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12-13-1高数B1期中试题

2012 -2013学年第一学期高等数学B1期中考试试卷

一、选择题(每小题3分,共18分)

1.函数45)(2+?=x x x f 的定义域为 ( )。

(A) ][4,1 (B) [)+∞,4 (C) (][)+∞∪∞?,41, (D) ()()+∞∪∞?,41,

2.下列极限正确的是( )。 (A) 11sin lim =∞→x x x (B)1sin lim =∞→x

x x (C) 12sin lim 0=→x

x x (D) 11sin lim 0=→x x x ; 3.函数1sin ,0()0,0

x x f x x x ?≠?=??=? 在0x =处( )。 (A)极限不存在 (B) 不连续; (C) 连续,但不可导; (D) 可导;

4.设()1cos f x x =?,2()arctan g x x =,则当0x →时()f x 是()g x 的( )。

(A)等价无穷小 (B)同阶但非等价无穷小 (C)高阶无穷小 (D)低阶无穷小

5.设函数(sin )y f x =可导,且(0)1f ′=,则x dy

dx π=的值为( )。

(A) 1? (B) 0 (C) 1 (D) 2π

6.设()f x 在[,]a b 上连续,在(,)a b 内可导,又,a b 是方程()0f x =的两个根,

则方程()0f x ′=在(,)a b 内( )。

(A) 只有一个实根 (B) 至少有一个实根 (C) 至少有两个实根 (D) 没有实根

二、填空题(每小题3分,共21分)

1.设0,0(),0x f x x x

,则[ln ]f x = 。 2.0x =是函数sin (1)

x y x x =? 的 间断点。

3.120lim(1)x x x →?= 。

4.设2(1)3()2

a x bx f x x ++?=+当x →∞时为无穷小量,则a = ,

b = 。 5.设函数31,0

()1,0sin ,0x e x x f x x x x x x ????

,则()f x 的连续区间是 。

6.设()f x 在点1x =处可导,且(1)2f ′=,则0(12)(1)lim sin 3t f t f t

→+?= 。 7.设arctan x y e =,则dy = 。

三.试解下列各题(每小题7分,共49分)

1

.求极限20lim +2x x x

12-13-1高数B1期中试题

12-13-1高数B1期中试题

→。 2.求极限20

lim (ln )x x x →。 3

.设22cos ()x

12-13-1高数B1期中试题

f x x e =,求()f x ′。 4.设(sin )y f x =,其中()f u 有二阶导数,求y ′及y ′′。

5.设函数()y f x =由方程y x x y =所确定,求dy 。

6.求由参数方程sin 1cos x t t y t

=???=?? 所确定的函数的导数dy dx 。 7.设()y f x =由方程cos e 1y x y +=所确定,求曲线()y f x =在点(0,0)处的

切线方程。

四.证明题(每小题6分,共12分)

1.证明当0x >时,ln(1)1x x x x

<+<+。 2.设()f x 在[0,]a 上连续(0a >),在(0,)a 内可导,且()0f a =,

证明至少存在一点(0,)a ξ∈,使得2()2()0f f ξξξξ′+=。

参考答案

一、选择题(每小题3分,共18分)

1.(C )

2.(A )

3.(C)

4.(B)

5.(A)

6.(B)

二、填空题(每小题3分,共21分)

1.0,01ln ,1

x x x <

7. 21x x e dx e + 三.试解下列各题(每题7分,共49分)

1

12-13-1高数B1期中试题

12-13-1高数B1期中试题

12-13-1高数B1期中试题

.解:20lim 2+2x x x x →→==。 2.解:22000212ln ()(ln )lim (ln )lim lim 11x x x x x x x x x x

→→→==?0021ln 2lim 2lim 011x x x x x x →→=?=?=? 3.解:两边取对数 1ln ln cos ln(15)2ln 22

f x x x x =++??; 求导 51tan 22(15)2f x f x x

′=?+??+;

所以 22cos 52[tan 2]2(15)x f x x e x x

12-13-1高数B1期中试题

′=?+??+ 4. 解:=(sin )cos y f x x ′′;

2= -(sin )sin cos (sin )cos = -sin (sin )cos (sin )y f x x xf x x

xf x xf x ′′′′′+′′′+

5.解:方程两边取对数,得ln ln y x x y =, 从而有ln ln y x xdy dx ydx dy x y

+=+, 所以 (ln )(ln )

y x y y dy dx x y x x ?=?

6.解:(1cos )sin (sin )1cos dy t t dx t t t

?==′??

7.解:在方程两边关于x 求导,得cos sin e 0y y x y y y ′′??+?=

将0,0x y ==代入,得(0,0)1y ′=?,

从而所求切线方程为y x =?

四.证明题(每小题6分,共12分)

1.证:设()ln(1)f x x =+,则对任意0,x >f 在[0,]x 上连续,在(0,)x 内可导,

根据中值定理,在(0,)x 内至少存在一点ξ,使得

ln(1)()(0)1x x f x ξξ

′+=?=+, 因为0x ξ<<,所以111x ξ<+<+, 所以11111x ξ>

>++ 故ln(1)11x x x x x

ξ>+=>++ (此题也可用单调性证明)

2.证:设2()()x x f x ?=,

则()x ?在[0,]a 上连续,在(0,)a 内可导,且()(0)0a ??==, 根据罗尔定理,在(0,)a 内至少存在一点ξ,使得()0?ξ′=, 即有2()2()0f f ξξξξ′+=。