累加法与累乘法

求数列通项公式之累加法

（1）累加法：如果递推公式形式为：()1n n a a f n +-=或)(1n f a a n n +=+，则可利用累加法求通项公式

注意：①等号右边为关于n 的表达式，且能够进行求和

②1,n n a a +的系数相同，且为作差的形式 ③、具体操作流程之一：若1()n n a a f n +-=，

则

21321(1)

(2) ()

n n a a f a a f a a f n +-=-=-=

两边分别相加得111

()n

n k a a f n +=-=

∑

例1：数列{}n a 满足：11a =，且121n n n a a +-=+，求n a

解：121n n n a a +-=+ 累加可得：()2

112221n n a a n --=++

++-

【关键提示】：是否能利用累加法，首先要看能否将数列的递推公式整理成

)

(1n f a a n n =-+或

例2：已知数列{}n a 满足1121

1n n a a n a +=++=，，求数列{}n a 的通项公式。 解：

【变式训练】：

变式1、已知数列{}n a 的首项为1，且n a a n n 21+=+写出数列{}n a 的通项公式.

变式2、在数列{}n a 中，01=a 且

121-+=+n a a n n ，求数列{}n a 的通项公式。

变式3、已知数列{}n a 满足1=a

变式4、在数列{}n a 中，1=a

变式5、已知数列{}n a 满足1321+?+=+n n n a a ，31=a ，求数列{}n a 的通项公式。

累 乘 法

1、数列}{n a 中，12a =, 1(1)n n na n a +=+ , 求}{n a 通项公式 解：因为1(1)n n

na n a +=+

所以n n a a n

n 1

1+=

+ 则11

-=

-n n

a a n n (1) . （2） . . . .

1212=

a a (n-1)

将上式中的（1）*（2）*………*（n-1）化简得

,

1

n a a n

=（n 》2） 所以

n

a n 2= （n 》2）

当n=1时满足上式，所以n

a n 2=

总结：满足

n

1a a n 与+的比值为常数或者变量的时候都可以采用累乘法

变式1：数列}{n a 中，12a =,32=a ，n n a n na )1(1-=+ , 求}{n a 通项公式 解：

变式2：数列}{n a 中，12a =, n n a n na )2(1+=+ , 求}{n a 通项公式 解：

变式3：已知数列{}n a 中，3

1

1=a ，前n 项和n S 与n a 的关系是 n n a n n S )12(-= ，试求通项公式n a 。