09小升初几何重点考查内容————(五大模型——三角形等积变形、共角模型)

小升初几何重点考查内容

(★★★)

已知三角形DEF的面积为18，AD∶BD＝2∶3，AE∶CE＝1∶2，BF∶CF＝3∶2，则三角形ABC的面积为？

(★★★)

如图，已知三角形ABC面积为1，延长AB至D，使BD＝AB；延长BC至E，使CE＝2BC；延长CA至F，使AF＝3AC，求三角形DEF的面积。

(★★★★)

如图将四边形ABCD四条边AB、CB、CD、AD分别延长两倍至点E、F、G、H，若四边形ABCD的面积为5cm2，则四边形EFGH的面积是多少？

(★★★)

图中三角形ABC的面积是180平方厘米，D是BC的中点，AD的长是AE长的3倍，EF的长是BF长的3倍。那么三角形AEF的面积是多少平方厘米

(★★★★)

如图，大长方形由面积是12平方厘米、24平方厘米、36平方厘米、48平方厘米的四个小长方形组合而成。求阴影部分的面积。

(★★★★★)

(2009年“学而思杯”六年级)

如图BC ＝45，AC ＝21，△ABC 被分成9个面积相等的小三角形，那么DI ＋FK ＝_____。

在线测试题

温馨提示：请在线作答，以便及时反馈孩子的薄弱环节。

1．★★★★设111,,,345

AD AB BE BC FC AC ===如果三角形DEF 的面积为19平方厘米，那么三角形ABC 的面积是多少平方厘米？

A ．46.7

B ．45.3

C ．45.6

D ．46.5

2．★★★如下图，将三角形ABC 的BA 边延长1倍到D ，CB 的边延长2倍到E ，AC 边延长1倍到F 。如果三角形ABC 的面积等于1，那么三角形DEF 的面积是多少？

A ．10

B ．8

C ．9

D ．11

3．★★★★★如图，把四边形ABCD 的各边都延长3倍，得到一个新四边形EFGH ，如果ABCD 的面积是6，则EFGH 的面积是()?A ．130B ．145C ．160D ．150

4．★★★★如图，D 是BC 的中点，AD 的长是AE 长的3倍，EF 的长是BF 长的3倍．三角形AEF 的面积是18平方厘米，三角形ABC 的面积是()平方厘米？

A ．144

B ．168

C ．72

D ．100

5．★★图中的E 、F 、G 分别是正方形ABCD 三条边的三等分点，如果正方形的边长是12，那么阴影部分的面积是()

A ．50

B ．48

C ．56

D ．45

6．★★★如图，1ABC S =△，5BC BD =，4AC EC =，DG GS SE ==，AF FG =。三角形FGS 的面积是()。A ．4B ．2C ．2D ．1S G

F

E

C B

A

小高奥数几何-三角形五大模型及例题解析 (1)

三角形五大模型 【专题知识点概述】 本讲复习以前所学过的有关平面几何方面的知识，旨在提高学生对该部分知识的综合运用能力。 重点模型重温 一、等积模型 ①等底等高的两个三角形面积相等； ②两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比； 两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比； 如右图12::S S a b = ③夹在一组平行线之间的等积变形，如右图ACD BCD S S =△△； 反之，如果ACD BCD S S =△△，则可知直线AB 平行于CD ． ④等底等高的两个平行四边形面积相等(长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形)； ⑤三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半； ⑥两个平行四边形高相等，面积比等于它们的底之比；两个平行四边形底相等，面积比等于它们的高之比． 二、等分点结论（“鸟头定理”） 如图，三角形AED 占三角形ABC 面积的 23×14=16 三、任意四边形中的比例关系 （“蝴蝶定理”） ① S 1︰S 2=S 4︰S 3 或者S 1×S 3=S 2×S 4 ② ②AO ︰OC=（S 1+S 2）︰（S 4+S 3） D C B A b

梯形中比例关系（“梯形蝴蝶定理”） ① S 1︰S 3=a 2︰b 2 ②S 1︰S 3︰S 2︰S 4= a 2︰b 2︰ab ︰ab ; ③S 的对应份数为（a+b ）2 模型四：相似三角形性质 如何判断相似 (1)相似的基本概念： 两个三角形对应边城比例，对应角相等。 (2)判断相似的方法： ①两个三角形若有两个角对应相等则这两个三角形相似； ②两个三角形若有两条边对应成比例，且这两组对应边所夹的角相等则两个 三角形相似。 h h H c b a C B A a c b H C B A ① a b c h A B C H === ; ② S 1︰S 2=a 2︰A 2 模型五：燕尾定理

小学奥数之几何五大模型精编版

一、等积变换模型 ⑴等底等高的两个三角形面积相等； 其它常见的面积相等的情况 ⑵两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比； 两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比。 如上图12::S S a b = ⑶夹在一组平行线之间的等积变形，如下图ACD BCD S S =△△； 反之，如果ACD BCD S S =△△，则可知直线AB 平行于CD 。 ⑷正方形的面积等于对角线长度平方的一半； ⑸三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半； 五大模型 1S 2 S

二、鸟头定理（共角定理）模型 两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形。 共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比。 如图，在ABC △中，,D E 分别是,AB AC 上的点(如图1)或D 在BA 的延长线上，E 在AC 上(如图2)，则:():()ABC ADE S S AB AC AD AE =??△△ 图1 图2 三、蝴蝶定理模型 任意四边形中的比例关系(“蝴蝶定理”)： ①1243::S S S S =或者1324S S S S ?=?②()()1243::AO OC S S S S =++ 蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径．通过构造模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系。 梯形中比例关系(“梯形蝴蝶定理”) ①2213::S S a b = ②221324::::::S S S S a b ab ab =； ③梯形S 的对应份数为()2 a b +。

(完整版)一元一次方程的应用等积变形问题

一元一次方程的应用等积变形问题 【学习目标】 1.知识与技能：会找等积变形问题类型应用题的相等关系设未知数列方程 2.过程与方法：通过学生观察、独立思考等过程，培养学生分析解决问题的能力； 3.情感态度价值观：激发学生浓厚的学习兴趣，使学生有独立思考、勇于创新的精神，养成按客观规律办事的良好习惯； 重点：找相等关系，设未知数列方程． 难点：分析题意，找等积变形问题类型应用题的相等关系设未知数列方程。 一．自主探究（前置性学习） 探究活动（一） 本课内容必备： 圆柱体积公式： 长方体体积公式： 如图，已知圆柱(2)的体积是圆柱(1)的体积的3倍，求圆柱(1)的高(图中φ40表示直径为40毫米) （二）知识盘点：（三）学习中还有哪些疑问没有解决？ 二．合作探究 （一）交流展示 1、用直径为4cm的圆钢（截面为圆形的实心长条钢材）铸造3个直径为2cm，高为16cm的圆柱形零件，则需要截取多长的圆钢？ 2、某铜铁厂要锻造长、宽、高分别为260mm、150 mm、130 mm的长方体毛坯，需要截取截面积为 130 mm2的方钢多长？

（二）体验成功 1、用直径为4厘米的圆钢，铸造三个直径为2厘米，高为16厘米的圆柱形零件，问需要截取多长的圆钢？ 2、某机器加工厂要锻造一个毛胚，上面是一个直径为20毫米，高为40毫米的圆柱，下面也是一个圆柱，直径为60毫米，高为20毫米，问需要直径为40毫米的圆钢多长？ 小结：解决此类问题中的等量关系是： 跟踪训练： 1、某工厂锻造直径为60毫米，高20毫米的圆柱形瓶内装水，再将瓶内的水倒入一个底面直径6厘米、高10厘米的圆柱形玻璃杯中，能否完全装下？若装不下，那么瓶内水面还有多高？若未能装满，求杯内水面离杯口的距离。 课后思考： 1、将一罐满水的直径为40厘米，高为60厘米的圆柱形水桶里的水全部灌于另一半径为30厘米的圆柱形水桶里，问这时水的高度是多少？

几何图形 五大模型

直线形面积计算的五大模型 一、等积变换模型 （1） 等底等高的两个三角形面积相等； （2） 两个三角形的底相等，面积比等于他们高的比；（或者两个三角形的高相等，面积比 等于他们底的比） AB 为公共边，所以 21::ABC ABD s s h h ??= 1h 为公共的高，所以 1 2 ::BD DC s s = （3） 两个三角形面积的比等于这两个三角形底与各自对应高的乘积的比。 底和高均不同，所以 ()21 ::)(ABD CDE BD DC h s s h ??=?? 比如：两个三角形的底的比是5:3，与各自底对应的高的比是7:6， 那么他们的面积的比是（5×7）：（3×6） 二、鸟头定理（共角定理） 两个三角形中有一个角相等或者互补，这两个三角形叫做共角三角形。 共角三角形的面积比等于对应角（相等角或互补角）两条夹边的乘积之比。 BAC DAC ∠∠和互补，::DAC BAC DA AC BA AC s s ??=??所以 E :E :D A B A C D A A B A A C s s ?? ∠=??A 为公共角，所以 推理过程：连接BE ，运用等积变换模型证明。

三、蝴蝶定理模型 1．任意四边形中的比例关系（蝴蝶定理） 1 2 4 3 ::s s s s =或者1 3 4 2 s s s s ?=? 1 4 2 3 1 2 4 3 +AO:OC s s s s s s s s == =：：（）：（+） 蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径。通过构造模型，一方面可以是不规则四边形的面积关系与四边形内三角形相联系；另一方面也可以得到与面积对应的对角线被分割的两段之间的比例关系。 2．梯形中比例关系（梯形蝴蝶定理） 22 13 :a b s s =： 22 1324 ::a b s s s s =：：：ab ：ab 整个梯形对应的面积份数为： 2 (a+b) 四、相似模型 相似三角形性质： （金字塔模型） （沙漏模型） 下面的比例关系适用如上两种模型： 1、 AD AE DE AF AB AC BC AG === 2、 22 ::ADE ABC s s AF AG ??= 所谓的相似三角形，就是形状相同，大小不同的三角形（只要其形状不改变，不论大小怎样改变，他们都是相似的），与相似三角形相关的常用的性质以及定理如下： （1） 相似三角形的一切对应线段的长度成比例，并且这个比例等于他们的相似比； （2） 相似三角形的面积比等于他们的相似比的平方。

几何五大模型汇总

小学平面几何五大模型 一、 共角定理 两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形． 共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比．如图在ABC △中，,D E分别是, AB AC上的点如图⑴(或D在BA的延长线上，E在AC上)，则:():() S S AB AC AD AE =?? △△ 证明：由三角形面积公式S=1/2*a*b*sinC可推导出 若△ABC和△ADE中， ∠BAC=∠DAE 或∠BAC+∠DAE=180°， 则 ADE ABC S S ? ? = AE AD AC AB ? ? 二、等积模型 ①等底等高的两个三角形面积相等； ②两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比； 两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比； 如下图 12 :: S S a b = ③夹在一组平行线之间的等积变形，如右图 ACD BCD S S= △△ ； 反之，如果 ACD BCD S S = △△ ，则可知直线AB平行于CD． ④等底等高的两个平行四边形面积相等(长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形)； ⑤三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半； ⑥两个平行四边形高相等，面积比等于它们的底之比；两个平行四边形底相等，面积比等于它们的高之比． b a S2 S1 D C B A

三、蝶形定理 1、任意四边形中的比例关系(“蝶形定理”)： ①1243::S S S S =或者1324S S S S ?=? ②()()1243::AO OC S S S S =++ 速记：上×下=左×右 蝶形定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径．通过构造模型，一方面 可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系． 2、梯形中比例关系(“梯形蝶形定理”)： ①2213::S S a b = ②221324::::::S S S S a b ab ab =； ③S 的对应份数为()2a b +． 四、相似模型 (一)金字塔模型 (二) 沙漏模型 G F E A B C D A B C D E F G ①AD AE DE AF AB AC BC AG ===； ②22:ADE ABC S S AF AG =△△：． 相似三角形，就是形状相同，大小不同的三角形(只要其形状不改变，不论大小怎样改变它们都相似)，与相似三角形相关的常用的性质及定理如下： ⑴相似三角形的一切对应线段的长度成比例，并且这个比例等于它们的相似比； ⑵相似三角形的面积比等于它们相似比的平方； A B C D O b a S 3 S 2 S 1S 4 S 4 S 3 S 2 S 1O D C B A

小学奥数 几何五大模型(等高模型)

模型一 三角形等高模型 已经知道三角形面积的计算公式： 三角形面积=底?高2÷ 从这个公式我们可以发现：三角形面积的大小，取决于三角形底和高的乘积． 如果三角形的底不变，高越大(小)，三角形面积也就越大(小)； 如果三角形的高不变，底越大(小)，三角形面积也就越大(小)； 这说明当三角形的面积变化时，它的底和高之中至少有一个要发生变化．但是，当三角形的底和高同时发生变化时，三角形的面积不一定变化．比如当高变为原来的3倍，底变为原来的13 ，则三角形面积与原来的一样．这 就是说：一个三角形的面积变化与否取决于它的高和底的乘积，而不仅仅取决于高或底的变化．同时也告诉我们：一个三角形在面积不改变的情况下，可以有无数多个不同的形状． 在实际问题的研究中，我们还会常常用到以下结论： ①等底等高的两个三角形面积相等； ②两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比； 两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比； 如图 12::S S a b = b a S 2S 1 D C B A ③夹在一组平行线之间的等积变形，如右上图ACD BCD S S =△△； 三角形等高模型与鸟头模型

反之，如果ACD BCD S S △△，则可知直线AB 平行于CD ． ④等底等高的两个平行四边形面积相等(长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形)； ⑤三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半； ⑥两个平行四边形高相等，面积比等于它们的底之比； 两个平行四边形底相等，面积比等于它们的高之比．

【例 1】 你有多少种方法将任意一个三角形分成：⑴ 3 个面积相等的三角形； ⑵ 4个面积相等的三角形；⑶6个面积相等的三角形。 【解析】 ⑴ 如下图，D 、E 是BC 的三等分点，F 、G 分别是对应线段的中点， 答案不唯一： C E D B A F C D B A G D B A ⑵ 如下图，答案不唯一，以下仅供参考： ⑸ ⑷⑶⑵⑴ ⑶如下图，答案不唯一，以下仅供参考： 【例 2】 如图，BD 长12厘米，DC 长4厘米，B 、C 和D 在同一条直线上。 ⑴ 求三角形ABC 的面积是三角形ABD 面积的多少倍？ ⑵ 求三角形ABD 的面积是三角形ADC 面积的多少倍？ 【解析】 因为三角形ABD 、三角形ABC 和三角形ADC 在分别以BD 、BC 和DC 为底时，它们的高都是从A 点向BC 边上所作的垂线，也就是说三个三角形的高相等。 于是：三角形ABD 的面积12=?高26÷=?高 三角形ABC 的面积124=+?（）高28÷=?高 三角形ADC 的面积4=?高22÷=?高 所以，三角形ABC 的面积是三角形ABD 面积的43 倍； 三角形ABD 的面积是三角形ADC 面积的3倍。 【例 3】 如右图，ABFE 和CDEF 都是矩形，AB 的长是4厘米，BC 的长是3厘米， 那么图中阴影部分的面积是 平方厘米。 C D B A

五大模型(三角型等积变形、共角模型

杨秀情一一六年级秋季一一配套练习 【练练1】 如图，长方形ABCD的面积是56平方厘米，点E、F、G分别是长方形ABCD边上的中点, H为AD边上的任意一点，求阴影部分的面积. 【练练2】 图中的E、F、G分别是正方形ABCD三条边的三等分点，如果正方形的边长是12，那么阴影部分的面积是_______ _ 【练练3】 （2008年”希望杯”二试六年级） 如图，E、F、G、H分别是四边形ABCD各边的中点，FG与FH交于点O, S i、S2、S3及S4分 别表示四个小四边形的面积?试比较s S3与S2 S4的大小.

【练练4】 如图，三角形ABC中，DC 2BD , CE 3AE，三角形ADE的面积是20平方厘米，三角形ABC的面积是多少？ 【练练5】 （2008年第一届“学而思杯”综合素质测评六年级2试） 如图，BC 45，AC 21，ABC被分成9个面积相等的小三角形，那么 DI FK __________ .

【练练 6】 如右图，ABFE和CDEF都是矩形, 分的面积是_________ 平方厘米.

【练练7】 （2009年四中小升初入学测试题）如图所示，平行四边形的面积是50平方厘米，则阴影部分的面积是_________ 平方厘米. 【练练8】 如下图，长方形AFEB和长方形FDCE拼成了长方形ABCD，长方形ABCD的长是20 ,宽是12，则它 内部阴影部分的面积是_________ ?

B E C 【练练9】 （第三届“华杯赛”初赛试题）一个长方形分成4个不同的三角形，绿色三角形面积占长 方形面积的15%，黄色三角形面积是21cm2?问：长方形的面积是多少平方厘米？ 【练练10】 如图，正方形ABCD的边长为6, AE 1 .5, CF 2 .长方形EFGH的面积为________________

等积变形应用题

等积变形应用题 一“等积变形"是以形状改变而体积不变为前提。 等积变形类应用题的基本关系式：变形前的体积（容积）＝变形后的体积（容积）。 二练习题 1、用直径为4cm的圆钢（截面为圆形的实心长条钢材）铸造3个直径为2cm，高为16cm的圆柱形零件，则需要截取多长的圆钢？ 2、某铜铁厂要锻造长、宽、高分别为260mm、150 mm、130 mm的长方体毛坯，需要截取地面积为 130 mm2的方钢多长？ 3、某机器加工厂要锻造一个毛胚，上面是一个直径为20毫米，高为40毫米的圆柱，下面也是一个圆柱，直径为60毫米，高为20毫米，问需要直径为40毫米的圆钢多长？ 4、将一罐满水的直径为40厘米，高为60厘米的圆柱形水桶里的水全部灌于另一半径为30厘米的圆柱形水桶里，问这时水的高度是多少？ 5、一个直径为1.2米高为1.5米的圆柱形水桶，已装满水，向一个底面边长为1米的正方形铁盒倒水，当铁盒装满水时，水桶中的水高度下降了多少米。 6、有一块棱长为4厘米的正方体铜块，要将它熔化后铸成长2厘米、宽4厘米的长方体铜块，铸成后的铜块的高是多少厘米（不计损耗）？ 7 某工厂锻造直径为60毫米，高20毫米的圆柱形瓶内装水，再将瓶内的水倒入一个底面直径6厘米、高10厘米的圆柱形玻璃杯中，能否完全装下？若装不下，那么瓶内水面还有多高？若未能装满，求杯内水面离杯口的距离。 8 有一个圆柱形铁块，底面直径为20厘米，高为26厘米，把它锻造成长方体毛胚，若使长方体的长为10π厘米，宽为13厘米，求长方体的高。 9 用一个底面半径为5厘米的圆柱形储油器，油液中浸有钢珠，若从中捞出546π克钢珠，问液面下降了多少厘米？（1立方厘米钢珠7.8克） 10 小圆柱的直径是8厘米，高6厘米，大圆柱的直径是10厘米，并且它的体积是小圆柱体体积的2.5倍，则大圆柱的高是多少厘米？ 11 一个长、宽、高分别是9厘米、7厘米、3厘米的长方体铁块和一个棱长为5厘米的正方体铁块，熔化成一个圆柱体，其底面直径为20厘米，请求圆柱体的高（π取3.14） 12 一个长方形的周长为36厘米，若长减少4厘米，宽增加2厘米，长方形就变成正方形，求正方形的边长。 13 用一根20厘米的铁丝围成一个长方形（1）使得长方形的长比宽大2.6厘米，此时，长方形的长、宽各是多少厘米？（2）使得长方形的长与宽相等，此时正方形的边长是多少厘米？ 14 要锻造一个半径为5厘米，高为8厘米的圆柱形毛胚，应截取半径为4厘米的圆钢多长？ 15 .现有直径为0.8米的圆柱形钢坯30米，可足够锻造直径为0.4米，长为3米的圆柱形机轴多少根？ 16 猜想：①在周长不变时，如果围成的图形是长方形，那么当长宽之差越来越小时，长方形 的面积越来越______(填“大”或“小”)，②在周长不变时，所围成的各种平面图形中，______的面积最大．

小学数学几何五大模型教师版

几何五大模型 一、五大模型简介 （1）等积变换模型 1、等底等高的两个三角形面积相等； 2、两个三角形高相等，面积之比等于底之比，如图①所示，S1：S2=a:b； 3、两个三角形底相等，面积在之比等于高之比，如图②所示，S1：S2=a:b； 4、在一组平行线之间的等积变形，如图③所示，S△ACD=S△BCD；反之，如果S△ACD=S△BCD，则可知直线AB平行于CD。 例、如图，三角形ABC的面积是24，D、E、F分别是BC、AC、AD的中点，求三角形DEF的面积。

（2）鸟头（共角）定理模型 1、两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫共角三角形； 2、共角三角形的面积之比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比。 如图下图三角形ABC中，D、E分别是AB、AC上或AB、AC延长线上的点 则有：S△ABC：S△ADE=（AB×AC）：（AD×AE） 我们现在以互补为例来简单证明一下共角定理！ 如图连接BE，根据等积变化模型知，S△ADE：S△ABE=AD：AB、S△ABE：S△CBE=AE：CE，所以S△ABE：S△ABC=S△ABE：（S△ABE+S△CBE）=AE：AC，因此S△ADE：S△ABC=（S△ADE：S△ABE）×（S△ABE：S△ABC）=（AD：AB）×（AE：AC）。 例、如图在ΔABC中，D在BA的延长线上，E在AC上，且AB：AD=5:2，AE：EC=3:2，△ADE的面积为12平方厘米，求ΔABC的面积。

（3）蝴蝶模型 1、梯形中比例关系(“梯形蝴蝶定理”) 例、如图，梯形ABCD，AB与CD平行，对角线AC、BD交于点O，已知△AOB、△BOC 的面积分别为25平方厘米、35平方厘米，求梯形ABCD的面积。 2、任意四边形中的比例关系(“蝴蝶定理”)：

小学奥数_几何五大模型(鸟头模型)讲解学习

模型二 鸟头模型 两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形． 共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比． 如图在ABC △中，,D E 分别是,AB AC 上的点如图 ⑴(或D 在BA 的延长线上，E 在AC 上如图 2)， 则:():()ABC ADE S S AB AC AD AE =??△△ E D C B A E D C B A 图⑴ 图⑵ 【例 1】 如图在ABC △中，,D E 分别是,AB AC 上的点，且:2:5AD AB =，:4:7AE AC =，16ADE S =△平方 厘米，求ABC △的面积． E D C B A E D C B A 【解析】 连接BE ，::2:5(24):(54)ADE ABE S S AD AB ===??△△， ::4:7(45):(75)ABE ABC S S AE AC ===??△△，所以:(24):(75)ADE ABC S S =??△△，设8ADE S =△份， 则35ABC S =△份，16ADE S =△平方厘米，所以1份是2平方厘米，35份就是70平方厘米，ABC △的 面积是70平方厘米．由此我们得到一个重要的定理，共角定理：共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比 ． 【巩固】如图，三角形ABC 中，AB 是AD 的5倍，AC 是AE 的3倍，如果三角形ADE 的面积等于1，那 三角形等高模型与鸟头模型

么三角形ABC 的面积是多少？ E D C B A A B C D E 【解析】 连接BE ． ∵3EC AE = ∴3ABC ABE S S =V V 又∵5AB AD = ∴515ADE ABE ABC S S S =÷=÷V V V ，∴1515ABC ADE S S ==V V ． 【巩固】如图，三角形ABC 被分成了甲(阴影部分)、乙两部分，4BD DC ==，3BE =，6AE =，乙部分面 积是甲部分面积的几倍？ 乙 甲 E D C B A A B C D E 甲 乙 【解析】 连接AD ． ∵3BE =，6AE = ∴3AB BE =，3ABD BDE S S =V V 又∵4BD DC ==， ∴2ABC ABD S S =V V ，∴6ABC BDE S S =V V ，5S S =乙甲． 【例 2】 如图在ABC △中，D 在BA 的延长线上，E 在AC 上，且:5:2AB AD =， :3:2AE EC =，12ADE S =△平方厘米，求ABC △的面积． E D C B A E D C B A 【解析】 连接BE ，::2:5(23):(53)ADE ABE S S AD AB ===??△△ []::3:(32)(35):(32)5ABE ABC S S AE AC ==+=?+?△△， 所以[]:(32):5(32)6:25ADE ABC S S =??+=△△，设6ADE S =△份，则25ABC S =△份，12ADE S =△平方厘米，所以1份是2平方厘米，25份就是50平方厘米，ABC △的面积是50平方厘米．由此我们得到一个重要的定理，共角定理：共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比 【例 3】 如图所示，在平行四边形ABCD 中，E 为AB 的中点，2AF CF =，三角形AFE (图中阴影部分)的面积 为8平方厘米．平行四边形的面积是多少平方厘米？ 【解析】 连接FB ．三角形AFB 面积是三角形CFB 面积的2倍，而三角形AFB 面积是三角形AEF 面积的2倍， 所以三角形ABC 面积是三角形AEF 面积的3倍；又因为平行四边形的面积是三角形ABC 面积的2倍，

一元一次方程——等积变形应用题

一元一次方程解应用题 ————等积变形问题 复习：常用几何图形的计算公式 长方形的周长= 长方形的面积= 三角形的周长= 三角形的面积= 圆的周长= 圆的面积= 长方体的体积= 圆柱体的体积= 想一想：请指出下列过程中，哪些量发生了变化，哪些量保持不变 1、把一小杯水倒入另一只大杯中； 2、用一根15cm长的铁丝围成一个三角形，然后把它围成长方形； 3、用一块橡皮泥先做成一个立方体，再把它改变成球。 问题1 （1）用一根长8米的铁丝围成一个长方形．使长方形的宽比长少1米，求这个长方形的面积．（2）用一根长8米的铁丝围成一个正方形，求这个正方形的面积． （3）用一根长8米的铁丝围成一个圆，求这个圆的面积． （4）在周长相等的长方形、正方形、圆中，谁的面积最大谁的面积最小

精讲例题 1.将一个底面直径为10厘米，高为36厘米的“瘦长”形圆柱锻压成底面直径是20厘米的“矮胖”形圆柱，高变成了多少 等量关系： 解设锻压后圆柱的高为x厘米，填写下表 锻压前锻压后 底面半径 高 体积 练习： 1、如图，用直径为200毫米的圆钢，锻造一个长、宽、高分别为300毫米、300毫米和90毫米的长方体毛坯底板，应截取圆钢多少（计算时 取.要求结果误差不超过1毫米） 思考：题目中有哪些已知量和未知量 它们之间有什么关系如何设未知数 已知：圆钢直径（200mm）、长方体毛胚的长宽高（300mm、300mm、90mm） 未知：圆钢的高 相等关系：圆钢体积=长方体毛胚的体积 设未知数：设应截取圆钢x 毫米。

2.已知一圆柱形容器底面半径为,高为,里面盛有1m深的水，将底面半径为，高为的圆柱形铁块沉入水中，问容器内水面将升高多少 小结：说说列方程解应用题的一般步骤： 1、分析题意，找出等量关系，分析题中数量及其关系，用字母（例如x）,表示问题里的未知数. 2、用代数式表示有关的量. 3、根据等量关系列出方程. 4、解方程，求出未知数的值. 5、检验求得的值是否正确和符合实际情形，并写出答案. 等积变形是以形状改变而体积不变为前提。 常用等量关系为：原料体积=成品体积。常见几何图形的面积、体积、周长计算公式，依据形虽变，但体积不变．一元一次方程 ——销售问题

奥数几何三角形五大模型带解析

三角形五大模型 【专题知识点概述】 本讲复习以前所学过的有关平面几何方面的知识，旨在提高学生对该部分知识的综合运用能力。 重点模型重温 一、等积模型 ①等底等高的两个三角形面积相等； ②两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比； 两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比； 如右图12::S S a b = ③夹在一组平行线之间的等积变形，如右图ACD BCD S S =△△； 反之，如果ACD BCD S S =△△，则可知直线 平行于CD ． ④等底等高的两个平行四边形面积相等( 长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形)； ⑤三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半； ⑥两个平行四边形高相等，面积比等于它们的底之比；两个平行四边形底相等，面积比等于它们的高之比． 二、等分点结论（“鸟头定理”） D C B A b a s 2 s 1

如图，三角形AED 占三角形ABC 面积的23×14=1 6 三、任意四边形中的比例关系 （“蝴蝶定理”） ① S 1︰S 2=S 4︰S 3 或者S 1×S 3=S 2×S 4 ② ②AO ︰OC=（S 1+S 2）︰（S 4+S 3） 梯形中比例关系（“梯形蝴蝶定理”） ① S 1︰S 3=a 2︰b 2 ②S 1︰S 3︰S 2︰S 4= a 2︰b 2︰ab ︰ab ; ③S 的对应份数为（a+b ）2 模型四：相似三角形性质 如何判断相似 (1)相似的基本概念： 两个三角形对应边城比例，对应角相等。 (2)判断相似的方法： ①两个三角形若有两个角对应相等则这两个三角形相似； ②两个三角形若有两条边对应成比例， 且这两组对应边所夹的角相等则两个 S 4 S 3 s 2 s 1O D C B A S 4 S 3s 2 s 1 b a

小升初几何重点考查内容————(五大模型——三角形等积变形、共角模型)

(★★★) 已知三角形DEF 的面积为 18，AD∶BD＝2∶3，AE∶CE＝1∶2，BF∶CF＝3∶2，则三角形ABC 的面积为

如图，已知三角形 ABC 面积为 1，延长 AB 至 D ，使 BD ＝AB ；延长 BC 至 E ，使 CE ＝2BC ； 延长 CA 至 F ，使 AF ＝3AC ，求三角形 DEF 的面积。 (★★★★) 如图将四边形 ABCD 四条边 AB 、CB 、CD 、AD 分别延长两倍至点 E 、F 、G 、H ，若四边形ABCD 的面积为 5cm 2 ，则四边形 EFGH 的面积是多少 (★★★) 图中三角形 ABC 的面积是 180 平方厘米，D 是 BC 的中点，AD 的长是 AE 长的 3 倍，EF 的长是 BF 长的 3 倍。那么三角形 AEF 的面积是多少平方厘米 (★★★★) 如图，大长方形由面积是 12 平方厘米、24 平方厘米、36 平方厘米、48 平方厘米的四个小长方形组合而成。求阴影部分的面积。 (★★★)

(2009 年“学而思杯”六年级) 如图 BC ＝45，AC ＝21，△ABC 被分成 9 个面积相等的小三角形，那么 DI ＋FK ＝ 。 在线测试题 温馨提示：请在线作答，以便及时反馈孩子的薄弱环节。 1. ★★★★设 AD 1 AB , BE 1 BC , FC 1 AC , 如果三角形 DEF 的面积为 19 平方厘米， 3 4 5 那么三角形 ABC 的面积是多少平方厘米 A ． B ． C ． D ． (★★★★★)

F E S G 2. ★★★如下图，将三角形 ABC 的 BA 边延长 1 倍到 D ，CB 的边延长 2 倍到 E ，AC 边延长 1 倍到 F 。如果三角形 ABC 的面积等于 1，那么三角形 DEF 的面积是多少 A ．10 B ．8 C ．9 D ．11 3. ★★★★★如图，把四边形 ABCD 的各边都延长 3 倍，得到一个新四边形 EFGH ，如果 ABCD 的面积是 6，则 EFGH 的面积是( ) A ．130 B ．145 C ．160 D ．150 4. ★★★★如图， D 是 BC 的中点，AD 的长是 AE 长的 3 倍，EF 的长是 BF 长的 3 倍． 三角形 AEF 的面积是 18 平方厘米，三角形 ABC 的面积是( )平方厘米 A ．144 B ．168 C ．72 D ．100 5. ★★图中的 E 、F 、G 分别是正方形 ABCD 三条边的三等分点，如果正方形的边长是12 ， 那么阴影部分的面积是( ) A ．50 B ．48 C ．56 D ．45 6. ★★★如图， S 1 ， BC 5BD ， AC 4EC ， DG GS SE ， AF FG 。三角形 FGS 的面积是( )。 A. 4 13 B. 2 5 C. 2 3 D. 1 10 A B C

小学奥数-几何五大模型(蝴蝶模型)

小学奥数-几何五大模型(蝴蝶模型) -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN

模型三 蝴蝶模型（任意四边形模型） 任意四边形中的比例关系(“蝴蝶定理”)： S 4 S 3 S 2 S 1O D C B A ①1243::S S S S =或者1324S S S S ?=? ②()()1243::AO OC S S S S =++ 蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径。通过构造模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系。 【例 1】 (小数报竞赛活动试题)如图，某公园的外轮廓是四边形ABCD ，被对角线AC 、BD 分成四 个部分，△AOB 面积为1平方千米，△BOC 面积为2平方千米，△COD 的面积为3平方千米，公园由陆地面积是6．92平方千米和人工湖组成，求人工湖的面积是多少平方千米？ 【例 2】 O D C B A 【分析】 根据蝴蝶定理求得312 1.5AOD S =?÷=△平方千米，公园四边形ABCD 的面积是 123 1.57.5+++=平方千米，所以人工湖的面积是7.5 6.920.58-=平方千米 【巩固】如图，四边形被两条对角线分成4个三角形，其中三个三角形的面积已知， 求：⑴三角形BGC 的面积；⑵:AG GC = 任意四边形、梯形与相似模 型

B 【解析】 ⑴根据蝴蝶定理，123BGC S ?=?，那么6BGC S =； ⑵根据蝴蝶定理，()():12:361:3AG GC =++=． () 【例 3】 四边形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O (如图所示)。如果三角形ABD 的面积等于三角 形BCD 的面积的1 3 ，且2AO =，3DO =，那么CO 的长度是DO 的长度的_________倍。 A B C D O H G A B C D O 【解析】 在本题中，四边形ABCD 为任意四边形，对于这种”不良四边形”，无外乎两种处理方 法：⑴利用已知条件，向已有模型靠拢，从而快速解决；⑵通过画辅助线来改造不良四边形。看到题目中给出条件:1:3ABD BCD S S =，这可以向模型一蝴蝶定理靠拢，于是得 出一种解法。又观察题目中给出的已知条件是面积的关系，转化为边的关系，可以得到第二种解法，但是第二种解法需要一个中介来改造这个”不良四边形”，于是可以作AH 垂直BD 于H ，CG 垂直BD 于G ，面积比转化为高之比。再应用结论：三角形高相同，则面积之比等于底边之比，得出结果。请老师注意比较两种解法，使学生体会到蝴蝶定理的优势，从而主观上愿意掌握并使用蝴蝶定理解决问题。 解法一：∵::1:3ABD BDC AO OC S S ??==， ∴236OC =?=， ∴:6:32:1OC OD ==． 解法二：作AH BD ⊥于H ，CG BD ⊥于G ． ∵1 3 ABD BCD S S ??=， ∴13 AH CG =， ∴13 AOD DOC S S ??=， ∴13 AO CO =， ∴236OC =?=， ∴:6:32:1OC OD ==． 【例 4】 如图，平行四边形ABCD 的对角线交于O 点，CEF △、OEF △、ODF △、BOE △的面积 依次是2、4、4和6。求：⑴求OCF △的面积；⑵求GCE △的面积。

初中数学教程等积变形和行程问题

3.2一元一次方程的应用 第1课时 等积变形和行程问题 教学目标 1.通过学习列方程解决实际问题，进一步感知数学在生活中的作用； 2.通过分析等积变形，追及问题中的数量关系，从而建立方程解决实际问题。进一步发展分析问题，解决问题的能力。 教学重难点 【教学重点】 列一元一次方程解决等积变形和行程问题。 【教学难点】 找出问题中的等量关系。 课前准备 课件、教具等。 教学过程 一、情境导入 一种牙膏出口处直径为5mm ，子昂每次刷牙都挤出1cm 长的牙膏，这样一支牙膏可以用36次．该品牌牙膏现推出新包装，只是将出口处直径改为6mm ，子昂还是按习惯每次挤出1cm 的牙膏，这样，这支牙膏能用多少次呢？ 二、合作探究 探究点一：等积变形问题 例1 用直径为90mm 的圆钢，铸造一个底面长和宽都是131mm ，高度是81mm 的长方体钢锭．问需要截取多长的一段圆钢？(结果保留π) 解析：圆钢由圆柱体变为长方体，形状变了，但体积不变． 解：设截取圆钢的长度为x mm. 根据题意，得π? ?? ??9022 x ＝131×131×81， 解方程，得x ＝686.44π . 答：截取圆钢的长度为686.44π mm. 方法总结：列方程解应用题首先要审题，本题中圆钢由圆柱体变成了长方体，形状发生了变化，但是体积保持不变．“变形之前圆钢的体积＝变形之后长方体的体积”． 例2 将一个长、宽、高分别为15cm 、12cm 和8cm 的长方体钢坯锻造成一个底面是边长为12cm 的正方形的长方体钢坯．试问：是锻造前的长方体钢坯的表面积大，还是锻造后的长方体钢坯的表面积大？请你计算比较．

解析：由锻造前后两长方体钢坯体积相等，可求出锻造后长方体钢坯的高．再计算锻造前后两长方体钢坯的表面积，最后比较大小即可． 解：设锻造后长方体的高为x cm，依题意，得15×12×8＝12×12x.解得x＝10. 锻造前长方体钢坯的表面积为2×(15×12＋15×8＋12×8)＝2×(180＋120＋96)＝792(cm2)， 锻造后长方体钢坯的表面积为2×(12×12＋12×10＋12×10)＝2×(144＋120＋120)＝768(cm2)． 因为792>768，所以锻造前的长方体钢坯的表面积较大． 方法总结：本题的解题关键是根据等积变形中的等量关系确定变化后长方体的高． 探究点二：行程问题 【类型一】相遇问题 例3 小明家离学校2.9千米，一天小明放学走了5分钟之后，他爸爸开始从家出发骑自行车去接小明，已知小明每分钟走60米，爸爸骑自行车每分钟骑200米，请问小明爸爸从家出发几分钟后接到小明？ 解析：本题等量关系：小明所走的路程＋爸爸所走的路程＝全部路程，但要注意小明比爸爸多走了5分钟，另外也要注意本题单位的统一． 解：设小明爸爸出发x分钟后接到小明，如图所示，由题意，得200x＋60(x＋5)＝2900.解得x＝10. 答：小明爸爸从家出发10分钟后接到小明． 方法总结：找出问题中的等量关系是列方程解应用题的关键，对于行程问题，通常借助“线段图”来分析问题中的数量关系．这样可以比较直观地反映出方程中的等量关系． 【类型二】追及问题 例4 敌我两军相距25km，敌军以5km/h的速度逃跑，我军同时以8km/h的速度追击，并在相距1km处发生战斗，问战斗是在开始追击后几小时发生的？ 解析：本题相等关系：我军所走的路程－敌军所走的路程＝敌我两军相距的路程． 解：设战斗是在开始追击后x小时发生的．根据题意，得8x－5x＝25－1.解得x＝8. 答：战斗是在开始追击后8小时发生的． 方法总结：追及问题中的等量关系：追及距离＝速度差×追及时间． 【类型三】环形问题 例5 甲、乙两人在一条长400米的环形跑道上跑步，甲的速度为360米/分，乙的速度是240米/分．

小学数学几何五大模型教师版

小学数学几何五大模型教 师版 The following text is amended on 12 November 2020.

几何五大模型一、五大模型简介 （1）等积变换模型 1、等底等高的两个三角形面积相等； 2、两个三角形高相等，面积之比等于底之比，如图①所示，S 1：S 2 =a:b； 3、两个三角形底相等，面积在之比等于高之比，如图②所示，S 1：S 2 =a:b； 4、在一组平行线之间的等积变形，如图③所示，S △ACD =S △BCD ；反之，如果 S △ACD =S △BCD ，则可知直线AB平行于CD。 例、如图，三角形ABC的面积是24，D、E、F分别是BC、AC、AD的中点，求三角形DEF的面积。

（2）鸟头（共角）定理模型 1、两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫共角三角形； 2、共角三角形的面积之比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比。 如图下图三角形ABC 中，D 、E 分别是AB 、AC 上或AB 、AC 延长线上的点 则有：S △ABC ：S △ADE =（AB×AC）：（AD×AE） 我们现在以互补为例来简单证明一下共角定理！ 如图连接BE ，根据等积变化模型知，S △ADE ：S △ABE =AD ：AB 、S △ABE ：S △CBE =AE ：CE ，所以S △ABE ：S △ABC =S △ABE ：（S △ABE +S △CBE ）=AE ：AC ，因此S △ADE ：S △ABC =（S △ADE ：S △ABE ）×（S △ABE ：S △ABC ）=（AD ：AB ）×（AE ：AC ）。 例、如图在ΔABC 中，D 在BA 的延长线上，E 在AC 上，且AB ：AD=5:2，AE ：EC=3:2，△ADE 的面积为12平方厘米，求ΔABC 的面积。 （3）蝴蝶模型 1、梯形中比例关系(“梯形蝴蝶定理”) 例、如图，梯形ABCD ，AB 与CD 平行，对角线AC 、BD 交于点O ，已知△AOB、△BOC 的面积分别为25平方厘米、35平方厘米，求梯形ABCD 的面积。 2、任意四边形中的比例关系(“蝴蝶定理”)：

一元一次方程应用题(6)(等长变形、等积变形)

一元一次方程应用题 1.一个长方形的周长为26㎝，这个长方形的长减少1㎝，宽增加2㎝，就可成为一个正方形，则原长方形的长和宽各为多厘米？ 2.在一个底面直径为30厘米，高为8厘米的圆锥体容器中倒满水，然后将水倒入一个底面直径为10厘米的圆柱体空容器内，圆柱体容器内的水有多高？ 3.已知一个用铁丝折成的长方形，它的长为9cm ，宽为6cm ，把它重新折成一个宽为5cm 的长方形，则新的长方形的宽是多少？ 4.将棱长为20cm 的正方体铁块没入盛水量筒中，已知量筒底面积为12cm 2 ，问量筒中水面升高了多少cm ？ 5.如图所示，两个长方形重叠部分的面积相当于大长方形面积的六分之一，相当于小长方形面积的 四分之一，阴影部分的面积为224cm 2 ，求重叠部分面积。 6.如图是两个圆柱体的容器，它们的半径分别是4cm 和8cm ，高分别为16cm 和10cm ，先在第一个容器中倒满水，然后将其全部倒入第二个容器中。 （1）问倒完后，第二个容器水面的高度是多少？ (2)如右图把容器1 口朝上插入容器2水位又升高多少？ 一元一次方程应用题 1.一个长方形的周长为26㎝，这个长方形的长减少1㎝，宽增加 2㎝，就可成为一个正方形，则原长方形的长和宽各为多厘米？ 2.在一个底面直径为30厘米，高为8厘米的圆锥体容器中倒满水，然后将水倒入一个底面直径为10厘米的圆柱体空容器内，圆柱体容器内的水有多高？ 3.已知一个用铁丝折成的长方形，它的长为9cm ，宽为6cm ，把它重新折成一个宽为5cm 的长方形，则新的长方形的宽是多少？ 4.将棱长为20cm 的正方体铁块没入盛水量筒中，已知量筒底面积为12cm 2 ，问量筒中水面升高了多少cm ？ 5.如图所示，两个长方形重叠部分的面积相当于大长方形面积的六分之一，相当于小长方形面积的 四分之一，阴影部分的面积为224cm 2 ，求重叠部分面积。 6.如图是两个圆柱体的容器，它们的半径分别是4cm 和8cm ，高分别为16cm 和10cm ，先在第一个容器中倒满水，然后将其全部倒入第二个容器中。 （1）问倒完后，第二个容器水面的高度是多少？ (2)如右图把容器1口朝上插入容器2水位又升高多少？ 容器1 容器1