第1课时 勾股定理

第十七章勾股定理

17.1 勾股定理

第1课时勾股定理

【知识与技能】

了解勾股定理的文化背景，体验勾股定理的探索过程.

【过程与方法】

在探索勾股定理的过程中，发展合情推理能力，体会数形结合思想，学会与人合作并能与他人交流思维的过程和探究结果，体验数学思维的严谨性.

【情感态度】

1.通过对勾股定理历史的了解，感受数学的文化，激发学习热情.

2.在探究活动中，体验解决问题的多样性，培养学生合作交流意识和探索精神.

【教学重点】

探索和证明勾股定理.

【教学难点】

用拼图的方法证明勾股定理

.

一、情境导入，初步认识

2002年在北京召开了第24届国际数学家大会，它是最高水平的全球性数学科学学术会议，被誉为数学界的“奥运会”.这就是本届大会会徽的图案（教师出示图片或照片）.

（1）你见过这个图案吗？

（2）你听说过“勾股定理”吗？

【教学说明】学生欣赏图片时，教师应对图片中的图案进行补充说明：这个图案是我国汉代数学家赵爽在证明勾股定理时用到的，被誉为“赵爽弦图”.通过对图片的观察，为学生积极主动投入到探索活动中创设情境，为探索勾股定理提供背景材料.

人教版-数学-八年级下册-18.1 勾股定理 第一课时 教案

第十八章勾股定理 18．1 勾股定理（一） 一、教学目标 1．了解勾股定理的发现过程，掌握勾股定理的内容，会用面积法证明勾股定理。 2．培养在实际生活中发现问题总结规律的意识和能力。 3．介绍我国古代在勾股定理研究方面所取得的成就，激发学生的爱国热情，促其勤奋学习。 二、重点、难点 1．重点：勾股定理的内容及证明。 2．难点：勾股定理的证明。 3．难点的突破方法：几何学的产生，源于人们对土地面积的测量需要。在古埃及，尼罗河每年要泛滥一次；洪水给两岸的田地带来了肥沃的淤积泥土，但也抹掉了田地之间的界限标志。水退了，人们要重新画出田地的界线，就必须再次丈量、计算田地的面积。几何学从一开始就与面积结下了不解之缘，面积很早就成为人们认识几何图形性质与争鸣几何定理的工具。本节课采用拼图的方法，使学生利用面积相等对勾股定理进行证明。其中的依据是图形经过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变。 三、例题的意图分析 例1（补充）通过对定理的证明，让学生确信定理的正确性；通过拼图，发散学生的思维，锻炼学生的动手实践能力；这个古老的精彩的证法，出自我国古代无名数学家之手。激发学生的民族自豪感，和爱国情怀。 例2使学生明确，图形经过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变。进一步让学生确信勾股定理的正确性。 四、课堂引入 目前世界上许多科学家正在试图寻找其他星球的“人”，为此向宇宙发出了许多信号，如地球上人类的语言、音乐、各种图形等。我国数学家华罗庚曾建议，发射一种反映勾股定理的图形，如果宇宙人是“文明人”，那么他们一定会识别这种语言的。这个事实可以说明勾股定理的重大意义。尤其是在两千年前，是非常了不起的成就。 让学生画一个直角边为3cm和4cm的直角△ABC，用刻度尺量出AB的长。

勾股定理(第一课时)教学设计

勾股定理（第一课时）教学设计 一、教案背景 （一）教材分析 这节课是九年制义务教育初级中学教材华师大版八年级上册第十四章第一 节《勾股定理》第一课时：直角三角形三边的关系。勾股定理是反映自然界基本规律的一条重要结论，它是直角三角形的一条重要性质，揭示了一个直角三角形三边之间的数量关系。它把三角形有一个直角的“形”的特点，转化为三边之间的“数”的关系，它是数形结合的典范。它可以解决许多直角三角形中的计算问题，勾股定理有着悠久的历史，在数学发展中起过重要的作用，在现实世界中有着广泛的作用。是初中数学教学内容重点之一。学生通过对勾股定理的学习，可以在原有的基础上对直角三角形有进一步的认识和理解。也可了解我国古代在勾股定理研究方面的成就，激发热爱祖国，热爱祖国悠久文化的思想感情。 （二）学情分析 1．通过初一一年的数学学习，初二学生能积极参与数学学习活动，对数学学习有较强的好奇心和求知欲，他们能探索具体问题中的数量关系和变化规律，也能较清楚地表达解决问题的过程及所获得的解题经验，他们愿意对数学问题进行讨论，并敢于对不懂的地方和不同的观点提出自己的疑问。 2.考虑到三角尺学生天天在用，较为熟悉，但真正仔细研究过三角尺的同学并不多，通过这样的情景设计，能非常简单地将学生的注意力引向本节课的本质。 3.以与勾股定理有关的人文历史知识为背景展开对勾股定理的认识，能激发学生的学习兴趣。 （三）教学设想 1．课型：新授课 2．设计理念：本教案以学生手中舞动的三角尺为知识背景展开，以勾股定理在古今中外的发展史为主线贯穿课堂始终，让学生对勾股定理的发展过程有所了解，让他们感受勾股定理的丰富文化内涵，体验勾股定理的探索和运用过程，激发学生学习数学的兴趣，特别是通过向学生介绍我国古代在勾股定理研究和运用方面的成就，激发学生热爱祖国，热爱祖国悠久文化的思想感情，培养他们的民族自豪感和探究创新的精神。 3．教学思路：探索结论-得出结论-历史介绍-初步应用结论-应用结论解决简单的实际问题。 二、教学目标 （一）知识目标 1．理解回顾直角三角形中三角之间的关系，掌握新知即三边之间关系。 2．理解勾股定理的内涵，并能用勾股定理进行简单的计算 3．通过画图实验，让学生经历探索勾股定理的过程，发展合情推理的能力，体会数形结合的思想。 （二）能力目标 1. 掌握勾股定理的内容，初步会用它进行有关计算，即已知两边，运用勾股定理列式求第三边。 2.应用勾股定理解决实际问题（探索性问题和应用性问题）。 3. 经历探索勾股定理内容的过程，学会简单的合情推理与数学说理。

优秀教案：勾股定理第1课时

14.1 勾股定理第1课时直角三角形三边的关系 社旗县二初中丁云锋 2012年10月

14.1勾股定理直角三角形三边的关系 教学目标： 知识与技能：掌握勾股定理及其简单应用，理解定理的一般探究方法 过程与方法：探索勾股定理的活动，让同学们经历观察、归纳、猜想和验证的数学发现过程，发展数形结合的数学思想。 情感、态度与价值观：发展学生的探究意识和合作交流的良好学习习惯，激发热爱祖国的思想感情，培养他们的民族自豪感。 教学重点、难点： 重点：掌握勾股定理及其简单应用 难点：用测量和拼图法说明勾股定理 教学过程： （一）创设情境，导入新课 导语：同学们，中华民族有五千年悠久的历史，我们创造了灿烂的文化。在数学方面，有大家熟悉的祖冲之对圆周率的贡献，以及刚刚接触过的杨辉三角等。在平面几何方面，我们国家也有突出的成就，大家想不想了解呢？（板书课题——14.1 勾股定理直角三角形三边的关系） （二）提出问题，引入探究 某楼房三楼失火，消防队员赶来灭火，了解到每层楼房

高3米，消防队员搬来一架6.5米长的梯子，要求梯子的底部离墙脚2.5米，请问消防队员能否顺利进入三楼灭火？ 学生猜想。那么怎样用数学的方法解决这个问题呢？学完本节课大家就能解决了。 活动一：探究等腰直角三角形三边之间的关系 出示课件图一，让学生完成表格，最后得出结论：等腰直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方 猜想：一般的直角三角形的三边有这样的关系吗？ 活动二：探究一般的直角三角形三边的关系 出示课件图二和图三，让学生小组合作完成表格，强调用分割法或拼图法求最大的，即以斜边为边的正方形的面积。 在学生充分探究的基础上得出结论：勾股定理直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方。 几何语言：∵在Rt△ABC中，∠C=90°（已知） ∴a2+b2=c2（勾股定理） 做一做：在课本后边的网格中画一个直角三角形，使它的两条直角边分别为3cm和4cm,测量出斜边的长度，计算一下两条直角边的平方和以及斜边的平方，看看是否相等。 进一步验证勾股定理的正确性。 那么，如果改为∠B=90°，用几何语言该怎样描述呢？ 向学生介绍勾股史话，特别是课本47页，我国古代数

勾股定理第三四课时

18.1.2 勾股定理的应用（2） 课 型：新 授 主 备：张永辉 审 核：八年级数学备课组 时 间:13年4月 班 级： 姓 名： 【学教目标】 1、利用勾股定理，能在数轴上表示无理数的点 2、利用数形结合的思想进行相关作图。 【学习重点】在数轴上表示无理数的点和勾股定理的应用。 【学习难点】勾股定理的灵活运用。 一、学前准备： 1、勾股定理的内容 2、13＝9＋4，即()213＝()29＋﹝ ﹞2；若以 和 为直角三角形的两直角边长，则斜边长为13。同理以 和 （均填正整数）为直角三角形的两直角边长，则斜边长为17。 二、师生探究： 探究一：我们知道数轴上的点有的表示有理数，有的表示无理数，你能在数轴上画出表示13的点吗？ 分析：(1)如果能画出长为_______的线段，就能在数轴上画出表示13的点。 (2)由勾股定理知，长为2的线段是两条直角边都为______的直角三角形的斜边。长为13的线段能是直角边为正整数的直角三角形的斜边吗？ 由勾股定理，可以发现，长为13的线段是直角边为正整数_____、 ______的直角三角形的斜边。 作法：在数轴上找到点A ，使OA=_____，作直线l 垂直于OA ，在l 上取点B ，使AB=_____，以原点O 为圆心，以OB 为半径作弧，弧与数轴的交点C 即为表示13的点。 2.在数轴上画出表示17的点？（尺规作图） 探究二：1.如图：螺旋状图形是由若干个直角三角形所 组成的，其中①是直角边长为1的等腰直角三角形。 那么OA 1＝ ,OA 2＝ ,OA 3＝ ,OA 4＝ , OA 5＝ ,OA 6＝ ,OA 7＝ ,…,OA 14＝ , …,OA n ＝ . 思考：利用课本上的方法能找出表示6和280的点吗？ 我的回答是： ， 原因是 。 三、当堂练习 1.在数轴上找出表示10和280的点. 2．把一根长为10㎝的铁丝弯成一个直角三角形的两条直角边，如果要使三角形的面积是9㎝2，那么还要准备一根长为____的铁丝才能把三角形做好． 3．如图，将一个边长分别为4、8的长方形纸片ABCD 折叠，使C 点与A 点重合，则EB 的长是（ ）． A ．3 B ．4 C ．5 D ．5 4．如图，铁路上A ，B 两点相距25km ，C ，D 为两村庄，DA⊥AB 于A ，CB⊥AB 于B ，已知DA=15km ，CB=10km ，现在要在铁路AB 上建一个土特产品收购站E ，使得C ，D 两村到E 站的距离相等，则E 站应建在离A 站多少km 处？ 四、拓展提高 1．如图，某学校（A 点）与公路（直线L ）的距离为300米， 又与公路车站（D 点）的距离为500米，现要在公路上建一个小商店（C 点），使之与该校A 及车站D 的距离相等，求商店与车站之间的距离． 2．如下图，要在河边修建一个水泵，分别向张村A 和李庄B 送水，已知张村 A 、李庄B 到河边的距离分别为2千米和7千米，且张、李二村相距13千米。 （1）、水站应建在什么地方，可使所用的水管最短？请在图中设计出 水泵的位置； （2）、如果铺设水管的工程费用为每千米1500米，为使铺设水管费用 最节省，请求出最节省的铺设水管的费用为多少？ 学教反思 5 ● ● ● ● ● ● O 1 2 3 4 5 ● ● ● ● ● ● O 1 2 3 4 A D E B C

勾股定理第一课时

课题：§17．1．218.1勾股定理（1）教学目标: 教学重点：探索勾股定理及定理简单应用； 教学难点：用拼图方法证明勾股定理。 教学课时：1课时教学课件：白板，ppt 教学过程 教学环节教师导学辅备补充学生 活动辅备补充 活动一： 创设情境 引入课题 活动1： 问题（1）去年10月份的一 次强台风把 小明家门前的一棵5米高 的大树从2米 处折断了，折断的树枝会不 会打到停在 大树旁 2.5米处的小轿车 呢？为什么？ 。 问题（2）2002年国际数学 大会在我国 北京召开，它是世界上最高 水平的数学 科学学术会议，被誉于数学 的“奥运会 ”这就是我们的会徽。该图 案是由哪些 图形拼成的？它有什么含 义呢？ 引入课题：18.1勾股定 理（1） 师生互动：教师提出问题，学生思考学生 观察 图案 回答 问 题， 教师 解说 知识与技能 1．了解勾股定理的文化背景，体验勾股定理的探索过程及定理简单应用； 过程与方法在定理的证明中培养学生的拼图能力，并通过解决问题，提高学生的运算能力、转换能力及实际应用能力； 情感、态度、价值观 通过对勾股定理历史的了解，感受数学文化，激发学习热情；

活动二：自主探究寻找新知 1、探索勾股定理 活动2： 问题（3）相传2500年前，古希 腊数学家毕达 哥拉斯在朋友家做客时，发现朋 友家 用砖铺成的地面中反映了直角 三角形 三边之间的某种数值关系 （1）我们也来观察一下你有什 么发现？ （2）等腰直角三角形是特殊的 直角三角形，一般的直角三角形 是否也有这样的特点 师生互动：教师解说并提出问 题，引导学生观察图案，学生观 察、交流、回答问题，师生共同 评价，归纳结论，总结发现方法。 活动3： 类比上述方法在网格上探索两 条直角边不相等的直角三角形 三边的数量关系。 若网格中每一个小方格面积为 1个单位面积， 那么正方形A、B、C的面积为 多少？你能从中发现什么结论 呢？ 师生互动：教师提出问题，引导 学生类比上述方法探索，学生思 考、动手探索、计算回答问题， 师生共同评价，归纳结论。 活动4： 同学们在网格上任意画一个直 角三角形，类比上述方法探索直 角三角形三边的数量关系。 师生互动：教师布置、巡视，引 导，学生动手探索，得出结论。 2、同学们由以上探索，依据该 图形，能否用一句话概括出以上 结论呢？ 命题：如果直角三角形的两条直 角边分别为a和b， 斜边为c，那么 师生互动：教师提问，学生概括 回答，教师板写结论。 由一 位学 生上 台来 画, 通过 比 较, 大家 说一 说、 议一 议得 到它 的一 些性

勾股定理的教学设计(第一课时)

17.1 勾股定理（第一课时） 【教学目标】 1.经历勾股定理的探究过程，了解关于勾股定理的一些文化历史背景，通过对我国古代研究勾股定理的成就的介绍，培养学生的民族自豪感。 2.能用勾股定理解决一些简单问题。 【重点难点】重点：探索和证明勾股定理。难点：应用勾股定理解决实际问题。【教学过程设计】 【活动一】 (一)创设问题情境 1、你听说过“勾股定理”吗？ (1)勾股定理古希腊数学家毕达哥拉斯发现的，西方国家称勾股定理为“毕达哥拉斯”定理 (2)在中国，相传4000多年前，大禹曾在治理洪水的过程中，利用勾股定理来测量两地的地势差 (3)我国著名的《算经十书》最早的一部《周髀算经》。书中记载有“勾广三，股修四，径隅五。”这作为勾股定理特例的出现。 2、毕答哥拉斯是古希腊著名的数学家。相传在2500年以前，他在朋友家做客时，发现朋友家用的地砖铺成的地面反映了直角三角形的某写特性。 （1）现在请你一观察一下，你能发现什么？ （2）一般直角三角形是否也有这样的特点吗？ （二）师生行为教师讲故事（勾股定理的发现）、展示图片，参与小组活动，指导、倾听学生交流。针对不同认识水平的学生，引导其用不同的方法得出大正方形的面积等于两个小正方形的面积之和。学生听故事发表见解，分组交流、在独立思考的基础上以小组为单位，采用分割、拼接、数格子的个数等等方法。阐述自己发现的结论。 （三）（三）设计意图 ①通过讲故事，让学生了解历史，培育学生爱国主义情操，激发学习的积极性。 ②渗透从特殊到一般的数学思想，为学生提供参与数学活动的时间与空间，发挥学生的主体作用；培养学生的类比迁移能力及探索问题的能力，使学生在相互欣赏、争辩、互助中得到提高。 ③鼓励学生用语免得数学活动的困难，尝试从不同角度去寻求解决问题的有效方法。并通过方法的反思，获得解决问题的经验。 在本次活动中教师用重点关注： ①学生能否将实际问题（地砖图形在三个正方形围成的一个直角三角形）转化成数学问题（探索直角三角形的特性三边关系）。 ②给学生足够的时间去思考和交流，鼓励叙述大胆说唱自己的看法。 ③学生能否准确挖掘图形中的隐含条件，技术各个正方形的面积 ④是否能用不同的方法（先补全在分割、数格子的个数、拼图等等），引导学生正确地得出结论。 ⑤学生能否主动参与探究活动，在探究中发表意见，与他人合作的意识。【活动二】 勾股定理的教学设计（第一课时） 一、教案背景 （一）教材分析 这节课是九年制义务教育初级中学教材华师大版八年级上册第十四章第一节《勾股定理》第一课时：直角三角形三边的关系。勾股定理是反映自然界基本规律的一条重要结论，它是直角三角形的一条重要性质，揭示了一个直角三角形三边之间的数量关系。它把三角形有一个直角的“形”的特点，转化为三边之间的“数”的关系，它是数形结合的典范。它可以解决许多直角三角形中的计算问题，勾股定理有着悠久的历史，在数学发展中起过重要的作用，在现实世界中有着广泛的作用。是初中数学教学内容重点之一。学生通过对勾股定理的学习，可以在原有的基础上对直角三角形有进一步的认识和理解。也可了解我国古代在勾股定理研究方面的成就，激发热爱祖国，热爱祖国悠久文化的思想感情。 （二）学情分析 1．通过初一一年的数学学习，初二学生能积极参与数学学习活动，对数学学习有较强的好奇心和求知欲，他们能探索具体问题中的数量关系和变化规律，也能较清楚地表达解决问题的过程及所获得的解题经验，他们愿意对数学问题进行讨论，并敢于对不懂的地方和不同的观点提出自己的疑问。 2.考虑到三角尺学生天天在用，较为熟悉，但真正仔细研究过三角尺的同学并不多，通过这样的情景设计，能非常简单地将学生的注意力引向本节课的本质。 3.以与勾股定理有关的人文历史知识为背景展开对勾股定理的认识，能激发学生的学习兴趣。 （三）教学设想 1．课型：新授课 2．设计理念：本教案以学生手中舞动的三角尺为知识背景展开，以勾股定理在古今中外的发展史为主线贯穿课堂始终，让学生对勾股定理的发展过程有所了解，让他们感受勾股定理的丰富文化内涵，体验勾股定理的探索和运用过程，激发学生学习数学的兴趣，特别是通过向学生介绍我国古代在勾股定理研究和运用方面的成就，激发学生热爱祖国，热爱祖国悠久文化的思想感情，培养他们的民族自豪感和探究创新的精神。 3．教学思路：探索结论-得出结论-历史介绍-初步应用结论-应用结论解决简单的实际问题。 二、教学目标 （一）知识目标 1．理解回顾直角三角形中三角之间的关系，掌握新知即三边之间关系。 2．理解勾股定理的内涵，并能用勾股定理进行简单的计算 3．通过画图实验，让学生经历探索勾股定理的过程，发展合情推理的能力，体会数形结合的思想。 （二）能力目标 1. 掌握勾股定理的内容，初步会用它进行有关计算，即已知两边，运用勾股定理列式求第三边。 2.应用勾股定理解决实际问题（探索性问题和应用性问题）。 3. 经历探索勾股定理内容的过程，学会简单的合情推理与数学说理。 4．通过勾股定理的简单应用，能用数学的眼光观察现实世界和有条理思考与表达的能力，感受勾股定理的价值，也能写出简单的推理格式，以培养学生的逻辑思维能力。 ﹙三﹚情感与价值观 培养学生参与的积极性，及合作交流的意识。学生通过适当训练，养成数学说理的习惯，逐步体验数学说理的重要性。 在探索勾股定理的过程中，体验获得成功的快乐，锻炼学生克服困难的勇气。引导学生积极探索，注意观察生活，体验生活中的数学。 通过了解我国古代在勾股定理研究方面的成就，激发热爱祖国，热爱祖国悠久文化的思想感情。 三、重点难点剖析 （一）重点 1．体验勾股定理的发现过程，勾股定理的内涵。 2．勾股定理的简单应用，即在直角三角形中，知道两边，可以求第三边。 （二）难点 1．勾股定理的发现过程。 2．应用勾股定理时斜边或直角的确定，推理格式的正确书写。 3．灵活运用勾股定理。 （三）难点成因 在勾股定理的探索和验证过程中，体现了数形结合的思想，而学生已有的知识能力水平很难从代数表示联想到有关的几何图形，由几何图形联想到有关的代数表示，这对学生具有一定的挑战性。 （四）难点突破 为了突出重点，突破难点，在探索勾股定理的过程中，按特殊到一般的思想，引导学生先由特殊的直角三角形开始研究，然后从正方形的面积联想a2、b2、c2；得出结论后，不把重点放在勾股定理的验证过程中，而只是简单介绍勾股历史，简单提到古今中外对勾股定理有很多证明方法，而对于怎样证明则作为课后阅读留给学生自己探索。然后直接进入勾股定理的应用。在教学中，给学生提供充分实践、探索和交流的时间，鼓励他们积极思考解决问题的办法，并与他人进行合作与交流。另外对练习的精选，也选择学生易错的题型，让他们养成先确定斜边或直角再利用定理的习惯。 四、教学策略及教法设计 （一）教学策略 课堂组织策略：创设贴近学生生活、生动有趣的问题情境，以熟悉的学习工具—三角板为导入，开展有效的数学活动，组织学生主动参与、勤于动手、积极思考，使他们在自主探究与合作交流的过程中，从整体上把握勾股定理探索的方法。 学生学习策略：明确学习目标，了解所需掌握的知识，在教师的组织、引导、点拨下主动地从事观察、实验、猜测、验证与交流等数学活动，从而真正有效地理解和掌握勾股定理。 辅助策略：借助多媒体课件，使学生直观形象地观察、动手操作。 （二）教法设计 探索法：让学生在探索直角三角形三边关系的活动中，积累数学活动经验。 讨论法：在学生进行了自主探索之后，让他们进行合作交流，使他们互相促进、共同学习。 练习法：教学中通过对形的计算，使学生了解数对形的意义，使数形结合在勾股定理教学中得到充分的展示。并精心设计随堂变式练习，巩固和提高学生的认知水平。 五、教学过程 师生双边教学活动教学手记教学过程学生活动 这是新课，要掌握的哦。 新知介 绍 1、 由身边熟悉的工具---三角板开始新课根据三角板拓展思维回答相关问题 情景创 设

第3课时勾股定理

第3课时 18.2 勾股定理的逆定理（1） 学习目标1、掌握勾股定理的逆定理，能应用勾股定理逆定理判定某个三角形是直角三角形。 2、灵活应用勾股定理及逆定理解决实际问题。 重点难点重点：掌握勾股定理的逆定理，能应用勾股定理逆定理判定某个三角形是直角三角形。 难点：灵活应用勾股定理及逆定理解决实际问题。 新知导学（一）复习巩固： 1、如图，在Rt△ABC中，∠C=90o，三边长为a，b，c (1)两锐角关系∠____+∠____=90o (2)三边之间的关系(勾股定理)：_ ___2+__ __2=__ _2 2、求出下列直角三角形的未知边。 AC=______ BC=______ BC=_______ （二）探究新知： 1、已知：在Rt△ABC中，AB=c，BC=a，CA=b，且a2+b2=c2。 求证：∠C=90o。 分析：①思考：证明一个角是90o有何方法？ ____________________________ ②按要求画出图形作△A/B/C/，使B/C/=a，A/C/=b，∠C/=90o 。 ③在Rt△A/B/C/中，A/B/=_____________。 ④A/B/____AB，（填“=”或“≠”）作图： ⑤△_____≌△_____ （） ⑥∠C____∠C/（填“=”或“≠”） 证明： 2、小结：如果三角形的三边长a，b，c满足， 那么这个三角形是三角形。 3、定理的应用： 例：判断下列线段a、b、c组成的三角形是否为直角三角形？若是，指出哪一条边所对的角是直角。 （1）a=15，b=20，c=25 解：∵2 2b a = = 2c= = ∴a2+b2 ____ c2（填“=”或“≠”） ∴线段a=15，b=20，c=25 构成直角三角形（“能”或“不能”） A B C

人教版八年级下册数学第1课时 勾股定理教案与教学反思

第十七章勾股定理 上大附中何小龙 17.1 勾股定理 第1课时勾股定理 【知识与技能】 了解勾股定理的文化背景，体验勾股定理的探索过程. 【过程与方法】 在探索勾股定理的过程中，发展合情推理能力，体会数形结合思想，学会与人合作并能与他人交流思维的过程和探究结果，体验数学思维的严谨性. 【情感态度】 1.通过对勾股定理历史的了解，感受数学的文化，激发学习热情. 2.在探究活动中，体验解决问题的多样性，培养学生合作交流意识和探索精神. 【教学重点】 探索和证明勾股定理. 【教学难点】 用拼图的方法证明勾股定理. 一、情境导入，初步认识 2002年在北京召开了第24届国际数学家大会，它是最高水平的全球性数学科学学术会议，被誉为数学界的“奥运会”.这就是本届大会会徽的图案（教师出示图片或照片）. （1）你见过这个图案吗？ （2）你听说过“勾股定理”吗？ 【教学说明】学生欣赏图片时，教师应对图片中的图案进行补充说明：这个图案是我国汉代数学家赵爽在证明勾股定理时用到的，被誉为“赵爽弦图”.通过对图片的观察，为学生积极主动投入到探索活动中创设情境，为探索勾股定理

提供背景材料. 二、思考探究，获取新知 毕达哥拉斯是古希腊著名数学家.相传在2500年前，他在朋友家做客时，发现朋友家用砖铺成的地面中反映了直角三角形三边的某种数量关系.请你也观察一下类似的图案（教材P22图形），你有什么发现？ 【教学说明】教师与学生一道分析教材P22图17.1-2，右边的三个正方形及直角三角形是从左边的等腰三角形的图案中截取出来的，将大正方形沿对角线分成四个小直角三角形，再把两个小正方形沿竖直对角线分成两个小直角三角形，从而可发现其中特征. 【归纳结论】等腰直角三角形斜边的平方等于两直角边的平方和.问题等腰直角三角形三边的关系特征是否也适用于其它的直角三角形呢？请同学们继续观察P23图17.1-3，运用割补法分别计算正方形A、B、C和正方形A′、B′、C′的面积，看看它们之间有什么关系？ 【教学说明】让学生自主探究或相互交流探寻出正方形C和C′的面积，教师巡视，针对学生的认知方法引导学生选用不同的方法得出它们各自的面积.一 方面，正方形C的面积为：52-4×1 2 ×2×3=2512=13；另一方面也有正方形C 的面积为：4×1 2 ×2×3+1=13，而这两种方法都可以从图中直接获得，同样可得 到正方形C′的面积为34. 通过观察上述问题的探讨，若将直角三角形的两直角边记为a，b，斜边为c，则应有a2+b2=c2，即直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方.上述结论我们都是通过特例而获得的，是否对所有的直角三角形都能成立呢？有没有办法来证明呢？ 做一做 将一张白纸对折，再对折，然后随意画一个直角三角形，用剪刀沿画线裁出四个等的直角三角形，在较大直角边处标记b，较短直角边处标记a，斜边标记c，然后按图示方式拼图.

1.1探索勾股定理第一课时教案

1.1.1探索勾股定理 一、教学目标叙写 １．学生通过预习教材1页，完成“引入”经历探索勾股定理． ２．学生通过合作探究“做一做”，验证猜想勾股定理，从而得出结论，进一步发展空间观念和推理能力． ３．学生通过交流知识点、易错点和思想方法，培养学生归纳能力和有条理的表达能力．４．学生通过完成“五、当堂评价”，运用勾股定理进行简单的推理和计算． 二、教学重难点 １．重点：勾股定理及其应用. 2.难点：勾股定理的探索过程. 三、教学过程 （一）、情景引入Array 1.02年世界数学家大会在我国北京召开，投影显示本届世界数学家大会 的会标:标中央的图案是一个与“勾股定理”有关的图形，数学家曾建议用“勾 股定理”的图来作为与“外星人”联系的信号．今天我们就来一同探索勾股定 理．（板书课题） 2. 俄罗斯的伟大作家托尔斯泰在作品《一个人需要很多的土地吗？》中写出 一个故事： 有一个叫巴河姆的人到草原上去购买土地。卖地的人提出了一个非常奇怪的地价：“每天1000卢布。”意思是：谁出1000卢布，那么他从日出到日落走过的路所围成的土地都归他；不过，如果日落之前买地的人回不到原来的出发点，那么他就一点土地也得不到。 巴河姆觉得条件对自己有利，于是付了1000卢布。第二天太阳刚刚从地平线升起，就连忙在草原上大步走去。他走了足足10俄了里才左拐弯，接着又走了许久，才再向左拐弯， 这样又走了2俄里，这时他发现天色已经不早，而自己离出发点还足足有17俄里，于是只 得改变方向，拼命朝出发点跑去，总算在日落之前赶回了出发点。可是，他还未站稳，两脚 一软，就倒地口吐鲜血而死。 你能算出巴河姆这一天共走了多少路？走过的路所围成的土地面积有多大吗？ （二）、自主探究 探究一：在纸上画若干个直角三角形，分别测量它们的三条边，看看三条边之间的平方具有什么关系？与同伴进行交流。 探究二： （1）如图1-2：等腰直角三角形三边的平方分别是多少？它们满足上面所猜想的数量关系吗？ 你是如何计算的，与同伴进行交流。 （2）对于图1-3中的直角三角形，是否还满足这样的关系？你又是如何计算的？

第18章勾股定理第1课时教学设计

《勾股定理》教学设计 一、教材分析 （一）教材的地位与作用 勾股定理揭示的是直角三角形中三边的数量关系。它在数学的发展中起着重要的作用，在现实世界中也有着广泛的应用。学生通过对勾股定理的学习，可以在原有的基础上对直角三角形有进一步的认识和理解。 （二）教学目标 知识与技能： 体验勾股定理的探索过程并理解勾股定理反映的直角三角形三边之间的数量关系. 过程与方法： 让学生经历“观察—猜想—归纳—验证”的数学过程，并体会数形结合和由特殊到一般的思想方法.。通过数学活动，体验数学思维的严谨性，发展形象思维。在探究活动中，学会与人合作并能与他人交流思维的过程和探究的结果． 情感态度与价值观： （1）在探索勾股定理的过程中，让学生体验解决问题方法的多样性，培养学生的合作交流意识和探索精神．通过获得成功的经验和克服困难的经历，增进数学学习的信心. （2）使学生在定理探索的过程中，感受数学之美，探究之趣. （3）在数学活动中使学生了解勾股定理的历史，感受数学文化，激发学习热情．（4）通过介绍勾股定理在中国古代的历史，激发学生的民族自豪感. 解决问题： 1、通过拼图活动，体验数学思维的严谨性，发展形象思维。 2、在探索活动中，学会与人合作，并能与他人交流思维的过程和探索的结果。 情感与态度： 1、通过对勾股定理历史的了解，对比介绍我国古代和西方数学家关 于勾股定理的研究，激发学生热爱祖国悠久文化的情感，激励学生奋发学习。

2、在探索勾股定理的过程中，体验获得结论的快乐，锻炼克服困难 的勇气，培养合作意识和探索精神。 （三）教学重、难点 重点：探索和证明勾股定理 难点：用拼图方法证明勾股定理 二、学情分析 学生对几何图形的观察，几何图形的分析能力已初步形成。部分学生解题思维能力比较高，能够正确归纳所学知识，通过学习小组讨论交流，能够形成解决问题的思路。 三、教学策略 本节课采用探究发现式教学，由浅入深，由特殊到一般地提出问题，鼓励学生采用观察分析、自主探索、合作交流的学习方法，让学生经历数学知识的形成与应用过程。 四、教学程序

17.1 勾股定理3 第1课时 勾股定理

17.1勾股定理 第1课时勾股定理 【学习目标】 1．经历探索及验证勾股定理的过程，体会数形结合的思想． 2．掌握勾股定理，并运用它解决简单的计算题； 3．了解利用拼图验证勾股定理的方法． 【学习重点】 探索和验证勾股定理． 【学习难点】 在方格纸上通过计算面积的方法探索勾股定理． 情景导入生成问题 旧知回顾： 如图所示的图形像一棵枝叶茂盛、姿态优美的树，这就是著名的毕达哥拉斯树，它由若干个图形组成，而每个图形的基本元素是三个正方形和一个直角三角形．各组图形大小不一，但形状一致，结构奇巧，你能说说其中的奥秘吗？ 自学互研生成能力

知识模块一发现勾股定理 【自主探究】 阅读教材P22，完成下面的内容： 图17.1－2 思考：图17.1－2中三个正方形的面积有什么关系？ 等腰直角三角形的三边之间有什么关系？ 解：可以发现，以等腰直角三角形两直角边为边长的小正方形的面积的和，等于以斜边为边长的大正方形的面积．即等腰直角三角形的三边之间有一种特殊的关系：斜边的平方等于两直角边的平方和．【合作探究】 阅读教材P23探究，完成下面的内容： 思考：等腰直角三角形有上述性质，其他的直角三角形也有这个性质吗？ 归纳：命题1：如果直角三角形的两条直角边长分别为a、b，斜边长为c，那么a2＋b2＝c2. 知识模块二证明勾股定理 【自主探究】 阅读教材P23～24，完成下面的内容： 理清证明命题1的基本思路：用面积法，拼图证明它们的面积相等，从而得到a2＋b2＝c2. 【合作探究】 如图：

解：S 正方形ACFD ＝S 四边形ABFE ＝S △BAE ＋S △BFE ， 即b 2＝12c 2＋12 (b ＋a )(b －a )，整理得2b 2＝c 2＋b 2－a 2， ∴a 2＋b 2＝c 2； 知识模块三 勾股定理的简单应用 【自主探究】 如图所示，△ABC 中，AB ＝13，BC ＝14，AC ＝15.求BC 边上的高AD 的长． 解：设BD ＝x ，则DC ＝14－x ， 由勾股定理得AB 2－BD 2＝AC 2－CD 2， 即132－x 2＝152－(14－x )2，解得x ＝5， ∴AD ＝132－52＝12. 【合作探究】 如图所示，四边形ABCD 是长方形，把△ACD 沿AC 折叠到△ACD ′，AD ′与BC 交于E ，若AD ＝4，DC ＝3，求BE .

17.1 勾股定理(第一课时)

17．1 勾股定理 第1课时勾股定理 01 课前预习 要点感知勾股定理：如果直角三角形的两条直角边长分别是a、b，斜边长为c，那么a2＋b2＝c2. 预习练习在Rt△ABC中，若两条直角边长分别是5 cm、12 cm，则斜边长为(B) A．17 cm B．13 cm C．7 cm D．12 cm 02 当堂训练 知识点1 利用勾股定理进行计算 1．在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对应边分别是a、b、c，若∠B＝90°，则下列等式中成立的是(C) A．a2＋b2＝c2B．b2＋c2＝a2 C．a2＋c2＝b2D．c2－a2＝b2 2．在Rt△ABC中，斜边长BC＝3，则AB2＋AC2的值为(B) A．18B．9 C．6 D．无法计算 3．如图，点E在正方形ABCD内，满足∠AEB＝90°，AE＝6，BE＝8，则正方形ABCD的面积为(C) A．48 B．60 C．100 D．140 4．已知直角三角形的斜边长为10，一直角边长是另一直角边长的3倍，则直角三角形中较长的直角边长为(D) A.10 B．2.5 C．7.5 D．310 5．已知直角三角形中30°角所对的直角边长是2 3 cm，则另一条直角边的长是(C) A．4 cm B．4 3 cm C．6 cm D．6 3 cm

6．(柳州中考)如图，在△ABC中，∠C＝90°，则BC＝4． 7．(玉溪中考)如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，分别以BC、AB、AC为边向外作正方形，面积分别记为S1、S2、S3，若S2＝4，S3＝6，则S1＝2． 8．在△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c. (1)若b＝2，c＝3，求a的值； (2)若a∶c＝3∶5，b＝32，求a、c的值． 解：(1)∵a2＋b2＝c2， ∴a＝c2－b2. ∴a＝ 5. (2)设a＝3x，c＝5x， ∵a2＋b2＝c2， ∴(3x)2＋322＝(5x)2.解得x＝8. ∴a＝24，c＝40. 知识点2 勾股定理的证明 9．利用图1或图2两个图形中的有关面积的等量关系都能证明数学中一个十分著名的定理，这个定理称为勾股定理，该定理结论的数学表达式是a2＋b2＝c2. 03 课后作业 10．(荆门中考改编)如图，△A BC中，AB＝AC，AD是∠BAC的平分线．已知AB＝5，AD＝3，则BD 的长为(C)

人教版八年级数学下册课时作业：17.1 第3课时 勾股定理作图与计算

第3课时勾股定理作图与计算 知识点 1 勾股定理与实数 1.小明学了利用勾股定理在数轴上找一个无理数的准确位置后,又进一步进行练习:如图,首先画出数轴,设原点为点O,在数轴上距原点2个单位长度的位置确定一点A,然后过点A作AB⊥OA,且AB=3.以点O为圆心,OB长为半径作弧,与数轴右侧的交点记为点P,则点P表示的实数在() A.1和2之间 B.2和3之间 C.3和4之间 D.4和5之间 2.如图所示,在正方形ODBC中,OC=2,OA=OB,则数轴上点A表示的数是. 知识点 2 勾股定理与网格 3.如图,点A,B,C在正方形网格的格点上,每个小正方形的边长均为1,则网格上的△ABC的三边中,长度为无理数的边有() A.0条 B.1条 C.2条 D.3条 4.如图,网格中每个小正方形的边长都为1,则△ABC的周长为() A.16 B.12+4√2 C.7+7√2 D.5+11√2 5.如图,在6×6的正方形网格(每个小正方形的边长均为1 cm)中,网格线的交点称为格点,△ABC的顶点都在格点

处,则AC边上的高为cm. 6.如图,正方形网格中每个小正方形的边长都是1,任意连接这些小正方形的顶点,可得到一些线段.请在图中画出线段AB=√2,CD=√5,EF=√13. 知识点 3 勾股定理与图形折叠 7.如图,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,AB=3,AC=5,点E在BC上,将△ABC沿AE折叠,使点B落在AC边上的点B'处,则BE的长为. 8.如图,折叠长方形ABCD的一边AD,使点D落在BC边上的点F处,已知AB=8 cm,BC=10 cm,求CE的长. 9.为了比较√5+1与√10的大小,可以构造如图所示的图形进行推算,其中∠C=90°,BC=3,点D在BC上,且BD=AC=1,通过计算可得√5+1√10.(填“>”“<”或“=”)

181勾股定理第3课时教学设计

第三课时 一、教学目标 知识与技能 能将实际问题转化为直角三角形的数学模型，并能用勾股定理解决简单的实际问题． 过程与方法 1．经历将实际问题转化为直角三角形的数学模型过程， 并能用勾股定理来解决此问题，发展学生的应用意识． 2．在解决实际问题的过程中，体验解决问题的策略， 发展学生的实践能力和创新精神． 3．在解决实际问题的过程中，学会与人合作， 并能与他人交流思维过程和结果，形成反思的意识． 情感、态度与价值观 1．在用勾股定理探索实际问题的过程中获得成功的体验， 锻炼克服困难的意志，建立自信心． 2． 在解决实际问题的过程中形成实事求是的态度以及进行质疑和独立思考的习惯． 二、教学重、难点 重点：将实际问题转化为直角三角形模型． 难点：如何用解直角三角形的知识和勾股定理来解决实际问题． 三、教学准备 多媒体课件 四、教学方法 讲练结合，分组探讨 五、教学过程 (一)复习回顾，引入新课 问题1：欲登12米高的建筑物，为完全需要，需使梯子

底端离建筑物5米，至少需多长的梯子？ 设计意图： 勾股定理是几何中几个最重要的定理之一，它揭示了一个直角三角形三条边之间的数量关系，它可以解决许多直角三角形中的计算问题，是解直角三角形的主要依据之一，在生产生活实际中用途很大．它不仅在数学中，而且在其他自然科学中也被广泛的应用． 此活动让学生体验勾股定理在生活中的一个简单应用． 师生行为： 学生分小组讨论，建立直角三角形的数学模型． 教师深入小组活动中，倾听学生的想法． 此活动，教师应重点关注 ②学生能否将简单的实际问题转化为数学模型； ②学生能否利用勾股定理解决实际问题并给予解释； ③学生参加数学活动是否积极主动． 生：根据题意，（如图）AC是建筑物，则 AC=12m，BC=5m，AB是梯子的长度． 所以在Rt△ABC中， AB2=AC2+BC2=122+52=132，AB=13m．所以至少需13m 长的梯子． 师：很好！ 由勾股定理可知，已知两直角边的长a，b，就可以求出斜边c的长． 由勾股定理可得a2=c2-b2或b2=c2-a2，由此可知已知斜边与一条直角边的长，就可以求出另一条直角边，也就是说，在直角三角形中，已知两边就可求出第三边的长．

勾股定理导学案第一课时

勾股定理导学案第一课时 学习目标： 1．经历勾股定理的探索过程，能熟记定理的内容. 2．能运用勾股定理由直角三角形的已知两边求第三边. 3．能运用勾股定理解一些简单的实际问题. 重点：勾股定理的探索和应用. 难点：勾股定理的探索. 学习过程： 一、知识回顾（用学过的知识完成下列填空） ①含有一个 的三角形叫做直角三角形. ②已知R t △ABC 中的两条直角边长分别为a 、b ,则S △ABC ＝ . ③已知梯形上下两底分别为a 和b ，高为（a ＋b ），则该梯形的面积为 . ④完全平方公式：（a ±b ）2＝ . ⑤在R t △ABC 中，已知∠A ＝30°，∠C ＝90°，直角边BC ＝1，则斜边AB ＝ . 二、自学交流 活动一 动手做一做 1、在右边空白处画出Rt△A B C 令∠C = 90°， 直角边A C = 3cm ，B C = 4cm ， （1）用刻度尺量出斜边A B = ________ （2）计算：__________,_____,222===AB BC AC 2、探究：2 2 2 ,,AB BC AC 之间的关系：________________ 活动二 毕达哥拉斯的发现 1、 图中两个小正方形分别为A 、B ，大正方形为C ， 则三个正方形面积之间的关系：_______________ 2、 设三个正方形围成的等腰直角三角形的直角边为a ， 斜边为c ，则图中等腰直角三角形三边长度 之间的关系：_____________________ 3.（1）能发现各图中三个正方形的面积之间有何关系吗？ 结论1： （2）观察右边两幅图，填表。

b a C A B 四、当堂检测 1、在Rt △ABC 中，∠C=90°， ①若a=5，b=12，则c=___________；②若a=15，c=25，则b=___________； ③若c=61，b=60，则a=__________；④若a ∶b=3∶4，c=10则S Rt△ABC =________。 2、一直角三角形的一直角边长为6，斜边长比另一直角边长大2，则斜边的长为 。 3、一个直角三角形中，两直角边长分别为3和4，下列说法正确的是（ ） A ．斜边长为25 B ．三角形周长为25 C ．斜边长为5 D ．三角形面积为20 4、已知，如图在ΔABC 中，AB=BC=CA=2cm ，AD 是边BC 上的高． 求 ①AD 的长；②ΔABC 的面积． A 的面积 B 的面积 C 的面积 左图 右图 （3）你是怎样得到正方形C 的面积的？与同伴交流． 3.猜想命题：如果直角三角形的两条直角边分别为a 、b ，斜边为c ，那么 。 活动四 认识赵爽弦图 活动五 证明猜想 已知：如图，在边长为c 的正方形中，有四个 两直角边分别为a 、b ，斜边为c 全等的直角三角形， 求证： 2 2 2 a b c +=（提示：大正小正＝S S S Rt +?4） 证明： 3.证法积累：利用下图，模仿上述推导，能否得到相同的结果？ 在我国古代，人们将直角三角形中_____________叫做勾，______________叫做股，_______叫做弦. 勾股定理：直角三角形两条_______的平方和等于_____的平方 如果直角三角形的两直角边分别为a 、b ，斜边为c ，那么_________________ b b c c c c a a a a b b b b a a c a c c a a D B b b b b c c c c a a a b b a c c a a

人教版八年级数学下册十七章第一节勾股定理第一课时说课稿

人教版八年级数学下册第十七章第一节 《勾股定理第一课时》说课稿 羊泉初级中学曹明 一、教材分析 （一）教材的地位与作用 勾股定理揭示了直角三角形三边之间的一种美妙关系，它是数形结合的优美典范，在数学发展和现实世界中有着广泛的作用.学生通过对勾股定理的学习，可以在原有的基础上对直角三角形有进一步的认识和理解. （二）教学目标 （1）知识与技能 了解勾股定理的发现过程，掌握勾股定理的内容并会证明勾股定理；培养学生在实际生活中发现问题总结规律的意识和能力. （2）过程与方法 在探索勾股定理的过程中，让学生经历“观察—猜想—验证”的数学思想，并体会数形结合和从特殊到一般的思想方法. （3）情感态度与价值观 感受数学文化，激发学生学习的热情，体验合作学习获取成功的喜悦，渗透数形结合的思想. （三）重点、难点分析 重点：探究并理解勾股定理 难点：探索勾股定理的验证方法 二、教法分析 (1)教法：引导探索法、动态演示法 (2)学法：探究发现法 (3)教学准备：课前让学生准备方格纸； 三、教学设计

环节问题与情境师生行为设计意图复 习 引入你对直角三角形已经有了哪些认识？ 出示直角三 角形，并友学 生回答； 复习与直角 三角形有关的知 识，便于开始本 节课的学习； 故事场景发现新知【探究活动1】地砖里的秘密？ 毕达哥拉斯朋友家用地 砖铺成的地面反映了直角三 角形三边的某种数量关系. 思考： (1)正方形A、B、C中的方格数目； (2)图中正方形A、B、C面积之间有什么关系？ (3)正方形A、B、C围成了什么图形？ 出示毕达哥 拉斯做客故 事，提出问题. 学生独立思 考隐藏的规 律，提出猜想. 这样的设计 难度小、起点低， 能让所有学生在 轻松的伟人故事 中积极参与对数 学问题的讨论和 探索. 合作交流 探究新知【探究活动2】大胆猜想! 其余的一般直角三角形也有这个性质吗？ (1)以斜边为边的正方形面积怎样求？ (2)三个正方形面积有什么关系？ (3)直角三角形三边长有什么关系？ (4)请大胆提出你的猜想. 1.小组内共同 探索计算A、 B、C的面积 后小组代表 用多媒体投 影展示本组 猜想结果. 2.教师用幻灯 片直观演示， 将探究活动 扩展到更一 般的情况. 每组所画图形不 同，但探究猜想 结果相同，渗透 从特殊到一般的 数学思想.大胆猜 想环节培养了学 生的类比迁移能 力.