独立了一天

独立了一天

昨天晚上，妈妈千叮万嘱的告诉我说："明遥，你明天一个人呆在家里，我明天要去监考，一整天都在学校，晚上才能回家，你好好照顾自己……"我不屑一顾地说："不是还有爸爸吗？"她笑了笑，说："爸爸不是去旅游了吗？"我想想，恍然大悟，差点忘了，爸爸去旅游了。

早晨，我升了个懒腰，打了个大哈欠，洗漱完毕，看了看父母的房间，果真没了人影，下一件事，我得把洗衣机里的衣服晾出来。那么多衣服，还挺沉的，那些比较小的裤子，三下两下晾好了，可是对爸爸那条牛仔裤发了半天的牢骚，因为我找不到晾那么大的裤子的衣架，后来，我找了好久，才在客厅里发现了它，最后终于晾好了。

写完了作业，到了自由时间，我玩了会儿电脑游戏，发现电脑游戏并不是那么吸引人。我只好看了看书，觉得书可比电脑有趣多了。到了中午，该解决午饭的问题了，我在厨房中找到了一碗方便面，从冰箱里拿了一个罐头，还拿了一瓶王老吉。泡好面，凑合着吃了。我觉得味道还可以，为什么大人都说那是不良食品，反正我觉得挺好吃的。

到了下午，我读了读英语、语文，做了一些奥数。接着，我的朋友晓龙和昊原来找我玩。我们举行了几场象棋比赛。第一场，我的棋艺不错，虽然打败了昊原，可是一时大意败给了晓龙的马后炮。第二场，我吸取了教训，夺得了冠军。第三场，晓龙全神关注，我和晓龙不相上下，这一场有两个冠军。他们走后不久，爸爸妈妈回来了。他们说我今天表现很好。我很高兴。

我觉得自己好像长大了许多，懂事了许多。我不知道，在我童年之路上，我会遇上多少个自立的锻炼机会。

条件概率与独立性

()()()()()()()()1012+C AB A P AB n P B A P A n P B A B C P B C A P B A P A ?????==????≤≤?????=???定义：对于两个事件A 和B ，在已知事件A 发生 的条件下，事件B 发生的概率。 公式：古典概型条件概率、性质、若事件、互斥，则有 条件概率题型： 题型一：根据公式换算求概率 ()()()()11,,23P B A P A B P A P B ===求（P(B)=1/3） 若P (A )＝34，P (B |A )＝12 ，则P (AB )等于 ( 3/8 ) 题型二：求条件概率 ()()()P AB P B A P A ?=???? 公式法：条件概率求解基本事件法：确定新的基本事件空间 1、公式法：由条件概率公式 ()()()P AB P B A P A =，分别求出()P AB 和()P A ，代入即可；公式法适用于所有条件概率问题；如例1 2、基本事件法：确定满足已知条件事件A 的基本事件数，确定新的基本事件 空间。基本事件法适用于解决与古典概型或几何概型相关的条件概率问题，比公式法方便，尤其是解决对于有次序的条件概率问题，如例2 用两种方法求解下列问题： 例1、 （公式法）盒中装有形状，大小完全相同的5个球，其中红色球3个， 黄色球2个，若从中随机取出2个球，已知其中一个为红色，则另一个为黄色的概率为（ ）

A. 3 5 B. C. 2 3 D. 2 5 例2、（基本事件法）袋中装有6个不同的红球和4个不同的白球，不放回地依次摸出2个球，在第1次摸出红球的条件下，第2次摸出的也是红球的概率为（） A．5 9 B． 4 9 C． 2 9 D． 2 3 例3、（基本事件法）有一匹叫Harry的马，参加了100场赛马比赛，赢了20场，输了80场．在这100场比赛中，有30场是下雨天，70场是晴天．在30场下雨天的比赛中，Harry赢了15场．如果明天下雨，Harry参加赛马的赢率是（1/2） 解答：此题所求就是Harry在雨天赛马赢的概率即 151 302 P== 例4、（基本事件法）一个袋中装有7个大小完全相同的球，其中4个白球，3个黄球，从中不放回地摸4次，一次摸一球，已知前两次摸得白球， 则后两次也摸得白球的概率为___1 5 _____． 例5、（基本事件法）某生在一次口试中，共有10题供选择，已知该生会答其中6题，随机从中抽5题供考生回答，答对3题及格，求该生在第 一题不会答的情况下及格的概率．（25 42 ） 习题： 1.把一枚骰子连续掷两次，已知在第一次抛出的是偶数点的情况下，第二次抛 出的也是偶数点的概率为 ( ) A．1 B．1 2 C． 1 3 D． 1 4 2.盒中装有形状，大小完全相同的5个球，其中红色球3个，黄色球2个，若 从中随机取出2个球，已知其中一个为红色，则另一个为黄色的概率为（） A. 3 5 B. C. 2 3 D. 2 5 9 10 9 10

条件概率的独立性1

第三章 条件概率的独立性 习题3 一．填空题 1.设A.B 为两个互相独立事件，若P （A ）=0.4，P （B ）=0.3，则(P B A ?)= 2.在一次实验中A 发生的概率为p ，现在进行n 次独立重复试验，那么事件A 至少发生1次的概率为 3.设A.B.C 构成一完备事件组，且P(A)=0.4，P(B )=0.7，则P （C ）= ,p(AB)= 4.若P(A)= 21,P(B)=31，P(A B )=3 2 ,则P(B A )= 5.某人向同一目标重复独立射击，每次命中目标的概率为P(0

04事件的相互独立性(教案)

2． 2．2事件的相互独立性 教学目标： 知识与技能：理解两个事件相互独立的概念。 过程与方法：能进行一些与事件独立有关的概率的计算。 情感、态度与价值观：通过对实例的分析，会进行简单的应用。 教学重点：独立事件同时发生的概率 教学难点：有关独立事件发生的概率计算 授课类型：新授课 课时安排：4课时 教 具：多媒体、实物投影仪 教学过程： 一、复习引入： 1 事件的定义：随机事件：在一定条件下可能发生也可能不发生的事件； 必然事件：在一定条件下必然发生的事件； 不可能事件：在一定条件下不可能发生的事件 2．随机事件的概率：一般地，在大量重复进行同一试验时，事件A 发生的频率m n 总是接近某个常数，在它附近摆动，这时就把这个常数叫做事件A 的概率，记作()P A ． 3.概率的确定方法：通过进行大量的重复试验，用这个事件发生的频率近似地作为它的概率； 4．概率的性质：必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，随机事件的概率为0()1P A ≤≤，必然事件和不可能事件看作随机事件的两个极端情形 5基本事件：一次试验连同其中可能出现的每一个结果（事件A ）称为一个基本事件6．等可能性事件：如果一次试验中可能出现的结果有n 个，而且所有结果出现的可能性都相等，那么每个基本事件的概率都是1n ，这种事件叫等可能性事件 7．等可能性事件的概率：如果一次试验中可能出现的结果有n 个，而且所有结果都是等可能的，如果事件A 包含m 个结果，那么事件A 的概率()P A n = 8．等可能性事件的概率公式及一般求解方法 9.事件的和的意义:对于事件A 和事件B 是可以进行加法运算的 10 互斥事件:不可能同时发生的两个事件．()()()P A B P A P B +=+ 一般地：如果事件12,, ,n A A A 中的任何两个都是互斥的，那么就说事件12,,,n A A A 彼此互斥 11．对立事件:必然有一个发生的互斥事件．()1()1()P A A P A P A +=?=- 12．互斥事件的概率的求法:如果事件12,,,n A A A 彼此互斥，那么 12()n P A A A ++ +＝12()()()n P A P A P A +++

事件的相互独立性试题及答案

1 事件的互相独立性 1.若A 与B 相互独立，则下面不相互独立事件有( ) A.A 与A B.A 与B C.A 与B D A 与B 2.在某段时间内，甲地不下雨的概率为0.3，乙地不下雨的概率为0.4，假设在这段时间内两地是否下雨相互无影响，则这段时间内两地都下雨的概率是( ) A.0.12 B.0.88 C.0.28 D.0.42 3.甲、乙两人独立地解同一问题，甲解决这个问题的概率是P 1,乙解决这个问题的概率是P 2，那么恰好有1人解决这个问题的概率是( ) A.P 1P 2 B.P 1(1-P 2)+P 2(1-P 1) C.1-P 1P 2 D.1-(1-P 1)(1-P 2) 4.从应届高中生中选出飞行员，已知这批学生体型合格的概率为 31，视力合格的概率为61，其他几项标准合格的概率为5 1，从中任选一学生，则该生三项均合格的概率为（假设三项标准互不影响）( ) A.94 B.90 1 C.54 D. 95 5.一道数学竞赛试题，甲生解出它的概率为21，乙生解出它的概率为31，丙生解出它的概率为4 1，由甲、乙、丙三人独立解答此题只有一人解出的概率为____________. 6.一出租车司机从饭店到火车站途中有六个交通岗，假设他在各交通岗遇到红灯这一事件是相互独立的，并且概率都是3 1，那么这位司机遇到红灯前，已经通过了两个交通岗的概率是_______________. 7.某课程考核分理论与实验两部分进行，每部分考核成绩只记“合格”与“不合格”，两部分考核都“合格”则该课程考核“合格”.甲、乙、丙三人在理论考核中合格的概率分别为0.9、0.8、0.7；在实验考核中合格的概率分别为0.8、0.7、0.9.所有考核是否合格相互之间没有影响. （1）求甲、乙、丙三人在理论考核中至少有两人合格的概率； （2）求这三人该课程考核都合格的概率（结果保留三位小数）.

随机变量独立性的判断方法探究

1 引言 概率与统计是研究随机现象统计规律的一门数学学科，是对随机现象的统计规律进行演绎和归纳的科学.随着社会的不断发展，概率与统计的知识越来越重要，运用抽样数据进行推断已经成为现代社会一种普遍适用且强有力的思考方式.独立性[5]是随机变量非常重要的性质，其应用也很广泛.在解决很多问题时都有随机变量独立这样的前提，只有这样问题才能得以解决或解决起来比较简单.众所周知，随机变量独立性的判定无论从理论还是在实践中都有着重要意义，因此寻找独立性判断方法显得尤为重要.不少的文献对此进行了深入的研究，给出了一些很好的判断方法[3]，但到目前为止人们还没找到简便有效的方法，从而对其深入研究很有必要. 2 相关定义 定义1离散型随机变量 定义在样本空间Ω上，取值于实数域R ，且只取有限个或可列个值的变量()ξξω=，称做是一维（实值）离散型随机变量，简称离散型随机变量. 定义2 n 维离散型随机变量 设12,,,n ξξξ???是样本空间Ω上的n 个离散型随机变量，则称n 维向量（12,,,n ξξξ???）是Ω上的一个n 维离散型随机变量. 定义3 联合分布型 设(,)ξη是一个二维离散型随机变量，它们一切可能取值为(,),,1,2,i j a b i j =???，令 (,),,1 ,2,ij i j P P a b i j ξη====??? 称(,1 ,2,)ij P i j =???是二维离散型随机变量(,)ξη的联合分布列. 我们容易证明()(1,2,i i P a P i ξ?===???是ξ的分布列，同理有()(1 ,2,)j j P b P j η?===???是η的分布列，称,ξη的分布列是（,ξη）的联合分布列的边际分布列. 定义 4 离散型随机变量独立性 设离散型随机变量ξ的可能取值为(1,2,)i a i =???，η的可能取值为(1,2,)j b j =???，如果对任意的,i j a b ，有

人教A版(2019)数学必修(第二册)：10.2 事件的相互独立性 教案

事件的相互独立性 【教学过程】 一、问题导入 预习教材内容，思考以下问题： 1．事件的相互独立性的定义是什么？ 2．相互独立事件有哪些性质？ 3．相互独立事件与互斥事件有什么区别？ 二、基础知识 1．相互独立的概念 设A ，B 为两个事件，若P (AB )＝P （A ）P （B ），则称事件A 与事件B 相互独立． 2．相互独立的性质 若事件A 与B 相互独立，那么A 与B －，A －与B ，A －与B －也都相互独立． ■名师点拨 （1）必然事件Ω，不可能事件?都与任意事件相互独立． （2）事件A ，B 相互独立的充要条件是P (AB )＝P （A ）·P （B ）． 三、合作探究 1．相互独立事件的判断 一个家庭中有若干个小孩，假定生男孩和生女孩是等可能的，令A ＝{一个家庭中既 有男孩又有女孩}，B ＝{一个家庭中最多有一个女孩}．对下述两种情形，讨论A 与B 的独立性：

（1）家庭中有两个小孩； （2）家庭中有三个小孩． 【解】（1）有两个小孩的家庭，男孩、女孩的可能情形为Ω＝{(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)}， 它有4个基本事件，由等可能性知概率都为1 4. 这时A＝{(男，女)，(女，男)}， B＝{(男，男)，(男，女)，(女，男)}，AB＝{(男，女)，(女，男)}， 于是P（A）＝1 2，P（B）＝ 3 4，P(AB)＝ 1 2. 由此可知P(AB)≠P（A）P（B）， 所以事件A，B不相互独立． （2）有三个小孩的家庭，小孩为男孩、女孩的所有可能情形为Ω＝{(男，男，男)，(男，男，女)，(男，女，男)，(男，女，女)，(女，男，男)，(女，男，女)，(女，女，男)，(女，女，女)}． 由等可能性知这8个基本事件的概率均为1 8，这时A中含有6个基本事件，B中含有4个 基本事件，AB中含有3个基本事件． 于是P（A）＝6 8＝ 3 4，P（B）＝ 4 8＝ 1 2，P(AB)＝ 3 8， 显然有P(AB)＝3 8＝P（A）P（B）成立． 从而事件A与B是相互独立的． 判断两个事件是否相互独立的两种方法 （1）根据问题的实质，直观上看一事件的发生是否影响另一事件发生的概率来判断，若没有影响，则两个事件就是相互独立事件； （2）定义法：通过式子P(AB)＝P（A）P（B）来判断两个事件是否独立，若上式成立，则事件A，B相互独立，这是定量判断. 2．相互独立事件同时发生的概率 王敏某天乘火车从重庆到上海去办事，若当天从重庆到上海的三列火车正点到达的概率分别为0.8，0.7，0.9，假设这三列火车之间是否正点到达互不影响．求：（1）这三列火车恰好有两列正点到达的概率；

(完整版)随机变量及其分布列与独立性检验练习题附答案

数学学科自习卷（二） 一、选择题 1．将三颗骰子各掷一次，记事件A ＝“三个点数都不同”，B ＝“至少出现一个６点”，则条件概率()P A B ，()P B A 分别是（ ） A.6091，12 B.12，6091 C.518，6091 D.91216，12 2．设随机变量ξ服从正态分布()3,4N ，若()()232P a P a ξξ<-=>+，则a 的值为 A ．73 B ．53 C ．5 D ．3 3．已知随机变量ξ～)2,3(2N ，若23ξη=+,则D η= A ． 0 B ． 1 C ． 2 D ． 4 4．同时拋掷5枚均匀的硬币80次，设5枚硬币正好出现2枚正面向上，3枚反面向上的次数为ξ，则ξ的数学期望是（ ） A ．20 B ．25 C. 30 D ．40 5． 甲乙两人进行乒乓球比赛, 约定每局胜者得1分, 负者得0分, 比赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时停止, 设甲在每局中获胜的概率为 23,乙在每局中获胜的概率为13 ,且各局胜负相互独立, 则比赛停止时已打局数ξ的期望()E ξ为（ ） A ．24181 B ．26681 C ．27481 D ．670243 6．现在有10张奖券，8张2元的，2张5元的，某人从中随机无放回地抽取3张奖券,则此人得奖金额的数学期望为（ ） A ．6 B ．395 C ．415 D ．9 7．一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为a ，得2分的概率为b ，不得分的概率为c ，,,(0,1)a b c ∈，且无其它得分情况，已知他投篮一次得分的数学期望为1，则ab 的最大值为 （ ） A ．148 B ．124 C ．112 D ．16 8．位于数轴原点的一只电子兔沿着数轴按下列规则移动：电子兔每次移动一个单位，移动的方向向左或向右，并且向左移动的概率为 23，向右移动的概率为13，则电子兔移动五次后位于点(1,0)-的概率是 （ ） A ．4243 B ．8243 C ．40243 D ．80243

事件的相互独立性的教案

事件的相互独立性的教 案 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN

2.2.2事件的相互独立性 一、教学目标： 1、知识与技能： ①理解事件独立性的概念 ②相互独立事件同时发生的概率公式 2、过程与方法： 通过实例探究事件独立性的过程，学会判断事件相 互独立性的方法。 3、情感态度价值观：通过本节的学习，体会数学来源于实践又服务于 实践，发现数学的应用意识。 二、教学重点：件事相互独立性的概念 三、教学难点：相互独立事件同时发生的概率公式 四，教学过程： 1、复习回顾：（1）条件概率 （2）条件概率计算公式 （3）互斥事件及和事件的概率计算公式 2、思考探究： 三张奖券只有一张可以中奖，现分别由三名同学有放回地抽取，事件A 为“第一位同学没有抽到中奖奖券”，事件B 为“最后一名同学抽到中奖奖券”。 事件A 的发生会影响事件B 发生的概率吗？ 分析：事件A 的发生不会影响事件B 发生的概率。于是： 3、事件的相互独立性 设A ，B 为两个事件，如果 P(AB)=P(A)P(B),则称事件A 与事件B 相互独立。 即事件A （或B ）是否发生,对事件B （或A ）发生的概率没有影响，这样两个事件叫做相互独立事件。 注：①如果A 与B 相互独立，那么A 与B ,B 与A ，A 与B 都是相互独立的。（举例说明） ②推广：如果事件12,,...n A A A 相互独立，那么 1212(...)()()...()n n P A A A P A P A P A = (|)()P B A P B =()()(|)P AB P A P B A =()()() P AB P A P B ∴=

随机变量独立性的性质

议随机变量独立性及其应用 作者：张利荣 指导老师：桂春燕 摘要 随机变量的独立性是概率论中的一个重要概念.本文首先介绍了随机变量独立性的定义, 随机变量独立性的性质，然后对离散型随机变量和连续型随机变量的独立性分别给出了不同的判别方法，从而针对不同的问题运用相应的判别方法进行判定，除此还通过随机变量独立性的性质及其判别方法得出了一些相关的推论，并对其应用进行了举例说明. 关键词 离散型随机变量 连续型随机变量 独立性 联合分布 1 引言 概率统计是研究随机现象中数量规律的一门数学学科，它是近代数学的重要分支，理论严谨、应用广泛，并且与其他学科互相渗透结合.概率论是对随机现象统计规律演绎的研究,由于随机现象的普遍性,使得其具有极其广泛的应用,特别是在科学技术、工农业生产等方面.独立性是概率统计中最基本的概念之一,无论在理论研究还是在实际应用中都具有特别重要的意义.概率论和数理统计已有的成果大部分都是在某种独立性的前提下才得到的.因而随机变量独立性的研究倍受重视. 随机变量独立性的研究一直经历着缓慢的发展过程.进入二十世纪九十年代后,随机变量独立性判定的研究进入了一个新的阶段.关于这方面的著作、文献逐渐多了起来,如文献[2]中毛纲源对随机变量独立性的判定进行了分析并举例说明;文献[7]中明杰秀等对二维随机变量独立性的判定及其应用等相关内容进行了论述.本文将在此基础上对随机变量独立性做一下详细、全面的论述,重点介绍离散型随机变量和连续型随机变量独立性的判定方法,并对随机变量的独立性的应用进行举例说明. 2 随机变量独立性的定义 定义]1[ 设),(Y X 为二维随机变量,若对于任意的实数y x ,,事件{}x X ≤与{}y Y ≤相互独立,即 ()()() y Y P x X P y Y x X P ≤?≤=≤≤, , )1( 则称X 与Y 相互独立. 若()y x F ,为X 与Y 的联合分布函数,()x F X 、()y F Y 分别是X 与Y 的边缘分布函数,则 )1(式等价于 ()()()y F x F y x F Y X ?=,. 3 随机变量独立性的性质及其判别方法

条件概率与事件的独立性

条件概率与事件的独立性 1． 条件概率及其性质 （1）条件概率的定义：设A 、B 为两个事件，且P(A)>0，称P(A|B)= 为在 发生的条件下， 发生的概率。 2．相互独立事件：事件A （或B ）是否发生对事件B （或A ）发生的概率没有影响，这样的两个事件叫做 . 若A 与B 是相互独立事件，则A 与B ，A 与B ，A 与B 也相互独立. 3．相互独立事件同时发生的概率：()()()P A B P A P B ?=? 4．互斥事件与相互独立事件是有区别的： 互斥事件与相互独立事件研究的都是两个事件的关系,但互斥的两个事件是一次实验中的两个事件，相互独立的两个事件是在两次试验中得到的，注意区别。 如果A 、B 相互独立，则P （A +B ）=P （A ）+P （B ）-P （A ?B ） 如:某人射击一次命中的概率是0.9,射击两次,互不影响,至少命中一次的概率是0.9+0.9-0.9×0.9=0.99,(也即1-0.1×0.1=0.99) 5．独立重复试验 （1）独立重复试验的定义： （2）n 次独立重复试验的概率公式： 三、基础再现 1.一学生通过英语听力测试的概率是2 1 ，他连续测试两次，那么其中恰好一次通过的概率是 （ ） A. 41 B. 31 C. 21 D. 4 3 2．已知,53 )(,103)(==A P AB P 则)|(A B P 等于 （ ） A. 50 9 B. 21 C. 109 D. 41 3．某人射击一次击中的概率为0.6,经过3次射击,此人至少有两次击中目标的概率为（ ） A ． 125 81 B ． 125 54 C ． 125 36 D ． 125 27 4．甲、乙两人独立地解同一问题，甲解决这个问题的概率是p 1，乙解决这个问题的概率是p 2，那么恰好有1人解决这个问题的概率是 ( ) A. p 1p 2 B.p 1（1－p 2）+p 2（1－p 1） C.1－p 1p 2 D.1－（1－p 1）（1－p 2） 5.（浙江）甲、乙两人进行乒乓球比赛，比赛规则为“3局2胜”，即以先赢2局者为胜．根据经验，每局比赛中甲获胜的概率为0．6，则本次比赛甲获胜的概率是 ( ) (A) 0．216 (B)0．36 (C)0．432 (D)0．648 6．一道数学竞赛试题，甲生解出它的概率为21，乙生解出它的概率为3 1 ，丙生解出它的概率为 4 1 ，由甲、乙、丙三人独立解答此题只有一人解出的概率为______.

事件的相互独立性教案

§2．2．2事件的相互独立性 教学目标： 知识与技能：理解两个事件相互独立的概念。 过程与方法：能进行一些与事件独立有关的概率的计算。 情感、态度与价值观：通过对实例的分析，会进行简单的应用。 教学重点：独立事件同时发生的概率 教学难点：有关独立事件发生的概率计算 授课类型：新授课 课时安排：2课时 教学过程： 一、复习引入： 1事件的定义：随机事件：在一定条件下可能发生也可能不发生的事件； 必然事件：在一定条件下必然发生的事件； 不可能事件：在一定条件下不可能发生的事件 2．随机事件的概率：一般地，在大量重复进行同一试验时，事件A发生的频率m 总是接近某个常数，在它附近摆动，这时就把这个常数叫 n 做事件A的概率，记作() P A． 3.概率的确定方法：通过进行大量的重复试验，用这个事件发生的频率近似地作为它的概率； 4．概率的性质：必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，随机事件的概率为0()1 ≤≤，必然事件和不可能事件看作随机事件的两 P A 个极端情形 5基本事件：一次试验连同其中可能出现的每一个结果（事件A）称

为一个基本事件 6．等可能性事件：如果一次试验中可能出现的结果有n 个，而且所有结果出现的可能性都相等，那么每个基本事件的概率都是1n ，这种事件叫等可能性事件 7．等可能性事件的概率：如果一次试验中可能出现的结果有n 个，而且所有结果都是等可能的，如果事件A 包含m 个结果，那么事件A 的概率()m P A n = 8．等可能性事件的概率公式及一般求解方法 9.事件的和的意义:对于事件A 和事件B 是可以进行加法运算的 10 互斥事件:不可能同时发生的两个事件．()()()P A B P A P B +=+ 一般地：如果事件12,,,n A A A L 中的任何两个都是互斥的，那么就 说事件12,,,n A A A L 彼此互斥 11．对立事件:必然有一个发生的互斥事件． ()1()1()P A A P A P A +=?=- 12．互斥事件的概率的求法:如果事件12,,,n A A A L 彼此互斥，那么 12()n P A A A +++L ＝12()()()n P A P A P A +++L 探究: (1)甲、乙两人各掷一枚硬币，都是正面朝上的概率是多少？ 事件A ：甲掷一枚硬币，正面朝上；事件B ：乙掷一枚硬币，正面朝上 (2)甲坛子里有3个白球，2个黑球，乙坛子里有2个白球，2个黑球，从这两个坛子里分别摸出1个球，它们都是白球的概率是多少？

随机事件独立性概念的引入

（下转第108页 ）摘要 事件的独立性是概率论中重要的概念之一。本文分析了两个随机事件相互独立的直观解释与公式形式的定义之间的关系,指出了公式形式的定义与直观解释不完全一致的情形,并通过引入三个事件相互独立的直观解释来加强学生对三个事件相互独立的定义的理解。关键词随机事件独立性两两独立 The Way to Introduce the Concept of the Independency of Random Events //Ji Wei Abstract The independency of random events is one of the most important concepts in probability theory.The relationship betw-een the quick look interpretation and formulaic definition of the independency between two random events is discussed.Especi-ally,an example is given to show the discrepancy between the quick look interpretation and formulaic definition.Moreover,a quick look interpretation of the independency among three random events is given to make the definition more understandable. Key words random event;independence;mutual independent Author 's address College of Science,Guilin University of Technology,541004,Guilin,Guangxi,China 随机事件的独立性是概率论中重要的概念之一,它的引进极大地推动了概率论的发展,概率论前期最重要的一些结论大都是在独立性假定下获得的。独立性不仅在理论上具有重要意义,而且在实际中有着广泛的应用。要掌握好独立性的定义,首先必须深刻理解事件独立性的定义。 1两个事件独立性的定义 国内大多数概率论与数理统计教材在引入两个事件独立性定义的时候,通常是先给出描述性的直观解释：事件B 的发生与否的概率不受事件A 是否发生的影响,再将直观解释表示成数学语言。事实上,事件B 发生与否的概率不受事件A 的影响,也就意味着有 P (B )=P (B |A ),这时,由乘法公式可得P (AB )=P (A )P (B )。定义1[1-3]：对任意两个事件A 、B,若P (AB )=P (A )P (B )成立,则称事件A 与B 是相互独立的。 采用这样一种方式,不免给学生留下了疑问：为什么不采用第一种更直观的P (B)=P (B |A )来定义？由于大多数教材在定义条件概率P (B |A )时,都假定P (A )≠0,如果选取该式作为定义,就将满足P (A )=0的情况排除在外了。而由独立性的直观解释可以得到,当A 为不可能事件时,A 与任何事件独立。因此,采用P (B)=P (B |A )作为独立性的定义有一定的局限性。而定义1涵盖了“不可能事件与任何事件独立” 这一命题,并且具有良好的对称性。因此,大多数教材采用定义1作为独立性的定义。 但定义1也与独立性的直观解释有一定的出入,我们看下面的例子。 例1:Ω={全体整数},A={1,2},B={1},则P (A )=P (B )=P (AB )=0。由定义1可知,事件与事件是独立的。但在事件A 发生的情况下,事件发生的概率为0.5,而不是0；即事件B 发生的概率受到事件A 是否发生的影响。类似地,在事件B 发生的情况下,事件A 发生的概率为1,而不是0；即事件A 发生的概率也受到事件B 是否发生的影响。 幸运的是,这种不一致的情形只有在所讨论的事件中含有概率为0的事件时才会发生,而且定义1是一个公式形式的定义,给独立性的数学处理带来了极大的方便。因此,国内大多数教材都是采用该定义。但也有一些教材直接采用描述性的语言来定义两个独立性。 定义2[5]:两个事件A 与B,如果其中任何一个事件发生的概率不受另外一个事件发生与否的影响,则称事件A 与B 是相互独立的。 由于该定义没有转化为明确的数学公式,使用起来没有定义1方便,因而采用该定义的教材较少。随机事件独立性的公式形式定义与直观解释之间的差别,在一定程度上反映了数学定义来源于实践,但又不完全与实践相同的特点。将实践中产生的数学思想经过适当的加工,得到更易于数学处理的定义比直观解释更有生命力。定义与直观解释这种不一致,也是数学魅力的一种体现,可以启发学生思考是否存在一个与独立性的直观解释更吻合同时又易于数学处理的公式形式的定义。 2三个事件独立性的定义 大部分概率论教材中两个事件独立性概念的是从事件B 的发生与否不受事件A 是否发生的影响来引入独立性的概念,这种引入方式比较容易被学生接受。而三个事件独立性的定义,国内概率论的教材大多采用直接给出的方式。 定义3[1-4]：对于任意三个事件A,B,C,如果（1）P (AB )=P (A )P (B ),P (AC )=P (A )P (C ),P(BC )=P(B )P (C ); （2）P (ABC )=P (A )P (B )P (C ),则称事件A,B,C 相互独立。 采用这一种方式,读者自然会提出这样的一个问题：三个事件两两独立,能否保证它们相互独立呢？虽然教材举出反例证明了答案是否定的,依然会有许多读者疑惑：为何不采用三个事件两两独立的形式作为三个事件独立性的定义呢？为了解决这个疑惑,我们可以采用先给出三个事件独立性的描述性的直观解释：三个事件A 、B 、C 相互独立,如果其中任何一个事件发生的概率不受另外两个事件发生与否的影响，三个事件两两独立能否保证某一事件不受另外两个 中图分类号：O211 文献标识码：A 文章编号：1672-7894（2012）15-0088-02 ８８

随机变量的独立性判别

分类号：密级： 毕业论文 （本科生） 论文题目（中文）随机变量的独立性判别 论文题目（外文）The discrimination of the independence of random variables 学生姓名 导师姓名、职称 学生所属学院 专业 年级

诚信责任书 本人郑重声明：本人所呈交的毕业论文（设计），是在导师的指导下独立进行研究所取得的成果。毕业论文（设计）中凡引用他人已经发表或未发表的成果、数据、观点等，均已明确注明出处。除文中已经注明引用的内容外，不包含任何其他个人或集体已经发表或在网上发表的论文。 本声明的法律责任由本人承担。 论文作者签名：日期： 关于毕业论文（设计）使用授权的声明本人在导师指导下所完成的论文及相关的职务作品，知识产权归属兰州大学。本人完全了解兰州大学有关保存、使用毕业论文的规定，同意学校保存或向国家有关部门或机构送交论文的纸质版和电子版，允许论文被查阅和借阅；本人授权兰州大学可以将本毕业论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用任何复制手段保存和汇编本毕业论文。本人离校后发表、使用毕业论文或与该论文直接相关的学术论文或成果时，第一署名单位仍然为兰州大学。 本毕业论文研究内容： √可以公开 □不易公开，已在学位办公室办理保密申请，解密后适用本授权书。 （请在以上选项内选择其中一项打“√”）

论文作者签名：导师签名：日期：日期：

随机变量的独立性判别 摘要 随机变量独立性的判别历来都是高等学校概率论与数理统计教学的一个课题, 通过研究文献资料，理解随机变量及其独立性的相关概念，对离散型和连续型随机变量综合列举的几种常见求法，讨论几种常见的随机变量独立性判别方法 并对其进行概括、总结，加深自己对随机变量及其分布的理解，争取有新的发现。 关键词：随机变量独立性连续型离散型判别方法

随机事件条件独立性

Advances in Applied Mathematics 应用数学进展, 2019, 8(7), 1208-1211 Published Online July 2019 in Hans. https://www.wendangku.net/doc/305800815.html,/journal/aam https://https://www.wendangku.net/doc/305800815.html,/10.12677/aam.2019.87139 Conditional Independence of Random Events Keming Zhang*, Jinping Zhang School of Mathematics and Physics, North China Electric Power University, Beijing Received: Jun. 28th, 2019; accepted: Jul. 15th, 2019; published: Jul. 22nd, 2019 Abstract The concept and properties of condition independence of random events are introduced. The rela-tionship between independence of random events and conditional independence is discussed with examples, which shows that independence of random events and conditional independence do not imply each other. Finally, the determining theorems of conditional independence are provided. Keywords Random Events, Conditional Probability, Independence, Conditional Independence 随机事件条件独立性 张可铭*，张金平 华北电力大学数理学院，北京 收稿日期：2019年6月28日；录用日期：2019年7月15日；发布日期：2019年7月22日 摘要 介绍了随机事件条件独立的概念和性质，结合例子讨论了随机事件独立性和条件独立性的关系，说明随机事件独立性和条件独立性互不蕴含。最后，讨论了条件独立的判定定理。 关键词 随机事件，条件概率，独立性，条件独立性 *通讯作者。

事件的相互独立性

2．2．2事件的相互独立性（教学设计） 教学目标： 知识与技能：理解两个事件相互独立的概念。 过程与方法：能进行一些与事件独立有关的概率的计算。 情感、态度与价值观：通过对实例的分析，会进行简单的应用。 教学重点：独立事件同时发生的概率 教学难点：有关独立事件发生的概率计算 教学过程： 一、复习引入： 1．等可能性事件：如果一次试验中可能出现的结果有个，而且所有结果出现的可能性都相等，那么每个基本事件的概率都是，这种事件叫等可能性事件 2．等可能性事件的概率：如果一次试验中可能出现的结果有个，而且所有结果都是等可能的，如果事件包含个结果，那么事件的概率 3 互斥事件:不可能同时发生的两个事件． 一般地：如果事件中的任何两个都是互斥的，那么就说事件彼此互斥 4．对立事件:必然有一个发生的互斥事件． 5．互斥事件的概率的求法:如果事件彼此互斥，那么 ＝ 6．条件概率：在事件A 发生的条件下，事件B 发生的条件概率：()(|)() P AB P B A P A = 乘法公式：()(|)()P AB P B A P A =?. 二、师生互动，新课讲解： 思考:三张奖券中只有一张能中奖,现分别由三名同学有放回地抽取,事件A 为“第一名同学没有抽到中奖奖券”, 事件B 为“最后一名同学抽到中奖奖券”. 事件A 的发生会影响事件B 发生的概率吗 显然，有放回地抽取奖券时，最后一名同学也是从原来的三张奖券中任抽一张，因此第一名同学抽的结果对最后一名同学的抽奖结果没有影响，即事件A 的发生不会影响事件B 发生的概率．于是 P （B| A ）=P(B ）, P （AB ）=P( A ) P ( B |A ）=P （A ）P(B). 1．相互独立事件的定义： 设A, B 为两个事件，如果 P ( AB ) = P ( A ) P ( B ) , 则称事件A 与事件B 相互独立（mutually independent ) .

随机变量的独立性

第三章多元随机变量 3.1 二维随机向量及其分布函数 3.2 二维离散随机向量 3.3 二维连续随机向量 3.4 边缘分布 3.5 条件分布 3.6 随机变量的独立性 3.7 随机向量函数的分布 3.8 n维随机向量函数的分布(不讲)

§3.6 随机变量的独立性 事件A 与 B 独立的定义是： 若 P (AB ) = P (A )P (B )，则称事件A 与B 相互独立 。 设 X , Y 是两个随即变量, 对任意的 x , y , 若 , )( )() ,(y Y P x X P y Y x X P ≤≤=≤≤则称 X 与Y 相互独立。 用联合分布函数与边缘分布函数表示上式, 就是 . )( )(),(y F x F y x F Y X =,,x y ?

P70例3.6.2：P61例3.4.3：设(X ,Y )服从单位圆域 x 2+y 2≤1上的均匀分布。已求得X 和Y 的边缘概率密度如下， ?? ?? ??∈=.),( 0,),( 1 ),(D y x D y x y x f ，， π解:因2 21,[1,1], ()0,[1,1];X x x f x x π ??∈???=? ????? ?? ?? ????∈?=].1,1[,0],1,1[,12)(2y y y y f Y π ,)x y D ∈（时， 故，X 和Y 不相互独立。 问X 与Y 的独立性。 ()() X Y f x f y 222211x y π π???? ??=????????,,(,)()() X Y x y f x y f x f y ?=连续型X 与Y 相互独立 ?1π≠(,)f x y = ,[1,1]x y ∈?，

数学：人教版选修2-3第二章离散型随机变量教案(2.2.2事件的相互独立性)

2．2．2事件的相互独立性 教学目标： 知识与技能：理解两个事件相互独立的概念。 过程与方法：能进行一些与事件独立有关的概率的计算。 情感、态度与价值观：通过对实例的分析，会进行简单的应用。 教学重点：独立事件同时发生的概率 教学难点：有关独立事件发生的概率计算 授课类型：新授课 课时安排：2课时 教 具：多媒体、实物投影仪 教学过程： 一、复习引入： 1 事件的定义：随机事件：在一定条件下可能发生也可能不发生的事件； 必然事件：在一定条件下必然发生的事件； 不可能事件：在一定条件下不可能发生的事件 2．随机事件的概率：一般地，在大量重复进行同一试验时，事件A 发生的频率 m n 总是接近某个常数，在它附近摆动，这时就把这个常数叫做事件A 的概率，记作()P A ． 3.概率的确定方法：通过进行大量的重复试验，用这个事件发生的频率近似地作为它的概率； 4．概率的性质：必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，随机事件的概率为0()1P A ≤≤，必然事件和不可能事件看作随机事件的两个极端情形 5基本事件：一次试验连同其中可能出现的每一个结果（事件A ）称为一个基本事件 6．等可能性事件：如果一次试验中可能出现的结果有n 个，而且所有结果出现的可能性都相等，那么每个基本事件的概率都是1n ，这种事件叫等可能性事件 7．等可能性事件的概率：如果一次试验中可能出现的结果有n 个，而且所有结果都是等可能的， 如果事件A 包含m 个结果，那么事件A 的概率()m P A n = 8．等可能性事件的概率公式及一般求解方法 9.事件的和的意义:对于事件A 和事件B 是可以进行加法运算的 10 互斥事件:不可能同时发生的两个事件．()()()P A B P A P B +=+ 一般地：如果事件12,,,n A A A 中的任何两个都是互斥的，那么就说事件12,,,n A A A 彼此互斥 11．对立事件:必然有一个发生的互斥事件．()1()1()P A A P A P A +=?=- 12．互斥事件的概率的求法:如果事件12,,,n A A A 彼此互斥，那么 12()n P A A A +++ ＝12()()()n P A P A P A +++

条件概率与独立性

§4 条件概率与事件的独立性 一、条件概率 二、全概率公式，贝叶斯(Bayes)公式 三、事件独立性 四、贝努里概型 补充和注记 习 题 一、条件概率 任一个随机试验都是在某些基本条件下进行的，在这些基本条件下某个事件A 的发生具有某种概率. 但如果除了这些基本条件外还有附加条件，所得概率就可能不同.这些附加条件可以看成是另外某个事件B 发生. 条件概率这一概念是概率论中的基本工具之一. 给定一个概率空间 (,,)P ΩF ，并希望知道某一事件A 发生的可能性大小. 尽管我们不可能完全知道试验结果，但往往会掌握一些与事件A 相关的信息，这对我们的判断有一定的影响. 例如，投掷一均匀骰子，并且已知出现的是偶数点，那么对试验结果的判断与没有这一已知条件的情形有所不同. 一般地，在已知另一事件B 发生的前提下，事件A 发生的可能性大小不一定再是()P A . 已知事件B 发生条件下事件A 发生的概率称为事件A 关于事件B 的条件概率(conditional probability)，记作(|)P A B . 在某种情况下，条件的附加意味着对样本空间进行压缩，相应的概率可在压缩的样本空间内直接计算. 例1 盒中有球如右表1-2. 任取一球，记A ={取得蓝球}，B ={取得玻璃球}， 显然这是古典概型. Ω包含的样本点总数为16，A 包含的样本点总数为11，故 11 ()16P A =. 表1-2

如果已知取得为玻球，这就B 是发生条件璃下A 发生的条件概率，记作(|)P A B . 在B 发生的条件下可能取得的样本点总数应为“玻璃球的总数”，也即把样本空间压缩到玻璃球全体. 而在B 发生条件下A 包含的样本点数为蓝玻璃球数，故 42(|)63P A B ==. 一般说来，在古典概型下，都可以这样做.但若回到原来的样本空间，则当()0P B ≠，有 (|) B A P A B B AB B 在发生的条件下包含的样本点数 ＝ 在发生的条件下样本点数 包含的样本点数＝包含的样本点数 AB P AB B P B 包含的样本点数/总数（）＝＝包含的样本点数/总数（）. 这式子对几何概率也成立. 由此得出如下的一般定义. 定义1 对任意事件A 和B ，若()0P B ≠，则“在事件B 发生的条件下A 的条件概率”，记作P(A | B)，定义为 (|)P AB P A B P B （） ＝（）. (1) 反过来可以用条件概率表示A 、B 的乘积概率，即有乘法公式 若()0P B ≠，则()()(|)P AB P B P A B =, (2) 同样有 若()0P A ≠，则()()(|)P AB P A P B A =. (2)' 从上面定义可见，条件概率有着与一般概率相同的性质，即非负性，规范性和可列可加性. 由此它也可与一般概率同样运算，只要每次都加上“在某事件发生的条件下”即成. 两个事件的乘法公式还可推广到n 个事件，即 312121(|)(|) n n P A A A P A A A A -? (3)