巧用排序不等式解竞赛题
巧用排序不等式解竞赛题
定理 对于两个有序实数组: a a a n ≤≤≤ 21及b b b n ≤≤≤ 21,有
b a b a b a n n +++ 2211 (同序) b a b a b a n n ''22'11+++≥ (乱序) b a b a b a n n n 1121+++≥- (倒序)
其中b b b n ''
',,,21 是b b b n ,,,21 的任一排列,当且仅当
a a a n === 21或
b b b n === 21时等号成立.
略证:若a a j i <,b b j i <,则由
0))(()(>--=+-+b b a a b a b a b a b a j i j i i j j i j j i i
可知,在i , j 两个位置上,将同序改为倒序时,和值减少;将倒序改为同序时,和值增加,因而得两数组一对一对相乘后相加,同序时值最大,倒序时值最小.
例1 (美国第3届中学生数学竞赛题) 设a ﹑b ﹑c 是正实数,求证:
)
(3
abc c b a c b a c
b
a
++≥
证明: 不防设,0>≥≥c b a 则c b a lg lg lg ≥≥
据排序不等式有 :c a b c a b c c b b a a lg lg lg lg lg lg ++≥++
c b b a a c c c b b a a lg lg lg lg lg lg ++≥++
以上两式相加,再两边同加c c b b a a lg lg lg ++,整理得: )lg lg )(lg ()lg lg lg (3c b a c b a c c b b a a ++++≥++
即 )lg(3)lg(abc c
b a
c b a c b a ?++≥
故 )(3abc c b a c
b a
c b a ++≥
例2 (IMO 520-) 设 ,,,,21a a a k 为两两各不相同的正整数,求证: 对任何正整数n,均有
∑∑==≥n k n K k
k
k a 11
21
证明: 设a a a b b b n
n
,,,,,,2
1
2
1
是的从小到大的有序排列,即
b b b n ≤≤21,因为b i 是互不相同的正整数.则n b b b n
≥≥≥,,2,12
1
又因为n
2
2
2
1
1
1
13
2
>
>>
>
所以由排序不等式得:
n
a a a
n
2
2
2
1
2
+++ (乱序) n
b b b n
2
2
2
1
2
+++≥ (倒序)
n
1211+++≥
即 ∑∑==≥n
k n
k k
k k
a 1
1
2
1 成立. 例3 )(117IMO - 设),,2,1(,n i y x i i =是实数,且,21x x x n ≥≥≥
z z z y y y n n ≥≥≥≥≥≥ 2121,是y y y n ,,,21 的一个排列.
求证: ∑-∑-==≤n
i n
i z x y x i i i i 1
2
1
2
)()(
证明: 将原不等式展开整理得: z x z y x y i
n
i i
n
i i
n
i i
n
i i i ∑∑∑∑====-≤-1
1
2
11
2
22
因为∑∑===n
i n
i z y i i 1
2
1
2
∴只须证
y x z x i
n
i i
i
n i i
∑∑==≤1
1
而上式左边为乱序和,右边为同序和. 即由排序不等式得证.
高中数学第三讲柯西不等式与排序不等式3.3排序不等式自主训练新人教A版选修4_5
3.3 排序不等式 自主广场 我夯基我达标 1.已知a,b,c∈R+，则a3+b3+c3与a2b+b2c+c2a的大小关系是( ) A.a3+b3+c3>a2b+b2c+c2a B.a3+b3+c3≥a2b+b2c+c2a C.a3+b3+c3
高中数学竞赛解题方法篇(不等式)
高中数学竞赛中不等式的解法 摘要：本文给出了竞赛数学中常用的排序不等式，平均值不等式，柯西不等式和切比雪夫不等式的证明过程，并挑选了一些与这几类不等式相关的一些竞赛题进行了分析和讲解。 希望对广大喜爱竞赛数学的师生有所帮助。 不等式在数学中占有重要的地位，由于其证明的困难性和方法的多样性，而成为竞赛数学中的热门题型.在解决竞赛数学中的不等式问题的过程中，常常要用到几个著名的代数不等式：排序不等式、平均值不等式、柯西不等式、切比雪夫不等式.本文就将探讨这几个不等式的证明和它们的一些应用. 1．排序不等式 定理1 设1212...,...n n a a a b b b ≤≤≤≤≤≤，则有 1211...n n n a b a b a b -+++ (倒序积和) 1212...n r r n r a b a b a b ≤+++（乱序积和） 1122 ...n n a b a b a b ≤+++（顺序积和） 其中1,2,...,n r r r 是实数组1,2,...,n b b b 一个排列，等式当且仅当12...n a a a ===或 12...n b b b ===时成立.
（说明： 本不等式称排序不等式，俗称倒序积和乱序积和顺序积和.） 证明：考察右边不等式，并记1 2 12...n r r n r S a b a b a b =+++。 不等式 1 2 12...n r r n r S a b a b a b ≤+++的意义：当121,2,...,n r r r n ===时，S 达到 最大值1122 ...n n a b a b a b +++.因此，首先证明n a 必须和n b 搭配，才能使S 达到最大值.也即，设n r n <且n b 和某个()k a k n <搭配时有 .n n k n n r k r n n a b a b a b a b +≤+ （1-1） 事实上， ()()()0n n n n n k r k n n r n r n k a b a b a b a b b b a a +-+=--≥ 不等式（1-1）告诉我们当n r n <时，调换n b 和n r b 的位置（其余n-2项不 变），会使和S 增加.同理，调整好n a 和n b 后，再调整1n a -和1n b -会使和增加.经过n 次调整后，和S 达到最大值1122 ...n n a b a b a b +++，这就证明了 1212...n r r n r a b a b a b +++1122 ...n n a b a b a b ≤+++. 再证不等式左端, 由1211...,...n n n a a a b b b -≤≤≤-≤-≤≤-及已证明的不等式右端， 得 1211(...)n n n a b a b a b --+++1212(...)n r r n r a b a b a b ≥-+++
(完整版)均值不等式及其证明
1平均值不等式及其证明 平均值不等式是最基本的重要不等式之一，在不等式理论研究和证明中占有重要的位置。平均值不等式的证明有许多种方法，这里，我们选了部分具有代表意义的证明方法，其中用来证明平均值不等式的许多结论，其本身又具有重要的意义，特别是，在许多竞赛的书籍中，都有专门的章节介绍和讨论，如数学归纳法、变量替换、恒等变形和分析综合方法等，这些也是证明不等式的常用方法和技巧。 1.1 平均值不等式 一般地，假设12,,...,n a a a 为n 个非负实数，它们的算术平均值记为 12...,n n a a a A n +++= 几何平均值记为 112(...)n n n G a a a == 算术平均值与几何平均值之间有如下的关系。 12...n a a a n +++≥ 即 n n A G ≥， 当且仅当12...n a a a ===时，等号成立。 上述不等式称为平均值不等式，或简称为均值不等式。 平均值不等式的表达形式简单，容易记住，但它的证明和应用非常灵活、广泛，有多种不同的方法。为使大家理解和掌握，这里我们选择了其中的几种典型的证明方法。供大家参考学习。 1.2 平均值不等式的证明 证法一（归纳法） （1） 当2n =时，已知结论成立。 （2） 假设对n k =（正整数2k ≥）时命题成立，即对 0,1,2,...,,i a i k >=有 1 1212...(...)k k n a a a a a a k +++≥。 那么，当1n k =+时，由于
121 1 (1) k k a a a A k +++++= +，1k G +=， 关于121,,...,k a a a +是对称的，任意对调i a 与j a ()i j ≠，1k A +和1k G +的值不改变，因此不妨设{}1121min ,,...,k a a a a +=，{}1121max ,,...,k k a a a a ++= 显然111k k a A a ++≤≤，以及1111()()0k k k a A a A +++--<可得 111111()k k k k A a a A a a +++++-≥. 所以 1111211 1(1)...k k k k k k kA k A A a a a A A k k k +++++++-+++-= == 2111...()k k k a a a a A k ++++++-=≥即12111...()k k k k k A a a a a A +++≥+- 两边乘以1k A +，得 111211112111...()...()k k k k k k k k k k A a a A a a A a a a a G ++++++++≥+-≥=。 从而，有11k k A G ++≥ 证法二（归纳法） （1） 当2n =时，已知结论成立。 （2） 假设对n k =（正整数2k ≥）时命题成立，即对 0,1,2,...,,i a i k >=有 12...k a a a +++≥ 那么，当1n k =+时，由于
柯西不等式与排序不等式及其应用经典例题透析
经典例题透析 类型一：利用柯西不等式求最值 1．求函数的最大值． 思路点拨：利用不等式解决最值问题，通常设法在不等式一边得到一个常数，并寻找不等式取等号的条件．这个函数的解析式是两部分的和，若能化为ac+bd的形式就能利用柯西不等式求其最大值．也可以利用导数求解。 解析： 法一：∵且， ∴函数的定义域为，且， 当且仅当时，等号成立， 即时函数取最大值，最大值为 法二：∵且， ∴函数的定义域为 由， 得 即，解得 ∴时函数取最大值，最大值为. 总结升华：当函数解析式中含有根号时常利用柯西不等式求解．不等式中的等号能否取得是求最值问题的关键． 举一反三： 【变式1】（2011辽宁，24）已知函数f（x）=|x-2|-|x-5|。 （I）证明：-3≤f（x）≤3； （II）求不等式f（x）≥x2-8x+15的解集。 【答案】
(Ⅰ) 当时，． 所以．…………5分 (Ⅱ)由(Ⅰ)可知， 当时，的解集为空集； 当时，的解集为； 当时，的解集为． 综上，不等式的解集为．……10分 【变式2】已知，，求的最值. 【答案】 法一： 由柯西不等式 于是的最大值为，最小值为. 法二： 由柯西不等式 于是的最大值为，最小值为. 【变式3】设2x+3y+5z=29，求函数的最大值．【答案】 根据柯西不等式 ，
故。 当且仅当2x+1=3y+4=5z+6，即时等号成立， 此时， 评注：根据所求最值的目标函数的形式对已知条件进行配凑． 类型二：利用柯西不等式证明不等式 利用柯西不等式证明某些不等式显得特别方便，而利用柯西不等式的技巧也有很多。如常数的巧拆、结构的巧变、巧设数组等。 （1）巧拆常数： 2．设、、为正数且各不相等，求证： 思路点拨：∵、、均为正，∴为证结论正确只需证： 而，又，故可利用柯西不等式证明之。 证明： 又、、各不相等，故等号不能成立 ∴。 （2）重新安排某些项的次序： 3．、为非负数，+=1，，求证： 思路点拨：不等号左边为两个二项式积，，直接利用柯西不等式，得不到结论，但当把第二个小括号的两项前后调换一下位置，就能证明结论了。 证明：∵+=1
排序不等式及证明
四、排序不等式 （一）概念【9】： 设有两组实数 n a a a ，， ，???21 （1） n b b b ，， ，???21 （2） 满足 n a a a ≤???≤≤21 （3） n b b b ≤???≤≤21 （4） 另设 n c c c ,21???， ， （5） 是实数组（2）的一个排列，记 逆序积和1121b a b a b a S n n n +++=- 乱序积和n n c a c a c a S +++=2211' 似序积和n n b a b a b a S +???++=2211'' 那么 '''S S S ≤≤ 且等式成立当且仅当 n a a a =???==21 或者 n b b b =???==21 证明【9】： 1，预备知识 引理1（Abel 变换） 设（1）（2）为任意两组有序的实数组，令 ,010∑== =k i i k b B B ， 那么 k n k n k k k n n k k B a a B a b a ∑∑=-=---=11 11)( 事实上： =-=∑∑==-n k n k k k k k k B B a b a 111)(112111)()(B a B B a B B a n n n n n n +???+-+----- -???-----=-------)()(2221111n n n n n n n n n n B a B a B a B a B a 112)(B a a - ∑-=---=1 11)(n k k k k n n B a a B a 引理2 设实数组（2）满足（4）式，实数组（5）是实数组（2）的任意一个排列，那么显然有
高中数学柯西不等式与排序不等式
3.13.2柯西不等式 1.二元均值不等式有哪几种形式？ 答案：(0,0)2 a b a b +≥ >>及几种变式. 2.已知a 、b 、c 、d 为实数，求证22222()()()a b c d ac bd ++≥+ 证法：（比较法）22222()()()a b c d ac bd ++-+=….=2()0ad bc -≥ 定理：若a 、b 、c 、d 为实数，则22222()()()a b c d ac bd ++≥+. ||ac bd + ||||ac bd ≥+ ac bd ≥+. 定理：设1212,,,,,,,n n a a a b b b R ∈L L ，则 （当且仅当12 1 2 n n a a a b b b === L 时取等号，假设0i b ≠） 变式：222212121 ()n n a a a a a a n ++≥++???+L . 定理：设,αβu r u r 是两个向量，则||||||αβαβ≤u r u r u r u r g . 等号成立？（βu r 是零向量，或者,αβu r u r 共线） 练习：已知a 、b 、c 、d . 证法：（分析法）平方→应用柯西不等式→讨论：其几何意义？（构造三角形） 三角不等式： ① 定理：设1122,,,x y x y R ∈ 变式：若112233,,,,,x y x y x y R ∈，则结合以上几何意义，可得到怎样的三角不等式？ 例1 ：求函数y = 分析：如何变形？→构造柯西不等式的形式 变式：y = ,,,,,)y a b c d e f R +=∈ 例2：若,x y R +∈，2x y +=，求证：112x y +≥. 分析：如何变形后利用柯西不等式？（注意对比→构造） 要点： 2222111111()()]22x y x y x y +=++=++≥… 讨论：其它证法（利用基本不等式）
高中数学不等式知识点总结
弹性学制数学讲义 不等式（4课时） ★知识梳理 1、不等式的基本性质 ①（对称性）a b b a >?> ②（传递性）,a b b c a c >>?> ③（可加性）a b a c b c >?+>+ （同向可加性）d b c a d c b a +>+?>>, （异向可减性）d b c a d c b a ->-?<>, ④（可积性）bc ac c b a >?>>0, bc ac c b a 0, ⑤（同向正数可乘性）0,0a b c d ac bd >>>>?> （异向正数可除性）0,0a b a b c d c d >>< ⑥（平方法则） 0(,1)n n a b a b n N n >>?>∈>且 ⑦（开方法则）0(,1)n n a b a b n N n >>?>∈>且 ⑧（倒数法则） b a b a b a b a 110;110>?<<> 2、几个重要不等式 ①()222a b ab a b R +≥∈，,（当且仅当a b =时取""=号）. 变形公式：22 .2a b ab +≤ ②（基本不等式） 2a b ab +≥ ()a b R +∈，,（当且仅当a b =时取到等号）. 变形公式： 2a b a b +≥ 2 .2a b ab +??≤ ??? 用基本不等式求最值时（积定和最小，和定积最大），要注意满足三个条件“一正、二定、
三相等”. ③（三个正数的算术—几何平均不等式） 33a b c abc ++≥()a b c R +∈、、（当且仅当a b c ==时取到等号）. ④()222a b c ab bc ca a b R ++≥++∈， （当且仅当a b c ==时取到等号）. ⑤ 3333(0,0,0)a b c abc a b c ++≥>>> （当且仅当a b c ==时取到等号）. ⑥0,2b a ab a b >+≥若则（当仅当a=b 时取等号） 0,2b a ab a b <+≤-若则（当仅当a=b 时取等号） ⑦b a n b n a m a m b a b <++<<++<1，（其中000)a b m n >>>>，， 规律：小于1同加则变大，大于1同加则变小. ⑧220;a x a x a x a x a >>?>?<->当时，或 22. x a x a a x a
柯西不等式与排序不等式练习题
柯西不等式练习题 1. 设a 、b 、c 为正数，求()4936++a b c a b c ?? ++ ?? ?的最小值。 2.设,,x y z R ∈且2225x y z ++=，则23x y z ++的最大值为，此时x=y=z= 3. 设,,x y z R ∈且2 2 2 4x y z ++=，则22x y z -+的最大值为，最小值 4.设,,x y z R ∈且226x y z --=，则222x y z ++的最小值为，此时x=y=z= 5.设,,x y z R ∈且233x y z -+=，则()2 221x y z +-+的最小值为，此时y= 6.设,,x y z R ∈且2280x y z +++=，则()()()2 2 2 123x y z -+++-的最小值？此时x 、y 、z 的取值？ 7.已知,x y R ∈，2 2 36x y +≤，求2x y +的最值 8设23529x y z ++=，求函数y 9.若,,,a b c d R + ∈且满足，则最大值为 证明题： 1. 设a 、b 、c 为正数且各不相等，求证：2229a b b c c a a b c ++>+++++ 2. a 、b 为非负数，a+b=1，12,x x R +∈，求证：()()121212ax bx bx ax x x ++≥ 3. 若a b c >>，求证：114a b b c a c +>--- 4. 若,,a b c R + ∈，求证：32 a b c b c c a a b ++≥+++ 5. 若,,a b c R + ∈，求证：222 a b c a b c b c a ++≥++
人教版数学高二A版选修4-5教材习题点拨3.3排序不等式
高中数学-打印版 精心校对完整版 教材习题点拨 习题3.3 1．证明：不妨设a 1≤a 2≤…≤a n ，由乱序和≤顺序和，可得 a 1c 1＋a 2c 2＋…＋a n c n ≤a 1a 1＋a 2a 2＋…＋a n a n ＝a 21＋a 22＋…＋a 2n . 2．证明：不妨设a ≥b ≥c ＞0，于是a 2≥b 2≥c 2. 由排序不等式，可得 a 3＋ b 3＋ c 3≥a 2b ＋b 2c ＋c 2a ，a 3＋b 3＋c 3≥a 2c ＋b 2a ＋c 2b ， ∴2(a 3＋b 3＋c 3)≥a 2(b ＋c )＋b 2(a ＋c )＋c 2(a ＋b )． 3．证明：不妨设a 1≥a 2≥a 3＞0，∴1a 1≤1a 2≤1a 3 ，a 2a 3≤a 3a 1≤a 1a 2. 由排序不等式知，乱序和≤顺序和，可得 a 2a 3a 1＋a 3a 1a 2＋a 1a 2a 3≥1a 1a 1a 2＋1a 2a 2a 3＋1a 3 a 3a 1＝a 1＋a 2＋a 3， 即a 2a 3a 1＋a 3a 1a 2＋a 1a 2a 3 ≥a 1＋a 2＋a 3. 4．证明：由于所证明的不等式有对称性，所以不妨设0＜a 1≤a 2≤…≤a n . 证法一：由柯西不等式，有 (a 2＋a 3＋…＋a n ＋a 1)????a 21a 2＋a 22a 3＋…＋a 2n －1a n ＋a 2n a 1≥?? a 2·a 1a 2＋a 3·a 2a 3＋…＋a n ·a n －1a n ＋a 1· ? ?a n a 12， ∴(a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n )????a 21a 2＋a 22a 3 ＋…＋a 2n －1a n ＋a 2n a 1≥(a 1＋a 2＋…＋a n )2.(*) 又∵a 1，a 2，…，a n 为正数，∴a 1＋a 2＋…＋a n 为正数． ∴(*)式两边同除以a 1＋a 2＋…＋a n ，即可得要证的不等式． 证法二：由题设，可知a 21≤a 22≤…≤a 2n ，1a 1≥1a 2≥…≥1a n .1a 2，…，1a n ，1a 1为1a 1，1a 2 ，…，1a n 的一个排列，于是由排序不等式，可得a 211a 2＋a 221a 3＋…＋a 2n －11a n ＋a 2n 1a 1≥a 211a 1＋a 221a 2＋…＋a 2n 1a n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ，即a 211a 2＋a 221a 3＋…＋a 2n －11a n ＋a 2n 1a 1 ≥a 1＋a 2＋…＋a n .
2019-2020年高中数学第三讲柯西不等式与排序不等式3.3排序不等式达标训练新人教A版选修
2019-2020年高中数学第三讲柯西不等式与排序不等式3.3排序不等式达 标训练新人教A 版选修 基础·巩固 1.如下图所示，矩形OPAQ 中，a 1≤a 2，b 1≤b 2，则阴影部分的矩形的面积之和_________空白部分的矩形的面积之和. 思路分析：这可沿图中线段MN 向上翻折比较即知.当然由图我们可知,阴影面积=a 1b 1+a 2b 2,而空白面积=a 1b 2+a 2b 1.根据顺序和≥反序和可知答案. 答案：≥ 2.设a 、b 、c 为某一三角形三边长，求证： a 2(b+c-a)+ b 2(c+a-b)+ c 2(a+b-c)≤3abc. 思路分析：运用排序原理，关键是弄出有序数组，通常从函数的单调性质去寻找，如f(x)=x 2在R +单调递增，f(x)=在R +单调递减. 证明：不妨设a≥b≥c，易证a(b+c-a)≤b(c+a -b)≤c(a+b -c). 由排序原理得a 2(b+c-a)+b 2(c+a-b)+c 2(a+b-c) ≤a·b(c+a -b)+b·c(a+b -c)+c·a(b+c -a)=3abc. 3.对a,b,c∈R +,比较a 3+b 3+c 3与a 2b+b 2c+c 2a 的大小. 思路分析:将式子理解为积的形式a 2·a+b 2·b+c 2·c,a 2b+b 2c+c 2a,再依大小关系可求解. 解：取两组数a,b,c ；a 2,b 2,c 2. 不论a,b,c 的大小顺序如何，a 3+b 3+c 3都是顺序和，a 2b+b 2c+c 2a 都是乱序和； 故由排序原理可得a 3+b 3+c 3≥a 2b+b 2c+c 2a. 4.求证:正实数a 1,a 2,…,a n 的任一排列为a 1′,a 2′,…，a n ′，则有≥n. 思路分析:本题考查如何将和的形式构造为积的形式,本题关键是将n 理解为n 个1相加,而把1理解为x·的形式.这种方法有普遍的应用,应该加以重视. 证明：取两组数a 1,a 2,…,a n ；,,…,. 其反序和为=n ，原不等式的左边为乱序和，有≥n. 5.已知a,b,c∈R +，求证：≥a 10+b 10+c 10. 思路分析:可以发现左右两边的次数相等,因此,应该进行适当的拼凑,使其成为积的形式. 证明：不妨设a≥b≥c>0,则>0且a 12≥b 12≥c 12>0, 则ab c bc b ab a ab c ca b bc a 12 1212121212++≥++ c c b b a a a c c b b a 11 1111111111++≥++==a 10+b 10+c 10. 6.设a 1,a 2, …,a n 是1,2, …,n 的一个排列，求证： n n a a a a a a n n 1322113221-++≤-+++ .
一元一次不等式组的竞赛题巧解举例
一元一次不等式(组)的竞赛题巧解举例 一元一次不等式(组)是初中数学竞赛试题中经常出现的重点内容。根据不等式的基本性质和一元一次不等式（组）的解的概念，适当地进行变换，可以巧妙解决一些关于不等式（组）的竞赛题。 一、 巧用不等式的性质 例1 要使a 5＜a 3＜a ＜a 2＜a 4成立，则a 的取值范围是（ ） A.0＜a ＜1 B. a ＞1 C.－1＜a ＜0 D. a ＜－1 分析：由a 3＜a 到a 2＜a 4，是在a 3＜a 的两边都乘以a ，且a ＜0来实现的；在a 3＜a 两边都除以a ，得a 2＞1，显然有a ＜－1。故选D 点评：本题应用不等式的性质，抓住题目给出的一个不等式作为基础进行变形，确定 a 的取值范围。 例2 已知6＜a ＜10， 2 a ≤ b ≤a 2，b a c +=，则c 的取值范围是 。 分析：在2a ≤b ≤a 2的两边都加上a ，可得23a ≤b a +≤a 3，再由6＜a ＜10可得9＜b a +＜30，即9＜c ＜30 点评：本题应用不等式的基本性质，在2 a ≤ b ≤a 2的两边都加上a 后，直接用关于a 的不等式表示 c ，再根据6＜a ＜10求出c 的取值范围。 二、 由不等式的解集确定不等式中系数的取值范围 例3 若关于x 的不等式组 ?????+++②m ＜x ①x ＞x 0 1456 的解集为4x ＜，则m 的取值范围是 。 分析：由①得 205244++x ＞x ，解之得4x ＜。 由②得 m x ＜-。 因为原不等式组的解集为4x ＜，所以4≥-m ，所以4-≤m 。 点评：本题直接解两个不等式得到4x ＜且m x ＜-。 若m -≤4，则其解集为4x ＜，若m ＞-4，则其解集为m x ＜-，而原不等式的解集为4x ＜，所以4≥-m ，即4-≤m 。对此理解有困难的学生，可以通过在数轴上表示不等式的解集来帮助理
柯西不等式及排序不等式及其应用经典例题透析
经典例题透析类型一：利用柯西不等式求最值1．求函数 的最大值．思路点拨：利用不等式解决最值问题，通常设法在不 等式一边得到一个常数，并寻找不等式取等号的条件．这个函数的解析式是两部分的和，若能化为ac+bd的形式就能利用柯西不等式求其最大值．也可以利用导数求解。 解析：法一：∵且， ∴函数的定义域为，且， 当且仅当时，等号成立， 即时函数取最大值，最大值为法二：∵且， ∴函数的定义域为 由， 得 即，解得∴时函数取最大值，最大值 为. 总结升华：当函数解析式中含有根号时常利用柯西不等式求解．不等式中的等号能否取得是求最值问题的关键． 举一反三： 【变式1】（2011，24）已知函数f（x）=|x-2|-|x-5|。 （I）证明：-3≤f（x）≤3； （II）求不等式f（x）≥x2-8x+15的解集。 【答案】 (Ⅰ) 当时，． 所以．…………5分
(Ⅱ)由(Ⅰ)可知， 当时，的解集为空集； 当时，的解集为； 当时，的解集为． 综上，不等式的解集为．……10分 【变式2】已知，，求的最值. 【答案】法一： 由柯西不等式 于 是的最大值为，最小值为. 法二： 由柯西不等式 于是的最大值为，最小值为. 【变式3】设2x+3y+5z=29，求函数的最大值． 【答案】 根据柯西不等式 ， 故。 当且仅当2x+1=3y+4=5z+6，即时等号成立， 此时，评注：根据所求最值的目标函数的形式对已知条件进行配凑． 类型二：利用柯西不等式证明不等式
利用柯西不等式证明某些不等式显得特别方便，而利用柯西不等式的技巧也有很多。如常数的巧拆、结构的巧变、巧设数组等。 （1）巧拆常数：2．设、、为正数且各不相等，求证： 思路点拨：∵、、均为正，∴为证结论正确只需证： 而，又，故可利用柯西不等式证明之。 证明： 又、、各不相等，故等号不能成立 ∴。 （2）重新安排某些项的次序：3．、为非负数，+=1，，求证： 思路点拨：不等号左边为两个二项式积， ，直接利用柯西不等式，得不到结论，但当把第二个小括号的两项前后调换一下位置，就能证明结论了。 证明：∵+=1 ∴ 即（3）改变结构：4、若>>，求证： 思路点拨：初见并不能使用柯西不等式，改造结构后便可使用柯西不等式了。 ，，∴，∴所证结论改为证
第三讲排序不等式
全国高中数学联赛 金牌教练员讲座 兰州一中数学组 第六讲不等式的应用、参数取值范围问题 知识、方法、技能 I ．排序不等式（又称排序原理） 设有两个有序数组n a a a ≤≤≤Λ21及.21n b b b ≤≤≤Λ 则n n b a b a b a +++Λ2211（同序和） jn n j j b a b a b a +++≥Λ2211（乱序和） 1121b a b a b a n n n +++≥-Λ（逆序和） 其中n j j j ,,,21Λ是1，2，…，n 的任一排列.当且仅当n a a a ===Λ21或n b b b ===Λ21时等号（对任一排列n j j j ,,,21Λ）成立. 证明：不妨设在乱序和S 中n j n ≠时（若n j n =，则考虑1-n j ），且在和S 中含有项 ),(n k b a n k ≠则.n n jn n j n n k b a b a b a b a n +≤+① 事实上，左－右=,0))((≥--n j n k n b b a a 由此可知，当n j n ≠时，调换n k j n j k j b a b a b a S ++++=ΛΛ11（n j n ≠）中n b 与n j 位置（其余不动），所得新和.1S S ≥调整好n a 及n b 后，接着再仿上调整1-n a 与1-n b ，又得.12S S ≥如此至多经1-n 次调整得顺序和 n n b a b a b a +++Λ2211jn n j j b a b a b a +++≥Λ2211② 这就证得“顺序和不小于乱序和”.显然，当n a a a ===Λ21或n b b b ===Λ21时②
数学竞赛历年的不等式题
（2006年全国）2. 设2log (21)log 2 1x x x x +->-，则x 的取值范围为 A ． 112x << B ．1 , 12 x x >≠且 C ． 1x > D ． 01x << 【答】（ B ） 【解】因为2 0,1210 x x x x >≠?? +->?，解得 1 ,12x x >≠. 由2log (21)log 2 1x x x x +->- 32log (2)log 2x x x x x ?+-> 32 01 22 x x x x <? ? +->? 解得 1x >，所以x 的取值范围为 1 , 12x x >≠且. 1．（05）使关于x k ≥有解的实数k 的最大值是（ ） A 解 ： 令 6, y x =≤≤ 则 2(3)(6)2[(3)y x x x =-+-+≤- (6)] 6.x +- =0y k ∴<≤实数 D 。 （2004年全国）3．不等式2log 21 1log 32 12++ -x x >0的解集是（ C ） A ．[2，3] B ．（2，3） C ．[2，4] D ．（2，4） 解：原不等式等价于2 2331log 0222 log 10 x x ++>?-≥? 解得20log 11,24x x ≤-<∴≤<．故选C ． （2003年全国）5已知x ,y 都在区间(-2,2)内，且xy ＝-1，则函数 u =244 x -+2 99y -的最小值是D (A) 58 (B)11 24 (C)712 (D)512 （2003年全国）7不等式|x |3-2x 2-4|x |+3＜0的解集是__________.7、}2 5 133215| {-<<-<<-x x x 或； （2003年全国）13已知 52 3 ≤≤x ,证1923153212<-+-++x x x
最新人教版高中数学选修4-5《柯西不等式与排序不等式及其应用》本章概览
第二章 柯西不等式与排序不等式及其应用 本章概览 内容提要 1.柯西不等式 (1)代数形式:(a 12+a 22)(b 12+b 22)≥(a 1b 1+a 2b 2)2,等号成立?a 1b 2=a 2b 1. (2)向量形式:|α||β|≥|α·β|,等号成立?α与β共线. (3)平面三角不等式:222211)()(b a b a -+-+222211)()(c b c b -+-2≥ 222211)()(c a c a -+-,等号成立?存在非负实数λ,u 使u (a 1-b 1)=λ(b 1-c 1),u (a 2-b 2) =λ(b 2-c 2). (4)一般形式:(a 12+a 22+…+a n 2)21(b 12+b 22+…+b n 2)21≥|a 1b 1+a 2b 2+…+a n b n |,等号成立?2211b a b a ==…=n n b a . 2.排序不等式 设a 1≤a 2≤…≤a n ,b 1≤b 2≤…≤b n 为两组实数,c 1,c 2,…,c n 为b 1,b 2,…,b n 的任一排列,有a 1b n +a 2b n-1 +…+a n b 1≤a 1c 1+a 2c 2+…+a n c n ≤a 1b 1+…+a n b n ,等号成立?a 1=a 2…=a n 或b 1=b 2=…=b n . 3.平均值不等式:a 1,a 2,…,a n ∈R +,n n n a a a n a a a ???≥+++......2121,等号成立? a 1=a 2=…=a n . 4.最值问题:把握好函数基本形式,再借用不等式,函数的性质求最值. 学法指导 根据本章的特点,学习时应加强数学思想方法的学习,加强对各类不等式性质的理解.理解柯西不等式,排序不等式,平均值不等式在具体问题中的作用.
高中数学知识点精讲精析 排序不等式
2 排序不等式 先来看一个问题： 设有10个人各拿一只水桶去接水，若水龙头注满第i 个人的水桶需要i a 分钟，且这些i a 各不相同。那么，只有一个水龙头时，应如何安排10个人接水的顺序，才能使它们等待的总时间最少？这个最少的总时间等于多少？ 解决这一问题，就需要用到排序不等式的有关内容。在没有找到合理的解决办法之前，同学们可以猜测一下，怎样安排才是最优的接水顺序？ 为了解决这一问题，先来了解排序不等式。 一般地，设有两组正数n a a a ,,,21 与n b b b ,,,21 ，且n a a a ≤≤≤ 21，n b b b ≤≤≤ 21. 若将两组中的数一对一相乘后再相加， 则其和同序时最大，倒序时最小.即 （倒序）（乱序）（同序）1 12121221121b a b a b a b a b a b a b a b a b a n n n i n i i n n n +++≥+++≥+++- 其中n i i i ,,,21 是n ,,2,1 的任一个排列，等号当且仅当n a a a === 21或 n b b b === 21时成立。 下面采用逐步调整法证明排序不等式。 证明：考察任意和式n i n i i b a b a b a s +++= 2121。 若1i b 是1b ，则转而考察2i b ； 若1i b 不是1b ，而某一k i b 是1b 。将1i b 与k i b 调整位置，得 n k i n i k i i b a b a b a b a s +++++=' 1221 则 0))(()()(111111≥--=-+-=-'i k i i k i i b b a a b b a b b a s s k k 这就是说，当把第一项调整为11b a 后，和不会减少。同样，可将第二项调整为22b a ，…，
高中数学柯西不等式与排序不等式
柯西不等式 1.二元均值不等式有哪几种形式？ 答案： (0,0)2 a b a b +≥>>及几种变式. 2.已知a 、b 、c 、d 为实数，求证22222()()()a b c d ac bd ++≥+ 证法：（比较法）22222()()()a b c d ac bd ++-+=….=2()0ad bc -≥ 定理：若a 、b 、c 、d 为实数，则22222()()()a b c d ac bd ++≥+. 222||c d ac bd +≥+ 或222||||c d ac bd +≥+ 222c d ac bd +≥+. 定理：设1212,,,,,,,n n a a a b b b R ∈，则 （当且仅当12 12 n n a a a b b b === 时取等号，假设0i b ≠） 变式：222212121 ()n n a a a a a a n ++ ≥++???+. 定理：设,αβ是两个向量，则||||||αβαβ≤.
等号成立？（β是零向量，或者,αβ共线） 练习：已知a 、b 、c 、d ≥ 证法：（分析法）平方 → 应用柯西不等式 → 讨论：其几何意义？（构造三角形） 三角不等式： ① 定理：设1122,,,x y x y R ∈ 变式：若112233,,,,,x y x y x y R ∈，则结合以上几何意义，可得到怎样的三角不等式？ 例1：求函数y = 分析：如何变形？ → 构造柯西不等式的形式 变式：y = → 推广： ,,,,,)y a b c d e f R +=+∈ 例2：若,x y R +∈，2x y +=，求证：1 1 2x y + ≥. 分析：如何变形后利用柯西不等式？ （注意对比 → 构造）
一元一次方程不等式竞赛题
一次方程、方程组与不等式、不等式组 1.〖2006年陕西中考〗一件标价为600元的上衣，按8折销售仍可获利20元，设这件上衣的成本价为x元，根据题意，下面所列的方程正确的是（） A．600×0．8一x＝20 B．600×8一x＝20 C．600×0．8＝x一20 D．600×8＝x一20 【答案】A 【解析】根据利润＝售价一成本，可知A正确． 【考点】本题考察了一元方程在成本问题中的应用． 2.〖第2届希望杯〗 ①若a＝0，b≠0，方程ax＝b无解；②若a＝0，b≠0，不等式ax＞b无解． ③若a≠0，方程ax＝b有唯一解x＝；④若a≠0，不等式ax＞b的解为x＞．则 （A）①、②、③、④都正确．（B）①、③正确，②、④不正确． （C）①、③不正确，②、④正确．（D）①、②、③、④都不正确． [答案]选（B） [解析]若a＝0，b＝－1，0x＞－l，可见②有解；若a≠0，如a＝－1，－x＞b x＜－b，④ 说法不正确．只有①，③是正确的．选（B）． 【考点】本题是对含字母系数的一元一次方程(不等式)解的情况的考察． 3. 〖希望杯培训〗不等式 21 2 32 x x x +- ->+的解集是_________ 【答案】x＜1 【考点】本题主要考察学生解不等式的能力，注意去分母时，每一项的变化． 4. 〖第6届希望杯〗某同学到集贸市场买苹果，买每千克3元的苹果用去所带钱数的一半，而其余的钱都买了每千克2元的苹果，则该同学所买的苹果的平均价格是每千克（）元．（A）2．6．（B）2．5．（C）2．4．（D）2．3． 【答案】选（C） 【解析】 5. 〖希望杯培训〗关于
x 的不等式组???x ＋15 2 ＞x －32x ＋2 3＜x ＋a 只有4个整数解，则a 的取值范围是（ ）． A ． －5≤a ≤－143 B ． －5≤a ＜－143 C ． －5＜a ≤－143 D ． －5＜a ＜－14 3 【答案】C 【解析】先求不等式组的解集，根据题意，进一步确定a 的范围． 解不等式组???x ＋15 2 ＞x －32x ＋2 3＜x ＋a 得，2132<<-x a ，由不等式组有4个整数解可知这4个解应 是20，19，18，17，则a 32-应在16和17之间，即162317a ≤-<，解不等式可得a 的取值范围，选C ． 6.〖2003年海淀中考〗某同学在A 、B 两家超市发现他看中的随身听的单价相同，书包单价也 相同，随身听和书包单价之和是452元，且随身听的单价比书包单价的4倍少8元． （1）求该同学看中的随身听和书包单价各是多少元? （2）某一天该同学上街，恰好赶上商家促销，超市A 所有商品打八折销售，超市B 全场购物满100元返购物券30元销售(不足100元不返券，购物券全场通用)，但他只带了400元钱，如果他只在一家超市购买看中的这两样物品，你能说明他可以选择哪一家购买吗?若两家都可以选择，在哪一家购买更省钱? 【详解】 （1)设书包的单价为x 元，则随身听的单价为(4x 一8)元． 根据题意，得4x 一8＋x ＝452．解这个方程，得x ＝92． 4x 一8＝4×92—8＝360． 即：该同学看中的随身听单价为360元，书包单价为92元． （2）在超市A 购买随身听与书包各一件需花费现金：450×80％＝361．6(元) 因为361．6＜400，所以可以选择超市A 购买． 在超市B 可先花费现金360元购买随身听，再利用得到的90元返券，加上2元现金购买书包，总计共花费现金：360＋2＝362(元) 因为362＜400，所以也可以选择在超市B 购买． 因为362＞361.6，所以在超市A 购买更省钱． 【考点】本题主要考察了一次方程的应用，本题的特点是：表述复杂，解答简单，重在分析． 1. 〖第 17届希望杯〗初一（2）班的同学站成一排，他们先自左向右从“1”开始报数，然后又自右向左从“1”开始报数，结果发现两次报数时，报“20”的两名同学之间(包括这两名同学)恰有15人，则全班同学共有______人． 【答案】 55或25 【解析】法一： 本题是发散性题目，应该分两种情况考虑.设全班一共有x 个人，根据题意可知有两种情况：（一）、从右向左报数时，报20的同学没有到达第一遍报数为20的同学所在
(新)高中数学柯西不等式与排序不等式
1 3.1 3.2 柯西不等式 1.二元均值不等式有哪几种形式？ 答案：(0,0)2 a b a b +≥>>及几种变式. 2.已知a 、b 、c 、d 为实数，求证22222()()()a b c d ac bd ++≥+ 证法：（比较法）22222()()()a b c d ac bd ++-+=….=2()0ad bc -≥ 定理：若a 、b 、c 、d 为实数，则22222()()()a b c d ac bd ++≥+. 2 22|| c d ac bd +≥+ 或222||||c d ac bd +≥+ 22c d ac bd +≥+. 定理：设1212,,,,,,,n n a a a b b b R ∈，则 222222212121122()()()n n n n a a a b b b a b a b a b +++++≥+++ （当且仅当12 12 n n a a a b b b === 时取等号，假设0i b ≠） 变式： 2222 12121 ( )n n a a a a a a n ++ ≥++???+. 定理：设,αβ是两个向量，则||||||αβαβ≤. 等号成立？（β是零向量，或者,αβ共线） 练习：已知a 、b 、c 、d 证法：（分析法）平方 → 应用柯西不等式 → 讨论：其几何意义？（构造三角形） 三角不等式： ① 定理：设1122,,,x y x y R ∈ 变式：若112233,,,,,x y x y x y R ∈，则结合以上几何意义，可得到怎样的三角不等式？ 例1：求函数y = 分析：如何变形？ → 构造柯西不等式的形式 变式：y =→ 推广：,,,,,)y a b c d e f R +=∈
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