高中数学必修5正余弦定理教案
●教学目标
(一)知识目标
1.三角形的有关性质;
2.正、余弦定理综合运用.
(二)能力目标
1.熟练掌握正、余弦定理应用;
2.进一步熟悉三角函数公式和三角形中的有关性质;
3.综合运用正、余弦定理、三角函数公式及三角形有关性质求解三角形问题.
(三)德育目标
通过正、余弦定理在解三角形问题时沟通了三角函数与三角形有关性质的功能,反映了事物之间的内在联系及一定条件下的相互转化.
●教学重点
正、余弦定理的综合运用.
●教学难点
1.正、余弦定理与三角形性质的结合;
2.三角函数公式变形与正、余弦定理的联系.
●教学方法
启发式
1.启发学生在求解三角形问题时,注意三角形性质、三角公式变形与正弦、余弦定理产生联系,从而综合运用正弦、余弦定理达到求解目的;
2.在题设条件不是三角形基本元素时,启发学生利用正、余弦建立方程,通过解方程组达到解三角形目的.
●教具准备
投影仪、幻灯片
第二张:例题1、2(记作§5.9.4 B)
Ⅰ.复习回顾
师:上一节课,我们一起研究了正、余弦定理的边角转换功能在证明三角恒等式及判断三角形形状时的应用,这一节,我们将综合正、余弦定理、三角函数公式及三角形有关性质来求解三角形问题.首先,我们一起回顾正、余弦定理的内容(给出投影片§5.9.4 A).
Ⅱ.讲授新课
师:下面,我们通过屏幕看例题.(给出投影片§5.9.4 B)
[例1]分析:由于题设条件中给出了三角形的两角之间的关系,故需利用正弦定理建立边角关系.其中sin2α利用正弦二倍角展开后出现了cos α,可继续利用余弦定理建立关于边长的方程,从而达到求边长的目的.
解:设三角形的三边长分别为x,x+1,x+2,其中x∈N*,又设最小角为α,则 α
αααcos sin 222sin 2sin ?+=+=x x x x
x 22cos +=∴α① 又由余弦定理可得x2=(x+1)2+(x+2)2-2(x+1)(x+2)cos α② 将①代入②整理得:
x2-3x-4=0
解之得x1=4,x2=-1(舍)
所以此三角形三边长为4,5,6.
评述: (1)此题所求为边长,故需利用正、余弦定理向边转化,从而建立关于边长的方程;
(2)在求解过程中,用到了正弦二倍角公式,由此,要向学生强调三角公式的工具性作用,以引起学生对三角公式的重视.
[例2]分析:由于题设条件中已知两边长,故而联想面积公式S△ABC =
2
1AB ·AC ·sin A ,需求出sin A ,而△ABC 面积可以转化为S△ADC +S△ADB ,而S△ADC =21AC ·AD sin 2
A ,S△AD
B =21AB ·AD ·sin 2A ,因此通过S△AB
C =S△ADC +S△ADB 建立关于含有sin A ,sin 2A 的方程,而
sin A =2sin 2A cos 2A ,sin 22A +cos 22
A =1,故sin A 可求,从而三角形面积可求. 解:在△ABC 中,S△ABC =S△AD
B +S△AD
C , ∴21AB ·AC sin A =
21·AC ·AD sin 2A +21·AB ·AD sin 2
A ∴21·4·3sin A =21·3·2sin 2
A ∴6sin A =7sin 2
A ∴12sin 2A cos 2A =7sin 2
A ∵sin 2A ≠0 ∴cos 2A =12
7 又0<A <π ∴0<2A <2π ∴sin 2A =12
952cos 12=-A , ∴sin A =2sin
2A cos 2A =72957, ∴S△ABC =21·4·3sin A =12
957(c m2). 评述:面积等式的建立是求sin A 的突破口,而sin A 的求解则离不开对三角公式的熟悉.由此启发学生在重视三角形性质运用的同时,要熟练应用三角函数的公式.另外,在应用同角的平方关系sin 2α+
cos 2α=1时,应对角所在范围讨论后再进行正负的取舍.
(给出幻灯片§5.9.4 C )
[例3]分析:此题所给的题设条件除一个角外,面积、周长都不是构成三角形的基本元素,但是都与三角形的边长有关系,故可以设出边长,利用所给条件建立方程,这样由于边长为三个未知数,所以需寻求三个方程,其一可利用余弦定理由三边表示已知60°角的余弦,其二可用面积公式S△ABC =2
1ab sin C 表示面积,其三是周长条件应用. 解:设三角形的三边长分别为a 、b 、c ,B =60°,则依题意得
????
?????=++=??-+=?2031060sin 2
1260cos 2
22c b a ac ac b c a
??
???=-+==++∴4020222ac ac c a b c b a
由①式得:b 2=[20-(a +c )]2=400+a 2+c 2+2ac -40(a +c ) ④
将②代入④得400+3ac -40(a +c )=0
再将③代入得a +c =13
由???==???==???==+5
88540132211c a c a ac c a 或解得 ∴b 1=7,b 2=7
所以,此三角形三边长分别为5c m,7c m,8c m.
评述: (1)在方程建立的过程中,应注意由余弦定理可以建立方程,也要注意含有正弦形式的面积公式的应用.
(2)由条件得到的是一个三元二次方程组,要注意要求学生体会其求解的方法和思路,以提高自己的解方程及运算能力.
[例4]分析:此题所给题设条件只有边长,应考虑在假设BC 为
x后,建立关于x的方程.而正弦定理涉及到两个角,故不可用.此时应
注意余弦定理在建立方程时所发挥的作用.因为D 为BC 中点,所以BD 、
DC 可表示为
2x ,然用利用互补角的余弦互为相反数这一性质建立方程.
解:设BC 边为x,则由D 为BC 中点,可得BD =DC =
2x , 在△ADB 中,cos ADB =,2
425)2(422
22222x x BD AD AB BD AD ??-+=??-+ 在△ADC 中,cos ADC =.2
423)2(42222222x x DC AD AC DC AD ??-+=??-+ 又∠ADB +∠ADC =180°
∴cos ADB =cos (180°-∠ADC )=-cos ADC . ∴2
423)2(42425)2(42
22222x x x x ??-+-=??-+ 解得,x=2
所以,BC 边长为2.
评述:此题要启发学生注意余弦定理建立方程的功能,体会互补角的余弦值互为相反数这一性质的应用,并注意总结这一性质的适用题型.
另外,对于本节的例2,也可考虑上述性质的应用来求解sin A ,思路如下:
① ② ③
由三角形内角平分线性质可得3
5==DC BD AC AB ,设BD =5k,DC =3k,则由互补角∠ADC 、∠ADB 的余弦值互为相反数建立方程,求出BC 后,再结合余弦定理求出cos A ,再由同角平方关系求出sin A .
师:为巩固本节所学的解题方法,下面我们进行课堂练习.
Ⅲ.课堂练习
1.半径为1的圆内接三角形的面积为0.25,求此三角形三边
长的乘积.
解:设△ABC 三边为a ,b ,c .则S△ABC =B ac sin 2
1 ∴b
B abc B ac abc S AB
C 2sin 2sin ==? 又R B
b 2sin =,其中R 为三角形外接圆半径 ∴
R abc S ABC 41=? ∴abc =4RS △ABC =4×1×0.25=1
所以三角形三边长的乘积为1.
评述:由于题设条件有三角形外接圆半径,故联想正弦定理:R C c B b A a 2s i n
s i n s i n ===,其中R 为三角形外接圆半径,与含有正弦的三角形面积公式S△ABC =B ac sin 2
1发生联系,对abc 进行整体求解.
2.在△ABC 中,已知角B =45°,D 是BC 边上一点,AD =5,
AC =7,DC =3,求AB .
解:在△ADC 中,
cos C =,14
113725372222222=??-+=??-+DC AC AD DC AC 又0<C <180°,∴sin C =14
35 在△ABC 中,C
AB B AC sin sin = ∴AB =.2
65721435sin sin =??=AC B C 评述:此题在求解过程中,先用余弦定理求角,再用正弦定理求边,要求学生注意正、余弦定理的综合运用.
3.在△ABC 中,已知cos A =53,sin B =13
5,求cos C 的值.
解:∵cos A =53<2
2=cos45°,0<A <π ∴45°<A <90°
∴sin A =
5
4 ∵sin B =135<21=sin30°,0<B <π ∴0°<B <30°或150°<B <180°
若B >150°,则B +A >180°与题意不符.
∴0°<B <30° cos B =13
12 ∴cos (A +B )=cos A ·cos B -sin A ·sin B =65
1613554131253=?-? 又C =180°-(A +B ). ∴cos C =cos [180°-(A +B )]=-cos (A +B )=-
6516. 评述:此题要求学生在利用同角的正、余弦平方关系时,应根据已知的三角函数值具体确定角的范围,以便对正负进行取舍,在确定角的范围时,通常是与已知角接近的特殊角的三角函数值进行比较.
Ⅳ.课时小结
师:通过本节学习,我们进一步熟悉了三角函数公式及三角形的有关性质,综合运用了正、余弦定理求解三角形的有关问题,要求大家注意常见解题方法与解题技巧的总结,不断提高三角形问题的求解能力.
Ⅴ.课后作业
(一)书面作业
1.课本P132习题5.9 5.
2.在三角形中,三边长为连续自然数,且最大角是钝角,那么这个三角形的三边长分别为 .
答案:2,3,4
3.已知方程a (1-x2)+2b x+c (1+x2)=0没有实数根,如果a 、b 、c 是△ABC 的三条边的长,求证△ABC 是钝角三角形.
(二)1.预习内容
课本P132~P133解斜三角形应用举例.
2.预习提纲
(1)解斜三角形在实际中有哪些应用?
(2)实际中的解斜三角形问题如何转化为纯数学问题?
1.正、余弦定理的综合运用
余弦定理是解斜三角形中用到的主要定理,若将正弦定理代入得:sin 2A =sin 2B +sin 2C -2sin B sin C cos A .
这是只含有三角形三个角的一种关系式,利用这一定理解题,简捷明快,下面举例说明之.
[例1]在△ABC 中,已知sin 2B -sin 2C -sin 2A =3sin A sin C ,求B 的度数. 解:由定理得sin 2B =sin 2A +sin 2C -2sin A sin C cos B ,
∴-2sin A sin C cos B =3sin A sin C
∵sin A sin C ≠0
∴cos Β=-2
3 ∴B =150°
[例2]求sin 210°+cos 240°+sin10°cos40°的值.
解:原式=sin 210°+sin 250°+sin10°sin50° 在sin 2A =sin 2B +sin 2C -2sin B sin C cos A 中,令B =10°,C =50°,则A =120°. sin 2120°=sin 210°+sin 250°-2sin10°sin50°cos120°
=sin 210°+sin 250°+sin10°sin50°=(2
3)2=43. [例3]在△ABC 中,已知2cos B sin C =sin A ,试判定△ABC 的形状.
解:在原等式两边同乘以sin A 得:2cos B sin A sin C =sin 2A ,由定理得sin 2A +sin 2C -sin 2Β
=sin 2A ,
∴sin 2C =sin 2B
∴B =C
故△ABC 是等腰三角形.
2.一题多证
[例4]在△ABC 中已知a =2b cos C ,求证:△ABC 为等腰三角形.
证法一:欲证△ABC 为等腰三角形.可证明其中有两角相等,因而在已知条件中化去边元素,使只剩含角的三角函数.由正弦定理得a =
B A b sin sin ∴2b cos
C =B
A b sin sin ,即2cos C ·sin
B =sin A =sin (B +
C )=sin B cos C +cos B sin C . ∴sin B cos C -cos B sin C =0
即sin (B -C )=0,
∴B -C =nπ(n∈Z).
∵B 、C 是三角形的内角,
∴B =C ,即三角形为等腰三角形.
证法二:根据射影定理,有a =b cos C +c c os B ,
又∵a =2b cos C
∴2b cos C =b cos C +c cos B
∴b cos C =c cos B ,即
.cos cos C B c b = 又∵.sin sin C
B c b = ∴,cos cos sin sin C
B C B =即tan B =tan C ∵B 、C 在△ABC 中,
∴B =C
∴△ABC 为等腰三角形.
证法三:∵cos C =,2cos 2222b a C ba c b a =-+及∴,22222b
a a
b
c b a =-+化简后得b 2=c 2.
∴b =c
∴△ABC 是等腰三角形.
§1.1.2 正弦定理 一、知识与技能 1会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题 2通过三角函数、正弦定理等多处知识间联系来体现事物之间的普遍联系与辩证统一. 3.在问题解决中,培养学生的自主学习和自主探索能力. 二、过程与方法 让学生从已有的几何知识出发,共同探究在任意三角形中,边与其对角的关系,引导学生通过观察,推导,比较,由特殊到一般归纳出正弦定理,并进行定理基本应用的实践操作。 三、教学重点与难点: 重点:正弦定理的探索及其基本应用。 难点:已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数。 【授课类型】:习题拔高课 四、教学过程 一、知识回顾 1正弦定理的内容是什么? 二、例题讲解 例 1试推导在三角形中 A a s i n =B b sin =C c sin =2R 其中R 是外接圆半径. 证明 如图所示,∠A =∠D ∴R CD D a A a 2sin sin === 同理B b sin R 2=,C c sin R 2= ∴ A a sin = B b sin =C c sin =2R a b c O B C A D
例2 在C A a c B b ABC ,,1,60,30和求中,===? 解:∵213 60sin 1sin sin ,sin sin 0=?==∴=b B c C C c B b ,C B C B c b ,,60,0<∴=> 为锐角, 0090,30==∴B C ∴222=+=c b a 例3 C B b a A c ABC ,,2,45,60和求中,===? 解2 3245sin 6sin sin ,sin sin 0=?==∴=a A c C C c A a 0012060,sin 或=∴< 解三角形 模块一:正余弦定理 在△ABC 中的三个内角A ,B ,C 的对边,分别用a ,b ,c 表示. 1.正弦定理:在三角形中,各边的长和它所对的角的正弦的比相等,即a sin A =b sin B =c sin C =2R . ① a =2R sin A ,b =2R sin B ,c =2R sin C ; ② sin A =a 2R ,sin B =b 2R ,sin C =c 2R ; ③ a:b:c =sin A :sin B :sin C . ④ 面积公式:S =1 2 ab sin C =1 2 bc sin A =1 2 ac sin B . 2.正弦定理用于两类解三角形的问题: ① 已知三角形的任意两个角与一边,求其它两边和另一角; ② 已知三角形的两边与其中一边的对角,计算另一边的对角,进而计算出其它的边与角. 3.余弦定理:三角形任何一边的平方等于其它两边的平方和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍,即:{c 2=a 2+b 2?2ab cos C ,b 2=a 2+c 2?2ac cos B ,a 2=b 2+c 2?2bc cos A. 变形式为:{ cos C =a 2+b 2?c 2 2ab , cos B =a 2+c 2?b 2 2ac ,cos A =b 2+c 2?a 22bc . 4.余弦定理及其变形常用来解决这样两类解三角形的问题: ① 已知两边和任意一个内角解三角形; ② 已知三角形的三边解三角形. 考点1:正弦定理 例1.(1)在ABC ?中,角A ,B ,C 所对应的边分别为a ,b ,c .若4 A π=,3 B π = ,a =, 则(b = ) A .1 B C .2 D .【解答】解:因为4 A π = ,3 B π = ,a =, 所以,由正弦定理 sin sin a b A B = ,可得:sin sin a B b A ===g (第1课时) 课题 §2.1数列的概念与简单表示法 ●教学目标 知识与技能:理解数列及其有关概念,了解数列和函数之间的关系;了解数列的通项公式,并会用通项公式写出数列的任意一项;对于比较简单的数列,会根据其前几项写出它的个通项公式。 过程与方法:通过对一列数的观察、归纳,写出符合条件的一个通项公式,培养学生的观察能力和抽象概括能力. 情感态度与价值观:通过本节课的学习,体会数学来源于生活,提高数学学习的兴趣。 ●教学重点 数列及其有关概念,通项公式及其应用 ●教学难点 根据一些数列的前几项抽象、归纳数列的通项公式 ●教学过程 Ⅰ.课题导入 三角形数:1,3,6,10,… 正方形数:1,4,9,16,25,… Ⅱ.讲授新课 ⒈ 数列的定义:按一定次序排列的一列数叫做数列. 注意:⑴数列的数是按一定次序排列的,因此,如果组成两个数列的数相同而排列次序不同,那么它们就是不同的数列; ⑵定义中并没有规定数列中的数必须不同,因此,同一个数在数列中可以重复出现. ⒉ 数列的项:数列中的每一个数都叫做这个数列的项. 各项依次叫做这个数列的第1项(或首项),第2项,…,第n 项,…. 例如,上述例子均是数列,其中①中,“4”是这个数列的第1项(或首项),“9”是这个数列中的第6项. ⒊数列的一般形式: ,,,,,321n a a a a ,或简记为{}n a ,其中n a 是数列的第n 项 结合上述例子,帮助学生理解数列及项的定义. ②中,这是一个数列,它的首项是“1”,“ 3 1 ”是这个数列的第“3”项,等等 下面我们再来看这些数列的每一项与这一项的序号是否有一定的对应关系?这一关系可否用一个公式表示?(引导学生进一步理解数列与项的定义,从而发现数列的通项公式)对于上面的数列②,第一项与这一项的序号有这样的对应关系: 项 1 51 413121 ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ 序号 1 2 3 4 5 这个数的第一项与这一项的序号可用一个公式:n a n 1 = 来表示其对应关系 即:只要依次用1,2,3…代替公式中的n ,就可以求出该数列相应的各项 结合上述其他例子,练习找其对应关系 课题:§1.1 正弦定理(二) 总第____课时 班级_______________ 姓名_______________ 【学习目标】 掌握正弦定理的内容及其等价形式;会运用正弦定理、内角和定理与三角形的面积公式解决一些与测量和几何计算与证明有关的实际问题. 【重点难点】 学习重点:正弦定理的等价形式及其基本应用. 学习难点:已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数. 【学习过程】 一、自主学习与交流反馈: 问题1:对于任意的三角形若已知两边及夹角怎样求三角形的面积? 问题2:正弦定理还有哪些等价的变形形式? 二、知识建构与应用: 例1 在ΔABC 中,已知 C c B b A a cos cos cos ==,试判断ΔABC 的形状. 例2 在ΔABC 中,AD 是∠BAC 的平分线,如图,用正弦定理证明: DC BD AC AB =. 例 3 某登山队在山脚处测得山顶的仰角为,沿倾斜角为的斜坡前进A B 35?20?1000180?-βαβαD C B A 米后到达处,又测得山顶的仰角为,求山的高度. 例4 判断下列三角形解的情况: (1)已知; (2)已知; (3)已知. 四、巩固练习 D 65?060,12,11 ===B c b 0 110,3,7===A b a 045,9,6===B c b 1.在ΔABC 中,已知,150,3,2o ===C b a 则=?ABC S . 2.在中,_________,sin 23==B A b a 则. 3.在中,若,60,3?==A a 那么的外接圆的周长为____ ____. 4.在中,若,则 . 5. 在中, ______,cos cos 的形状为则ABC B C b c ?=. ABC ?ABC ?ABC ?ABC ?3,600==a A _______sin sin sin =++++C B A c b a ABC ? 必修五第一讲 正弦定理 知识梳理 1.正弦定理:在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等,即a sin A =b sin B =c sin C . 2.解三角形:一般地,把三角形的三个角A 、B 、C 和它们的对边a 、b 、c 叫做三角形的元素,已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形. 题型分析 [例1] 在△ABC 中,已知a [解] A =180°-(B +C )=180°-(60°+75°)=45°.由 b sin B =a sin A 得,b =a sin B sin A =8×sin 60°sin 45°=46,由a sin A = c sin C 得, c =a sin C sin A =8×sin 75°sin 45°=8×2+642 2=4(3+1).∴A =45°,b =46,c =4(3+1). [变式训练]在△ABC 中,已知c =10,A =45°,C =30°,解这个三角形. 解:∵A =45°,C =30°,∴B =180°-(A +C )=105°.由 a sin A =c sin C 得a =c sin A sin C =10×sin 45°sin 30°=10 2. 由 b sin B = c sin C 得b =c sin B sin C =10×sin 105°sin 30°=20sin 75°,∵sin 75°=sin (30°+45°)=sin 30°cos 45°+cos 30°sin 45° =2+64,∴b =20×2+64 =52+5 6. [例2] 在△ABC [解] ∵a sin A =c sin C ,∴sin C =c sin A a =6×sin 45°2=32,∴C =60°或C =120°. 当C =60°时,B =75°,b =c sin B sin C =6sin 75°sin 60°=3+1; 当C =120°时,B =15°,b = c sin B sin C =6sin 15°sin 120°=3-1. ∴b =3+1,B =75°,C =60°或b =3-1,B =15°,C =120°. [变式训练]在△ABC 中,若c =6,C =π3 ,a =2,求A ,B ,b . 解:由a sin A =c sin C ,得sin A =a sin C c =22.∴A =π4或A =34π.又∵c >a ,∴C >A ,∴只能取A =π4 , ∴B =π-π3-π4=5π12,b =c sin B sin C =6·sin 5π12sin π3=3+1. 数列 1.1数列的概念 预习课本P3~6,思考并完成以下问题 (1)什么是数列?数列的项指什么? (2)数列的一般表示形式是什么? (3)按项数的多少,数列可分为哪两类? (4)数列的通项公式是什么?数列的通项公式与函数解析式有什么关系? [新知初探] 1.数列的概念 (1)定义:按一定次序排列的一列数叫作数列. (2)项:数列中的每一个数叫作这个数列的项. (3)数列的表示:数列的一般形式可以写成a1,a2,a3,…,a n…,简记为数列{a n}.数列的第1项a1,也称首项;a n是数列的第n项,也叫数列的通项. [点睛] (1)数列的定义中要把握两个关键词:“一定次序”与“一列数”.也就是说构成数列的元素是“数”,并且这些数是按照“一定次序”排列的,即确定的数在确定的位置. (2)项a n与序号n是不同的,数列的项是这个数列中的一个确定的数,而序号是指项在数列中的位次. (3){a n}与a n是不同概念:{a n}表示数列a1,a2,a3,…,a n,…;而a n表示数列{a n}中的第n 项. 2.数列的分类 项数有限的数列叫作有穷数列,项数无限的数列叫作无穷数列. 3.数列的通项公式 如果数列{a n }的第n 项a n 与n 之间的函数关系可以用一个式子表示成a n =f (n ),那么这个式子叫作数列{a n }的通项公式. [点睛] (1)数列的通项公式实际上是一个以正整数集N +或它的有限子集{1,2,3,…,n }为定义域的函数解析式. (2)同所有的函数关系不一定都有解析式一样,并不是所有的数列都有通项公式. 4.数列的表示方法 数列的表示方法一般有三种:列表法、图像法、解析法. [小试身手] 1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)同一数列的任意两项均不可能相同.( ) (2)数列-1,0,1与数列1,0,-1是同一个数列.( ) (3)数列中的每一项都与它的序号有关.( ) 答案:(1)× (2)× (3)√ 2.已知数列{a n }的通项公式为a n =1-(-1)n +1 2,则该数列的前4项依次为( ) A .1,0,1,0 B .0,1,0,1 C.12,0,1 2 ,0 D .2,0,2,0 解析:选B 把n =1,2,3,4分别代入a n =1-(-1)n + 12中,依次得到0,1,0,1. 3.已知数列{a n }中,a n =2n +1,那么a 2n =( ) A .2n +1 B .4n -1 C .4n +1 D .4n 解析:选C ∵a n =2n +1,∴a 2n =2(2n )+1=4n +1. 4.数列1,3,6,10,x,21,…中,x 的值是( ) A .12 B .13 C .15 D .16 解析:选C ∵3-1=2,6-3=3,10-6=4, ∴? ???? x -10=5,21-x =6,∴x =15. [典例] (1){0,1,2,3,4};(2)0,1,2,3;(3)0,1,2,3,4,…; (4)1,-1,1,-1,1,-1,…;(5)6,6,6,6,6. [解] (1)是集合,不是数列; 第 1 课时: §1.1 正弦定理(1) 【三维目标】: 一、知识与技能 1.通过对任意三角形边长和角度关系的探索,掌握正弦定理的内容和推导过程; 2.能解决一些简单的三角形度量问题(会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题);能够运用正弦定理解决一些与测量和几何计算有关的实际问题; 3.通过三角函数、正弦定理、向量数量积等多处知识间联系来体现事物之间的普遍联系与辩证统一. 4.在问题解决中,培养学生的自主学习和自主探索能力. 二、过程与方法 让学生从已有的几何知识出发,共同探究在任意三角形中,边与其对角的关系,引导学生通过观察,推导,比较,由特殊到一般归纳出正弦定理,并进行定理基本应用的实践操作。 三、情感、态度与价值观 1.培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力; 2.培养学生合情推理探索数学规律的数学思想能力,通过三角函数、正弦定理、向量的数量积等知识间的联系来体现事物之间的普遍联系与辩证统一。 【教学重点与难点】: 重点:正弦定理的探索和证明及其基本应用。 难点:已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数。 【学法与教学用具】: 1. 学法:引导学生首先从直角三角形中揭示边角关系: sin sin sin a b c A B C == ,接着就一般斜三角形进行探索,发现也有这一关系;分别利用传统证法和向量证法对正弦定理进行推导,让学生发现向量知识的简捷,新颖。 2. 教学用具:多媒体、实物投影仪、直尺、计算器 【授课类型】:新授课 【课时安排】:1课时 【教学思路】: 一、创设情景,揭示课题 1.在直角三角形中的边角关系是怎样的? 2.这种关系在任意三角形中也成立吗? 3.介绍其它的证明方法 二、研探新知 1.正弦定理的推导 (1)在直角三角形中:c a A = sin ,1sin ,sin ==C C B B , 即 =c A a sin ,=c B b sin ,=c C c sin ∴A a sin =B b sin =C c sin 能否推广到斜三角形? (2)斜三角形中 证明一:(等积法,利用三角形的面积转换)在任意斜△ABC 中,先作出三边上的高AD 、BE 、CF ,则sin AD c B =,sin BE a C =,sin CF b A =.所以111 sin sin sin 222 ABC S ab C ac B bc A ?= ==,每项 必修五正余弦定理习题练习 一.选择题(共5小题) 1.(2015?秦安县一模)△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c,若a、b、c成等比数列,且c=2a,则cosB=() A.B.C.D. 2.(2016?太原校级二模)在锐角△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若,a=2,,则b的值为() A.B.C. D. 3.(2016?大连一模)在△ABC中,a,b,c分别是角A,B,C的对边,且满足acosA=bcosB,那么△ABC的形状一定是() A.等腰三角形B.直角三角形 C.等腰或直角三角形 D.等腰直角三角形 4.(2016?宝鸡一模)在△ABC,a=,b=,B=,则A等于()A.B.C. D.或 5.(2014?新课标II)钝角三角形ABC的面积是,AB=1,BC=,则AC=()A.5 B.C.2 D.1 二.填空题(共6小题) 6.(2015?天津)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知△ABC的面积为3,b﹣c=2,cosA=﹣,则a的值为______. 7.(2015?重庆)设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且a=2,cosC=﹣,3sinA=2sinB,则c=______. 8.(2015?广东)设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若a=,sinB=,C=,则b=______. 9.(2015?北京)在△ABC中,a=3,b=,∠A=,则∠B=______.10.(2015?安徽)在△ABC中,AB=,∠A=75°,∠B=45°,则AC=______.11.(2013?福建)如图,在△ABC中,已知点D在BC边上,AD⊥AC,sin∠BAC=,AB=3,AD=3,则BD的长为______. 2021年高中数学必修5全册基础知识点复习提纲 (全册完整版) 第一章:解三角形 1、正弦定理: R C c B b A a 2sin sin sin ===. (其中R 为AB C ?外接圆的半径) 2sin ,2sin ,2sin ;a R A b R B c R C ?=== sin ,sin ,sin ;222a b c A B C R R R ?= == ::sin :sin :sin .a b c A B C ?= 用途:⑴已知三角形两角和任一边,求其它元素; ⑵已知三角形两边和其中一边的对角,求其它元素。 2、余弦定理: 222222 2222cos ,2cos ,2cos .a b c bc A b a c ac B c a b ab C ?=+-?=+-??=+-? 222 222222 cos ,2cos ,2cos .2b c a A bc a c b B ac a b c C ab ?+-=?? +-? = ?? ?+-= ?? 用途:⑴已知三角形两边及其夹角,求其它元素; ⑵已知三角形三边,求其它元素。 做题中两个定理经常结合使用. 3、三角形面积公式: B ac A bc C ab S ABC sin 2 1 sin 21sin 21=== ? 4、三角形内角和定理: 在△ABC 中,有()A B C C A B ππ++=?=-+ 222 C A B π+? =- 222()C A B π?=-+. 5、一个常用结论: 在ABC ?中,sin sin ;a b A B A B >?>?> 若sin 2sin 2,.2 A B A B A B π ==+=则或特别注意,在三角函数中, sin sin A B A B >?>不成立。 第二章:数列 1、数列中n a 与n S 之间的关系: 1 1,(1),(2). n n n S n a S S n -=?=? -≥?注意通项能否合并。 2、等差数列: ⑴定义:如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,即n a -1-n a =d ,(n ≥2,n ∈N +), 那么这个数列就叫做等差数列。 ⑵等差中项:若三数a A b 、、成等差数列2 a b A +?= ⑶通项公式:1(1)()n m a a n d a n m d =+-=+- 或(n a pn q p q =+、是常数). ⑷前n 项和公式: ()() 11122 n n n n n a a S na d -+=+ = ⑸常用性质: ①若()+∈ +=+N q p n m q p n m ,,,,则q p n m a a a a +=+; ②下标为等差数列的项() ,,,2m k m k k a a a ++,仍组成等差数列; 第三章不等式 必修5 3.1 不等关系与不等式 一、教学目标 1.通过具体问题情境,让学生感受到现实生活中存在着大量的不等关系; 2.通过了解一些不等式(组)产生的实际背景的前提下,学习不等式的相关内容; 3.理解比较两个实数(代数式)大小的数学思维过程. 二、教学重点: 用不等式(组)表示实际问题中的不等关系,并用不等式(组)研究含有不等关系的问题.理解不等式(组)对于刻画不等关系的意义和价值. 三、教学难点: 使用不等式(组)正确表示出不等关系. 四、教学过程: (一)导入课题 现实世界和生活中,既有相等关系,又存在着大量的不等关系我们知道,两点之间线段最短,三角形两边之和大于第三边,两边之差小于第三边,等等.人们还经常用长与短,高与矮,轻与重,大与小,不超过或不少于等来描述某种客观事物在数量上存在的不等关系. 在数学中,我们用不等式来表示这样的不等关系. 提问: 1.“数量”与“数量”之间存在哪几种关系?(大于、等于、小于). 2.现实生活中,人们是如何描述“不等关系”的呢?(用不等式描述) 引入知识点: 1.不等式的定义:用不等号<、>、≤、≥、≠表示不等关系的式子叫不等式. 2.不等式a b ≥的含义. 不等式a b ≥应读作“a 大于或者等于b ”,其含义是指“或者a >b ,或者a =b ”,等价于“a 不小于b ,即若a >b 或a =b 之中有一个正确,则a b ≥正确. 3.实数比较大小的依据与方法. (1)如果a b -是正数,那么a b >;如果a b -等于零,那么a b =;如果a b -是负数,那么a b <.反之也成立,就是(a b ->0?a >b ;a b -=0?a =b ;a b -<0?a 人教A版高中数学必修五讲义及题型归纳:正余弦定理
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