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高等数学极限习题

．

求证：存在，且，＝时，设当βα

=β+βα+αβ

β=βαα→→→→000

lim lim lim )()(1

1110x x x x x x o o x x

答（）

．．　．　．　．是等价无穷小，则与时，若当2

32123211cos )(1)

1()(03

2--=

-=β-+=α→D C B A a x x ax x x

（）

答阶的是时，下述无穷小中最高当x

x D x C x B x A x sin 11cos 1022----→

[]之值．

求)12ln()12ln(lim --+∞→n n n n ．求极限)2sin()1(lim 2

+π-+∞

→n n n n ．求极限)11ln()21(lim n n n ++∞→

_____________sin 1lim 32

=--→的值x

x x e x x

．

及求证：，，设有数列n n n n n n n n

n n a a a y a a a a b b a a a ∞

→+∞

→∞

→++-=+=≠==lim )(lim lim 2)( 11221

．

及，求记：，

　．，设n n n n n

n n n n n n n x y x x y x x x x x a b b x a x ∞→∞→++++-=

+=>>==lim lim 112)0(1

221

求极限之值．lim ()cos sin x x x x

x →+-02

设，；且试证明：．

lim ()lim ()lim ()()x x x x x x v x B u x A A v x B

u x A →→→=>==0

[] 答（）

．．．．2

ln 01)1ln(lim 2)1(1

D C B A x x x ∞=

+-→

答（）

．．．．2

21(lim 2sin 0

D e C e B A x x

x x =

+→

[]的结果．

之值，并讨论及求：设1

)(1)(lim )(lim 11)(lim )( .1

sin

1)(0012----=+=→→→x u x u f x u u u f u u f x

x x u x x u

_____________6

9lim 223的值等于---→x x x x

．不存在．．．D C B A e e e e x

x x

x x 123

234lim =++--∞→

答：（）

lim ()()()....x x x x A B C D →∞-+-=-?236111

358

不存在

答：（）

____________)61()31()21(lim 15220

10=+++∞→x x x x ____________lim 0的值等于x

x x e e x -→- ．求极限123lim 2331+--+-→x x x x x x 求之值．lim ()

x x x x x →+--+03

416125

已知：，问？为什么？

lim ()lim ()()lim ()x x x x x x u x u x v x A v x →→→=∞=≠=0

关于极限结论是：

不存在答（）

lim

x x

A B C D →+0

535305

答（），则极限式成立的是

，设 )(lim .)()(lim .)

()(lim .0

)

()

(lim

.)(lim )(lim )(0

000

∞

=∞=∞==∞==→→→→→→x g x x x x x x x x x x x x x f D x g x f C x f x g B x g x f A x g A x f

是不是无穷大量．时，，问当)(cos )(x f x x e x f x +∞→=

答（）不存在 2

.2.

..0.1

arctan

tan lim 0

π-π=?→D C B A x

x x

答（） 2

1..0.)arctan(lim 2π

∞=∞→D C B A x

x x

答（）

不存在

.2.2.2.3

2lim

D C B A x x x ±-=

++∞

→

___________)0(23

)(1

=-+=f e x f x

，则设

答（）不存在 2

...0.1cot

arc lim 0

π=→D C B A x

lim cos ln ....x a x x

a A B C D →--==0100123

，则其中

答（）

____________cos 13lim 20的值等于x

x e e x x x ----→

lim

(cos )

.....x x x

A B C D →-=

-0212220

不存在答：（

）

设，其中、为常数．

问：、各取何值时，；

、各取何值时，；

、各取何值时，．

f x px qx x p q p q f x p q f x p q f x x x x ()()lim ()()lim ()()lim ()=++-===→∞

→∞

→25

112031

求极限．lim ()()()()x n n n n x x x x →∞+--++-2222222211 求极限．lim ()()x x x →∞++322323

[]

之值．

、、试确定已知C B A x x c x B A x x 0)

1()1()1(3lim

=--+-+-+→

之值．

，，，试确定常数．

，，满足已知d c b a x f x f x x d

cx bx ax x f x x 0)(lim )2(1)(lim )1(2

)(1223==-++++=→∞→ 之值．，，试确定已知b a x x b

x b a x 43

13)(lim 1

=+-+++→

为什么？

＂上述说法是否正确？，则＂若∞=α=α→→)

lim 0)(lim 00x x x x x x

当时，是无穷大，且，

证明：当时，也为无穷大．

x x f x g x A x x f x g x x x →=→+→000

()lim ()()()

．用无穷大定义证明：+∞=-+→11

2lim 1x x x ．

用无穷大定义证明：-∞=+

→x x ln lim 0 +∞=-π

→x x tan lim 02

用无穷大定义证明：．用无穷大定义证明：+∞=-+→11lim 01x x

＂当时，是无穷小＂是＂＂的：

充分但非必要条件必要但非充分条件充分必要条件

既非充分条件，亦非必要条件答（）

x x f x A f x A A B C D x x →-=→00

()lim ()()()()()

若，，但．

证明：的充分必要条件是

．

lim ()lim ()()lim

()

lim ()()

()x x x x x x x x f x g x g x f x g x b f x b g x g x →→→→==≠=-?=0

000000

．

其中，：用数列极限的定义证明)10(0lim <<=∞

→a a n n ．

：用数列极限的定义证明)10(1lim 1

<<=∞

→a a

n ．：用数列极限的定义证明21

2)2(lim

=++∞

→n n n n ___________)1ln(2)cos(sin 1lim 20的值等于x x x +-→ []

之值．求极限3sin 01)(cos lim x

x x x -→

设，试证明：对任意给定的，必存在正数，使得对适

含不等式；的一切

、，都有成立。lim ()()()x x f x A x x x x x x f x f x →=><-<<-<-<0

00010201221εδδδε

．，试用极限定义证明：已知：A x f A x f x x x x =>=→→)(lim 0)(lim 00

{}{}{}是否也必发散？同发散，试问数列与若数列n n n n y x y x +

求的表达式f x x x x n n n ()lim =-+→∞+2121

设　其中、为常数，，

求的表达式；

确定，之值，使，．f x x x a bx x a b a f x a b f x f f x f n n n x x ()lim sin cos()()()()()lim ()()lim ()()=+++<<==-→∞-→→-2121

121

021211ππ

．求极限应用等阶无穷小性质，x x x x )1arctan()1arctan(lim

0--+→ 求极限．lim x x x x x →+--+0215132 求极限．lim ()()x x x x

→--+012131416 求极限　为自然数．．lim

()()x n ax x n a →+-≠01

110 求极限．lim ()x x x x →-+--3135223

设当时，与是等价无穷小，

且，，证明：．x x x x f x x a f x x g x A f x x g x A x x x x x x →=≠-=-=→→→00001αβααβ()()lim ()()lim ()()()

lim ()()()

设当时，，是无穷小

且证明：．

x x x x x x e e x x x x →-≠--00

αβαβαβαβ()()()()~()()()()

若当时，与是等价无穷小，是比高阶的无穷小．

则当时，与是否也是等价无穷小？为什么？

x x x x x x x x x x x x →→--0101ααβααβαβ()()()()()()()()

[][]

设当时，、是无穷小，且证明：与是等价无穷小．

x x x x x x x x x x →-≠+-+-0011αβαβαβαβ()()()().

ln ()ln ()()()

设当时，是比高阶的无穷小．证明：当时，与是等价无穷小．x x f x g x x x f x g x g x →→+00()()()()()

吗？为什么？也是等价无穷小与无穷小。试判定：

等价是同阶无穷小，但不是与是等价无穷小，与时，若)()()()()()()()(110x x x x x x x x x x β-αβ-αβααα→

lim

sin ()()()()x x

A B C D →∞=

∞10 不存在但不是无穷大答（）

lim sin ()()()()x x x

A B C D →∞===∞1

10之值不存在但不是无穷大答（）

已知　其中、、、是非常数则它们之间的关系为

答（）

lim

tan (cos )ln()()

()

()()()()x x A x B x C x D e

A B C D A B D B B D C A C C A C →-+--+-===-==-0

11211022222

)1()1)(1)(1(lim 1242n

x x x x x n ++++<∞

→ 计算极限设

设及存在，试证明：．lim lim

n n n n n x x x a a →∞→∞+==≤011

求lim(sin cos )x x x x

→∞+2212

计算极限　lim ()()x a x a x a x a a →-++-≠322210 计算极限lim x x x x x x →-+---2322332

计算极限lim ln()cos x x x x e e x x →-?+021 ??

????∞→→)2cos 2cos 2(cos lim lim 20n n x x x x 计算极限 {}．，试证明及满足设有数列0lim )10( lim 01=<≤=>∞

→+∞→n n n n n n n a r r a a

a a

{}，试按极限定义证明：

，且满足设有数列)10( lim 0<≤=>∞

→r r a a a n n n n n ．0lim =∞

→n n a

．语言证明，试用　设A x f A A x f x x x x =δ-ε>=→→)(lim

"")0()(lim 0

试问：当时，，是不是无穷小？x x x x

→=

2α()sin

的某去心邻域，使得

试证明：必存在，且，设0,)(lim )(lim 0

x B A B x g A x f x x x x >==→→．在该邻域为)()(x g x f >

设，试研究极限f x x x

f x x ()sin lim ()=→110 计算极限．lim ln()arcsin()x x x x →+---232312344

[]

　答（）

大无界变量，但不是无穷小有界变量，但不是无穷无穷小量

无穷大量是时，则当，

设数列的通项为)()()()()1(12

D C B A x n n

n n x n n n ∞→--+=

以下极限式正确的是

答（）

()lim()()lim()()lim()()lim()A x e B x

e C x e D x

x x x x x x x x →+→+-→∞-→∞-+=-=-=+=001

11111

1111

设，　，，，求．x x x n x n n n n 1110612==+=+→∞

()lim

b A a D a A b a C b A b a B A b a A A b a A

x f x b x x e x f x ax ======???

??=≠-=→可取任意实数且可取任意实数，，可取任意实数，，可取任意实数，，之间的关系为，，则，且，当，当设)()()(1)()(lim 0

)(0

答：( )

A A b a D A

b a a C b A b a B a A b a A A b a A x f x b x x

ax d x f x ln )()()()()(lim 0 0)

1ln()(0

======??

??=≠+=→仅取可取任意实数，而，可取任意实数且可取任意实数，，可取任意实数，，之间的关系为，，则，，且当，　，当设

答：（

）

答（）

可取任意实数可取任意实数可取任意实数，可取任意实数，间正确的关系是，，则，且当，

，当设2

)(2)(2)(2)()(lim 0 0cos 1)(2

a A

b a D a

A b a C a A b a

B a

A b a A A b a A x f x b x x ax x f x =

==???

??=≠-=→

[][]设有，，且在的某去心邻域

内复合函数有意义。试判定是否

成立。若判定成立请给出证明；若判定不成立，请举出例子，并指明应如何加强已知条件可使极限式成立。

lim ()lim ()()lim ()x x u a

x x x a f A x f x f x A →→→===0

0????

设，当，当　适合则以下结果正确的是仅当，，仅当，，可取任意实数，，可取任意实数，，都可能取任意实数

答（）

f x x x b

x x a x f x A

A a b A

B a A b

C b A a

D a b A x ()lim ()()()()()=++-≠=???

??===-====-=→21

21114344434

设　当当　且，则，，，可取任意实数，可取任意实数

答（）

f x bx x x a x f x A b a B b a C b a D b a x ()lim ()()()()()=+-≠=???

??=======→11

0033363

360

值。，试求时，且当，设a x x x e e x ax x x )(~)(0)(1)

1()(cos 3

12βα→-=β-+=α

求．lim x x x x x e e e e →∞---+234 ．，则设____________8)2(lim ==-+∞→a a

x a x x

x ．

____________)

31(lim sin 2

=+→x

x x

当时，在下列无穷小中与不等价的是答（）

x x A x B x C x x D e e x x →-++--+--0121112

22()cos ()ln ()()

当时，下列无穷小量中，最高阶的无穷小是答（）

x A x x B x C x x D e e

→++---+--01112

22()ln()()()tan sin ()

计算极限lim

cos x x x e x →---0

112

_____________________4sin 3

553lim 2

=?++∞→x x x x

lim 211--++++-→x n

x x x x n n x 计算极限

131)1()

1()1)(1(lim -→----n n x x x x x 计算极限．计算极限x x x π+→)(cos lim 0

讨论极限的存在性。limarctan x x →-11

1 的存在性。研究极限x

x 1cot arc lim 0→

研究极限．lim x x x x →∞++-223

　）

答（穷大的是时，下列变量中，为无当x D x C x B x

x A x 1

cot

arc )(1arctan )(ln )(sin )

(0+→ ________________1

ln 1lim 1=-→x x 。时，恒有

，使当存在一正整数，试判定下述结论，且设N n N a a n n n >=>∞

→"0lim 0是否成立？"1n n a a <+

若试讨论是否存在？lim lim n n n n a A a →∞

→∞

{}存在的

极限，试判定能否由此得出满足设有数列n n n n n n a a a a ∞

→+∞

→=-lim 0)(lim 1结论。

{}0lim 1001=<<≤>∞→+n n n

n n n a r r a a

a a ，试证明，；满足设有数列

是否必存在？

存在，则存在，设)(lim )(lim )()

(lim

00x f x g x g x f x x x x x x →→→ ．

，则是否必有，若0)(lim 0)()

(lim 0)(lim 0

00=≠==→→→x g A x g x f x f x x x x x x

答（）

小量的是时，下列变量中为无穷当1

)

1)((ln 1)

()1ln()(1

sin 1)(012

2-+-+→x

x D x C x B x x A x

．

是常数），试证明，时，设0)

()

(lim

()()(0

0=→∞→→→x f x g A A x g x f x x x x

若，且在的某去心邻域内，，则必等于，为什么？

lim ()()lim

()

()lim ()x x x x x x g x x g x f x g x A f x →→→=≠=0

0000

若，不存在，则是否必不存在？若肯定不存在，请予证明，若不能肯定，请举例说明，并指出为何加强假设条件，使可肯定的极限时必不存在。

lim ()lim ()lim ()()

()()()x x x x x x f x A g x f x g x f x g x x x →→→=??→0

lim ()()()()n n n n n

e e e

e A B e C e D e →∞

-??=

1212

1 答（）

．

____))1(2121(lim =-+++-+++∞

→n n n

答（）

不存在，但不是无穷大为无穷大　等于　等于 .

)( ;)(;

2)( ; 0)(2

cos

lim 2

D C B A x x x +→

)(0)2(; )10()()1(sin 1)(是否成为无穷大时，当，内是否有界，在，试判断：设x f x x f x

x x f +→π

[

)设，试判断：在，上是否有界当时，是否成为无穷大

f x x x f x x f x ()cos ()()()()=+∞→+∞102

（）

答高阶的无穷小是比高阶的无穷小是比是等价无穷小与等价无穷小是同阶无穷小，但不是与时（），则当，设.

)()()(; )()()(; )()()(; )()()(133)(11)(3x x D x x C x x B x x A x x x x

x αββαβαβα→-=β+-=

答（）

，　，，　，，则必有设. 104)( ; 64)(; 104)( ; 52)(14lim 231=-=-==-=====-+--→A a D A a C A a B A a A A x x ax x x

）

答（不存在但不是无穷大为等于等于的极限

时，当. )( ; )(;

0)( ; 2)(1

1)(11

2D C B A e

x x x f x x ∞--=→-

的值。．试确定满足和，设当a x x x x ax x x )(~)(cos 1)(1)

1()(02

2βα-=β-+=α→

求，使a b x x ax b x lim()→∞++-+=321

之值。

，试确定设b a b ax x x x , 0)743(lim 2=--+++∞

→ n n n n x n x x x ∞

→+=+==lim )21(32111，求，，，设

设，　，，，求．x x x n x n n n n 1142312==+=+→+∞

()lim

)(lim x x x x x --++∞→计算极限 x

x x

x x x tan 2cos sin 1lim

0-+→计算极限

计算极限lim tan sin tan sin x x x

x x e e →+-+-044

研究极限的存在性。lim cos ()x ax

x a →->0220 {}．收敛，并求极限，试证数列

，，．，，设n n n n n n x x n x x x x ∞

→+=-=∈lim )21(2)20(2

11 设，，，，试研究极限．x x x x n x n n n n n 112

0212<=-=+→∞

()lim

．

，试研究极限，，，设n n n n n x n x x x x ∞

→+=-=>lim )21(222

n n n n b

n n n n

n n n n n b a b a n b a b b a a b a ∞

→∞

→→∞

→++==+==lim lim lim lim )21( 21111存在，且存在，试证明：，，，，是两个函数，令，设

cos 20e e lim x x x

→-计算极限 x x x x x x x ??? ??+-+++∞→lim 计算极限

x x x

x )1

21(lim 2+-∞→计算极限

至少有一

及，则能否得出＂，，且若0lim 0lim 000lim ==≠≠=∞

→∞

→n n n n n n n n n y x y x y x 式成立＂的结论。

{}{}{}反例。

，如否定结论则需举出如肯定结论请给出证明是否也必是无界数列。试判定：

，

都是无界数列，，设数列n n n n n n z y x z y x =

计算极限lim sinln()sinln()x x x x →∞+-+?

????1311

极限．；　．．；　．．答（）

lim(cos )x x x A B C D e →-

极限的值为（）

．；　．；　．；　．．答（）

lim ()x x x

e e x x A B C D →--+0210123

答（）

．．；　．；　．；　．的值为（）

极限2

326103sin 3cos 1lim

0D C B A x

x x

x -→

下列极限中不正确的是

．；　．；．；．．

答（）

A x x

B x

x C x x D x

x x x x x lim tan sin lim cos

lim sin()lim arctan →→-→→∞=+=---==0112

32322121120π

极限．；　．；　．；　．．答（）

lim ln()ln()x x x x x x A B C D →+++-+=

0222

110123

极限．；　．；　．；　．．答（）

lim(cos )x x

x A B e C D e →-

112

答（）

．

．；．；．；　．为等价无穷小量的是时，与当 )sin ( 11)1ln( 2sin 0x x x D x x C x B x A x x +--+-→

）

答（．低阶无穷小量．

．高阶无穷小量；量；

．同阶但非等价无穷小．等价无穷小量；的是无穷小量－时，无穷小量

当D C B A x x

x 12111-+→

为常数，则数组，等价，其中与时，无穷小量当n m mx x x x n 2sin sin 20-→的值为，）中，（n m n m

　答（）

．

，．；　，．；　，．；　，．)13()31()23()32(D C B A

已知，则的值为

．；　．；　．；　．．答（）

lim()

x x

kx e k A B C D →+=-0

1111

极限的值为

．；　．；　．；　．答（）

lim()x x

A e

B e

C e

D e

→∞---11

221

下列等式成立的是

．；　．；

．；．．

答（）

A x e

B x

e C x e D x

e x x x x x x x x lim()lim()lim()lim()→∞→∞→∞+→∞++=+=+=+=1211

1111

22222212

答（）

．．；　．；　．；　．极限2210

)

21(lim e D e C e

B e A x x

x -→=

极限的值为（　）

．；　．；　．；　．．

答（）

lim(

)x x x x A e B e C e D e →∞+---+11

2244

极限的值是

．；　．；　．；　．．答（）

lim x x x x A B e C e D e →∞----+?? ?

?2121121

下列极限中存在的是

．；　．；．；　．答（）

A x x

B e

C x x

D x x x x x x lim lim lim sin lim →∞→→∞→++-201011111

极限的值为

．；．　．　．．答（）lim

tan sin x x x

x A B b C D →-∞03

011

极限．；　．；　．；　．．

答（）

lim

sin x x

x A B C D →-=

-∞ππ

101

已知，则的值为

．；　．；　．；　．．

答（）

lim

cos sin x a x x x a A B C D →-=-01

0121

已知，则的值为

．；　．；　．；　．．答（）lim

sin ()

x kx

x x k A B C D →+=----02333

答（）

．，．；　，．；　，．；　，．为，的值所组成的数组，，则常数设)11()11()10()01()(0)11

(lim 2-=--++∞→D C B A b a b a b ax x x x

答（）

，．；　，．；　，．；　，．）可表示为

，的值，用数组（，，则

，若设)

44()44()44()44(0)(lim 1

4)(2----=++-+=∞→D C B A b a b a x f b ax x x x f x

极限的值为

．；　．；　．；　．．答（）

lim x x x x x A B C D →-+-+22268812

01122

下列极限计算正确的是

．；　．；

．；　．．答（）

A x x

B x x

x x

C x x x

D n e n n n x x n n lim lim sin sin lim sin lim()→∞→→∞→→∞+=+-=-=+=22032

1110112

极限的值为

．；　．；　．；　．．答（）

lim()x x x x x A B C D →∞+---∞322

011

数列极限的值为

．；　．；　．；　．不存在．答（）

lim()n n n n A B C D →∞

+-201

已知，则的值为

．；　．；　．；　．．答（）

lim x x x c

x C A B C D →-+-=--1231

11123

答（）

．．；　．　．；　．的值为

，则已知2277516

lim 21--=-++→D C B A a x ax x x

高等数学函数极限与连续习题及答案

1、函数 ()12 ++=x x x f 与函数()11 3--=x x x g 相同．错误 ∵当两个函数的定义域和函数关系相同时，则这两个函数是相同的。 ∴()12 ++=x x x f 与()11 3--=x x x g 函数关系相同，但定义域不同，所以()x f 与 ()x g 是不同的函数。 2、如果()M x f >（M 为一个常数），则()x f 为无穷大．错误根据无穷大的定义，此题是错误的。 3、如果数列有界，则极限存在．错误如：数列()n n x 1-=是有界数列，但极限不存在 4、a a n n =∞ →lim ，a a n n =∞ →lim ．错误如：数列()n n a 1-=，1)1(lim =-∞ →n n ，但n n )1(lim -∞ →不存在。 5、如果()A x f x =∞ →lim ，则()α+=A x f （当∞→x 时，α为无穷小）．正确根据函数、极限值、无穷小量的关系，此题是正确的。 6、如果α～β，则()α=β-αo ．正确 ∵1lim =α β ，是 ∴01lim lim =?? ? ??-=-αβαβα，即βα-是α的高阶无穷小量。 7、当0→x 时，x cos 1-与2x 是同阶无穷小．正确 ∵2122sin 412lim 2sin 2lim cos 1lim 2 02 2020=????? ? ????==-→→→x x x x x x x x x 8、 01 sin lim lim 1sin lim 000=?=→→→x x x x x x x ．错误 ∵x x 1 sin lim 0→不存在，∴不可利用两个函数乘积求极限的法则计算。 9、 e x x x =?? ? ??+→11lim 0 ．错误 ∵e x x x =?? ? ??+∞ →11lim 10、点0=x 是函数x x y =的无穷间断点．错误 =-→x x x 00lim 1lim 00-=--→x x x ，=+→x x x 00lim 1lim 00=+→x x x ∴点0=x 是函数x x y =的第一类间断点． 11、函数()x f x 1 =必在闭区间[]b a ,内取得最大值、最小值．

高等数学函数极限练习题

设 f ( x ) 2 x ，求 f ( x ) 的定义域及值域。 1 x 设 f ( x) 对一切实数 x 1， x 2 成立 f ( x 1 x 2 ) f ( x 1 ) f ( x 2 )，且 f (0 ) 0， f (1) a ，求 f (0 )及 f ( n)．(n 为正整数 ) 定义函数 I ( x) 表示不超过 x 的最大整数叫做 x 的取整函数，若 f ( x) 表示将 x 之值保留二位小数，小数第 3 位起以后所有数全部舍去，试用表示 f ( x) 。 I ( x) 定义函数 I ( x) 表示不超过 x 的最大整数叫做 x 的取整函数，若 g ( x) 表示将 x 依 4 舍 5 入法则保留 2 位小数，试用 I ( x) 表示 g ( x) 。在某零售报摊上每份报纸的进价为 0.25 元，而零售价为 0.40 元，并且如果报纸当天未售出不能退给报社，只好亏本。若每天进报纸 t 份，而销售量为 x 份，试将报摊的利润 y 表示为 x 的函数。定义函数 I ( x)表示不超过 x 的最大整数叫做 x 的取整函数，试判定 ( x) x I ( x )的周期性。判定函数 x x ln( 1 x x )的奇偶性。 f ( x ) ( e 1) 设 f ( x ) e x sin x ，问在 0 ，上 f ( x ) 是否有界？函数 y f ( x ) 的图形是图中所示的折线 O BA ，写出 y f ( x) 的表达式。 x 2 ， 0 x ； x ， x ；设 f ( x) 2 ( x) 0 4 求 f ( x ) 及f ( x ) ． x x 4 x x ，．，． 2 2 2 4 6 设 f ( x ) 1， x 0 ； ( x ) 2 x 1，求 f ( x ) 及 f ( x) ． 1 ， x 0 ． e x ， x ； 0 ， x 0 ；设 f ( x ) 求 f ( x )的反函数 g ( x ) 及 f ( x ) ． x x ( x) x 2， x 0 ，．． 1 x ) ， ( x ) x ， x 0 ；求 f ( x ) ．设 f ( x )( x x 2 ， x 2 0 ． 2 x ， x 0 ；求 f f ( x ) 设 f ( x ) x 0．． 2 ， 0 ， x ； x ， x ； ( x ) 求 f ( x) ( x )．设 f ( x ) x ， x 0 ． x ， x ． 1

高等数学1.3-函数的极限

第三节函数的极限（一）教学目的：（1）理解函数极限和左、右极限的概念；（2）理解无穷小概念，掌握其性质教学重点：函数极限的概念，无穷小概念教学难点：函数极限的概念的理解与应用教学方法：讲授法教学时数：2课时本节我们将数列极限的概念推广到一元实值函数，然后研究函数极限的性质及其运算法则. 一、函数极限的概念 1.自变量x 趋于无穷大时函数的极限 1）+∞→x 时的极限： +∞→x 读作“x 趋于正无穷大”，表示x 无限增加，0x > ．例：对于x x f 1)(= ，当自变量+∞→x 时，x x f 1 )(=与常数0无限接近．复习数列极限的定义：数列{}n x 以a 为极限即a x n n =∞ →lim ? 0>?ε，N ?，N n >时,ε<-a x n ．令()n f x n =，则()?=∞ →a n f n lim 0>?ε，N ?，当N n >时，()ε<-a n f ．将n 换成连续变量x ，将a 改记为A ，就可以得到x →+∞时，()A x f →的极限的定义及其数学上的精确描述．定义3.1：设函数)(x f 在),(+∞a 内有定义，,A ∈若0>?ε，0X ?>，当x X >时，有()ε<-A x f ，则称数A 为函数()x f 当x →+∞时的极限，记作()lim x f x A →+∞ =，或()A x f →，（x →+∞）．几何意义：对任意给定的0ε>，在轴上存在一点X ，使得函数的图象 {(,)|(),(,)}x y y f x x a =∈+∞在X 右边的部分位于平面带形),(),(εε+-?+∞A A X 内． 2）x →-∞时的极限： x →-∞读作“x 趋于负无穷大”，表示x 无限增加，0x < ．定义：设函数)(x f 在),(a -∞内有定义，,A ∈若0>?ε，0X ?>，当x X <-时，有()ε<-A x f ，则称数A 为函数()x f 当x →-∞时的极限，记作()lim x f x A →-∞ =

高等数学函数极限练习试题

设x x x f += 12)(，求)(x f 的定义域及值域。，，，且成立，对一切实数设a f f x f x f x x f x x x f =≠=+)1(0)0()()()()(212121)()()0(为正整数．及求n n f f 定义函数)(x I 表示不超过x 的最大整数叫做x 的取整函数，若)(x f 表示将x 之值保留二位小数，小数第3位起以后所有数全部舍去，试用)(x I 表示)(x f 。定义函数)(x I 表示不超过x 的最大整数叫做x 的取整函数，若)(x g 表示将x 依4舍5入法则保留2位小数，试用)(x I 表示)(x g 。在某零售报摊上每份报纸的进价为0.25元，而零售价为0.40元，并且如果报纸当天未售出不能退给报社，只好亏本。若每天进报纸t 份，而销售量为x 份，试将报摊的利润y 表示为x 的函数。的取整函数，试判定的最大整数叫做表示不超过定义函数x x x I )(的周期性。)()(x I x x -=? 的奇偶性。判定函数)1ln()1()(x x e x f x x -+?-=+ [ )设，问在，上是否有界？f x e x f x x ()sin ()=+∞0 函数的图形是图中所示的折线，写出的表达式。y f x OBA y f x ==()() ???≤≤-<≤=????≤≤+<≤=．，；，．，；，　设64240)(42220)(2 x x x x x x x x x x f [][]．及求)()(x f x f ?? [][]设，；，．，求及．f x x x x x f x f x ()()()()=-≤>???=-101021??? ???>-≤=????>≤-=．，；，．，　；，设000)(00)(2 x x x x x x x e x f x []．及的反函数求)()()(x f x g x f ? []设，，；，．求．f x x x x x x x x f x ()()()()=+=<≥???1 2002?? []设，；，　．求．f x x x x f f x ()()=+<≥???2020 ．求．，；，．，；，设)()( 111)(000)(x x f x x x x x x x x x f ?+? ??≥<+=????≥<=

高等数学函数与极限试的题目

高等数学第一章函数与极限试题一. 选择题 1.设F(x)是连续函数f(x)的一个原函数，""N M ?表示“M 的充分必要条件是N ”，则必有（A ） F(x)是偶函数?f(x)是奇函数. （B ） F(x)是奇函数?f(x)是偶函数. （C ） F(x)是周期函数?f(x)是周期函数. （D ） F(x)是单调函数?f(x)是单调函数 2．设函数,1 1)(1 -= -x x e x f 则（A ） x=0,x=1都是f(x)的第一类间断点. （B ） x=0,x=1都是f(x)的第二类间断点（C ） x=0是f(x)的第一类间断点，x=1是f(x)的第二类间断点. （D ） x=0是f(x)的第二类间断点，x=1是f(x)的第一类间断点. 3．设f (x)=x x 1 -，x ≠0,1,则f [)(1 x f ]= ( ) A ） 1－x B ） x -11 C ） X 1 D ） x 4．下列各式正确的是 ( ) A ） lim + →x )x 1 +1(x =1 B ） lim + →x )x 1 +1(x =e C ） lim ∞ →x )x 1 1－(x =-e D ） lim ∞ →x )x 1 +1(x -=e 5．已知9)( lim =-+∞→x x a x a x ，则=a ( )。 A.1； B.∞； C.3ln ； D.3ln 2。 6．极限：=+-∞→x x x x )1 1( lim ( ) A.1； B.∞； C.2 -e ； D.2 e 7．极限：∞ →x lim 3 32x x +=（） A.1； B.∞； C.0； D.2． 8．极限：x x x 11lim 0-+→=（） A.0； B.∞； C 2 1； D.2．

大学高等数学函数极限和连续

第一章函数、极限和连续 §1.1 函数一、主要内容㈠函数的概念 1. 函数的定义: y=f(x), x ∈D 定义域: D(f), 值域: Z(f). 2.分段函数: ?? ?∈∈=21)()(D x x g D x x f y 3.隐函数: F(x,y)= 0 4.反函数: y=f(x) → x=φ(y)=f -1(y) y=f -1 (x) 定理:如果函数: y=f(x), D(f)=X, Z(f)=Y 是严格单调增加(或减少)的；则它必定存在反函数： y=f -1(x), D(f -1)=Y, Z(f -1)=X 且也是严格单调增加(或减少)的。㈡函数的几何特性 1.函数的单调性: y=f(x),x ∈D,x 1、x 2∈D 当x 1＜x 2时,若f(x 1)≤f(x 2), 则称f(x)在D 内单调增加( )；若f(x 1)≥f(x 2), 则称f(x)在D 内单调减少( )；若f(x 1)＜f(x 2),

则称f(x)在D 内严格单调增加( )；若f(x 1)＞f(x 2), 则称f(x)在D 内严格单调减少( )。 2.函数的奇偶性：D(f)关于原点对称偶函数：f(-x)=f(x) 奇函数：f(-x)=-f(x) 3.函数的周期性：周期函数：f(x+T)=f(x), x ∈(-∞，+∞) 周期：T ——最小的正数 4.函数的有界性： |f(x)|≤M , x ∈(a,b) ㈢基本初等函数 1.常数函数： y=c ， (c 为常数) 2.幂函数： y=x n , (n 为实数) 3.指数函数： y=a x , (a ＞0、a ≠1) 4.对数函数： y=log a x ,(a ＞0、a ≠1) 5.三角函数： y=sin x , y=con x y=tan x , y=cot x y=sec x , y=csc x 6.反三角函数：y=arcsin x, y=arccon x y=arctan x, y=arccot x ㈣复合函数和初等函数 1.复合函数： y=f(u) , u=φ(x) y=f[φ(x)] , x ∈X 2.初等函数:

同济大学(高等数学)_第一章_函数极限

第一篇函数、极限与连续第一章函数、极限与连续高等数学的主要内容是微积分，微积分是以变量为研究对象，以极限方法为基本研究手段的数学学科.本章首先复习函数相关内容，继而介绍极限的概念、性质、运算等知识，最后通过函数的极限引入函数的连续性概念，这些内容是学习高等数学课程极其重要的基础知识. 第1节集合与函数 1.1 集合 1.1.1 集合讨论函数离不开集合的概念.一般地，我们把具有某种特定性质的事物或对象的总体称为集合，组成集合的事物或对象称为该集合的元素. 通常用大写字母A 、B 、C 、表示集合，用小写字母a 、b 、c 、表示集合的元素. 如果a 是集合A 的元素，则表示为A a ∈，读作“a 属于A ”；如果a 不是集合A 的元素，则表示为A a ?，读作“a 不属于A ”. 一个集合，如果它含有有限个元素，则称为有限集；如果它含有无限个元素，则称为无限集；如果它不含任何元素，则称为空集，记作Φ. 集合的表示方法通常有两种：一种是列举法，即把集合的元素一一列举出来，并用“｛｝”括起来表示集合.例如，有1,2,3,4,5组成的集合A ，可表示成 A ={1,2,3,4,5}；第二种是描述法，即设集合M 所有元素x 的共同特征为P ，则集合M 可表示为 {}P x x M 具有性质|=. 例如，集合A 是不等式022<--x x 的解集，就可以表示为 {} 02|2<--=x x x A . 由实数组成的集合，称为数集，初等数学中常见的数集有：（1）全体非负整数组成的集合称为非负整数集（或自然数集），记作N ，即 {} ,,,3,2,1,0n N =；（2）所有正整数组成的集合称为正整数集，记作+ N ，即 {} ,,,3,2,1n N =+；（3）全体整数组成的集合称为整数集，记作Z ，即 {} ,,,3,2,1,0,1,2,3,,,n n Z ----=；

高等数学函数极限与连续习题及答案

高等数学函数极限与连续习题及答案文件排版存档编号：[UYTR-OUPT28-KBNTL98-UYNN208]

1、函数 ()12 ++=x x x f 与函数()11 3--=x x x g 相同．错误 ∵当两个函数的定义域和函数关系相同时，则这两个函数是相同的。 ∴()12 ++=x x x f 与 ()113--=x x x g 函数关系相同，但定义域不同，所以()x f 与 ()x g 是不同的函数。 2、如果()M x f >（M 为一个常数），则()x f 为无穷大．错误根据无穷大的定义，此题是错误的。 3、如果数列有界，则极限存在．错误如：数列()n n x 1-=是有界数列，但极限不存在 4、a a n n =∞ →lim ，a a n n =∞ →lim ．错误如：数列()n n a 1-=，1)1(lim =-∞ →n n ，但n n )1(lim -∞ →不存在。 5、如果()A x f x =∞ →lim ，则()α+=A x f （当∞→x 时，α为无穷小）．正确根据函数、极限值、无穷小量的关系，此题是正确的。 6、如果α～β，则()α=β-αo ．正确 ∵1lim =α β ，是 ∴01lim lim =?? ? ??-=-αβαβα，即βα-是α的高阶无穷小量。 7、当0→x 时，x cos 1-与2x 是同阶无穷小．正确 ∵2122sin 412lim 2sin 2lim cos 1lim 2 02 2020=????? ? ????==-→→→x x x x x x x x x 8、 01 sin lim lim 1sin lim 000=?=→→→x x x x x x x ．错误 ∵x x 1 sin lim 0→不存在，∴不可利用两个函数乘积求极限的法则计算。 9、 e x x x =?? ? ??+→11lim 0 ．错误 ∵e x x x =?? ? ??+∞ →11lim 10、点0=x 是函数x x y =的无穷间断点．错误 =-→x x x 00lim 1lim 00-=--→x x x ，=+→x x x 00lim 1lim 00=+→x x x ∴点0=x 是函数x x y =的第一类间断点．

同济大学(高等数学)_第一章_函数极限

高数极限习题

第二章导数与微分典型例题分析客观题例 1 设)(x f 在点0x 可导,b a ,为常数,则=??+-?+→?x x b x f x a x f x ) ()(lim 000 ( ) )(0x f ab A ' )()(0x f b a B '+ )()(0x f b a C '- )(0x f b a D ' 答案 C 解 =??+-?+→?x x b x f x a x f x )()(lim 000=?-?+--?+=→?x x f x b x f x f x a x f x )] ()([)]()([lim 00000 -?-?+=→?x a x f x a x f a x ) ()(lim 000x b x f x b x f b x ?-?+→?)()(lim 000 )()(0x f b a '-= 例2（89303）设)(x f 在a x =的某个邻域内有定义,则)(x f 在a x =处可导的一个充分条件是( ) ?? ????-??? ??++∞→)(1lim )(a f h a f h A h 存在 h h a f h a f B h ) ()2(lim )(0+-+→存在 h h a f h a f C h 2) ()(lim )(0 --+→存在 h h a f a f D h ) ()(lim )(0 --→存在答案 D 解题思路 (1) 对于答案)(A ，不妨设 x h ?=1，当+∞→h 时，+ →?0x ，则有 x a f x a f a f h a f h x h ?-?+=?? ? ???-??? ??++ →?+∞→)()(lim )(1lim 0存在，这只表明)(x f 在a x =处右导数存在,它并不是可导的充分条件,故)(A 不对. (2) 对于答案)(B 与),(C 因所给极限式子中不含点a 处的函数值)(a f ，因此与导数概念不相符和.例如，若取 ? ??≠==a x a x x f ,0,1)( 则)(B 与)(C 两个极限均存在，其值为零，但1)(0)(lim =≠=→a f x f a x ，从而)(x f 在 a x =处不连续，因而不可导，这就说明)(B 与)(C 成立并不能保证)(a f '存在，从而) (B 与)(C 也不对. (3) 记h x -=?,则0→?x 与0→h 是等价的,于是

高等数学函数及极限教案

第一章函数与极限教学目的： 1、理解函数的概念，掌握函数的表示方法，并会建立简单应用问题中的函数关系式。 2、了解函数的奇偶性、单调性、周期性和有界性。 3、理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念。 4、掌握基本初等函数的性质及其图形。 5、理解极限的概念，理解函数左极限与右极限的概念，以及极限存在与左、右极限之间的关系。 6、掌握极限的性质及四则运算法则。 7、了解极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极限的方法。 8、理解无穷小、无穷大的概念，掌握无穷小的比较方法，会用等价无穷小求极限。 9、理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断点的类型。 10、了解连续函数的性质和初等函数的连续性，了解闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理），并会应用这些性质。教学重点： 1、复合函数及分段函数的概念； 2、基本初等函数的性质及其图形； 3、极限的概念极限的性质及四则运算法则； 4、两个重要极限； 5、无穷小及无穷小的比较； 6、函数连续性及初等函数的连续性； 7、区间上连续函数的性质。教学难点： 1、分段函数的建立与性质； 2、左极限与右极限概念及应用； 3、极限存在的两个准则的应用； 4、间断点及其分类； 5、闭区间上连续函数性质的应用。 §1. 1 映射与函数一、集合 1. 集合概念集合(简称集): 集合是指具有某种特定性质的事物的总体. 用A, B, C….等表示. 元素: 组成集合的事物称为集合的元素. a是集合M的元素表示为a M. 集合的表示:

列举法: 把集合的全体元素一一列举出来. 例如A ={a , b , c , d , e , f , g }. 描述法: 若集合M 是由元素具有某种性质P 的元素x 的全体所组成, 则M 可表示为 A ={a 1, a 2, ? ? ?, a n }, M ={x | x 具有性质P }. 例如M ={(x , y )| x , y 为实数, x 2+y 2=1}. 几个数集: N 表示所有自然数构成的集合, 称为自然数集. N ={0, 1, 2, ???, n , ???}. N +={1, 2, ?? ?, n , ???}. R 表示所有实数构成的集合, 称为实数集. Z 表示所有整数构成的集合, 称为整数集. Z ={???, -n , ???, -2, -1, 0, 1, 2, ???, n , ???}. Q 表示所有有理数构成的集合, 称为有理数集. },|{互质与且q p q Z p q p +∈∈=N Q 子集: 若x ∈A , 则必有x ∈B , 则称A 是B 的子集, 记为A ?B (读作A 包含于B )或B ?A . 如果集合A 与集合B 互为子集, A ?B 且B ?A , 则称集合A 与集合B 相等, 记作A =B . 若A ?B 且A ≠B , 则称A 是B 的真子集, 记作A ≠?B . 例如, N ≠?Z ≠?Q ≠?R . 不含任何元素的集合称为空集, 记作?. 规定空集是任何集合的子集. 2. 集合的运算设A 、B 是两个集合, 由所有属于A 或者属于B 的元素组成的集合称为A 与B 的并集(简称并), 记作A ?B , 即 A ? B ={x |x ∈A 或x ∈B }. 设A 、B 是两个集合, 由所有既属于A 又属于B 的元素组成的集合称为A 与B 的交集(简称交), 记作A ?B , 即 A ? B ={x |x ∈A 且x ∈B }. 设A 、B 是两个集合, 由所有属于A 而不属于B 的元素组成的集合称为A 与B 的差集(简称差), 记作A \B , 即 A \ B ={x |x ∈A 且x ?B }. 如果我们研究某个问题限定在一个大的集合I 中进行, 所研究的其他集合A 都是I 的子集. 此时, 我们称集合I 为全集或基本集. 称I\A 为A 的余集或补集, 记作A C . 集合运算的法则: 设A 、B 、C 为任意三个集合, 则 (1)交换律A ?B =B ?A , A ?B =B ?A ; (2)结合律 (A ?B )?C =A ?(B ?C ), (A ?B )?C =A ?(B ?C ); (3)分配律 (A ?B )?C =(A ?C )?(B ?C ), (A ?B )?C =(A ?C )?(B ?C ); (4)对偶律 (A ?B )C =A C ?B C , (A ?B )C =A C ?B C .

期末高等数学(上)试题和答案解析

第一学期期末高等数学试卷一、解答下列各题 (本大题共16小题，总计80分) 1、(本小题5分) 求极限　lim x x x x x x →-+-+-2332121629124 2、(本小题5分) .d )1(22x x x ?+求 3、(本小题5分) 求极限limarctan arcsin x x x →∞?1 4、(本小题5分) ? -.d 1x x x 求 5、(本小题5分) ．求dt t dx d x ?+2021 6、(本小题5分) ??. d csc cot 46x x x 求 7、(本小题5分) ．求? ππ2 1 21cos 1dx x x 8、(本小题5分) 设确定了函数求．x e t y e t y y x dy dx t t ==?????=cos sin (),22 9、(本小题5分) ．求dx x x ?+3 01 10、(本小题5分) 求函数　的单调区间y x x =+-422 11、(本小题5分) ．求? π +2 02sin 8sin dx x x 12、(本小题5分) ．，求设　dx t t e t x kt )sin 4cos 3()(ωω+=- 13、(本小题5分) 设函数由方程所确定求．y y x y y x dy dx =+=()ln ,226 14、(本小题5分) 求函数的极值y e e x x =+-2 15、(本小题5分) 求极限lim ()()()()()()x x x x x x x →∞++++++++--121311011011112222 16、(本小题5分)

.d cos sin 12cos x x x x ? +求二、解答下列各题 (本大题共2小题，总计14分) 1、(本小题7分) ,,512沿一边可用原来的石条围平方米的矩形的晒谷场某农场需建一个面积为.,,才能使材料最省多少时问晒谷场的长和宽各为另三边需砌新石条围沿 2、(本小题7分) .823 2体积轴旋转所得的旋转体的所围成的平面图形绕和求由曲线ox x y x y == 三、解答下列各题 ( 本大题6分 ) 设证明有且仅有三个实根f x x x x x f x ()()()(),().=---'=1230 一学期期末高数考试(答案) 一、解答下列各题 (本大题共16小题，总计77分) 1、(本小题3分) 解原式:lim =--+→x x x x 22231261812 =-→lim x x x 261218 =2 2、(本小题3分) ?+x x x d )1(22 ?++=222)1()1d(21x x =-++12112x c . 3、(本小题3分) 因为arctan x <π2而limarcsin x x →∞ =10 故limarctan arcsin x x x →∞ ?=10 4、(本小题3分) ?-x x x d 1 x x x d 111?----= ??-+-=x x x 1d d =---+x x c ln .1 5、(本小题3分)

高等数学函数极限

1 第一章函数极限与连续高等数学可以说是变量数学，它的研究对象、研究方法与初等数学相比都有相当大的差异。它主要研究对象是函数，它的主要内容是微积分学，它的主要手段是以极限为工具，并在实数范围内研究函数的变化率及其规律性，从而产生微积分的基本概念及性质。本章主要介绍函数的概念及其基本性质；数列与函数的极限及其基本性质；连续函数的概念及其基本性质，为进一步学好函数的微积分打下一个良好的基础。第一节函数的概念一、几个基本概念 1 常量与变量在日常生活或生产实践中，观察某一个事件的结果往往是用一个量的形式来表现的，在观察的某一个过程中始终保持不变的量称之为常量，经常变化的量称之为变量。通常用小写字母a 、b 、c …… 等表示常量，用小写字母x 、y 、z 、…… 表示变量。例如：圆周率π是永远不变的量，它是一个常量；某商品的价格在一定的时间段内是不变的，所以，在这段时间内它也是常量；又如一天中的气温，工厂在生产过程中的产量都是不断变化的量，这些量都是变量。注意： 1 常量和变量是相对的，它们依赖于所研究的过程和所研究的对象。在不同的过程中常量和变量是可以转化的。如商品的价格，某段时间是常量，另一段时间就有可能是变量了； 2 从几何意义上来表示，常量对应数轴上的定点，变量对应数轴上的动点。 2 集合、区间集合是表示具有同一种属性的全体。例如：某班的全体学生组成一个集合；长虹集团05年度的所有产品组成一个集合；所有正有理数仍组成一个集合等等。有关集合的运算、集合的表示等方面的基本知识，中学数学已有介绍，这里就不一一赘述了下面向读者介绍高等数学中常用的数集及其简明表示符号：开区间：()b a ,={} | b x a x << ；

高等数学(函数与极限)

目录一、函数与极限 (2) 1、集合的概念 (2) 2、常量与变量 (3) 2、函数 (4) 3、函数的简单性态 (4) 4、反函数 (5) 5、复合函数 (6) 6、初等函数 (6) 7、双曲函数及反双曲函数 (7) 8、数列的极限 (9) 9、函数的极限 (10) 10、函数极限的运算规则 (12)

一、函数与极限 1、集合的概念一般地我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫集合（简称集）。集合具有确定性（给定集合的元素必须是确定的）和互异性（给定集合中的元素是互不相同的）。比如“身材较高的人”不能构成集合，因为它的元素不是确定的。我们通常用大字拉丁字母A、B、C、……表示集合，用小写拉丁字母a、b、c……表示集合中的元素。如果a是集合A中的元素，就说a属于A，记作：a∈A，否则就说a不属于A，记作：a A。 ⑴、全体非负整数组成的集合叫做非负整数集（或自然数集）。记作N ⑵、所有正整数组成的集合叫做正整数集。记作N+或N+。 ⑶、全体整数组成的集合叫做整数集。记作Z。 ⑷、全体有理数组成的集合叫做有理数集。记作Q。 ⑸、全体实数组成的集合叫做实数集。记作R。集合的表示方法 ⑴、列举法：把集合的元素一一列举出来，并用“｛｝”括起来表示集合 ⑵、描述法：用集合所有元素的共同特征来表示集合。集合间的基本关系 ⑴、子集：一般地，对于两个集合A、B，如果集合A中的任意一个元素都是集合B的元素，我们就说A、B有包含关系，称集合A为集合B的子集，记作A B（或B A）。。 ⑵相等：如何集合A是集合B的子集，且集合B是集合A的子集，此时集合A中的元素与集合B中的元素完全一样，因此集合A与集合B相等，记作A＝B。 ⑶、真子集：如何集合A是集合B的子集，但存在一个元素属于B但不属于A，我们称集合A是集合B的真子集。 ⑷、空集：我们把不含任何元素的集合叫做空集。记作，并规定，空集是任何集合的子集。 ⑸、由上述集合之间的基本关系，可以得到下面的结论： ①、任何一个集合是它本身的子集。即A A ②、对于集合A、B、C，如果A是B的子集，B是C的子集，则A是C的子集。 ③、我们可以把相等的集合叫做“等集”，这样的话子集包括“真子集”和“等集”。集合的基本运算 ⑴、并集：一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合称为A与B的并集。记作A ∪B。（在求并集时，它们的公共元素在并集中只能出现一次。）即A∪B＝｛x|x∈A，或x∈B｝。 ⑵、交集：一般地，由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合称为A与B的交集。记作A ∩B。即A∩B＝｛x|x∈A，且x∈B｝。 ⑶、补集： ①全集：一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集。通常记作U。

高等数学测试题一(极限、连续)答案

高等数学测试题（一）极限、连续部分（答案）一、选择题（每小题4分，共20分） 1、当0x →+时，（A ）无穷小量。 A 1sin x x B 1 x e C ln x D 1 sin x x 2、点1x =是函数31 1()1131x x f x x x x -? 的（C ）。 A 连续点 B 第一类非可去间断点 C 可去间断点 D 第二类间断点 3、函数()f x 在点0x 处有定义是其在0x 处极限存在的（D ）。 A 充分非必要条件 B 必要非充分条件 C 充要条件 D 无关条件 4、已知极限22 lim()0x x ax x →∞++=，则常数a 等于（A ）。 A -1 B 0 C 1 D 2 5、极限2 01 lim cos 1 x x e x →--等于（D ）。 A ∞ B 2 C 0 D -2 二、填空题（每小题4分，共20分） 1、21lim(1)x x x →∞ -=2 e - 2、当0x →+时，无穷小ln(1)Ax α=+与无穷小sin 3x β=等价，则常数A=3 3、已知函数()f x 在点0x =处连续，且当0x ≠时，函数2 1()2x f x -=，则函数值(0)f =0 4、 111lim[ ]1223(1) n n n →∞+++??+ =1

5、若lim ()x f x π →存在，且sin ()2lim ()x x f x f x x ππ →= +-，则lim ()x f x π→=1 二、解答题 1、（7分）计算极限 222111 lim(1)(1)(1)23n n →∞- -- 解：原式=132411111 lim()()( )lim 223322 n n n n n n n n →∞→∞-++???=?= 2、（7分）计算极限 3 0tan sin lim x x x x →- 解：原式=2 322000sin 1sin 1cos 1cos 2lim lim lim cos cos 2x x x x x x x x x x x x x →→→--=== 3、（7分）计算极限 1 23lim( )21 x x x x +→∞++ 解：原式= 11 122 11 22 21lim(1)lim(1)121211lim(1)lim(1)22 x x x x x x x x x e x x +++→∞→∞+→∞→∞+=+++ =+?+=++ 4、（7分）计算极限 1 x x e →- 解：原式=201 sin 12lim 2 x x x x →= 5、（7分）设3214 lim 1 x x ax x x →---++ 具有极限l ，求,a l 的值解：因为1 lim(1)0x x →-+=，所以 32 1 lim(4)0x x ax x →---+=，因此 4a = 并将其代入原式 321144(1)(1)(4) lim lim 1011 x x x x x x x x l x x →-→---++--===++

高数竞赛练习题答案(函数、极限、连续

函数、极限、连续 1. ],[)(),(b a C x g x f ∈，在),(b a 内二阶可导且存在相等的最大值，又 ),()(),()(b g b f a g a f ==证明：(1))()(),,(ηηηg f b a =∈?使 (2))()(),,(ξξξg f b a ''=''∈?使证明：设)(),(x g x f 分别在d x c x ==,处取得最大值M ，不妨设 )(b d c a d c <≤<≤此时，作辅助函数),()()(x g x f x F -=往证0)(),,(=''∈?ξξF b a 使令),()()(x g x f x F -=则)(x F 在二阶可导上连续，在),(],[b a b a ，且 0)()(==b F a F ， ① 当d c <，由于 0)()()()(≥-=-=c g M c g c f c F 0)()()()(≤-=-=M d f d g d f d F 由“闭.连.”零点定理， )()(),,(],[ηηηg f b a d c =?∈?使 ② 当d c =，由于0)()()()()(=-=-=-=M M d g c f c g c f c F 即 )()(),,(ηηηg f b a =∈?使对)(x F 分别在],[],,[b a ηη上用罗尔定理，),(),,(21b a ηξηξ∈∈?，使 0)()(21='='ξξF F ，在],[21ξξ上对)(x F 在用罗尔定理， ),(),(21b a ?∈?ξξξ，使0)(=''ξF ，)()(),,(ξξξg f b a ''=''∈?使. 2. 设数列}{n x 满足 ,2,1,sin ,011==<<+n x x x n n π (1) 证明存在n n x ∞ →lim ，并求该极限 (2) 计算2 1)(lim 1n x n n n x x +∞→ 分析：(1) 确定}{n x 为单调减少有下界即可

医用高数精选习题(含答案)1~3

高等数学第1-3章作业一、求下列各极限 1. 求极限 1)1(3t a n lim 21--→x x x . 2. 求极限)ln 1 1(lim 1x x x x --→。 3. 求极限22 )2(sin ln lim x x x -→ ππ 4. 求极限) 1ln(1 02)(cos lim x x x +→ 5. 当0→x 时，)()1ln(2bx ax x +-+是2x 的高阶无穷小，求a ，b 的值 6. 求极限3 sin 1tan 1lim x x x x +-+→ 7. 求极限x x x x )1cos 2(sin lim ++∞→ 8. 求极限 x e e x x x 20sin 2lim -+-→ 二、求下列各函数的导数或微分 1、求函数x x y tan ln cos ?=的导数； 2、设.42arcsin 2x x x y -+= ，求1 =x dx dy 3、求)()(2 (2tan u f f y x =可导）的导数；4、设 x e x y x arccos )1(ln -= ，求)0(y ' 5、设 )ln(2 22222 2a x x a a x x y -+--= ，求y '。 6、设方程0=+-y x e e xy 确定了y 是x 的隐函数，求0 =''x y 。 7、设x x e y x sin )1ln(+ +=,求dy 。 8、设)0(,2 2)()2(lim 20≠+=?-?+→?x x x x x f x x f x ，求)2(x df 。三、应用题 1.讨论函数2 3 32x x y -=的（1）单调性与极值（2）凹凸区间与拐点 2. 求函数x x x f cos sin )(+=在]2,0[π上的极值。 3. 求函数 )0(ln 1)(2>-+=x x x x f 的极值 4. 在某化学反应中，反应速度)(x v 与反应物的浓度x 的关系为)()(0x x kx x v -=，其中0x 是反应开始时反应物的浓度，k 是反应速率常数，问反应物的浓度x 为何值时，反应速度 )(x v 达到最大值？

高数极限习题测验及答案

练习题 1. 极限 x x x x x x x x x x x x x x x 1lim )4(1 1lim )3(15 86 5lim )2(31lim )1(2 3 1 2 2 32 ---+-+-+++-∞ →→→∞→ (5) 已知011lim 2 =??? ? ??--++∞→b ax x x x , 求常数a , b . (6) x x x x sin 1sin lim 20→ (7) 211lim 22x x x x ???? ??+-∞ → (8) x x x 21lim 0 -→ (9) x x x sin ) 31ln(lim 0-→

(10) ???? ??-∞→1lim 1 x x e x 2. 函数的连续性 (1) 确定b 的值, 使函数 ? ??<≥+==-00 2)(1 x e x b x x f y x 在x =0点连续. (2) 确定a , b 的值, 使函数 1 lim )(22 1 2+-+==-∞ →n n n x bx ax x x f y 在整个实数轴上连续. (3) 讨论下列函数的连续性, 并判断其间断点的类型. ① x x x f sin )(=

② ??????? =≠+-=00 01212)(1 1 x x x f x x 3. 连续函数的性质 (1) 设 1)(1 -+++=-x x x x f n n Λ, 证明： )(x f 有一个不大于1的正根. (2) 若),()(∞+-∞∈C x f , 且A x f x =∞ →)(lim , 证明: ),()(∞+-∞在x f 内有界. 提高 1o),()(∞+-∞在x f 内至少有一个最值存在. 2o 对于最值与A 间的任意值C , 存在21,ξξ, 使得 C f f ==)()(21ξξ. 2. 函数的连续性 (1) 确定b 的值, 使函数 ???<≥+==-00 2)(1 x e x b x x f y x