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实变函数复习题

复习题1 一、判断

实变函数复习题

1、若N 是自然数集,e N 为正偶数集,则N 与e N 对等。(对)

2、由直线上互不相交的开间隔所成之集是至多可列集。(对)

3、若

12,,,n A A A 是1R 上的有限个集,则下式

()1212n n A A A A A A ''''+++=+++

成立。 (对)

4、任意多个开集的交集一定是开集。(错)

5、有限点集和可列点集都可测。(对)

6、可列个零测集之并不是零测集。(对)

7、若开集1G 是开集2G 的真子集,则一定有12mG mG <。

(错) 8、对于有界集1E

R ?,必有*m E <+∞。(对)

9、任何点集E 上的常数函数

()f x =C ,x E ∈是可测函数。(错)

10、由

()f x 在()1,2,k E k = 上可测可以推出()f x 在1

k

k E E ∞

==∑上可测。(对)

二、填空

1、区间(0,1)和全体实数R 对等,只需对每个()0,1x ∈

,令 ()tan()2

x x π?π=-

2、任何无限集合都至少包含一个 可数子集

3、设12,S S 都可测,则12S S ?也可测,并且当12S S ?为空集时,对于任意集合T 总有

***1212[()]()()m T S S m T S m T S ??=?+?

4、设E 是任一可测集,则一定存在F ?型集F ,使F E ?,且 ()0m E F -=

5、可测集n E

R ?上的 连续函数 是可测函数。

6、设E 是一个有界的无限集合,则E 至少有一 个聚点。

7、设π是一个与集合E 的点x 有关的命题,如果存在E 的子集M ,适合mM=0,使得π在E\M 上恒成立,也就是说,E\E[π成立]= 零测度集 ,则我们称π在E 上几乎处处成立。 8、E 为闭集的充要条件是

'(E E)E E ???或 。

9、设A 、B 是两个非空集合,若,A B B A ≤≤,则有 A =B

。 三、证明 1、证明:若

A B ?,且~A A C ?,则有~B B C ?。

证明:由条件易得,

()B A B A =?- (1) [()]()B C A C B B A ?=?-?- (2)

由于

()A B A ?-=?,[()]()A C B B A ?-?-=?,

而 ()A A C B A C ??-??,

已知~A A C ?,所以~()A A C B ?-.

而 ~B A B A --,由(1)(2)得~B B C ?。

2、设

()f x 为1R 上的连续函数,

则对任意的1a R ∈,[]()E f x a ≥、[]()E f x a ≤为闭集1

()E R = 证: 先证[

()]E f x a ≥是闭集。设0x 是[()]E f x a ≥的一个极限点,则[()]E f x a ≥中有点列

{}n x ,使

0()n x x n →→∞.

由[]()n x E

f x a ∈≤知()n f x a ≥.又由()f x 的连续性及极限不等性可得

0()lim ()n x f x f x a →∞

=≥.

∴ 0[()]x E f x a ∈≥.

即 '([()])[()]E f x a E f x a ≥?≥.

故 [()]E f x a ≥为闭集.

4、设

}{n

f 是E 上的可测函数列,则其收敛点集与发散点集都是可测的。

证: 显然,{}n f 的收敛点集可表示为

0[lim ()lim ()]n n x x E E x f x f x →∞

→∞

==

=

1

1[lim lim ]n n

x x k E f f k ∞

→∞→∞=-<∏. 由

n f 可测lim n x f →∞

及lim n x f →∞

都可测,所以lim lim n n

x x f f →∞

→∞

-在E 上可测。

从而,对任一自然数k ,1

[lim lim ]n

n x x E f f k

→∞

→∞-<可测。故

01

1

[lim lim ]n n x x k E E f f k ∞

→∞→∞==-<∏

可测。

既然收敛点集0E 可测,那么发散点集0E E -也可测。

实变函数复习题

实变函数复习题

实变函数复习题

实变函数复习题2

一、判断题(判断正确、错误,请在括号中填“对”或“错”。共10小题,每题 1.5分,共10×1.5=15分)

1、中全体子集构成一个代数。 ( √ )

2、存在闭集使其余集仍为闭集。 ( √ )

3、若是可测集,是的可测子集,则 。 ( × )

4、无限集中存在基数最大的集合,也存在基数最小的集合。 ( × )

5、可数个可数集的并集是可数集。 ( √ )

6、、可数个集的交集不一定是

集。 ( × )

7、若

是可测集,是

上的实函数,则

上可测的充要条件是:存在实数

,使

是可测集。 ( × )

8、若

是可测集,是的可测子集,则 。 ( × )

9、若

是可测集,

上的非负可测函数,则

上一定可积。 ( × )

10、若是可测集,是上的非负简单函数,则一定存在。 ( √ )

二、选择题。(每道题只有一个答案正确,多选或者不选均为零分,每道题1.5分,共15分) 1、下列集合关系成立的是( A ) (A )(\)A B B A B ?=? (B )(\)A B B A ?=

(C )(\)B A A A ?? (D )(\)B A A ?

2、若n E

R ?是开集,则( B )

(A )E E '? (B )E 的内部E = (C )E E = (D )E E '=

3、设 是有理数,则下列正确的是( B )

A . [0,1]> ; B.[0,1]< ; C.[0,1]= ; D.以上都不正确。

4.、设E 是n

R 中的可测集,()f x 为E 上的可测函数,若()d 0E

f x x =?,则( A )

(A )在E 上,()f z 不一定恒为零 (B )在E 上,()0f z ≥

(C )在E 上,

()0f z ≡ (D )在E 上,()0f z ≠

5、设E 是1

R 中的可测集,()x ?是E 上的简单函数,则( D ) (A )()x ?是E 上的连续函数 (B )()x ?是E 上的单调函数 (C )()x ?在E 上一定不L 可积 (D )()x ?是E 上的可测函数 6、设

()f z 是[,]a b 的单调函数,则( C )

(A )()f z 不是[,]a b 的有界变差函数 (B )()f z 不是[,]a b 的绝对连续函数 (C )()f z 在[,]a b 上几乎处处连续 (D )()f z 不在[,]a b 上几乎处处可导

7、若1E

R ?至少有一个内点,则( D ) (A )*

m E 可以等于零 (B )E 是可数集

(C )E 可能是可数集 (D )*

0m E >

8、设E 是[0,1]中的无理点全体,则(C )

(A )E 是可数集 (B )E 是闭集 (C )E 中的每一点都是聚点 (D )*<

E m

9、设

()f x 在可测集E 上L 可积,则( D )

(A )()f z +和()f z -有且仅有一个在E 上L 可积 (B )()f z +和()f z -不都在E 上L 可积

(C )()f z 在E 上不一定L 可积 (D )()f z 在E 上一定L 可积

10、设[,]E

a b ?是可测集,则E 的特征函数()E X x 是 ( B )

(A )在[,]a b 上不是简单函数 (B )在[,]a b 上的可测函数 (C )在E 上不是连续函数 (D )[,]a b 上的连续函数

三、填空题(将正确的答案填在横线上,每道题1分,共10分)

1、设

X 为全集,A ,B 为X 的两个子集,则\A B =C A B ? 。

2、设n E

R ?,如果E 满足E E '?,则E 是 闭 集。

3、若开区间

(,)

αβ是直线上开集G

的一个构成区间,则

(,)

αβ满足

(,)G

αβ?、

,G G

αβ??。

4、设

A 是无限集,则A 的基数A ≥

a (其中a 表示可数基数)

。 5、设1E ,2E 为可测集,2mE <+∞,则12(\)

m E E ≥

12mE mE -。

6、设

()f x 是定义在可测集E 上的实函数,若对任意实数a ,都有[()]E x f x a >

是 可测集 ,则称()f x 是可测集E 上的可测函数。

7、设0x 是1E

R ?的内点,则*m E >0。

8、设函数列{()}n f x 为可测集E 上的可测函数列,且()()()n f x f x x E ?∈,则由黎斯定理可得,

存在{()}n f x 的子列{()}k

n f x ,使得()k

n f x ..

a e →()()f x x E ∈。

9、设

()f x 是E 上的可测函数,则()f x 在E 上的L 积分不一定存在,且()f x 在E 上 不一定 L

可积。 10、若

()f x 是[,]a b 上的绝对连续函数,则()f x 一定 是 [,]a b 上的有界变差函数。

四、证明题。

实变函数复习题

又因为A 为开集 所以为A C 闭集。 因此B-A 为闭集。 3、设A,B P R ?

且+∞

(B A m B m mA B A m **)(*-+= 证明:因为A 是可测集,所以由卡拉泰奥多里条件得

))((**)(*A C B A m A B A m B A m +=))(()(*A B m mA -+= (I) +∞<+=)(*)(**A C B m A B m B m

于是)(**)(*B A m B m A B m -=- (II)

将(II)代入(I)得)(B A m B m mA B A m **)(*-+=

4、设q R E

?,存在两侧两列可测集{n A },{n B },使得n A ? E ?n B 且m (n A -n B )→0,(n →∝)

则E 可测. 证明:对于任意i ,i n n B B ?∞=1

,所以 E B E B i n n -?∞

=-1

又因为

E A i ? ,i i i A B E B -?-

所以对于任意i ,)(**

1

E B m E B m i n n -≤-∞=)( )(*i i A B m -≤)(i i A B m -=

令i →∝ ,由)(i i

A B m -→0 得0*

1

=-∞=)(E B m n n 所以

E B n n -∞

=1

是可测的

又由于n B 可测,有n n B ∞

=1 也是可测的

所以)(1

1

E B B E

n n n n --=∞

=∞

= 是可测的。

实变函数复习题3

一、证明题: 1、设在E 上()()n f x f x ?,而()()n n f x g x =..a e 成立,1,2n = ,则有()()n g x f x ?

2、 证明:开集减闭集后的差集仍是开集;闭集减开集后的差集仍然是闭集。

3. 设

M

3R 空间中以有理点(即坐标都是有理数)为中心, 有理数为半径的球的全体, 证明M

为可

数集. 4. 设n E R ?,i E B ?且i B 为可测集, 1,2i = .根据题意, 若有

()()*0,i m B E i -→ →∞, 证明E 是可测集.

二、选择题:

1. A 为可数集,B 为有限或可数集,则A B 为(A )

A 可数集

B 不可数集

C 无法确定

2、有C 个(C 表示连续基数)集的并集,若每个集的基数都是(C ) A

2C B C C 2C

3、E 为开集的充要条件是(A ) A

E E ?。

B E E ?,

C E E ??

4、A 为开集。B 为闭集,A-B 为(A) A开集 B闭集 C可开可闭 5、设S1、S2都是可测,12S S (B ) A 不可测 B 可测 C 不确定

6.下列命题错误的是( ) A. 开集、闭集都是可测集 B .可测集都是Borel 集 C .外测度为零的集是可测集

D .F σ型集、G δ型集都是可测集 7.设

{}n E 是一列递降的可测集合,12n E E E ??? ,且1mE <+∞,则有( )

A. 1lim n n n n m E mE ∞→∞=??≤ ??? B .1lim n n n n m E mE ∞→∞=??

≥ ???

C .1lim n n n n m E mE ∞→∞

=??

= ??? D .以上都不对

8.下列命题错误的是( ) A. 若

()

f x 在E 上可测,则

()f x 在E 上也可测

B .可测集E 上的连续函数是可测函数

C .()f x 在E 上L 可积的充要条件是()

f x 在E 上可积

D .

[],a b 上任意一有界变差函数()f x 都可表示为两个增函数之差

9.下列表达正确的是( ) A. ()(){}max ,0f x f x +=- B .()()()f x f x f x +-=+

C .

()()()f x f x f x +-=- D .()(){}min ,n f x f x n =????

三、填空题:

2、设1,2n A n ??

=????

, 1,2n = , 则lim n n A →∞

= .

3、

()(),,a b -∞+∞ ,因为存在两个集合之间的一一映射为 .

4、设E

2

R 中函数

1c o s ,00,0x

y x x ?

≠?=??

=?的图形上的点所组成的 集合,则

E '= ,E ?= .

5、若集合n E R ?满足E E '?, 则E 为 集.

6、若

(),αβ是直线上开集G 的一个构成区间, 则(),αβ满足:

, .

7、设

E 使闭区间[],a b 中的全体无理数集, 则mE = .

8、若

()n mE f x →()0f x ??=??, 则说{}()n f x 在E 上

.

9、设

n E R ?, 0n

x R ∈,若 ,则称0x 是E 的聚点.

10、设{}()n f x 是E 上几乎处处有限的可测函数列,

()f x 是E 上 几乎处处有限的可测函数,

0σ?>, 有

11、

, 则称{}()n f x 在E 上依测度收敛于()f x .

12、设

()()n f x f x ?,x E

∈, 则

?

{}()n f x 的子列{}()j

n f x , 使得

.

四、判断题 1. 若,A B 可测, A B ?且A B ≠,则mA mB <.()

2. 设

E 为点集, P E ?, 则P 是E 的外点. ()

3. 点集

11,2,,E n ?

?=???

? 的闭集. ()

4. 任意多个闭集的并集是闭集. ()

5. 若

n E R ?,满足*m E =+∞, 则E 为无限集合.()

6. 任意无限集合都至少包含一个可数子集。()

7. 设1,A 1,A ……n A ……是一列相交的集合,它们的基数都是c ,则1n n A ∞

=?的基数是nc 。()

8.

E 为闭集的充要条件是E E ??。()

9. 集合的交或并满足交换率、结合率、分配率。() 10. 任意无限集合都至少包含一个可数子集。()

答案

一.证明答案:

1、证明:设[]n n n E E f g =≠,则1

10n n n n m E mE ∞∞

==??≤= ???∑ 。

σ?>,

1n n n n E f g E E f f σσ∞=??

?-≥???-≥? ?????

??

所以

1

n

n n n

n m E f g m E m E

f f m E

σσσ∞

=???-

≥?≤+?-

≥?=

?-≥? ????

??

???

因为

()()n f x f x ?,所以0lim lim 0n n n n

mE f g mE f f σσ≤?-≥?≤?-≥?=???? 即

()()n g x f x ?

2、证:设A 为 开集,B 为闭集 则A-B=

B A

B 为闭集

B的补集为开集 故A-B为开集

B-A=BA

由A 为开集 则A 为闭集

∴B-A 为闭集

3、M

中任何一个元素可以由球心

(,,)x y z , 半径为r 唯一确定, x ,y , z 跑遍所有的正有理

数,

r 跑遍所有的有理数. 因为有理数集于正有理数集为可数集都是可数集, 故M

为可数集.

4、 令

1

i i B B ∞

== , 则i E B B ??且B 为可测集, 于是对于i ?, 都有

i B E B E -?-, 故

()()**0i m B E m B E ≤-≤-,

令i →∞, 得到

()*0m B E -=, 故B E -可测. 从而 ()E B B E =--可测.

二、选择题答案:

1、A

2、C

3、A

4、A 5 、B 6. B 7. C 8. A 9. D 10、

三、填空题答案: 1、

[]0,2.

2、

()()()tan ,,.2x x a x a b b a

π

π???=--∈??-?? 3、

{}

1(,)cos ,0(0,)1x y y x y y x ??

=≠≤????

; ?.

实变函数复习题

4、 闭集.

5、

(),.,.G G G αβαβ? ? ?

6、

b a -.

7、 几乎处处收敛于()f x 或 a.e.收敛于()f x .

8、 对

00,(,)U x δδ?> 有{}()

0E x -=?.

9、

lim ()()0n n mE f x f x σ→∞

?-≥?=??

10、

()()n f x f x → a.e.于E

四、判断题答案: 1. 错 例如, (0,1)A =, []0,1B =, 则A B ?且A B ≠,但1mA mB ==. 2. 错 例如,

0(0,1)?, 但0不是(0,1)的外点.

3. 错 由于

{}0E E '=?.

4. 错 例如, 在

1

R

中,

1

1,1n F n

n ??=-????, 3,4n = 是一系列的闭集, 但是

3

(0,1)n

n F

== 不是闭集.

5. 对 因为若

E 为有界集合, 则存在有限区间I

,

I <+∞, 使得E I

?, 则

**,m E m I I ≤=<+∞ 于*m E =+∞ .

6.对 见教材20P

7.错 见教材26P

8.对 见教材39P

9.对 见教材9P 10.对 见教材

13P