高考数学(文)二轮复习题型练8大题专项函数与导数综合问题检测
题型练8 大题专项(六)函数与导数综合问题
1.(全国Ⅰ,文21)已知函数f(x)=e x(e x-a)-a2x.
(1)讨论f(x)的单调性;
(2)若f(x)≥0,求a的取值范围.
2.设f(x)=x ln x-ax2+(2a-1)x,a∈R.
(1)令g(x)=f'(x),求g(x)的单调区间;
(2)已知f(x)在x=1处取得极大值.求实数a的取值范围.
3.已知函数f(x)=x3+ax2+b(a,b∈R).
(1)试讨论f(x)的单调性;
(2)若b=c-a(实数c是与a无关的常数),当函数f(x)有三个不同的零点时,a的取值范围恰好是(-∞,-3)∪,求c的值.
4.已知函数f(x)=-2x ln x+x2-2ax+a2,其中a>0.
(1)设g(x)是f(x)的导函数,讨论g(x)的单调性;
(2)证明:存在a∈(0,1),使得f(x)≥0恒成立,且f(x)=0在区间(1,+∞)内有唯一解.
5.已知函数f(x)=x2-ax,g(x)=ln x,h(x)=f(x)+g(x)(a∈R).
(1)若不等式f(x)≥g(x)恒成立,求实数a的取值范围.
(2)若函数h(x)有两个极值点x1,x2.
①求实数a的取值范围;
②当x1∈时,求证:h(x1)-h(x2)>-ln 2.
6.设函数f(x)=,g(x)=-x+(a+b)(其中e为自然对数的底数,a,b∈R,且a≠0),曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y=a e(x-1).
(1)求b的值;
(2)若对任意x∈,f(x)与g(x)有且只有两个交点,求a的取值范围.
题型练8大题专项(六)
函数与导数综合问题
1.解 (1)函数f(x)的定义域为(-∞,+∞),f'(x)=2e2x-a e x-a2=(2e x+a)(e x-a).
①若a=0,则f(x)=e2x,在区间(-∞,+∞)单调递增.
②若a>0,则由f'(x)=0得x=ln a.
当x∈(-∞,ln a)时,f'(x)<0;当x∈(ln a,+∞)时,f'(x)>0.故f(x)在区间(-∞,ln a)单调递减,在区间(ln a,+∞)单调递增.
③若a<0,则由f'(x)=0得x=ln.
当x∈时,f'(x)<0;
当x∈时,f'(x)>0.
故f(x)在区间单调递减,在区间单调递增.
(2)①若a=0,则f(x)=e2x,所以f(x)≥0.
②若a>0,则由(1)得,当x=ln a时,f(x)取得最小值,最小值为f(ln a)=-a2ln a.
从而当且仅当-a2ln a≥0,即a≤1时,f(x)≥0.
③若a<0,则由(1)得,当x=ln时,f(x)取得最小值,最小值为f=a2.
从而当且仅当a2≥0,
即a≥-2时f(x)≥0.
综上,a的取值范围是[-2,1].
2.解 (1)由f'(x)=ln x-2ax+2a,
可得g(x)=ln x-2ax+2a,x∈(0,+∞).
则g'(x)=-2a=,
当a≤0时,x∈(0,+∞)时,g'(x)>0,函数g(x)单调递增;
当a>0时,x∈时,g'(x)>0,函数g(x)单调递增,x∈时,函数g(x)单调递减.
所以当a≤0时,g(x)的单调增区间为(0,+∞);
当a>0时,g(x)单调增区间为,单调减区间为.
(2)由(1)知,f'(1)=0.
①当a≤0时,f'(x)单调递增,所以当x∈(0,1)时,f'(x)<0,f(x)单调递减.
当x∈(1,+∞)时,f'(x)>0,f(x)单调递增.
所以f(x)在x=1处取得极小值,不合题意.
②当0
可得当x∈(0,1)时,f'(x)<0,x∈时,f'(x)>0.
所以f(x)在区间(0,1)内单调递减,在区间内单调递增,所以f(x)在x=1处取得极小值,不合题意.
③当a=时,=1,f'(x)在区间(0,1)内单调递增,在区间(1,+∞)内单调递减,
所以当x∈(0,+∞)时,f'(x)≤0,f(x)单调递减,不合题意.
④当a>时,0<<1,当x∈时,f'(x)>0,f(x)单调递增,
当x∈(1,+∞)时,f'(x)<0,f(x)单调递减,
所以f(x)在x=1处取极大值,合题意.
综上可知,实数a的取值范围为a>.
3.解 (1)f'(x)=3x2+2ax,
令f'(x)=0,解得x1=0,x2=-.
当a=0时,因为f'(x)=3x2>0(x≠0),
所以函数f(x)在区间(-∞,+∞)内单调递增;
当a>0时,x∈∪(0,+∞)时,f'(x)>0,x∈时,f'(x)<0,
所以函数f(x)在区间,(0,+∞)内单调递增,在区间上单调递减;
当a<0时,x∈(-∞,0)∪时,f'(x)>0,x∈时,f'(x)<0,
所以函数f(x)在区间(-∞,0),内单调递增,在区间内单调递减.
(2)由(1)知,函数f(x)的两个极值为f(0)=b,fa3+b,
则函数f(x)有三个零点等价于f(0)·f=b<0,从而
又b=c-a,所以当a>0时,a3-a+c>0或当a<0时,a3-a+c<0.
设g(a)=a3-a+c,因为函数f(x)有三个零点时,a的取值范围恰好是(-∞,-3)∪,
则在(-∞,-3)内g(a)<0,且在内g(a)>0均恒成立,从而g(-3)=c-1≤0,且g=c-1≥0,因此c=1.
此时,f(x)=x3+ax2+1-a=(x+1)[x2+(a-1)x+1-a],
因函数有三个零点,则x2+(a-1)x+1-a=0有两个异于-1的不等实根,所以Δ=(a-1)2-4(1-a)=a2+2a-3>0,且(-1)2-(a-1)+1-a≠0,
解得a∈(-∞,-3)∪.
综上c=1.
4.(1)解由已知,函数f(x)的定义域为(0,+∞),
g(x)=f'(x)=2(x-1-ln x-a),
所以g'(x)=2-.
当x∈(0,1)时,g'(x)<0,g(x)单调递减;
当x∈(1,+∞)时,g'(x)>0,g(x)单调递增.
(2)证明由f'(x)=2(x-1-ln x-a)=0,解得a=x-1-ln x.
令φ(x)=-2x ln x+x2-2x(x-1-ln x)+(x-1-ln x)2=(1+ln x)2-2x ln x,
则φ(1)=1>0,φ(e)=2(2-e)<0.
于是,存在x0∈(1,e),使得φ(x0)=0.
令a0=x0-1-ln x0=u(x0),其中u(x)=x-1-ln x(x≥1).由u'(x)=1-≥0知,函数u(x)在区间(1,+∞)内单调递增.
故0=u(1) 即a0∈(0,1). 当a=a0时,有f'(x0)=0,f(x0)=φ(x0)=0. 再由(1)知,f'(x)在区间(1,+∞)内单调递增, 当x∈(1,x0)时,f'(x)<0,从而f(x)>f(x0)=0; 当x∈(x0,+∞)时,f'(x)>0,从而f(x)>f(x0)=0; 又当x∈(0,1]时,f(x)=(x-a0)2-2x ln x>0. 故x∈(0,+∞)时,f(x)≥0. 综上所述,存在a∈(0,1),使得f(x)≥0恒成立,且f(x)=0在区间(1,+∞)内有唯一解. 5.解 (1)由f(x)≥g(x),得a≤x-(x>0), 令φ(x)=x-(x>0),得φ'(x)=. ∴当0 从而φ'(x)<0,∴φ(x)在区间(0,1)内是减函数. 当x>1时,x2-1>0,ln x>0,从而φ'(x)>0, ∴φ(x)在区间(1,+∞)内是增函数, ∴φ(x)min=φ(1)=1, ∴a≤1, 即实数a的取值范围是(-∞,1]. (2)①(方法一)∵h(x)=x2-ax+ln x(x>0), ∴h'(x)=2x+-a, ∴h'(x)≥2-a, 当a≤2时,h'(x)≥0,函数h(x)在区间(0,+∞)内单调递增,函数h(x)无极值点, 当a>2时,h'(x)=, 当x∈时,h'(x)>0; 当x∈时,h'(x)<0; 当x∈时,h'(x)>0. 故函数h(x)在区间内单调递增,在区间内单调递减,在区间内单调递增. 函数h(x)有两个极值点x1=,x2=, 综上所述,实数a的取值范围是(2,+∞). (方法二)∵h(x)=x2-ax+ln x(x>0), ∴h'(x)=2x+-a=问题等价于方程2x2-ax+1=0有两相异正根x1,x2, ∴解得a>2,故实数a的取值范围是(2,+∞). ②证明:由①知,x1,x2即方程2x2-ax+1=0的两个根,x1x2=, ∴h(x1)-h(x2)=-a(x1-x2)+ln x1-ln x2. 又2+1=ax1,2+1=ax2, ∴h(x1)-h(x2)=+2ln x1+ln 2. 令k(x)=-x2+2ln x+ln 2,x∈, 得k'(x)=-<0, ∴k(x)在为减函数, ∴k(x)>k-ln 2. ∴h(x1)-h(x2)>-ln 2. 6.解 (1)由f(x)=,得f'(x)=, 由题意得f'(1)=ab=a e.∵a≠0,∴b=e. (2)令h(x)=x(f(x)-g(x))=x2-(a+e)x+a eln x,则任意x∈,f(x)与g(x)有且只有两个交点,等价于函数h(x)在区间有且只有两个零点. 由h(x)=x2-(a+e)x+a eln x,得h'(x)=, ①当a≤时,由h'(x)>0得x>e; 由h'(x)<0得 此时h(x)在区间内单调递减,在区间(e,+∞)内单调递增. ∵h(e)=e2-(a+e)e+a eln e=-e2<0, ∵h(e2)=e4-(a+e)e2+2a e=e(e-2)(e2-2a)≥e(e-2)>0(或当x→+∞时,h(x)>0亦可),∴要使得h(x)在区间内有且只有两个零点, 则只需h+a eln≥0,即a≤. ②当 此时h(x)在区间(a,e)内单调递减,在区间和(e,+∞)内单调递增. 此时h(a)=-a2-a e-a eln a<-a2-a e+a eln e=-a2<0, ∴此时h(x)在区间内至多只有一个零点,不合题意. ③当a>e时,由h'(x)>0得 此时h(x)在区间和(a,+∞)内单调递增,在区间(e,a)上单调递减,且h(e)=-e2<0, ∴h(x)在区间内至多只有一个零点,不合题意. 综上所述,a的取值范围为.