新人教版小学数学六年级上册《鸡兔同笼》教学设计
【教学目标】:
1、了解“鸡兔同笼”问题,感受古代数学问题的趣味性。
2、在解决“鸡兔同笼”的活动中,尝试通过列表举例、尝试计算、列方程等方法解决鸡兔的数量问题。
3、培养学生的合作意识,在现实情景中,使学生感受到数学思想的运用与解决实际问题的联系,提高学生解决问题的能力和自信心,进而让学生体会数学的价值。
【教学重点】:
体会解决问题策略的多样化,培养学生分析问题、解决问题的能力。
【教学难点】:渗透假设的思想
【课前准备】:多媒体课件
【教学过程】
一、创设情境,生成问题.
(1)师:同学们请看屏幕,今天我们要研究的问题是:——(生齐)鸡兔同笼。(板书:鸡兔同笼)。
(2)课前老师让同学们进行了充分的预习,你知道“鸡兔同笼”是什么意思吗?
师总结:是的,鸡兔同笼是一种数学问题(板书:问题)。早在1500多年以前,我们的老祖宗就研究过这个问题,这个问题就记载在我国的古典数学名著《孙子算经》中。我们大家想不想走进这部数学名著,看看流伟了上千年的趣题是怎么样的?
二、探索交流,解决问题
1、请大家看大屏幕:出示:今有雉兔同笼,上有三十五头,下有九十四足,问雉兔各几何?
指生读题。你能说说这道题是什么意思吗?(说明:雉指鸡)
2、为了便于同学们寻找解决问题方法,我们先来研究一道数据较小,但又与课本例题不一样的的“鸡兔同笼”问题。出示:笼子里有若干只鸡兔。从上面数,有10个头,从下面数,有32只脚,鸡和兔各有几只?
指生读题,你知道了什么数学信息?脚为什么比头多了呢?很好,两个隐藏着的条件也被我们同学发现了。
大家会解答这个问题吗?
师:看得出,有的同学已经有想法,跃跃欲试了,下面我们就动笔先独立地试一试,如果遇到困难,要充分发挥小组集体的力量,群策群力,以小组为
A、列表法:
他们组的想法怎么样 ?好在哪里 ?
像他们这样把所有的可能,采用列表的方法,一一列举出来,并最终能找到答案的方法,在数学上叫列举法。
哪个小组也是用的枚举法 ,但不是像这个组这样一一列举的 ?
B、假设法:
谁还有不同的方法?生说,师板书。
假设都看成鸡:8×2=16(条)
26-16=10(条)
4-2=2(条)
兔: 10÷2=5(只)
鸡: 8-5=3(只)
师讲解,课件演示。同桌互相说一说。
还能都假设成什么?(兔)请同学们自己试着做一做。
谁来说一说你是怎样计算的?
都假设成兔子:8×4=32(条)
32-26=6(条)
4-2=2(条)
鸡: 6÷2=3(只)
兔: 8-3=5(只)
C、画图法。我像你们这么大的时候,我的老师也教给我这种方法,当时也只是会做,心里却一直不理解,为什么假设全是鸡,求出来的却是兔呢?当我成为老师教学生的时候,我就想有没有更好的办法呢?功夫不负有心人,还真让我想到了,就是画图法,(板书画图法)我们一起来看看。(出示学具)看,我用这 10个圈代表一共的10个头,我们假设都是鸡:多出来的 12只脚怎么办?这个 2表示什么?
把 10个头都看成鸡,这样一共有 20只脚,还剩 12只脚,于是就要把其中的鸡改成兔子,改一只增加 2只脚,要把 12只都安完,要把 6只鸡变成兔。
师:你觉得这种解法怎么样?
师 : 一个简单的画图 ,就能把这道题表示的这么清楚明了 ,看来 ,画图
分析也是解决问题的很好的策略。
D、方程法
除了用列表法、假设法,谁还有不同的方法?
方程。如果列方程的话,首先要找等量关系,这道题的等量关系是什么?
鸡的腿+兔的腿=26条
那么就请同学们用列方程的方法试一试。(全班尝试,一名学生板演。)
我们来听听这个同学的想法。
E、古人解决的办法:
师:你想知道古人是如何解答这个问题的吗?
(屏幕显示:足数÷2-头数=兔数头数-兔数=鸡数)
师:看起来很复杂的“鸡兔同笼”问题,古人解起来就这么简单啊。咱们用这种方法口算一下上面这道题,结果和我们刚才算的一样吗?
师:老祖宗的方法真是太简单了,其中的道理你能讲清楚吗?
师:这个方法看起来很简单,要理解它还真不容易呢。其实对这个问题,不但咱们中国人有研究,外国人对它也有关注,在匈牙利出生的美国教授波利亚,他讲了一个很有趣的故事解释了这种解法的道理。
草地上有一群鸡兔在玩耍,突然,鸡对兔说:“我们的本领可大了,可以做金鸡独立”。说着每只鸡就抬起一只脚,只用一只脚站着。兔子们见了,也不甘示弱:“这有什么了不起,看看我们兔子作揖。”说完,每只兔就把两只前脚提起来,只留下两只后脚站着。哈哈,这下有趣了,原来的鸡都变成了“独脚鸡”,原来的兔都变成了“双脚兔”。
想一想,现在草地上站立的脚是原来的多少?
生1:现在草地上鸡和兔的头数没变,站立的脚数只剩下原来的一半,也就是“足数÷2”。
生2:现在草地的脚数再和头数比,只有一只兔子多出1只脚,所以,足数÷2-头数=兔的只数。
师:都看明白了吗?你们觉得我们老祖宗的方法怎么样?
生:方法很简单,蕴含的道理很深刻!
师:不过,大家也要小心哦,这种看起来很简单的方法也是有局限的。
4、回顾深入:
比较一下这些不同的解法,(课件出示几种不同方法)你比较喜欢哪种方法?能说说理由吗?生答。
师:看来不同的解法各有各的特点,它们既有联系又有区别,我们应该根据需要灵活地选用。
5 、解答原题:
师:现在我们能用不同的方法来解答这道题,会的水平不一样了!但数学学习讲究的就是深入,如果就此打住那我们今天的探索还是不够深入。数学家在研究一类问题,探讨规律时往往从最简单的开始,这是“化繁为简”的策略。请看这道题,(课件出示:今有鸡兔同笼,上有 35个头,下有 94只脚,鸡和兔各有多少?)你想用什么方法做,快速解答出来。
6、质疑引思。
师:通过刚才的学习,鸡兔同笼问题都会解决吗,有没有什么疑问?
生(都摇头):没有!
师:老师有一个疑问,在生活中我们很少看到有人把鸡和兔放在一个笼子里养吧,就是放在一起养,也没谁去数头数脚做这种无聊的事。我们的老祖宗干嘛煞费苦心地研究来研究去的,一千多年过去了,还作为宝物似的流传到今?“鸡兔同笼”有什么独特的魅力吗?”(显示:“鸡兔同笼”有什么独特的魅力?)
二、巩固应用,内化提高
1、初步建模。
(1)龟鹤同游,共有40个头,112只脚,求龟、鹤各有多少只?
师:据资料显示,日本人也研究鸡兔同笼,不过日本怕别的国家的人笑话他们学中国的东西,就把鸡兔同笼变成龟鹤同游。
思考:日本人说的“龟、鹤”和我们说的“鸡、兔”有联系吗?
生:龟和兔一样的,有四只脚。鹤和鸡一样的,都是两只脚。
师:那这道“龟鹤同游”问题会解决?
(学生试做后,交流算法)
比较后得出:“龟鹤同游”和“鸡兔同笼”是同一类型的数学问题。
(2)出示:一队猎人一队狗,两列并成一队走。数头一共五十五,数脚共有一百九。
师:老师昨天晚上还看到这样一首儿歌。我们研究了鸡兔同笼、龟鹤同游,也来给这首儿歌取个名字?
生:人狗同行。
师:看了“人狗同行”的儿歌,和“鸡兔同笼”比较,你有什么话想说?
生:我觉得它和鸡兔同笼的问题仍然是一样的。猎人相当于鸡,狗相当于兔。他的这个理解可以吗?
生:可以。
师:虽然把猎人看作鸡有些不雅,但是从研究的角度大家确实是找到了他们数量上的联系。显示:猎人——鸡(两只脚)狗——兔(四只脚)师:回想一下,从“鸡兔同笼”到“龟鹤同游”,再到“人狗同行”,你发现了什么呢?(再次显示:“鸡兔同笼”有什么独特的魅力?)
生1:鸡兔同笼是多方面的。
生2:“鸡兔同笼”可以表示好多种和“鸡兔同笼”相同的情况。
师:是啊,鸡兔同笼不只是代表着鸡兔同笼的问题(老师在课题上加上双引号),它就好像是一个模型!(板书:模型)我们可以找到很多它的影子。想想看,鸡兔同笼问题还可以变化成什么问题?
2、强化体验。
1.拓展。
师:这个信封里放的是5元和2元的钞票,共8张,34元,你能算出信封里5元和2元的钞票各有多少张吗?
师:这个问题和我们研究的鸡兔同笼问题有联系吗?
生:其实这也是鸡兔同笼问题,这里的2元的钞票就相当于鸡有2只脚,而5元的钞票就相当于兔,是五只脚的“怪兔”!
师:(故作神秘状)是这个意思?
(课件动态演示:将2元钞票换成鸡,将5元钞票换成五只脚的“怪兔”)师:同学们真是联想丰富,把兔子给“整成”了五条腿。看来我们的鸡兔同笼问题不仅包括4只脚的兔子,还可以是5只脚的怪兔。你能把这个题目改成“鸡兔同笼”的数学问题吗?
(显示:鸡有2脚,怪兔有5脚。共8头,34脚。鸡有多少只?怪兔有多少只?)
看来“鸡兔同笼”中的“鸡”和“兔”也可以转换成好多脚的“怪鸡”和“怪兔”。能联系实际举个例子吗?……
2.应用。
师:让我们带上这样的眼光再到身边去看一看吧。
①(课件出示:工地运来长度分别为8米和5米的水管25根,用它们一共铺设了173米长的管道。运来两种水管各多少根?)学生抽象变题:怪鸡5脚,
怪兔8脚,共25头,173脚。问:怪鸡有多少只?怪兔有多少只?
②(课件出示:刘老师带着41名队员去海陵公园划船,共租了10条船,恰好坐满,每条大船坐6人,每条小船坐4人,问大船和小船各租了几条?)学生抽象变题:怪鸡4脚,怪兔6脚,共10头,42脚。问:怪鸡?只,怪兔?只。
选做一题,全班讲评,形成全课板书。
四、回顾总结,反思提升
师:经过一节课的研究,现在再来回答这个问题(第三次显示“鸡兔同笼”有什么独特的魅力?),你有什么想说的吗?
师:(对着板书)从一个具体的数学问题出发,研究解法,并上升到一种模
型,最后进行广泛的运用,数学就是这样发展起来的。同样,如果我们在学习各种数学问题时能有“模型”的意识,举一反三,能触类旁通,那么你必将会走向数学学习的自由王国。
第四章 比 一、比的基本概念 1、比的意义:两个数相除又叫做两个数的比 两个同类量的比表示这两个量之间的倍数关系,两个有联系的不同类量的比表示一个新的量 2、比的符号和读、写法 10 15是分数形式的比,是比的另一种书写形式 3、比的各部分名称 (1)比的前项:在两个数的比中,比号前面的数 (2)比的后项:在两个数的比中,比号后面的数 (3)比值:比的前项除以后项所得的商 4、求比值的计算方法:比的前项除以比的后项 比值可用分数、小数或整数表示 5、比和比值的联系与区别 都可以用分数形式表示:5 3既可表示3:5,又可表示3:5的比值;比表示两个数的一种关系,比值是一个数;比只能写成a:b 或b a 的形式,比值可以是分数、小数、整数 6、比与分数、除法的关系 (1)联系 a:b=a ÷b=b a ( b ≠0) 除法 被除数 ÷ 除数 商 分数 分子 — 分母 分数值 比 前项 : 后项 比值 (2)区别 ①意义不同:比表示两个量的一种关系;除法是一种运算;分数则是一个数 ②表示方法不同:除法算式不能用分数表示;比可以用分数表示;但分数不一定表示两个量的比 ③结果表达不同:除法要求出商;比只有求比值才求出商;分数本身就是一个数值 7、求比中未知项的方法 比的前项=比的后项×比值 比的后项=比的前项÷比值 8、转化法解决问题:把不变量看作单位“1” 小明读一本书,已读页数和未读页数只比是5:4.如果再读27页,已读与未读只比为2:1,求这本书多少页 2:(1+2)=32 5:(5+4)=95 27÷(32-9 5)=243(页) 二、比的基本性质 1、、比的基本性质 比的前项和后项同时乘或除以相同的数(0除外),比值不变。同样适用于连比 2、化简比的意义
小学六年级数学上册知识点 圆的认识(一) 1.圆中心的一点叫圆心,用O表示.一端在圆心,另一端在圆上的线段叫半径,用r表示.两端都在圆上,并过圆心的线段叫直径,用d表示. 2.圆有无数条半径,有无数条直径. 3.圆心决定圆的位置,半径决定圆的大小. 圆的认识(二) 4.把圆对折,再对折就能找到圆心. 5.圆是轴对称图形,直径所在的直线是圆的对称轴.圆有无数条对称轴. 6.在同一个圆里,直径的长度是半径的2倍,可以表示为d=2r或r=d/2. 圆的周长和半圆的周长: 7.圆一周的长度就是圆的周长.半圆的周长等于圆周长的一半加一条直径。 8.圆的周长除以直径的商是一个固定的数,我们把它叫做圆周率,用字母π表示,计算时通常取3.14. 9.C=πd或C=πr. 10.1π=3.14 2π=6.28 3π=9.42 4π=12.56 5π=15.7 6π=18.84 7π=21.98 8π=25.12 9π=28.26 10π=31.4 圆的面积 11.用S表示圆的面积, r表示圆的半径,那么S=πr^2 S环=π(R^2-r^2) 12.11^2=121 12^2=144 13^2=169 14^2=196 15^2=225 16^2=256 17^2=289 18^2 =324 19^2=361 20^2=400 13.周长相等时,圆的面积最大.面积相等时,圆的周长最小. 百分数的应用 百分数的应用(四) 14.利息=本金乘利率乘时间 比的认识 15.两个数相除,又叫做这两个数的比.比的后项不能为0.16.比的前项和后项同时乘上 或除以一个相同的数(0除外).比值不变,这叫做比的基本性质. 六年级全册数学知识点(整个小学阶段和中学都通用,比较重要) 基本概念:行程问题是研究物体运动的,它研究的是物体速度、时间、行程三者之间的关系。 基本公式:路程=速度×时间;路程÷时间=速度;路程÷速度=时间 关键问题:确定行程过程中的位置 相遇问题:速度和×相遇时间=相遇路程(请写出其他公式) 追击问题:追击时间=路程差÷速度差(写出其他公式) 流水问题:顺水行程=(船速+水速)×顺水时间逆水行程=(船速-水速)×逆水时间 顺水速度=船速+水速逆水速度=船速-水速 静水速度=(顺水速度+逆水速度)÷2 水速=(顺水速度-逆水速度)÷2 流水问题:关键是确定物体所运动的速度,参照以上公式。 过桥问题:关键是确定物体所运动的路程,参照以上公式。 【和差问题公式】 (和+差)÷2=较大数;(和-差)÷2=较小数。 【和倍问题公式】 和÷(倍数+1)=一倍数;一倍数×倍数=另一数,或和-一倍数=另一数。【差倍问题公式】 差÷(倍数-1)=较小数;较小数×倍数=较大数,或较小数+差=较大数。【平均数问题公式】 总数量÷总份数=平均数。 【一般行程问题公式】 平均速度×时间=路程;路程÷时间=平均速度;路程÷平均速度=时间。【反向行程问题公式】反向行程问题可以分为“相遇问题”(二人从两地出发,相向而行)和“相离问题”(两人背向而行)两种。这两种题,都可用下面的公式解答: (速度和)×相遇(离)时间=相遇(离)路程; 相遇(离)路程÷(速度和)=相遇(离)时间; 相遇(离)路程÷相遇(离)时间=速度和。 【同向行程问题公式】 追及(拉开)路程÷(速度差)=追及(拉开)时间;
六年级数学上册期末试卷 一、仔细想,认真填。(24分) 1、的倒数是(),最小质数的倒数是(),a的倒数是()。 2、“春水春池满,春时春草生。春人饮春酒,春鸟弄春色。”诗中“春”字出现的次数占全诗总字数的()%。 3、:的最简整数比是(),比值是()。 4、= =():10 = ( )%=24÷()= ( )(小数) 5、你在教室第()行,第()列,用数对表示你的位置是(,)。 6、在、、 53% 、这四个数中,最大的数是(),最小的数是()。 7、小明的存钱罐里有5角和1角的硬币共18枚,一共有5元。则5角的硬币有()枚,1角的硬币有( )枚。 8、下面是我校六年级学生视力情况统计图。 (1)视力正常的有76人,近视的有()人,假性近视的有()人。
(2)假性近视的同学比视力正常的同学少()人。 (3)视力正常的同学与视力非正常的人数比是()。 9、我国规定,如果个人月收入在2000元以上,超过2000元的部分就要按5%的税率缴纳个人所得税。小红的妈妈月收入2360元,她每月应缴纳个人所得税()元。 10、数学课上,小兰剪了一个面积是平方厘米的圆形纸片,你能猜出她至少要准备( )平方厘米的正方形纸片。 二、火眼金睛辨真伪。(5分) 1、15÷(5+3)=15÷5+15÷3=3+5=8。() 2、一吨煤用去后,又运来,现在的煤还是1吨。() 3、两个半径相等的圆,它们的形状和大小都相等。() 4、小华体重的与小明体重的相等,小华比小明重。() 5、右面两幅图都是轴对称图形。 ( 三、快乐A、B、C。(5分) 1、一件商品原价200元,涨价15%后在降价15%,现价()原价。
最新小学六年级数学上册比练习题 【知识要点】比的意义,比的各部分名称. 【课内检测】 1、两个数( )又叫做两个数的( ). 2、 如果A ∶B=C ,那么A 是比的( ),B 是比的( ),C 是比的( ). 3、4÷5=( )∶( )= ()() 4、从A 地到B 地共180千米,客车要行2小时,货车要行3小时.客车所行的路程与所用时间的比是( ),比值是( );客车所用的时间与货车所用的时间比是( ),比值是( );货车与客车的速度比是( ),比值是( );客车与货车所行的路程比是( ),比值是( ). 5、判断. ①5 3可以读作五分之三,也可以读作三比五. ( ) ②配制一种盐水,在200克水中放了20克盐,盐和盐水的比是1∶10. ( ) ③比值是0.8的比只有一个. ( ) ④甲数与乙数的比是3∶4,则乙数是甲数的3 4 倍. ( ) 【课外训练】 1、甲数除以乙数的商是1 .4,乙数与甲数的比是( ). 2、正方形的周长与边长的比是( ),比值是( ). 3、长方形的长比宽多5 1 ,长方形的长与宽的比是( ). 4、一杯糖水,糖占糖水的10 1 ,糖与水的比是( ). 5、女生人数与全班人数的比是4∶9,男生人数与女生人数的比是( ).
《比》达标检测 【知识要点】比的基本性质,化简比. 【课内检测】 1、判断:比的前项和后项同时乘一个相同的数,比值不变.( ) 2、8∶5=24∶( ) 42∶18=( )∶3 3、化简下面各比. 21∶35 65∶ 94 0.8∶0.32 4、一辆汽车3小时行驶135千米,汽车所行的路程和时间的比是( ),化成最简整数比是( ). 5、一根绳子全长2.4米,用去0.6米.用去的绳子和全长的比是( ),化简比是( ). 【课外训练】 1、化简下面各比. 35140 0.4∶32 0.3吨∶150千克 0.6∶3 2
新课标人教版六年级数学上册各单元知识点归纳 第一单元分数乘法 一、分数乘法 (一)分数乘法的意义: 1、分数乘整数与整数乘法的意义相同。都是求几个相同加数的和的简便运算。例如:65×5表示求5个65的和是多少? 1/3×5表示求5个1/3的和是多少? 2、一个数乘分数的意义是求一个数的几分之几是多少。 例如:1/3×4/7表示求1/3的4/7是多少。 4×3/8表示求4的3/8是多少. (二)、分数乘法的计算法则: 1、分数与整数相乘:分子与整数相乘的积做分子,分母不变。(整数和分母约分) 2、分数与分数相乘:用分子相乘的积做分子,分母相乘的积做分母。注意:当带分数进行乘法计算时,要先把带分数化成假分数再进行计算。 3、为了计算简便,能约分的要先约分,再计算。(尽量约分,不会约分的就不约,常考的质因数有11×11=121;13×13=169;17×17=289;19×19=361) 4、小数乘分数,可以先把小数化为分数,也可以把分数化成小数再计算(建议把小数化分数再计算)。 (三)、乘法中比较大小的规律 一个数(0除外)乘大于1的数,积大于这个数。 一个数(0除外)乘小于1的数(0除外),积小于这个数。 一个数(0除外)乘1,积等于这个数。 (四)、分数混合运算的运算顺序和整数的运算顺序相同。整数乘法的交换律、结合律和分配律,对于分数乘法也同样适用。 乘法交换律: a × b = b ×a 乘法结合律:( a × b )×c = a ×( b ×c ) 乘法分配律:( a + b )×c = a c + b c 二、分数乘法的解决问题(已知单位“1”的量(用乘法),即求单位“1”的几分之几是多少)
第一单元分数乘法 (一)分数乘法意义: 1、分数乘整数的意义与整数乘法的意义相同,就是求几个相同加数的和的简便运算。“分数乘整数”指的是第二个因数必须是整数,不能是分数。 2、一个数乘分数的意义就是求一个数的几分之几是多少。 “一个数乘分数”指的是第二个因数必须是分数,不能是整数。(第一个因数是什么都可以) (二)分数乘法计算法则: 1、分数乘整数的运算法则是:分子与整数相乘,分母不变。 (1)为了计算简便能约分的可先约分再计算。(整数和分母约分)(2)约分是用整数和下面的分母约掉最大公因数。(整数千万不能与分母相乘,计算结果必须是最简分数)。 2、分数乘分数的运算法则是:用分子相乘的积做分子,分母相乘的积做分母。(分子乘分子,分母乘分母) (1)如果分数乘法算式中含有带分数,要先把带分数化成假分数再计算。 (2)分数化简的方法是:分子、分母同时除以它们的最大公因数。 (3)在乘的过程中约分,是把分子、分母中,两个可以约分的数先划去,再分别在它们的上、下方写出约分后的数。(约分后分子和分母必须不再含有公因数,这样计算后的结果才是最简单分数)。 (4)分数的基本性质:分子、分母同时乘或者除以一个相同的数(0除外),分数的大小不变。 (三)积与因数的关系: 一个数(0除外)乘大于1的数,积大于这个数。a×b=c,当b >1时,c>a。