2016年考研数学二真题与解析
一、选择题 1—8小题.每小题4分,共32分.
1.当+→0x 时,若)(ln x 21+α
,α1
1)cos (x -均是比x 高阶的无穷小,则α的可能取值范围是( )
(A )),(+∞2 (B )),(21 (C )),(121 (D )),(2
10
【详解】αααx x 221~)(ln +,是α阶无穷小,ααα2
11
21
1x x ~)cos (-是α2
阶无穷小,由题意可知???
??>>121α
α
所以α的可能取值范围是),(21,应该选(B ). 2.下列曲线有渐近线的是
(A )x x y sin += (B )x x y sin +=2(C )x
x y 1sin += (D )x
x y 12
sin
+= 【详解】对于x x y 1sin +=,可知1=∞
→x y x lim
且01
==-∞→∞→x
x y x x sin lim )(lim ,所以有斜渐近线x y =
应该选(C )
3.设函数)(x f 具有二阶导数,x f x f x g )())(()(110+-=,则在],[10上( )
(A )当0≥)('x f 时,)()(x g x f ≥ (B )当0≥)('x f 时,)()(x g x f ≤ (C )当0≥'')(x f 时,)()(x g x f ≥ (D )当0≥'')(x f 时,)()(x g x f ≤ 【分析】此题考查的曲线的凹凸性的定义及判断方法.
【详解1】如果对曲线在区间],[b a 上凹凸的定义比较熟悉的话,可以直接做出判断. 显然
x f x f x g )())(()(110+-=就是联接))(,()),(,(1100f f 两点的直线方程.故当0≥'')(x f 时,曲线是凹
的,也就是)()(x g x f ≤,应该选(D )
【详解2】如果对曲线在区间],[b a 上凹凸的定义不熟悉的话,可令
x f x f x f x g x f x F )())(()()()()(110---=-=,则010==)()(F F ,且)(")("x f x F =,故当
0≥'')(x f 时,曲线是凹的,从而010==≤)()()(F F x F ,即0≤-=)()()(x g x f x F ,也就是)()(x g x f ≤,应该选(D )
4.曲线???++=+=1
472
2t t y t x ,
上对应于1=t 的点处的曲率半径是( ) (A)
5010(B)100
10 (C)1010 (D)105 【详解】 曲线在点))(,(x f x 处的曲率公式3
21)'("y y K +=
,曲率半径K
R 1
=
. 本题中422+==t dt dy t dt dx ,,所以t t t dx dy 21242+=+=,3
222122t t t dx y d -
=-
=, 对应于1=t 的点处13-==",'y y ,所以10
10113
2=
+=)'("y y K ,曲率半径10101
==
K
R . 应该选(C )
5.设函数x x f arctan )(=,若)(')(ξxf x f =,则=→2
2
x
x ξlim
( )
(A)1 (B)
32 (C)2
1
(D)31
【详解】注意(1)2
11x
x f +=
)(',(2))(arctan ,33
310x o x x x x +-=→时. 由于)(')(ξxf x f =.所以可知x x x x f f arctan )()('==+=
211ξξ,2
2)(arctan arctan x x x -=ξ, 31313
33
020
2
2
=+-
-=-=→→→x
x o x x x x x x
arx x x x x x )
()(lim )
(arctan tan lim
lim
ξ
. 6.设),(y x u 在平面有界闭区域D 上连续,在D 的内部具有二阶连续偏导数,且满足02≠???y x u
及
02
222=??+??y u
x u ,则( )
.
(A )),(y x u 的最大值点和最小值点必定都在区域D 的边界上;
(B )),(y x u 的最大值点和最小值点必定都在区域D 的内部;
(C )),(y x u 的最大值点在区域D 的内部,最小值点在区域D 的边界上;
(D )),(y x u 的最小值点在区域D 的内部,最大值点在区域D 的边界上.
【详解】),(y x u 在平面有界闭区域D 上连续,所以),(y x u 在D 内必然有最大值和最小值.并且如果在
内部存在驻点),(00y x ,也就是0=??=??y u
x u ,在这个点处x y u y x u B y
u C x u A ???=
???=??=??=222222,,,由条件,显然02
<-B AC ,显然),(y x u 不是极值点,当然也不是最值点,所以),(y x u 的最大值点和最小值点必定都在区域D 的边界上.
所以应该选(A ).
7.行列式
d
c d c b
a b a
00000000等于
(A )2)(bc ad - (B )2)(bc ad -- (C )2222c b d a - (D )2
222c b d a +- 【详解】
2000000000000000
0)(bc ad d
c b
a bc d c
b a ad d
c c b
a b d c d b a a d
c d c b a b a --=+-=+-=
应该选(B ).
8.设321ααα,, 是三维向量,则对任意的常数l k ,,向量31ααk +,32ααl +线性无关是向量321ααα,,线性无关的
(A )必要而非充分条件 (B )充分而非必要条件 (C )充分必要条件 (D ) 非充分非必要条件 【详解】若向量321ααα,,线性无关,则
(31ααk +,32ααl +)K l k ),,(),,(3213211001αααααα=???
?
? ??=,对任意的常数l k ,,矩阵K 的秩都等
于2,所以向量31ααk +,32ααl +一定线性无关.
而当???
?
? ??=????? ??=????? ??=000010001321ααα,,时,对任意的常数l k ,,向量31ααk +,32ααl +线性无关,但
321ααα,,线性相关;故选择(A )
. 二、填空题(本题共6小题,每小题4分,满分24分. 把答案填在题中横线上)
9.
?
∞
-=++125
21
dx x x .
【详解】
??∞-∞-∞-=???
??--=+=++=++1
11
228
32421212141521π
ππ)(|arctan )(x x dx dx x x . 10.设)(x f 为周期为4的可导奇函数,且[]2012,),()('∈-=x x x f ,则=)(7f . 【详解】当[]20,∈x 时,C x x dx x x f +-=-=
?
2122)()(,由00=)(f 可知0=C ,即
x x x f 22-=)(;)(x f 为周期为4奇函数,故1117==-=)()()(f f f .
11.设),(y x z z =是由方程47
22=
+++z y x e
yz
确定的函数,则=??
? ??2121,|dz .
【详解】设4722-+++=z y x e
z y x F yz
),,(,1222122+=+==yz z yz y x ye F y ze F F ,,,当2
1
=
=y x 时,0=z ,
21-=-=??z x F F x z ,21
-=-=??z y F F y z ,所以=??
? ??2121,|dz dy dx 2121--.
12.曲线L 的极坐标方程为θ=r ,则L 在点???
?
?=22ππθ,),(r 处的切线方程为 . 【详解】先把曲线方程化为参数方程??
?====θ
θθθθθθθsin sin )(cos cos )(r y r x ,于是在2πθ=处,20π
==y x ,,
πθθθθθθππ222-=-+=|sin cos cos sin |dx dy ,则L 在点??
?
??=22ππθ,),(r 处的切线方程为)(022--=-x y ππ,即
.2
2π
π
+
-
=x y
13.一根长为1的细棒位于x 轴的区间[]10,上,若其线密度122
++-=x x x )(ρ,则该细棒的质心坐标
=x .
【详解】质心坐标20
1135
1211
1221021
02
3
101
=
=++-++-==????dx x x dx x x x dx x dx x x x )()()()(ρρ. 14.设二次型32312
22132142x x x ax x x x x x f ++-=),,(的负惯性指数是1,则a 的取值范围
是 . 【详解】由配方法可知
2
3
2
2322313
2312
2213214242x
a x x ax x x x x ax x x x x x f )()()(),,(-+--+=++-=
由于负惯性指数为1,故必须要求042
≥-a ,所以a 的取值范围是[]22,-.
三、解答题
15.(本题满分10分)
求极限)
ln())((lim
x
x dt t e t x t
x 1
1121
12
+--?+∞
→.
【分析】.先用等价无穷小代换简化分母,然后利用洛必达法则求未定型极限. 【详解】
21
1211111
1122212
1
1
2
21
1
2
=??? ??-++=--=--=+--∞→∞
→+∞→+∞
→??x x o x x x x e x x
dt
t e t x x dt
t e t x x
x x
t
x x t
x )((lim )
)((lim ))((lim
)
ln())((lim
16.(本题满分10分)
已知函数)(x y y =满足微分方程''y y y x -=+122,且02=)(y ,求)(x y 的极大值和极小值. 【详解】
解:把方程化为标准形式得到22
11x dx
dy
y -=+)
(,这是一个可分离变量的一阶微分方程,两边分别积分可得方程通解为:
C x x y y +-=+333131,由02=)(y 得3
2=C ,
即
3
2313133+-=+x x y y . 令01122=+-=y x dx dy ,得1±=x ,且可知3
222222211212)
()()(y x y y x dx y d +--+-=; 当1=x 时,可解得1=y ,01<-="y ,函数取得极大值1=y ; 当1-=x 时,可解得0=y ,02>="y ,函数取得极小值0=y . 17.(本题满分10分)
设平面区域{
}
00412
2≥≥≤+≤=y x y x y x D .,|),(.计算??++D
dxdy y x y x x )
sin(22π 【详解】由对称性可得
43211212121
202
2
222222-==+=
+++=++=++??????????D
D D D dr r r d dxd y x dxdy y x y x y x dxd y x y x y dxd y x y x x πθπππππ
sin )sin()sin(
)()sin()sin(
18.(本题满分10分)
设函数)(u f 具有二阶连续导数,)cos (y e f z x
=满足x x e y e z y
z x z 22
2224)c o s (+=??+??.若0000==)(',)(f f ,求)(u f 的表达式.
【详解】
设y e u x cos =,则)cos ()(y e f u f z x ==,
y e u f y e u f x
z
e u
f x
z
x x y x cos )('cos )(",)('cos +=??=??222
2; y e u f y e u f y
z y e u f y z x x x
cos )('sin )(",sin )('-=??-=??2222; x
x x e y e f e u f y
z x z 222
222)cos (")("==??+?? 由条件x
x e y e z y
z x z 222224)cos (+=??+??,
可知
u u f u f +=)()("4
这是一个二阶常用系数线性非齐次方程. 对应齐次方程的通解为:
u u e C e C u f 2221-+=)(其中21C C ,为任意常数.
对应非齐次方程特解可求得为u y 4
1
-
=*. 故非齐次方程通解为u e C e
C u f u u
4
1
2221-+=-)(.
将初始条件0000==)(',)(f f 代入,可得16
116121-==
C C ,. 所以)(u f 的表达式为u e e u f u u 4
1
16116122--=-)(. 19.(本题满分10分)
设函数)(),(x g x f 在区间[]b a .上连续,且)(x f 单调增加,10≤≤)(x g ,证明: (1) []b a x a x dt t g x
a
,,)(∈-≤≤?
0;
(2)
??
≤?+
b
a dt
t g a a
dx x g x f dx x f b
a )()()()(.
【详解】
(1)证明:因为10≤≤)(x g ,所以[]b a x dt dt t g dx x
a
x a
x
a
,)(∈≤≤???
10.
即[]b a x a x dt t g x
a
,,)(∈-≤≤
?
0.
(2)令?
?
?-=
+
x
a dt
t g a a
x
a
du u f du u g u f x F )()()()()(,
则可知0=)(a F ,且??
? ??+-=?x
a dt t g a f x g x g x f x F )()()()()(',
因为,)(a x dt t g x
a
-≤≤
?
0且)(x f 单调增加,
所以)()()(x f a x a f dt t g a f x
a
=-+≤??
? ?
?+
?
.从而
0=-≥??
? ??+-=?)()()()()()()()()('x f x g x g x f dt t g a f x g x g x f x F x
a , []
b a x ,∈
也是)(x F 在[]b a ,单调增加,则0=≥)()(a F b F ,即得到
??
≤?+
b
a
dt
t g a a
dx x g x f dx x f b
a )()()()(.
20.(本题满分11分) 设函数[]101,,)(∈+=
x x
x
x f ,定义函数列 )()(x f x f =1,))(()(x f f x f 12=, )),(()(,x f f x f n n 1-=
设n S 是曲线)(x f y n =,直线01==y x ,所围图形的面积.求极限n n nS ∞
→lim .
【详解】
x x
x
x x x
x f x f x f x x x f 21111111121+=
++
+=+=+=)()()(,)(, ,)(x x x f 313+=, 利用数学归纳法可得.)(nx
x
x f n +=
1
))
ln(()()(n
n n dx nx n dx nx x dx x f S n n +-=+-=+==??
?11111111101
01
,
111=??
? ??+-=∞→∞→n n nS n n n )ln(
lim lim . 21.(本题满分11分) 已知函数),(y x f 满足
)(12+=??y y
f
,且y y y y y f ln )()(),(--+=212,求曲线0=),(y x f 所成的图形绕直线1-=y 旋转所成的旋转体的体积. 【详解】
由于函数),(y x f 满足
)(12+=??y y
f
,所以)(),(x C y y y x f ++=22,其中)(x C 为待定的连续函数. 又因为y y y y y f ln )()(),(--+=212,从而可知y y y C ln )()(--=21, 得到x x y y x C y y y x f ln )()(),(--++=++=212222.
令0=),(y x f ,可得x x y ln )()(-=+212
.且当1-=y 时,2121==x x ,.
曲线0=),(y x f 所成的图形绕直线1-=y 旋转所成的旋转体的体积为
πππ)ln (ln )()(4
5
22212
12
12
-=-=+=??dx x x dx y V
22.(本题满分11分)
设????
? ??---=302111104321A ,E 为三阶单位矩阵.
(1) 求方程组0=AX 的一个基础解系; (2) 求满足E AB =的所有矩阵.
【详解】(1)对系数矩阵A 进行初等行变换如下:
????? ??--→????? ??----→????? ??----→????? ??---=310020101001310011104321134011104321302111104321A ,
得到方程组0=AX 同解方程组
???
??==-=43
424132x
x x x x x 得到0=AX 的一个基础解系????
???
??-=13211ξ.
(2)显然B 矩阵是一个34?矩阵,设??????
?
??=44
4
333222
111z y x z y x z y x z y x B 对矩阵)(AE 进行进行初等行变换如下:
???
?
?
??-------→????? ??------→???
?
?
??-----→????? ??---=14131
001312010162100114131000101110001
43211011
3
4
001011
1
0001
432
1100302101011100014321)(AE
由方程组可得矩阵B 对应的三列分别为
??????? ??-+?
?????
? ??--=??????? ??1321011214321c x x x x ,??????? ??-+??????? ??--=??????? ??1321043624321c y y y y ,??
??
???
??-+??????? ??-=??????? ??1321011134321c z z z z ,
即满足E AB =的所有矩阵为
???
?
??
?
?
?++-+-++-+-----=32
132
1321321313431212321162c c c
c c c c c c c c c B
其中321c c c ,,为任意常数. 23.(本题满分11分)
证明n 阶矩阵???????
??111111
111
与????
?
?
?
??n 00200100 相似. 【详解】证明:设=A ??
??
?
?
?
?
?111111
111
,=B ????
??
?
??n 00200100
. 分别求两个矩阵的特征值和特征向量如下:
11
111
11111
--=---------=
-n n A E λλλλλλ)( ,
所以A 的n 个特征值为0321====n n λλλλ ,;
而且A 是实对称矩阵,所以一定可以对角化.且????
?
?
?
?
?00 λ~A ; 1002
01
0--=---=-n n n
B E λλλλλ
λ)(
所以B 的n 个特征值也为0321====n n λλλλ ,;
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说明:
本人已于2015年顺利通过了考研。由于考研的科目很多,题目更多,因此不能全部将各科试题上传,为了帮助各位顺利过关,本人叫朋友将考研的全部试题【政治、数学等】弄成一个复习、考试软件,非常好用,只要把题目的部分关键文字输进去就马上得到答案,也可以随时查找真题,哪一年的试题等等,功能很强大。但先要下载,然后双击即可安装,不喜勿看。
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软件截图:
对于1-n 重特征值0=λ,由于矩阵B B E -=-)(0的秩显然为1,所以矩阵B 对应1-n 重特征值0=λ的特征向量应该有1-n 个线性无关,进一步矩阵B 存在n 个线性无关的特征向量,即矩阵B 一定可以对
角化,且????
?
?
?
?
?00 λ
~B 从而可知n 阶矩阵???????
?
?111111
111
与???
?
?
?
?
??n 00200100 相似.同、收回房屋:
1.承租人擅自将房屋转让或转借的;
登鹳雀楼 唐代:王之涣
白日依山尽,黄河入海流。
欲穷千里目,更上一层楼。
译文及注释
译文
夕阳依傍着西山慢慢地沉没,滔滔黄河朝着东海汹涌奔流。
若想把千里的风光景物看够,那就要登上更高的一层城楼。
注释
鹳雀楼:旧址在山西永济县,楼高三层,前对中条山,下临黄河。传说常有鹳雀在此停留,故有此名。白日:太阳。
依:依傍。
尽:消失。这句话是说太阳依傍山峦沉落。
欲:想要得到某种东西或达到某种目的的愿望,但也有希望、想要的意思。
穷:尽,使达到极点。
千里目:眼界宽阔。
更:替、换。(不是通常理解的“再”的意思)▲