当前位置：文档库 › 初二数学梯形中常用的辅助线例题(修改版)

初二数学梯形中常用的辅助线例题(修改版)

梯形中的常用辅助线

在解（证）有关梯形的问题时，常常要添作辅助线，把梯形问题转化为三角形或平行四边形问题。本文举例谈谈梯形中的常用辅助线，以帮助同学们更好地理解和运用。

一、平移

1、平移一腰：从梯形的一个顶点作一腰的平行线，把梯形转化为一个三角形和一个平行四边形。

［例1］如图1，梯形ABCD的上底AB=3，下底CD=8，腰AD=4，求另一腰BC的取值范围。

图1

2、平移两腰：利用梯形中的某个特殊点，过此点作两腰的平行线，把两腰转化到同一个三角形中。

［例2］如图2，在梯形ABCD中，AD//BC，∠B＋∠C=90°，AD=1，BC=3，E、F分别是AD、BC的中点，连接EF，求EF的长。

图2

【变式1】（延长两腰）如图，在梯形中，，

，、为、的中点。

3、平移对角线：过梯形的一个顶点作对角线的平行线，将已知条件转化到一个三角形中。

［例3］如图3，在等腰梯形ABCD中，AD//BC，AD=3，BC=7，BD=2

5，求证：AC⊥BD。

图3

【变式2】（平移对角线）已知梯形ABCD的面积是32，两底与高的和为16，如果其中一条对角线与两底垂直，则另一条对角线长为_____________

［例4］如图4，在梯形ABCD中，AD//BC，AC=15cm，

BD=20cm ，高DH=12cm ，求梯形ABCD 的面积。

图4

二、延长

即延长两腰相交于一点，可使梯形转化为三角形。

［例5］如图5，在梯形ABCD 中，AD//BC ，∠B=50°，∠C=80°，AD=2，BC=5，求CD 的长。

图5

【变式3】如图所示，四边形ABCD 中，AD 不平行于BC ，AC ＝BD ，AD ＝BC. 判断四边形ABCD 的形状，并证明你的结论.

A B

三、作对角线

即通过作对角线，使梯形转化为三角形。

［例6］如图6，在直角梯形ABCD 中，AD//BC ，AB ⊥AD ，BC=CD ，BE ⊥CD 于点E ，求证：AD=DE 。

图6

四、作梯形的高

1、作一条高，从底边的一个端点作另一条底边的垂线，把梯形转化为直角三角形或矩形。

［例7］如图7，在直角梯形ABCD 中，AB//DC ，∠

ABC=90°，AB=2DC ，对角线AC 的BD 交点为F ，过点F 作EF//AB ，交AD 于点E ，求证：四边形ABFE 是等腰梯形。

图7

2、作两条高：从同一底边的两个端点作另一条底边的垂线，把梯形转化为两个直角三角形和一个矩形。

［例8］如图8，在梯形ABCD中，AD为上底，AB>CD，求证：BD>AC。

图8

五、作中位线

1、已知梯形一腰中点，作梯形的中位线。

［例9］如图9，在梯形ABCD中，AB//DC，O是BC 的中点，∠AOD=90°，求证：AB＋CD=AD。

图9

【变式4】（过一腰中点作底边平行线——构造中位线）已知梯形ABCD中，AD∥BC，∠DCB的平分线过AB的中点E．求证：DC=AD+BC

B C

2、已知梯形两条对角线的中点，连接梯形一顶点与一条对角线中点，并延长与底边相交，使问题转化为三角形中位线。

［例10］如图10，在梯形ABCD中，AD//BC，E、F 分别是BD、AC的中点，求证：（1）EF//AD；（2）

)

(

EF-

图10

3、在梯形中出现一腰上的中点时，过这点构造出两个全等的三角形达到解题的目的。

例11、在梯形ABCD中，AD∥BC，∠BAD=900，E是DC上的中点，连接AE和BE，求∠AEB=2∠CBE。

【变式5】如图，E是梯形ABCD中腰DC上的中点，

类型二：不添加辅助线（多数与全等、面积、梯形中位线有关系）

例1、已知：如图，四边形ABCD为矩形，四边形ABDE 为等腰梯形，。

求证：

举一反三：

【变式1】如图，已知：在梯形ABCD中，，AC、BD相交于点O.

求证：. 【变式2】如图2-43所示．在直角三角形ABC中，E是斜边AB上的中点，D是AC的中点，DF∥EC 交BC延长线于F．求证：四边形EBFD是等腰梯形．

具体做法总结如下：

【模拟试题】（答题时间：40分钟）

1. 若等腰梯形的锐角是60°，它的两底分别为11cm，35cm，则它的腰长为__________cm.

2. 如图所示，已知等腰梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝60°，AD＝2，BC＝8，则此等腰梯形的周长为（）A. 19 B. 20 C. 21 D. 22

B C

**3. 如图所示，AB∥CD，AE⊥DC，AE＝12，BD＝20，AC＝15，则梯形ABCD的面积为（）

A. 130

B. 140

C. 150

D. 160

A B

*4. 如图所示，在等腰梯形ABCD中，已知AD∥BC，对角线AC与BD互相垂直，且AD＝30，BC＝70，求BD 的长.

B C

5. 如图所示，已知等腰梯形的锐角等于60°，它的两底分别为15cm和49cm，求它的腰长.

B C

6. 如图所示，已知等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AC⊥BD，AD＋BC＝10，DE⊥BC于E，求DE的长.

B C

7. 如图所示，梯形ABCD中，AB∥CD，∠D＝2∠B，AD ＋DC＝8，求AB的长.

A B

**8. 如图所示，梯形ABCD中，AD∥BC，（1）若E 是AB的中点，且AD＋BC＝CD，则DE与CE有何位置关系？（2）E是∠ADC与∠BCD的角平分线的交点，则DE与CE有何位置关系？

B C

9、如图2-46所示．直角梯形ABCD中，∠C=90°，AD∥BC，AD+BC=AB，E是CD的中点．若AD=2，BC=8，求△ABE的面积．

梯形中的常用辅助线总结与对应练习题

例谈梯形中的常用辅助线最重要;平移两腰作出高,延长两腰也是关键;记着平移对角线,上下底和差就出现;如果出现腰中点,就把中位线细心连;上述方法不奏效,过中点旋转成全等;灵活添加辅助线,帮你度过梯形难关;想要易解梯形题,还得注意特题特解;注意梯形割与补,巧变成为□和△.基本图形如下: 一、平移 1、平移一腰：从梯形的一个顶点作一腰的平行线，把梯形转化为一个三角形和一个平行四边形。［例1］如图，梯形ABCD的上底AD=3，下底BC=8 ，腰 CD=4，求另一腰AB的取值范围。 A B C D E

【变式1】已知：如图,在梯形ABCD中,.求证：. 【变式2】已知：如图,在梯形中, .求证：梯形是等腰梯形. 2、平移两腰：利用梯形中的某个特殊点，过此点作两腰的平行线，把两腰转化到同一个三角形中。［例2］如图，在梯形ABCD中，AB//CD，∠D＋∠C=90°，BC=1，AD=3，E、F分别是AB、CD的中点，连接EF，求EF的长。【变式】如图，在梯形中，，，、为、的中点。求证：EF=1 2 (CD-AB) 3、平移对角线：一般是过上底的一个端点作一条对角线的平行线,与另一底的延长线相交,得到一个平行四边形和三角形,把梯形问题转化为平行四边形和三角形问题解决．【例3】.如图,等腰梯形中, , ,且 ,是高,是中位线,求证：．

【变式1】在等腰梯形ABCD中，AD//BC，AD=3，BC=7，BD=2 5，求证：AC⊥BD。【变式2】（平移对角线）已知梯形ABCD的面积是32，两底与高的和为16，如果其中一条对角线与两底垂直，则另一条对角线长为_____________ ［例4］在梯形ABCD中，AD//BC，AC=15cm，BD=20cm，高DH=12cm，求梯形ABCD的面积。二、延长：即延长两腰相交于一点，可使梯形转化为三角形。［例5］在梯形ABCD中，AD//BC，∠B=50°，∠C=80°，AD=2，BC=5，求CD的长。【变式1】.如图,在梯形中, , ,梯形的面积与梯形的面积相等．求证： . 【变式2】所示，四边形ABCD中，AD不平行于BC，AC＝BD，AD＝BC. 判断四边形ABCD的形状，并证明你的结论. 三、作对角线：即通过作对角线，使梯形转化为三角形。［例6］在直角梯形ABCD中，AD//BC，AB⊥AD，BC=CD，BE⊥CD于点E，求证：AD=DE。 A B C D

梯形中添加辅助线的六种常用技巧

梯形中添加辅助线的六种常用技巧浙江唐伟锋梯形是不同于平行四边形的一类特殊四边形，解决梯形问题的基本思路是通过添加辅助线，将梯形进行割补、拼接转化为三角形、平行四边形问题进行解决。一般而言，梯形中添加辅助线的常用技巧主要有以下几种—— 一、平移一腰从梯形的一个顶点作一腰的平行线，将梯形转化为平行四边形和三角形，从而利用平行四边形的性质，将分散的条件集中到三角形中去，使问题顺利得解。例1、如图①，梯形 ABCD 中AD // BC , AD=2cm , BC=7cm , AB=4cm ，求CD 的取值范围。解：过点D 作DE // AB 交BC 于E , ?/ AD // BC , DE // AB ???四边形ABED 是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形） /? DE=AB=4cm , BE=AD=2cm ? EC=BC — BE=7 — 2=5cm 在厶DEC 中，EC — DE v CD v EC + DE （三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边） ? 1cm v CD v 9cm 。、延长两腰将梯形的两腰延长，使之交于一点，把梯形转化为大、小两个三角形，从而利用特殊三角形的有关性质解决梯形问题。例2、如图②，已知梯形 ABCD 中，AD // BC , / B= / C ,求证: 图② 梯形ABCD 是等腰梯形。图① E

证明：延长BA 、CD ，使它们交于 E 点, ?/ AD // BC ???/ EAD= / B ,/ EDA= / C （两直线平行，同位角相等）又??? B= / C ???/ EAD= / EDA ? EA=ED , EB=EC （等角对等边） ? AB=DC ?梯形ABCD 是等腰梯形（两腰相等的梯形是等腰梯形）三、平移对角线从梯形上底的一个顶点向梯形外作一对角线的平行线，与下底延长线相交构成平行四边形和一特殊三角形（直角三角形、等腰三角形等）。例3、如图③，已知梯形 ABCD 中，AD=1. 5cm, BC=3.5cm,对角线 AC 丄BD ，且BD=3cm , AC=4cm ，求梯形 ABCD 的面积。解：过点D 作DE // AC 交BC 延长线于E ?/ AD // BC , DE // AC ?四边形 ACED 是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形） ? CE=AD=1 . 5cm, DE=AC=4cm ???AC 丄 BD ? DE 丄 BD BC ） h 2（CE BC ） h -BE h （h 为梯形的高） 1 1 6cm 2 BD DE 3 4 2 2 四、作高线梯形 ABCD = -（AD 2

数学常见辅助线做法与小结

几何最难的地方就是辅助线的添加了，但是对于添加辅助线，还是有规律可循的，下面可小编给大家整理了一些常见的添加辅助线的方法，掌握了对你一定有帮助！ 1 三角形中常见辅助线的添加 1. 与角平分线有关的?? （1）可向两边作垂线。?? （2）可作平行线，构造等腰三角形?? （3）在角的两边截取相等的线段，构造全等三角形?? 2. 与线段长度相关的?? （1）截长：证明某两条线段的和或差等于第三条线段时，经常在较长的线段上截取一段，使得它和其中的一条相等，再利用全等或相似证明余下的等于另一条线段即可?? （2）补短：证明某两条线段的和或差等于第三条线段时，也可以在较短的线段上延长一段，使得延长的部分等于另外一条较短的线段，再利用全等或相似证明延长后的线段等于那一条长线段即可?? （3）倍长中线：题目中如果出现了三角形的中线，方法是将中线延长一倍，再将端点连结，便可得到全等三角形。?? （4）遇到中点，考虑中位线或等腰等边中的三线合一。? 3. 与等腰等边三角形相关的??

（1）考虑三线合一?? （2）旋转一定的度数，构造全都三角形，等腰一般旋转顶角的度数，等边旋转60?° 2 四边形中常见辅助线的添加特殊四边形主要包括平行四边形、矩形、菱形、正方形和梯形.在解决一些和四边形有关的问题时往往需要添加辅助线。下面介绍一些辅助线的添加方法。 1. 和平行四边形有关的辅助线作法? ???? 平行四边形是最常见的特殊四边形之一，它有许多可以利用性质，为了利用这些性质往往需要添加辅助线构造平行四边形。? （1）利用一组对边平行且相等构造平行四边形? （2）利用两组对边平行构造平行四边形? （3）利用对角线互相平分构造平行四边形?? 2. 与矩形有辅助线作法? ? （1）计算型题，一般通过作辅助线构造直角三角形借助勾股定理解决问题? （2）证明或探索题，一般连结矩形的对角线借助对角线相等这一性质解决问题.和矩形有关的试题的辅助线的作法较少. 3. 和菱形有关的辅助线的作法? ??? ? ?

四边形辅助线常用做法

四边形常用的辅助线做法作辅助线的方法一：中点、中位线，延线，平行线。如遇条件中有中点，中线、中位线等，那么过中点，延长中线或中位线作辅助线，使延长的某一段等于中线或中位线；另一种辅助线是过中点作已知边或线段的平行线，以达到应用某个定理或造成全等的目的。二：垂线、分角线，翻转全等连。如遇条件中，有垂线或角的平分线，可以把图形按轴对称的方法，并借助其他条件，而旋转180度，得到全等形，，这时辅助线的做法就会应运而生。其对称轴往往是垂线或角的平分线。三：边边若相等，旋转做实验。如遇条件中有多边形的两边相等或两角相等，有时边角互相配合，然后把图形旋转一定的角度，就可以得到全等形，这时辅助线的做法仍会应运而生。其对称中心，因题而异，有时没有中心。故可分“有心”和“无心”旋转两种。四:造角、平、相似，和、差、积、商见。如遇条件中有多边形的两边相等或两角相等，欲证线段或角的和差积商，往往与相似形有关。在制造两个三角形相似时，一般地，有两种方法：第一，造一个辅助角等于已知角；第二，是把三角形中的某一线段进行平移。故作歌诀：“造角、平、相似，和差积商见。” 五：面积找底高，多边变三边。如遇求面积，（在条件和结论中出现线段的平方、乘积，仍可视为求面积），往往作底或高为辅助线，而两三角形的等底或等高是思考的关键。如遇多边形，想法割补成三角形；反之，亦成立。四边形平行四边形出现，对称中心等分点。梯形问题巧转换，变为△和□。平移腰，移对角，两腰延长作出高。如果出现腰中点，细心连上中位线。上述方法不奏效，过腰中点全等造。证相似，比线段，添线平行成习惯。等积式子比例换，寻找线段很关键。直接证明有困难，等量代换少麻烦。斜边上面作高线，比例中项一大片。添加辅助线解特殊四边形题特殊四边形主要包括平行四边形、矩形、菱形、正方形和梯形.在解决一些和四边形有关的问题时往往需要添加辅助线.下面介绍一些辅助线的添加方法. 和平行四边形有关的辅助线作法平行四边形是最常见的特殊四边形之一，它有许多可以利用性质，为了利用这些性质往往需要添加辅助线构造平行四边形. 平行四边形中常用辅助线的添法平行四边形（包括矩形、正方形、菱形）的两组对边、对角和对角线都具有某些相同性质，所以在添辅助线方法上也有共同之处，目的都是造就线段的平行、垂直，构成三角形的全等、相似，把平行四边形问题转化成常见的三角形、正方形等问题处理，其常用方法有下列几种，举例简解如下：（1）连对角线或平移对角线：（2）过顶点作对边的垂线构造直角三角形（3）连接对角线交点与一边中点，或过对角线交点作一边的平行线，构造线段平行或中位线（4）连接顶点与对边上一点的线段或延长这条线段，构造三角形相似或等积三角形。（5）过顶点作对角线的垂线，构成线段平行或三角形全等.

圆辅助线的常用做法

浅谈圆的辅助线作法在平面几何中，与圆有关的许多题目需要添加辅助线来解决。百思不得其解的题目，添上合适的辅助线，问题就会迎刃而解，思路畅通，从而有效地培养学生的创造性思维。添加辅助线的方法有很多，本文只通过分析探索归纳几种圆中常见的辅助线的作法。下面以几道题目为例加以说明。 1.有弦，可作弦心距在解决与弦、弧有关的问题时，常常需要作出弦心距、半径等辅助线，以便应用于垂径定理和勾股定理解决问题。例1 如图1, ⊙O 的弦AB 、CD 相交于点P ，且AC=BD 。求证：PO 平分∠APD 。分析1：由等弦AC=BD 可得出等弧 = 进一步得出 = ，从而可证等弦AB=CD ，由同圆中等弦上的弦心距相等且分别垂直于它们所对应的弦，因此可作辅助线OE ⊥AB ，OF ⊥CD ，易证△OPE≌△OPF，得出PO 平分∠APD 。证法1：作OE ⊥AB 于E ，OF ⊥CD 于F AC=BD => = => = => AB=CD => OE=OF ∠OEP=∠OFP=90 ° => △OPE≌△OPF 0OP=OP =>∠OPE=∠OPF => PO 平分∠APD 分析2：如图1-1，欲证 PO 平分∠APD ，即证 ∠OPA=∠OPD ，可把∠OPA 与∠OPD 构造在两个三角形中，证三角形全等，于是不妨作辅助线即半径OA ，OD ，因此易证△ACP ≌△DBP ，得AP=DP ，从而易证△OP A ≌△OP D 。证法2：连结OA ，OD 。 ∠CAP=∠BDP ∠APC=∠DPB =>△ACP ≌△DBP AB ( BD ， ( CD ( D 图 1 AC ( AC ( BD ( AB ( CD ( D 图1-1

第3课时：《平行四边形》(3)——梯形及梯形中常用的辅助线的作法

第3课时《四边形》（3） ——梯形及梯形中常用的辅助线的作法【知识点拨】一、梯形的定义：一组对边平行，另一组对边不平行的四边形叫做梯形。直角梯形的定义：有一个角是直角的梯形等腰梯形的定义：两腰相等的梯形。等腰梯形的性质：等腰梯形同一底边上的两个角相等；等腰梯形的两条对角线相等。等腰梯形判定定理：（1）同一底上两个角相等的梯形是等腰梯形。（2）对角线相等的梯形是等腰梯形。 [例题1]1、下列命题中，正确的个数是（） ①如果一个梯形是轴对称图形，则它一定是等腰梯形②有两个角相等的梯形，一定是等腰梯形③一组对边平行，另一组对边相等的四边形事实上是等腰梯形④对角线相等的梯形是等腰梯形 A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个【答案】：B 2、已知梯形的两个对角分别是78和120，则另两个角分别为（） A ．78和120 B ．102和 60 C ．120和 78 D ．60和120 【答案】：Ｂ 3、如图所示，在四边形ABCD 中，AD BC E ∥，是AB 的中点，若DEC △的面积为S ，则四边形ABCD 的面积为（） A ．5 2S B ．2S C ．74 S D ． 9 4 S 【答案】：B 4、已知，如图所示，在等腰梯形ABCD 中，.AD BC PA PD =∥，求证：PB PC =．【答案】：证明：四边形ABCD 是等腰梯形． .B A D C D A ∴∠ =∠ 又PA PD =， 1 2. .B A P C D P ∴∠=∠∴∠=∠ 在PBA △和PCD △中， A B D C B A P C D P P A =∠=∠=，，． .. P B A P C D P B P C ∴∴=△≌△ 1 2 A D C P B A E B C D 第3题图

初三圆中常见的辅助线的

圆中常见的辅助线的作法1．遇到弦时（解决有关弦的问题时）常常添加弦心距，或者作垂直于弦的半径（或直径）或再连结过弦的端点的半径。作用：①利用垂径定理； ②利用圆心角及其所对的弧、弦和弦心距之间的关系； ③利用弦的一半、弦心距和半径组成直角三角形，根据勾股定理求有关量。【例1】如图，已知△ABC内接于⊙O，∠A=45°，BC=2，求⊙O的面积。【例2】如图，⊙O的直径为10，弦AB＝8，P是弦AB上一个动点，那么OP的长的取值范围是_________． 2．遇到有直径时常常添加（画）直径所对的圆周角。作用：利用圆周角的性质，得到直角或直角三角形。【例3】如图，AB是⊙O的直径，AB=4，弦BC=2, ∠B= 3．遇到90°的圆周角时常常连结两条弦没有公共点的另一端点。作用：利用圆周角的性质，可得到直径。【例4】如图，AB、AC是⊙O的的两条弦，∠BAC=90°， AB=6，AC=8，⊙O的半径是

4．遇到弦时常常连结圆心和弦的两个端点，构成等腰三角形，还可连结圆周上一点和弦的两个端点。作用：①可得等腰三角形； ②据圆周角的性质可得相等的圆周角。【例5】如图，弦AB的长等于⊙O的半径，点C在弧AMB上，则∠C的度数是________. 5．遇到有切线时（1）常常添加过切点的半径（连结圆心和切点）作用：利用切线的性质定理可得OA⊥AB，得到直角或直角三角形。【例6】如图，AB是⊙O的直径，弦AC与AB成30°角，CD与⊙O切于C，交AB?的延长线于D，求证：AC=CD．（2）常常添加连结圆上一点和切点作用：可构成弦切角，从而利用弦切角定理。 6．遇到证明某一直线是圆的切线时（1）若直线和圆的公共点还未确定，则常过圆心作直线的垂线段，再证垂足到圆心的距离等于半径。【例7】如图所示，已知AB是⊙O的直径，AC⊥L于C，BD⊥L于D，且AC+BD=AB。求证：直线L与⊙O相切。（2）若直线过圆上的某一点，则连结这点和圆心（即作半径），再证其与直线垂直。【例8】如图，△ABO中，OA= OB，以O为圆心的圆经过AB中点C，且分别交OA、OB于点E、F．求证：AB是⊙O切线；

初中几何常用辅助线专题

初中几何常见辅助线做法一、三角形常见辅助线做法方法1：有关三角形中线的题目，常将中线加倍；含有中点的题目，常常做三角形的中位线，把结论恰当的转移例1、如图5-1：AD 为△ABC 的中线，求证：AB ＋AC ＞2AD 。【分析】：要证AB ＋AC ＞2AD ，由图想到： AB ＋BD ＞AD,AC ＋CD ＞AD ，所以有AB ＋AC ＋ BD ＋CD ＞AD ＋AD ＝2AD ，左边比要证结论多BD ＋CD ，故不能直接证出此题，而由2AD 想到要构造2AD ，即加倍中线，把所要证的线段转移到同一个三角形中去。证明：延长AD 至E ，使DE=AD ，连接BE ，则AE ＝2AD ∵AD 为△ABC 的中线（已知） ∴BD ＝CD （中线定义）在△ACD 和△EBD 中 ?? ???=∠=∠=)()()(辅助线的作法对顶角相等已证ED AD EDB ADC CD BD ∴△ACD ≌△EBD （SAS ） ∴BE ＝CA （全等三角形对应边相等） ∵在△ABE 中有：AB ＋BE ＞AE （三角形两边之和大于第三边） ∴AB ＋AC ＞2AD 。例2、如图4-1：AD 为△ABC 的中线，且∠1＝∠2，∠3＝∠4，求证：BE ＋CF ＞EF 证明：延长ED 至M ，使DM=DE ，连接 CM ，MF 。在△BDE 和△CDM 中， ∵?? ???=∠=∠=)()(1)(辅助线的作法对顶角相等中点的定义MD ED CDM CD BD ∴△BDE ≌△CDM （SAS ）又∵∠1＝∠2，∠3＝∠4 （已知） ∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝180°（平角的定义） ∴∠3＋∠2=90°，即：∠EDF ＝90° 1 4-图A B C D E F M 123 4A B C D E 1 5-图

专题二平行四边形常用辅助线的作法精排版

专题讲义平行四边形+几何辅助线的作法一、知识点 1．四边形的内角和与外角和定理：（1）四边形的内角和等于360°；（2）四边形的外角和等于360°. 2．多边形的内角和与外角和定理：（1）n 边形的内角和等于(n-2)180°；（2）任意多边形的外角和等于360°. 3．平行四边形的性质：四边形ABCD 是平行四边形 ?????????. 54321）邻角互补（）对角线互相平分；（）两组对角分别相等；（）两组对边分别相等；（）两组对边分别平行；（ 4、平行四边形判定方法的选择 5、和平行四边形有关的辅助线作法（1）利用一组对边平行且相等构造平行四边形例1、如图，已知点O 是平行四边形ABCD 的对角线AC 的中点，四边形OCDE 是平行四边形求证: OE 与AD 互相平分. （2）利用两组对边平行构造平行四边形例2、如图，在△ABC 中，E 、F 为AB 上两点，AE=BF ，ED//AC ，FG//AC 交BC 分别为D ，G. 求证: ED+FG=AC. （3）利用对角线互相平分构造平行四边形例3、如图，已知AD 是△ABC 的中线，BE 交AC 于E ，交AD 于F ，且AE=EF.求证BF=AC. A B C D 1234A B C D A B D O C 性质判定说明：当已知条件中涉及到平行，且要求证的结论中和平行四边形的性质有关，可说明：当图形中涉及到一组对边平行时，可通过作平行线构造另一组说明：本题通过利用对角线互相平分构造平行四边形，实际上是采用了平移法构造平行四边形.当已知中点或中线应思考这种方法.

（4）连结对角线，把平行四边形转化成两个全等三角形。例4、如图，在平行四边形ABCD 中，点F E ,在对角线AC 上，且CF AE =,请你以F 为一个端点，和图中已标明字母的某一点连成一条新线段，猜想并证明它和图中已有的某一条线段相等（只需证明一条线段即可）（5）平移对角线，把平行四边形转化为梯形。例5、如右图2，在平行四边形ABCD 中，对角线AC 和BD 相交于点O ，如果12=AC ， 10=BD ，m AB =，那么m 的取值范围是（） A 、111<

梯形部分-四种等腰梯形添加辅助线方法

梯形的所有基础知识首先认识一下梯形定义：一组对边平行而对边不平行的四边形叫做梯形。组成：在梯形ABCD中，平行的两边AB与CD叫做梯形的底，不平行的两边AD与BC叫做梯形的腰。夹在两底之间｀与底垂直的线段叫做梯形的高。分类：1 两腰相等的梯形（P28页图1 - 34）叫做等腰梯形 2 一腰与底垂直的梯形（P28页图 1- 35）叫做直角梯形好的，以上是梯形的基本知识，下面就是深入的了解梯形了梯形的性质定理性质定理一：等腰梯形同一底上的两个内角相等（课本P29）性质定理二：等腰梯形的两条对角线相等（课本P29）

然后有一个特殊一点儿的梯形就是“等腰梯形” 等腰梯形的判定定理：同一底上的两个内角相等的梯形是等腰梯形。（P30页的交流与发现小胖孩儿和小姑娘的话要仔细看看，还有就是P31的例2重点看看。）重点来咯~ ~ ~ 接下来就是今天的主角登场了 ~ 它就是“等腰梯形的辅助线” 顾名思义，“等腰梯形的辅助线”就是添加一条等腰梯形上本没有的线段来帮助我们很好的解决这道题目（注意！前提是这个图形必须是等腰梯形）但该怎么添加才会让我们做起题目来更简单更直接呢针对梯形的学习这就需要掌握一些添加辅助线的方法了好的长话短说下面就是四种添加辅助线的方法。第一种方法： P28页下半部分的例题就是第一种添加辅助线解梯形的方法这种辅助线叫做“平移一腰” 它的做法是“过点D作DE∥AB，交于BC于点E”（课本P28 图1-36）

DE就是第一种辅助线。第二种方法：叫做“作高” 它的做法是：过点A作AF⊥于BC 垂足为 F 过点D作DE⊥于BC 垂足为 E AF与DE 就是第二种辅助线。第三种方法：

梯形中添加辅助线的六种常用技巧

梯形中添加辅助线的六种常用技巧 -标准化文件发布号：（9556-EUATWK-MWUB-WUNN-INNUL-DDQTY-KII

梯形中添加辅助线的六种常用技巧浙江唐伟锋梯形是不同于平行四边形的一类特殊四边形，解决梯形问题的基本思路是通过添加辅助线，将梯形进行割补、拼接转化为三角形、平行四边形问题进行解决。一般而言，梯形中添加辅助线的常用技巧主要有以下几种—— 一、平移一腰从梯形的一个顶点作一腰的平行线，将梯形转化为平行四边形和三角形，从而利用平行四边形的性质，将分散的条件集中到三角形中去，使问题顺利得解。例1、如图①，梯形ABCD中AD∥BC，AD=2cm ，BC=7cm，AB=4cm，求CD的取值范围。解：过点D作DE∥AB交BC于E， ∵AD∥BC，DE∥AB ∴四边形ABED是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形） ∴DE=AB=4cm，BE=AD=2cm ∴EC=BC－BE=7－2=5cm 在△DEC中，EC－DE＜CD＜EC＋DE（三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边） ∴1cm＜CD＜9cm。二、延长两腰将梯形的两腰延长，使之交于一点，把梯形转化为大、小两个三角形，从而利用特殊三角形的有关性质解决梯形问题。例2、如图②，已知梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=∠

C ，求证：梯形ABC D 是等腰梯形。证明：延长BA 、CD ，使它们交于E 点， ∵AD ∥BC ∴∠EAD=∠B ，∠EDA=∠C （两直线平行，同位角相等）又∵B=∠C ∴∠EAD=∠EDA ∴EA=ED ，EB=EC （等角对等边） ∴AB=DC ∴梯形ABCD 是等腰梯形（两腰相等的梯形是等腰梯形）。三、平移对角线从梯形上底的一个顶点向梯形外作一对角线的平行线，与下底延长线相交构成平行四边形和一特殊三角形（直角三角形、等腰三角形等）。例3、如图③，已知梯形ABCD 中，AD=，BC=，对角线AC ⊥BD ，且BD=3cm ，AC=4cm ，求梯形ABCD 的面积。解：过点D 作DE ∥AC 交BC 延长线于E ∵AD ∥BC ，DE ∥AC ∴四边形ACED 是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形） ∴CE=AD=，DE=AC=4cm ∵AC ⊥BD ∴DE ⊥BD ∴S 梯形ABCD =111()()222 AD BC h CE BC h BE h +?=+?=?（h 为梯形的高） 211346cm 22 BD DE =?=??= 。

等腰梯形教学文档

19.3 等腰梯形的判定教学目标： 1.掌握等腰梯形的三种判定方法。 2.能够运用等腰梯形的判定方法进行简单的证明。 3.通过添加辅助线，把梯形问题转化成平行四边形或三角形问题，体会图形变换的方法和转化思想。教学重点：探究等腰梯形的判定定理．教学难点：灵活地运用等腰梯形的常规辅助线，并借助等腰梯形的判定解决问题。教学过程：一.复习巩固 (1)上节课所学习的梯形的常用辅助线 (2) 等腰梯形的性质: 1、等腰梯形的相等 2、等腰梯形在同一底上的相等 3、等腰梯形的两条相等 (3) 写出等腰梯形的性质对应的三个逆命题: 1、。 2、。 3、。二.小组探究证明（1）逆命题二:在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形(用三种方法) 已知在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠B=∠C ，等腰梯形的判定定理二: 梯形为等腰梯形（2）逆命题三:对角线相等的梯形是等腰梯形。已知：如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AC=BD 。求证：四边形ABCD 是等腰梯形。等腰梯形的判定定理三: 的梯形是等腰梯形知识梳理等腰梯形的三种性质与判定（二人小组互查）三.自我检测判断正误（1）有两个角相等的梯形一定是等腰梯形. ( )

（2）两条对角线相等的梯形一定是等腰梯形. ( ) （3）如果一个梯形是轴对称图形，则它一定是等腰梯形. （4）一组对边平行，另一组对边相等的四边形一定是等腰梯形. ( ) （5）对角互补的梯形一定是等腰梯形. ( ) 四.巩固提高已知:在梯形ABCD中,AD//BC,∠ACB=∠DBC. 五.拓展延伸(课后思考) 如图,等腰梯形ABCD中，AD∥BC, AC⊥BD，AD+BC=10，DE⊥BC于E，六.领会与感悟

圆中常见辅助线的添加口诀及技巧知识交流

圆中常见辅助线的添加口诀及技巧半径与弦长计算，弦心距来中间站。圆上若有一切线，切点圆心半径连。要想证明是切线，半径垂线仔细辨。是直径，成半圆，想成直角径连弦。弧有中点圆心连，垂径定理要记全。圆周角边两条弦，直径和弦端点连。要想作个外接圆，各边作出中垂线。还要作个内切圆，内角平分线梦园。如果遇到相交圆，不要忘作公共弦。若是添上连心线，切点肯定在上面。二：圆中常见辅助线的添加： 1、遇到弦时（解决有关弦的问题时）（1)、常常添加弦心距，或者作垂直于弦的半径（或直径）或再连结过弦的端点的半径。作用：①利用垂径定理； ②利用圆心角及其所对的弧、弦和弦心距之间的关系；③利用弦的一半、弦心距和半径组成直角三角形，根据勾股定理求有关量。（2）、常常连结圆心和弦的两个端点，构成等腰三角形，还可连结圆周上一点和弦的两个端点。作用：①可得等腰三角形； ②据圆周角的性质可得相等的圆周角。

2、遇到有直径时常常添加（画）直径所对的圆周角。作用：利用圆周角的性质，得到直角或直角三角形 3、遇到90°的圆周角时常常连结两条弦没有公共点的另一端点。作用：利用圆周角的性质，可得到直径。 4、遇到有切线时（1）常常添加过切点的半径（见切点连半径得垂直）作用：利用切线的性质定理可得OA⊥AB，得到直角或直角三角形。 5、遇到证明某一直线是圆的切线时（1）若直线和圆的公共点还未确定，则常过圆心作直线的垂线段，再证垂足到圆心的距离等于半径。（2）若直线过圆上的某一点，则连结这点和圆心（即作半径），再证其与直线垂直。 6、遇到三角形的内切圆时

连结内心到各三角形顶点，或过内心作三角形各边的垂线段。作用：利用内心的性质，可得：（1）内心到三角形三个顶点的连线是三角形的角平分线；（2）内心到三角形三条边的距离相等 7、遇到三角形的外接圆时，连结外心和各顶点作用：外心到三角形各顶点的距离相等。例题1、如图，已知△ABC内接于⊙O，∠A=45°，BC=2，求⊙O的面积。例题2、如图，弦AB的长等于⊙O的半径，点C在弧AMB上，则∠C的度数是 ________. 例题3、如图，AB是⊙O的直径，AB=4，弦BC=2,∠ B= 例题4、如图，AB、AC是⊙O的的两条弦，∠BAC=90°， AB=6，AC=8，⊙O的半径是

初二数学图形辅助线常见做法

八年级数学培优训练题补形法的应用班级_________ 姓名_______________________________ 分数_______________________ 一些几何题的证明或求解，由原图形分析探究，有时显得十分繁难，若通过适当的“补形”来进行，即添置适当的辅助线，将原图形填补成一个完整的、特殊的、简单的新图形，则能使原问题的本质得到充分的显示，通过对新图形的分析，使原问题顺利获解。这种方法，我们称之为补形法，它能培养思维能力和解题技巧。我们学过的三角形、特殊四边形、圆等都可以作为“补形”的对象。现就常见的添补的图形举例如下，以供参考。一、补成三角形 1. 补成三角形例1.如图1，已知E为梯形ABCD勺腰CD的中点；证明：△ ABE的面积等于梯形ABCD面积的一半。分析：过一顶点和一腰中点作直线，交底的延长线于一点，构造等面积的三角形。这也是梯形中常用的辅助线添法之一。略证： 2. 补成等腰三角形例2 如图2.已知/ A= 90°，AB= AC, / 1 = / 2, CEL BD 求证：BD= 2CE 分析：因为角是轴对称图形，角平分线是对称轴，故根据对称性作出辅助线，不难发现CF= 2CE,再证BD= CF即可。略证： 3. 补成直角三角形例3.如图3,在梯形ABCD中, AD// BC, / B+Z C= 90° F、G分别是AD BC的中点，若BC= 18, AD= 8,求FG的长分析：从Z B、Z C互余，考虑将它们变为直角三角形的角，故延长BA、CD要求FG 需求PF、PG 略解： 4. 补成等边三角形例4.图4,A ABC是等边三角形，延长BC至D,延长BA至E,使AE= BD 连结CE ED 证明：EC= ED 分析：要证明EC= ED,通常要证Z ECD=Z EDC但难以实现。这样可采用补形法即延长BD到F,使BF= BE,连结EF。略证：

2020年中考数学复习：圆中常见辅助线的作法专题练习题

圆中常见辅助线的作法 1.如图，⊙O为△ABC的外接圆，∠A＝72°，则∠BCO的度数为( ) A.15° B.18° C.20° D.28° 2.如图所示，AB是⊙O的弦，OH⊥AB于点H，点P是优弧上一点，若AB＝23，OH＝1，则∠APB的度数是( ) A.60° B.50° C.40° D.30° 3.如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为P，若CD＝8，OP＝3，则⊙O的半径为( ) A.10 B.8 C.5 D.3 4.如图所示，⊙O的半径是3，点P是弦AB延长线上的一点，连接OP，若OP＝4，∠APO＝30°，则弦AB的长是( ) A.2 5 B. 5 C.213 D.13 5.如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为P，若CD＝8，OP＝3，则⊙O的半径为( )

A．10 B．8 C．5 D．3 6. 如图所示，已知：AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，∠ABC＝50°，则∠D 为( ) A.50° B.45° C.40° D.30° 7.如图，半圆O的直径AB＝10，弦AC＝6，AD平分∠BAC，则AD的长为( ) A．8 B．5 5 C．5 D．45 8. 如图所示，在半径为5的⊙O中，AB,CD是互相垂直的两条弦，垂足为P,且AB=CD=8，则OP的长为( ) A．3 B．4 C．3 2 D．42 9.如图，AB是⊙O的弦，AB＝6，点C是⊙O上的一个动点，且∠ACB＝45°.若点M、N分别是AB、BC的中点，则MN长的最大值是 . 10.如图，AB是⊙O的直径，且经过弦CD的中点H，过CD延长线上一点E作⊙O 的切线，切点为F.若∠ACF＝65°，则∠E＝ . 11. 已知：AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，∠ABC＝50°，则∠D＝ .

初二上梯形辅助线专题训练(非常经典)

梯形辅助线专题训练口诀：梯形问题巧转换，变为△和□。平移腰，移对角，两腰延长作出高。如果出现腰中点，细心连上中位线。上述方法不奏效，过腰中点全等造。通常情况下，通过做辅助线，把梯形转化为三角形、平行四边形，是解梯形问题的基本思路。至于选取哪种方法，要结合题目图形和已知条件。常见的几种辅助线的作法如下：作法图形平移腰，转化为三角形、平行四边形。 A B C D E 平移对角线。转化为三角形、平行四边形。 A B C D E 延长两腰，转化为三角形。 A B C D E 作高，转化为直角三角形和矩形。 A B C D E F 中位线与腰中点连线。 A B C D E F

（一）、平移 1、平移一腰：例1. 如图所示，在直角梯形ABCD 中，∠A ＝90°，AB ∥DC ，AD ＝15，AB ＝16，BC ＝17. 求CD 的长. 解：过点D 作DE ∥BC 交AB 于点E. 又AB ∥CD ，所以四边形BCDE 是平行四边形. 所以DE ＝BC ＝17，CD ＝BE. 在R t △DAE 中，由勾股定理，得 AE 2＝DE 2－AD 2，即AE 2＝172－152＝64. 所以AE ＝8. 所以BE ＝AB －AE ＝16－8＝8. 即CD ＝8. 例2如图，梯形ABCD 的上底AB=3，下底CD=8，腰AD=4，求另一腰BC 的取值范围。解：过点B 作BM//AD 交CD 于点M ，在△BCM 中，BM=AD=4， CM=CD －DM=CD －AB=8－3=5，所以BC 的取值范围是： 5－4

初中平面几何常见添加辅助线的方法(完整资料).doc

此文档下载后即可编辑初中几何辅助线做法辅助线，如何添？把握定理和概念。还要刻苦加钻研，找出规律凭经验。三角形图中有角平分线，可向两边作垂线。也可将图对折看，对称以后关系现。角平分线平行线，等腰三角形来添。角平分线加垂线，三线合一试试看。线段垂直平分线，常向两端把线连。要证线段倍与半，延长缩短可试验。三角形中两中点，连接则成中位线。三角形中有中线，延长中线等中线。四边形平行四边形出现，对称中心等分点。梯形里面作高线，平移一腰试试看。平行移动对角线，补成三角形常见。证相似，比线段，添线平行成习惯。等积式子比例换，寻找线段很关键。直接证明有困难，等量代换少麻烦。斜边上面作高线，比例中项一大片。圆半径与弦长计算，弦心距来中间站。圆上若有一切线，切点圆心半径连。切线长度的计算，勾股定理最方便。要想证明是切线，半径垂线仔细辨。是直径，成半圆，想成直角径连弦。弧有中点圆心连，垂径定理要记全。圆周角边两条弦，直径和弦端点连。弦切角边切线弦，同弧对角等找完。

要想作个外接圆，各边作出中垂线。还要作个内接圆，内角平分线梦圆。如果遇到相交圆，不要忘作公共弦。内外相切的两圆，经过切点公切线。若是添上连心线，切点肯定在上面。要作等角添个圆，证明题目少困难。辅助线，是虚线，画图注意勿改变。假如图形较分散，对称旋转去实验。基本作图很关键，平时掌握要熟练。解题还要多心眼，经常总结方法显。切勿盲目乱添线，方法灵活应多变。分析综合方法选，困难再多也会减。一、见中点引中位线，见中线延长一倍在几何题中，如果给出中点或中线，可以考虑过中点作中位线或把中线延长一倍来解决相关问题。二、在比例线段证明中，常作平行线。作平行线时往往是保留结论中的一个比，然后通过一个中间比与结论中的另一个比联系起来。三、对于梯形问题，常用的添加辅助线的方法有 1、过上底的两端点向下底作垂线 2、过上底的一个端点作一腰的平行线 3、过上底的一个端点作一对角线的平行线 4、过一腰的中点作另一腰的平行线 5、过上底一端点和一腰中点的直线与下底的延长线相交 6、作梯形的中位线 7、延长两腰使之相交四、在解决圆的问题中 1、两圆相交连公共弦。 2、两圆相切，过切点引公切线。 3、见直径想直角 4、遇切线问题，连结过切点的半径是常用辅助线 5、解决有关弦的问题时，常常作弦心距。

梯形中常见辅助线及例题

例谈梯形中的常用辅助线在解（证）有关梯形的问题时，常常要添作辅助线，把梯形问题转化为三角形或平行四边形问题。本文举例谈谈梯形中的常用辅助线，以帮助同学们更好地理解和运用。一、平移 1、平移一腰：从梯形的一个顶点作一腰的平行线，把梯形转化为一个三角形和一个平行四边形。［例1］如图1，梯形ABCD的上底AB=3，下底CD=8，腰AD=4，求另一腰BC的取值范围。 2、平移两腰：利用梯形中的某个特殊点，过此点作两腰的平行线，把两腰转化到同一个三角形中。［例2］如图2，在梯形ABCD中，AD//BC，∠B＋∠C=90°，AD=1，BC=3，E、F分别是AD、BC的中点，连接EF，求EF的长。 3、平移对角线：过梯形的一个顶点作对角线的平行线，将已知条件转化到一个三角形中。［例3］如图3，在等腰梯形ABCD中，AD//BC，AD=3，BC=7，BD=2 5，求证：AC⊥BD。【变式1】（平移对角线）已知梯形ABCD的面积是32，两底与高的和为16，如果其中一条对角线与两底垂直，则另一条对角线长为_____________ ［例4］如图4，在梯形ABCD中，AD//BC，AC=15cm，BD=20cm，高DH=12cm，求梯形ABCD的面积。二、延长即延长两腰相交于一点，可使梯形转化为三角形。［例5］如图5，在梯形ABCD中，AD//BC，∠B=50°，∠C=80°，AD=2，BC=5，求CD的长。【变式2】如图所示，四边形ABCD中，AD不平行于BC，AC＝BD，AD＝BC. 判断四边形ABCD的形状，并证明你的结论. 【变式3】（延长两腰）如图，在梯形中，，，、为、的中点。三、作对角线即通过作对角线，使梯形转化为三角形。［例6］如图6，在直角梯形ABCD中，AD//BC，AB ⊥AD，BC=CD，BE⊥CD于点E，求证：AD=DE。四、作梯形的高 1、作一条高，从底边的一个端点作另一条底边的垂线，把梯形转化为直角三角形或矩形。［例7］如图7，在直角梯形ABCD中，AB//DC，∠ABC=90°，AB=2DC，对角线AC⊥BD，垂足为F，过点F作EF//AB，交AD于点E，求证：四边形ABFE是等腰梯形。图7 2、作两条高：从同一底边的两个端点作另一条底边的垂线，把梯形转化为两个直角三角形和一个矩形。 A B C D

圆中常见的辅助线

圆中常见的辅助线 LG GROUP system office room 【LGA16H-LGYY-LGUA8Q8-LGA162】

圆中常见辅助线的做法一．遇到弦时（解决有关弦的问题时） 1.常常添加弦心距，或作垂直于弦的半径（或直径）或再连结过弦的端点的半径。作用：①利用垂径定理； ②利用圆心角及其所对的弧、弦和弦心距之间的关系； ③利用弦的一半、弦心距和半径组成直角三角形，根据勾股定理求有关量。例：如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C、D二点.求证：AC = BD 证明:过O作OE⊥AB于E ∵O为圆心，OE⊥AB ∴AE = BE CE = DE ∴AC = BD 练习：如图，AB为⊙O的弦，P是AB上的一点，AB = 10cm，PA = 4cm.求⊙O的半径. 2.有等弧或证弧等时常连等弧所对的弦或作等弧所对的圆心角. 例：如图，已知AB是⊙O的直径，M、N分别是AO、BO的中点，CM⊥AB,DN⊥AB,求证：AC BD = 证明：（一）连结OC、OD ∵M、N分别是AO、BO的中点 ∴OM = 1 2 AO、ON = 1 2 BO ∵OA = OB ∴OM = ON ∵CM⊥OA、DN⊥OB、OC = OD ∴Rt△COM≌Rt△DON ∴∠COA = ∠DOB ∴AC BD = （二）连结AC、OC、OD、BD ∵M、N分别是AO、BO的中点 ∴AC = OC BD = OD ∵OC = OD ∴AC = BD ∴AC BD = 3.有弦中点时常连弦心距例：如图，已知M、N分别是⊙O 的弦AB、CD的中点,AB = CD，求证：∠AMN = ∠CNM 证明：连结OM、ON ∵O为圆心，M、N分别是弦AB、CD的中点 ∴OM⊥AB ON⊥CD ∵AB = CD ∴OM = ON ∴∠OMN = ∠ONM

初二数学梯形中常用的辅助线例题(修改版)

梯形中的常用辅助线总结与对应练习题

梯形中添加辅助线的六种常用技巧

数学常见辅助线做法与小结

四边形辅助线常用做法

圆辅助线的常用做法

第3课时：《平行四边形》(3)——梯形及梯形中常用的辅助线的作法

初三圆中常见的辅助线的

初中几何常用辅助线专题

专题二平行四边形常用辅助线的作法精排版

梯形部分-四种等腰梯形添加辅助线方法

梯形中添加辅助线的六种常用技巧

等腰梯形教学文档

圆中常见辅助线的添加口诀及技巧知识交流

初二数学图形辅助线常见做法

最新梯形常见辅助线作法(教师版)

2020年中考数学复习： 圆中常见辅助线的作法 专题练习题

初二上梯形辅助线专题训练(非常经典)

初中平面几何常见添加辅助线的方法(完整资料).doc

梯形中常见辅助线及例题

圆中常见的辅助线

2020年中考数学复习：圆中常见辅助线的作法专题练习题