一次函数图像与性质练习
一．选择题（共30小题）
1．（2015?柳江县二模）一次函数y=kx+k（k＜0）的图象大致是（）
A．B．C．D．
2．（2015?）正比例函数y=kx（k≠0）的函数值y随x的增大而减小，则一次函数y=kx﹣k的图象大致是（）
A．B．C．D．
4．（2015春?长宁区期末）如图所示，函数y=mx+m的图象可能是（）
A．B．C．D．
5．（2015春?大同期末）已知点P（m，n）在第四象限，则直线y=nx+m图象大致是下列的（）
A．B．C．D．
8．（2013秋?江西校级期末）已知正比例函数y=kx （k≠0），当x=﹣1时，y=﹣2，则它的图象大致是（）
A．B．C．D．
9．（2013秋?都江堰市期末）在平面直角坐标系中，一次函数y=2x+1的图象不经过（）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
10．（2012秋?镇赉县校级月考）如图，三个正比例函数的图象对应的解析式为①y=ax，②y=bx，③y=cx，则a、b、c的大小关系是（）
A．a＞b＞c B．c＞b＞a C．b＞a＞c D．b＞c＞a
11．（2005?湖州）如图：三个正比例函数的图象分别对应的解析式是①y=ax，②y=bx，③y=cx，则a、b、c的大小关系是（）
A．a＞b＞c B．c＞b＞a C．b＞a＞c D．b＞c＞a
12．（2015?泰州二模）函数y=﹣x+2的图象不经过（）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
13．（2015?诏安县校级模拟）下列一次函数中，y随x增大而减小的是（）
A．y=3x B．y=3x﹣2 C．y=3x+2x D．y=﹣3x﹣2
14．（2015春?碑林区期中）下列函数中，y随x增大而增大的一次函数是（）
A．y=﹣x﹣1 B．y=x﹣3 C．y=D．y=x2
15．（2014?黄埔区一模）在平面直角坐标系中，函数y=﹣x+1的图象经过（）
A．一、二、三象限B．二、三、四象限C．一、三、四象限D．一、二、四象限
16．（2014?云阳县校级模拟）正比例函数y=ax中，y随x的增大而增大，则直线y=（﹣a﹣1）x经过（）
A．第一、三象限 B．第二、三象限 C．第二、四象限 D．第三、四象限
18．（2015?陕西）设正比例函数y=mx的图象经过点A（m，4），且y的值随x值的增大而减小，则m=（）A．2 B．﹣2 C．4 D．﹣4
20．（2015?伊宁市校级一模）下列关于正比例函数y=﹣5x的说法中，正确的是（）
A．当x=1时，y=5 B．它的图象是一条经过原点的直线
C．y随x的增大而增大D．它的图象经过第一、三象限
21．（2015?杭州模拟）若正比例函数的图象经过点（2，﹣3），则这个图象必经过点（）
A．（﹣3，﹣2）B．（2，3）C．（3，﹣2）D．（﹣2，3）
22．（2015春?衡阳校级月考）已知正比例函数y=（m﹣1）x的图象上两点A（x1，y1），B（x2，y2），当x1＜x2时，有y1＞y2，那么m的取值范围是（）A．m＜1 B．m＞1 C．m＜2 D．m＞0
23．（2015春?昌平区期末）正比例函数y=（2k+1）x，若y随x增大而减小，则k的取值范围是（）
A．k＞﹣B．k＜﹣C．k=D．k=0
24．（2014?宁津县模拟）对于函数y=﹣k2x（k是常数，k≠0）的图象，下列说法不正确的是（）
A．是一条直线B．过点（，﹣k）C．经过一、三象限或二、四象限D．y随着x增大而减小
25．（2015?郴州）如图为一次函数y=kx+b（k≠0）的图象，则下列正确的是（）
A．k＞0，b＞0 B．k＞0，b＜0 C．k＜0，b＞0 D．k＜0，b＜0
26．（2015?常德）一次函数y=﹣x+1的图象不经过的象限是（）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
27．（2015?宿迁）在平面直角坐标系中，若直线y=kx+b经过第一、三、四象限，则直线y=bx+k不经过的象限是（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
28．（2015?眉山）关于一次函数y=2x﹣l的图象，下列说法正确的是（）
A．图象经过第一、二、三象限 B．图象经过第一、三、四象限
C．图象经过第一、二、四象限 D．图象经过第二、三、四象限
29．（2015?怀化）一次函数y=kx+b（k≠0）在平面直角坐标系内的图象如图所示，则k和b的取值范围是（）
A．k＞0，b＞0 B．k＜0，b＜0 C．k＜0，b＞0 D．k＞0，b＜0
30．（2015?枣庄）已知直线y=kx+b，若k+b=﹣5，kb=5，那该直线不经过的象限是（）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
1．（2015?衡阳县校级二模）已知一次函数y=kx+b，y随着x的增大而减小，且kb＜0，则在直角坐标系内它的大致图象是（）
A．B．C．D．
2．（2015?遂宁）直线y=2x﹣4与y轴的交点坐标是（）
A．（4，0）B．（0，4）C．（﹣4，0）D．（0，﹣4）
3．（2015?诏安县校级模拟）下面哪个点不在函数y=﹣2x+3的图象上（）
A．（﹣5，13）B．（0.5，2）C．（3，0）D．（1，1）
4．（2015?临清市二模）点（1，m），（2，n）在函数y=﹣x+1的图象上，则m、n的关系是（）
A．m≤n B．m=n C．m＜n D．m＞n
5．（2015?历下区模拟）一次函数y=（m﹣1）x+m2的图象过点（0，4），且y随x的增大而增大，则m的值为（）A．﹣2 B．2 C．1 D．﹣2或2
6．（2015?诏安县校级模拟）点A（5，y1）和B（2，y2）都在直线y=﹣x上，则y1与y2的关系是（）
A．y1≥y2B．y1=y2C．y1＜y2D．y1＞y2
7．（2015?和平区二模）直线y=x+3与x轴的交点坐标为（）
A．（﹣6，0）B．（0，3）C．（0，﹣6）D．（3，0）
9．（2015?诏安县校级模拟）直线y=2x+3经过点（2，m），则m的值为（）
A．B．﹣C．7 D．﹣7
10．（2015?苏州校级二模）将直线y=﹣2x向下平移两个单位，所得到的直线为（）
A．y=﹣2（x+2） B．y=﹣2（x﹣2）C．y=﹣2x﹣2 D．y=﹣2x+2
11．（2015?徐州一模）将函数y=﹣5x的图象沿y轴向上平移3个单位长度后，所得图象对应的函数关系式为（）A．y=﹣5x+3 B．y=﹣6x﹣3 C．y=﹣5（x+3） D．y=﹣5（x﹣3）
12．（2015?苏州一模）将函数y=2x的图象向上平移3个单位后，所得图象对应的函数表达式是（）
A．y=2x+3 B．y=2（x+3）C．y=2x﹣3 D．y=2（x﹣3）
二．填空题（共11小题）
13．（2015?福建）在一次函数y=kx+3中，y的值随着x值的增大而增大，请你写出符合条件的k的一个值：．14．（2015春?延边州期末）若一次函数y=（k﹣2）x+1（k是常数）中y随x的增大而增大，则k的取值范围是．15．（2015春?兴平市期末）若一次函数y=（m﹣1）x+2的图象，y随x的增大而减小，则m的取值范围是．16．（2015春?高密市期末）已知一次函数y=kx﹣k，若y随着x的增大而减小，则该函数图象经过第象限．17．（2015春?蠡县期末）若点A（1，y1）和点B（2，y2）都在一次函数y=﹣x+2的图象上，则y1y2
18．（2015春?台州校级期末）若点（﹣4，y1）、（2，y2）都在直线y=﹣3x+2上，则y1y2（填“＞”、“=”或“＜”）．19．（2015春?文安县期末）已知一次函数y=kx+5的图象经过点（﹣1，2），则k=．
20．（2015春?高密市期末）直线y=x+3与x轴，y轴所围成的三角形的面积为．
21．（2015春?平谷区期末）若一次函数y=﹣2x+3的图象经过点P1（﹣5，m）和点P2（1，n），则m n．22．（2015春?召陵区期末）已知一次函数y=kx+b的图象过点（0，3），且与两坐标轴围成的三角形的面积为6，那么k的值为．
23．（2015春?南安市期末）直线y=x+2与y轴的交点坐标为（，），y的值随着x的增大而．三．解答题（共7小题）
24．（2015?诏安县校级模拟）一次函数y=﹣2x+4的图象如图，图象与x轴交于点A，与y轴交于点B．
（1）求A、B两点坐标．
（2）求图象与坐标轴所围成的三角形的面积是多少．
25．（2015春?巴南区校级期末）已知函数y=（2m﹣2）x+m+1，
（1）m为何值时，图象过原点．
（2）已知y随x增大而增大，求m的取值范围．
（3）函数图象与y轴交点在x轴上方，求m取值范围．
（4）图象过二、一、四象限，求m的取值范围．
26．（2015春?唐山期末）如图，直线y=kx+1（k≠0）经过点A．
（1）求k的值；
（2）求直线与x轴，y轴的交点坐标．
27．（2015?株洲期中）如图，直线y=kx+b经过点C（﹣1，﹣2），与x轴交于点A（﹣2，0），与y轴交于点B （1）函数y=kx+b中的y随x的增大而．
（2）求出k、b的值．
（3）求该直线与两坐标轴围成的△AOB的面积．
28．（2015春?苏州校级月考）如图，直线y=2x+4与x轴相交于点A，与y轴相交于点B．
（1）求A，B两点的坐标；
（2）过B点作直线BP与x轴相交于P，且使OP=2OA，求△ABP的面积．
29．（2015?黔西南州）某地为了鼓励居民节约用水，决定实行两级收费制，即每月用水量不超过12吨（含12吨）时，每吨按政府补贴优惠价收费；每月超过12吨，超过部分每吨按市场调节价收费，小黄家1月份用水24吨，交水费42元．2月份用水20吨，交水费32元．
（1）求每吨水的政府补贴优惠价和市场调节价分别是多少元；
（2）设每月用水量为x吨，应交水费为y元，写出y与x之间的函数关系式；
（3）小黄家3月份用水26吨，他家应交水费多少元？
30．（2015?吉林）一个有进水管与出水管的容器，从某时刻开始4min内只进水不出水，在随后的8min内既进水又出水，每分的进水量和出水量有两个常数，容器内的水量y（单位：L）与时间x（单位：min）之间的关系如图所示．（1）当4≤x≤12时，求y关于x的函数解析式；
（2）直接写出每分进水，出水各多少升．
三角函数的图像与性质
三角函数的图像与性质 1．三角函数中的值域及最值问题 a ．正弦(余弦、正切)型函数在给定区间上的最值问题 (1)(经典题，5分)函数f (x )＝sin ????2x －π4在区间????0，π 2上的最小值为( ) A ．－1 B ．－ 22 C.22 D ．0 答案：B 解析：∵x ∈????0，π2，∴－π4≤2x －π4≤3π 4，∴函数f (x )＝sin ????2x －π4在区间????0，π2上先增后减．∵f (0)＝sin ????－π4＝－22， f ????π2＝sin ????3π4＝2 2， f (0) 一次函数的图像和性质练习题 一、填空题 １.正比例函数(0)y kx k =≠一定经过 点，经过(1)， ，一次函数(0)y kx b k =+≠经过(0)， 点,(0) ，点. 2．直线26y x =-+与x 轴的交点坐标是 ,与y 轴的交点坐标 是 。与坐标轴围成的三角形的面积是 。 3.若一次函数(44)y mx m =--的图象过原点，则m 的值为 . 4．如果函数y x b =-的图象经过点(01)P ，，则它经过x 轴上的点的坐标为 . ５.一次函数3+-=x y 的图象经过点（ ,５）和(2， ) 6．某函数具有下面两条性质：(1)它的图象是经过原点的一条直线;（２)y 随x 的增大而减小. 请你写出一个满足上述条件的函数 7．在同一坐标系内函数ｙ=2x 与ｙ=2ｘ+6的图象的位置关系是 ． 8． 若直线y=２x+６与直线y ＝ｍx+5平行,则m=___________＿. 9．在同一坐标系内函数ｙ=ax+b 与y=3ｘ+2平行，则ａ, b 的取值范围是 ． １0.将直线ｙ= －2x 向上平移3个单位得到的直线解析式是 ,将直线ｙ＝ －２x 向下移３个 单得到的直线解析式是 .将直线y ＝ －2ｘ+3向下移2个单得到的直线解析式 是 ． １1．直线y kx b =+经过一、二、三象限,则k 0,b 0，经过二、三、四象限，则有k 0,b ０, 经过一、二、四象限,则有k 0,b 0. 12.一次函数(2)4y k x k =-+-的图象经过一、三、四象限，则k 的取值范围是 . 13．如果直线3y x b =+与y 轴交点的纵坐标为2-,那么这条直线一定不经过第 象限. １4． 已知点A(-4, a),B （-2,b)都在一次函数y=2 1x+k(ｋ为常数)的图像上，则a 与b 的大小关系是a_＿__b(填”<””=”或”>”） 15.一次函数y=ｋx+b 的图象如图所示,看图填空: （1)当x ＝0时，y=＿_＿___＿__＿__；当x=＿___＿_______时，ｙ=0. （2)ｋ＝＿＿_＿__＿＿__，b ＝_＿＿_____＿__＿. （３)当ｘ=５时,y=_＿____＿_＿_;当y=30时,x=＿__________. 二、选择题 指数函数、对数函数、幂函数的图像与性质 （一）指数与指数函数 1 ．根式 （ 1 ）根式的概念 根式的概念 符号表示 备注 如果 x n a , 那么 x 叫做 a 的 n 次方根 n 1且 n N 当 n 为奇数时 ,正数的 n 次方根是一个正数 , 负数的 n 次 n a 零的 n 次方根是零 方根是一个负数 当 n 为偶数时 , 正数的 n 次方根有两个 , 它们互为相反 n a ( a 0) 负数没有偶次方根 数 （ 2 ）．两个重要公式 a n 为奇数 ① n a n a( a 0) ； | a | 0) n 为偶数 a(a ② (n a ) n a （注意 a 必须使 n a 有意义）。 2 ．有理数指数幂 （ 1 ）幂的有关概念 m n a m (a ①正数的正分数指数幂 : a n 0, m 、 n N ,且 n 1) ; m 1 1 ②正数的负分数指数幂 : a n 0, m 、 n N , 且 n 1) m (a a n n a m ③0 的正分数指数幂等于 0,0 的负分数指数幂没有意义 . 注： 分数指数幂与根式可以互化，通常利用分数指数幂进行根式的运算。 （ 2 ）有理数指数幂的性质 ①a r a s =a r+s (a>0,r 、 s ∈ Q); ②(a r )s =a rs (a>0,r 、 s ∈ Q); ③(ab) r =a r b s (a>0,b>0,r ∈Q);. 3．指数函数的图象与性质 y=a x a>10 幂函数的图像与性质 Prepared on 22 November 2020 【知识结构】 1．有理数指数幂 （1）幂的有关概念 ①正数的正分数指数幂 :0,,1)m n a a m n N n *=>∈>、且; ②正数的负分数指数幂 : 10,,1)m n m n a a m n N n a -*= = >∈>、且 ③0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义. 注：分数指数幂与根式可以互化，通常利用分数指数幂进行根式的运算。 （2）有理数指数幂的性质 ①a r a s =a r+s (a>0,r 、s ∈Q );②(a r )s =a rs (a>0,r 、s ∈Q ); ③(ab)r =a r b s (a>0,b>0,r ∈Q );. 例2 （1）计算：25 .021 21 32 5.032 0625.0])32.0()02.0()008.0()94 5()833[(÷?÷+---； （2）化简：533233 23 23 3 23 134)2(248a a a a a b a a ab b b a a ??? -÷++-- 变式：（2007执信A ）化简下列各式（其中各字母均为正数）: （1） ;)(6 5 3 121211 3 2 b a b a b a ????- -（2）.)4()3(6 521 3 32121231----?÷-??b a b a b a (3) 100.2563 71.5()86-?-+（三）幂函数 1、幂函数的定义 形如y=x α（a ∈R ）的函数称为幂函数，其中x 是自变量，α为常数 注：幂函数与指数函数有本质区别在于自变量的位置不同，幂函数的自变量在底数位置，而指数函数的自变量在指数位置。 例1.下列函数中不是幂函数的是（ ） A ．y = B ．3y x = C ．2y x = D ．1 y x -= 例2.已知函数()()2531m f x m m x --=--，当 m 为何值时，()f x ： （1）是幂函数；（2）是幂函数，且是()0,+∞上的增函数； （3）是正比例函数；（4）是反比例函数；（5）是二次函数； 变式 已知幂函数2 223(1)m m y m m x --=--，当(0)x ∈+，∞时为减函数，则幂函数 y =_______． 2.幂函数的图像 幂函数y ＝x α的图象由于α的值不同而不同． α的正负：α＞0时，图象过原点和(1,1)，在第一象限的图象上升； α＜0时，图象不过原点，在第一象限的图象下降，反之也成立； 3、幂函数的性质 例3．比较大小： 三角函数图像与性质知识 点总结 The Standardization Office was revised on the afternoon of December 13, 2020 函数图像与性质知识点总结 一、三角函数图象的性质 1．“五点法”描图 (1)y ＝sin x 的图象在[0,2π]上的五个关键点的坐标为 (0,0) ? ?? ?? ?π2，1 (π，0) ? ?? ??? 32π，－1 (2π，0) (2)y ＝cos x 的图象在[0,2π]上的五个关键点的坐标为 (0,1)，? ?????π2，0，(π，－1)，? ???? ? 3π2，0，(2π，1) 2.三角函数的图象和性质 函数 性质 y ＝sin x y ＝cos x y ＝tan x 定义域 R R {x |x ≠k π＋π 2 ，k ∈Z} 图象 值域 [－1,1] [－1,1] R 对称性 对称轴： x ＝k π＋ π2(k ∈Z)； 对称轴： x ＝k π(k ∈Z) 对称中心： 对称中心：? ?? ?? ?k π2，0 (k ∈Z) 3.一般地对于函数()，如果存在一个非零的常数，使得当取定义域内的每一个值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T 叫做这个函数的周期，把所有周期中存在的最小正数，叫做最小正周期(函数的周期一般指最小正周期) 4.求三角函数值域(最值)的方法： (1)利用sin x、cos x的有界性； 关于正、余弦函数的有界性 由于正余弦函数的值域都是[－1,1]，因此对于?x∈R，恒有－1≤sin x≤1，－1≤cos x≤1，所以1叫做y＝sin x，y＝cos x的上确界，－1叫做y＝sin x，y＝cos x的下确界. 幂函数 分数指数幂 正分数指数幂的意义是：m n m n a a =（0a >，m 、n N ∈，且1n >） 负分数指数幂的意义是：m n n m a a - = （0a >，m 、n N ∈，且1n >） 一、幂函数的定义 一般地，形如 y x α =（x ∈R ）的函数称为幂孙函数，其中x 是自变量，α是常数.如 112 3 4 ,,y x y x y x -===等都是幂函数，幂函数与指数函数，对数函数一样，都是基本初等函数. 二、幂函数的图像 幂函数n y x =随着n 的不同，定义域、值域都会发生变化，可以采取按性质和图像分类记忆的方法．熟练掌握n y x =，当11 2,1,,,323 n =±±± 的图像和性质，列表如下． 从中可以归纳出以下结论： ① 它们都过点()1,1，除原点外，任何幂函数图像与坐标轴都不相交，任何幂函数图像都不过第四象限． ② 11 ,,1,2,332a =时，幂函数图像过原点且在[)0,+∞上是增函数． ③ 1 ,1,22 a =---时，幂函数图像不过原点且在()0,+∞上是减函数． ④ 任何两个幂函数最多有三个公共点． 三、幂函数基本性质 （1）所有的幂函数在（0，+∞）都有定义，并且图象都过点（1，1）； （2）α＞0时，幂函数的图象都通过原点，并且在[0，+∞]上，是增函数 （3）α＜0时，幂函数的图象在区间（0，+∞）上是减函数. 规律总结 1．在研究幂函数的性质时，通常将分式指数幂化为根式形式，负整指数幂化为分式形式再去进行讨论； 2．对于幂函数y ＝αx ，我们首先应该分析函数的定义域、值域和奇偶性，由此确定图象的位置，即所在象限，其次确定曲线的类型，即α＜0，0＜α＜1和α＞1三种情况下曲线的基本形状，还要注意α＝0，±1三个曲线的形状；对于幂函数在第一象限的图象的大致情况可以用口诀来记忆：“正抛负双，大竖小横”，即α＞0（α≠1）时图象是抛物线型；α＜0时图象是双曲线型；α＞1时图象是竖直抛物线型；0＜α＜1时图象是横卧抛物线型． 四、幂函数的应用 题型一.幂函数的判断 例1．在函数22031 ,3,,y y x y x x y x x ===-=中，幂函数的个数为 ( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 练1．下列所给出的函数中，是幂函数的是（ ） 一次函数的图像和性质测试 1.正比例函数(0)y kx k =≠一定经过 点，经过(1)， ，一次函数(0) y kx b k =+≠经过(0)， 点，(0) ，点． 2.直线26y x =-+与x 轴的交点坐标是 ，与y 轴的交点坐标是 。与坐标轴围成的三角形的面积是 。 3.若一次函数(44)y mx m =--的图象过原点，则m 的值为 ． 4.如果函数y x b =-的图象经过点(01)P ，，则它经过x 轴上的点的坐标为 ． 5.一次函数3+-=x y 的图象经过点（ ，6）和（3， ） 6.已知一次函数y=23x+m 和y=-2 1x+n 的图像都经过点A(-4,0), 且与y 轴分别交于B,C 两点,求△ABC 的面积。 7.某函数具有下面两条性质：（1）它的图象是经过原点的一条直线；（2）y 随x 的增大而减小．请你写出一个满足上述条件的函数 8.已知函数(3)2y m x =+-，要使函数值y 随自变量x 的增大而减小，则m 的取值范围是（ ） Ａ．3m -≥ Ｂ．3m >- Ｃ．3m -≤ Ｄ．3m <- 9.一次函数(1)5y m x =++中，y 的值随x 的减小而增大，则m 的取值范围是（ ） Ａ．1m >- Ｂ．1m <- Ｃ．1m =- Ｄ．1m < 10．已知点A(-4, a),B(-2,b)都在一次函数y=- 2 1x+k(k 为常数)的图像上,则a 与b 的大小关系是a____b(填”<””=”或”>”) 11．已知直线y kx b =+，经过点11()A x y ，和点22()B x y ，，若K>0，且12x x <，则1y 与2y 的大小关系是（ ）Ａ．12y y > Ｂ．12y y < Ｃ．12y y = Ｄ．不能确定 12.在同一坐标系内函数y=2x 与y=2x+6的图象的位置关系是 ． 13.若直线y=-2x+6与直线y=mx+5平行,则m=____________. 14.在同一坐标系内函数y=ax+b 与y=-2x+3平行，则a, b 的取值范围是 ． 15.将直线y= -- 2x 向下平移3个单位得到的直线解析式是 ，将直线y= -- 2x 向上移5个单得到的直线解析式是 ．将直线y= -- 2x+3向下移4个单得到的直线解析式是 ． 16.直线y kx b =+经过二、三、四象限，则k ０，b ０，经过一、二、三、象限，则有k 0，b 0，经过一、二、四象限，则有k 0，b 0． 17. 若直线23y mx m =--经过第一、三、四象限，则m 的取值范围是（ ） 【知识结构】 1．有理数指数幂 （1）幂的有关概念 ①正数的正分数指数幂 :0,,1)m n a a m n N n *=>∈>、且; ②正数的负分数指数幂 : 1 0,,1)m n m n a a m n N n a -*==>∈>、且 ③0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义. 注：分数指数幂与根式可以互化，通常利用分数指数幂进行根式的运算。 （2）有理数指数幂的性质 ①a r a s =a r+s (a>0,r 、s ∈Q );②(a r )s =a rs (a>0,r 、s ∈Q ); ③(ab)r =a r b s (a>0,b>0,r ∈Q );. 例2 （1）计算：25 .021 21325.0320625.0])32.0()02.0()008.0()945()833[(÷?÷+---； （2）化简：533233232332 3134)2(248a a a a a b a a ab b b a a ???-÷++-- 变式：（2007执信A ）化简下列各式（其中各字母均为正数）: （1） ;)(653 12121 132b a b a b a ????--（2）.)4()3(6521332121231----?÷-??b a b a b a (3) 1 00.256371.5()86-?-+ （三）幂函数 1、幂函数的定义 形如y=x α（a ∈R ）的函数称为幂函数，其中x 是自变量，α为常数 注：幂函数与指数函数有本质区别在于自变量的位置不同，幂函数的自变量在底数位置，而指数函数的自变量在指数位置。 例1.下列函数中不是幂函数的是（ ） A ．y x = B ．3y x = C ．2y x = D ．1y x -= 例2.已知函数()()2531m f x m m x --=--，当 m 为何值时，()f x ： （1）是幂函数；（2）是幂函数，且是()0,+∞上的增函数； （3）是正比例函数；（4）是反比例函数；（5）是二次函数； 变式 已知幂函数2 223(1)m m y m m x --=--，当(0)x ∈+，∞时为减函数，则幂函数y =_______． 2.幂函数的图像 幂函数y ＝x α的图象由于α的值不同而不同． α的正负：α＞0时，图象过原点和(1,1)，在第一象限的图象上升； α＜0时，图象不过原点，在第一象限的图象下降，反之也成立； 一次函数的定义 1、判断正误: （1）一次函数是正比例函数； （ ） (2)正比例函数是一次函数； （ ） (3)x ＋2y ＝5是一次函数； （ ）(4)2y －x=0是正比例函数． （ ） 2、选择题 （1）下列说法不正确的是（ ） A ．一次函数不一定是正比例函数。 B ．不是一次函数就不一定是正比例函数。 C ．正比例函数是特殊的一次函数。 D ．不是正比例函数就一定不是一次函数。 （2）下列函数中一次函数的个数为（ ） ①y=2x ；②y=3+4x ；③y=21 ；④y=ax （a ≠0的常数）；⑤xy=3；⑥2x+3y-1=0； A ．3个 B 4个 C 5个 D 6个 3、填空题 （1）若函数y=(m-2)x+5是一次函数，则m 满足的条件是____________。 （2）当m=__________时，函数y=3x2m+1 +3 是一次函数。 (3 )关于x 的一次函数y=x+5m-5，若使其成为正比例函数，则m 应取_________。 4、已知函数y= ()()112-++m x m 当m 取什么值时，y 是x 的一次函数？当m 取什么值是，y 是x 的正比例函数。 5、函数：①y=-2x+3；②x+y=1；③xy=1；④y=1+x ；⑤y=221x +1；⑥y=0.5x 中，属一次函数的有 ，属正比例函数的有 （只填序号） （2）当m= 时，y=()()m x m x m +-+-1122是一次函数。 (3)请写出一个正比例函数，且x =2时，y= －6 请写出一个一次函数，且x=－6时，y=2 (4) 我国是一个水资源缺乏的国家，大家要节约用水．据统计，拧不紧的水龙头每秒钟会滴下2滴水，每滴水约0.05毫升．李丽同学在洗手时，没有把水龙头拧紧，当李丽同学离开x 小时后水龙头滴了y 毫升水．则y 与x 之间的函数关系式是 (5)设圆的面积为s ，半径为R,那么下列说法正确的是（ ） 三角函数的图像与性质题型归纳总结 题型归纳及思路提示 题型1 已知函数解析式确定函数性质 【思路提示】一般所给函数为y ＝A sin(ωx ＋φ)或y ＝A cos(ωx ＋φ)，A>0,ω>0,要根据 y ＝sin x ，y ＝cos x 的整体性质求解。 一、函数的奇偶性 例1 f (x )＝sin ()x ?+（0≤?<π）是R 上的偶函数，则?等于（ ） A.0 B ． 4πC ．2 π D ．π 【评注】由sin y x =是奇函数，cos y x =是偶函数可拓展得到关于三角函数奇偶性的重要结论：sin()(); y A x k k Z ??π=+=∈(1)若是奇函数，则 sin()+ (); 2 y A x k k Z π ??π=+=∈(2)若是偶函数，则 cos()(); 2 y A x k k Z π ??π=+=+ ∈(3)若是奇函数，则 cos()(); y A x k k Z ??π=+=∈(4)若是偶函数，则 tan()().2k y A x k Z π ??=+= ∈(5)若是奇函数，则 .()sin ||a R f x x a a ∈=-变式1已知，函数为奇函数，则等于（ ） A.0 B ．1 C ．1-D ．1 ± 2.0()cos()()R f x x x R ???∈==+∈变式设，则“”是“为偶函数”的（ ） A 充分不必要条件 B ．必要不充分条 C ．充要条件 D ．无关条件 3.()sin()0()f x x f x ω?ω=+>变式设，其中，则是偶函数的充要条件是（ ） A.(0)1f =B ．(0)0f =C ．'(0)1f =D ．'(0)0 f = 2.()sin(2)()()2f x x x R f x π =-∈例设，则是( ) A.π最小正周期为的奇函数B ．π最小正周期为的偶函数 C ．2π 最小正周期为 的奇函数D ．2π 最小正周期为的偶函数 2()sin 1()()f x x x R f x =-∈变式1.若，则是( ) A.π最小正周期为的奇函数 B ．π最小正周期为的偶函数 C ．π最小正周期为2的奇函数D ．π最小正周期为2的偶函数 幂函数的图像与性质 （三）幂函数 1、幂函数的定义 形如y=x α（a ∈R ）的函数称为幂函数，其中x 是自变量，α为常数 注：幂函数与指数函数有本质区别在于自变量的位置不同，幂函数的自变量在底数位置，而指数函数的自变量在指数位置。 例1.下列函数中不是幂函数的是（ ） A ．y x = B ．3y x = C ．2y x = D ．1 y x -= 例2.已知函数()()2531m f x m m x --=--，当 m 为何值时，()f x ： （1）是幂函数；（2）是幂函数，且是()0,+∞上的增函数； （3）是正比例函数；（4）是反比例函数；（5）是二次函数； 变式 已知幂函数2 223(1)m m y m m x --=--，当(0)x ∈+，∞时为减函数，则幂函数 y =_______． 2.幂函数的图像 幂函数y ＝x α的图象由于α的值不同而不同． α的正负：α＞0时，图象过原点和(1,1)，在第一象限的图象上升； α＜0时，图象不过原点，在第一象限的图象下降，反之也成立； 3、幂函数的性质 y=x y=x 2 y=x 3 12 y x = y=x -1 定义域 R R R [0，+∞） {}|0x x R x ∈≠且 值域 R [0，+∞） R [0，+∞） {}|0y y R y ∈≠且 奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇 单调性 增 x ∈[0，+∞）时，增； x ∈(,0]-∞时，减 增 增 x ∈(0,+∞)时，减； x ∈(-∞,0)时，减 定点 （1，1） 例3．比较大小： （1）112 2 1.5,1.7 （2）33( 1.2),( 1.25)--（3）112 5.25,5.26,5.26---（4）30.530.5,3,log 0.5 4.幂函数的性质及其应用 幂函数y ＝x α有下列性质： (1) 单调性：当α＞0时，函数在(0，＋∞)上单调递增； 当α＜0时，函数在(0，＋∞)上单调递减． (2)奇偶性：幂函数中既有奇函数，又有偶函数，也有非奇非偶函数，可以用函数奇偶性的定义进行判断． 例4．已知幂函数2 23 m m y x --=（m Z ∈）的图象与x 轴、y 轴都无交点，且关于 原点对称，求m 的值． 一.授课目的与考点分析： 函数 一、一次函数图像与系数的关系 1.函数y kx b =+（k、b为常数，且k≠0）的图象是一条直线： 当b＞0时，直线y kx b =+是由直线y kx =向上平移b个单位长度得到的； 当b＜0时，直线y kx b =+是由直线y kx =向下平移|b|个单位长度得到的. 2.一次函数y kx b =+（k、b为常数，且k≠0）的图象与性质： 正比例函数的图象是经过原点（0，0）和点（1，k）的一条直线； 一次函数(0) =+≠图象和性质如下： y kx b k 3. k、b对一次函数y kx b =+的图象和性质的影响： k决定直线y kx b =+从左向右的趋势，b决定它与y轴交点的位置，k、b一起决定直线y kx b =+经过的象限． 4. 两条直线1l ：11y k x b =+和2l ：22y k x b =+的位置关系可由其系数确定： （1）12k k ≠?1l 与2l 相交； （2）12k k =，且12b b ≠?1l 与2l 平行； 一次函数23y x =-的图象不经过 象限。 【K 、B 与图像的关系】 【例1】1．若bk ＜0，则直线y=kx +b 一定通过（ ） A ．第一、二象限 B ．第二、三象限 C ．第三、四象限 D ．第一、四象限 【变式1】．如果一次函数y=kx +b 的图象经过一、二、三象限，那么k 、b 应满足的条件是（ ） A ．k ＞0，且b ＞0 B ．k ＜0，且b ＜0 C ．k ＞0，且b ＜0 D ．k ＜0，且b ＞0 2、若直线y kx b =+（k ≠0）不经过第一象限，则k 、b 的取值范围是（ ） A. k ＞0, b ＜0 B. k ＞0,b ≤0 C. k ＜0, b ＜0 D. k ＜0, b ≤0 3.（2014?梅州）已知直线y=kx+b ，若k+b=－5，kb=6，那么该直线不经过．．． 第 象限。 4.2013?眉山）若实数a ，b ，c 满足a+b+c=0，且a ＜b ＜c ，则函数y=cx+a 的图象可能是（ ） A ． B ． C ． D ． 5．（2015春?周口期末）已知点（k ，b ）为第四象限内的点，则一次函数y=kx+b 的图象大致是（ ） A ． B ． C ． D ． 6．（2015?闸北区模拟）如果函数y=3x+m 的图象一定经过第二象限，那么m 的取值范围是（ ） A ．m ＞0 B ．m ≥0 C ．m ＜0 D ．m ≤0 7.（2015?柳江县二模）一次函数y=kx+k （k ＜0）的图象大致是（ ） 【课题】 幂函数的性质与图像 【执教者】：关雅南（上海师范大学附属外国语中学） 【教学目标】：知识和技能：理解幂函数的概念，掌握幂函数的性质与图像并能 简单应用。 过程和方法：通过研究性质培养学生分析归纳的思维能力，体会 从特殊到一般的研究问题的数学方法和数形结合 的数学思想。 情感、态度和价值观：培养学生积极探究、合作交流的学习品质，激发学 生的学习兴趣和探究热情。 【教学重点】：幂函数的性质与图像 【教学难点】：幂函数性质与图像特征的归纳 【教学过程】： 一． 创设情境，引入新知 回顾初中阶段所学的正比例函数如y=x,反比例函数如y=x 1即y=1-x ，二次函数如y=2x ，另外正方体的体积y 关于边长x 的函数解析式为y=3x ,正方形的边长y 关于面积x 的函数关系式为y=x 即y=21x ，分析这些函数有什么共同特征？ 解析式右边为幂的形式，底数为自变量，系数为1. 这些函数可统一写成y=k x 的形式，引出幂函数的定义。 二． 幂函数定义 一般地，函数y=k x （k 为常数，k ∈Q ）叫做幂函数（power function ） 概念巩固：判断下列函数是否为幂函数？ （1） y=x 3.0 （2）y=21 _x （3）y=3x +x (4) y=23x 三． 研究特殊的幂函数的性质与图像的方法 例题：研究函数y=21 _x 的定义域、奇偶性和单调性，并且作出它的图像。 （师生共同探究此幂函数性质，课件演示利用描点法作出的函数图像，并 观察此幂函数性质在图像上的体现）。 自主探究： 研究函数y=32x 的定义域、奇偶性、单调性和最大值或最小值。 （在课堂练习单上独立完成，投影演示，师生共同评价） 四． 合作探究一般的幂函数性质与图像特征 1.教师演示：在同一直角坐标系分别演示幂函数y=21_x 、 y=2 x 和y=31_x 的图像，认真观察图像，体会其中蕴含的函数性质。 2.小组讨论： 归纳幂函数（k 0）的性质和图像特征 （1） 在第一象限单调性如何？ （2） 有无公共点? （3） 图像与坐标轴的位置关系？ （4） 图像的象限分布有何特点？特点由什么确定？ 3.类比探究：在同一直角坐标系分别演示幂函数y=21x 、 y=32x 和y=31x 的图 像，幂函数y=23x 、 y=2x 和y=3x 的图像，类比探究当0 k 1 和k 1时幂函数性质 五． 课堂巩固、简单应用 练习：比较下列两组数的大小 ①253_________251.3 ② (-0.96) 31__________ (-0.95)31_ 六． 课堂小结 今天的学习内容和方法有哪些？你有哪些收获？ 七． 布置作业：课本81页：习题4.1 写一篇题为《幂函数研究方法初探》的数学小论文 【本讲教育信息】 一.教学内容： 三角函数的图象与性质 二.教学目的： 了解三角函数的周期性，知道三角函数y＝A sin（ωx＋φ），y＝A cos（ωx ＋φ）的周期为。 能画出y＝sin x，y＝cos x，y＝tan x的图象，并能根据图象理解正弦函 数、余弦函数在[0，2π]，正切函数在（－，）上的性质（如单调性、最大值和最小值、图象与x轴的交点等）。 了解三角函数y＝A sin（ωx+φ）的实际意义及其参数A，ω，φ对函数图象变化的影响；会画出y＝A sin（ωx+φ）的简图，能由正弦曲线y＝sin x通过平移、伸缩变换得到y＝A sin（ωx+φ）的图象。 会用三角函数解决一些简单的实际问题，体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型。 三.教学重点：三角函数的性质与运用 教学难点：三角函数的性质与运用。 四.知识归纳 1.正弦函数、余弦函数、正切函数的图像 2.三角函数的单调区间： 的递增区间是， 递减区间是； 的递增区间是， 递减区间是， 的递增区间是， 3.函数 最大值是，最小值是，周期是，频率是，相位是，初相是；其图象的对称轴是直线，凡是该图象 与直线的交点都是该图象的对称中心。 4.由y＝sinx的图象变换出y＝sin(ωx＋)的图象一般有两个途径，只有区别开这两个途径，才能灵活进行图象变换 利用图象的变换作图象时，提倡先平移后伸缩，但先伸缩后平移也经常出现.无论哪种变形，请切记每一个变换总是对字母x而言，即图象变换要看“变量”起多大变化，而不是“角变化”多少. 途径一：先平移变换再周期变换(伸缩变换) 先将y＝sinx的图象向左(＞0)或向右(＜0＝平移｜｜个单位，再将图象上各点的横坐标变为原来的倍(ω＞0)，便得y＝sin(ωx＋)的图象。 途径二：先周期变换(伸缩变换)再平移变换。 先将y＝sinx的图象上各点的横坐标变为原来的倍(ω＞0),再沿x轴向左(＞0)或向右(＜0＝平移个单位，便得y＝sin(ωx＋)的图象。 5.由y＝Asin(ωx＋)的图象求其函数式： 给出图象确定解析式y=Asin（ωx+）的题型，有时从寻找“五点”中的第一零点（－，0）作为突破口，要从图象的升降情况找准第一个零点的位置. 6.对称轴与对称中心： 的对称轴为，对称中心为； 的对称轴为，对称中心为； 对于和来说，对称中心与零点相联系，对称轴与最值点联系。 7.求三角函数的单调区间：一般先将函数式化为基本三角函数的标准式，要特别注意A、的正负。利用单调性三角函数大小一般要化为同名函数,并且在同一单调区间； 8.求三角函数周期的常用方法： 经过恒等变形化成“、”的形式，再利用周期公式，另外还有图像法和定义法。 9.五点法作y=Asin（ωx+）的简图： 五点取法是设x=ωx+，由x取0、、π、、2π来求相应的x值及对应的y值，再描点作图。 一次函数的图象与性质练习 1、若一次函数y ＝kx ＋1(k 为常数，k ≠0)的图象经过第一、二、三象限，则k 的取值范围是________． 2、一次函数y ＝(m ＋2)x ＋1，若y 随x 的增大而增大，则m 的取值范围是________． 3、某一次函数的图象经过点（﹣1，3），且函数y 随x 的增大而减小，请你写出一个符合条件的函数解析式 ． 4、一次函数2+-=x y 的图象不经过的象限是【 】 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 5、一次函数52-=x y 与x 轴交于______，与y 轴交于______。 6、直线62+-=x y 与两坐标轴围成的三角形面积是 ． 7、星期天晚饭后，小红从家里出发去散步，图描述了她散步过程中离家s （米）与散步所用的时间t(分)之间的函数关系．依据图象，下面描述符合小红散步情景的是【 】 A.从家出发,到了一个公共阅报栏,看了一会报后,就回家了. B.从家出发,一直散步(没有停留),然后回家了. C.从家出发,到了一个公共阅报栏,看了一会报后,继续向前走了一会,然后回家了. D.从家出发,散了一会步,就找同学去了,18分钟后才开始返回. 8、一汽车在某一直线道路上行驶，该车离出发地的距离s （千米）和行驶时间t （小时）之间的函数关系如图所示（折线ABCDE ），根据图中提供的信息，给出下列说法：①汽车共行驶了120千米；②汽车在行驶途中停留了0.5小时；③汽车在行驶过程中的平均速度为803 千米/小时；④汽车自出发后3小时至4.5小时之间行驶的速度在逐渐减小.其中正确的说法共有【 】 A ．4个 B ．3个 C ．2个 D ．1个 （一）指数与指数函数 1．根式 （1）根式的概念 （2）．两个重要公式 ① ? ? ? ? ? ? ? ? < - ≥ = = )0 ( )0 ( | | a a a a a a a n n； ②a a n n= ) (（注意a必须使n a有意义）。 2．有理数指数幂 （1）幂的有关概念 ①正数的正分数指数幂:0,,1) m n m n a a a m n N n * =>∈> 、且; ②正数的负分数指数幂: 1 0,,1) m n m n m n a a m n N n a a - * ==>∈> 、且 ③0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义. 注：分数指数幂与根式可以互化，通常利用分数指数幂进行根式的运算。 （2）有理数指数幂的性质 ①a r a s=a r+s(a>0,r、s∈Q); ②(a r)s=a rs(a>0,r、s∈Q); ③(ab)r=a r b s(a>0,b>0,r∈Q);. 3．指数函数的图象与性质 y=a x a>1 0 图象 定义域R 值域（0，+∞） 性质（1）过定点（0，1） （2）当x>0时，y>1; x<0时,0 一次函数的图像和性质测试题 一、选择题（每小题 3 分，共 30 分） 1. 下列各有序实数对表示的点不在函数图象上的是（） A. （0，1） B. （1，－ 1） C. D. （－ 1，3） 2. 已知一次函数，当增加 3时，减少 2，则的值是（） A. 2 B. 3 C. 2 D. 3 3 2 3 2 3. 已知一次函数随着的增大而减小，且，则在直角坐标系内它的大致图象是（） y y y y O x O x O x O x A B C D 4. 已知正比例函数的图象过点（， 5），则的值为（） A. 5 B. 7 C. 5 D. 2 9 3 3 3 5. 若一次函数的图象交轴于正半轴，且的值随值的增大而减小，则（） A. B. C. D. 6. 若函数是一次函数，则应满足的条件是（） A. 且 B. 且 C. 且 D. 且 7.一次函数的图象交轴于（ 2， 0），交轴于（ 0，3），当函数值大于 0 时，的取值范围是（） A. B. C. D. 8. 已知正比例函数 的图象上两点 ，当 时， 有 ，那么 的取值范围是（ ） A. 1 B. 1 C. D. 2 2 9. 若函数 和 有相等的函数值，则 的值为（ ） A. 1 B. 5 C.1 D. 5 2 2 2 10. 某一次函数的图象经过点（，2），且函数 的值随自变量 的增大而减小， 则下列函数符合条件的是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题 3 分，共 24 分） 11. 如图，直线 为一次函数 的图象，则 ， . 12. 一次函数 的图象与 轴的交点坐标是 ，与 轴的交点坐标 是. 13. 已知 地在 地正南方 3 千米处，甲乙两人同时分别从 、 两地向正北方向匀速直行，他们与地的距离 （千米）与所 C S D 4 B 行的时间 （时）之间的函数图象如图所示，当行走 3 时后， t 千米 . A O 2 他们之间的距离为 14. 若一次函数 与一次函数 的图象的交点坐标为（ ， 8），则 _________. 15. 已知点 都在一次函数 为常数）的图象上， 三角函数的图象与性质 、知识网络 基弃变换 三、知识要点 （一）三角函数的性质 1、定义域与值域 2、奇偶性 （1）基本函数的奇偶性奇函数：y = sinx , y = tanx ; 偶函数：y= cosx. （2） -'’ 一 -‘：型三角函数的奇偶性 (i)g (x)=* (x€ R) g (x )为偶函数 ' 二二—「二： O卫址1(徴 + ? =/win(-徴+@)(x亡卫)U sin ocrcos(p= 0(x白应) cos (p二 0 o(p= jt/r-hy e 7) 由此得 同理，旨（对二話乞山（伽+洌0€丘）为奇函数O 寻炉=七兀3€2）. （ii）u'■■ ' '''「：；：：「' ■?■. 八为偶函数' ..为奇函数 O 一次函数的图像和性质练习题
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