直角三角形判定

直角三角形判定

5.8 探索直角三角形全等的条件

真理中学分教处黄河一教材分析：

1 教材的地位和作用：

2 教学内容：

3 教学目标：

4 教学重、难点：

二教法：

三学法：

四教学工具：

五教学过程：

教学过程：

一创设情景提出问题引入新知识

二动手操作探索发现六加强练习提高能力

三深化理解提高认识七归纳总结深化认识

四归纳小结发散思维八创新与应用

五灵活运用巩固加强九作业布置加强复习

问题1：如图，舞台背景的形状是两个直角三角形，工作人员想知道这两个直角三角形是否全等，你能帮他想个办法吗?

一创设情景提出问题引入新知识

问题2：当每个三角形都有一条直角边被花盆遮住无法测量,而且他只带了一把卷尺时,能完成任务吗?

工作人员测量了每个三角形没有被遮住的直角边和斜边,发现它们分别对应

直角三角形知识点总结

直角三角形边角关系知识点考点总结 考点一、直角三角形的性质 （3~5分） 1、直角三角形的两个锐角互余 可表示如下：∠C=90°?∠A+∠B=90° 2、在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半。 ∠A=30° 可表示如下： ?BC=2 1 AB ∠C=90° 3、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 ∠ACB=90° 可表示如下： ?CD=2 1 AB=BD=AD D 为AB 的中点 4、勾股定理 直角三角形两直角边a ，b 的平方和等于斜边c 的平方，即222c b a =+ 5、摄影定理 在直角三角形中，斜边上的高线是两直角边在斜边上的摄影的比例中项，每条直角边是它们在斜边上的摄影和斜边的比例中项 ∠ACB=90° BD AD CD ?=2 ? AB AD AC ?=2 CD ⊥AB AB BD BC ?=2 6、常用关系式 由三角形面积公式可得： AB ?CD=AC ?BC

考点二、直角三角形的判定 （3~5分） 1、有一个角是直角的三角形是直角三角形。 2、如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。 3、勾股定理的逆定理 如果三角形的三边长a ，b ，c 有关系222c b a =+，那么这个三角形是直角三角形。 考点三、锐角三角函数的概念 （3~8分） 1、如图，在△ABC 中，∠C=90° ①锐角A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦，记为sinA ，即 c a sin =∠= 斜边的对边A A ②锐角A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦，记为cosA ，即 c b cos =∠= 斜边的邻边A A ③锐角A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正切，记为tanA ，即b a tan =∠∠= 的邻边的对边A A A ④锐角A 的邻边与对边的比叫做∠A 的余切，记为cotA ，即a b cot =∠∠=的对边的邻边A A A 2、锐角三角函数的概念 锐角A 的正弦、余弦、正切、余切都叫做∠A 的锐角三角函数 3、一些特殊角的三角函数值 三角函数 0° 30° 45° 60° 90° sinα 0 21 22 2 3 1 cos α 1 2 3 2 2 21 0 tan α 0 3 3 1 3 不存在 cot α 不存在 3 1 3 3

直角三角形知识讲解

直角三角形（提高） 【学习目标】 1．理解和掌握判定直角三角形全等的一种特殊方法——“斜边，直角边”（即“HL”）. 2．能熟练地用判定一般三角形全等的方法及判定直角三角形的特殊方法判定两个直角三角形全等. 3. 能应用直角三角形的性质解题. 【要点梳理】 要点一、判定直角三角形全等的一般方法 由三角形全等的条件可知，对于两个直角三角形，满足一边一锐角对应相等，或两直角边对应相等，这两个直角三角形就全等了。这里用到的是“AAS”，“ASA”或“SAS”判定定理. 要点二、判定直角三角形全等的特殊方法——斜边，直角边定理 在两个直角三角形中，有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或“HL”）.这个判定方法是直角三角形所独有的，一般三角形不具备. 要点诠释：（1）“HL”从顺序上讲是“边边角”对应相等，由于其中含有直角这个特殊条件，所以三角形的形状和大小就确定了. （2）判定两个直角三角形全等的方法共有5种：SAS、ASA、AAS、SSS、HL. 证明两个直角三角形全等，首先考虑用斜边、直角边定理，再考虑用一般三 角形全等的证明方法. （3）应用“斜边、直角边”判定两个直角三角形全等的过程中要突出直角三 角形这个条件，书写时必须在两个三角形前加上“Rt”. 要点三、直角三角形的性质 定理1：直角三角形的两个锐角互余. 定理2：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. 推论1：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半. 推论2：在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于30°. 要点诠释：这个定理的前提条件是“在直角三角形中”，是证明直角三角形中一边等于另一边（斜边）的一半的重要方法之一，通常用于证明边的倍数关系. 【典型例题】 类型一、直角三角形全等的判定——“HL” 1、判断满足下列条件的两个直角三角形是否全等，不全等的画“×”，全等的注明 理由： （1）一个锐角和这个角的对边对应相等；（） （2）一个锐角和斜边对应相等；（） （3）两直角边对应相等；（） （4）一条直角边和斜边对应相等．（） 【答案】（1）全等，“AAS”；（2）全等，“AAS”；（3）全等，“SAS”；（4）全等，“HL”. 【解析】理解题意，画出图形，根据全等三角形的判定来判断.

直角三角形的判定优质课说课稿

《直角三角形的判定》说课稿 一、教材分析 ㈠教材所处的地位及作用 本节课以前，学生已经学习了直角三角形的两种判定方法：由直角三角形定义判定或由有两个角互余判定。 在学生原有的这些认知水平上，通过对本课时内容的学习，一方面从边的数量关系出发，丰富了直角三角形的判定方法；另一方面对勾股定理的学习做了必要的延伸。 ㈡教学目标： 从教材和学生两方面考虑，以学生的发展为本，学生的能力培养为主，兼顾知识教学、技能训练，确定教学目标如下： ●知识与技能目标：要求学生掌握由三边关系判定直角三角形的方法，并能用 这一方法解决简单问题。经历探索特殊三角形三边之间的“数”的关系发现此三角形有一个角是直角的“形”的特点的过程，再一次应用数形结合思想，并在这一过程中培养学生合作交流的能力。 ●过程与方法目标：让学生在合作交流中获取知识，组织学生通过观察、发现、 交流、体验、说理归纳等活动，感知并掌握直角三角形的判定方法。 ●情感、态度与价值观目标：通过创设情境，激发学生的求知欲；通过动手摆 一摆、做一做、算一算等活动的开展，让学生乐于探究,培养学生独立思考和合作交流的能力，让他们享受成功的喜悦。 ㈢教学重点与难点 根据学生的认知水平、认知能力以及教材的特点，确定以下重点、难点：

本节课的重点是由三角形三边关系判定直角三角形的方法。 本节课的难点是如何将三角形边的数量关系经过代数变化，最后达到一个目标式，来判定是否是直角三角形。 二、学情分析 考虑到我校学生有以下三方面的特点，我设计了这节课。 第一在认知上：学生已学了勾股定理，在探求勾股定理的过程中，已经有过把特殊三角形有一个角是直角的“形”的特点转化为三边之间的“数”的关系的体验，对数形结合思想有了一定的认知。 第二在能力上：八年级学生已经有一定的探索能力和解决问题的能力，能从几个特殊情况入手合情推理出一般情况下的结论，但思维的严谨性相对薄弱。 第三在个人情感与学习风格上：我校是初级中学，学生天真活泼，对于新生事物有浓厚兴趣，求知欲望强，学习热情较高。 三、教法与学法分析 针对八年级学生的知识结构和心理特征，本节课选择探究式教学，由浅入深，由特殊到一般地提出问题。在教师的组织引导下，采用自主探索、合作交流方式，让学生思考问题，获取知识，掌握方法，借此培养学生动手、动口、动脑的能力，使学生真正成为学习的主体，获取直接经验，享受成功的欢乐。 四、教学程序 （一）复习提问,引入课题 （1）什么叫做全等三角形？全等三角形有哪些特征? (2)我们已学过识别两个三角形全等的简便方法是什么? （3）如果两个直角三角形有斜边和直角边分别对应相等，这两个直角三角

直角三角形的判定(教学设计)

直角三角形的判定 教学目标 知识与技能：掌握直角三角形的判定条件，并能进行简单应用． 过程与方法：经历探索直角三角形的判定条件的过程，理解勾股逆定理． 情感态度与价值观：激发学生解决的愿望，体会勾股逆向思维所获得的结论．明确其应用范围和实际价值． 重点、难点、关键 重点：理解和应用直角三角形的判定． 难点：运用直角三角形判定方法进行解决问题． 关键：运用合情推理的方法，对勾股定理进行逆向思维，形成一种判别方法． 教学准备 教师准备：直尺、圆规、投影片． 学生准备：复习勾股定理，预习本节课内容． 教学过程 一、创设情境 神秘的数组（投影显示）． 美国哥伦比亚大学图书馆收藏着一块编号为“普林顿322”（plim pton 322）的古巴比伦泥板． 泥板上的一些神秘符号实际上是一些数组，这些神秘的数组揭示了什么奥秘呢？ 经专家的潜心研究，发现其中2列数字竟然是直角三角形的勾和弦，?只要添加一列数（如表所示）左边的一列，那么每列的3个数就是一个直角三角形的三边的长！ 例如：60、45、70是这张表中的一组数，而且602+452=752，小明画了以60mm ?、?45mm 、75mm 为边长的△ABC ．（如图所示） 请你猜想，小明所画的△ABC 是直角三角形吗？为什么？ 教师活动：操作投影仪，提出问题，引导学生思考． 学生活动：观察问题，小组合作交流，思考上述问题的解答． 思路点拨： 思路一：用量角器量三角形的3个内角，看有无直角． 思路二：动手画一个直角三角形，使它的2条直角边的长为60mm 和45mm ，?看能否与△ABC 全等．

媒体使用：投影显示“普林顿322”泥板的图片，以及数字． 古埃及人实验（投影显示） 古埃及人曾用下面的方法得到直角： 如图所示，用13个等距离的结把一根绳子分成等长12段，一个工匠同时握住绳子的第一个结和第13个结，两个助手分别握住第4个结和第8个结，拉紧绳子，?就会得到一个直角三角形，其直角在第4个结论．请你思考：按这种做法真能得到一个直角三角形吗？ 教师活动：提出问题，引导思考． 学生活动：继续探索，感悟其中的道理． 形成共识：如果三角形的三边长a、b、c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形．（勾股定理） 思考：这个结论与勾股定理有什么关系呢？ 学生活动：通过小组讨论、分析，发现它与勾股定理恰好是条件与结论互相对换的一个语句． 教师点拨：实际上它是勾股定理的逆定理，用它可以判定一个三角形是否是直角三角形．从神秘的数组中的数据可以发现它们都是勾股数，也就是满足a2+b2=c2的3个正整数a、b、c称为勾股数，古埃及实验也体现出这个特征．可见利用勾股数可以构造直角三角形． 二、范例学习 例3 设三角形三边长分别为下列各组数，试判断各三角形是否是直角三角形． （1）7，24，25；（2）12，35，37；（3）13，11，9 思路点拨：判断的依据是勾股逆定理，但是应该是将两个较小数的平方和与较大数平方进行比较，若相等，则可构成直角三角形，最大边所对的角是直角，这一点应该明确． 教师活动：引导学生完成例3，然后提问学生，强调方法． 学生活动：动手计算，对照勾股定理进行判断． 三、随堂练习 1．课本P54页第1，2题． 2．探研时空: （1）如图所示，在△ABC中，已知AB=10，BD=6，AD=8，AC=17，你能求出DC?的长吗？ 思路点拨：本题首先要将△ABC分割成Rt△ABD和Rt△ADC，然后具体的分析，将题设条件进行对照，确定运算．在△ABD中， ∵AB=10，BD=6，AD=8，62+82=102， ∴AD2+BD2=AB2 于是∠ADB=90° （2）一个零件的形状如图（a）所示，按规定这个零件中∠A和∠DBC都应为直角，工人师傅量得这个零件各边尺寸如图（b），这个零件符合要求吗？ 思路点拨：这是利用勾股定理的逆定理解决实际问题的例子，只要能运用自己的语言表达清楚解决问题的过程即可，这个问题，首先应在△ABD中计算出AB2+AD2=9+6=25=BD2，得到△ABD是直角三角形，∠A=90°，再在△BCD中，计算BD2+BC2=25+144=169=CD2，得到△BCD是直角三角形，∠DBC是直角，由此，可以推断出这个零件符合要求．

(完整word版)直角三角形知识点(2),推荐文档

第一章 1.1直角三角形的性质和判定 1.概念：有一个内角是直角的三角形。 2.性质：（1）直角三角形的两个内角互余。 （2）直角三角形斜边中线等于斜边的一半。 （3）直角三角形两直角边的乘积等于斜边与斜边上的高的乘积。 （4）有一个角是30°的直角三角形：在直角三角形中，如果一个锐角的度数为30°，那么这个30°角所对的直角边等于斜边一半。（逆定理：在直角三角形中，如果有一条直角边等于斜边一半，那么这条直角边所对应的角是30°角）。 （5）在三角形中，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，如果三角形的三边长用a、b、c来表示，那么a+b>c，a-b

直角三角形全等的判定方法

直角三角形全等的判定 教学目的： 1、通过本节课的学习，进一步弄清全等三角形的判定定理：SAS、ASA、AAS、SSS。 2、通过探究，弄清直角三角形全等的判定定理：HL。 3、培养学生探究解决问题的能力和合作的品质。 教学要求： 1、熟练运用SAS、ASA、AAS、SSS。 2、理解并运用HL。 教学重点：引导学生分析、理解HL定理。 教学难点：熟练运用HL定理解决问题。 教学方法：探究、合作学习。 教学过程： 一、复习引入： 1、学生先说说三角形全等的判定定理有哪些？ 2、做一做： 具有下列条件的Rt△ABC和Rt△A′B′C′是否全等。 ①AC＝A′C′∠A＝∠A′ ②AC＝A′C′BC＝B′C′ ③AB＝A′B′∠B＝∠B′

④AC＝A′C′AB＝A′B′ 二、探究：已知Rt△ABC和Rt△A′B′C′，AC＝A′C′， AB＝A′B′，它们全等吗？ 推理过程：P.91 结论：斜边、直角边定理：HL 斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。 三、例题讲解：P.91、例1 结论：角平分线的性质；三角形的内心。 四、练习： 1、判断下列说法是否正确，说明理由。 ①②③④ 2、如图：AC＝AD，∠C＝∠D＝90°，你 能说明∠ABC与∠ABD为什么相等吗？ 3、如图：∠B＝∠E＝90°，AB＝AE， ∠1＝∠2，则∠3＝∠4，请说明理由。 4、议一议：已知∠ACB＝∠BDA＝90°， 要使△ABC≌BDA，还需要增加一个什么 条件？把它们分别写出来。 5、如图，AB⊥BD于点B，CD⊥BD于点D，P是BD上一点，且AP=PC，AP⊥PC，则△ABP≌△PDC，请说明理由。

八年级数学下册 直角三角形的性质与判定教案

1．2直角三角形 第1课时直角三角形的性质与判定 1．复习直角三角形的相关知识，归纳并掌握直角三角形的性质和判定； 2．学习并掌握勾股定理及其逆定理，能够运用其解决问题．(重点，难点) 一、情境导入 古埃及人曾经用下面的方法画直角：将一根长绳打上等距离的13个结，然后按如图所示的方法用桩钉钉成一个三角形，他们认为其中一个角便是直角．你知道这是什么道理吗？ 二、合作探究 探究点一：直角三角形的性质与判定 【类型一】判定三角形是否为直角三角形 具备下列条件的△ABC中，不是直角三角形的是() A．∠A＋∠B＝∠C B．∠A－∠B＝∠C C．∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶3 D．∠A＝∠B＝3∠C 解析：由直角三角形内角和为180°求得三角形的每一个角的度数，再判断其形状．A中∠A＋∠B＝∠C，即2∠C＝180°，∠C＝90°，为直角三角形，同理，B，C 中均为直角三角形，D选项中∠A＝∠B＝3∠C，即7∠C＝180°，三个角没有90°角，故不是直角三角形．故选D. 方法总结：在判定一个三角形是否为直角三角形时要注意直角三角形中有一个内角为90°. 【类型二】直角三角形的性质的应用 如图①，△ABC中，AD⊥BC于D，CE⊥AB于E. (1)猜测∠1与∠2的关系，并说明理由． (2)如果∠A是钝角，如图②，(1)中的结论是否还成立？ 解析：(1)根据垂直的定义可得△ABD 和△BCE都是直角三角形，再根据直角三角形两锐角互余可得∠1＋∠B＝90°，∠2＋∠B＝90°，从而得解；(2)根据垂直的定义可得∠D＝∠E＝90°，然后求出∠1＋∠4＝90°，∠2＋∠3＝90°，再根据∠3、∠4是对顶角解答即可． 解：(1)∠1＝∠2.∵AD⊥BC，CE⊥AB，∴△ABD和△BCE都是直角三角形，∴∠1＋∠B＝90°，∠2＋∠B＝90°，∴∠1＝∠2； (2)结论仍然成立．理由如下：∵BD⊥AC，CE⊥AB，∴∠D＝∠E＝90°，∴∠1＋∠4＝90°，∠2＋∠3＝90°，∵∠3＝∠4(对顶角相等)，∴∠1＝∠2. 方法总结：本题考查了直角三角形的性质，主要利用了直角三角形两锐角互余，同角或等角的余角相等的性质，熟记性质是解题的关键． 探究点二：勾股定理

《直角三角形的判定》例题与讲解

直角三角形的判定 1．勾股定理的逆定理 (1)勾股定理的逆定理的内容：如果三角形的三边长a，b，c满足a2＋b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形． (2)勾股定理的逆定理的释疑：不少的同学对知道三角形三边满足a2＋b2＝c2能得到直角三角形这样的一种结论持有怀疑的态度，其实通过三角形的全等可以很简单地证明出来．比如：如果在△ABC中，AB＝c，BC＝a，CA＝b，并且满足a2＋b2＝c2 (如图所示)，那么∠C＝90°. 作△A1B1C1，使∠C1＝90°，B1C1＝a，C1A1＝b，则A1B21＝a2＋b2. ∵a2＋b2＝c2，∴A1B1＝c(A1B1＞0)． 在△ABC和△A1B1C1中， ∵BC＝a＝B1C1，CA＝b＝C1A1，AB＝c＝A1B1， ∴△ABC≌△A1B1C1. ∴∠C＝∠C1＝90°. 辨误区勾股定理的逆定理的条件 (1)不能说成在直角三角形中，因为还没有确定直角三角形，当然也不能说“斜边”和“直角边”． (2)当满足a2＋b2＝c2时，c是斜边，∠C是直角． 利用勾股定理的逆定理判断一个三角形是否为直角三角形的思路是：先确定最长边，算出最长边的平方及另两边的平方和，如果最长边的平方与另两边的平方和相等，则此三角形为直角三角形． 对啊！到目前为止判定直角三角形的方法有：①说明三角形中有一个直角；②说明三角形中有两边互相垂直；③勾股定理的逆定理. 【例1】如图所示，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，AD＝12，BD＝13，问：

AD⊥AB吗试说明理由． 解：AD⊥AB. 理由：根据勾股定理得AB＝AC2＋BC2＝5. 在△ABD中，AB2＋AD2＝52＋122＝169，BD2＝132＝169， 所以AB2＋AD2＝BD2. 由勾股定理的逆定理知△ABD为直角三角形，且∠BAD＝90°. 故AD⊥AB. 2．勾股定理的逆定理与勾股定理的关系 勾股定理是通过“形”的状态来反映“数”的关系的，而勾股定理的逆定理是通过“数”的关系来反映“形”的状态的． (1)勾股定理是直角三角形的性质定理，勾股定理的逆定理是直角三角形的判定定理，二者是互逆的． (2)联系：①两者都与a2＋b2＝c2有关，②两者所讨论的问题都是直角三角形问题． (3)区别：勾股定理是以“一个三角形是直角三角形”为条件，进而得到这个直角三角形三边的数量关系“a2＋b2＝c2”；勾股定理的逆定理则是以“一个三角形的三边满足a2＋b2＝c2”为条件，进而得到这个三角形是“直角三角形”． (4)二者关系可列表如下：

几何证明-直角三角形

直角三角形全等的判定与直角三角形的性质 【知识精要】 直角三角形全等的判定 1、如果两个直角三角形的斜边和一条直角边对应相等，那么这两个直角三角形全等（简记为H.L ） 2、三角形全等的判定方法：S.S.S, S.A.S, A.S.A, A.A.S, 在直角三角形中仍可用 直角三角形的性质 1、直角三角形的两个锐角互余 2、在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半 3、在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半 4、在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于30°。 直角三角形中常用的辅助线 1、斜边的中线 2、斜边的高 3、等腰三角形底边中线或地边上的高构造直角三角形。 【精解名题】 例1、有两条高相等的锐角三角形是等腰三角形。 例2、如图，在△ABC 中，AE 平分∠BAC ，DE 垂直平分BC 于点D ，EF ⊥AC ，交AC 的延长线于点F 。求证：AB=AC+2CF. 提示：联结EB 、EC ，作EG ⊥AB 于点G 。 例3、如图，在正方形ABCD 中，E 为AD 的中点，F 是BA 延长线上的一点，AF=2 1AB 。 求证：（1）DF=BE （2）DF ⊥BE

例4、如图，在锐角△ABC中，∠ABC=2∠C，AD⊥BC于点D，E为AC中点，ED的延长线交AB的延长线于点F . 求证：BF=BD 例5、如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D、E在AB上，AD=AC，BE=BC。 求证：∠DCE=45° 例6、如图，已知AB=AC，∠A=120°，MN垂直平分AB，交BC于点M，求证：CM=2BM 提示：联结AM 例7、如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，AD//BC，BD=BC。求证：∠DCA=∠DBC

直角三角形知识点

第二部分解直角三角形 考点一、直角三角形的性质（3~5分） 1、直角三角形的两个锐角互余 可表示如下：∠C=90°?∠A+∠B=90° 2、在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半。 ∠A=30° 可表示如下： ?BC= 2 1AB ∠C=90° 3、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 ∠ACB=90° 可表示如下： ?CD=2 1 AB=BD=AD D 为AB 的中点 4、勾股定理 直角三角形两直角边a ，b 的平方和等于斜边c 的平方，即2 2 2 c b a =+ 5、摄影定理 在直角三角形中，斜边上的高线是两直角边在斜边上的摄影的比例中项，每条直角边是它们在斜边上的摄影和斜边的比例中项 ∠ACB=90° BD AD CD ?=2 ? CD ⊥AB 6、常用关系式 由三角形面积公式可得： AB ?CD=AC ?BC 考点二、直角三角形的判定 （3~5分） 1、有一个角是直角的三角形是直角三角形。 2、如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。 3、勾股定理的逆定理 如果三角形的三边长a ，b ，c 有关系2 2 2 c b a =+，那么这个三角形是直角三角形。 考点三、锐角三角函数的概念 （3~8分） 1、如图，在△ABC 中，∠C=90° ①锐角A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦，记为sinA ，即c a sin =∠= 斜边的对边A A ②锐角A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦，记为cosA ，即c b cos =∠= 斜边的邻边A A AB AD AC ?=2AB BD BC ?=2

③锐角A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正切，记为tanA ，即b a tan =∠∠= 的邻边的对边A A A ④锐角A 的邻边与对边的比叫做∠A 的余切，记为cotA ，即a b cot =∠∠=的对边的邻边A A A 2、锐角三角函数的概念 锐角A 的正弦、余弦、正切、余切都叫做∠A 的锐角三角函数 3、一些特殊角的三角函数值 三角函数 0° 30° 45° 60° 90° sinα 21 22 23 1 cosα 1 23 2 2 2 1 0 tanα 0 33 1 3 不存在 cotα 不存在 3 1 3 3 0 4、各锐角三角函数之间的关系 （1）互余关系 sinA=cos(90°—A)，cosA=sin(90°—A) tanA=cot(90°—A)，cotA=tan(90°—A) （2）平方关系 1cos sin 22=+A A （3）倒数关系 tanA ?tan(90°—A)=1 （4）弦切关系 tanA= A A cos sin 5、锐角三角函数的增减性 当角度在0°~90°之间变化时， （1）正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小） （2）余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大） （3）正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小） （4）余切值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大） 考点四、解直角三角形（3~5） 1、解直角三角形的概念 在直角三角形中，除直角外，一共有五个元素，即三条边和两个锐角，由直角三角形中除直角外的已知元素求出所有未知元素的过程叫做解直角三角形。 2、解直角三角形的理论依据 在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠A ，∠B ，∠C 所对的边分别为a ，b ，c

《直角三角形的判定》典型例题

《直角三角形的判定》典型例题 例1 在ABC ?中，n n a 222+=，12+=n b ，)0(1222>++=n n n c 为三边，试判断该三角形是否为直角三角形？ 例2 一个三角形的三边长分别为)(,2,2222n m n m c mn b n m a >+==-=， 则这三角形是直角三角形？ 例3 已知a 、b 、c 为ABC ?的三边且满足c b a c b a 262410338222++=+++. 求证：这个三角形是直角三角形. 例4 已知ABC ?的三边为c b a 、、,且9,40,41===c b a ，判定ABC ?的形状. 例5 如图，四边形ABCD 中，C ∠是直角，12,3,4,13====AD CD BC AB ， 求证：.BD AD ⊥ 例6 如图所示，E 为正方形ABCD 的边AD 的中点，F 在DC 上，DC DF 4 1= .试问：BEF ?是直角三角形吗？说明理由.

参考答案 例1解答：∵)22()122(22n n n n a c +-++=-01>=， )12()122(2+-++=-n n n b c 022>=n ， ∴c 边为三角形的最大边， 又∵1884)122(234222+++=++=n n n n n c ， 22222)12()22(+++=+n n n b a 1884234+++=n n n ， ∴222c b a =+ 根据勾股定理的逆定理可知，ABC ?为直角三角形. 说明：三角形的三边分别为a ，b ，c ，其中c 为最大边. （1）若222c b a =+，则三角形是直角三角形； （2）若222c b a >+，则三角形是锐角三角形； （3）若222c b a <+，则三角形是钝角三角形； 例2分析： 验证c b a ,,三边是否符合勾股定量的逆定理 证明：∵()() ()222422422222222n m n n m m mn n m b a +=++=+-=+ ∴222c b a =+ ∴∠C ＝?90 说明：勾股定理的逆定理给出了判定一个三角形是直角三角形的方法，与前面学习的方法不同，它需要通过代数运算算出来. 例3分析：要证明ABC ?是直角三角形，应从它的三边a 、b 、c 入手，如果有关系222c b a =+或222a c b =+或222b a c =+成立，那么这个三角形一定是直角三角形. 从已知条件，可以求出a 、b 、c 的长. 解答：由已知得：0338262410222=+---++c b a c b a . ∴ 016926144242510222=+-++-++-c c b b a a 即 0)13()12()5(222≥-+-+-c b a ∵0)13(,0)12(,0)5(222≥-≥-≥-c b a

人教版八年级上册 直角三角形全等判定

直角三角形全等判定（基础） 要点一、判定直角三角形全等的一般方法 由三角形全等的条件可知，对于两个直角三角形，满足一边一锐角对应相等，或两直角边对应相等，这两个直角三角形就全等了.这里用到的是“AAS”，“ASA”或“SAS”判定定理. 要点二、判定直角三角形全等的特殊方法——斜边，直角边定理 在两个直角三角形中，有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或“HL”）.这个判定方法是直角三角形所独有的，一般三角形不具备. 要点诠释：（1）“HL”从顺序上讲是“边边角”对应相等，由于其中含有直角这个特殊条件，所以三角形的形状和大小就确定了. （2）判定两个直角三角形全等的方法共有5种：SAS、ASA、AAS、SSS、HL. 证明两个直角三角形全等，首先考虑用斜边、直角边定理，再考虑用一般三 角形全等的证明方法. （3）应用“斜边、直角边”判定两个直角三角形全等的过程中要突出直角三 角形这个条件，书写时必须在两个三角形前加上“Rt”. 【典型例题】 类型一、直角三角形全等的判定——“HL” 1、已知：如图，AB⊥BD，CD⊥BD，AD＝BC． 求证：（1）AB＝CD： （2）AD∥BC． 举一反三： 【变式】已知：如图，AE⊥AB，BC⊥AB，AE＝AB，ED＝AC． 求证：ED⊥AC． 2、判断满足下列条件的两个直角三角形是否全等，不全等的画“×”，全等的注明理

由： （1）一个锐角和这个角的对边对应相等；（） （2）一个锐角和斜边对应相等；（） （3）两直角边对应相等；（） （4）一条直角边和斜边对应相等．（） 举一反三： 【变式】（2015春?丘北县校级月考）下列说法正确的有（）（1）一个锐角及斜边对应相等的两个直角三角形全等； （2）一个锐角及一条直角边对应相等的两个直角三角形全等； （3）两个锐角对应等的两个直角三角形全等； （4）有两条边相等的两个直角三角形全等； （5）有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等． A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 3、已知：如图，AC＝BD，AD⊥AC，BC⊥BD． 求证：AD＝BC； 、 举一反三： 【变式】已知，如图，AC、BD相交于O，AC＝BD，∠C＝∠D＝90° . 求证：OC＝OD. 【巩固练习】 一、选择题 1．（2015春?深圳校级期中）下列语句中不正确的是（）A．斜边和一锐角对应相等的两个直角三角形全等

(完整版)八年级数学《直角三角形》知识点

八年级数学《直角三角形》知识点 一、直角三角形的性质 1、直角三角形的两个锐角互余 可表示如下：∠C=90°?∠A+∠B=90° 2、在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半。 ∠A=30° 可表示如下： ?BC=2 1AB ∠C=90° 3、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 ∠ACB=90° 可表示如下： ?CD= 2 1AB=BD=AD D 为AB 的中点 4、勾股定理 直角三角形两直角边a ，b 的平方和等于斜边c 的平方，即222c b a =+ 5、射影定理(了解) 在直角三角形中，斜边上的高线是两直角边在斜边上的 射影的比例中项，每条直角边是它们在斜边上的射影和斜边 的比例中项 ∠ACB=90° BD AD CD ?=2 ? CD ⊥AB 6、常用关系式 由三角形面积公式可得： AB ?CD=AC ?BC 二、直角三角形的判定 1、有一个角是直角的三角形是直角三角形。 2、如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。 3、勾股定理的逆定理 如果三角形的三边长a ，b ，c ，有关系222c b a =+，那么这个三角形是直角三角形。 三、解直角三角形 1、解直角三角形的概念 在直角三角形中，除直角外，一共有五个元素，即三条边和两个锐角，由直角三角形中除直角外的已知元素求出所有未知元素的过程叫做解直角三角形。 2、解直角三角形的理论依据 在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠A ，∠B ，∠C 所对的边分别为a ，b ，c （1）三边之间的关系：222c b a =+（勾股定理） （2）锐角之间的关系：∠A+∠B=90° （3）边角之间的关系： AB AD AC ?=2AB BD BC ?=2

初中数学直角三角形判定知识点结构

初中数学直角三角形判定知识点结构 初中数学直角三角形判定知识点结构 直角三角形中有两个重要的知识点，一个是射影定理、一个是勾股定理。 直角三角形判定 直角三角形的判定方法： 判定1：有一个角为90°的三角形是直角三角形。 判定2：若a的平方+b的平方=c的平方，则以a、b、c为边的三角形是以c 为斜边的直角三角形(勾股定理的逆定理)。 判定3：若一个三角形30°内角所对的边是某一边的一半，那么这个三角形是以这条长边为斜边的直角三角形。 判定4：两个锐角互余的三角形是直角三角形。 判定5：证明直角三角形全等时可以利用HL ，两个三角形的斜边长对应相等，以及一个直角边对应相等，则两直角三角形全等。[定理：斜边和一条直角对应相等的两个直角三角形全等。简称为HL] 判定6：若两直线相交且它们的斜率之积互为负倒数，则这两直线垂直。 判定7：在一个三角形中若它一边上的中线等于这条中线所在边的一半，那么这个三角形为直角三角形。 直角三角形判定知识常常运用在现实生活中，比如做房子时就要用到。 初中数学知识点总结：平面直角坐标系 下面是对平面直角坐标系的内容学习，希望同学们很好的掌握下面的内容。 平面直角坐标系 平面直角坐标系：在平面内画两条互相垂直、原点重合的数轴，组成平面直角坐标系。 水平的数轴称为x轴或横轴，竖直的数轴称为y轴或纵轴，两坐标轴的交点为平面直角坐标系的原点。 平面直角坐标系的要素：①在同一平面②两条数轴③互相垂直④原点重合三个规定： ①正方向的规定横轴取向右为正方向，纵轴取向上为正方向

②单位长度的规定；一般情况，横轴、纵轴单位长度相同；实际有时也可不同，但同一数轴上必须相同。 ③象限的规定：右上为第一象限、左上为第二象限、左下为第三象限、右下为第四象限。 相信上面对平面直角坐标系知识的讲解学习，同学们已经能很好的掌握了吧，希望同学们都能考试成功。 初中数学知识点：平面直角坐标系的构成 对于平面直角坐标系的构成内容，下面我们一起来学习哦。 平面直角坐标系的构成 在同一个平面上互相垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系，简称为直角坐标系。通常，两条数轴分别置于水平位置与铅直位置，取向右与向上的方向分别为两条数轴的正方向。水平的数轴叫做X轴或横轴，铅直的数轴叫做Y轴或纵轴，X轴或Y轴统称为坐标轴，它们的公共原点O称为直角坐标系的原点。 通过上面对平面直角坐标系的.构成知识的讲解学习，希望同学们对上面的内容都能很好的掌握，同学们认真学习吧。 初中数学知识点：点的坐标的性质 下面是对数学中点的坐标的性质知识学习，同学们认真看看哦。 点的坐标的性质 建立了平面直角坐标系后，对于坐标系平面内的任何一点，我们可以确定它的坐标。反过来，对于任何一个坐标，我们可以在坐标平面内确定它所表示的一个点。 对于平面内任意一点C，过点C分别向Ｘ轴、Ｙ轴作垂线，垂足在Ｘ轴、Ｙ轴上的对应点a，b分别叫做点C的横坐标、纵坐标，有序实数对（a，b）叫做点C的坐标。 一个点在不同的象限或坐标轴上，点的坐标不一样。 希望上面对点的坐标的性质知识讲解学习，同学们都能很好的掌握，相信同学们会在考试中取得优异成绩的。 初中数学知识点：因式分解的一般步骤

直角三角形的边角关系知识点

直角三角形的边角关系知识考点 知识讲解: 1.锐角三角函数的概念 如图，在ABC中，∠C为直角，则锐角A 的各三角函 数的定义如下： (1)角A的正弦：锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sinA， 即sinA＝ (2)角A的余弦：锐角A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记作cosA， 即cosA＝ (3)角A的正切：锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，记作tanA， 即tanA＝ (4)角A的余切：锐角A的邻边与对边的比叫做∠A 的余切，记作cotA， 即cotA＝ 2.直角三角形中的边角关系 (1)三边之间的关系：a2＋b2＝c2

(2)锐角之间的关系：A＋B＝90° (3)边角之间的关系： sinA＝cosB ＝， cosA＝sinB ＝ tanA＝cotB ＝， cotA＝tanB ＝ 3.三角函数的关系 (1)同角的三角函数的关系 1)平方关系：sinA2＋cosA2＝1 2)倒数关系：tan A·c otA＝1 3)商的关系：tanA ＝，cotA ＝ (2)互为余角的函数之间的关系 sin(90°－A)＝cosA，cos(90°－A)＝sinA tan(90°－A)＝cotA， cot(90°－A)＝tanA 4．一些特殊角的三角函数值 0°30°45°60°90°sinα01 cosα10

tan α01----- cotα-----10 5．锐角α的三角函数值的符号及变化规律. (1)锐角α的三角函数值都是正值 (2)若0＜α＜90°则sinα，tanα随α的增大而增大，cosα，cotα随α的增大而减小. 6．解直角三角形 (1)直角三角形中的元素：除直角外，共有5个元素，即3条边和2个锐角. (2)解直角三角形：由直角三角形中除直角外的已知元素，求出所有未知的元素的过程叫做解直角三角形. 7．解直角三角形的应用，

直角三角形的判定优秀教案

§14.1.2直角三角形的判定 (华师版八数上 【教学目标】 1、探索并掌握直角三角形判定方法. 2、经历勾股定理的逆定理的探究过程，了解勾股定理的逆定理与勾股定理的互逆性. 3、通过对勾股定理逆定理的探究，激发学生学习数学的兴趣和创新精神. 4、通过三角形三边的数量关系来判断它是否为直角三角形，?培养学生数形结合的思想. 【设计意图】 以上教学目标包括了本课时的三维目标：知识与技能、过程与方法、情感态度与价值观. 【教学过程】 一、创设情境，导入课题 1、直角三角形有哪些性质？（从边、角两方面考虑） （1）有一个角是直角； （2）两个锐角的和为90°(互余 )； （3）两直角边的平方和等于斜边的平方. 反之，一个三角形满足什么条件，才能是直角三角形呢? 2、一个三角形满足什么条件才能是直角三角形?（板书课题） （1）有一个角是直角的三角形是直角三角形；（板书） （2）有两个角的和为90°的三角形是直角三角形；（板书） （3）如果一个三角形的三边a ,b ,c满足a2 +b2=c2，那么这个三角形是直角三角形??? 3、史料：古埃及人画直角. 据说，古埃及人曾用下面的方法画直角：他们用13个等距的结把一根绳子分成等长的12段，一个工匠同时握住绳子的第1个结和第13个结，两个助手分别握住第4个结和第8个结，拉紧绳子，就会得到 一个直角三角形，其直角在第4个结处. 你知道这是什么道理吗? 【设计意图】 温故旧知，引入新课，利用史料激发学生探究数学 的兴趣. 二、动手实践，发现新知 1、试用小塑料棒拼出三边长度分别为如下数据的三角形，猜想它们是些什么形 状的三角形？（按角分类） （1）3，4，4 锐角三角形 （2）2，3，4 钝角三角形 （3）3，4，5 直角三角形 使用“几何画板”演示（拼图 / 还原 / 度量），加深学生对拼出三角形形状的认识.

直角三角形的性质知识点复习讲练与技巧点拨

直角三角形的性质 【知识点1】 直角三角形的性质 (1)、直角三角形的两个锐角互余：可表示如下：∠C=90°?∠A+∠B=90°AB AD AC ?=2 (2)、在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半。 (3)、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 (4)、勾股定理：直角三角形两直角边A ，B 的平方和等于斜边C 的平方，即2 2 2 c b a =+ (5)、常用关系式: 等积法可得：AB ?CD=AC ?BC 【知识点2】直角三角形的判定 1、有一个角是直角的三角形是直角三角形。 2、如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。 3、勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长A ，B ，C 有关系2 2 2 c b a =+，那么这个三角形是直角三角形。 【知识点3】射影定理：（直角三角形中，直角边的平方等于其射影与斜边的乘积，……） 例1．一副三角板如图摆放，点F 是45°角三角板ABC 的斜边的中点，AC=4．当30°角三角板DEF 的直角顶点绕着点F 旋转时，直角边DF ，EF 分别与AC ，BC 相交于点M ，N ．在旋转过程中有以下结论：①MF=NF：②四边形CMFN 有可能为正方形；③MN 长度的最小值为2；④四边形CMFN 的面积保持不变；⑤△CMN 面积的最大值为2．其中正确的个数是（ ） 例2．在等边三角形ABC 中，点D 、E 分别在AB 、AC 边上，AD=CE ，CD 与BE 交与F,DG ⊥BE 。 求证：（1）BE=CD;(2)DF=2GF G E F D C B A

例3．已知：四边形ABCD 中，∠ABC= ∠ADC=90度，E 、F 分别是AC 、BD 的中点。 求证：EF ⊥ BD 例4．如图，在矩形ABCD 中，，AB=1．若AN 平分∠DAB，DM⊥AN 于点M ，CN⊥AN 于点N ，则 DM+CN 的值为( ) A. 1 B. C. D. 【练一练】 一、填空题 1.等腰直角三角形的斜边长为3,则它的面积为 . 2.已知在△ABC 中，∠ACB=90°，CD 是高，∠A=30°，AB=4cm,则BC=_______cm,∠BCD=_______，BD=_______cm ，AD=________cm ； 3.已知三角形三个内角的度数比为1：2：3，且最短边是3厘米，则最长边上的中线等于____________； 4.等边三角形的高为2，则它的面积是 。 5.如图，有一块直角三角形纸片，两直角边AC=6cm ，BC=8cm ，现将直角边AC 沿直线 AD 折迭，使它落在斜边AB 上，且与AE 重合，则CD 等于 。 二、选择题

《直角三角形的判定》例题与讲解

1.2直角三角形的判定 1．勾股定理的逆定理 (1)勾股定理的逆定理的内容：如果三角形的三边长a，b，c满足a2＋b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形． (2)勾股定理的逆定理的释疑：不少的同学对知道三角形三边满足a2＋b2＝c2能得到直角三角形这样的一种结论持有怀疑的态度，其实通过三角形的全等可以很简单地证明出来．比如：如果在△ABC中，AB＝c，BC＝a，CA＝b，并且满足a2＋b2＝c2 (如图所示)，那么∠C＝90°. 作△A1B1C1，使∠C1＝90°，B1C1＝a，C1A1＝b，则A1B21＝a2＋b2. ∵a2＋b2＝c2，∴A1B1＝c(A1B1＞0)． 在△ABC和△A1B1C1中， ∵BC＝a＝B1C1，CA＝b＝C1A1，AB＝c＝A1B1， ∴△ABC≌△A1B1C1. ∴∠C＝∠C1＝90°. 辨误区勾股定理的逆定理的条件 (1)不能说成在直角三角形中，因为还没有确定直角三角形，当然也不能说“斜边”和“直角边”． (2)当满足a2＋b2＝c2时，c是斜边，∠C是直角． 利用勾股定理的逆定理判断一个三角形是否为直角三角形的思路是：先确定最长边，算出最长边的平方及另两边的平方和，如果最长边的平方与另两边的平方和相等，则此三角形为直角三角形． 对啊！到目前为止判定直角三角形的方法有：①说明三角形中有一个直角；②说明三角形中有两边互相垂直；③勾股定理的逆定理. 【例1】如图所示，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，AD＝12，BD＝13，问：

AD⊥AB吗？试说明理由． 解：AD⊥AB. 理由：根据勾股定理得AB＝AC2＋BC2＝5. 在△ABD中，AB2＋AD2＝52＋122＝169，BD2＝132＝169， 所以AB2＋AD2＝BD2. 由勾股定理的逆定理知△ABD为直角三角形，且∠BAD＝90°. 故AD⊥AB. 2．勾股定理的逆定理与勾股定理的关系 勾股定理是通过“形”的状态来反映“数”的关系的，而勾股定理的逆定理是通过“数”的关系来反映“形”的状态的． (1)勾股定理是直角三角形的性质定理，勾股定理的逆定理是直角三角形的判定定理，二者是互逆的． (2)联系：①两者都与a2＋b2＝c2有关，②两者所讨论的问题都是直角三角形问题． (3)区别：勾股定理是以“一个三角形是直角三角形”为条件，进而得到这个直角三角形三边的数量关系“a2＋b2＝c2”；勾股定理的逆定理则是以“一个三角形的三边满足a2＋b2＝c2”为条件，进而得到这个三角形是“直角三角形”． (4)二者关系可列表如下：