将军饮马问题例题及应用

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将军饮马问题例题及应用 一， 简介

唐朝诗人李欣的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”诗中隐含着一 个有

趣的数学问题．

诗中将军在观望烽火之后从山脚下的A 点出发，走到河边饮马后，再到B 点宿营．请问怎样走才能使总的路程最短？ 这个问题早在古罗马时代就有了，传说亚历山大城有一位精通数学和物理的学者，名叫海伦．一天，一位罗马将军专程去拜访他，向他请教一个百思不得其解的问题：“将军每天从军营A 出发，先到河边饮马，然后再去河岸同侧的B 地开会，应该怎样走才能使路程最短？”

从此，这个被称为“将军饮马”的问题广泛流传．

二，例题

1， 基本类型问题

问题：有一位将军骑着马要从A 地走到B 地，但途中要到水边喂马喝一次水，则将军怎样走最近？

解答：作B 点与河面的对称点B ′，连接AB ′，可得到马喝水的地方C ，如图所示，由对称的性质可知AB ′=AC+BC ，根据两点之间线段最短的性质可知，C 点即为所求．

2， 与其他类型问题相结合

问题：某课题组在探究“将军饮马问题”时抽象出数学模型：直线l 同旁有两个定点A 、B ，在直线l 上存在点P ，使得P A +PB 的值最小．解法：作

点A 关于直线l 的对称点A ′，连接A ′B ，则A ′B 与直线l 的交点即为P ，且PA +PB 的最小值为A ′B ．请利用上述模型解决问题

如图1，等腰直角三角形A B C 的直角边长为2，E 是斜边A B 的中点，P 是A C 边上的一动点，

则P B+P E 的最小值为（ ）；

解答：作点B 关于A C 的对称点B ′，连接B ′E 交A C 于P ，

此时PB+P E 的值最小．连接A B ′．

A B ′=A B=√A C 2+BC 2=√22+22=2√2

A B=√2∵∠

B ′A C=∠BA C=45°∴∠B ′A B=90°∴PB+PE 的最小值

=B ′E=√B ′A 2+A E 2=√(2√2)2+(√2)2=√10