线性代数习题及答案(复旦版)[1]
线性代数习题及答案
习题一
1. 求下列各排列的逆序数.
(1) 341782659； (2) 987654321；
(3) n(n?1)…321； (4) 13…(2n?1)(2n)(2n?2)…2.
【解】
(1) τ(341782659)=11;
(2) τ(987654321)=36;
(3) τ(n(n?1)…3·2·1)= 0+1+2 +…+(n?1)=;
(4) τ(13…(2n?1)(2n)(2n?2)…2)=0+1+…+(n?1)+(n?1)+(n?2)+…+1+0=n(n?1).
2. 略.见教材习题参考答案.
3. 略.见教材习题参考答案.
4. 本行列式的展开式中包含和的项.
解： 设 ，其中分别为不同列中对应元素的行下标，则展开式中含项有
展开式中含项有
.
5. 用定义计算下列各行列式.
(1)； (2).
【解】(1) D=(?1)τ(2314)4!=24; (2) D=12.
6. 计算下列各行列式.
(1)； (2) ；
(3)； (4) .
【解】(1) ;
(2) ;
7. 证明下列各式.
(1) ；
(2) ；
(3)
(4) ；
(5) .
【证明】(1)
(2)
(3) 首先考虑4阶范德蒙行列式:
从上面的4阶范德蒙行列式知，多项式f(x)的x的系数为
但对（*）式右端行列式按第一行展开知x的系数为两者应相等，故
(4) 对D2n按第一行展开，得
据此递推下去，可得
(5) 对行列式的阶数n用数学归纳法.
当n=2时，可直接验算结论成立，假定对这样的n?1阶行列式结论成立，进而证明阶数为n时结论也成立.
按Dn的最后一列，把Dn拆成两个n阶行列式相加：
但由归纳假设
从而有
8. 计算下列n阶行列式.
(1) (2) ；
(3). (4)其中 ；
(5).
【解】(1) 各行都加到第一行，再从第一行提出x+(n?1),得
将第一行乘（?1）后分别加到其余各行，得
(2) 按第二行展开
(3) 行列式按第一列展开后，得
(4)由题意，知
.
(5)
.
即有
由 得
.
9. 计算n阶行列式.
【解】各列都加到第一列，再从第一列提出，得
将第一行乘（?1）后加到其余各行，得
10. 计算阶行列式（其中）.
.
【解】行列式的各列提取因子,然后应用范德蒙行列式.
11. 已知4阶行列式
;
试求与，其中为行列式的第4行第j个元素的代数余子式.
【解】
同理
12. 用克莱姆法则解方程组.
(1) (2)
【解】方程组的系数行列式为
故原方程组有惟一解，为
13. λ和μ为何值时，齐次方程组
有非零解?
【解】要使该齐次方程组有非零解只需其系数行列式
即
故或时，方程组有非零解.
14. 问：齐次线性方程组
有非零解时，a,b必须满足什么条件？
【解】该齐次线性方程组有非零解
，a,b需满足
即(a+1)2=4b.
15. 求三次多项式，使得
【解】根据题意，得
这是关于四个未知数的一个线性方程组，由于
故得
于是所求的多项式为
16. 求出使一平面上三个点位于同一直线上的充分必要条件.
【解】设平面上的直线方程为
ax+by+c=0 (a,b不同时为0)
按题设有
则以a,b,c为未知数的三元齐次线性方程组有非零解的充分必要条件为
上式即为三点位于同一直线上的充分必要条件.
习题 二
1. 计算下列矩阵的乘积.
（1）； （2） ；
（3） ； （4） ；
（5） ； （6） .
【解】
(1) (2); (3) (10);
(4)
(5); (6) .
2. 设，，
求(1);(2) ；(3) 吗?
【解】(1) (2)
(3) 由于AB≠BA,故(A+B)(A?B)≠A2?B2.
3. 举例说明下列命题是错误的.
(1) 若， 则； (2) 若， 则或；
(3) 若，， 则.
【解】
(1) 以三阶矩阵为例，取,但A≠0
(2) 令,则A2=A,但A≠0且A≠E
(3) 令
则AX=AY,但X≠Y.
4. 设, 求A2，A3，…，Ak.
【解】
5. ， 求并证明：
.
【解】
今归纳假设
那么
所以，对于一切自然数k,都有
6. 已知，其中
求及.
【解】因为|P|= ?1≠0,故由AP=PB,得
而
7. 设，求||.
解：由已知条件，的伴随矩阵为
又因为，所以有
，且，
即
于是有 .
8. 已知线性变换
利用矩阵乘法求从到的线性变换.
【解】已知
从而由到的线性变换为
9. 设，为阶方阵，且为对称阵，证明：也是对称阵.
【证明】因为n阶方阵A为对称阵，即A′=A,
所以 (B′AB)′=B′A′B=B′AB,
故也为对称阵.
10. 设A，B为n阶对称方阵，证明：AB为对称阵的充分必要条件是AB=BA.
【证明】已知A′=A,B′=B，若AB是对称阵，即(AB)′=AB.
则 AB=(AB)′=B′A′=BA,
反之，因AB=BA,则
(AB)′=B′A′=BA=AB,
所以，AB为对称阵.
11. A为n阶对称矩阵，B为n阶反对称矩阵，证明：
(1) B2是对称矩阵.
(2) AB?BA是对称矩阵，AB+BA是反对称矩阵.
【证明】
因A′=A,B′= ?B,故
(B2)′=B′·B′= ?B·(?B)=B2;
(AB?BA)′=(AB)′?(BA)′=B′A′?A′B′
= ?BA?A·(?B)=AB?BA;
(AB+BA)′=(AB)′+(BA)′=B′A′+A′B′
= ?BA+A·(?B)= ?(AB+BA).
所以B2是对称矩阵，AB?BA是对称矩阵，AB+BA是反对称矩阵.
12. 求与A=可交换的全体二阶矩阵.
【解】设与A可交换的方阵为,则由
=,
得
.
由对应元素相等得c=0,d=a,即与A可交换的方阵为一切形如的方阵，其中a,b为任意数.
13. 求与A=可交换的全体三阶矩阵.
【解】由于
A=E+,
而且由
可得
由此又可得
所
以
即与A可交换的一切方阵为其中为任意数.
14. 求下列矩阵的逆矩阵.
(1) ； (2) ；
(3)； (4) ；
(5) ； (6) ，
未写出的元素都是0（以下均同，不另注）.
【解】
(1) ; (2) ;
(3) ; (4) ;
(5) ; (6) .
15. 利用逆矩阵，解线性方程组
【解】因,而
故
16. 证明下列命题：
(1) 若A，B是同阶可逆矩阵，则（AB）*=B*A*.
(2) 若A可逆，则A*可逆且（A*）?1=（A?1）*.
(3) 若AA′=E,则（A*）′=(A*)?1.
【证明】（1） 因对任意方阵c，均有c*c=cc*=|c|E,而A,B均可逆且同阶，故可得
|A|·|B|·B*A*=|AB|E(B*A*)
=(AB) *AB(B*A*)=(AB) *A(BB*)A*
=(AB) *A|B|EA*=|A|·|B|(AB) *.
∵ |A|≠0,|B|≠0,
∴ (AB) *=B*A*.
(2) 由于AA*=|A|E,故A*=|A|A?1,从而(A?1) *=|A?1|(A?1)?1=|A|?1A.
于是
A* (A?1) *=|A|A?1·|A|?1A=E,
所以
(A?1) *=(A*)?1.
(3) 因AA′=E，故A可逆且A?1=A′.
由(2)(A*)?1=(A?1) *,得
(A*)?1=(A′) *=(A*)′.
17. 已知线性变换
求从变量到变量的线性变换.
【解】已知
且|A|=1≠0,故A可逆，因而
所以从变量到变量的线性变换为
18. 解下列矩阵方程.
(1) ；
(2)；
(3) ；
(4) .
【解】(1) 令A=;B=.由于
故原方程的惟一解为
同理
(2) X=; (3) X=; (4) X=
19. 若 (k为正整数)，证明：
.
【证明】作乘法
从而E?A可逆，且
20.设方阵A满足A2－A－2E＝O，证明A及A＋2E都可逆，并求A?1及(A+2E)?1.
【证】因为A2?A?2E=0,
故
由此可知，A可逆，且
同样地
由此知，A+2E可逆，且
21. 设，,求.
【解】由AB=A+2B得(A?2E)B=A.
而
即A?2E可逆，故
22. 设. 其中，， 求.
【解】因可逆，且故由
得
23. 设次多项式，记,称为方阵的次多项式.
(1)， 证明
，；
(2) 设， 证明，.
【证明】
(1)即k=2和k=3时，结论成立.
今假设
那么
所以，对一切自然数k，都有
而
(2) 由(1)与A=P ?1BP,得
B=PAP ?1.
且
Bk=( PAP ?1)k= PAkP ?1,
又
24. ，证明矩阵满足方程.
【证明】将A代入式子得
故A满足方程.
25. 设阶方阵的伴随矩阵为，
证明：(1) 若｜｜＝０，则｜｜＝０；
(2) .
【证明】（1） 若|A|=0，则必有|A*|=0，因若| A*|≠0，则有A*( A*)?1=E,由此又得
A=AE=AA*( A*)?1=|A|( A*)?1=0,
这与| A*|≠0是矛盾的，故当|A| =0，则必有| A*|=0.
(2) 由A A*=|A|E，两边取行列式，得
|A|| A*|=|A|n,
若|A|≠0，则| A*|=|A|n?1
若|A|=0,由(1)知也有
| A*|=|A|n?1.
26. 设
.
求(1) ; (2); (3) ；(4)｜｜k (为正整数).
【解】
(1); (2) ;
(3) ; (4).
27. 用矩阵分块的方法，证明
下列矩阵可逆，并求其逆矩阵.
（1）； （2）;
（3）.
【解】(1) 对A做如下分块
其中
的逆矩阵分别为
所以A可逆，且
同理(2)
(3)
习题 三
1. 略.见教材习题参考答案.
2. 略.见教材习题参考答案.
3. 略.见教材习题参考答案.
4. 略.见教材习题参考答案.
5.，证明向量组线性相关.
【证明】因为
所以向量组线性相关.
6. 设向量组线性无关，证明向量组也线性无关，这里
【证明】 设向量组线性相关，则存在不全为零的数使得
把代入上式，得
.
又已知线性无关，故
该方程组只有惟一零解，这与题设矛盾，故向量组线性无关.
7. 略.见教材习题参考答案.
8. .证明：如果，那么线性无关.
【证明】已知,故R(A)=n,而A是由n个n维向量
组成的，所以线性无关.
9. 设是互不相同的数，r≤n.证明：是线性无关的.
【证明】任取n?r个数tr+1,…,tn使t1,…,tr,tr+1,…,tn互不相同，于是n阶范德蒙行列式
从而其n个行向量线性无关，由此知其部分行向量也线性无关.
10. 设的秩为r且其中每个向量都可经线性表出.证明：为的一个极大线性无关组.
【证明】若 (1)
线性相关，且不妨设
(t
11. 求向量组=(1,1,1,k),=(1,1,k,1),=(1,2,1,1)的秩和一个极大无关组.
【解】把按列排成矩阵A，并对其施行初等变换.
当k=1时，的秩为为其一极大无关组.
当k≠1时，线性无关，秩为3，极大无关组为其本身.
12. 确定向量,使向量组与向量组=(0,1,1),
=(1,2,1),=(1,0,?1)的秩相同，且可由线性表出.
【解】由于
而R(A)=2,要使R(A)=R(B)=2,需a?2=0,即a=2,又
要使可由线性表出，需b?a+2=0,故a=2,b=0时满足题设要求，即=(2,2,0).
13. 设为一组n维向量.证明：线性无关的充要条件是任一n维向量都可经它们线性表出.
【证明】充分性: 设任意n维向量都可由线性表示，则单位向量，当然可由它线性表示，从而这两组向量等价，且有相同的秩，所以向量组的秩为n，因此线性无关.
必要性：设线性无关，任取一个n维向量,则线性相关，所以能由线性表示.
14. 若向量组（1，0，0），（1，1，0），（1，1，1）可由向量组α１,α２,α３线性表出，也可由向量组β１,β２,β３,β４线性表出，则向量组α１,α２,α３与向量组β１,β２,β３,β４等价.
证明：由已知条件，，且向量组（1，0，0），（1，1，0），（1，1，1）可由向量组α１,α２,α３线性表出，即两向量组等价，且
，
又，向量组（1，0，0），（1，1，0），（1，1，1）可由向量组β１,β２,β３,β４线性表出，即两向量组等价，且
，
所以向量组α１,α２,α３与向量组β１,β２,β３,β４等价.
15. 略.见教材习题参考答案.
16. 设向量组与秩相同且能经线性表出.证明与等价.
【解】设向量组
(1)
与向量组
(2)
的极大线性无关组分别为
(3)
和
(4)
由于（1）可由（2）线性表出，那么（1）也可由（4）线性表出，从而（3）可以由（4）线性表出，即
因（4）线性无关，故（3）线性无关的充分必要条件是|aij|≠0，可由（*）解出,即（4）可由（3）线性表出，从而它们等价，再由它们分别同（1），（2）等价，所以（1）和（2）等价.
17. 设A为m×n矩阵，B为s×n矩阵.证明：
.
【证明】因A,B的列数相同，故A,B的行向量有相同的维数，矩阵可视为由矩阵A扩充行向量而成，故A中任一行向量均可由中的行向量线性表示，故
同理
故有
又设R(A)=r,是A的行向量组的极大线性无关组,R（B）=k, 是B的行向量组的极大线性无关组.设是中的任一行向量，则若属于A的行向量组，则可由表示，若属于B的行向量组，则它可由线性表示，故中任一行向量均可由,线性表示，故
所以有
.
18. 设A为s×n矩阵且A的行向量组线性无关，K为r×s矩阵.证明：B＝KA行无关的充分必要条件是R(K)=r.
【证明】设
A=(As,Ps×(n?s)),
因为A为行无关的s×n矩阵，故s阶方阵As可逆.
()当B=KA行无关时，B为r×n矩阵.
r=R(B)=R(KA)≤R(K),
又K为r×s矩阵R(K)≤r,∴ R(K)=r.
()当r=R(K)时，即K行无关，
由B=KA=K(As,Ps×(n?s))=(KAs,KPs×(n?s))
知R(B)=r,即B行无关.
19. 略.见教材习题参考答案.
20. 求下列矩阵的行向量组的一个极大线性无关组.
(1)； (2).
【解】(1) 矩阵的行向量组的一个极大无关组为;
(2) 矩阵的行向量组的一个极大无关组为.
21. 略.见教材习题参考答案.
22. 集合V1＝{()｜∈R且＝0}是否构成向量空间?为什么?
【解】由（0,0,…,0）∈V1知V1非空，设)则
因为
所以,故是向量空间.
23. 试证：由,生成的向量空间恰为R3.
【证明】把排成矩阵A=(),则
,
所以线性无关，故是R3的一个基，因而生成的向量空间恰为R3.
24. 求由向量所生的向量空间的一组基及其维数.
【解】因为矩阵
∴是一组基，其维数是3维的.
25. 设,证明:
.
【解】因为矩阵
由此知向量组与向量组的秩都是2，并且向量组可由向量组线性表出.由习题15知这两向量组等价，从而也可由线性表出.所以
.
26. 在R3中求一个向量，使它在下面两个基
下
有相同的坐标.
【解】设在两组基下的坐标均为()，即
即
求该齐次线性方程组得通解
(k为任意实数)
故
27. 验证为R3的一个基，并把
用这个基线性表示.
【解】设
又设
,
即
记作 B=AX.
则
因有,故为R3的一个基，且
即
.
习题四
1. 用消元法解下列方程组.
(1) (2)
【解】(1)
得
所以
(2)
① ② ③
解②?①×2得 x2?2x3=0
③?① 得 2x3=4
得同解方程组
④ ⑤ ⑥
由⑥得 x3=2,
由⑤得 x2=2x3=4,
由④得 x1=2?2x3 ?2x2 = ?10,
得 (x1,x2,x3)T=(?10,4,2)T.
2. 求下列齐次线性方程组的基础解系.
(1) (2)
(3) (4)
【解】(1)
得同解方程组
得基础解系为
.
(2) 系数矩阵为
∴ 其基础解系含有个解向量.
基础解系为
(3)
得同解方程组
取得基础解系为
(?2，0，1，0，0)T,(?1，?1，0，1，0).
(4) 方程的系数矩阵为
∴ 基础解系所含解向量为n?R(A)=5?2=3个
取为自由未知量
得基础解系
3. 解下列非齐次线性方程组.
(1) (2)
(3) (4)
【解】
（1） 方程组的增广矩阵为
得同解方程组
(2) 方程组的增广矩阵为
得同解方程组
即
令得非齐次线性方程组的特解
xT=(0，1，0，0)T.
又分别取
得其导出组的基础解系为
∴ 方程组的解为
(3)
∴ 方程组无解.
(4) 方程组的增广矩阵为
分别令
得其导出组的解为
令,
得非齐次线性方程组的特解为：xT=(?16,23,0,0,0)T,
∴ 方程组的解为
其中为任意常数.
4. 某工厂有三个车间，各车间相互提供产品（或劳务），今年各车间出厂产量及对其它车间的消耗如下表所示.
车间
消耗系数
车间
1
2
3
出厂产量
（万元）
总产量
（万元）
1
0.1
0.2
0.45
22
x1
2
0.2
0.2
0.3
0
x2
3
0.5
0
0.12
55.6
x3 表中第一列消耗系数0.1,0.2,0.5表示第一车间生产1万元的产品需分别消耗第一，二，三车间0.1万元，0.2万元，0.5万元的产品；第二列，第三列类同，求今年各车间的总产量.
解：根据表中数据列方程组有
即
解之
5. 取何值时，方程组
(1)有惟一解，(2)无解，(3)有无穷多解，并求解.
【解】方程组的系数矩阵和增广矩阵为
|A|=.
(1) 当≠1且≠?2时，|A|≠0，R(A)=R(B)=3.
∴ 方程组有惟一解
（2） 当=?2时，
R(A)≠R(B),∴ 方程组无解.
(3) 当=1时
R(A)=R(B)<3,方程组有无穷解.
得同解方程组
∴ 得通解为
6. 齐次方程组
当取何值时，才可能有非
零解?并求解.
【解】方程组的系数矩阵为
|A|=
当|A|=0即=4或=?1时，方程组有非零解.
(i) 当=4时,
得同解方程组
(ii) 当=?1时,
得
∴ ()T=k·(?2,?3,1)T.k∈R
7. 当a,b取何值时，下列线性方程组无解，有惟一解或无穷多解？在有解时，求出其解.
（1） (2)
【解】方程组的增广矩阵为
(1)
(i) 当b≠?52时,方程组有惟一解
(ii) 当b=?52,a≠?1时，方程组无解.
(iii) 当b=?52，a=?1时，方程组有无穷解.
得同解方程组
(*)
其导出组的解为
非齐次线性方程组（*）的特解为
取x4=1,
∴ 原方程组的解为
(2)
(i) 当a?1≠0时，R(A)=R()=4,方程组有惟一解.
(ii) 当a?1=0时,b≠?1时，方程组R(A)=2
(iii) 当a=1，b= ?1时，方程组有无穷解.
得同解方程组
取
∴ 得方程组的解为
8. 设，求一秩为2的3阶方阵B使AB=0.
【解】设B=(b1 b2 b3),其中bi(i=1,2,3)为列向量,
由
为Ax=0的解.
求=0的解.由
得同解方程组
∴ 其解为
取
则
9.已知是三元非齐次线性方程组Ax=b的解，且R(A)=1及
求方程组Ax=b的通解.
【解】Ax=b为三元非齐次线性方程组
R(A)=1Ax=0的基础解系中含有3?R(A)=3?1=2个解向量.
由为Ax=b的解为Ax=0的解,
且线性无关为Ax=0的基础解系.
又
∴ 方程组Ax=b的解为
10. 求出一个齐次线性方程组，使它的基础解系由下列向量组成.
(1)
(2)
【解】
(1) 设齐次线性方程组为Ax=0
由为Ax=0的基础解系，可知
令 k1=x2 , k2=x3
Ax=0即为x1+2x2?3x3=0.
(2) A()=0A的行向量为方程组为的解.
即的解为
得基础解系为=(?5 ?1 1 1 0)T =(?1 ?1 1 0 1)T
A=
方程为
11. 设向量组=（1，0，2，3），=（1，1，3，5），=（1，?1，a+2，1），=（1，2，4，a+8），=（1，1，b+3，5）
问：（1） a，b为何值时，不能由，，，线性表出？
（2） a，b为何值时，可由，，， 惟一地线性表出？并写出该表出式.
（3） a，b为何值时，可由，，，线性表出，且该表出不惟一？并写出该表出式.
【解】
(*)
(1) 不能由，，，线性表出方程组（*）无解,即a+1=0,且b≠0.即a=?1,且b≠0.
(2) 可由，，，惟一地线性表出方程组(*)有惟一解，即a+1≠0，即a≠?1.
(*) 等价于方程组
(3) 可由，，，线性表出，且表出不惟一方程组（*）有无数解，即有
a+1=0,b=0a=?1,b=0.
方程组（*）
为常数.
∴
12. 证明：线性方程组有解的充要条件是.
【解】
方程组有解的充要条件，即R(A)=4=R(A)
得证.
13. 设是非齐次线性方程组Ax=b的一个解，是对应的齐次线性方程组的一个基础解系.证明
（1）线
性无关；
（2）线性无关.
【 证明】
(1) 线性无关
成立,
当且仅当ki=0(i=1,2,…,n?r),k=0
∵为Ax=0的基础解系
由于
.
由于为线性无关
∴线性无关.
(2) 证线性无关.
成立
当且仅当ki=0(i=1,2,…,n?r),且k=0
即
由(1)可知，线性无关.
即有ki=0(i=1,2,…,n?r),且
∴线性无关.
14. 设有下列线性方程组（Ⅰ）和(Ⅱ)
（Ⅰ） (Ⅱ)
(1) 求方程组（Ⅰ）的通解；
(2) 当方程组（Ⅱ）中的参数m,n,t为何值时，（Ⅰ）与(Ⅱ)同解？
解：（1）对方程组（Ⅰ）的增广矩阵进行行初等变换
由此可知系数矩阵和增广矩阵的秩都为3，故有解.由方程组
（*）
得方程组（*）的基础解系
令，得方程组（Ⅰ）的特解
于是方程组（Ⅰ）的通解为，k为任意常数。
(2) 方程组（Ⅱ）的增广矩阵为
系数矩阵与增广矩阵的秩均为3，令
(**)
方程组（**）的基础解系为
当时，，当时，
方程组（Ⅱ）与方程组（Ⅰ）同解，则，故有
把m，n代入方程组，同时有 ，即t = 6.
也就是说当m=2，n=4，t=6时，方程组（Ⅱ）与方程组（Ⅰ）同解.
习题五
1. 计算.
【解】
2. 把下列向量单位化.
(1) ＝（3，0，－1，4）； (2) ＝（5，1，－2，0）.
【解】
3. 利用施密特正交化方法把下列向量组正交化.
(1) 1 =(0，1，1)′, 2 =(1,1,0)′, 3 =(1,0,1)′;
(2) 1 =(1,0,?1,1), 2 =(1,?1,0,1), 3 =(?1,1,1,0)
【解】
4. 试证，若n维向量与正交，则对于任意实数k，l，有k与l正交.
【证】与正交.
∴ 与正交.
5. 下列矩阵是否为正交矩阵.
【解】
(1) A′A≠E, ∴A不是正交矩阵
(2) A′A=EA为正交矩阵
6. 设x为n维列向量，x′x＝1，令H＝E－２xx′.求证H是对称的正交矩阵.
【证】
∴ H为对称矩阵.
∴ H是对称正交矩阵.
7. 设A与B都是n阶正交矩阵，证明AB也是正交矩阵.
【证】A与B为n阶正交矩阵A′A=EB′B=E
(AB)(AB)′=AB·(B′A′)=A(BB′)A′=AEA′=AA′=E
∴ AB也是正交矩阵.
8. 判断下列命题是否正确.
(1) 满足Ax＝x的x一定是A的特征向量；
(2) 如果x1，…，xr是矩阵A对应于特征值的特征向量.则k1x1＋k2x2＋…＋krxr也是A对应于的特征向量；
(3) 实矩阵的特征值一定是实数.
【解】
(1) ╳.Ax=x,其中当x=0时成立，但x=0不是A的特征向量.
(2) ╳.例如：E3×3x=x特征值=1, 的特征向量有
则不是E3×3的特征向量.
(3) ╳.不一定.实对称矩阵的特征值一定是实数.
9. 求下列矩阵的特征值和特征向量.
【解】(1)
当时，
为得解
对应的特征向量为
.
当时,
其基础解系为,对应的特征
向量为
∴ 特征值为
(i) 当时，
其基础解系为
∴ 对应于=2的特征向量为
且使得特征向量不为0.
(ii)当时,
,
解得方程组的基础解系为
∴ 对应于的特征向量为
特征值为
(i) 当时,
得基础解系为
对应的特征向量为
(ii) 当时，
其基础解系为(2,?2,1)′,
所以与对应的特征向量为
(iii) 当时，
其基础解系为(2,1,?2)′
∴ 与对应的特征向量为
∴ A的特征值为1,2.
(i) 当时,
其基础解系为(4,?1,1,0)′.
∴ 其对应的特征向量为k·(4,?1,1,0)T,k∈R且k≠0.
(ii) 当时，
其基础解系为：（1,0,0,0）′.
∴ 其对应的特征向量为
10.设3阶方阵A的特征值为λ1＝1，λ2＝0，λ3＝－1，对应的特征向量依次为
求矩阵A.
【解】
由于为不同的特征值线性无关，则有
可逆
11. 设3阶实对称矩阵A的特征值为－1，1，1，与特征值－1对应的特征向量x＝（－1，1，1）′，求A.
【解】对应的特征向量为x1=(?1,1,1)T,设对应的特征向量为x2=(x1,x2,x3)T,A为实对称矩阵，所以(x1,x2)=0,即有?x1+x2+x3=0.
得方程组的基础解系为
可知为对应的特征向量.
将正交化得
=(?1,1,1)T, 单位化：;
=(1,1,0)T, ;
则有
12. 若n阶方阵满足A2＝A，则称A为幂等矩阵，试证，幂等矩阵的特征值只可能是1或者是零.
【证明】设幂等矩阵的特征值为，其对应的特征向量为x.
由A2=A可知
所以有或者=1.
13. 若A2＝E，则A的特征值只可能是±1.
【证明】设是A的特征值，x是对应的特征向量.
则Ax=x A2x=(Ax)=2x
由A2=E可知
x=Ex=A2x=2x
(2?1)x=0,
由于x为的特征向量，∴ x≠02?1=0=±1.
14. 设λ1,λ2是n阶矩阵A的两个不同的特征根，1,2分别是A的属于λ1, λ2的特征向量，证明1+2不是A的特征向量.
证明：假设1+2是A的属于特征根λ的特征向量，则
A（1+2）=λ（1+2）=λ1+λ2.
又 A（1+2）= A1+ A 2=λ11+λ22
于是有 （λ?λ1）1+（λ?λ2）2 =0
由于，1与2线性无关，故λ?λ1=λ?λ2=0.
从而与矛盾，故1+2不是A的特征向量.
15. 求正交矩阵T，使T－１AT为对角矩阵.
【解】
(i)当时,
方程组的基础解系为
(?2,1,0)T,
(2,0,1)T.
(ii) 当时,
其基础解系为.
取,单位化为,
取，取，使正交化.
令
单位化
得.
(i) 当时,
其基础解系为
正交化得
单位化得
(ii) 当时，
其基础解系为 =(2,1,2)T.
单位化得
(i) 当时,
其基础解系为
由于()=0,所以正交.
将它们单位化得
(ii) 当时,
其基础解系为=(1,?1,?1,1)T,
单位化得
(iii) 当时,
其基础解系为=(?1,?1,1,1)T,
单位化为
(i) 当=2时,
其基础解系为=(2,1,?2)T,
单位化得
,
(ii) 当=5时,
其基础解系为=(2,?2,1)T
.
单位化得
.
(iii) 当=?1时,
,
其基础解系为=(1,2,2)T,
单位化得
,
得正交阵
16. 设矩阵与相似.
(1) 求x与y；
(2) 求可逆矩阵P，使P－1AP=B.
【解】(1)由A~B可知，A有特征值为?1,2,y.
由于?1为A的特征值，可知
.
将x=0代入|A?E|中可得
可知y= ?2.
(2) (i) 当=?1时,
其基础解系为 =(0,?2,1)T,
= ?1对应的特征向量为 =(0,?2,1)T.
(ii) 当=2时,
其基础解系为 =(0,1,1)T
所以=2对应的特征向量为 =(0,1,1)T
(ⅲ) 当=?2时,
,
其基础解系为 =(?2,1,1)T,
取可逆矩阵
则
17. 设， 求A100.
【解】
特征值为
(i) 当时,
其基础解系为
(ii) 当时,
其基础解系为(?1,1,2)T.
令,则
18.将下列二次型用矩阵形式表示.
(1) ；
(2) ；
(3) .
【解】
(1)
(2)
(3)
19. 写出二次型 的矩阵.
【解】
20. 当t为何值时，二次型的秩为2.
【解】
21. 已知二次型经过正交变换化为标准型，求参数a,b及所用的正交变换矩阵.
【解】由题知
二次型矩阵
当时,
即有 2ab=0.
当时,
当时,
(ⅰ) 当时,
得基础解系为=(1,0,?1)T,
单位化
(ⅱ) 当时,
其基础解系为=(0,1,0)T.
(iii) 当时，
其基础解系为=(1,0,1)T.
单位化得
得正交变换矩阵
22. 用配方法把下列二次型化为标准型，并求所作变换.
【解】
令
由于
∴ 上面交换为可逆变换.
得
令为可逆线性变换
令为可逆线性交换
所作线性交换为
23. 用初等变换法化下列二次型为标准型，并求所作变换.
【解】(1)
(2) 二次型矩阵为
24. 设二次型
(1) 用正交变换化二次型为标准型；
(2) 设A为上述二次型的矩阵，求A5.
【解】(1) 二次型的矩阵为
求得A的特征值.
对于，求解齐次线性方程组
(A?E)x=0，得基础解系为
将正交单位化得
对于，求解方程组(A+2E)x=0,
得基础解系为将单位化得
于是
即为所求的正交变换矩阵，且
(2) 因为所以
故
25. 求正交变换，把二次曲面方程化成标准方程.
【解】的矩阵为
(1) 当时,
其基础解系为
正交化得
单位化得
(2) 当时,
.
其基础解系为.
单位化得
正交变换矩阵
为所求正交变换.得
二次曲面方程的标准方程为
26. 判断下列二次型的正定性.
【解】(1) 矩阵为
∴ 二次型为负定二次型.
(2) 矩阵
∴ 二次型为正定二次型.
(3) 矩阵为
∴ 为正定二次型.
27. t满足什么条件时，下列二次型是正定的.
【解】(1) 二次型的矩阵为
可知时，二次型为正定二次型.
(2
) 二次型的矩阵为
当t满足时，二次型为正定二次型.
28. 假设把任意x1≠0，x2≠0，…，xn≠0代入二次型都使f＞0，问f是否必然正定?
【解】错，不一定.
当为实二次型时,若≠0,
都使得f>0,则f为正定二次型.
29. 试证：如果A,B都是n阶正定矩阵，则A+B也是正定的.
【证】A,B是正定矩阵，则存在正定二次型
= xTAx = xTBx
且A′=A ， B′=B(A+B)′=(A′+B′)=A+B
有
= xT(A+B)x=xTAx+xTBx>0
∴ A+B为正定.
30. 试证：如果A是n阶可逆矩阵，则A′A是正定矩阵.
【证】A可逆 (A′A)′= A′·(A′)′= A′A A′A = A′E A
可知A′A与E合同
A′A正定.
31. 试证：如果A正定，则A′,A－１，A*都是正定矩阵.
【证】A正交，可知A′=A
可逆阵C，使得A=C′EC.
(i) A=C′ECA′=(C′EC)′A′=C′E′(C′)′=C′EC
∴ A′与E合同，可知A′为正定矩阵.
(ii) (A?1)′=(A′)?1=A?1可知A?1为对称矩阵.
由A正交可知，A为点对称矩阵
其特征值设为且有>0(i=1,2,…,n)
Axi=xixi=A?1xiA?1xi=xi
可知A?1的特征值为 ， (i=1,2,…,n)
∴ A?1正定.
(iii) 由A*=|A|·A?1可知
(A′)1=|A|·(A?1)′=|A|·A?1=A*
由(ii)可知A?1为正定矩阵即存在一个正定二次型
= xTA?1x
有>0
∵ A正交|A|>0
= xTA*x=xT·|A|·A?1x=|A|·(xTA?1x)
即有时，
xTA?1x>0
∵ |A|>0,即有
= xTA*x >0
∴ A*为正定矩阵.
习题 六
1. 检验以下集合对于所指的线性运算是否构成实数域上的线性空间.
(1) 2阶反对称(上三角)矩阵，对于矩阵的加法和数量乘法；
(2) 平面上全体向量，对于通常的加法和如下定义的数量乘法：
k·；
(3) 2阶可逆矩阵的全体，对于通常矩阵的加法与数量乘法；
(4) 与向量(1，1，0)不平行的全体3维数组向量，对于数组向量的加法与数量乘法.
【解】（1）是.由于矩阵加法和数量乘法满足线性空间定义中的1?8条性质，因此只需考虑反对称（上三角）矩阵对于加法和数量乘法是否封闭即可.下面仅对反对称矩阵验证：设A，B均为2阶反对称矩阵，k为任一实数，则
(A+B)′=A′+B′=?A?B=?(A+B),
(kA)′=kA′=k(?A)=?(kA),
所以2阶反对称矩阵的全体对于矩阵加法和数量乘法构成一个线性空间.
（2） 否.因为(k+l)·,而,所以这种数量乘法不满足线性空间定义中的第7条性质.
（3） 否.因为零矩阵不可逆（又因为加法和数量乘法都不封闭）.
（4） 否.因为加法不封闭.例如，向量（1，0，0），（0，1，0）都不平行于（1，1，0），但是它们之和（1，0，0）+（0，1，0）=（1，1，0）不属于这个集合.
2. 设U是线性空间V的一个子空间，试证：若U与V的维数相等，则U＝Ｖ.
【证明】设U的维数为m，且是U的一个基，因UV,且V的维数也是m，自然也是V的一个基，故U=V.
3. 设是n维线性空间Vn的线性无关向量组，证明Vn中存在向量使成为Vn的一个基(对n?r用数学归纳法).
【证明】对差n?r作数学归纳法.
当n?r=0时，结论显然成立.
假定对n?r=k时，结论成立，现在考虑n?r=k+1的情形.
因为向量组还不是V的一个基，它又是线性无关的，所以在V中必存在一个向量不能由线性表出，把添加进去所得向量组
,
必定还是线性无关的，此时n?(r+1)=(n?r)?1=(k+1)?1=k.
由归纳法假设, ,可以扩充为整个空间的一个基.
根据归纳法原理，结论普遍成立.
4. 在R４中求向量＝(0,0,0,1)在基＝(1,1,0,1),＝(2,1,3,1), ＝(1,1,0,0), ＝(0,1,－1,－1)下的坐标.
【解】设向量在基下的坐标为(),则
即为
解之得()=(1,0,?1,0).
5. 在R３中，取两个基
＝(1，2，1)，＝(2，3，3)，＝(3，7，1)；
＝(3，1，4)，＝(5，2，1)，＝(1，1，－6)，
试求到的过渡矩阵与坐标变换公式.
【解】取R３中一个基（通常称之为标准基）
=(1,0,0), =(0,1,0), =(0,0,1).
于是有
所以由基到基的过渡矩阵为
坐标变换公式为
其中()与（）为同一向量分别在基与下的坐标.
6. 在R4中取两个基
(1) 求由前一个基到后一个基的过渡矩阵；
(2) 求向量()在后一个基下的坐标；
(3) 求在两个基下有相同坐标的向量.
【解】(1)
这里A就是由基到基的过渡矩阵.
(2) 设,由于()=()A?1,所以
因此向量在基下的坐标为
(3) 设向量在这两个基下有相同的坐标,那么
即
也就是
解得,其中为任一非零实数.
7. 证明3阶对称矩阵的全体S构成线性空间，且S的维数为6.
【证明】首先，S是非空的（∵0∈S）,并且A,B∈S,k∈R,有
(A+B)′=A′+B′=A+B
(kA)′=kA′=kA.
这表明S对于矩阵的加法和数量乘法是封闭的.其次，这两种矩阵运算满足线性空间定义中的18条性质.故S是线性空间.
不难验证，下列6个对称矩阵.
构成S的一个基，故S的维数为6.
8. 说明平面上变换的几何意义，其中
(1)； (2) ；
(3) ； (4) .
【解】,T把平面上任一点变到它关于y轴对称的点.
,T把平面上任一点变到它在y轴的投影点.
,T把平面上任一点变到它关于直线x=y对称的点.
,T把平面上任一点变到它绕原点按顺时针方向旋转90°后所对应的点.
9. 设V是n阶对称矩阵的全体构成的线性空间［维数为］，给定n阶方阵P，变换
T(A)＝P′AP， A∈Ｖ
称为合同变换，试证合同变换T是V中的线性变换.
【证明】因为A,B∈V,k∈R,有
T(A+B)=P′(A+B)P=P′AP+P′BP=T(A)+T(B),
T(kA)=P′(kA)P=k(P′AP)=kT(A).
所以T是线性空间V的一个线性变换.
10. 函数集合
V3＝｛＝(a2x2+a1x+a0)ex｜a2，a
1,a0∈R｝
对于函数的加法与数乘构成3维线性空间，在其中取一个基
1＝x2ex, 2＝2xex, 3＝3ex，
求微分运算D在这个基下的矩阵.
【解】
即
因此D在基下的矩阵为.
11. 2阶对称矩阵的全体
对于矩阵的加法与数乘构成3维线性空间，在Vn中取一个基
(1) 在V3中定义合同变换
求在基下的矩阵及T的秩与零度.
(2) 在V3中定义线性变换
求T在基下的矩阵及T的像空间与T的核.
【解】(1)
由此知，T在基下的矩阵为
显然M的秩为3，故这线性变换T的秩为3，零度为0.
(2)
即 T()=()M,
其中就是T在基下的矩阵.显然有
所以
T(V3)=L(T(A1))=L(A1+A2+A3).
最后求出T?1(0).设A=x1A1+x2A2+x3A3∈T ?1(0),那么T(A)=0，即
也就是()MX=0,它等价于齐次方程组MX=0，解之得基础解系
(2,?1,0), (1,0,?1).
故T ?1(0)=L(2A1?A2,A1?A3).
习题 七
1. 求下列矩阵的Smith标准型.
【解】(1)对矩阵作初等变换，得
即为所求.
(2) 对矩阵作初等变换得
即为所求.
(3) 不难看出，原矩阵的行列式因子为
所以不变因子为
故所求的Smith标准形是
(4) 对矩阵作初等变换，得
即为所求.
2. 求下列矩阵的不变因子.
【解】(1) 显然，原矩阵中左下角的二阶子式为1，所以
D1=1, D2=1, D3=(2)3.
故所求的不变因子为
d1=1, d2=1, d3=(2)3.
(2) 当b≠0时，
且在矩阵中右上角的三阶子式
而,所以D3=1.故所求的不变因子为
d1=d2=d3=1, d4= [(+a)2+b2]2.
3. 证明
的不变因子为
d1(λ)=…=dn-1(λ)=1,dn(λ)=λn+a1λn?1+…+an-1λ+an.
【证明】由于该矩阵中右上角的n-1阶子式等于非零常数(-1)n-1,所以
D1()=D2()=…=Dn-1()=1.
而该矩阵的行列式为
Dn()=n+a1n-1+…+an-1+an,
故所给矩阵的全部不变因子为
d1()=…=dn-1()=1, dn()=n+a1n-1+…+an-1+an.
4. 证明（a为任一非零实数）相似.
【证明】
记
经计算得知，E-A与E-B的行列式因子均为D1=D2=1,D3=(-0)3,所以它们的不变因子也相同，即为d1=d2=1,d3=(-0)3,故A与B相似.
5. 求下列复矩阵的若当标准型.
【解】设原矩阵为A.对A的特征矩阵作初等变换，得
于是A的全部初等因子为.故A的若当标准形是
(2) 设原矩阵为A.对A的特征矩阵作初等变换，得
所以A的全部初等因子为.故A的若当标准形是