2015年福建省高考数学试卷理科-高考
2015年福建省高考数学试卷（理科）
一、选择题（共10小题，每小题5分，共50分）2015年普通高等学校招生全国统一考试（福建卷）数学（理工类）
1．（5分）若集合A={i，i2，i3，i4}（i是虚数单位），B={1，﹣1}，则A∩B等于（）
A．{﹣1}B．{1}C．{1，﹣1}D．?
2．（5分）下列函数为奇函数的是（）
A．y=B．y=|sinx| C．y=cosx D．y=e x﹣e﹣x
3．（5分）若双曲线E ：=1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线E
上，且|PF1|=3，则|PF2|等于（）
A．11 B．9 C．5 D．3
4．（5分）为了解某社区居民的家庭年收入与年支出的关系，随机调查了该社区5户家庭，得到如下统计数据表：
8.28.610.011.311.9
收入x（万
元）
6.2
7.5
8.08.5
9.8
支出y（万
元）
根据上表可得回归直线方程，其中，据此估计，该社区一户收入为15万元家庭年支出为（）
A．11.4万元B．11.8万元C．12.0万元D．12.2万元
5．（5分）若变量x，y 满足约束条件则z=2x﹣y的最小值等于（）A．2 B．﹣2 C ．D ．
6．（5分）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出的结果为（）
A．2 B．1 C．0 D．﹣1
7．（5分）若l，m是两条不同的直线，m垂直于平面α，则“l⊥m”是“l∥α”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
8．（5分）若a，b是函数f（x）=x2﹣px+q（p＞0，q＞0）的两个不同的零点，且a，b，﹣2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则p+q的值等于（）
A．6 B．7 C．8 D．9
9．（5分）已知，若P点是△ABC所在平面内一点，且，则的最大值等于（）
A．13 B．15 C．19 D．21
10．（5分）若定义在R上的函数f（x）满足f（0）=﹣1，其导函数f′（x）满足f′（x）＞k＞1，则下列结论中一定错误的是（）
A．B．C．D．
二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分.
11．（4分）（x+2）5的展开式中，x2的系数等于．（用数字作答）12．（4分）若锐角△ABC的面积为，且AB=5，AC=8，则BC等于．13．（4分）如图，点A的坐标为（1，0），点C的坐标为（2，4），函数f（x）=x2，若在矩形ABCD 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等于．
14．（4分）若函数f（x）=（a＞0且a≠1）的值域是[4，+∞），
则实数a的取值范围是．
15．（4分）一个二元码是由0和1组成的数字串，其中x k （k=1，2，…，n）称为第k位码元，二元码是通信中常用的码，但在通信过程中有时会发生码元错误（即码元由0变为1，或者由1变为0）
已知某种二元码x1x2…x7的码元满足如下校验方程组：
其中运算⊕定义为：0⊕0=0，0⊕1=1，1⊕0=1，1⊕1=0．
现已知一个这种二元码在通信过程中仅在第k位发生码元错误后变成了1101101，那么利用上述校验方程组可判定k等于．
三、解答题
16．（13分）某银行规定，一张银行卡若在一天内出现3次密码尝试错误，该银行卡将被锁定，小王到银行取钱时，发现自己忘记了银行卡的密码，但是可以确定该银行卡的正确密码是他常用的6个密码之一，小王决定从中不重复地随机选择1个进行尝试．若密码正确，则结束尝试；否则继续尝试，直至该银行卡被锁定．
（1）求当天小王的该银行卡被锁定的概率；
（2）设当天小王用该银行卡尝试密码次数为X，求X的分布列和数学期望．17．（13分）如图，在几何体ABCDE中，四边形ABCD是矩形，AB⊥平面BEC，BE⊥EC，AB=BE=EC=2，G，F分别是线段BE，DC的中点．
（1）求证：GF∥平面ADE；
（2）求平面AEF与平面BEC所成锐二面角的余弦值．
18．（13分）已知椭圆E：+=1（a＞b＞0）过点，且离心率e为．（1）求椭圆E的方程；
（2）设直线x=my﹣1（m∈R）交椭圆E于A，B两点，判断点G与以线段AB为直径的圆的位置关系，并说明理由．
19．（13分）已知函数f（x）的图象是由函数g（x）=cosx的图象经如下变换得到：先将g（x）图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标不变，再将所得到的图象向右平移个单位长度．
（1）求函数f（x）的解析式，并求其图象的对称轴方程；
（2）已知关于x的方程f（x）+g（x）=m在[0，2π）内有两个不同的解α，β（i）求实数m的取值范围；
（ii）证明：cos（α﹣β）=﹣1．
20．（7分）已知函数f（x）=ln（1+x），g（x）=kx，（k∈R）
（1）证明：当x＞0时，f（x）＜x；
（2）证明：当k＜1时，存在x0＞0，使得对任意x∈（0，x0），恒有f（x）＞g （x）；
（3）确定k的所有可能取值，使得存在t＞0，对任意的x∈（0，t），恒有|f（x）﹣g（x）|＜x2．
四、选修4-2：矩阵与变换
21．（7分）已知矩阵A=，B=
（1）求A的逆矩阵A﹣1；
（2）求矩阵C，使得AC=B．
五、选修4-4：坐标系与参数方程
22．（7分）在平面直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为（t为参数）．在极坐标系（与平面直角坐标系xoy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴非负半轴为极轴），直线l的方程为ρsin（θ﹣）=m，（m∈R）（1）求圆C的普通方程及直线l的直角坐标方程；
（2）设圆心C到直线l的距离等于2，求m的值．
六、选修4-5：不等式选讲
23．（7分）已知a＞0，b＞0，c＞0，函数f（x）=|x+a|+|x﹣b|+c的最小值为4．（1）求a+b+c的值；
（2）求a2+b2+c2的最小值．
2015年福建省高考数学试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题（共10小题，每小题5分，共50分）2015年普通高等学校招生全国统一考试（福建卷）数学（理工类）
1．（5分）若集合A={i，i2，i3，i4}（i是虚数单位），B={1，﹣1}，则A∩B等于（）
A．{﹣1}B．{1}C．{1，﹣1}D．?
【分析】利用虚数单位i的运算性质化简A，然后利用交集运算得答案．
【解答】解：∵A={i，i2，i3，i4}={i，﹣1，﹣i，1}，B={1，﹣1}，
∴A∩B={i，﹣1，﹣i，1}∩{1，﹣1}={1，﹣1}．
故选：C．
【点评】本题考查了交集及其运算，考查了虚数单位i的运算性质，是基础题．
2．（5分）下列函数为奇函数的是（）
A．y=B．y=|sinx| C．y=cosx D．y=e x﹣e﹣x
【分析】根据函数奇偶性的定义进行判断即可．
【解答】解：A．函数的定义域为[0，+∞），定义域关于原点不对称，故A为非奇非偶函数．
B．f（﹣x）=|sin（﹣x）|=|sinx|=f（x），则f（x）为偶函数．
C．y=cosx为偶函数．
D．f（﹣x）=e﹣x﹣e x=﹣（e x﹣e﹣x）=﹣f（x），则f（x）为奇函数，
故选：D．
【点评】本题主要考查函数奇偶性的判断，根据函数奇偶性定义是解决本题的关键．
3．（5分）若双曲线E：=1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线E
上，且|PF1|=3，则|PF2|等于（）
A．11 B．9 C．5 D．3
【分析】确定P在双曲线的左支上，由双曲线的定义可得结论．
【解答】解：由题意，双曲线E ：=1中a=3．
∵|PF1|=3，∴P在双曲线的左支上，
∴由双曲线的定义可得|PF2|﹣|PF1|=6，
∴|PF2|=9．
故选：B．
【点评】本题考查双曲线的标准方程，考查双曲线的定义，属于基础题．
4．（5分）为了解某社区居民的家庭年收入与年支出的关系，随机调查了该社区5户家庭，得到如下统计数据表：
8.28.610.011.311.9
收入x（万
元）
6.2
7.5
8.08.5
9.8
支出y（万
元）
根据上表可得回归直线方程，其中，据此估计，该社区一户收入为15万元家庭年支出为（）
A．11.4万元B．11.8万元C．12.0万元D．12.2万元
【分析】由题意可得和，可得回归方程，把x=15代入方程求得y值即可．【解答】解：由题意可得=（8.2+8.6+10.0+11.3+11.9）=10，
=（6.2+7.5+8.0+8.5+9.8）=8，
代入回归方程可得=8﹣0.76×10=0.4，
∴回归方程为=0.76x+0.4，
把x=15代入方程可得y=0.76×15+0.4=11.8，
故选：B．
【点评】本题考查线性回归方程，涉及平均值的计算，属基础题．
5．（5分）若变量x，y满足约束条件则z=2x﹣y的最小值等于（）A．2 B．﹣2 C．D．
【分析】由约束条件作出可行域，由图得到最优解，求出最优解的坐标，数形结合得答案．
【解答】解：由约束条件作出可行域如图，
由图可知，最优解为A，
联立，解得A（﹣1，）．
∴z=2x﹣y的最小值为2×（﹣1）﹣=．
故选：D．
【点评】本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．
6．（5分）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出的结果为（）
A．2 B．1 C．0 D．﹣1
【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的i，S的值，当i=6时满足条件i＞5，退出循环，输出S的值为0．
【解答】解：模拟执行程序框图，可得
i=1，S=0
S=cos，i=2
不满足条件i＞5，S=cos+cosπ，i=3
不满足条件i＞5，S=cos+cosπ+cos，i=4
不满足条件i＞5，S=cos+cosπ+cos+cos2π，i=5
不满足条件i＞5，S=cos+cosπ+cos+cos2π+cos=0﹣1+0+1+0=0，i=6
满足条件i＞5，退出循环，输出S的值为0，
故选：C．
【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图，正确依次写出每次循环得到的i，S的值是解题的关键，属于基础题．
7．（5分）若l，m是两条不同的直线，m垂直于平面α，则“l⊥m”是“l∥α”的（）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【分析】利用直线与平面平行与垂直关系，判断两个命题的充要条件关系即可．【解答】解：l，m是两条不同的直线，m垂直于平面α，则“l⊥m”可能“l∥α”也可能l?α，反之，“l∥α”一定有“l⊥m”，
所以l，m是两条不同的直线，m垂直于平面α，则“l⊥m”是“l∥α”的必要而不充分条件．
故选：B．
【点评】本题考查空间直线与平面垂直与平行关系的应用，充要条件的判断，基本知识的考查．
8．（5分）若a，b是函数f（x）=x2﹣px+q（p＞0，q＞0）的两个不同的零点，且a，b，﹣2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则p+q的值等于（）
A．6 B．7 C．8 D．9
【分析】由一元二次方程根与系数的关系得到a+b=p，ab=q，再由a，b，﹣2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列列关于a，b的方程组，求得a，b后得答案．
【解答】解：由题意可得：a+b=p，ab=q，
∵p＞0，q＞0，
可得a＞0，b＞0，
又a，b，﹣2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，可得①或②．
解①得：；解②得：．
∴p=a+b=5，q=1×4=4，
则p+q=9．
故选：D．
【点评】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，考查了等差数列和等比数列的性质，是基础题．
9．（5分）已知，若P点是△ABC所在平面内一点，且，则的最大值等于（）
A．13 B．15 C．19 D．21
【分析】建系，由向量式的几何意义易得P的坐标，可化=﹣4（﹣4）﹣（t﹣1）=17﹣（4?+t），由基本不等式可得．
【解答】解：由题意建立如图所示的坐标系，
可得A（0，0），B（，0），C（0，t），
∵，∴P（1，4），
∴=（﹣1，﹣4），=（﹣1，t﹣4），
∴=﹣4（﹣4）﹣（t﹣1）=17﹣（4t+），
由基本不等式可得+4t≥2=4，
∴17﹣（4t+）≤17﹣4=13，
当且仅当4t=即t=时取等号，
∴的最大值为13，
故选：A．
【点评】本题考查平面向量数量积的运算，涉及基本不等式求最值，属中档题．
10．（5分）若定义在R上的函数f（x）满足f（0）=﹣1，其导函数f′（x）满足f′（x）＞k＞1，则下列结论中一定错误的是（）
A．B．C．D．
【分析】根据导数的概念得出＞k＞1，用x=代入可判断出f（）＞，即可判断答案．
【解答】解；∵f′（0）=
f′（x）＞k＞1，
∴＞k＞1，
即＞k＞1，
当x=时，f（）+1＞×k=，
即f（）﹣1=
故f（）＞，
所以f（）＜，一定出错，
另解：设g（x）=f（x）﹣kx+1，
g（0）=0，且g′（x）=f′（x）﹣k＞0，
g（x）在R上递增，
k＞1，对选项一一判断，可得C错．
故选：C．
【点评】本题考查了导数的概念，不等式的化简运算，属于中档题，理解了变量的代换问题．
二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分.
11．（4分）（x+2）5的展开式中，x2的系数等于80．（用数字作答）
【分析】先求出二项式展开式的通项公式，再令x的幂指数等于2，求得r的值，即可求得展开式中的x2项的系数．
【解答】解：（x+2）5的展开式的通项公式为T r
=?x5﹣r?2r，
+1
令5﹣r=2，求得r=3，可得展开式中x2项的系数为=80，
故答案为：80．
【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于基础题．
12．（4分）若锐角△ABC的面积为，且AB=5，AC=8，则BC等于7．【分析】利用三角形的面积公式求出A，再利用余弦定理求出BC．
【解答】解：因为锐角△ABC的面积为，且AB=5，AC=8，
所以，
所以sinA=，
所以A=60°，
所以cosA=，
所以BC==7．
故答案为：7．
【点评】本题考查三角形的面积公式，考查余弦定理的运用，比较基础．
13．（4分）如图，点A的坐标为（1，0），点C的坐标为（2，4），函数f（x）=x2，若在矩形ABCD 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等于．
【分析】分别求出矩形和阴影部分的面积，利用几何概型公式，解答．
【解答】解：由已知，矩形的面积为4×（2﹣1）=4，
阴影部分的面积为=（4x﹣）|=，
由几何概型公式可得此点取自阴影部分的概率等于；
故答案为：．
【点评】本题考查了定积分求曲边梯形的面积以及几何概型的运用；关键是求出阴影部分的面积，利用几何概型公式解答．
14．（4分）若函数f（x）=（a＞0且a≠1）的值域是[4，+∞），
则实数a的取值范围是（1，2] ．
【分析】当x≤2时，检验满足f（x）≥4．当x＞2时，分类讨论a的范围，依据函数的单调性，求得a的范围，综合可得结论．
【解答】解：由于函数f（x）=（a＞0且a≠1）的值域是[4，+
∞），
故当x≤2时，满足f（x）=6﹣x≥4．
①若a＞1，f（x）=3+log a x在它的定义域上单调递增，
当x＞2时，由f（x）=3+log a x≥4，∴log a x≥1，∴log a2≥1，∴1＜a≤2．
②若0＜a＜1，f（x）=3+log a x在它的定义域上单调递减，
f（x）=3+log a x＜3+log a2＜3，不满足f（x）的值域是[4，+∞）．
综上可得，1＜a≤2，
故答案为：（1，2]．
【点评】本题主要考查分段函数的应用，对数函数的单调性和特殊点，属于中档题．
15．（4分）一个二元码是由0和1组成的数字串，其中x k （k=1，2，…，n）称为第k位码元，二元码是通信中常用的码，但在通信过程中有时会发生码元错误（即码元由0变为1，或者由1变为0）
已知某种二元码x1x2…x7的码元满足如下校验方程组：
其中运算⊕定义为：0⊕0=0，0⊕1=1，1⊕0=1，1⊕1=0．
现已知一个这种二元码在通信过程中仅在第k位发生码元错误后变成了1101101，那么利用上述校验方程组可判定k等于5．
【分析】根据二元码x1x2…x7的码元满足的方程组，及“⊕”的运算规则，将k的值从1至7逐个验证即可．
【解答】解：依题意，二元码在通信过程中仅在第k位发生码元错误后变成了1101101，
①若k=1，则x1=0，x2=1，x3=0，x4=1，x5=1，x6=0，x7=1，
从而由校验方程组，得x4⊕x5⊕x6⊕x7=1，故k≠1；
②若k=2，则x1=1，x2=0，x3=0，x4=1，x5=1，x6=0，x7=1，
从而由校验方程组，得x2⊕x3⊕x6⊕x7=1，故k≠2；
③若k=3，则x1=1，x2=1，x3=1，x4=1，x5=1，x6=0，x7=1，
从而由校验方程组，得x2⊕x3⊕x6⊕x7=1，故k≠3；
④若k=4，则x1=1，x2=1，x3=0，x4=0，x5=1，x6=0，x7=1，
从而由校验方程组，得x1⊕x3⊕x5⊕x7=1，故k≠4；
⑤若k=5，则x1=1，x2=1，x3=0，x4=1，x5=0，x6=0，x7=1，
从而由校验方程组，得x4⊕x5⊕x6⊕x7=0，x2⊕x3⊕x6⊕x7=0，x1⊕x3⊕x5⊕x7=0，故k=5符合题意；
⑥若k=6，则x1=1，x2=1，x3=0，x4=1，x5=1，x6=1，x7=1，
从而由校验方程组，得x2⊕x3⊕x6⊕x7=1，故k≠6；
⑦若k=7，则x1=1，x2=1，x3=0，x4=1，x5=1，x6=0，x7=0，
从而由校验方程组，得x2⊕x3⊕x6⊕x7=1，故k≠7；
综上，k等于5．
故答案为：5．
【点评】本题属新定义题，关键是弄懂新定义的含义或规则，事实上，本题中的运算符号“⊕”可看作是两个数差的绝对值运算，知道了这一点，验证就不是难事了．
三、解答题
16．（13分）某银行规定，一张银行卡若在一天内出现3次密码尝试错误，该银行卡将被锁定，小王到银行取钱时，发现自己忘记了银行卡的密码，但是可以确定该银行卡的正确密码是他常用的6个密码之一，小王决定从中不重复地随机选择1个进行尝试．若密码正确，则结束尝试；否则继续尝试，直至该银行卡被锁定．
（1）求当天小王的该银行卡被锁定的概率；
（2）设当天小王用该银行卡尝试密码次数为X，求X的分布列和数学期望．【分析】（1）根据概率的公式即可求当天小王的该银行卡被锁定的概率；（2）随机变量X的取值为：1，2，3，分别求出对应的概率，即可求出分布列和期望．
【解答】解：（1）设“当天小王的该银行卡被锁定”的事件为A，
则P（A）=．
（2）有可能的取值是1，2，3
又则P（X=1）=，
P（X=2）==，
P（X=3）==，
所以X的分布列为：
X123
P
EX=1×+2×+3×=．
【点评】本小题主要考查分步计数原理、随机变量的分布列、数学期望等基础知识，考查运算求解能力、应用意识，考查必然与或然思想．
17．（13分）如图，在几何体ABCDE中，四边形ABCD是矩形，AB⊥平面BEC，BE⊥EC，AB=BE=EC=2，G，F分别是线段BE，DC的中点．
（1）求证：GF∥平面ADE；
（2）求平面AEF与平面BEC所成锐二面角的余弦值．
【分析】解法一：（1）取AE的中点H，连接HG，HD，通过证明四边形HGFD是平行四边形来证明GF∥DH，由线面平行的判定定理可得；
（2）以B为原点，分别以的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系，可得平面BEC和平面AEF的法向量，由向量夹角的余弦值可得．解法二：（1）如图，取AB中点M，连接MG，MF，通过证明平面GMF∥平面ADE来证明GF∥平面ADE；（2）同解法一．
【解答】解法一：（1）如图，取AE的中点H，连接HG，HD，
∵G是BE的中点，∴GH∥AB，且GH=AB，
又∵F是CD中点，四边形ABCD是矩形，
∴DF∥AB，且DF=AB，即GH∥DF，且GH=DF，
∴四边形HGFD是平行四边形，∴GF∥DH，
又∵DH?平面ADE，GF?平面ADE，∴GF∥平面ADE．
（2）如图，在平面BEG内，过点B作BQ∥CE，
∵BE⊥EC，∴BQ⊥BE，
又∵AB⊥平面BEC，∴AB⊥BE，AB⊥BQ，
以B为原点，分别以的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系，
则A（0，0，2），B（0，0，0），E（2，0，0），F（2，2，1）
∵AB⊥平面BEC，∴为平面BEC的法向量，
设=（x，y，z）为平面AEF的法向量．又=（2，0，﹣2），=（2，2，﹣1）
由垂直关系可得，取z=2可得．∴cos＜，＞==
∴平面AEF与平面BEC所成锐二面角的余弦值为．
解法二：（1）如图，取AB中点M，连接MG，MF，
又G是BE的中点，可知GM∥AE，且GM=AE
又AE?平面ADE，GM?平面ADE，
∴GM∥平面ADE．
在矩形ABCD中，由M，F分别是AB，CD的中点可得MF∥AD．又AD?平面ADE，MF?平面ADE，∴MF∥平面ADE．
又∵GM∩MF=M，GM?平面GMF，MF?平面GMF
∴平面GMF∥平面ADE，
∵GF?平面GMF，∴GF∥平面ADE
（2）同解法一．
【点评】本题考查空间线面位置关系，考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力，建系求二面角是解决问题的关键，属难题．
18．（13分）已知椭圆E：+=1（a＞b＞0）过点，且离心率e为．（1）求椭圆E的方程；
（2）设直线x=my﹣1（m∈R）交椭圆E于A，B两点，判断点G与以线段AB为直径的圆的位置关系，并说明理由．
【分析】解法一：（1）由已知得，解得即可得出椭圆E的方程．
（2）设点A（x1，y1），B（x2，y2），AB中点为H（x0，y0）．直线方程与椭圆方程联立化为（m2+2）y2﹣2my﹣3=0，利用根与系数的关系中点坐标公式可得：
y0=．|GH|2=．=，作差|GH|2﹣即可判断出．
解法二：（1）同解法一．
（2）设点A（x1，y1），B（x2，y2），则=，=．直线方程与椭圆方程联立化为（m2+2）y2﹣2my﹣3=0，计算=即可得出∠AGB，进而判断出位置关系．
【解答】解法一：（1）由已知得，解得，
∴椭圆E的方程为．
（2）设点A（x1y1），B（x2，y2），AB中点为H（x0，y0）．
由，化为（m2+2）y2﹣2my﹣3=0，
∴y1+y2=，y1y2=，∴y0=．
G，
∴|GH|2==+=++．
===，
故|GH|2﹣=+=﹣+=＞0．
∴，故G在以AB为直径的圆外．
解法二：（1）同解法一．
（2）设点A（x1y1），B（x2，y2），则=，=．