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2016年考研数学二真题与解析

2016年考研数学二真题与解析

一、选择题 1—8小题.每小题4分,共32分.

1.当+→0x 时,若)(ln x 21+α

,α1

1)cos (x -均是比x 高阶的无穷小,则α的可能取值范围是( )

(A )),(+∞2 (B )),(21 (C )),(121 (D )),(2

10

【详解】αααx x 221~)(ln +,是α阶无穷小,ααα2

11

21

1x x ~)cos (-是α2

阶无穷小,由题意可知???

??>>121α

α

所以α的可能取值范围是),(21,应该选(B ). 2.下列曲线有渐近线的是

(A )x x y sin += (B )x x y sin +=2(C )x

x y 1sin += (D )x

x y 12

sin

+= 【详解】对于x x y 1sin +=,可知1=∞

→x y x lim

且01

==-∞→∞→x

x y x x sin lim )(lim ,所以有斜渐近线x y =

应该选(C )

3.设函数)(x f 具有二阶导数,x f x f x g )())(()(110+-=,则在],[10上( )

(A )当0≥)('x f 时,)()(x g x f ≥ (B )当0≥)('x f 时,)()(x g x f ≤ (C )当0≥'')(x f 时,)()(x g x f ≥ (D )当0≥'')(x f 时,)()(x g x f ≤ 【分析】此题考查的曲线的凹凸性的定义及判断方法.

【详解1】如果对曲线在区间],[b a 上凹凸的定义比较熟悉的话,可以直接做出判断. 显然

x f x f x g )())(()(110+-=就是联接))(,()),(,(1100f f 两点的直线方程.故当0≥'')(x f 时,曲线是凹

的,也就是)()(x g x f ≤,应该选(D )

【详解2】如果对曲线在区间],[b a 上凹凸的定义不熟悉的话,可令

x f x f x f x g x f x F )())(()()()()(110---=-=,则010==)()(F F ,且)(")("x f x F =,故当

0≥'')(x f 时,曲线是凹的,从而010==≤)()()(F F x F ,即0≤-=)()()(x g x f x F ,也就是)()(x g x f ≤,应该选(D )

4.曲线???++=+=1

472

2t t y t x ,

上对应于1=t 的点处的曲率半径是( ) (A)

5010(B)100

10 (C)1010 (D)105 【详解】 曲线在点))(,(x f x 处的曲率公式3

21)'("y y K +=

,曲率半径K

R 1

=

. 本题中422+==t dt dy t dt dx ,,所以t t t dx dy 21242+=+=,3

222122t t t dx y d -

=-

=, 对应于1=t 的点处13-==",'y y ,所以10

10113

2=

+=)'("y y K ,曲率半径10101

==

K

R . 应该选(C )

5.设函数x x f arctan )(=,若)(')(ξxf x f =,则=→2

2

x

x ξlim

( )

(A)1 (B)

32 (C)2

1

(D)31

【详解】注意(1)2

11x

x f +=

)(',(2))(arctan ,33

310x o x x x x +-=→时. 由于)(')(ξxf x f =.所以可知x x x x f f arctan )()('==+=

211ξξ,2

2)(arctan arctan x x x -=ξ, 31313

33

020

2

2

=+-

-=-=→→→x

x o x x x x x x

arx x x x x x )

()(lim )

(arctan tan lim

lim

ξ

. 6.设),(y x u 在平面有界闭区域D 上连续,在D 的内部具有二阶连续偏导数,且满足02≠???y x u

02

222=??+??y u

x u ,则( )

(A )),(y x u 的最大值点和最小值点必定都在区域D 的边界上;

(B )),(y x u 的最大值点和最小值点必定都在区域D 的内部;

(C )),(y x u 的最大值点在区域D 的内部,最小值点在区域D 的边界上;

(D )),(y x u 的最小值点在区域D 的内部,最大值点在区域D 的边界上.

【详解】),(y x u 在平面有界闭区域D 上连续,所以),(y x u 在D 内必然有最大值和最小值.并且如果在

内部存在驻点),(00y x ,也就是0=??=??y u

x u ,在这个点处x y u y x u B y

u C x u A ???=

???=??=??=222222,,,由条件,显然02

<-B AC ,显然),(y x u 不是极值点,当然也不是最值点,所以),(y x u 的最大值点和最小值点必定都在区域D 的边界上.

所以应该选(A ).

7.行列式

d

c d c b

a b a

00000000等于

(A )2)(bc ad - (B )2)(bc ad -- (C )2222c b d a - (D )2

222c b d a +- 【详解】

2000000000000000

0)(bc ad d

c b

a bc d c

b a ad d

c c b

a b d c d b a a d

c d c b a b a --=+-=+-=

应该选(B ).

8.设321ααα,, 是三维向量,则对任意的常数l k ,,向量31ααk +,32ααl +线性无关是向量321ααα,,线性无关的

(A )必要而非充分条件 (B )充分而非必要条件 (C )充分必要条件 (D ) 非充分非必要条件 【详解】若向量321ααα,,线性无关,则

(31ααk +,32ααl +)K l k ),,(),,(3213211001αααααα=???

?

? ??=,对任意的常数l k ,,矩阵K 的秩都等

于2,所以向量31ααk +,32ααl +一定线性无关.

而当???

?

? ??=????? ??=????? ??=000010001321ααα,,时,对任意的常数l k ,,向量31ααk +,32ααl +线性无关,但

321ααα,,线性相关;故选择(A )

. 二、填空题(本题共6小题,每小题4分,满分24分. 把答案填在题中横线上)

9.

?

-=++125

21

dx x x .

【详解】

??∞-∞-∞-=???

??--=+=++=++1

11

228

32421212141521π

ππ)(|arctan )(x x dx dx x x . 10.设)(x f 为周期为4的可导奇函数,且[]2012,),()('∈-=x x x f ,则=)(7f . 【详解】当[]20,∈x 时,C x x dx x x f +-=-=

?

2122)()(,由00=)(f 可知0=C ,即

x x x f 22-=)(;)(x f 为周期为4奇函数,故1117==-=)()()(f f f .

11.设),(y x z z =是由方程47

22=

+++z y x e

yz

确定的函数,则=??

? ??2121,|dz .

【详解】设4722-+++=z y x e

z y x F yz

),,(,1222122+=+==yz z yz y x ye F y ze F F ,,,当2

1

=

=y x 时,0=z ,

21-=-=??z x F F x z ,21

-=-=??z y F F y z ,所以=??

? ??2121,|dz dy dx 2121--.

12.曲线L 的极坐标方程为θ=r ,则L 在点???

?

?=22ππθ,),(r 处的切线方程为 . 【详解】先把曲线方程化为参数方程??

?====θ

θθθθθθθsin sin )(cos cos )(r y r x ,于是在2πθ=处,20π

==y x ,,

πθθθθθθππ222-=-+=|sin cos cos sin |dx dy ,则L 在点??

?

??=22ππθ,),(r 处的切线方程为)(022--=-x y ππ,即

.2

π

+

-

=x y

13.一根长为1的细棒位于x 轴的区间[]10,上,若其线密度122

++-=x x x )(ρ,则该细棒的质心坐标

=x .

【详解】质心坐标20

1135

1211

1221021

02

3

101

=

=++-++-==????dx x x dx x x x dx x dx x x x )()()()(ρρ. 14.设二次型32312

22132142x x x ax x x x x x f ++-=),,(的负惯性指数是1,则a 的取值范围

是 . 【详解】由配方法可知

2

3

2

2322313

2312

2213214242x

a x x ax x x x x ax x x x x x f )()()(),,(-+--+=++-=

由于负惯性指数为1,故必须要求042

≥-a ,所以a 的取值范围是[]22,-.

三、解答题

15.(本题满分10分)

求极限)

ln())((lim

x

x dt t e t x t

x 1

1121

12

+--?+∞

→.

【分析】.先用等价无穷小代换简化分母,然后利用洛必达法则求未定型极限. 【详解】

21

1211111

1122212

1

1

2

21

1

2

=??? ??-++=--=--=+--∞→∞

→+∞→+∞

→??x x o x x x x e x x

dt

t e t x x dt

t e t x x

x x

t

x x t

x )((lim )

)((lim ))((lim

)

ln())((lim

16.(本题满分10分)

已知函数)(x y y =满足微分方程''y y y x -=+122,且02=)(y ,求)(x y 的极大值和极小值. 【详解】

解:把方程化为标准形式得到22

11x dx

dy

y -=+)

(,这是一个可分离变量的一阶微分方程,两边分别积分可得方程通解为:

C x x y y +-=+333131,由02=)(y 得3

2=C ,

3

2313133+-=+x x y y . 令01122=+-=y x dx dy ,得1±=x ,且可知3

222222211212)

()()(y x y y x dx y d +--+-=; 当1=x 时,可解得1=y ,01<-="y ,函数取得极大值1=y ; 当1-=x 时,可解得0=y ,02>="y ,函数取得极小值0=y . 17.(本题满分10分)

设平面区域{

}

00412

2≥≥≤+≤=y x y x y x D .,|),(.计算??++D

dxdy y x y x x )

sin(22π 【详解】由对称性可得

43211212121

202

2

222222-==+=

+++=++=++??????????D

D D D dr r r d dxd y x dxdy y x y x y x dxd y x y x y dxd y x y x x πθπππππ

sin )sin()sin(

)()sin()sin(

18.(本题满分10分)

设函数)(u f 具有二阶连续导数,)cos (y e f z x

=满足x x e y e z y

z x z 22

2224)c o s (+=??+??.若0000==)(',)(f f ,求)(u f 的表达式.

【详解】

设y e u x cos =,则)cos ()(y e f u f z x ==,

y e u f y e u f x

z

e u

f x

z

x x y x cos )('cos )(",)('cos +=??=??222

2; y e u f y e u f y

z y e u f y z x x x

cos )('sin )(",sin )('-=??-=??2222; x

x x e y e f e u f y

z x z 222

222)cos (")("==??+?? 由条件x

x e y e z y

z x z 222224)cos (+=??+??,

可知

u u f u f +=)()("4

这是一个二阶常用系数线性非齐次方程. 对应齐次方程的通解为:

u u e C e C u f 2221-+=)(其中21C C ,为任意常数.

对应非齐次方程特解可求得为u y 4

1

-

=*. 故非齐次方程通解为u e C e

C u f u u

4

1

2221-+=-)(.

将初始条件0000==)(',)(f f 代入,可得16

116121-==

C C ,. 所以)(u f 的表达式为u e e u f u u 4

1

16116122--=-)(. 19.(本题满分10分)

设函数)(),(x g x f 在区间[]b a .上连续,且)(x f 单调增加,10≤≤)(x g ,证明: (1) []b a x a x dt t g x

a

,,)(∈-≤≤?

0;

(2)

??

≤?+

b

a dt

t g a a

dx x g x f dx x f b

a )()()()(.

【详解】

(1)证明:因为10≤≤)(x g ,所以[]b a x dt dt t g dx x

a

x a

x

a

,)(∈≤≤???

10.

即[]b a x a x dt t g x

a

,,)(∈-≤≤

?

0.

(2)令?

?

?-=

+

x

a dt

t g a a

x

a

du u f du u g u f x F )()()()()(,

则可知0=)(a F ,且??

? ??+-=?x

a dt t g a f x g x g x f x F )()()()()(',

因为,)(a x dt t g x

a

-≤≤

?

0且)(x f 单调增加,

所以)()()(x f a x a f dt t g a f x

a

=-+≤??

? ?

?+

?

.从而

0=-≥??

? ??+-=?)()()()()()()()()('x f x g x g x f dt t g a f x g x g x f x F x

a , []

b a x ,∈

也是)(x F 在[]b a ,单调增加,则0=≥)()(a F b F ,即得到

??

≤?+

b

a

dt

t g a a

dx x g x f dx x f b

a )()()()(.

20.(本题满分11分) 设函数[]101,,)(∈+=

x x

x

x f ,定义函数列 )()(x f x f =1,))(()(x f f x f 12=, )),(()(,x f f x f n n 1-=

设n S 是曲线)(x f y n =,直线01==y x ,所围图形的面积.求极限n n nS ∞

→lim .

【详解】

x x

x

x x x

x f x f x f x x x f 21111111121+=

++

+=+=+=)()()(,)(, ,)(x x x f 313+=, 利用数学归纳法可得.)(nx

x

x f n +=

1

))

ln(()()(n

n n dx nx n dx nx x dx x f S n n +-=+-=+==??

?11111111101

01

111=??

? ??+-=∞→∞→n n nS n n n )ln(

lim lim . 21.(本题满分11分) 已知函数),(y x f 满足

)(12+=??y y

f

,且y y y y y f ln )()(),(--+=212,求曲线0=),(y x f 所成的图形绕直线1-=y 旋转所成的旋转体的体积. 【详解】

由于函数),(y x f 满足

)(12+=??y y

f

,所以)(),(x C y y y x f ++=22,其中)(x C 为待定的连续函数. 又因为y y y y y f ln )()(),(--+=212,从而可知y y y C ln )()(--=21, 得到x x y y x C y y y x f ln )()(),(--++=++=212222.

令0=),(y x f ,可得x x y ln )()(-=+212

.且当1-=y 时,2121==x x ,.

曲线0=),(y x f 所成的图形绕直线1-=y 旋转所成的旋转体的体积为

πππ)ln (ln )()(4

5

22212

12

12

-=-=+=??dx x x dx y V

22.(本题满分11分)

设????

? ??---=302111104321A ,E 为三阶单位矩阵.

(1) 求方程组0=AX 的一个基础解系; (2) 求满足E AB =的所有矩阵.

【详解】(1)对系数矩阵A 进行初等行变换如下:

????? ??--→????? ??----→????? ??----→????? ??---=310020101001310011104321134011104321302111104321A ,

得到方程组0=AX 同解方程组

???

??==-=43

424132x

x x x x x 得到0=AX 的一个基础解系????

???

??-=13211ξ.

(2)显然B 矩阵是一个34?矩阵,设??????

?

??=44

4

333222

111z y x z y x z y x z y x B 对矩阵)(AE 进行进行初等行变换如下:

???

?

?

??-------→????? ??------→???

?

?

??-----→????? ??---=14131

001312010162100114131000101110001

43211011

3

4

001011

1

0001

432

1100302101011100014321)(AE

由方程组可得矩阵B 对应的三列分别为

??????? ??-+?

?????

? ??--=??????? ??1321011214321c x x x x ,??????? ??-+??????? ??--=??????? ??1321043624321c y y y y ,??

??

???

??-+??????? ??-=??????? ??1321011134321c z z z z ,

即满足E AB =的所有矩阵为

???

?

??

?

?

?++-+-++-+-----=32

132

1321321313431212321162c c c

c c c c c c c c c B

其中321c c c ,,为任意常数. 23.(本题满分11分)

证明n 阶矩阵???????

??111111

111

与????

?

?

?

??n 00200100 相似. 【详解】证明:设=A ??

??

?

?

?

?

?111111

111

,=B ????

??

?

??n 00200100

. 分别求两个矩阵的特征值和特征向量如下:

11

111

11111

--=---------=

-n n A E λλλλλλ)( ,

所以A 的n 个特征值为0321====n n λλλλ ,;

而且A 是实对称矩阵,所以一定可以对角化.且????

?

?

?

?

?00 λ~A ; 1002

01

0--=---=-n n n

B E λλλλλ

λ)(

所以B 的n 个特征值也为0321====n n λλλλ ,;

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对于1-n 重特征值0=λ,由于矩阵B B E -=-)(0的秩显然为1,所以矩阵B 对应1-n 重特征值0=λ的特征向量应该有1-n 个线性无关,进一步矩阵B 存在n 个线性无关的特征向量,即矩阵B 一定可以对

角化,且????

?

?

?

?

?00 λ

~B 从而可知n 阶矩阵???????

?

?111111

111

与???

?

?

?

?

??n 00200100 相似.同、收回房屋:

1.承租人擅自将房屋转让或转借的;

登鹳雀楼 唐代:王之涣

白日依山尽,黄河入海流。

欲穷千里目,更上一层楼。

译文及注释

译文

夕阳依傍着西山慢慢地沉没,滔滔黄河朝着东海汹涌奔流。

若想把千里的风光景物看够,那就要登上更高的一层城楼。

注释

鹳雀楼:旧址在山西永济县,楼高三层,前对中条山,下临黄河。传说常有鹳雀在此停留,故有此名。白日:太阳。

依:依傍。

尽:消失。这句话是说太阳依傍山峦沉落。

欲:想要得到某种东西或达到某种目的的愿望,但也有希望、想要的意思。

穷:尽,使达到极点。

千里目:眼界宽阔。

更:替、换。(不是通常理解的“再”的意思)▲

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