重庆市第一中学2020届高三数学下学期5月月考试题 文

重庆市第一中学2020届高三数学下学期5月月考试题 文

数学试题共4页，满分150分，考试时间120分钟。

注意事项：

1.答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上。

2.答选择题时，必须使用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号。

3.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。

4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。

第I 卷（选择题，共60分）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分. 1. 已知集合1A x x ，B

x x m ，且A B R ，那么m 的值可以是（ ）

A ．1

B ．0

C ．1

D ．2

2. 若“:p x a >”是“:1q x >或3x <-”的充分不必要条件，则a 的取值范围是（ ） A ．1a ≥

B ．1a ≤

C ．3a -≥

D ．3a -≤

3．当01x ＜＜时，下列大小关系正确的是（ ） A ．3

33log x

x x ＜＜

B ．3

33log x x x ＜＜

C ．33log 3x

x x ＜＜

D ．3

3log 3x x x ＜＜

4．已知双曲线C

的中心为原点，点)

F 是双曲线C 的一个焦点，点F 到渐近线的距离为1，则C 的

方程为（ ） A ．2

2

1x y -=

B ．2

212

y x -= C ．22

123x y -= D ．22

133

x y -= 5．数列{}n a 满足11a =，23a =，()12n n a n a λ+=-()1,2,n =???，则3a =（ ） A ．5

B ．9

C ．10

D ．15

6．设变量x ，y 满足约束条件220

24010x y x y x +-??

-+??-?

≥≥≤，则目标函数32z x y =-的最小值为（ ）

A ．6-

B ．4-

C ．2

D ．3

7．《九章算术》是我国古代数学名著，也是古代东方数学的代表作，书中有如下问题：“今有勾八步，股一十五步，问勾中容圆，径几何？”其意思为：“已知直角三角形两直角边长分别为8步和15步，问其内切圆的直径为多少步？”现若向此三角形内投豆子，则落在其内切圆内的概率是（ ） A ．

310

π

B ．

320

π C ．

20

π D ．

10

π 8．将函数sin 2y x =的图象向左平移

再向上平移1个单位，得到()f x 的图象，

（ ）

A ．1

B ．2

C ．1-

D ．0

9．已知函数()1

ln 1

f x x x =

--，则()y f x =的图象大致为（ ）

A ．

B ．

C ．

D ．

10．公元263年左右，我国数学家刘徽发现，当圆内接正多边形的边数无限增加时， 多边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了“割圆术”．利用“割圆术”，刘徽得到了 圆周率精确到小数点后两位的近似值3.14，这就是著名的“徽率”．如图是利用刘徽 的“割圆术”思想设计的一个程序框图，则输出n 的值为（ ）． （参考数据：sin150.2588?=，sin7.50.1305?=） A ．12 B ．18

C ．24

D ．32

11．已知过抛物线2

4y x =焦点F 的直线l 交抛物线于A 、B 两点（点A 在第一象限），若3AF FB =，则直线l 的斜率为（ ） A 3B ．

3

2

C ．

12

D ．2

12．已知函数()2

10

log 0x x f x x x ?+?=?>??，≤，，若方程()f x a =有四个不同的解1x ，2x ，3x ，4x ，且1234x x x x <<<，

则()312234

1

x x x x x ++的取值范围是（ ） A ．()1,-+∞

B ．[)1,1-

C ．(),1-∞

D ．(]1,1-

第II 卷（非选择题，共90分）

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分. 13．已知b 为实数，i 为虚数单位，若

2i

1i

b +?-为实数，则b =________． 14．已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，若以(),n n a S 为坐标的点在曲线()1

12

y x x =+上，则数列{}n a 的通项公式为________．

15．在ABC △中，AB AC AB AC +=-，2AB =，1AC =，E 、F 为BC 的三等分点，则

AE AF =?__________．

16．已知()y f x =，x ∈R ，有下列4个命题：

①若(12)(12)f x f x +=-，则()f x 的图象关于直线1x =对称； ②(2)y f x =-与(2)y f x =-的图象关于直线2x =对称；

③若()f x 为偶函数，且(2)()f x f x +=-，则()f x 的图象关于直线2x =对称； ④若()f x 为奇函数，且()(2)f x f x =--，则()f x 的图象关于直线1x =对称． 其中正确的命题为__________．（填序号）

三、解答题：（共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

17.已知向量()13,,sin ,cos ,,2232m n x x x ππ????

=-=∈ ??? ?????

(1)若m n ⊥，求x 的值； (2)若向量1

3m n ?=，求5sin(2)3

x π-

的值.

18．新高考取消文理科，实行“33+”，成绩由语文、数学、外语统一高考成绩和自主选考的3门普通高中学业水平考试等级性考试科目成绩构成.为了解各年龄层对新高考的了解情况，随机调查50人（把年龄在

[15,45)称为中青年，年龄在[45,75)称为中老年），并把调查结果制成下表：

（1）请根据上表完成下面22?列联表，并判断是否有95%的把握认为对新高考的了解与年龄（中青年、中老年）有关？

附：2

2

()()()()()

n ad bc K a b c d a c b d -=++++.

()2P K k ≥

0.050 0.010 0.001 k

3.841

6.635

10.828

（2）现采用分层抽样的方法从中老年人中抽取8人，再从这8人中随机抽取2人进行深入调查，求事件A ：“恰有一人年龄在[)45,55”发生的概率.

19．平行四边形ABCD 中，3

A π

∠=

，2AB BC =，,E F 分别是,BC AD 的中点.将四边形DCEF 沿着EF

折起，使得平面ABEF ⊥平面DCEF ，得到三棱柱AFD BEC -， （1）证明：DB EF ⊥；

（2）若2AB =，求三棱柱AFD BEC -的体积.

20．已知抛物线()2

:20C y px p =>的焦点为F ，过点F 且斜率为1的直线l 截得圆：222

x y p +=的弦长

为214.

（1）求抛物线C 的方程；

（2）若过点F 作互相垂直的两条直线1l 、2l ，1l 与抛物线C 交于A 、B 两点，2l 与抛物线C 交于D 、E 两点，M 、N 分别为弦AB 、DE 的中点，求MF NF ?的最小值.

21．已知函数2

()sin 2x

f x e x ax x =+--.

（1）当0a =时，判断()f x 在[

)0,+∞上的单调性并加以证明； （2）若0x ≥，()1f x ≥，求a 的取值范围.

请考生在第22、23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时请写清题号.

22．在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为cos 2sin x t y t α

α=??

=+?

（t 为参数），曲线C 的参数方程为

1cos 1sin x y θ

θ=-+??

=+?

（θ为参数）. （1）当3

π

α=

时，求直线l 与曲线C 的普通方程；

（2）若直线l 与曲线C 交于,A B 两点，直线l 倾斜角的范围为0,3

π??

??

?

，且P 点的直角坐标为0,2（），求

PA PB PA PB

?+的最小值.

23．已知函数()|1|||f x x x a =+-+. （1）若1a =-，求不等式()

1f x -的解集；

（2）若“x R ?∈，()|21|f x a <+”为假命题，求a 的取值范围.

2020年重庆一中高2020级高三下期5月月考

数 学 试 题 答 案（文科）2020.05 1-12. DACAD BBDAC AD

13． 14．

15． 16．①②③④

17.(1)由可得

， .........2分 即

，则

， .........4分

解得 .........6分

(2)由题意可得 即， .........8分

由∴ ， .........9分

又， .........10分

所以. .........12分

18.（1）列联表如图所示

了解新高考不了解新高考总计

中青年22 8 30

老年8 12 20

总计30 20 50

.........2分

，.........5分

所以有95%的把握判断了解新高考与年龄（中青年、中老年）有关联. .........6分

（2）由表格数据得到抽取的8人中：年龄在中的有4人，年龄在中的有2人，年龄在

中的有2人. .........9分

从8人中抽取2人的方法有28种，其中恰有一人年龄在被抽中的方法有16种. .........11分所以. .........12分

19.（1）取的中点，连接，易知是等边三角形.

∴，. .........2分

∵，

∴平面， .........4分

而平面，

∴. .........6分

（2）三棱柱可分为四棱锥与三棱锥.

由（1）知，而平面平面，且交线为，

∴平面.

同理可证平面. .........9分

四棱锥的体积， .........10分

三棱锥的体积， .........11分

∴三棱柱的体积. .........12分

20.（1）由已知得直线方程为，

圆心到直线的距离为， ......2分

又得， ......4分

故抛物线的方程为； .........5分

（2）由（1）知焦点为.

由已知可得，所以两直线、的斜率都存在且均不为.

设直线的斜率为，则直线的斜率为，

故直线的方程为.

联立方程组，消去，整理得. .........7分

设点、，则.

因为为弦的中点，所以.

由，得，故点

同理，可得. .........9分

故，.

所以，当且仅当，即时，等号成立.

所以的最小值为. .........12分

21.（1）当时，. .........1分

记，则，

当时，，.

所以，所以在单调递增， .........3分

所以.

因为，所以，所以在为增函数. .........5分

（2）由题意，得，记，则，令，则，

当时，，，所以，

所以在为增函数，即在单调递增

所以. .......7分

①当，，恒成立，所以为增函数，即在单调递增，又，所以，所以在为增函数，所以

所以满足题意. .....9分

②当，，令，，

因为，所以，故在单调递增，

故，即.

故，

又在单调递增，

由零点存在性定理知，存在唯一实数，，

当时，，单调递减，即单调递减，

所以，此时在为减函数，

所以，不合题意，应舍去. .......11分

综上所述，的取值范围是. .......12分

22.（1）

直线的参数方程为，消掉参数

可得直线的普通方程为， .......2分

的参数方程为（为参数）

可得

曲线的普通方程为. .......5分

（2）将的参数方程为（为参数）代入圆的方程得

， .......7分

设所对应的参数分别为，

则，，

所以，.......9分

当时，的最小值为. .......10分

23.解：（1）当时， .......2分

由，得.

故不等式的解集为. .......5 分

（2）因为“，”为假命题，

所以“，”为真命题，

所以. .......7分

因为，

所以，则，所以， .......9分即，解得的取值范围为. .......10分