c a t e

t h a t t h e t r a c k i n g p e r f o r m a n c e i s e n h a n c e d,f i l t e r i n g e f f e c t i s i m p r o v e d a n dp o s i t i o n i n g a c c u r a c y i s i n c r e a s e d.

K e yw o r d s:I n t e g r a t e dn a v i g a t i o n;A d a p t i v e f i l t e r i n g;K a l m a nf i l t e r i n g;P o s i t i o n i n g p r e c i s i o n

1884宇航学报 第30卷