限时规范检测(六十七) 几何概型

限时规范检测(六十七) 几何概型

(时间：45分钟 分值：69分)

一、选择题(共5个小题，每题5分)

1．(2012·鸡西模拟)在40根纤维中，有12根的长度超过30 mm ，从中任取一根，取到长度超过30 mm 的纤维的概率是( )

A.34

B.310

C.2

5

D ．以上都不对 2．如图，矩形ABCD 中，点

E 为边CD 的中点．若在矩形ABCD 内部随机取一个点Q ，则点Q 取自△ABE 内部的概率等于( )

A.14

B.13

C.12

D.23

3．(2012·北京高考)设不等式组?

????

0≤x ≤2，

0≤y ≤2，表示的平面区域为D .在区域D 内随机取一

个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是( )

A.π4

B.π－22

C.π

6 D.4－π4

4．(2012·临沂模拟)若在区间[－5,5]内任取一个实数a ，则使直线x ＋y ＋a ＝0与圆(x －1)2＋(y ＋2)2＝2有公共点的概率为( )

A.

25 B.25 C.35 D.3210

5．(2012·广州一模)在△ABC 中，∠ABC ＝60°，AB ＝2，BC ＝6，在BC 上任取一点D ，使△ABD 为钝角三角形的概率为( )

A.16

B.13

C.12

D.23

二、填空题(共2个小题，每题4分)

6．(2012·南昌一模)在区间[－6,6]内任取一个元素x 0，抛物线x 2＝4y 在x ＝x 0处的切线的倾斜角为α，则α∈???π4，3π4的概率为________．

7．在区域M ＝????

??

(x ，y )?????

0＜x ＜2，0＜y ＜4，内随机撒一把黄豆，落在区域N ＝

??????(x ，y )????

?

x ＋y ＜4，

y ＞x ，x ＞0.内的概率是________．

三、解答题(共3个小题，每题12分)

8．(2012·长沙模拟)已知向量a ＝(－2,1)，b ＝(x ，y )．

(1)若x ，y 分别表示将一枚质地均匀的正方体骰子(六个面的点数分别为1,2,3,4,5,6)先后抛掷两次时第一次、第二次出现的点数，求满足a·b ＝－1的概率；

(2)若x ，y 在连续区间[1,6]上取值，求满足a·b ＜0的概率． 9．已知向量a ＝(2,1)，b ＝(x ，y )．

(1)若x ∈{－1,0,1,2}，y ∈{－1,0,1}，求向量a ∥b 的概率； (2)若x ∈[－1,2]，y ∈[－1,1]，求向量a ，b 的夹角是钝角的概率．

10．(2012·宁德模拟)某市中学生田径运动会总分获得冠、亚、季的代表队人数情况如下表．大会组委会为使颁奖仪式有序进行，气氛活跃，在颁奖过程中穿插抽奖活动，并用分层抽样的方法从三个代表队中共抽取16人在前排就坐，其中亚军队有5人.

(1)(2)从前排就坐的亚军队5人(3男2女)中随机抽取2人上台领奖，请列出所有的基本事件，并求亚军队中有女生上台领奖的概率；

(3)抽奖活动中，运动员通过操作按键，使电脑自动产生[0,4]内的两个随机数x ，y ，随后电脑自动运行如下所示的程序框图相应程序．若电脑显示“中奖”，则该运动员获相应奖品，若电脑显示“谢谢”，则不中奖．求该运动员获得奖品的概率．

答 案

限时规范检测(六十七)

1．解析：选B 在40根纤维中，有12根的长度超过30 mm ，即基本事件总数为40，且它们是等可能发生的，所求事件包含12个基本事件，故所求事件的概率为3

10

.

2. 解析：选C 不妨设矩形的长、宽分别为a 、b ，于是S 矩形

＝ab ，S △ABE ＝1

2

ab ，由几

何概率的定义可知P ＝S △ADE S 矩形＝1

2

.

3. 解析：选D 不等式组?

????

0≤x ≤2，

0≤y ≤2表示坐标平面内的一个正方形区域，设区域内点

的坐标为(x ，y )，则随机事件“在区域D 内取点，此点到坐标原点的距离大于2”表示的区域就是圆x 2＋y 2＝4的外部，即图中的阴影部分，故所求的概率为4－π

4

.

4. 解析：选B 若直线与圆有公共点，则圆心到直线的距离d ＝|1－2＋a |2＝|a －1|

2≤2，

解得－1≤a ≤3.又a ∈[－5,5]，故所求概率为410＝2

5

.

5. 解析：选C 如图，过点A 作AH ⊥BC ，垂足为H .则在Rt △AHB 中，BH ＝AB ·cos 60°

＝2cos 60°＝1；过点A 作AM ⊥AB ，交BC 于点M ，则在Rt △ABM 中，BM ＝AB cos 60°

＝4，故MC ＝BC －BM ＝2.

由图可知，要使△ABD 为钝角三角形，则点D 只能在线段BH 或线段MC 上选取，故所求事件的概率P ＝1＋26＝1

2

.

6. 解析：当切线的倾斜角α∈????

π4，3π4时，切线斜率的取值范围是(－∞，－1]∪[1，＋∞)，抛物线x 2＝4y 在x ＝x 0处的切线斜率是1

2x 0，故只要x 0∈(－∞，－2]∪[2，＋∞)即可，

如果在区间[－6,6]内取值，则只能取区间[－6，－2]∪[2,6]内的值，这个区间的长度是8，区间[－6,6]的长度是12，故所求的概率是812＝2

3

.

答案：23

7. 解析：画出区域M 、N ，如图，区域M 为矩形OABC ，区域N 为图中阴影部分．

S 阴影＝1

2×4×2＝4，

故所求概率P ＝44×2＝1

2.

答案：12

8. 解：(1)将一枚质地均匀的正方体骰子先后抛掷两次，所包含的基本事件总数为6×6＝36个；

由a·b ＝－1有－2x ＋y ＝－1，

所以满足a·b ＝－1的基本事件为(1,1)，(2,3)，(3,5)，共3个； 故满足a·b ＝－1的概率为336＝112

.

(2)若x ，y 在连续区间[1,6]上取值，则全部基本事件的结果为Ω＝{(x ，y )|1≤x ≤6,1≤y ≤6}；

满足a·b ＜0的基本事件的结果为

A ＝{(x ，y )|1≤x ≤6,1≤y ≤6且－2x ＋y ＜0}； 画出图形如下图，

矩形的面积为S 矩形＝25，

阴影部分的面积为S 阴影＝25－1

2×2×4＝21，

故满足a·b ＜0的概率为21

25

.

9．解：(1)设“a ∥b ”为事件A ，由a ∥b ，得x ＝2y .

Ω＝{(－1，－1)，(－1,0)，(－1,1)，(0，－1)，(0,0)，(0,1)，(1，－1)，(1,0)，(1,1)，(2，－1)，(2,0)，(2,1)}，共包含12个基本事件；

其中A ＝{(0,0)，(2,1)}，包含2个基本事件． 则P (A )＝212＝1

6

.

(2)设“a ，b 的夹角是钝角”为事件B ，由a ，b 的夹角是钝角，可得a·b ＜0，即2x ＋y ＜0，且x ≠2y .

Ω＝?

??

(x ，y )??? ???

?

??????－1≤x ≤2，－1≤y ≤1.B ＝???

(x ，y )???? ??

?????

??

?－1≤x ≤2，

－1≤y ≤1，2x ＋y ＜0，x ≠2y .

则P (B )＝12×????

12＋32×23×2

＝1

3.

10．解：(1)设季军队的男运动员人数为n . 由题意得550＝16

30＋30＋30＋20＋n ＋30，

解得n ＝20.

(2)记3个男运动员分别为A 1，A 2，A 3,2个女运动员分别为B 1，B 2，所有基本事件如下： (A 1，A 2)，(A 1，A 3)，(A 1，B 1)，(A 1，B 2)，(A 2，A 3)，(A 2，B 1)，(A 2，B 2)，(A 3，B 1)，(A 3，B 2)，(B 1，B 2)，共10种，

设“亚军队中有女生上台领奖”为事件M ， 其中事件M 的基本事件有7种， 所以P (M )＝710

.

(3)由已知0≤x ≤4,0≤y ≤4，

点(x ，y )在如图所示的正方形OABC 内， 由条件????

?

4x －y －8≤0，0≤x ≤4，

0≤y ≤4，得到的区域

为图中的阴影部分． 由4x －y －8＝0，

令y ＝0得x ＝2，令y ＝4得x ＝3.

∴在x ，y ∈[0,4]时满足4x －y －8≤0的区域的面积S 1＝1

2×(2＋3)×4＝10

设“该运动员获得奖品”为事件N ， 则该运动员获得奖品的概率P (N )＝1016＝5

8.

高中数学必修2综合测试题

正视图 侧视图 俯视图 2 1 1 高中数学必修2综合测试题 文科数学 一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1.若直线1=x 的倾斜角为α，则=α( )． A ．0 B.3 π C ．2π D ．π 2．已知直线1l 经过两点)2,1(--、)4,1(-，直线2l 经过两点)1,2(、)6,(x ，且21//l l ，则=x （ )． A ．2 B ．－2 C ．4 D ．1 3.长方体的一个顶点上三条棱长分别是3，4，5，且它的8个顶点都在同一球面上，则这个球的表面积是( )． A ．π25 B ．π50 C ．π125 D ．π200 4.若方程02 2 =++++k y x y x 表示一个圆,则k 的取值范围是( ) A.21> k B.21≤k C. 2 1 0<

高考数学几何概型及随机模拟

普通高中课程标准实验教科书—数学 [人教版] 高三新数学第一轮复习教案（讲座21）—几何概型及随机模拟 一．课标要求： 1．了解随机数的意义，能运用模拟方法（包括计算器产生随机数来进行模拟）估计概率，初步体会几何概型的意义； 2．通过阅读材料，了解人类认识随机现象的过程。 二．命题走向 本讲内容在高考中所占比较轻，纵贯近几年的高考对概率要求降低，但本讲内容使新加内容，考试涉及的可能性较大。 预测07年高考： （1）题目类型多以选择题、填空题形式出现，； （2）本建考试的重点内容几何概型的求值问题，我们要善于将实际问题转化为概率模型处理。 三．要点精讲 1．随机数的概念 随机数是在一定范围内随机产生的数，并且得到这个范围内任何一个数的机会是均等的。 2．随机数的产生方法 （1）利用函数计算器可以得到0~1之间的随机数； （2）在Scilab 语言中，应用不同的函数可产生0~1或a~b 之间的随机数。 3．几何概型的概念 如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型； 4．几何概型的概率公式： P （A ）=积） 的区域长度（面积或体试验的全部结果所构成积）的区域长度（面积或体构成事件A 。 5．几种常见的几何概型 （1）设线段l 是线段L 的一部分,向线段L 上任投一点.若落在线段l 上的点数与线段L 的长度成正比,而与线段l 在线段l 上的相对位置无关,则点落在线段l 上的概率为： P=l 的长度/L 的长度 （2）设平面区域g 是平面区域G 的一部分,向区域G 上任投一点,若落在区域g 上的点数与区域g 的面积成正比,而与区域g 在区域G 上的相对位置无关,则点落在区域g 上概率为： P=g 的面积/G 的面积 （3）设空间区域上v 是空间区域V 的一部分,向区域V 上任投一点.若落在区域v 上的点数与区域v 的体积成正比,而与区域v 在区域v 上的相对位置无关,则点落在区域V 上的概率为： P=v 的体积/V 的体积

古典概型和几何概型专题训练[答案解析版]

古典概型与几何概型专题训练 1.在集合{} 04M x x =<≤中随机取一个元素，恰使函数2log y x =大于1的概率为( ) A ．1 B. 14 C. 12 D. 34 答案及解析：1.C 2.考虑一元二次方程2 0x mx n ++=，其中,m n 的取值分别等于将一枚骰子连掷两次先后出现的点数,则方程有实根的概率为( ) A. 3619 B.187 C.94 D.36 17 答案及解析：2.A 3.如图，大正方形的面积是34，四个全等直角三角形围成一个小正方形， 直角三角形的较短边长为3，向大正方形内抛撒一枚幸运小花朵，则 小花朵落在小正方形内的概率为 A . 117 B .217 C .317 D .4 17 答案及解析：3.B . 因为大正方形的面积是34，所以大正方形的边长是34，由直角三角形的较短边长为 3，得四个全等直角三角形的直角边分别是5和3，则小正方形边长为2，面积为4.所以 小花朵落在小正方形内的概率为42 3417 P = =.故选B . 【解题探究】本题考查几何概型的计算. 几何概型的解题关键是求出两个区间的长度（面积或体积），然后再利用几何概型的概率计算公式 ()= A P A 构成事件的区域长度（面积或体积） 试验的全部结果所构成的区域长度（面积或体积） 求解．所以本题求小花朵落在小正 方形内的概率，关键是求出小正方形的面积和大正方形的面积. 4.如图所示，现有一迷失方向的小青蛙在3处，它每跳动一次可以等可能地进入相邻的任意一格（若它在5处，跳动一次，只能进入3处，若在3处，则跳动一次可以等机会进入1，2，4，5处），则它在第三次跳动后，首次进入5处的概率是（ ）

高中数学必修2测试题附答案

数学必修2 一、选择题 1、下列命题为真命题的是（ ） A. 平行于同一平面的两条直线平行； B.与某一平面成等角的两条直线平行； C. 垂直于同一平面的两条直线平行； D.垂直于同一直线的两条直线平行。 2、下列命题中错误的是：（ ） A. 如果α⊥β，那么α内一定存在直线平行于平面β； B. 如果α⊥β，那么α内所有直线都垂直于平面β； C. 如果平面α不垂直平面β，那么α内一定不存在直线垂直于平面β； D. 如果α⊥γ，β⊥γ，α∩β＝l,那么l ⊥γ. 3、右图的正方体ABCD-A ’B ’C ’D ’ 中,异面直线AA ’与BC 所成的角是（ ） A. 300 B.450 C. 600 D. 900 4、右图的正方体ABCD- A ’B ’C ’D ’ 中， 二面角D ’-AB-D 的大小是（ ） A. 300 B.450 C. 600 D. 900 5、直线5x-2y-10=0在x 轴上的截距为a,在y 轴上的截距为b,则（ ） A.a=2,b=5; B.a=2,b=-5; C.a=-2，b=5 D.a=-2，b=-5 6、直线2x-y=7与直线3x+2y-7=0的交点是（ ） A (3,-1) B (-1,3) C (-3,-1) D (3,1) 7、过点P(4,-1)且与直线3x-4y+6=0垂直的直线方程是（ ） A 4x+3y-13=0 B 4x-3y-19=0 C 3x-4y-16=0 D 3x+4y-8=0 8、正方体的全面积为a,它的顶点都在球面上，则这个球的表面积是：（ ） A.3 a π; B. 2 a π; C.a π2; D.a π3. A B D A ’ B ’ D ’ C C ’

历年高考数学真题精选44 几何概型

历年高考数学真题精选（按考点分类） 专题44 几何概型（学生版） 一．选择题（共13小题） 1．（2019?全国）在Rt ABC ?中，AB BC =，在BC 边上随机取点P ，则30BAP ∠

则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为() A．4n m B． 2n m C． 4m n D． 2m n 5．（2016?新课标Ⅰ）某公司的班车在7:00，8:00，8:30发车，小明在7:50至8:30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是() A． 1 3 B． 1 2 C． 2 3 D． 3 4 6．（2016?新课标Ⅱ）某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯持续时间为40秒．若一名行人来到该路口遇到红灯，则至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为() A． 7 10 B． 5 8 C． 3 8 D． 3 10 7．（2015?福建）如图，矩形ABCD中，点A在x轴上，点B的坐标为(1,0)，且点C与点D 在函数 1,0 ()1 1,0 2 x x f x x x + ? ? =? -+< ?? … 的图象上，若在矩形ABCD内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等于() A． 1 6 B． 1 4 C． 3 8 D． 1 2 8．（2015?陕西）设复数(1)( z x yi x =-+，) y R ∈，若||1 z?，则y x …的概率为() A． 31 42π +B． 11 2π +C． 11 2π -D． 11 42π - 9．（2015?山东）在区间[0，2]上随机地取一个数x，则事件“ 1 2 1 1log()1 2 x -+ 剟”发生的概率为() A． 3 4 B． 2 3 C． 1 3 D． 1 4 10．（2014?陕西）从正方形四个顶点及其中心这5个点中任取2个点，则这2个点的距离小于该正方形边长的概率为() A． 1 5 B． 2 5 C． 3 5 D． 4 5

(完整word版)高中数学必修三 古典概型与几何概型

古典概型与几何概型 1.1基本事件的特点 ①任何两个基本事件都是互斥的； ②任何事件（除不可能事件）都可以表示成基本事件的和. 1.2古典概型 1.2.1古典概型的概念 我们把具有:①试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；②每个基本事件出现的可能性相等，两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称为古典概型. 1.2.2古典概型的概率公式: 如果一次试验中可能出现的结果有n 个，即此试验由n 个基本事件组成，而且所有结果出现的可能性都相等，那么每一个基本事件的概率都是 n 1 ，如果某个事件A 包含的结果有m 个基本事件，那么事件A 的概率()n m A P = . 1.3几何概型 1.3.1几何概型的概率公式： 在几何概型中，事件A 的概率的计算公式如下： ()积） 的区域长度（面积或体实验的全部结果所构成积） 的区域长度（面积或体构成事件A = A P 1．从长度为1，3，5，7，9五条线段中任取三条能构成三角形的概率是( ) A ． 2 1 B ． 10 3 C ． 5 1 D ． 5 2 2．甲、乙、丙三人随意坐下一排座位，乙正好坐中间的概率为( ) A ． 12 B ．13 C ． 14 D ．16 3．袋中有白球5只，黑球6只，连续取出3只球，则顺序为“黑白黑”的概率为( ) A ． 11 1 B ． 33 2 C ． 33 4 D ． 33 5 4．先后抛掷两枚均匀的正方体骰子（它们的六个面分别标有点数1，2，3，4，5，6），骰子 朝上的面的点数分别为X ，Y ，则1log 2=Y X 的概率为( ) A ． 6 1 B ． 36 5 C ． 121 D ．2 1

2019高考数学概率：几何概型

几何概型 【考点梳理】 1．几何概型的定义 如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称几何概型． 2．几何概型的两个基本特点 (1)无限性：在一次试验中可能出现的结果有无限多个． (2)等可能性：每个试验结果的发生具有等可能性． 3．几何概型的概率公式 P (A )＝ 构成事件A 的区域长度面积或体积 试验的全部结果所构成的区域长度面积或体积 . 【考点突破】 考点一、与长度(角度)有关的几何概型 【例1】(1)在长为12 cm 的线段AB 上任取一点C ，现作一矩形，邻边长分别等于线段AC ， CB 的长，则该矩形的面积大于20 cm 2的概率为( ) A ．16 B ．13 C ．23 D ．45 (2)如图所示，四边形ABCD 为矩形，AB ＝3，BC ＝1，在∠DAB 内作射线AP ，则射线AP 与线段BC 有公共点的概率为________． [答案] (1) C (2) 1 3 [解析] (1)设|AC |＝x ，则|BC |＝12－x ，所以x (12－x )>20，解得2

P ′在C ''B 上发生”． 又在Rt△ABC 中，易求∠BAC ＝∠B ′AC ′＝π 6 . 故所求事件的概率P ＝ C D l l ''B 'B ＝π6·1π2 ·1＝13 . 【类题通法】 1．解答几何概型问题的关键在于弄清题中的考查对象和对象的活动范围，当考查对象为点，且点的活动范围在线段上时，用“线段长度”为测度计算概率，求解的核心是确定点的边界位置． 2．当涉及射线的转动，扇形中有关落点区域问题时，应以角对应的弧长的大小作为区域度量来计算概率．事实上，当半径一定时，曲线弧长之比等于其所对应的圆心角的弧度数之比． 【对点训练】 1．某公司的班车在7：30，8：00，8：30发车，小明在7：50至8：30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是( ) A ．1 3 B ．12 C ．23 D ．34 [答案] B [解析] 如图，7：50至8：30之间的时间长度为40分钟，而小明等车时间不超过10分钟是指小明在7：50至8：00之间或8：20至8：30之间到达发车站，此两种情况下的时间长度之和为20分钟，由几何概型概率公式知所求概率为P ＝2040＝1 2 .故选 B. 2．如图所示，在等腰直角三角形ABC 中，过直角顶点C 在∠ACB 内部任作一条射线CM ，与 AB 交于点M ，则AM

人教版高中数学必修三 习题：第三章3.3几何概型

第三章 3.3 几何概型 3.3.1 几何概型 3.3.2 均匀随机数的产生 A 级 基础巩固 一、选择题 1．下列关于几何概型的说法中，错误的是( ) A ．几何概型是古典概型的一种，基本事件都具有等可能性 B ．几何概型中事件发生的概率与它的位置或形状无关 C ．几何概型在一次试验中可能出现的结果有无限多个 D ．几何概型中每个结果的发生都具有等可能性 解析：几何概型和古典概型是两种不同的概率模型． 答案：A 2．有下列四个游戏盘，将它们水平放稳后，向上面扔一颗小玻璃球，若小球落在阴影部分，则可中奖，小明要想增加中奖机会，应选择的游戏盘是( ) 解析：A 中奖概率为38，B 中奖概率为14，C 中奖概率为13，D 中奖概率为1 3. 答案：A 3．在400毫升自来水中有一个大肠杆菌，今从中随机取出2毫升水样放到显微镜下观察，则发现大肠杆菌的概率为( ) A ．0.008 B ．0.004 C ．0.002 D ．0.005 答案：D 4．在2016年春节期间，3路公交车由原来的每15分钟一班改为现在的每10分钟一班，在车站停1分钟，则乘客到达站台立即乘上车的概率是( ) A.110 B.19 C.111 D.9 10 解析：记“乘客到达站台立即乘上车”为事件A ，则A 所占时间区域长度为1分钟，而整个区域的时间长度为10分钟，故由几何概型的概率公式，得P (A )＝110 . 答案：A

5．在腰长为2的等腰直角三角形内任取一点，则该点到此三角形的直角顶点的距离小于1的概率为( ) A.π16 B.π8 C.π4 D. π2 解析：该点到此三角形的直角顶点的距离小于1，则此点落在以直角顶点为圆心、1为半径的14圆内．所以所求的概率为14 π12 ×2×2＝π8 . 答案：B 二、填空题 6．在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1内随机抽取一点，则该点在三棱锥A 1-ABC 内的概率是________． 解析：P ＝VA 1-ABC VABCD -A 1B 1C 1D 1＝1 6 . 答案：1 6 7．某人对某台的电视节目进行了长期的统计后得出结论，他任意时间打开电视机看该台节目时，看不到广告的概率为 9 10 ，那么该台每小时约有________分钟的广告． 解析：60×??? ?1－910＝6(分钟)． 答案：6 8．有一根长度为3 m 的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得的两段的长度都不小于1 m 的概率是________． 解析：从每一个位置剪断都是一个基本事件，剪断位置可以是长度为3 m 的绳子上的任意一点． 如上图，记“剪得两段的长都不小于1 m ”为事件A .把绳子三等分，于是当剪断位置处在中间一段上时，事件A 发生．由于中间一段的长度等于绳长的1 3，于是事件A 发生的概率 P (A )＝13 . 答案：1 3 三、解答题 9．一海豚在水池中自由游弋，水池为长30 m 、宽20 m 的长方形，求此刻海豚嘴尖离岸边不超过2 m 的概率．

古典概型与几何概型

古典概型与几何概型 古典概型与几何概型 【知识网络】 1． 理解古典概型，掌握古典概型的概率计算公式；会用枚举法计算一些随机事件所含的基 本事件数及事件发生的概率。 2． 了解随机数的概念和意义，了解用模拟方法估计概率的思想；了解几何概型的基本概念、 特点和意义；了解测度的简单含义；理解几何概型的概率计算公式，并能运用其解决一些简单的几何概型的概率计算问题。 【典型例题】 [例1]（1）如图所示，在两个圆盘中，指针在本圆盘每个数所在区域的机会均等，那么两个指针同时落在奇数所在区域的概率是 （ ） A ． 4 9 B ．2 9 C ．23 D ．13 （2）先后抛掷两枚均匀的正方体骰子（它们的六个面分别标有点数1、2、3、4、5、6）， 骰子朝上的面的点数分别为X 、Y ，则1log 2 Y X 的概率为 （ ） A ． 6 1 B ． 36 5 C ． 12 1 D ． 2 1 （3）在长为18cm 的线段AB 上任取一点M ，并以线段AM 为边作正方形，则这个正方形 的面积介于36cm 2与81cm 2之间的概率为 （ ） A ． 56 B ． 12 C ．13 D ． 16 （4）向面积为S 的△ABC 内任投一点P ，则随机事件“△PBC 的面积小于3 S ”的概率为 ． （5）任意投掷两枚骰子，出现点数相同的概率为 ． [例2]考虑一元二次方程x 2+mx+n=0，其中m ，n 的取值分别等于将一枚骰子连掷两次先后出现的点数，试求方程有实根的概率。 [例3]甲、乙两人约定于6时到7时之间在某地会面，并约定先到者应等候另一个人一刻钟， 过时即可离去．求两人能会面的概率．

高一数学必修二测试题及答案

A C 1 即墨实验高中高一数学周清自主 检 测 题 命题人：吴汉卫 审核人：金文化 时间：120分钟 №：08 一、选择题：(本大题共12小题，每小题5分，共60分) 1 ．已知直线l 的斜率为2,且过点 ),3(),2,1(m B A --,则m 的值为 （ ） A ．6 B ．10 C ．2 D ．0 2 ．正方体的内切球与外接球的半径之比为 ） A ．3∶1 B ．3∶2 C ． 1∶3 D ．2∶3 3 ．平行线0943=-+y x 和 0286=++y x 的距离是 （ ） A ．5 8 B ．2 C ．5 11 D ．5 7 4 ．设l ，m 是两条不同的直线，α是一个 平面，则下列命题正确的是 （ ） A ．若l m ⊥，m α?，则l α⊥ B ．若l α⊥， l m //，则m α⊥ C ．若l α//，m α?，则l m // D ．若l α//，m α//，则l m // 5 ．若直线l 过点3 (3,)2 -- 且被圆2225x y +=截得的弦长为8,则直线l 的方程是 （ ） A ．3x =- B ．332 x =-=-或y C ．34150x y ++= D ．340x y +x=-3或 6 ．已知直线02)1(:1=-++y x a l 与直 线01)22(:2=+++y a ax l 互相垂直,则实数a 的值为 （ ） A ．-1或2 B ．-1或-2 C ．1或2 D ．1或-2 7 ．无论m,n 取何实数值,直线 (3m-n)x+(m+2n)y-n=0都过定点P,则P 点坐标为 A ．(-1,3) B ．)2 3,21(- C ．)3,1(- 8 ．已知三棱锥的三视图如 图所示,其中侧视图为直角三角形, 俯视图为等腰直角三角形,则此三棱锥的体积等于 （ ） A ．3 B C D 9.圆1C :22 2880x y x y +++-=与圆 2C :224420x y x y +-+-=的位置 关系是 A ．相交 B ．外切 C ．内切 10．若使得方程 0162=---m x x 有 实数解,则实数m 的取值范围为 11．如图，已知长方体1111ABCD A B C D -中， 14,2 AB BC CC ===,则直线1BC 和平面 11DBB D 所成的正弦值等于 A ．2 B ．2 C ． 5 D 正视 俯视

(完整word版)2019届高考数学专题二十几何概型总结练习题及答案

专题二十 几何概型 1.长度类几何概型 例1：已知函数()2 2f x x x =--，[]5,5x ∈-，在定义域内任取一点0x ，使()00f x ≤的概 率是（ ） A ．1 10 B ．2 3 C ．3 10 D ．4 5 【答案】C 【解析】先解出()00f x ≤时0x 的取值范围：22012x x x --≤?-≤≤， 从而在数轴上[]1,2-区间长度占[]5,5-区间长度的比例即为事件发生的概率，∴ 3 10P = ，故选C ． 2．面积类几何概型 （1）图形类几何概型 例2-1：如图所示，在矩形ABCD 中，2AB a =，AD a =，图中阴影部分是以AB 为直径的半圆，现在向矩形ABCD 内随机撒4000粒豆子（豆子的大小忽略不计），根据你所学的概率统计知识，下列四个选项中最有可能落在阴影部分内的豆子数目是（ ） A ．1000 B ．2000 C ．3000 D ．4000 【答案】C 【解析】在矩形ABCD 中，2AB a =，AD a =，面积为22a ，半圆的面积为21 2a π， 故由几何概型可知，半圆所占比例为4π ，随机撒4000粒豆子，

落在阴影部分内的豆子数目大约为3000，故选C ． （2）线性规划类几何概型 例2-2：甲乙两艘轮船都要在某个泊位停靠6小时，假定他们在一昼夜的时间段中随机地到达，试求这两艘船中至少有一艘在停泊位时必须等待的概率（ ） A ．1 4 B ．1 3 C ．3 4 D ．7 16 【答案】D 【解析】设甲船到达的时间为x ，乙船到达的时间为y ， 则所有基本事件构成的区域 满足024 024x y ≤≤≤≤??? ， 这两艘船中至少有一艘在停泊位时必须等待包含的基本事件构成的区域A 满足 0240246x y x y ?≤≤? ≤≤??-≤? ，作出对应的平面区域如图所示： 这两艘船中至少有一艘在停泊位时必须等待的概率为()18187 1242416 S P A S Ω ?==- =?阴，故选D ． （3）利用积分求面积 例2-3：如图，圆222:O x y +=π内的正弦曲线sin y x =与x 轴围成的区域记为M （图中阴影部分），随机往圆O 内投一个点A ，则点A 落在区域M 内的概率是（ ）

2015届高考数学一轮总复习 10-5古典概型与几何概型

2015届高考数学一轮总复习 10-5古典概型与几何概型 基础巩固强化 一、选择题 1．已知α、β、γ是不重合平面，a 、b 是不重合的直线，下列说法正确的是( ) A ．“若a ∥b ，a ⊥α，则b ⊥α”是随机事件 B ．“若a ∥b ，a ?α，则b ∥α”是必然事件 C ．“若α⊥γ，β⊥γ，则α⊥β”是必然事件 D ．“若a ⊥α，a ∩b ＝P ，则b ⊥α”是不可能事件 [答案] D [解析] ???? ?a ∥b a ⊥α?b ⊥α，故A 错； ? ??? ?a ∥b a ?α?b ∥α或b ?α，故B 错；当α⊥γ，β⊥γ时，α与β可能平行，也可能相交(包括垂直)，故C 错；如果两条直线垂直于同一个平面，则此二直线必平行，故D 为真命题． 2．(文)4张卡片上分别写有数字1、2、3、4，从这4张卡片中随机抽取2张，则取出的2张卡片上的数字之和为奇数的概率为( ) A.13 B.1 2 C.2 3 D.3 4 [答案] C [解析] 取出两张卡片的基本事件构成集合Ω＝{(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)}共6个基本事件． 其中数字之和为奇数包含(1,2)，(1,4)，(2,3)，(3,4)共4个基本事件， ∴所求概率为P ＝46＝23 . (理)(2013·宿州质检)一颗质地均匀的正方体骰子，其六个面上的点数分别为1、2、3、4、5、6，将这颗骰子连续抛掷三次，观察向上的点数，则三次点数依次构成等差数列的概率为( ) A.112 B.1 18 C.136 D.7108 [答案] A [解析] 连续抛掷三次共有63＝216(种)情况，记三次点数分别为a 、b 、c ，则a ＋c ＝2b ，所以a ＋c 为偶数，则a 、c 的奇偶性相同，且a 、c 允许重复，一旦a 、c 确定，b 也唯一确定，故a ，c 共有2×32＝18(种)，所以所求概率为18216＝1 12 ，故选A. 3．(文)(2013·惠州调研)一个袋中装有2个红球和2个白球，现从袋中取出1个球，然后放回袋中再取出1个球，则取出的2个球同色的概率为( )

古典概型、几何概型复习知识点和综合习题精编版

知识点一：变量间的相关系数 1.两变量之间的关系 (1)相关关系——非确定性关系 (2)函数关系——确定性关系 2.回归直线方程：∧ ∧ ∧ +=a x b y ?? ??????? -=--=---=∧∧====∧∑∑∑∑x b y a x n x y x n y x x x y y x x b n i i n i i i n i i n i i i ,)())((1 2 21121 例题分析 例1：某种产品的广告费x （单位：百万元）与销售额y （单位：百万元）之间有一组对应数据如下表所示，变量y 和x 具有线性相关关系： x （百万元） 2 4 5 6 8 y （百万元） 30 40 60 50 70 （1）画出销售额与广告费之间的散点图；（2）求出回归直线方程。 针对练习 1、对变量x, y 有观测数据理力争（1x ，1y ）（i=1,2,…，10），得散点图左；对变量u ，v 有观测数据（1 u ， 1v ）（i=1,2,…，10 ）,得散点图右. 由这两个散点图可以判断（ ） （A ）变量x 与y 正相关，u 与v 正相关 （B ）变量x 与y 正相关，u 与v 负相关 （C ）变量x 与y 负相关，u 与v 正相关 （D ）变量x 与y 负相关，u 与v 负相关 2．在下列各图中，每个图的两个变量具有相关关系的图是（ ）

（1） （2） （3） （4） A ．（1）（2） B ．（1）（3） C ．（2）（4） D ．（2）（3） 3. 下表是某小卖部一周卖出热茶的杯数与当天气温的对比表： 气温/℃ 18 13 10 4 -1 杯数 24 34 39 51 63 若热茶杯数y 与气温x 近似地满足线性关系，则其关系式最接近的是（ ） A. 6y x =+ B. 42y x =+ C. 260y x =-+ D. 378y x =-+ 知识点二：概率 一、随机事件概率： 事件：随机事件：可能发生也可能不发生的事件。 确定性事件: 必然事件（概率为1）和不可能事件（概率为0） （1）必然事件：在条件S 下，一定会发生的事件，叫相对于条件S 的必然事件； （2）不可能事件：在条件S 下，一定不会发生的事件，叫相对于条件S 的不可能事件； （3）确定事件：必然事件和不可能事件统称为相对于条件S 的确定事件； （4）随机事件：在条件S 下可能发生也可能不发生的事件，叫相对于条件S 的随机事件； 随机事件的概率(统计定义)：一般的，如果随机事件 A 在n 次实验中发生了m 次，当实验的 次数n 很大时，我们称事件A 发生的概率为()n m A P ≈ 说明：① 一个随机事件发生于具有随机性，但又存在统计的规律性，在进行大量的重复事件时某个事件是否发生，具有频率的稳定性 ，而频率的稳定性又是必然的，因此偶然性和必然性对立统一 ② 不可能事件和确定事件可以看成随机事件的极端情况 ③ 随机事件的频率是指事件发生的次数和总的试验次数的比值，它具有一定的稳定 性，总在某个常数附近摆动，且随着试验次数的不断增多，这个摆动的幅度越来越小，而这个接近的某个常数，我们称之为概事件发生的概率 ④ 概率是有巨大的数据统计后得出的结果，讲的是一种大的整体的趋势，而频率是具 体的统计的结果 ⑤ 概率是频率的稳定值，频率是概率的近似值 二、概率的基本性质： 基本概念： （1）事件的包含、并事件、交事件、相等事件 （2）若A ∩B 为不可能事件，即A ∩B=ф，那么称事件A 与事件B 互斥； （3）若A ∩B 为不可能事件，A ∪B 为必然事件，那么称事件A 与事件B 互为对立事件； （4）当事件A 与B 互斥时，满足加法公式：P(A ∪B)= P(A)+ P(B)；若事件A 与B 为对立事件， 则A ∪B 为必然事件，所以P(A ∪B)= P(A)+ P(B)=1，于是有P(A)=1—P(B) 概率必须满足三个基本要求：① 对任意的一个随机事件A ，有()10≤≤A P ② ()()0,1,=Φ=ΩΦΩP P 则有可能事件分别表示必然事件和不和用

高一数学必修二测试题及答案

C D A 1 D 1 B 1 C 1 A 命题人：吴汉卫 审核人：金文化 时间：120分钟 №：08 一、选择题：(本大题共12小题，每小题5分，共60分) 1 ．已知直线l 的斜率为2,且过点),3(),2,1(m B A --,则m 的值为 （ ） A ．6 B ．10 C ．2 D ．0 2 ．正方体的内切球与外接球的半径之比为 （ ） A ．3∶1 B ．3∶2 C ． 1∶3 D ．2∶3 3 ．平行线0943=-+y x 和0286=++y x 的距离是 （ ） A ． 5 8 B ．2 C ． 5 11 D ． 5 7 4 ．设l ，m 是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是 （ ） A ．若l m ⊥，m α?，则l α⊥ B ．若l α⊥，l m //，则m α⊥ C ．若l α//，m α?，则l m // D ．若l α//，m α//，则l m // 5 ．若直线l 过点3(3,)2 --且被圆22 25x y +=截得的弦长为8,则直线l 的方程是 （ ） A ．3x =- B ．332 x =-=- 或y C ．34150x y ++= D ．34150x y ++=x=-3或 6 ．已知直线02)1(:1=-++y x a l 与直线01)22(:2=+++y a ax l 互相垂直,则实数a 的 值为 （ ） A ．-1或2 B ．-1或-2 C ．1或2 D ．1或-2 7 ．无论m,n 取何实数值,直线 (3m-n)x+(m+2n)y-n=0都过定点P ,则P 点坐标为 （ ） A ．(-1,3) B ．)2 3,21(- C ．)5 3,51(- D ．)7 3,71(- 8 ．已知三棱锥的三视图如图所示,其中侧视图为直角三角形, 俯视图为等腰直角三角形,则此三棱锥的体积等于 （ ） A ．23 B ．3 C ．223 D ．23 9.圆1C :2 2 2880x y x y +++-=与圆2C :2 2 4420 x y x y +-+-=的位置关系是 （ ） A ．相交 B ．外切 C ．内切 D ．相离 10．若使得方程 0162=---m x x 有实数解,则实数m 的取值范围为 2424.≤≤-m A 244.≤≤-m B 44.≤≤-m C 244.≤≤m D 11．如图，已知长方体1111ABCD A B C D -中， 14,2AB BC CC ===,则直线1BC 和平面11DBB D 所成 的正弦值等于 （ ） A ． 32 B ．52 C ． 105 D ．10 10 12．若直线4=+by ax 与圆4:22=+y x C 有两个不同交点，则点),(b a P 与圆C 的位置关 系是 （ ） A ．在圆外 B ．在圆内 C ．在圆上 D ．不确定 二、填空题（每小题4分，共16分） 13．经过点A(-3,4)，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为_________________. 14．若一个正三棱柱的三视图及其尺寸如图所示(单位:cm), 则该几何体的体积是 ________________cm 3. 15．以点(-3,4)为圆心且与直线5x y +=相切的圆的标准方 程是________. 16．已知m 、n 是两条不重合的直线，α、β、γ是三个两两 不重合的平面，给出下列命题： ①若m ∥β，n ∥β，m 、n ?α，则α∥β； ②若α⊥γ，β⊥γ，α∩β＝m ，n ?γ，则m ⊥n ； ③若m ⊥α，α⊥β，m ∥n ，则n ∥β； ④若n ∥α，n ∥β，α∩β＝m ，那么m ∥n ； 其中所有正确命题的序号是 ． 三、解答题（共74分） 17．已知直线l 经过直线3420x y +-=与直线220x y ++=的交点P ，且垂直于直线 正视 俯视 1 3

全国高考数学复习微专题：几何概型

全国高考数学复习微专题：几何概型 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN

几何概型 一、基础知识： 1、几何概型： 每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为几何概型 2、对于一项试验，如果符合以下原则： （1）基本事件的个数为无限多个 （2）基本事件发生的概率相同 则可通过建立几何模型，利用几何概型计算事件的概率 3、几何概型常见的类型，可分为三个层次： （1）以几何图形为基础的题目：可直接寻找事件所表示的几何区域和总体的区域，从而求出比例即可得到概率。 （2）以数轴，坐标系为基础的题目：可将所求事件转化为数轴上的线段（或坐标平面的可行域），从而可通过计算长度（或面积）的比例求的概率（将问题转化为第（1）类问题） （3）在题目叙述中，判断是否运用几何概型处理，并确定题目中所用变量个数。从而可依据变量个数确定几何模型：通常变量的个数与几何模型的维度相等：一个变量→数轴，两个变量→平面直角坐标系，三个变量→空间直角坐标系。从而将问题转化成为第（2）类问题求解 二、典型例题： 例1：已知函数()[]22,5,5f x x x x =--∈-，在定义域内任取一点0x ，使()00f x ≤的概率是（ ） A. 110 B. 23 C. 310 D. 45

思路：先解出()00f x ≤时0x 的取值范围：22012x x x --

古典概型与几何概型

古典概型与几何概型 基础训练： 1．甲乙两人从{0，1，2，3，4，5}中各取一个数a,b,则“恰有a+b 3”的概率等于______________ 2.箱子中有形状、大小都相同的3只红球和2只白球，先摸出1只球，记下颜色后放回箱子，然后再摸出1只球，则摸到两只不同颜色的球的概率为_____ 3.现有5根竹竿，它们的长度（单位：m）分别为2.5，2.6，2.7，2.8，2.9，若从中一次随机抽取2根竹竿，则它们的长度恰好相差0.3m的概率为 4.若某学校要从5名男生和2名女生中选出3人作为上海世博会的志愿者，则选出的志愿者中男女生均不少于1名的概率是 5.已知甲、乙、丙三人在3天节日中值班，每人值班1天，那么甲排在乙前面值班的 概率为_________ 6.一只口袋装有形状大小都相同的6只球，其中有2只白球，2只红球，2只黄球，从中一次随机摸出2只球，则2只球都是红色的概率为_______，2只球同色的概率为________，恰有一只球是白球的概率为_________ 典型例题： 袋中有大小、形状相同的红、黑球各一个，现一次有放回地随机摸取3次，每次摸取一个球，（I）试问：一共有多少种不同的结果？请列出所有可能的结果；（Ⅱ）若摸到红球时得2分，摸到黑球时得1分，求3次摸球所得总分为5的概率。

设有关于x 的一元二次方程2220x ax b ++=．（Ⅰ）若a 是从0123， ，，四个数中任取的一个数，b 是从012，，三个数中任取的一个数，求上述方程有实根的概率．（Ⅱ）若a 是从区间[03]，任取的一个数，b 是从区间[02]，任取的一个数，求上述方程有实根的概率． 9．当A ，B ∈{1，2，3}时，在构成的不同直线Ax －By ＝0中，任取一条，其倾斜角小于45?的概率是 ． 检测与反馈： 1.已知集合{}21503x A x |x ,B x |x -??=-<<=>??-?? ，在集合A 任取一个元素x ，则事件“x A B ∈?”的概率是 ________ ． 2.一架飞机向目标投弹，击毁目标的概率为0.2，目标未受损的概率为0.4，则使目标受损但未被击毁的概率为_______ 3．已知米粒等可能地落入如图所示的四边形内，如果通过 大量的实验发现米粒落入△BCD 内的频率稳定在 附近，那么点和点到直线的距离之比约为 ． 4．如图所示，墙上挂有一边长为a 的正方形木板，它的四个角的 空白部分都是以正方形的顶点为圆心，半径为2a 的圆弧，某人向此 板投镖，假设每次都能击中木板，且击中木板上每个点的可能性 都一样，则他击中阴影部分的概率是__ ___． 5.分别在区间[1,6]和[2,4]内任取一实数，依次记为m 和n ，则m n >的概率为 ABCD 49A C BD D

古典概型与几何概型的区别

古典概型和几何概型的意义和主要区别 在初中阶段的教学过程中，作为教师，理解古典概型和几何概型的意义和主要区别，有利于从事相应的教学。几何概型是在学习了古典概型之后，将等可能事件的概念从有限向无限的延伸，这两种概型，在初中阶段都呈现了出来，作为教师，理解古典概型和几何概型的意义和主要区别，有利于培养学生的建模能力、逻辑推理能力和空间观念，下面我就两种概型的意义、两种概型的主要区别以及怎样应用它们发展学生的诸多能力加以简单介绍。 一、古典概型和几何概型的意义 （一）.几何概型的定义： 如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例,则称这样的概率模型为几何概率模型,简称为几何概型. 1.几何概型的特点: (1)试验中所有可能出现的基本事件有无限多个 ．．．．. (2)每个基本事件出现的可能性相等 ．．．．．. 2.几何概型求事件A的概率公式： P(A)=构成事件A的区域长度(面积或体积)/ 实验的全部结果所构成的区域长度(面积或体积) （二）古典概型的意义大家都很熟知，此处不在介绍

1. 古典概型的特点： (1)试验中所有可能出现的基本事件只有有限个 ．．．. (2)每个基本事件出现的可能性相等 ．．．．．. 2. 古典概型求事件A的概率公式： P(A)=事件A可能发生的结果数/实验发生的所有等可能的结果数二. 古典概型与几何概型的主要区别 几何概型是另一类等可能概型，它与古典概型的区别在于试验的结果不是有限个，利用几何概型可以很容易举出概率为0的事件不是不可能事件的例子，概率为1的事件不是必然事件的例子。 三.利用不同概率模型,培养学生的建模能力及实际应用能力（一）结合实例进行建模 题组一： 情境1、抛掷两颗骰子，求出现两个“6点”的概率 情景2、1号口袋中装有两只红球一只白球，2号口袋中装有一只红球一只白球，这些球处颜色不同外，其他都相同，小明从两个袋各摸一球，问摸出的两球异色的概率是多少？ 情景3、一口袋中装有3只红球2只白球，小明从口袋里摸出一球放回去，摇匀后，在摸出一球，问两次摸出的球为异色的概率是多少？

高中数学必修二练习题(人教版,附答案)

高中数学必修二练习题（人教版，附答案）本文适合复习评估，借以评价学习成效。 一、选择题 1. 已知直线经过点A(0,4)和点B（1，2），则直线AB的斜率为（） A.3 B.-2 C. 2 D. 不存在 2．过点且平行于直线的直线方程为（） A． B．C．D． 3. 下列说法不正确的 ．．．．是（） A.空间中，一组对边平行且相等的四边形是一定是平行四边形； B．同一平面的两条垂线一定共面； C. 过直线上一点可以作无数条直线与这条直线垂直，且这些直线都在同一个平面内； D. 过一条直线有且只有一个平面与已知平面垂直. 4．已知点、，则线段的垂直平分线的方程是（） A． B． C． D． 5. 研究下在同一直角坐标系中，表示直线与的关系 6. 已知a、b是两条异面直线，c∥a，那么c与b的位置关系（）

A.一定是异面 B.一定是相交 C.不可能平行 D.不可能相交 7. 设m、n是两条不同的直线，是三个不同的平面，给出下列四个命题： ①若，，则②若，，，则 ③若，，则④若，，则 其中正确命题的序号是( ) （A）①和②（B）②和③（C）③和④（D）①和④ 8. 圆与直线的位置关系是（） A．相交 B.相切 C.相离 D.直线过圆心 9. 两圆相交于点A（1，3）、B（m，－1），两圆的圆心均在直线x－y+c=0上，则m+c的值为（） A．－1 B．2 C．3 D．0 10. 在空间四边形ABCD各边AB、BC、CD、DA上分别取E、F、G、H四点，如果EF、GH相交于点P，那么( ) A．点P必在直线AC上 B.点P必在直线BD上 C．点P必在平面DBC内 D.点P必在平面ABC外 11. 若M、N分别是△ABC边AB、AC的中点，MN与过直线BC的平面β的位置关系是（ C ） A.MN∥β B.MN与β相交或MNβ C. MN∥β或MNβ D. MN∥β或MN与β相交或MNβ