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1.3.2二项式定理检测(3)

§1.3.2(2) 二项式定理检测（2）

一．选择题

1.6(1.05)的计算结果精确到0.01的近似值是（）

A.1.23

B.1.24

C.1.33

D.1.34

2. 35)1()1(x x +?-的展开式中3x 的系数为（）

A ．6

B ．-6

C ．9

D ．-9 3.在51(1)x x

+-的展开式中，常数项为（） A.51 B.－51 C.－11 D.11 4．若多项式102x x +=10109910)1()1()1(++++???+++x a x a x a a ，则=9a （）

A. 9

B.10

C.9-

D.10- 5．5310被8除的余数是（）

A 、1

B 、2

C 、3

D 、7

6．已知(3x －1

3x 2)n ，n ∈N *的展开式中各项系数和为128，则展开式中1x 3的系数是( ) A ．7 B ．－7 C ．21 D ．－21

二．填空题

7．若(1－2x)2 005＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 2 005x 2 005(x ∈R )，则(a 0＋a 1)＋(a 0＋a 2)＋(a 0＋a 3)＋…＋(a 0＋a 2 005)＝_______(用数字作答)．

8.2991333++++被4除所得的余数是_________ 三、解答题

9.（必做题）已知6260126(13)x a a x a x a x -=++++，求

(1)0a (2) 0126a a a a ++++ (2) 0246a a a a +++ (4) 0246a a a a +++

10.(选做题)二项式2011()

(0,0,.0)m n ax bx a b m n +>>≠中有2010m+n=0，如果它的展开式里

系数最大的项恰好是常数项（1）试求常数项是第几项

（2）求b

的最值

参考答案：

1-6 DABDAC

7. 2003

8.0

9.(1)1 (2)64 (3)2080 (4)4096

10. (1)常数项是第2项（2）最小值为1005 最大值为2011

高中数学2二项式定理(带答案)

二项式定理一．二项式定理 1.右边的多项式叫做()n a b +的二项展开式 2.各项的系数r n C 叫做二项式系数 3.式中的r n r r n C a b -叫做二项展开式的通项，它是二项展开式的第1r +项，即 1(0,1,2,,).r n r r r n T C a b r n -+==L 4.二项展开式特点：共1r +项；按字母a 的降幂排列，次数从n 到0递减；二项式系数r n C 中r 从0到 n 递增，与b 的次数相同；每项的次数都是.n 二．二项式系数的性质性质1 ()n a b +的二项展开式中，与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等，即m n m n n C C -= 性质2 二项式系数表中，除两端以外其余位置的数都等于它肩上两个数之和，即11m m m n n n C C C -++= 性质3 ()n a b +的二项展开式中，所有二项式系数的和等于2n ，即012.n n n n n C C C +++=L （令1a b ==即得，或用集合的子集个数的两种计算方法结果相等来解释）性质4 ()n a b +的二项展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和，即 02213211 2.r r n n n n n n n C C C C C C +-++++=++++=L L L L （令1,1a b ==-即得）性质5 ()n a b +的二项展开式中，当n 为偶数时，中间一项的二项式系数2n n C 取得最大值；当n 为奇数时，中间两项的二项式系数1 2,n n C -1 2n n C +相等，且同时取得最大值.（即中间项的二项式系数最大）

二项式定理的十大应用

二项式定理的十方面应用一、利用二项式定理求展开式的某一项或指定项的系数 1.(2012年高考安徽卷理科7)(x2+2)( 1 x2-1)5的展开式的常数项是（） (A)-3(B)-2(C)2(D)321世纪教【答案】D 【解析】第一个因式取x2，第二个因式取 1 x2得：1?C1(-1)4=5 5 第一个因式取2，第二个因式取(-1)5得：2?(-1)5=-2展开式的常数项是5+(-2)=3. 2.(2012年高考天津卷理科5)在(2x2- 1 x )5的二项展开式中，x的系数为（）（A）10（Ｂ）-10（Ｃ）40（Ｄ）-40 点评：利用二项式定理求展开式的某一项或指定项的系数，实际上就是对二项展开式的通项公式的考查，此类问题是高考考查的重点． 3．在二项式(x-1)11的展开式中，系数最小的项的系数是解：ΘT r+1 =C r x11-r(-1)r 11 ∴要使项的系数最小，则r必为奇数，且使C r为最大，由此得r=5，从而可知最小项的 11 系数为C5(-1)5=-462 11 二、利用二项式定理求展开式的系数和 1、若(1-2x)2013=a+a x+a x2+...+a 0122013 x2013(x∈R)，则(a+a)+(a+a)+(a+a)+Λ+(a+a 010******** )=_______。(用数字作答) 解析：在(1-2x)2013=a+a x+a x2+...+a 0122013 x2013中，令x=0，则a=1，令x=1，则a+a+a+a+Λ+a 01232004 =(-1)2013=1 故(a+a)+(a+a)+(a+a)+Λ+(a+a 0102030 精品资料 2013 )

二项式定理赋值法求各项系数的和复习过程

二项式定理赋值法求各项系数的和例2．已知7270127(12)x a a x a x a x -=++++L ，求：（1）127a a a +++L ；（2）1357a a a a +++；（3）017||||||a a a +++L . 解：（1）当1x =时，77(12)(12)1x -=-=-，展开式右边为 0127a a a a ++++L ∴0127a a a a ++++L 1=-，当0x =时，01a =，∴127112a a a +++=--=-L ，（2）令1x =， 0 127a a a a ++++L 1=- ① 令1x =-，7012345673a a a a a a a a -+-+-+-= ② ①-② 得：713572()13a a a a +++=--，∴ 1357a a a a +++=7 132+-. （3）由展开式知：1357,,,a a a a 均为负，0248,,,a a a a 均为正， ∴由（2）中①+② 得：702462()13a a a a +++=-+， ∴ 7 0246132 a a a a -++++=， ∴017||||||a a a +++=L 01234567a a a a a a a a -+-+-+- 702461357()()3a a a a a a a a =+++-+++= 例6．设()()()()231111n x x x x ++++++++=L 2012n n a a x a x a x ++++L ，

当012254n a a a a ++++=L 时，求n 的值解：令1x =得： 230122222n n a a a a ++++=++++L L 2(21)25421n -==-， ∴2128,7n n ==，点评：对于 101()()()n n n f x a x a a x a a -=-+-++L ，令1,x a -=即1x a =+可得各项系数的和012n a a a a ++++L 的值；令1,x a -=-即1x a =-，可得奇数项系数和与偶数项和的关系例8．在10)32(y x -的展开式中,求: ①二项式系数的和; ②各项系数的和; ③奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和; ④奇数项系数和与偶数项系数和; ⑤x 的奇次项系数和与x 的偶次项系数和. 分析:因为二项式系数特指组合数r n C ,故在①,③中只需求组合数的和,而与二项式y x 32-中的系数无关. 解：设10102829110010)32(y a y x a y x a x a y x ++++=-Λ(*), 各项系数和即为1010a a a +++Λ,奇数项系数和为0210a a a +++L ,偶数项系数和为9531a a a a ++++Λ,x 的奇次项系数和为9531a a a a ++++Λ,x 的偶次项系数和10420a a a a ++++Λ. 由于(*)是恒等式,故可用“赋值法”求出相关的系数和. ①二项式系数和为1010101100102=+++C C C Λ.

2018年高考二项式定理十大典型问题及例题

学科教师辅导讲义 1．二项式定理： 011 ()()n n n r n r r n n n n n n a b C a C a b C a b C b n N --*+=++ ++ +∈， 2．基本概念： ①二项式展开式：右边的多项式叫做()n a b +的二项展开式。 ②二项式系数:展开式中各项的系数r n C (0,1,2,,)r n =???. ③项数：共(1)r +项，是关于a 与b 的齐次多项式 ④通项：展开式中的第1r +项r n r r n C a b -叫做二项式展开式的通项。用1r n r r r n T C a b -+=表示。 3．注意关键点： ①项数：展开式中总共有(1)n +项。 ②顺序：注意正确选择a ,b ,其顺序不能更改。()n a b +与()n b a +是不同的。 ③指数：a 的指数从n 逐项减到0，是降幂排列。b 的指数从0逐项减到n ，是升幂排列。各项的次数和等于n . ④系数：注意正确区分二项式系数与项的系数，二项式系数依次是012,,,,,,.r n n n n n n C C C C C ??????项的系数是a 与b 的系数（包括二项式系数）。 4．常用的结论：令1,,a b x == 0122(1)()n r r n n n n n n n x C C x C x C x C x n N *+=++++++∈ 令1,,a b x ==- 0122(1)(1)()n r r n n n n n n n n x C C x C x C x C x n N *-=-+- ++ +-∈ 5．性质： ①二项式系数的对称性：与首末两端“对距离”的两个二项式系数相等，即0n n n C C =， (1) k k n n C C -= ②二项式系数和：令1a b ==,则二项式系数的和为0122r n n n n n n n C C C C C +++++ +=，变形式1221r n n n n n n C C C C ++ ++ +=-。 ③奇数项的二项式系数和=偶数项的二项式系数和：在二项式定理中，令1,1a b ==-，则0123 (1)(11)0n n n n n n n n C C C C C -+-++-=-=，从而得到：02421321 11222 r r n n n n n n n n n C C C C C C C +-++???++???=++ ++???= ?= ④奇数项的系数和与偶数项的系数和：

二项式定理知识点总结

二项式定理一、二项式定理： ()n n n k k n k n n n n n n b C b a C b a C a C b a +++++=+-- 110（*∈N n ）等号右边的多项式叫做 ()n b a +的二项展开式，其中各项的系数k n C )3,2,1,0(n k ???=叫做二项式系数。对二项式定理的理解：（1）二项展开式有1+n 项（2）字母a 按降幂排列，从第一项开始，次数由n 逐项减1到0；字母b 按升幂排列，从第一项开始，次数由0逐项加1到n （3）二项式定理表示一个恒等式，对于任意的实数b a ,，等式都成立，通过对b a ,取不同的特殊值，可为某些问题的解决带来方便。在定理中假设x b a ==，1，则 ()n n n k n k n n n n n x C x C x C x C x +++++=+- 101（*∈N n ）（4）要注意二项式定理的双向功能：一方面可将二项式()n b a +展开，得到一个多项式；另一方面，也可将展开式合并成二项式()n b a + 二、二项展开式的通项：k k n k n k b a C T -+=1 二项展开式的通项k k n k n k b a C T -+=1)3,2,1,0(n k ???=是二项展开式的第1+k 项，它体现了二项展开式的项数、系数、次数的变化规律，是二项式定理的核心，它在求展开式的某些特定项（如含指定幂的项、常数项、中间项、有理项、系数最大的项等）及其系数等方面有广泛应用对通项k k n k n k b a C T -+=1)3,2,1,0(n k ???=的理解：（1）字母b 的次数和组合数的上标相同（2）a 与b 的次数之和为n （3）在通项公式中共含有1,,,,+k T k n b a 这5个元素，知道4个元素便可求第5个元素

二项式定理的推广与应用

二项式定理的推广及应用曲靖市麒麟高级中学车保勇 [摘要] 二项式定理是在处理有关两个元素和的方幂问题时常常考虑到的一个重要公式．深入研究二项式定理的推广及其用途，巧妙应用，能为许多数学问题提供另类解法，同时解决一些难度较大的问题．因此，进一步探讨二项式定理的推广及应用仍是一项有意义的工作．但前人得出的应用范围仅局限于求值、近似计算、整除、求余数、证明不等式等方面，而且在推广方面不够完善，笔者对二项式定理的推广作进一步完善，系统整理已有用途，并给出一种前人尚未提及的用途：即用二项式定理处理特殊极限问题．纵观全文，深入研究二项式定理的用途，不仅为一些数学问题提供了另类解法，更重要的是拓宽了二项式定理的应用范围． [关键词] 二项式定理推广方幂应用 1 引言二项式定理是在处理有关两个元素和的方幂问题时常常考虑到的一个重要公式.数式二项式定理表述为：() 0,(,,0)n n r n r r n r a b C a b n r N r n -=+=∈≤≤∑．它有着十分广泛的应用，遍及初等数学和高等数学领域[1] ．认真研究问题的条件和结构，把一些表面与二项式定理或推广定理无关的问题作适当变形，构造出二项式定理或推广定理，再用其求解（证明），可使解题简洁明快．巧妙应用二项式定理或推广定理，不仅为许多问题提供另类解法，还能解决一些难度较大的数学问题．因此，把二项式定理进一步推广完善，并充分研究其用途，拓宽其应用范围，仍是一件有意义的工作．

2 问题的提出虽然学者们对二项式定理的推广及应用的研究取得了丰硕的成果，但已有成果都存在两个不足方面：一是推广不够完善；二是应用范围不够广．针对此情况，笔者试图将其推广进一步完善，系统整理已有用途，并提出新的用途，拓宽其应用范围． 3 二项式定理的推广二项式定理是在处理有关两个元素和的方幂问题时常常考虑到的一个重要公式．数式二项式定理表述为： 011r n r r n n ()n n n n n n n a b C a C a b C a b C b --+=++ ++ +0 ,(,,0)n r n r r n r C a b n r N r n -==∈≤≤∑ 其中r n r r r 1T n C a b -+=叫做二项式的通项公式，()!!! r n n C r n r =-叫做二项式系数．若令 -n r q =，则 ! !! r n n C r q = ，(,,r q n)n r N ∈且+=． 3.1 推广一在实际应用中，除遇到二项式外还常常遇到多项式问题，为便于应用，现将其作推广．先考察三项式()()n a b c n N ++∈的展开式: ()[()]n n a b c a b c ++=++ ()n r r r n C a b c -=+++ ( )r q n r q q r n n r C C a b c ---= ++++ r q n r q q r n n r C C a b c ---= ++ 若令n r q p --=，便得到三项式()()n a b c n N ++∈展开式通项公式： (,,p q r n)r q p q r n n r C C a b c p q r N -∈且++=，其中()()!(r)!! !!q!q !!q!p! r q n n r n n n C C r n r n r r --==---叫三项式系数．[2] 类似地可得四项式(d)()n a b c n N +++∈通项公式为 ! (,,,)!!!s! p q r s n a b c d p q r s N p q r ∈且p+q+r+s=n ，其中 ! !!!s! n p q r 称四项式系数．于是猜想ｍ项式定理为：定理１12()n m a a a +++12 121212!!! !m m i i i m i i i n m n a a a i i i +++==∑，(,,1,2,,)k i n N k m ∈=．

二项式定理常见题型

二项式定理 1．二项式定理： 011()()n n n r n r r n n n n n n a b C a C a b C a b C b n N --*+=+++++∈L L ， 2．基本概念： ①二项式展开式：右边的多项式叫做()n a b +的二项展开式。 ②二项式系数:展开式中各项的系数r n C (0,1,2,,)r n =???. ③项数：共(1)r +项，是关于a 与b 的齐次多项式 ④通项：展开式中的第1r +项r n r r n C a b -叫做二项式展开式的通项。用1r n r r r n T C a b -+=表示。 3．注意关键点： ①项数：展开式中总共有(1)n +项。 ②顺序：注意正确选择a ,b ,其顺序不能更改。()n a b +与()n b a +是不同的。 ③指数：a 的指数从n 逐项减到0，是降幂排列。b 的指数从0逐项增到n ，是升幂排列。各项的次数和等于n . ④系数：注意正确区分二项式系数与项的系数，二项式系数依次是012,,,,,,.r n n n n n n C C C C C ??????项的系数是a 与b 的系数（包括二项式系数）。 4．常用的结论：令1,,a b x == 0122(1)()n r r n n n n n n n x C C x C x C x C x n N * +=++++++∈L L 令1,,a b x ==- 0122(1)(1)()n r r n n n n n n n n x C C x C x C x C x n N * -=-+-+++-∈L L 5．性质： ①二项式系数的对称性：与首末两端“对距离”的两个二项式系数相等，即0n n n C C =， (1) k k n n C C -= ②二项式系数和：令1a b ==,则二项式系数的和为0122r n n n n n n n C C C C C ++++++=L L ，变形式1221r n n n n n n C C C C +++++=-L L 。 ③奇数项的二项式系数和=偶数项的二项式系数和：在二项式定理中，令1,1a b ==-，则0123(1)(11)0n n n n n n n n C C C C C -+-++-=-=L ，从而得到：02421321 11222 r r n n n n n n n n n C C C C C C C +-++???++???=++++???= ?=L ④奇数项的系数和与偶数项的系数和： 00112220120120011222021210 01230123()()1, (1)1,(1)n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n a x C a x C a x C a x C a x a a x a x a x x a C a x C ax C a x C a x a x a x a x a x a a a a a a x a a a a a a ----+=++++=+++++=++++=++++=++++=+---------=--+-++=-----L L L L L L 令则①令则024135(1)(1),() 2 (1)(1),() 2 n n n n n n a a a a a a a a a a a a ----++-++++=+---+++=L L ②①②得奇数项的系数和①②得偶数项的系数和 ⑤二项式系数的最大项：如果二项式的幂指数n 是偶数时，则中间一项的二项式系数2n n C 取得最大值。如果二项式的幂指数n 是奇数时，则中间两项的二项式系数12n n C -,12n n C +同时取得最大值。 ⑥系数的最大项：求()n a bx +展开式中最大的项，一般采用待定系数法。设展开式中各项系数分别为121,,,n A A A +???，设第1r +项系数最大，应有112 r r r r A A A A +++≥??≥?，从而解出r 来。

1.3.1二项式定理(教案)

1． 3．1二项式定理教学目标：知识与技能：进一步掌握二项式定理和二项展开式的通项公式过程与方法：能解决二项展开式有关的简单问题情感、态度与价值观：教学过程中，要让学生充分体验到归纳推理不仅可以猜想到一般性的结果，而且可以启发我们发现一般性问题的解决方法。教学重点：二项式定理及通项公式的掌握及运用教学难点：二项式定理及通项公式的掌握及运用授课类型：新授课教具：多媒体、实物投影仪第一课时一、复习引入： ⑴22202122 222()2a b a ab b C a C ab C b +=++=++； ⑵3322303122233333()33a b a a b ab b C a C a b C ab C b +=+++=+++ ⑶4()()()()()a b a b a b a b a b +=++++的各项都是4次式，即展开式应有下面形式的各项：4 a ，3 a b ，22 a b ，3 ab ，4 b ，展开式各项的系数：上面4个括号中，每个都不取b 的情况有1种，即04C 种，4 a 的系数是0 4C ；恰有1个取b 的情况有14C 种，3 a b 的系数是14C ，恰有2个取b 的情况有2 4C 种，22 a b 的系数是24C ，恰有3个取b 的情况有34C 种，3ab 的系数是34C ，有4都取b 的情况有44C 种，4 b 的系数是4 4C ， ∴4 4 13 2 22 33 44 44444()a b C a C a b C a b C a b C b +=++++．二、讲解新课：二项式定理：01()()n n n r n r r n n n n n n a b C a C a b C a b C b n N -*+=++ +++∈ ⑴()n a b +的展开式的各项都是n 次式，即展开式应有下面形式的各项： n a ，n a b ，…，n r r a b -，…，n b ， ⑵展开式各项的系数：每个都不取b 的情况有1种，即0n C 种，n a 的系数是0 n C ；恰有1个取b 的情况有1n C 种，n a b 的系数是1n C ，……，

二项式定理知识点总结

二项式定理知识点总结一、二项式定理：（）等号右边的多项式叫做的二项展开式，其中各项的系数叫做二项式系数。对二项式定理的理解：（1）二项展开式有项（2）字母按降幂排列，从第一项开始，次数由逐项减1到0；字母按升幂排列，从第一项开始，次数由0逐项加1到（3）二项式定理表示一个恒等式，对于任意的实数，等式都成立，通过对取不同的特殊值，可为某些问题的解决带来方便。在定理中假设，则（）（4）要注意二项式定理的双向功能：一方面可将二项式展开，得到一个多项式；另一方面，也可将展开式合并成二项式二、二项展开式的通项：二项展开式的通项是二项展开式的第项，它体现了二项展开式的项数、系数、次数的变化规律，是二项式定理的核心，它在求展开式的某些特定项（如含指定幂的项、常数项、中间项、有理项、系数最大的项等）及其系数等方面有广泛应用对通项的理解：（1）字母的次数和组合数的上标相同（2）与的次数之和为（3）在通项公式中共含有这5个元素，知道4个元素便可求第5个元素例 1、等于（） A、 B。C 。D 、例 2、（1）求的展开式的第四项的系数；（2）求的展开式中的系数及二项式系数

三、二项展开式系数的性质：①对称性：在二项展开式中，与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等，即②增减性与最大值：在二项式展开式中，二项式系数先增后减，且在中间取得最大值。如果二项式的幂指数是偶数，中间一项的二项式系数最大，即偶数：；如果二项式的幂指数是奇数，中间两项的二项式系数相等并最大，即③二项展开式的各系数的和等于，令，即；④奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和相等，令，即例题：写出的展开式中：（1）二项式系数最大的项；（2）项的系数绝对值最大的项；（3）项的系数最大的项和系数最小的项；（4）二项式系数的和；（5）各项系数的和 4、多项式的展开式及展开式中的特定项（1）求多项式的展开式，可以把其中几项结合转化为二项式，再利用二项式定理展开。例题：求多项式的展开式（2）求二项式之间四则运算所组成的式子展开式中的特定项，可以先写出各个二项式的通项再分析。例题：求的展开式中的系数例题：（1）如果在的展开式中，前三项的系数成等差数列，求展开式中的有理项。（2）求的展开式的常数项。【思维点拨】求展开式中某一特定的项的问题时，常用通项公式，用待定系数法确定

二项式定理中展开式系数的六种类型

二项式定理中展开式系数的六类题型求展开式中的系数是高考常考题型之一,本文以高考题为例，对二项式定理试题中求展开式系数的问题加以归类与解析，供读者参考。一、)()(*∈+N n b a n 型例1．10()x 的展开式中64x y 项的系数是（）（A ）840 （B ）－840 （C ）210 （D ）－210 解析：在通项公式1r T +=1010()r r r C x -中令r =4，即得10()x 的展开式中64x y 项的系数为4410(C =840,故选A 。例2．8)1 (x x -展开式中5x 的系数为。解析：通项公式r r r r r r r x C x x C T 2388881)1()1 (--+-=-= ，由题意得52 38=-r ，则2=r ，故所求5x 的系数为28)1(282=-C 。评注：常用二项展开式的通项公式求二项展开式中某特定项的系数，由待定系数法确定r 的值。二、),()()(*∈+±+N m n d c b a m n 型例3．843)1()2(x x x x ++-的展开式中整理后的常数项等于 . 解析；342()x x -的通项公式为341241442()()(2)r r r r r r r T C x C x x --+=-=-,令0412=-r ，则3=r ,这时得342()x x -的展开式中的常数项为3342C -=－32, 81()x x +的通项公式为8821881()k k k k k k T C x C x x --+==,令028=-k ，则4=k ,这时得81()x x +的展开式中的常数项为48C =70，故843)1()2(x x x x ++-的展开式中常数项等于387032=+-。例4．在65)1()1(x x ---的展开式中，含3x 的项的系数是（）

第三节二项式定理-高考状元之路

第三节二项式定理预习设计基础备考知识梳理 1．二项式定理 =+n b a )( 这个公式所表示的定理叫做二项式定理，右边的多项式叫做n b a )(+的二项展开式，其中的系数 ),,2,1,0(n r c r n =叫做式中的r r n r n b a c -叫做二项展开式的用1+r T 表示，即展开式的第项；= +1r T 2．二项展开式形式上的特点 (1)项数为.1+n (2)各项的次数都等于二项式的幂指数n ，即a 与b 的指数的和为 (3)字母a 按排列，从第一项开始，次数由n 逐渐减1直到零；字母b 按排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到n ． (4)二项式的系数从 ,,1 n C 一直到,1-n n C 3．二项式系数的性质 (1)对称性；与首末两端的两个二项式系数相等，即.m n n m n c C -= (2)增减性与最大值：二项式系数,k n C 当时，二项式系数是递增的；当时，二项式系数是递减的，当n 是偶数时，中间的一项取得最大值，当n 是奇数时，中间两项和相等，且同时取得最大值． (3)各二项式系数的和： n b a )(+的展开式的各个二项式系数的和等于.2n ，即 .2n = 二项展开式中，偶数项的二项式系数的和等于奇数项的二项式系数的和，即 =+++=+++ 42531 n n n n n C C C C c α 典题热身 1．在62)1(x x -的展开式中，3x 的系数是( ) 20.A 15.B 20.-c 15.-D 答案：C 2．已知n ax )1(+的展开式中，二项式系数和为32．各项系数和为243，则a 等于( ) 2.-A 2.B 3.-c 3.D 答案：B

第九章第三节二项式定理(优秀经典课时作业练习及答案详解)

课时作业 A 组——基础对点练 1.二项式(x ＋1)n (n ∈N ＋)的展开式中x 2的系数为15，则n ＝( ) A.7 B ．6 C ．5 D ．4 解析：因为(x ＋1)n 的展开式中x 2的系数为C n －2n ，所以C n －2n ＝15，即C 2n ＝15，亦即n 2－n ＝30，解得n ＝6(n ＝－5舍)．答案：B 2.二项式(x 2－2 x )10的展开式中，x 项的系数是( ) A.152 B ．－15 2 C ．15 D ．－15 解析：(x 2－2x )10 的二项展开式的通项公式为 T r ＋1＝C r 10(x 2)10－r (－2x )r ＝(－1)r 22r －10C r 10x 5－3r 2，令5－3r 2＝1 2，得r ＝3，所以x 项的系数是(－1)3·2－4·C 310 ＝－15 2.故选B. 答案：B 3.(2018·惠州市调研)(1 2x －2y )5的展开式中x 2y 3的系数是( ) A.－20 B ．－5 C ．5 D ．20 解析：(12x －2y )5展开式的通项公式为T r ＋1＝C r 5(12x )5－r ·(－2y )r ＝C r 5·(12 )5－r ·(－2)r ·x 5－r ·y r ，令 r ＝3，得x 2y 3的系数为C 35(12 )2·(－2)3 ＝－20. 答案：A 4.若(a 2＋1 a 2＋2)n 展开式中的常数项是252，则n ＝( ) A.4 B ．5 C ．6 D ．7 解析：(a 2＋1a 2＋2)n ＝(a ＋1a )2n ，(a ＋1a )2n 的展开式的通项为T r ＋1＝C r 2n a 2n －r (1a )r ＝C r 2n

二项式定理及其应用

二项式定理及其应用一、求某项的系数：【例1】（1）在（1-x3）（1+x）10的展开式中，x5的系数是多少？（407）（2）求（1+x-x2）6展开式中含x5的项．（5 6x）二、证明组合数等式：练习（12345）例2 计算：1.9975（精确到0.001）．师：按生戊所谈的方法，大家在自己的笔记本上计算一下．

例3：（1996年全国高考有这样一道应用题）某地现有耕地10 000公顷，规划10年后粮食单产比现在增加22％，人均粮食占有量比现在提高10％．如果人口年增长率为1％，那么耕地平均每年至多只能减少多少公顷（精确到1公顷）？例3 如果今天是星期一，那么对于任意自然数n，经过23n+3＋7n＋5天后的那一天是星期几？生庚：先将此题转化为数学问题，即本题实际上寻求对于任意自然数n，23n+3+7n＋5被7除的余数．受近似计算题目启发，23n+3=8n+1=（7＋1）n+1，这样可以运用数，7n也是7的倍数，最后余数是1加上5，是6了．师：请同学们在笔记本上完成此题的解答（教师请一名同学板演）解：由于23n+3＋7n＋5=8n+1＋7n＋5=（7＋1）n+1＋7n+5

则 23n+3＋7n＋5被7除所得余数为6 所以对于任意自然数n，经过23n+3＋7n＋5后的一天是星期日．师：请每位同学在笔记本上完成这样一个习题：7777-1能被19整除吗？（教师在教室内巡视，3分钟后找学生到黑板板演）解：7777-1=（76+1）77 由于76能被19整除，因此7777-1能被19整除．师：请生辛谈谈他怎样想到这个解法的？生辛：这是个幂的计算问题，可以用二项式定理解决．如果把7777改成（19＋58）77，显然展开式中最后一项5877仍然不易判断是否能被19整除，于是我想到若7777-1能被38，或能被57，或能被76，或能被95整除，必能被19整除，而76与77只差1，故欲证7777-1被19整除，只需证（76+1）77被76整除．得到了以上的解法．师：二项式定理解决的是乘方运算问题，因此幂的问题可以考虑二项式定理．下面我们解一些综合运用的习题例4 求证：3n＞2n-1（n＋2）（n∈N，且n≥2）．师：仍然由同学先谈谈自己的想法．生壬：我觉得这道题仍可以用二项式定理解，为了把左式与右式发生联系，将3换成2＋1．

二项式定理知识点及典型题型总结汇编

二项式定理一、基本知识点 1、二项式定理：)()(1110*--∈+++++=+N n b C b a C b a C a C b a n n n r r n r n n n n n n 2、几个基本概念（1）二项展开式：右边的多项式叫做n b a )(+的二项展开式（2）项数：二项展开式中共有1+n 项（3）二项式系数：),,2,1,0(n r C r n =叫做二项展开式中第1+r 项的二项式系数（4）通项：展开式的第1+r 项，即),,1,0(1n r b a C T r r n r n r ==-+ 3、展开式的特点（1）系数都是组合数,依次为C 1n ,C 2n ,C n n ,…,C n n (2)指数的特点①a 的指数由n 0( 降幂)。 ②b 的指数由0 n （升幂）。 ③a 和b 的指数和为n 。 (3)展开式是一个恒等式，a ，b 可取任意的复数，n 为任意的自然数。 4、二项式系数的性质：（1）对称性: 在二项展开式中，与首末两端等距离的任意两项的二项式系数相等.即（2）增减性与最值二项式系数先增后减且在中间取得最大值当n 是偶数时，中间一项取得最大值2n n C 当n 是奇数时，中间两项相等且同时取得最大值21 -n n C =21+n n C （3）二项式系数的和：奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数和.即 m n n m n C C -=n n n k n n n n C C C C C 2 210=+???++???+++∴02 13 n-1 n n n n C +C +=C +C + =2

二项式定理的常见题型一、求二项展开式 1．“n b a )(+”型的展开式例1．求4)13(x x +的展开式；a 2． “n b a )(-”型的展开式例2．求4)13(x x -的展开式； 3．二项式展开式的“逆用” 例3．计算c C C C n n n n n n n 3)1( (279313) 2 1 -++-+-；二、通项公式的应用 1．确定二项式中的有关元素例4．已知9)2(x x a -的展开式中3x 的系数为4 9 ，常数a 的值为 2．确定二项展开式的常数项例5．103 )1(x x -展开式中的常数项是

第十章第三节二项式定理及应用

第十章第三节二项式定理及应用 1.(2009·重庆高考)(x 2＋2 x )8的展开式中x 4的系数是 ( ) A ．16 B ．70 C ．560 D ．1 120 解析：由二项展开式通项公式得 T r ＋1＝C r 8(x 2)8－r (2x )r ＝2r C r 8x 16－3r . 由16－3r ＝4，r ＝4，则x 4的系数为24C 48＝1 120. 答案：D 2．(x )12的展开式中的常数项为 ( ) A ．－132 0 B ．1 320 C ．－220 D ．220 解析：展开式的通项是T r ＋1＝C r 12x 12－ r ( )r ＝C r 12 (－1)r x 12－4r 3，令12－4r 3＝0，得r ＝9，故展开式的常数项是T 10＝C 912(－1)9 ＝－220. 答案：C 3．(2009·湖南高考)在(1＋x )3＋(1＋x )3＋(1＋3x )3的展开式中，x 的系数为 ________(用数字作答)．解析：C 13＋C 23＋C 33＝23－1＝7. 答案：7 4．若????x 2＋1ax 6的二项展开式中x 3的系数为5 2，则a ＝__________(用数字作答)．解析：通项T r ＋1＝C r 6· a － r x 12－3r ，当12－3r ＝3时，r ＝3，所以系数为C 36·a － 3＝52，得a ＝2. 答案：2

5.在? ? 1x ＋51x 3?? ? n 的展开式中，所有奇数项的系数之和为1 024，则中间项系数是 ( ) A ．330 B ．462 C ．682 D ．792 解析：∵二项式的展开式的所有项的二项式系数和为2n ，而所有偶数项的二项式系数和与所有奇数项的二项式系数和相等．由题意得，2n － 1＝1 024，∴n ＝11，∴展开式共有12项，中间项为第六项、第七项，系数为C 511＝C 6 11＝462. 答案：B 6．(2009·江西高考)(1＋ax ＋by )n 展开式中不含x 的项的系数绝对值的和为243，不含y 的项的系数绝对值的和为32，则a ，b ，n 的值可能为 ( ) A ．a ＝2，b ＝－1，n ＝5 B ．a ＝－2，b ＝－1，n ＝6 C ．a ＝－1，b ＝2，n ＝6 D ．a ＝1，b ＝2，n ＝5 解析：不含x 的项的系数的绝对值为(1＋|b |)n ＝243＝35，不含y 的项的系数的绝对值为(1＋|a |)n ＝32＝25， ∴n ＝5，????? 1＋|b |＝3，1＋|a |＝2. 答案：D 7．若(x －2)5＝a 5x 5＋a 4x 4＋a 3x 3＋a 2x 2＋a 1x ＋a 0，则a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝________. (用数字作答) 解析：由题设令x ＝0得a 0＝(－2)5＝－32，令x ＝1得a 5＋a 4＋a 3＋a 2＋a 1＋a 0＝(1－2)5＝－1，故a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝－1－(－32)＝31. 答案：31 8.在2 n x ? ?的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展开式的常数项为 ( ) A ．－7 B ．7 C ．－28 D ．28 解析：依题意，n 2＋1＝5，∴n ＝8.二项式为2x ?- ?8 ，易得常数项为C 68????x 22

二项式知识点+十大问题+练习(含答案)

1．二项式定理： 011()()n n n r n r r n n n n n n a b C a C a b C a b C b n N --*+=+++++∈ ， 2．基本概念： ①二项式展开式：右边的多项式叫做()n a b +的二项展开式。 ②二项式系数:展开式中各项的系数r n C (0,1,2,,)r n =???. ③项数：共(1)r +项，是关于a 与b 的齐次多项式 ④通项：展开式中的第1r +项r n r r n C a b -叫做二项式展开式的通项。用1r n r r r n T C a b -+=表示。 3．注意关键点： ①项数：展开式中总共有(1)n +项。 ②顺序：注意正确选择a ,b ,其顺序不能更改。()n a b +与()n b a +是不同的。 ③指数：a 的指数从n 逐项减到0，是降幂排列。b 的指数从0逐项减到n ，是升幂排列。各项的次数和等于n . ④系数：注意正确区分二项式系数与项的系数，二项式系数依次是012,,,,,,. r n n n n n n C C C C C ??????项的系数是a 与b 的系数（包括二项式系数）。 4．常用的结论：令1,,a b x == 0122(1)()n r r n n n n n n n x C C x C x C x C x n N *+=++++++∈ 令1,,a b x ==- 0122(1)(1)()n r r n n n n n n n n x C C x C x C x C x n N *-=-+-+++-∈ 5．性质： ①二项式系数的对称性：与首末两端“对距离”的两个二项式系数相等，即 0n n n C C =， (1) k k n n C C -= ②二项式系数和：令1a b ==,则二项式系数的和为0122r n n n n n n n C C C C C ++++++= ，变形式1221r n n n n n n C C C C +++++=- 。 ③奇数项的二项式系数和=偶数项的二项式系数和：在二项式定理中，令1,1a b ==-，则0123 (1)(11)0 n n n n n n n n C C C C C -+-++-=-= ，从而得到：0242132111222 r r n n n n n n n n n C C C C C C C +-++???++???=++++???= ?= ④奇数项的系数和与偶数项的系数和：

二项式定理中展开式系数的六种类型

二项式定理六类题型求展开式中的系数是高考常考题型之一,本文以高考题为例，对二项式定理试题中求展开式系数的问题加以归类与解析，供读者参考。一、)()(*∈+N n b a n 型例1．10()x -的展开式中64x y 项的系数是（）（A ）840 （B ）－840 （C ）210 （D ）－210 解析：在通项公式1r T +=1010()r r r C x -中令r =4，即得10()x 的展开式中64x y 项的系数为4410(C =840,故选A 。例2．8)1 (x x -展开式中5x 的系数为。解析：通项公式r r r r r r r x C x x C T 2388881)1()1 (--+-=-= ，由题意得52 38=-r ，则2=r ，故所求5x 的系数为28)1(282=-C 。评注：常用二项展开式的通项公式求二项展开式中某特定项的系数，由待定系数法确定r 的值。二、),()()(* ∈+±+N m n d c b a m n 型例3．843)1()2(x x x x ++-的展开式中整理后的常数项等于 . 解析；342()x x -的通项公式为341241442()()(2)r r r r r r r T C x C x x --+=-=-,令0412=-r ，则3=r ,这时得342()x x -的展开式中的常数项为3342C -=－32, 81()x x +的通项公式为8821881()k k k k k k T C x C x x --+==,令028=-k ，则4=k ,这时得81()x x +的展开式中的常数项为48C =70，故843)1()2(x x x x ++-的展开式中常数项等于387032=+-。例4．在65)1()1(x x ---的展开式中，含3x 的项的系数是（）

1.3.2二项式定理检测(3)

高中数学2二项式定理(带答案)

二项式定理的十大应用

二项式定理赋值法求各项系数的和复习过程

2018年高考二项式定理十大典型问题及例题

最新二项式定理应用常见题型大全(含答案)

二项式定理知识点总结

二项式定理的推广与应用

二项式定理常见题型

1.3.1二项式定理(教案)

二项式定理知识点总结

二项式定理中展开式系数的六种类型

第三节 二项式定理-高考状元之路

第九章 第三节 二项式定理(优秀经典课时作业练习及答案详解)

二项式定理及其应用

二项式定理知识点及典型题型总结汇编

第十章 第三节 二项式定理及应用

二项式知识点+十大问题+练习(含答案)

二项式定理中展开式系数的六种类型

第三节二项式定理-高考状元之路

第九章第三节二项式定理(优秀经典课时作业练习及答案详解)

第十章第三节二项式定理及应用