前三届全国大学生高等数学竞赛真题及答案非数学类
中国大学生数学竞赛竞赛大纲
为了进一步推动高等学校数学课程的改革和建设，提高大学数学课程的教学水平，激励大学生学习数学的兴趣，发现和选拔数学创新人才，更好地实现“中国大学生数学竞赛”的目标，特制订本大纲。
一、竞赛的性质和参赛对象
“中国大学生数学竞赛”的目的是：激励大学生学习数学的兴趣，进一步推动高等学校数学课程的改革和建设，提高大学数学课程的教学水平，发现和选拔数学创新人才。
“中国大学生数学竞赛”的参赛对象为大学本科二年级及二年级以上的在校大学生。
二、竞赛的内容
“中国大学生数学竞赛”分为数学专业类竞赛题和非数学专业类竞赛题。
中国大学生数学竞赛（非数学专业类）竞赛内容为大学本科理工科专业高等数学课程的教学内容，具体内容如下：
一、函数、极限、连续
1．函数的概念及表示法、简单应用问题的函数关系的建立.
2．函数的性质：有界性、单调性、周期性和奇偶性.
3．复合函数、反函数、分段函数和隐函数、基本初等函数的性质及其图形、初等函数.
4．数列极限与函数极限的定义及其性质、函数的左极限与右极限.
5．无穷小和无穷大的概念及其关系、无穷小的性质及无穷小的比较.
6．极限的四则运算、极限存在的单调有界准则和夹逼准则、两个重要极限.
7．函数的连续性（含左连续与右连续）、函数间断点的类型.
8．连续函数的性质和初等函数的连续性.
9．闭区间上连续函数的性质(有界性、最大值和最小值定理、介值定理).
二、一元函数微分学
1. 导数和微分的概念、导数的几何意义和物理意义、函数的可导性与连续性之间的关系、平面曲线的切线和法线.
2. 基本初等函数的导数、导数和微分的四则运算、一阶微分形式的不变性.
3. 复合函数、反函数、隐函数以及参数方程所确定的函数的微分法.
4. 高阶导数的概念、分段函数的二阶导数、某些简单函数的n阶导数.
5. 微分中值定理，包括罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理和泰勒定理.
6. 洛必达(L’Hospital)法则与求未定式极限.
7. 函数的极值、函数单调性、函数图形的凹凸性、拐点及渐近线(水平、铅直和斜渐近线)、函数图形的描绘.
8. 函数最大值和最小值及其简单应用.
9. 弧微分、曲率、曲率半径.
三、一元函数积分学
1.原函数和不定积分的概念.
2.不定积分的基本性质、基本积分公式.
3.定积分的概念和基本性质、定积分中值定理、变上限定积分确定的函数及其导数、
牛顿-莱布尼茨(Newton-Leibniz)公式. 4. 不定积分和定积分的换元积分法与分部积分法. 5. 有理函数、三角函数的有理式和简单无理函数的积分. 6. 广义积分.
7. 定积分的应用：平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体积及侧面积、平行
截面面积为已知的立体体积、功、引力、压力及函数的平均值． 四.常微分方程
1. 常微分方程的基本概念：微分方程及其解、阶、通解、初始条件和特解等.
2. 变量可分离的微分方程、齐次微分方程、一阶线性微分方程、伯努利(Bernoulli)
方程、全微分方程.
3. 可用简单的变量代换求解的某些微分方程、可降阶的高阶微分方程：),()
n (x f y
=
),,(y x f y '='' ),(y y f y '=''.
4. 线性微分方程解的性质及解的结构定理.
5. 二阶常系数齐次线性微分方程、高于二阶的某些常系数齐次线性微分方程.
6. 简单的二阶常系数非齐次线性微分方程：自由项为多项式、指数函数、正弦函数、
余弦函数，以及它们的和与积 7. 欧拉(Euler)方程. 8. 微分方程的简单应用 五、向量代数和空间解析几何
1. 向量的概念、向量的线性运算、向量的数量积和向量积、向量的混合积.
2. 两向量垂直、平行的条件、两向量的夹角.
3. 向量的坐标表达式及其运算、单位向量、方向数与方向余弦.
4. 曲面方程和空间曲线方程的概念、平面方程、直线方程.
5. 平面与平面、平面与直线、直线与直线的夹角以及平行、垂直的条件、点到平面和
点到直线的距离.
6. 球面、母线平行于坐标轴的柱面、旋转轴为坐标轴的旋转曲面的方程、常用的二次
曲面方程及其图形.
7. 空间曲线的参数方程和一般方程、空间曲线在坐标面上的投影曲线方程. 六、多元函数微分学
1. 多元函数的概念、二元函数的几何意义.
2. 二元函数的极限和连续的概念、有界闭区域上多元连续函数的性质.
3. 多元函数偏导数和全微分、全微分存在的必要条件和充分条件.
4. 多元复合函数、隐函数的求导法.
5. 二阶偏导数、方向导数和梯度.
6. 空间曲线的切线和法平面、曲面的切平面和法线.
7. 二元函数的二阶泰勒公式.
8. 多元函数极值和条件极值、拉格朗日乘数法、多元函数的最大值、最小值及其简
单应用.
七、多元函数积分学
1. 二重积分和三重积分的概念及性质、二重积分的计算(直角坐标、极坐标)、三重积
分的计算(直角坐标、柱面坐标、球面坐标).
2.两类曲线积分的概念、性质及计算、两类曲线积分的关系.
3.格林(Green)公式、平面曲线积分与路径无关的条件、已知二元函数全微分求原函
数.
4.两类曲面积分的概念、性质及计算、两类曲面积分的关系.
5.高斯(Gauss)公式、斯托克斯(Stokes)公式、散度和旋度的概念及计算.
6.重积分、曲线积分和曲面积分的应用(平面图形的面积、立体图形的体积、曲面面
积、弧长、质量、质心、转动惯量、引力、功及流量等)
八、无穷级数
1.常数项级数的收敛与发散、收敛级数的和、级数的基本性质与收敛的必要条件.
2.几何级数与p级数及其收敛性、正项级数收敛性的判别法、交错级数与莱布尼茨
(Leibniz)判别法.
3.任意项级数的绝对收敛与条件收敛.
4.函数项级数的收敛域与和函数的概念.
5.幂级数及其收敛半径、收敛区间（指开区间）、收敛域与和函数.
6.幂级数在其收敛区间内的基本性质(和函数的连续性、逐项求导和逐项积分)、简单
幂级数的和函数的求法.
7.初等函数的幂级数展开式.
8.函数的傅里叶(Fourier)系数与傅里叶级数、狄利克雷(Dirichlei)定理、函数在
[-l，l]上的傅里叶级数、函数在[0,l]上的正弦级数和余弦级数
前三届高数竞赛预赛试题（非数学类）
（参加高等数学竞赛的同学最重要的是好好复习高等数学知识，适当看一些辅导书
及相关题目，主要是一些各大高校的试题。）
2009年 第一届全国大学生数学竞赛预赛试卷
一、填空题（每小题5分，共20分）
1．计算=--++??y x y
x x y
y x D
d d 1)
1ln()(____________，其中区域D 由直线1=+y x 与两坐标轴所围成三角形区域.
解: 令v x u y x ==+,，则v u y v x -==,，v u v u y x d d d d 11
10
det d d =???
? ?
?-=， v u u v u u u y x y x x y
y x D D d d 1ln ln d d 1)
1ln()(????--=
--++
????----=---=10
2
1
00
0d 1)ln (1ln d )d ln 1d 1ln (
u u
u u u u u u u u v v u
u
v u u u u u ?
-=1
2
d 1u u
u （*） 令u t -=1，则21t u -=
dt 2d t u -=，42221t t u +-=，)1)(1()1(2t t t u u +-=-，
?+--=0
1
42d )21(2(*)t
t t
?
+-=10
42d )21(2t t t 15165132
21
53=
??????+-=t t t 2．设)(x f 是连续函数，且满足?
--
=20
22d )(3)(x x f x x f , 则=)(x f ____________.
解: 令?
=
20
d )(x x f A ，则23)(2--=A x x f ，
A A x A x A 24)2(28d )23(20
2-=+-=--=
?
,
解得34=
A 。因此3
10
3)(2-=x x f 。 3．曲面22
22
-+=y x z 平行平面022=-+z y x 的切平面方程是__________. 解: 因平面022=-+z y x 的法向量为)1,2,2(-，而曲面22
22
-+=y x z 在
)
,(00y x 处的法向量为
)
1),,(),,((0000-y x z y x z y x ，故
)1),,(),,((0000-y x z y x z y x 与)1,2,2(-平行，因此，由x z x =，y z y 2=知0000002),(2,),(2y y x z x y x z y x ====，
即1,200==y x ，又5)1,2(),(00==z y x z ，于是曲面022=-+z y x 在
)),(,,(0000y x z y x 处的切平面方程是0)5()1(2)2(2=---+-z y x ，即曲面
22
22-+=y x z 平行平面
022=-+z y x 的切平面方程是0122=--+z y x 。
4．设函数)(x y y =由方程29ln )(y y f e xe =确定，其中f 具有二阶导数，且1≠'f ，则
=2
2d d x
y
________________. 解: 方程29ln )(y y f e xe =的两边对x 求导，得
29ln )()()(y e e y y f x e y y f y f '=''+
因)(29ln y f y xe e =，故
y y y f x
'=''+)(1
，即))(1(1y f x y '-=
'，因此 2
222)](1[)())(1(1d d y f x y y f y f x y x y '-'
''+'--=''=
3
22
232)]
(1[)](1[)())(1(1)](1[)(y f x y f y f y f x y f x y f '-'--''='--'-''= 二、（5分）求极限x
e
nx x x x n
e e e )(
lim 20+++→Λ，其中n 是给定的正整数. 解 :因
x
e
nx x x x x e nx x x x n
n e e e n e e e )1(lim )(lim 2020-++++=+++→→ΛΛ 故
nx
n e e e e x
e n n e e e A nx
x x x nx x x x -+++=-+++=→→ΛΛ2020lim lim
e n n n e n ne e e e nx x x x 2
1
212lim 20+=+++=+++=→ΛΛ
因此
e n A x
e
nx x x x e e n
e e e 2
1
20)(lim +→==+++Λ
三、（15分）设函数)(x f 连续，?
=10
d )()(t xt f x g ，且A x
x f x =→)
(lim
，A 为常数，
求)(x g '并讨论)(x g '在0=x 处的连续性.
解 : 由A x x f x =→)(lim 0
和函数)(x f 连续知，0)
(lim lim )(lim )0(000===→→→x
x f x x f f x x x
因?
=
1
d )()(t xt f x g ，故0)0(d )0()0(1
===?f t f g ，
因此，当0≠x 时，?=
x
u u f x
x g 0d )(1)(，故 0)0(1
)
(lim
d )(lim
)(lim 0
====→→→?f x f x
u u f x g x x x x 当0≠x 时，
x
x f u u f x x g x
)
(d )(1)(0
2
+
-
='?， 2
00000d )(lim
d )(1lim )0()(lim )0(x t t f x t t f x x g x g g x x x
x x ??→→→==-='22)(lim 0A x x f x ==→ 2
2d )(1lim )(lim ])(d )(1[lim )(lim 02000200A
A A u u f x x x f x x f u u f x x g x x x x x x =-=-=+-='??→→→→
这表明)(x g '在0=x 处连续.
四、（15分）已知平面区域}0,0|),{(ππ≤≤≤≤=y x y x D ，L 为D 的正向边界，试证：
（1）??
-=---L
x y L
x y
x ye y xe x ye y xe
d d d d sin sin sin sin ；
（2）2sin sin 2
5
d d π?
≥--L
y y
x ye y xe
.
证 :因被积函数的偏导数连续在D 上连续，故由格林公式知 （1）y x ye y xe x x ye y xe D x y L
x y d d )()(d d sin sin sin sin ???
?????
?-??-??=
--- y x e e D
x y d d )(sin sin ??-+=
?--L
x
y x ye y xe d d sin sin y x ye y xe x D x y d d )()(sin sin ???????
?-??
-??=-
y x e e D
x y d d )(sin sin ??+=-
而D 关于x 和y 是对称的，即知
y x e e
D
x y
d d )(sin sin ??-+y x
e e D
x y d d )(sin sin ??+=-
因此
??-=---L
x
y L
x y x ye y xe x ye y xe d d d d sin sin sin sin
（2）因
)1(2)!
4!21(224
2t t t e e t
t
+≥+++=+-Λ
故
2
2cos 522cos 12sin 22sin sin x
x x e e x x -=
-+
=+≥+- 由
?????+=+=----D
x
y L
D
x y y y y x e e y x e e x ye y xe d d )(d d )(d d sin sin sin sin sin sin 知
?????+++=----D
x y L
D x
y y
y y x e e y x e e x ye y xe d d )(21d d )(21d d sin sin sin sin sin sin ??????+=+++=
---D
x x D
x x D y
y y x e e y x e e y x e e d d )(d d )(21d d )(21sin sin sin sin sin sin 200sin sin 2
5
d 22cos 5d )(ππππ
π
=-≥+=?
?-x x x e
e
x
x
即 2sin sin 25d d π?≥--L y
y x ye
y xe 五、（10分）已知x x e xe y 21+=，x
x e
xe y -+=2，x
x x e e xe y --+=23是某二阶常系数
线性非齐次微分方程的三个解，试求此微分方程.
解 设x
x
e xe y 21+=，x
x
e xe y -+=2，x
x x e e xe y --+=23是二阶常系数线性非齐
次微分方程
)(x f cy y b y =+'+''
的三个解，则x x
e e
y y 212-=--和x e y y -=-13都是二阶常系数线性齐次微分方程
0=+'+''cy y b y
的解，因此0=+'+''cy y b y 的特征多项式是0)1)(2(=+-λλ，而0=+'+''cy y b y 的特征多项式是
02=++c b λλ
因此二阶常系数线性齐次微分方程为02=-'-''y y y ，由)(2111
x f y y y =-'-''和 x x x e xe e y 21
2++='，x x x e xe e y 2142++='' 知，111
2)(y y y x f -'-''=)(2)2(42222x x x x x x
x x e xe e e xe e e xe +-++-++=
x e x )21(-=
二阶常系数线性非齐次微分方程为
x x xe e y y y 22-=-'-''
六、（10分）设抛物线c bx ax y ln 22
++=过原点.当10≤≤x 时,0≥y ,又已知该抛物线
与x 轴及直线1=x 所围图形的面积为3
1
.试确定c b a ,,,使此图形绕x 轴旋转一周而成的旋转体的体积最小.
解 因抛物线c bx ax y ln 22
++=过原点，故1=c ，于是
2323
dt )(311
023102b a x b x a
bx ax +=??????+=+=? 即
)1(3
2
a b -=
而此图形绕x 轴旋转一周而成的旋转体的体积
??-+
=+=1
2210
22dt ))1(3
2
(dt )()(x a ax bx ax a V ππ ???-+-+=1022
103104
2dt )1(94dt )1(34dt x a x a a x a πππ
22)1(27
4)1(3151a a a a -+-+=πππ 即
22)1(27
4
)1(3151)(a a a a a V -+-+=πππ
令
0)1(27
8)21(3152)(=---+=
'a a a a V πππ， 得
04040904554=+--+a a a
即
054=+a
因此
45-=a ,2
3
=b ,1=c .
七、（15分）已知)(x u n 满足),2,1()()(1Λ=+='-n e x x u x u x n n n
, 且n
e
u n =)1(, 求函数项级数
∑∞
=1
)(n n
x u
之和.
解
x n n n
e x x u x u 1)()(-+='， 即
x n e x y y 1-=-'
由一阶线性非齐次微分方程公式知
)d (1x x C e y n x ?-+=
即
)(n
x C e y n
x
+=
因此
)()(n
x C e x u n
x
n +=
由)1
()1(n
C e u n e n +==知，0=C ， 于是
n
e x x u x n n =)(
下面求级数的和：
令
∑∑∞
=∞
===1
1)()(n x
n n n n e x x u x S
则
x e x S e x x S n e x e x x S x n x
n n x n x
n -+=+=+='∑∑∞=-∞
=-1)()()()(1
111
即
x
e x S x S x
-=-'1)()(
由一阶线性非齐次微分方程公式知
)d 11
()(x x
C e x S x ?
-+= 令0=x ，得C S ==)0(0，因此级数
∑∞
=1
)(n n
x u
的和
)1ln()(x e x S x --=
八、（10分）求-
→1x 时, 与
∑∞
=0
2
n n x 等价的无穷大量.
解 令2
)(t x t f =，则因当10< ()2ln 0t f t tx x '=<，故 x t t e x t f 1 ln 22 )(-==在(0,)+∞上严格单调减。因此 1 1 1 ()d ()d ()(0)()d 1()d n n n n n n n f t t f t t f n f f t t f t t ∞ ∞ ∞ +∞++∞ -====≤≤+=+∑∑∑? ? ? ? 即 0()d ()1()d n f t t f n f t t ∞ +∞+∞=≤≤+∑? ? ， 又 2 ()n n n f n x ∞ ∞ ===∑ ∑， 11 1 lim 11ln lim 11=-- =-→→x x x x x 21ln 1d 1ln 1d d d )(0 1 ln 2 22 π x t e x t e t x t t f t x t t = = ==??? ? ∞+-∞ +-∞+∞+， 所以，当- →1x 时, 与∑∞ =0 2 n n x 等价的无穷大量是 x -121π 。 2010年 第二届全国大学生数学竞赛预赛试卷 （参加高等数学竞赛的同学最重要的是好好复习高等数学知识，适当看一些辅导书 及相关题目，主要是一些各大高校的试题。） 一、（25分，每小题5分） （1）设22(1)(1)(1),n n x a a a =+++L 其中||1,a <求lim .n n x →∞ （2）求2 1lim 1x x x e x -→∞ ?? + ??? 。 （3）设0s >，求0 (1,2,)sx n I e x dx n ∞ -= =? L 。 （4）设函数()f t 有二阶连续导数，1(,)r g x y f r ?? == ??? ，求2222g g x y ??+??。 （5）求直线10:0 x y l z -=?? =?与直线2213 :421x y z l ---== --的距离。 解：（1）2 2(1)(1)(1)n n x a a a =+++L =2 2(1)(1)(1)(1)/(1)n n x a a a a a =-+++-L =2 2 2(1)(1)(1)/(1)n a a a a -++-L =L =1 2(1)/(1)n a a +-- 1 2lim lim(1)/(1)1/(1)n n n n x a a a +→∞ →∞ =--=-∴ (2) 2 2 211 ln (1)ln(1)1lim 1lim lim x x x e x x x x x x x x e e e x -++--→∞→∞→∞??+== ??? 令x=1/t,则 原式=2 1(ln(1)) 1/(1)1 12(1) 22 00 lim lim lim t t t t t t t t t e e e e +-+-- - +→→→=== （3）0000112021 011()()[|](1)!! sx n n sx n sx sx n n sx n n n n n I e x dx x de x e e dx s s n n n n n n e x dx I I I s s s s s ∞ ∞∞---∞-∞----+==-=--= -=====????L 二、（15分）设函数()f x 在(,)-∞+∞上具有二阶导数，并且 ()0,lim ()0,lim ()0,x x f x f x f x αβ→+∞ →-∞ ''''>=>=<且存在一点0x ，使得0()0f x <。 证明：方程()0f x =在(,)-∞+∞恰有两个实根。 解： 二阶导数为正，则一阶导数单增，f(x)先减后增，因为f(x)有小于0的值，所以只需在两边找两大于0的值。 将f(x)二阶泰勒展开： ''' 2 ()()(0)(0)2 f f x f f x x ξ=++ 因为二阶倒数大于0，所以 lim ()x f x →+∞ =+∞，lim ()x f x →-∞ =-∞ 证明完成。 三、（15分）设函数()y f x =由参数方程2 2(1)()x t t t y t ψ?=+>-? =? 所确定，其中()t ψ具有二阶导数，曲线()y t ψ=与2 2 1 3 2t u y e du e -= + ? 在1t =出相切，求函数()t ψ。 解：（这儿少了一个条件22d y dx =）由()y t ψ=与22 132t u y e du e -=+?在1t =出相切得 3(1)2e ψ= ，'2 (1)e ψ= '//()22dy dy dt dx dx dt t t ψ==+ 22 d y dx ='3''()(2(/)(/)//(22)2)2() d dy dx d dy dx dt dx dx d t t t t t ψψ==++-=。。。 上式可以得到一个微分方程，求解即可。 四、（15分）设1 0,,n n n k k a S a =>= ∑证明： （1）当1α>时，级数 1n n n a S α +∞ =∑收敛； （2）当1α≤且()n s n →∞→∞时，级数1n n n a S α+∞ =∑发散。 解： （1）n a >0, n s 单调递增 当 1n n a ∞ =∑收敛时，1n n n a a s s αα ，而1n a s α收敛，所以n n a s α 收敛； 当 1 n n a ∞ =∑发散时，lim n n s →∞ =∞ 111 n n n n s s n n n s s n n n a s s dx dx s s s x αααα----== 所以，1111 1211 n n n s s n s s n n n a a a dx dx s s x s x ααααα-∞ ∞==<+=+∑∑?? 而 1 11111 1111lim 11 n s n s n s s a a s dx k x s s αααααααα---→∞-=+=+=--? ，收敛于k 。 所以， 1n n n a s α∞ =∑收敛。 （2）lim n n s →∞ =∞Q 所以 1 n n a ∞ =∑发散，所以存在1k ，使得 1 12 k n n a a =≥∑ 于是，1 1 112221 2k k k n n n n n k a a a s s s α≥≥≥∑∑∑ 依此类推，可得存在121...k k <<< 使得1 12i i k n k n a s α+≥∑成立，所以11 2N k n n a N s α ≥?∑ 当n →∞时，N →∞，所以 1n n n a s α∞ =∑发散 五、（15分）设l 是过原点、方向为(,,)αβγ，（其中222 1)αβγ++=的直线，均匀椭球 222 222 1x y z a b c ++≤，其中（0,c b a <<<密度为1）绕l 旋转。 （1）求其转动惯量； （2）求其转动惯量关于方向(,,)αβγ的最大值和最小值。 解： （1）椭球上一点P(x,y,z)到直线的距离 2222222(1)(1)(1)222d x y z xy yz zx αβγαββγγα=-+-+---- 0xydV yzdV zxdV Ω Ω Ω ===?????????Q 2 2 2 22222 2 23214 (1)15c c c c x y z a b c z z dV z dz dxdy ab z dz abc c ππ--Ω +≤-==-=???? ?? ? 由轮换对称性， 2 32344 ,1515x dV a bc y dV ab c ππΩ Ω ==?????? 2232323444 (1) (1)(1)151515 I d dV a bc ab c abc απβπγπΩ ==-+-+-??? 2222224 [(1)(1)(1)]15 abc a b c παβγ= -+-+- （2）a b c >>Q ∴当1γ=时，22max 4 ()15I abc a b π=+ 当1α=时，22min 4 ()15I abc b c π=+ 六、(15分)设函数()x ?具有连续的导数，在围绕原点的任意光滑的简单闭曲线C 上，曲线 积分 422()c xydx x dy x y ?++??的值为常数。 （1）设L 为正向闭曲线2 2 (2)1,x y -+=证明 422()0;c xydx x dy x y ?+=+?? （2）求函数()x ?； （3）设C 是围绕原点的光滑简单正向闭曲线，求 422()c xydx x dy x y ?++??。 解： （1） L 不绕原点，在L 上取两点A ，B ，将L 分为两段1L ，2L ，再从A ，B 作一曲线3L ， 使之包围原点。 则有 132 3 4242422()2()2()L L L L L xydx x dy xydx x dy xydx x dy x y x y x y ???-+++++=-+++???j i i （2） 令4242 2() ,xy x P Q x y x y ?= =++ 由（1）知 0Q P x y ??-=??，代入可得 '42352()()()422x x y x x x xy ??+-=- 上式将两边看做y 的多项式，整理得 2''4325()()()4(2)2y x x x x x y x x ???+-=-+ 由此可得 '()2x x ?=- '435()()42x x x x x ??-= 解得：2 ()x x ?=- （3） 取' L 为4 2 4 x y ξ+=，方向为顺时针 0Q P x y ??-=??Q '''424242 2 42()2()2()1 2c c L L L xydx x dy xydx x dy xydx x dy x y x y x y xydx x dy ???π ξ - - ++++∴=++++= -=? ???i i i i 2011年 第三届全国大学生数学竞赛预赛试卷 （参加高等数学竞赛的同学最重要的是好好复习高等数学知识，适当看一些辅导书 及相关题目，主要是一些各大高校的试题。） 一． 计算下列各题（本题共3小题，每小题各5分，共15分） （1）.求11cos 0sin lim x x x x -→?? ??? ； 解：（用两个重要极限）： () () 20003 2 2 1 sin 1cos sin 1cos 001sin cos 12lim lim lim sin 11331cos 3 222 sin sin lim lim 1lim x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x e e e e e →→→-? ---→→------→-???? =+ ? ????? ===== （2）.求1 11lim ...12n n n n n →∞??+++ ?+++? ?； 解：(用欧拉公式）令111 ...12n x n n n n =+++ +++ 11 1ln =C+o 1211111ln 2=C+o 1212n n n n n n +++-++++++-+L L L 由欧拉公式得（）， 则（）， 其中，()1o 表示n →∞时的无穷小量， -ln2o 1n x ∴=两式相减，得：（）,lim ln 2.n n x →∞ ∴= （3）已知()2ln 1arctan t t x e y t e ?=+? ?=-?? ，求22d y dx 。 解：222222221211,121121t t t t t t t t t t t e dx e dy e dy e e e e dt e dt e dx e e --++==-∴==+++ ()() 22 2222412121224t t t t t t t e e d y d dy e e dx dx dt dx e e e dt +--+??∴=?== ???g 二．（本题10分）求方程()()2410x y dx x y dy +-++-=的通解。 解：设24,1P x y Q x y =+-=+-，则0Pdx Qdy += 1,P Q y x ??==∴??Q 0Pdx Qdy +=是一个全微分方程，设dz Pdx Qdy =+ ()()() (),0,0241x y z dz Pdx Qdy x y dx x y dy ==+=+-++-??? ,P Q y x ??=∴??Q 该曲线积分与路径无关 ()()2 2 00124142 x y z x dx x y dy x x xy y y ∴=-++-=-++-?? 三．（本题15分）设函数f(x)在x=0的某邻域内具有二阶连续导数，且 ()()()'"0,0,0f f f 均不为 0，证明：存在唯一一组实数123,,k k k ，使得 ()()()() 1232 230lim 0h k f h k f h k f h f h →++-=。 证明：由极限的存在性：()()()()1230 lim 2300h k f h k f h k f h f →++-=??? ? 即 []()123100k k k f ++-=，又()00f ≠，1231k k k ∴++=① 由洛比达法则得 ()()()()()()() 1232 '''1230 230lim 2233lim 0 2h h k f h k f h k f h f h k f h k f h k f h h →→++-++== 由极限的存在性得()()()''' 1230 lim 22330h k f h k f h k f h →??++=?? 即 ()()'1232300k k k f ++=，又()'00f ≠，123230k k k ∴++=② 再次使用洛比达法则得 ()()()()()() ()()()'''1230 """1230 ""1232233lim 24293lim 02 490000 h h k f h k f h k f h h k f h k f h k f h k k k f f →→++++==∴++=≠Q 123490k k k ∴++=③ 由①②③得123,,k k k 是齐次线性方程组1231231231230490 k k k k k k k k k ++=?? ++=??++=?的解 设1231111123,,01490k A x k b k ?????? ? ? ?=== ? ? ? ? ? ??????? ，则Ax b =， 增 广 矩 阵 *111110031230010314900011A ?? ?? ? ?=- ? ? ? ????? :，则 ()(),3R A b R A == 所以，方程Ax b =有唯一解，即存在唯一一组实数123,,k k k 满足题意， 且1 233,3,1k k k ==-=。 四．（本题17分）设 222 1222:1x y z a b c ∑++=，其中0 a b c >>>， 2222:z x y ∑=+，Γ为1∑与2∑的交线，求椭球面1∑在Γ上各点的切平面到原点 距离的最大值和最小值。 解：设Γ上任一点(),,M x y z ，令()222 222,,1x y z F x y z a b c =++-， 则' ''222222,,,x y z x y z F F F a b c ===∴椭球面1∑在Γ上点M 处的法向量为： 222,,,x y z t a b c ?? =∴ ???r 1∑在点M 处的切平面为∏： ()()()2220x y z X x Y y Z z a b c -+-+-= 原 点 到 平 面 ∏ 的距离 为 d = ，令 ()222444,,,x y z G x y z a b c =++ 则 d = 现在求 ()222444,,, x y z G x y z a b c =++在条件 222 2221x y z a b c ++=， 222z x y =+下的条件极值， 令 ()()222 22222212444222,,1x y z x y z H x y z x y z a b c a b c λλ??=+++++-++- ??? 则由拉格朗日乘数法得： '124 2'12 42'1242222 22222222202220 222010 0x y z x x H x a a y y H y b b z z H z c c x y z a b c x y z λλλλλλ?=++=?? ?=++=???=+-=?? ?++-=???+-=?? ， 解得2222 220x b c y z b c =???==?+? 或22 2222 a c x z a c y ?==?+??=?， 对应此时的()()442222,,b c G x y z b c b c +=+或()()44 2222,,a c G x y z a c a c +=+ 此时的1d = 2d =又因为0a b c >>>，则12d d < 所以，椭球面 1∑在Γ上各点的切平面到原点距离的最大值和最小值分别为： 2d = 1d =五．（本题16分）已知S 是空间曲线2231 x y z ?+=?=?绕y 轴旋转形成的椭球面的上半部 分（0z ≥）取上侧，∏是S 在(),,P x y z 点处的切平面，(),,x y z ρ是原点到切 平面∏的距离，,,λμν表示S 的正法向的方向余弦。计算： （1）(),,S z dS x y z ρ??； （2）()3S z x y z dS λμν++?? 解：（1）由题意得：椭球面S 的方程为()2 22310x y z z ++=≥ 令22231,F x y z =++-则'''2,6,2x y z F x F y F z ===， 切平面∏的法向量为(),3,n x y z =r ， ∏的方程为()()()30x X x y Y y z Z z -+-+-=， 原点到切平面∏的距离( )22231,,x y z x y z ρ ++= = ( )1,,S S z I dS x y z ρ∴==???? 将一型曲面积分转化为二重积分得：记22:1,0,0xz D x z x z +≤≥≥ () 22 221 210 323244sin xz D z x z r r dr I dxdz d π θθ??-+-∴==?? ?? 22221 2 32sin 32sin 44r r dr d π θθθ --= =? ? 431322 2422π??=-= ???g (2)方法一： 3x y z λμν= = = ( )2132S S I z x y z dS I λμν∴=++=== ???? 六．（本题12分）设f(x)是在 (),-∞+∞内的可微函数，且()()f x mf x <、，其 中01m <<，任取实数0a ，定义()1ln ,1,2,...,n n a f a n -==证明： ()11 n n n a a ∞ -=-∑绝对收敛。 证明：()()112ln ln n n n n a a f a f a ----=- 由拉格朗日中值定理得：ξ?介于12,n n a a --之间，使得 ()()()() ()'1212ln ln n n n n f f a f a a a f ξξ-----= - ()() ()'112n n n n f a a a a f ξξ---∴-= -， 又 ()() f mf ξξ<、得 第二届(2010年)全国大学生数学竞赛预赛试卷及参考答案 （非数学类） (150分钟) 一、（25分，每小题5分） （1）设22(1)(1)(1),n n x a a a =+++ 其中||1,a <求lim .n n x →∞ （2）求2 1lim 1x x x e x -→∞??+ ???。 （3）设0s >，求0(1,2,)sx n I e x dx n ∞ -==? 。 （4）设函数()f t 有二阶连续导数，1(,)r g x y f r ??== ???，求2222g g x y ??+??。 （5）求直线10:0 x y l z -=??=?与直线2213:421x y z l ---==--的距离。 解：（1）22(1)(1)(1)n n x a a a =+++ =22(1)(1)(1)(1)/(1)n n x a a a a a =-+++- =222(1)(1)(1)/(1)n a a a a -++- = =1 2(1)/(1)n a a +-- 1 2lim lim(1)/(1)1/(1)n n n n x a a a +→∞→∞=--=-∴ (2) 22211ln (1)ln(1)1lim 1lim lim x x x e x x x x x x x x e e e x -++--→∞→∞→∞??+== ??? 令x=1/t,则 原式=1(ln(1)) 1/(1)112(1)220 00lim lim lim t t t t t t t t t e e e e +-+---+→→→=== （3）0000112021011()()[|](1)!!sx n n sx n sx sx n n sx n n n n n I e x dx x de x e e dx s s n n n n n n e x dx I I I s s s s s ∞∞∞---∞-∞----+==-=--=-=====???? （4）略（不难，难得写） （5 二、（15分）设函数()f x 在(,)-∞+∞上具有二阶导数，并且 ()0,lim ()0,lim ()0,x x f x f x f x αβ→+∞→-∞ ''''>=>=<且存在一点0x ，使得0()0f x <。 前三届高数竞赛预赛试题（非数学类） （参加高等数学竞赛的同学最重要的是好好复习高等数学知识，适当看 一些辅导书及相关题目，主要是一些各大高校的试题。） 2009-2010年第一届全国大学生数学竞赛预赛试卷 一、填空题（每小题5分） 1．计算=--++??y x y x x y y x D d d 1) 1ln()(16/15，其中区域D 由直线1=+y x 与 两坐标轴所围成三角形区域. 解:令v x u y x ==+,，则v u y v x -==,，v u v u y x d d d d 1110det d d =??? ? ??-=， ? -=10 2 d 1u u u （*） 令u t -=1，则21t u -= dt 2d t u -=，42221t t u +-=，)1)(1()1(2t t t u u +-=-， 2．设)(x f 是连续函数，且满足?--=2 022d )(3)(x x f x x f ,则 =)(x f ____________. 解:令?=2 0d )(x x f A ，则23)(2--=A x x f ， A A x A x A 24)2(28d )23(20 2-=+-=--= ? , 解得3 4=A 。因此3 10 3)(2- =x x f 。 3．曲面22 22 -+=y x z 平行平面022=-+z y x 的切平面方程是 __________. 解:因平面022=-+z y x 的法向量为)1,2,2(-，而曲面 2 2 22-+=y x z 在 ) ,(00y x 处的法向量为 )1),,(),,((0000-y x z y x z y x ，故)1),,(),,((0000-y x z y x z y x 与)1,2,2(-平 行，因此，由 x z x =， y z y 2=知 1 x ? ? ? ? a ? 第四届全国大学生数学竞赛决赛试题标准答案 一、(本题15分): 设A 为正常数，直线?与双曲线x 2 ? y 2 = 2 (x > 0) 所围的有 限部分的面积为A . 证明： (i) 所有上述?与双曲线x 2 ? y 2 = 2 (x > 0) 的截线段的中点的轨迹为双曲线. (ii)?总是(i)中轨迹曲线的切线. 证明：将双曲线图形进行45度旋转，可以假定双曲线方程为y = 1 , x > 0. 设 直线?交双曲线于(a, 1/a )和(ta, 1/ta ), t > 1, 与双曲线所围的面积为A . 则有 1 1 ∫ ta 1 1 1 1 1 A = 2 (1 + t )(t ? 1) ? dx = + )(t 1) log t = t ) log t. x 2 t 2 t 令f (t ) = 1 (t ? 1 ) ? log t . 由于 2 t 1 1 2 f (1) = 0, f (+∞) = +∞, f ′ (t ) = 2 (1 ? t ) > 0, (t > 1), 所以对常数A 存在唯一常数t 使得A = f (t ) (5分). ?与双曲线的截线段中点 坐标 为 1 1 1 1 x = 2 (1 + t )a, y = 2 (1 + t ) a . 于是，中点的轨迹曲线为 1 1 xy = 4 (1 + t )(1 + t ). (10分) 故中点轨迹为双曲线, 也就是函数y = 1 (1 + t )(1 + 1 ) 1 给出的曲线. 该 曲线在上述中点处的切线斜率 4 t x 1 1 1 1 k = ? 4 (1 + t )(1 + t ) x 2 = ? ta 2 , 它恰等于过两交点(a, 1/a )和(ta, 1/ta )直线?的斜率: 1 1 1 故?为轨迹曲线的切线. (15分) ta ? a ta ? a = . 二、(本题15分): 设函数f (x )满足条件: 1) ?∞ < a ≤ f (x ) ≤ b < +∞, a ≤ x ≤ b ; 2) 对于任意不同的x, y ∈ [a, b ]有|f (x ) ? f (y )| < L |x ? y |, 其中L 是大 全国大学生数学竞赛预赛试卷（非数学类） 2009年 第一届全国大学生数学竞赛预赛试卷（非数学类） 一、填空题（每小题5分，共20分） 1． 计算()ln(1) d y x y x y ++=??，其中区域D 由直线1=+y x 与两坐标轴所围成三角形区域. 2．设)(x f 是连续函数，且满足22 ()3()d 2f x x f x x =--? ，则()f x =. 3．曲面2 222 x z y =+-平行平面022=-+z y x 的切平面方程是. 4．设函数)(x y y =由方程29ln )(y y f e xe =确定，其中f 具有二阶导数，且 1≠'f ，则=22d d x y . 二、（5分）求极限x e nx x x x n e e e )(lim 20+++→Λ，其中n 是给定的正整数. 三、（15分）设函数)(x f 连续，10()() g x f xt dt =?，且A x x f x =→) (lim 0，A 为常数，求()g x '并讨论)(x g '在0=x 处的连续性. 四、（15分）已知平面区域}0,0|),{(ππ≤≤≤≤=y x y x D ，L 为D 的正向边界，试证： （1）??-=---L x y L x y x ye y xe x ye y xe d d d d sin sin sin sin ； （2）2sin sin 2 5d d π?≥--L y y x ye y xe . 五、（10分）已知x x e xe y 21+=，x x e xe y -+=2，x x x e e xe y --+=23是某二阶常系数线性非齐次微分方程的三个解，试求此微分方程. 六、（10分）设抛物线c bx ax y ln 22++=过原点.当10≤≤x 时，0≥y ，又已知该抛物线与x 轴及直线1=x 所围图形的面积为3 1.试确定 c b a ,,，使此图形绕x 轴旋转一周而成的旋转体的体积V 最小. 七、（15分）已知)(x u n 满足1()()1,2,n x n n u x u x x e n -'=+=L ，且n e u n =)1(，求 函数项级数∑∞ =1 )(n n x u 之和. 山东省大学生数学竞赛（专科）试卷及标准答案 （非数学类，2010） 考试形式： 闭卷 考试时间： 120 分钟 满分： 100 分. 一、填空（每小题5分，共20分）. (1)计算) cos 1(cos 1lim 0 x x x x -- + →= . (2)设()f x 在2x =连续，且2 ()3lim 2 x f x x →--存在，则(2)f = . (3)若tx x x t t f 2) 11(lim )(+ =∞ →，则=')(t f . (4)已知()f x 的一个原函数为2ln x ，则()xf x dx '?= . （1） 2 1. (2) 3 . (3)t e t 2)12(+ . (4)C x x +-2 ln ln 2. 二、（5分）计算dxdy x y D ??-2 ，其中 1010≤≤≤≤y x D ，：. 解：dxdy x y D ??-2 = dxdy y x x y D )(2 1:2 -??<+ ??≥-2 2:2 )(x y D dxdy x y -------- 2分 =dy y x dx x )(2 210 -??+dy x y dx x )(1 210 2 ??- -------------4分 = 30 11 -------------5分. 姓名： 身份证号 所在院校： 年级 专业 线 封 密 注意：1.所有答题都须写在此试卷纸密封线右边，写在其它纸上一律无效. 2.密封线左边请勿答题，密封线外不得有姓名及相关标记. 三、（10分）设)](sin[2x f y =，其中f 具有二阶 导数，求 2 2 dx y d . 解：)],(cos[)(22 2x f x f x dx dy '=---------------3分 )](sin[)]([4)](cos[)(4)](cos[)(22 2222222222 x f x f x x f x f x x f x f dx y d '-''+'=-----7分 =)]}(sin[)]([)](cos[)({4)](cos[)(222222222x f x f x f x f x x f x f '-''+'---------10分. 四、（15分）已知3 123ln 0 = -? ?dx e e a x x ，求a 的值. 解：) 23(232 1 23ln 0 ln 0 x a x a x x e d e dx e e --- =-? ?? ---------3分 令t e x =-23，所以 dt t dx e e a a x x ? ? -- =-? 231 ln 0 2 123---------6分 =a t 231 2 33 221-?-------------7分 =]1)23([3 13 --?- a ，-----------9分 由3 123ln 0 = -? ? dx e e a x x ，故]1)23([3 13 --?- a = 3 1，-----------12分 即3)23(a -=0-----------13分 亦即023=-a -------------14分 所以2 3= a -------------15分. 第二届全国大学生数学竞赛（辽宁赛区）通知 根据全国大学数学竞赛委员会工作安排，第二届大学生数学竞赛分区预赛在2010年10月30日（星期六）上午9：00—11：30举行，决赛于2011年3月份的第三周周六上午在北京航空航天大学举行。 现将xx赛区竞赛的具体事宜通知如下： 一、参赛对象： 大学本科二年级或二年级以上的在校大学生。竞赛分为非数学专业组和数学专业组(含数学与应用数学、信息与计算科学专业的学生)。数学专业学生不得参加非数学专业组的竞赛。 二、竞赛内容： 非数学专业组竞赛内容为本科高等数学内容（高等数学内容为理工科本科教学大纲规定的高等数学的教学内容）。 数学专业组竞赛内容含数学分析、高等代数和解析几何（均为数学专业本科教学大纲规定的教学内容），所占比重分别为50%、35%及15%左右。 三、报名与收费 1、各个学校务必将参赛人数和参赛学生名单9月20日前用电子邮箱发给所在考点的负责人，各个考点的负责人9月25日前将本赛区的参赛名单发给韩友发（参赛名单统一按Excel格式，见附件）； 2、报名费为每人60元，由各单位于10月20日前交齐。统一汇入如下帐号（收到款后开发票）： 单位:xx师范大学 开户行：中国建设银行大连市分行，沙河口支行(辽） 四、考点设置 根据辽宁省高校的分布情况，我们将在沈阳、大连、鞍山和锦州四个城市设立考点。每个考点要统一组织考试。其他城市的学校到就近的考点参加考试。 五、阅卷工作安排 考试结束后我们将统一阅卷。 1、阅卷时间：2010年11月6—7日。 2、阅卷地点：另行通知。 3、试卷统一印刷和分发。 4、推荐阅卷教师：每参赛５０人推荐1名阅卷教师（不足５０人按５０计算）；并注明阅卷科目，同一个学校阅卷教师要分布在不同科目（分析、代数、几何、高等数学）；阅卷教师推荐名单１０月２０日前用电子邮箱发给韩友发（名单统一按Excel格式，见附件）；由竞赛委员会确定阅卷教师。 六、评奖办法详见国家通知。 xx发联系方式 电话： 邮箱： （收到此通知后务请回复） xx数学会2010年８月23日 第二届全国大学生数学竞赛辽宁赛区竞赛委员会主任： xx（东北大学） 副主任： xx（大连理工大学） 中国大学生数学竞赛竞赛大纲 为了进一步推动高等学校数学课程的改革和建设，提高大学数学课程的教学水平，激励大学生学习数学的兴趣，发现和选拔数学创新人才，更好地实现“中国大学生数学竞赛”的目标，特制订本大纲。 一、竞赛的性质和参赛对象 “中国大学生数学竞赛”的目的是：激励大学生学习数学的兴趣，进一步推动高等学校数学课程的改革和建设，提高大学数学课程的教学水平，发现和选拔数学创新人才。 “中国大学生数学竞赛”的参赛对象为大学本科二年级及二年级以上的在校大学生。 二、竞赛的内容 “中国大学生数学竞赛”分为数学专业类竞赛题和非数学专业类竞赛题。 中国大学生数学竞赛（非数学专业类）竞赛内容为大学本科理工科专业高等数学课程的教学内容，具体内容如下： 一、函数、极限、连续 1．函数的概念及表示法、简单应用问题的函数关系的建立. 2．函数的性质：有界性、单调性、周期性和奇偶性. 3．复合函数、反函数、分段函数和隐函数、基本初等函数的性质及其图形、初等函数. 4．数列极限与函数极限的定义及其性质、函数的左极限与右极限. 5．无穷小和无穷大的概念及其关系、无穷小的性质及无穷小的比较. 6．极限的四则运算、极限存在的单调有界准则和夹逼准则、两个重要极限. 7．函数的连续性（含左连续与右连续）、函数间断点的类型. 8．连续函数的性质和初等函数的连续性. 9．闭区间上连续函数的性质(有界性、最大值和最小值定理、介值定理). 二、一元函数微分学 1. 导数和微分的概念、导数的几何意义和物理意义、函数的可导性与连续性之间的关系、平面曲线的切线和法线. 2. 基本初等函数的导数、导数和微分的四则运算、一阶微分形式的不变性. 3. 复合函数、反函数、隐函数以及参数方程所确定的函数的微分法. 4. 高阶导数的概念、分段函数的二阶导数、某些简单函数的n阶导数. 5. 微分中值定理，包括罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理和泰勒定理. 6. 洛必达(L’Hospital)法则与求未定式极限. 7. 函数的极值、函数单调性、函数图形的凹凸性、拐点及渐近线(水平、铅直和斜渐近线)、函数图形的描绘. 8. 函数最大值和最小值及其简单应用. 9. 弧微分、曲率、曲率半径. 三、一元函数积分学 1.原函数和不定积分的概念. 2.不定积分的基本性质、基本积分公式. 3.定积分的概念和基本性质、定积分中值定理、变上限定积分确定的函数及其导数、 首届全国大学生数学竞赛决赛试卷 （非数学类） 考试形式： 闭卷 考试时间： 150 分钟 满分： 100 分. 一、 计算下列各题（共20分，每小题各5分，要求写出重要步骤）. (1) 求极限1 21lim (1)sin n n k k k n n π-→∞=+∑. (2) 计算 2∑其中∑ 为下半球面z =0a >. (3) 现要设计一个容积为V 的一个圆柱体的容器. 已知上下两底的材料费为单位面积a 元，而侧面的材料费为单位面积b 元.试给出最节省的设计方案：即高与上下底的直径之比为何值时所需费用最少？ (4) 已知()f x 在11,42?? ???内满足 331()sin cos f x x x '=+，求()f x . 二、（10分）求下列极限 (1) 1lim 1n n n e n →∞????+- ? ? ?????； (2) 111lim 3n n n n n a b c →∞??++ ? ? ???, 其中0,0,0a b c >>>. 三、（10分）设()f x 在1x =点附近有定义，且在1x =点可导， (1)0,(1)2f f '==. 求 220(sin cos )lim tan x f x x x x x →++. 四、（10分） 设()f x 在[0,)+∞上连续，无穷积分0()f x dx ∞?收敛. 求 0 1lim ()y y xf x dx y →+∞?. 五、五、（12分）设函数()f x 在[0,1]上连续，在(0,1)内可微，且 1(0)(1)0,12f f f ??=== ???. 证明：(1) 存在 1,12ξ??∈ ???使得()f ξξ=；(2) 存在(0,)ηξ∈使得()()1f f ηηη'=-+. 六、（14分）设1n >为整数， 20()1...1!2!!n x t t t t F x e dt n -??=++++ ????. 证明: 方程 ()2n F x =在,2n n ?? ???内至少有一个根. 高数竞赛预赛试题（非数学类） （参加高等数学竞赛的同学最重要的是好好复习高等数学知识，适当看一些辅导书 及相关题目，主要是一些各大高校的试题。） 2009年 第一届全国大学生数学竞赛预赛试卷 一、填空题（每小题5分，共20分） 1．计算=--++??y x y x x y y x D d d 1) 1ln()(____________，其中区域D 由直线1=+y x 与两坐标轴所围成三角形区域. 解: 令v x u y x ==+,，则v u y v x -==,，v u v u y x d d d d 11 10 det d d =??? ? ? ?-=， v u u v u u u y x y x x y y x D D d d 1ln ln d d 1) 1ln()(????--= --++ ????----=---=10 2 1 00 0d 1)ln (1ln d )d ln 1d 1ln ( u u u u u u u u u u v v u u v u u u u u ? -=1 2 d 1u u u （*） 令u t -=1，则21t u -= dt 2d t u -=，42221t t u +-=，)1)(1()1(2t t t u u +-=-， ?+--=0 1 42d )21(2(*)t t t ? +-=10 42d )21(2t t t 1516513 2 21 053= ??????+-=t t t 2．设)(x f 是连续函数，且满足? -- =20 22d )(3)(x x f x x f , 则=)(x f ____________. 解: 令? = 20 d )(x x f A ，则23)(2--=A x x f ， A A x A x A 24)2(28d )23(20 2-=+-=--= ? , 解得34= A 。因此3 10 3)(2-=x x f 。 3．曲面22 22 -+=y x z 平行平面022=-+z y x 的切平面方程是__________. 浙江省首届高等数学竞赛试题（2002.12.7） 一． 计算题(每小题5分，共30分) 1 ．求极限lim x →。 2．求积分 |1|D xy dxdy -??，11{(,)2,2}22D x y x y =≤≤≤≤。 3．设2x y x e =是方程hx y ay by ce '''++=的一个解，求常数,,,a b c h 。 4．设()f x 连续，且当1x >-时，20()[()1]2(1)x x xe f x f t dt x +=+? ，求()f x 。 5．设21 1arctan 2n n k S k ==∑，求lim n n S →∞。 6．求积分1 2121(1)x x x e dx x ++ -?。 2003年浙江省大学生高等数学竞赛试题（2003.12.6） 一．计算题 7．求20 50sin()lim x x xt dt x →?。 8．设31()sin x G x t t dt =?，求21()G x dx ?。 9．求2401x dx x ∞+?。 10． 求∑=∞→++n k n k n k n 12lim 。 浙江省大学生第三届高等数学竞赛试题 1．计算：( )()2 00cos 2lim tan 1x t x x e tdt x x x →----?。 2．计算：20cos 2004 x dx x x π ππ+-+?。 3．求函数()22,415f x y x y y =++在 (){}22,41x y x y Ω=+≤上的最大、小值。 4．计算：()3max ,D xy x d σ?? ，其中(){},11,01D x y x y =-≤≤≤≤。 5. 设()1tan 1x f x arc x -=+，求)0()(n f 。 天津市竞赛题 1.证明??+≤?+020220 21cos 1sin dx x x dx x x ππ. 2. 设函数)(x f 在闭区间]2,2[-上具有二阶导数,,1)(≤x f 且 ,4)]0([)]0([22='+f f 证明：存在一点),2,2(-∈ξ使得0)()(=''+ξξf f . 3. （1）证明：当x 充分小时,不等式422tan 0x x x ≤-≤成立. （2）设,1tan 12 k n x n k n +=∑=求.lim n x x ∞ → 4. 计算??????+-??? ??+-∞→61231e 2lim n n n n n n 。5. 设()x x x f +-=11arctan ，求()()05f 。 6. 对k 的不同取值，分别讨论方程01323=+-kx x 在区间()+∞,0内根的个数。 7. 设a ，b 均为常数且2->a ，0≠a ，问a ，b 为何值时，有 ()()??-=?? ????-+++∞ +10212d 1ln d 122x x x a x x a bx x 。 8.设121-≥a ， ,,,n ,a a n n 321121=+=+，证明：n n a ∞ →lim 存在并求其值。 9.设()x f 是区间[]2+a,a 上的函数，且()1≤x f ，()1≤''x f ，证明：()2≤'x f ，[]2+∈a,a x 。 北京市竞赛试题(2008、2007、2006) .______,111,1.11 =-+++-→-m x x x m x m 则的等价无穷小是时设当 .________)1(,) ()2)(1()()2)(1()(.2='+++---=f n x x x n x x x x f 则设 第十九届北京市大学生数学竞赛本科甲、乙组试题解答 一、填空题（每小题3分，共30分） 1. ?? ????+-+-+∞→1)2(lim 61 23x e x x x x x = 1/6 . 2．设)(x f 连续，在1=x 处可导，且满足 ,0,)(8)sin 1(3)sin 1(→+=--+x x o x x f x f 则曲线)(x f y =在1=x 处的切线方程为 y =2x －2 . 3. 设243),(lim 2 20 =+-+→→y x y x y x f y x , 则 ='+')0,0()0,0(2y x f f －2 . 4．设函数()u ?可导且(0)1?=，二元函数()xy z x y e ?=+满足 0z z x y ??+=??，则()u ?=2 4u e - . 5. 设D 是由曲线x y sin = )22(π≤≤π- x 和直线2 π -=x , 1=y 所围成的区域, f 是连续函数, 则=++=??D dxdy y x f y x I )](1[223 －2 . 6. 123ln 1ln 1ln 1ln 1lim 123n n n n n n n n n n n n n n n →+∞??????????++++ ? ? ? ? ????????? ?++++= ?++++ ??? L 2ln 21- . 7. 数项级数 ∑∞ =--1 )! 2()! 2()1(n n n n n n 的和=S －1+cos1+ln2. 8. 计算积分???++π= 1 021 01 0)](6[cos dz z y x dy dx I = 1/2 . 9. 已知入射光线的路径为23 1 41-=-=-z y x , 则此光线经过平面01752=+++z y x 反射后的反射线 方程为 4 1537-= +=+z y x . 10. 设曲线2 2 2 :a y xy x C =++的长度为L , 则=++?C y x y x ds e e e b e a )sin()sin() sin()sin(L b a 2 + . 二、(10分) 设()f x 在[,)a +∞上二阶可导，且,0)(,0)(<'>a f a f 而当a x >时, ,0)(≤''x f 证明在(,)a +∞内，方程()0f x =有且仅有一个实根． 证明 由于当x a >时，,0)(≤''x f 因此'()f x 单调减，从而'()'()0f x f a ≤<，于是又有()f x 严格单调减．再由()0f a >知，()f x 最多只有一个实根． 下面证明()0f x =必有一实根．当x a >时， 第十九届北京市大学生数学竞赛本科丙组试题及解答 一、填空题（每小题3分，共30分） 1．?? ????+-+-+∞→1)2(lim 6 1 23x e x x x x x = 1/6 . 2．设)(x f 连续，在1=x 处可导，且满足 )0(,)(8)sin 1(3)sin 1(→+=--+x x o x x f x f 则曲线)(x f y =在1=x 处的切线方程为 y =2x －2 . 3．设)(x y y =是由0sin ) ln(2 =- ? +-y y x t dt e y 所确定的函数,则 ==0 y dx dy －1 . 4. 设243),(lim 2 20 0=+-+→→y x y x y x f y x , 则='+')0,0()0,0(2y x f f －2 . 5. 1sin 1cos x x e dx x +=+?tan 2 x x e C + . 6．设函数()u ?可导且(0)1?=，二元函数()xy z x y e ?=+满足 0z z x y ??+=??，则()u ?=24 u e - . 7. = += +≤+??D dxdy y x I y x y x D )32(,:22则设π4 5 . 8. 数项级数 ∑∞ =--1 )! 2()! 2()1(n n n n n n 的和=S －1+cos1+ln2. 9. 123ln 1ln 1ln 1ln 1lim 123n n n n n n n n n n n n n n n →+∞?? ????????++++ ? ? ? ? ? ???????? ? ++++= ?++++ ??? 2ln21- . 10.= ='==+'+''? ∞+0 )(1)0(,0)0(044)(dx x y y y y y y x y 则，，且满足方程函数设4 1 . 第一届全国大学生数学竞赛预赛试卷（非数学类） 一、填空题（每小题5分，共20分） 1．计算____________，其中区域由直线与两坐标轴所 围成三角形区域. 解 令，则，， （*） 令，则，，，， 2．设 是连续函数，且满足, 则____________. 解 令，则， , 解得。因此。 3．曲面平行平面的切平面方程是__________. 解 因平面的法向量为，而曲面在处的法向量为，故与平行，因此，由 =--++??y x y x x y y x D d d 1) 1ln()(D 1=+y x v x u y x ==+ ,v u y v x -==,v u v u y x d d d d 1110det d d =??? ? ??-=v u u v u u u y x y x x y y x D D d d 1ln ln d d 1) 1ln()(????--= --++????----=---=10 2 1 00 0d 1)ln (1ln d )d ln 1d 1ln ( u u u u u u u u u u v v u u v u u u u u ? -=1 2 d 1u u u u t -=121t u -=dt 2d t u -=42221t t u +-=)1)(1()1(2t t t u u +-=-?+--=01 42d )21(2(*)t t t ? +-=10 4 2 d )21(2t t t 1516513 2 21 053=??????+-=t t t )(x f ?--=2 2 2d )(3)(x x f x x f =)(x f ? = 2 d )(x x f A 23)(2--=A x x f A A x A x A 24)2(28d )23(2 2-=+-=--=?3 4= A 3103)(2 - =x x f 22 22 -+=y x z 022=-+z y x 022=-+z y x )1,2,2(-22 22 -+=y x z ),(00y x )1),,(),,((0000-y x z y x z y x )1),,(),,((0000-y x z y x z y x )1,2,2(- 2009年 第一届全国大学生数学竞赛预赛试卷 一、填空题（每小题5分，共20分） 1．计算=--++??y x y x x y y x D d d 1) 1ln()(____________，其中区域D 由直线1=+y x 与两坐标轴所围成三角形区域. 2．设)(x f 是连续函数，且满足? -- =20 22d )(3)(x x f x x f , 则=)(x f ____________. 3．曲面22 22 -+=y x z 平行平面022=-+z y x 的切平面方程是__________. 4．设函数)(x y y =由方程29ln )(y y f e xe =确定，其中f 具有二阶导数，且1≠'f ，则 =2 2d d x y ________________. 二、（5分）求极限x e nx x x x n e e e )( lim 20+++→ ，其中n 是给定的正整数. 三、（15分）设函数)(x f 连续，? =10 d )()(t xt f x g ，且A x x f x =→) (lim ，A 为常数， 求)(x g '并讨论)(x g '在0=x 处的连续性. 四、（15分）已知平面区域}0,0|),{(ππ≤≤≤≤=y x y x D ，L 为D 的正向边界，试证： （1）?? -=---L x y L x y x ye y xe x ye y xe d d d d sin sin sin sin ； （2）2sin sin 2 5 d d π? ≥--L y y x ye y xe . 五、（10分）已知x x e xe y 21+=，x x e xe y -+=2，x x x e e xe y --+=23是某二阶常系数 线性非齐次微分方程的三个解，试求此微分方程. 第七届全国大学生数学竞赛决赛试题 答案（非数学类） 2016年3月27日 一填空题（5×6分=30分） 1.程微分方 0)(y 3 ' '' ''=-y 的通解是_______ 解：令p ='y ,则'''y p =，则dx p dp 3=，积分得到12 2 1- c x p -=-，即 () x c y p -±= =1'21 ，积分得)(2y 12x c c -±=（2,1c 为常数）. 2.设D:412 2 ≤+≤y x ，则积分()( )dxdy e y x I x D 4 y 2 22-+-??+=的值是_______ 解：)52(2 2sin e 434 1 4 20 2 1 2 2 4 2 -= ==? ? ?--e du ue e rdr e r d I u r π π θθπ（对称性和极坐标）. ()ds s f x t ?=0 3.设()t f 二阶连续可导，且()t f 0≠，若 ()t f y = ， 则 ______2 2=dx y d 解：()dt t f dx =，() dt t f dy ' =，所以()() t f t f dx 'dy = ，则得 ()()()()()() t f t f t f t f dx dt t f t f dt d dx y d 32 ''''22-=???? ??= 4.设1λ，2λ，…，n λ是n 阶方阵A 的特征值，()x f 为多项式，则矩阵() A f 的行列式的值为_______ 解： ()()()()n f f f A f λ λλ 2 1 = 5.极限[])!sin(lim e n n n π∞ →的值为________ 第七届全国大学生数学竞赛决赛试题 答案（非数学类） 2016年3月27日 填空题（5 >6分=30分） 1.程微分方 y 一 (y ) = 0的通解是 _________ 解：令y 二P ,则y = p ,贝U dp = p 3 dx ，积分得到-g p ，= X -G ，即 ―1 _______________________ p = y = = _ ，积分得 y =C2±J2(G —x) (&2为常数). p 2(G -x ) * 2. __________________________________________________________ 设D: 1兰x 2 + y 2 兰4，则积分I = J ] (x + y 2 $專刊* dxdy 的值是 _____________________ t Xjf SdS 3. 设ft 二阶连续可导，且f t =o ，若 y 二f t , 则 a dx 2 I 解：dx 二 f tdt , dy = f ' t dt ，所以史二U ，则得 dx f t d 2 y _ d f (t )]dt _ f (t )f (t 卜 f (t f dx 2 dt i f (t )J dx f 3(t ) 4. 设'1，' 2，…，’n 是n 阶方阵A 的特征值，f X 为多项式，则矩阵f A 的行列式的值为 ________ 解: f （A 卜f （匕）f （扎 2 广f （匕） 5. 极限 lim.hsin （二n!e ） 的值为 ____ 解: 卫 2 2 I = 4e 4 °2d 二 r 2sin 2 廿 rdr 1 4 =—e^ ue 』du = — (2e 3 - 5)(对称性和极坐标) ■: 4 第十届全国大学生数学竞赛（非数学类）预赛试题及 一、填空题（本题满分24分, 共4小题, 每小题6分) （1）设(0,1),α∈则() lim (1)n n n αα→+∞ +-=＿＿＿＿＿＿＿. （2）若曲线()y y x =由+cos +sin 1 y x t t e ty t =?? +=?确定，则此曲线在0t =对应点处的切线方程为 （3）23/2 ln((1) x dx x ++?= （4）2 01-cos lim x x →=＿＿＿＿＿＿＿. f t ()0t ≠(1)0f =二 (本题满分8分) 设函数在时一阶连续可导，且，求函数f x -y 22()，使得曲线积分 2222 L ?y (2-f (x -y ))???? dx +xf (x -y )dy 与路径无关，其中L 为任一不与直=±y x 线相交的分段光滑闭曲线. f x ()0,11)3(f x ≤≤三 (本题满分14分) 设 在区间[ ]上连续，且 .证明： 11 14 1) 3f (x )dx dx (f x ?≤≤? . 四 (本题满分12分)计算三重积分 22 ??? x +y ()dV （V ） （V ），其中是由222x +y +(z -2)≥4，222x +y +(z -1)≤9，0z ≥所围成的空心立体. 五 (本题满分14分) 设(,)f x y 在区域D M ≤，11(,)A x y ，22(,)B x y 是D 内两点，线段AB 包含在D 内。证明：1122|(,)(,)|||f x y f x y M AB -≤，其 AB ||AB 中表示线段的长度. )0(f x >六(本题满分14分) 证明：对于连续函数，有1 1 ln f (x )dx ≥? ?ln f (x )dx . 第二届全国大学生数学竞赛（辽宁赛区）通知根据全国大学数学竞赛委员会工作安排，第二届大学生数学竞赛分区预赛在2010 年10 月30日（星期六）上午9：00—11：30 举行，决赛于2011 年3 月份的第三周周六上午在北京航空航天大学举行。现将辽宁省赛区竞赛的具体事宜通知如下： 一、参赛对象： 大学本科二年级或二年级以上的在校大学生。竞赛分为非数学专业组和数学专业组(含数学与应用数学、信息与计算科学专业的学生)。数学专业学生不得参加非数学专业组的竞赛。 二、竞赛内容： 非数学专业组竞赛内容为本科高等数学内容（高等数学内容为理工科本科教学大纲规定的高等数学的教学内容）。 数学专业组竞赛内容含数学分析、高等代数和解析几何（均为数学专业本科教学大纲规定的教学内容），所占比重分别为50%、35%及15%左右。 三、报名与收费 1、各个学校务必将参赛人数和参赛学生名单9月20日前用电子邮箱发给所在考点的负责人，各个考点的负责人9月25日前将本赛区的参赛名单发给韩友发（参赛名单统一按Excel格式，见附件）； 2、报名费为每人60元，由各单位于10月20日前交齐。统一汇入如下帐号（收到款后开发票）： 单位: 辽宁师范大学 开户行：中国建设银行大连市分行，沙河口支行(辽） 帐号： 四、考点设置 根据辽宁省高校的分布情况，我们将在沈阳、大连、鞍山和锦州四个城市设立考点。每个考点要统一组织考试。其他城市的学校到就近的考点参加考试。 五、阅卷工作安排 考试结束后我们将统一阅卷。 1、阅卷时间：2010年11月6—7日。 2、阅卷地点：另行通知。 3、试卷统一印刷和分发。 4、推荐阅卷教师：每参赛５０人推荐1名阅卷教师（不足５０人按５０计算）；并注明阅卷科目，同一个学校阅卷教师要分布在不同科目（分析、代数、几何、高等数学）；阅卷教师推荐名单１０月２０日前用电子邮箱发给韩友发（名单统一按Excel格式，见附件）；由竞赛委员会确定阅卷教师。 六、评奖办法详见国家通知。 韩友发联系方式 电话： 邮箱： （收到此通知后务请回复） 辽宁省数学会 第三届全国大学生数学竞赛决赛试题(非数学类)+部分答案 ————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期： 2 第三届全国大学生数学竞赛决赛试卷 （非数学类，2012） 本试卷共2页，共6题。全卷满分100分。考试用时150分钟。 一、（本大题共5小题，每小题6分，共30分）计算下列各题（要求写出重要步骤）. (1)222220sin cos lim sin x x x x x x →- 22222222224 004200sin cos sin cos lim lim sin (sin )(sin )(1cos )(1cos )112lim lim 22623 x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x →→→→--+-=-+-+=+=-+=g g 解： (2) 13611lim tan 12x x x x e x x →+∞????+--+ ??????? 1236 1 32363 022******** 3200336(1tan )111112:lim 1tan 1lim 2(1tan )1(1tan )1 22=lim =lim 2(1tan )+12x t t x x t t t t t t t t t e t x e x x x x t t t t t e t t t e t t t t t t e t =→+∞→→→+--+????+--+???→?? ?????+---+---=+∞??+-+?? ?? 令解 (3) 设函数(,)f x y 有二阶连续偏导数, 满足2220x yy x y xy y yy f f f f f f f -+=且 0y f ≠,(,)y y x z =是由方程(,)z f x y =所确定的函数. 求22y x ?? 2 22222 3 (,)0=()()()20 x x y y y xx yx x yx yy x y y x y xx x yx x yx x yy y y xx x yx x yy y y y x z z f x y x f y y f f x x f y y f f f f f f f y x x x x f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f =??+?=-????+-+?? ??=-=-??--+-+=- =-=解：依题意有，是函数，、是自变量将方程两边同时对求导第二届(2010年)全国大学生数学竞赛预赛试卷及参考答案(非数学类)
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