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补充练习求递推式a 初始 a ,a

补充练习11.求递推式a n=3a n?1?3a n?2+a n?3+1，初始条件a0=2,a1=4,a2=8的通解。

解答：该线性非齐次递推式所伴随的齐次递推式是a n=3a n?1?3a n?2+a n?3，它的特征方程是r3?3r2+3r?1=0，该方程的根是1，且这个根是该特征方程的3重根。

根据8.2节定理6，该非齐次递推式的特解具有形式a(p)

=p0n3·1n=p0n3，将该特解形式代入原齐次递推式得到：

p0n3=3p0(n?1)3?3p0(n?2)3+p0(n?3)3+1

即：

p0n3=3p0(n3?3n2+3n?1)?3p0(n3?6n2+12n?8)+p0(n3?9n2+27n?27)+1

即

0=?3p0+24p0?27p0+1

从而p0=1/6，因此该非齐次递推式的特解具有形式a(p)n=n3

，而根据8.2节定理4，该非齐次递推式

伴随的齐次递推式的通解具有形式：a(h)

=(α+βn+γn2)1n，因此非齐次递推式的通解具有形式：

a n=(α+βn+γn2)+n3 6

根据初始条件a0=2,a1=4,a2=8有：

a0=2=α

a1=4=α+β+γ+1 6

a2=8=α+2β+4γ+4 3

即

α=2

6β+6γ=11

6β+12γ=14

解得α=2,β=4

,γ=

，从而该非齐次递推式的通解是：

a n=2+

点评0.1求特解中的待定系数时，直接利用其形式a(p)

n，而无需利用伴随的齐次递推式的通解，

即不要使用a(h)

+a(p)n代入递推式来求解!实际上，用a(h)n+a(p)n来代入原来的（非齐次）递推式求解

也没有问题，因为不管a(h)

中的待定系数是什么，它是所伴随的齐次递推式的解，也即（具体到这一题），它总满足：

a(h) n =3a(h)

n?1

?3a(h)

n?2

+a(h)

n?3

因此即使用a(h)

+a(p)n代入原来的（非齐次）递推式我们得到的也是：

a(h) n +a(p)

=3a(h)

n?1

+3a(p)

n?1

?3a(h)

n?2

?3a(p)

n?2

+a(h)

n?3

+a(p)

n?3

利用上面的等式化简我们也得到：

a(p) n =3a(p)

n?1

?3a(p)

n?2

+a(p)

n?3

即仅仅利用特解a(p)n代入原来的（非齐次）递推式求解特解中的待定系数即可!

另外，我也多次强调过，求特解中的待定系数时，也不需要用到初始条件!

这一题也有不少同学当作齐次递推式直接求解，从而得到错误的答案。当然有些同学利用a n?a n?1，从而得到一个4阶的齐次递推式再求解就可以得到正确答案。

这一题还有些同学先根据其伴随的齐次递推式的通解形式，利用初始条件求其中的待定系数，这是错误的，因为初始条件是针对非齐次递推式的形如a(h)

+a(p)n的通解来求其中的待定系数的，如

果你只针对a h

求解得到的系数值肯定是不对的。当然有些同学根据特解的形式p0n3，以及齐次递推式的通解形式α+βn+γn2，然后得到非齐次递推式的通解形式是α+βn+γn2+p0n3，然后在根据a0,a1,a2以及利用原递推式算出a3，这样列出四个关于α,β,γ,p0的方程求出这四个待定系数，这也可得到正确答案，不过有些同学太厉害了，只用a0,a1,a2导出的三个方程就求出四个待定系数了，真是伟大的发明!

补充练习37.方程x1+x2+x3=20满足条件2

解答一.由于条件要求x1<6,x2<10,x3<5，即x1≤5,x2≤9,x3≤4，每个未知数都取最大值，即x1=5,x2=9,x3=4也只能得到x1+x2+x3=18<20，因此原方程没有满足所给条件的解，即满足所给出的整数解的个数为0!

解答二.我们令性质P表示x1≥3∧x2≥7∧x3≥1，P1表示x1≥6，P2表示x2≥10，P3表示x3≥5，则原方程满足所给条件的解个数为：

N(P P

)=N(P)?N(P P1)?N(P P2)?N(P P3)+N(P P1P2)+N(P P1P3)+N(P P2P3)?N(P P1P2P3)

其中：

N(P)=N(x1≥3,x2≥7,x3≥1)=C(20?11+3?1,20?11)=C(11,2)=55 N(P P1)=N(x1≥6,x2≥7,x3≥1)=C(20?14+3?1,20?14)=C(8,2)=28

N(P P2)=N(x1≥3,x2≥10,x3≥1)=C(20?14+3?1,20?14)=C(8,2)=28

N(P P3)=N(x1≥3,x2≥7,x3≥5)=C(20?15+3?1,20?15)=C(7,2)=21 N(P P1P2)=N(x1≥6,x2≥10,x3≥1)=C(20?17+3?1,20?17)=C(5,2)=10 N(P P1P3)=N(x1≥6,x2≥7,x3≥5)=C(20?18+3?1,20?18)=C(4,2)=6

N(P P2P3)=N(x1≥3,x2≥10,x3≥5)=C(20?18+3?1,20?18)=C(4,2)=6 N(P P1P2P3)=N(x1≥6,x2≥10,x3≥5)=C(20?21+3?1,3?1)=0

因此

N(P P

)=55?28?28?21+10+6+6=0

解答三.我们令x

1=x1?3,x

=x2?7,x

=x3?1，则原方程满足所给出条件的解的个数

等于方程x

1+x

=9满足条件0≤x

<3,0≤x

<3且0≤x

<4的整数解个数。记P1表

示x

1≥3，P2表示x

≥3，P3表示x

≥4，则该方程满足给定条件的整数解个数为：

N(P

)=N?N(P1)?N(P2)?N(P3)+N(P1P2)+N(P1P3)+N(P2P3)?N(P1P2P3)

其中：

N=C(9+3?1,9)=C(11,2)=55

N(P1)=C(9?3+3?1,9?3)=C(8,2)=28

N(P2)=C(9?3+3?1,9?3)=C(8,2)=28

N(P3)=C(9?4+3?1,9?4)=C(7,2)=21

N(P1P2)=C(9?6+3?1,9?6)=C(5,2)=10

N(P1P3)=C(9?7+3?1,9?7)=C(4,2)=6

N(P2P3)=C(9?7+3?1,9?7)=C(4,2)=6

N(P1P2P3)=C(9?10+3?1,3?1)=0

因此

N(P

)=55?28?28?21+10+6+6=0

点评0.2有人在使用容斥原理求解时，心里不太清楚N(P1)的确切含义，不知道所求的解个数到底是满足怎样约束条件的解的个数!例如，混淆解答二和解答三中的条件，认为先为x1,x2,x3（所象征的三个盒子）分别放3,7,1个东西，这样总数由原来的20个（东西）变为9个东西来放到三个（不

同的）盒子，然后又令P1表示x1≥6,x2≥10,x3≥5，认为所求解的个数为：N(P

)，其中总

数N=C(9+3?1,9)=C(11,2)=55，

N(P1)=N(x1≥6)=C(9?6+3?1,3?1)=C(5,2)=10

N(P2)=N(x2≥10)=C(9?10+3?1,3?1)=0

N(P3)=N(x3≥5)=C(9?5+3?1,3?1)=C(6,2)=15

N(P1P2)=N(x1≥6,x2≥10)=0

N(P1P3)=N(x1≥6,x3≥5)=0

N(P2P3)=N(x2≥10,x3≥5)=0

N(P1P2P3)=0

最后得到的答案是55?10?15=30，这显然是错误的!错误之处正如上面解答三所示，当你先放3,7,1个东西之后，在总数是9的情况下，x1已经放了3个，要使得它满足x1≥6只要再放多于3个就可以了，也就是说，如果你认为总数只有9个了，那么对x1的约束性质P1只能为x1≥3，或者更准确

地，是令x

1=x1?3，这时要满足的约束性质是x

≥3等等!只有这样才会得到正确的答案!

由递推公式求通项公式的方法

由递推公式求通项公式的方法已知数列的递推公式，求取其通项公式是数列中一类常见的题型，这类题型如果单纯的看某一个具体的题目，它的求解方法灵活是灵活多变的，构造的技巧性也很强，但是此类题目也有很强的规律性，存在着解决问题的通法，本文就高中数学中常见的几类题型从解决通法上做一总结，方便于学生学习和老师的教学，不涉及具体某一题目的独特解法与技巧。一、1()n n a a f n +=+型数列，（其中()f n 不是常值函数) 此类数列解决的办法是累加法，具体做法是将通项变形为1()n n a a f n +-=，从而就有 21321(1),(2),,(1).n n a a f a a f a a f n --=-=-=- 将上述1n -个式子累加，变成1(1)(2)(1)n a a f f f n -=+++- ，进而求解。例1. 在数列{}n a 中,112,21,.n n n a a a n a +==+-求解：依题意有 213211,3,,23n n a a a a a a n --=-=-=- 逐项累加有221(123)(1)1323(1)212n n n a a n n n n +---=+++-= =-=-+ ，从而223n a n n =-+。注：在运用累加法时,要特别注意项数,计算时项数容易出错. 变式练习：已知{}n a 满足11=a ,) 1(11+=-+n n a a n n ,求}{n a 的通项公式。二、)(1n f a a n n ?=+型数列，（其中()f n 不是常值函数) 此类数列解决的办法是累积法，具体做法是将通项变形为1()n n a f n a +=，从而就有 32121 (1),(2),,(1)n n a a a f f f n a a a -===- 将上述1n -个式子累乘，变成1 (1)(2)(1)n a f f f n a =???- ，进而求解。例2. 已知数列{}n a 中11123,(2)321 n n n a a a n n --==?≥+，求数列{}n a 的通项公式。

(完整版)已知数列递推公式求通项公式的几种方法

求数列通项公式的方法一、公式法例1 已知数列{}n a 满足1232n n n a a +=+?，12a =，求数列{}n a 的通项公式。解：1232n n n a a +=+?两边除以12n +，得 113222n n n n a a ++=+，则113222n n n n a a ++-=，故数列{}2 n n a 是以1222 a 1 1==为首项，以23 为公差的等差数列，由等差数列的通项公式，得31(1)22n n a n =+-，所以数列{}n a 的通项公式为31()222 n n a n =-。评注：本题解题的关键是把递推关系式1232n n n a a +=+?转化为 11 3 222 n n n n a a ++-=，说明数列{}2n n a 是等差数列，再直接利用等差数列的通项公式求出31(1)22 n n a n =+-，进而求出数列{}n a 的通项公式。二、累加法例2 已知数列{}n a 满足1121 1n n a a n a +=++=，，求数列{}n a 的通项公式。解：由121n n a a n +=++得121n n a a n +-=+则 11232211 2 ()()()()[2(1)1][2(2)1](221)(211)1 2[(1)(2)21](1)1 (1)2(1)1 2 (1)(1)1n n n n n a a a a a a a a a a n n n n n n n n n n n ---=-+-++-+-+=-++-+++?++?++=-+-++++-+-=+-+=-++=L L L 所以数列{}n a 的通项公式为2 n a n =。评注：本题解题的关键是把递推关系式121n n a a n +=++转化为121n n a a n +-=+，进而求出11232211()()()()n n n n a a a a a a a a a ----+-++-+-+L ，即得数列{}n a 的通项公式。

用递推公式计算定积分(matlab版)

用递推公式计算定积分实验目的： 1．充分理解不稳定的计算方法会造成误差的积累，在计算过程中会导致误差的迅速增加，从而使结果产生较大的误差。 2．在选择数值计算公式来进行近似计算时，应学会选用那些在计算过程中不会导致误差迅速增长的计算公式。 3．理解不稳定的计算公式造成误差积累的来源及具体过程； 4．掌握简单的matlab语言进行数值计算的方法。实验题目：对n=0,1,2,…,20，计算定积分：实验原理：由于y(n)= = – 在计算时有两种迭代方法，如下：方法一： y(n)=– 5*y(n-1),n=1,2,3, (20) 取y(0)= = ln6-ln5 ≈ 0.182322 方法二：利用递推公式：y(n-1)=-*y(n),n=20,19, (1) 而且，由 = * ≤≤* =

可取：y(20)≈*()≈0.008730. 实验容：对算法一,程序代码如下： function [y,n]=funa() syms k n t; t=0.182322; n=0; y=zeros(1,20); y(1)=t; for k=2:20 y(k)=1/k-5*y(k-1); n=n+1; end y(1:6) y(7:11) 对算法二，程序代码如下： %计算定积分； %n--表示迭代次数； %y用来存储结果； function [y,n]=f(); syms k y_20;

y=zeros(21,1); n=1; y_20=(1/105+1/126)/2; y(21)=y_20; for k=21:-1:2 y(k-1)=1/(5*(k-1))-y(k)/5; n=n+1; end 实验结果：由于计算过程中，前11个数字太小，后9个数字比较大，造成前面几个数字只显示0.0000的现象，所以先输出前6个，再输出7—11个，这样就能全部显示出来了。算法一结果： [y,n]=funa %先显示一y(1)—y(6) ans = 0.1823 -0.4116 2.3914 -11.7069 58.7346

第五讲归纳与递推计数

第五讲归纳与递推计数【知识点】一、欧拉定理平面图形：顶点数+区域数-边数=1 二、求最多交点数（n条直线） n×(n-1)÷2 三、分平面 1.直线分平面：1+n×(n+1)÷2 2.封闭图形 1）圆分平面：2+n×(n-1) 2）三角形分平面：2+3×n×(n-1) 3）四边形分平面：2+4×n×(n-1) 4）M边形分平面：2+M×n×(n-1) 四、多边形分三角形（n个内点） 1.四边形：4+（n-1）×2 2.M边形：M +（n-1）×2 【周周测】练习1 某城市有10条笔直的道路，这10条路没有平行的，每两条都有交叉路口，但没有3条或3条以上的路在一个路口相交，如果每一个交叉路口安排一名交警，共需安排（）名。练习2 将一个圆形纸片用直线划分成大小不限的若干小纸片，如果要分成不少于1000个小纸片，至少要画（）条直线。请说明。

练习3 平面上的七个圆和一条直线最多将平面分为几部分？练习4 如图，一枚棋子放在七角棋盘的第0格。现依反时针方向移动这枚棋子，且依次走1,2,3,…,n,…格。不论走多少次，总有几个格子从不停有棋子，这几个格子的号码是（）。练习5 在一张五边形的纸上有20个点，如果把五边形的顶点算在一起，则一共有25个点。已知这些点中任意三个点都不在同一直线上，按下面两个规定把这些纸剪成一些三角形：①每个三角形的顶点都是这25个点中的3个；②每个三角形内，都不再有这些点。问：这张五边形的纸最多能剪出（）个这样的三角形。 6 5 4321

69练习6 在2,3两数之间，第一次写上5（5=2+3），第二次在2,5和5,3之间分别写上7（7=2+5），8（8=5+3）： 2...7...5...8 (3) 即每次都在已写上的两个相邻数之间，写上这两个相邻数之和，这样的过程共重复7次，问所有数之和是多少？。练习7 在方格纸上画折线段（见图），小方格的边长是1，折线上每一直线段都按螺旋形一次编号为①、②、③、…，问：（1）编号的线段长度是（）（2）长为28的线段的编号是（）你发现什么规律？

由递推公式求通项公式典型例题素材

如何由递推公式求通项公式高中数学递推数列通项公式的求解是高考的热点之一，是一类考查思维能力的题型，要求考生进行严格的逻辑推理。找到数列的通项公式，重点是递推的思想：从一般到特殊，从特殊到一般；化归转换思想，通过适当的变形，转化成等差数列或等比数列，达到化陌生为熟悉的目的。下面就递推数列求通项的基本类型作一个归纳，以供参考。类型一：1()n n a a f n +-= 或 1()n n a g n a += 分析：利用迭加或迭乘方法。即：112211()()+()n n n n n a a a a a a a a ---=-+-+-+…… 或121121 n n n n n a a a a a a a a ---=…… 例1.(1) 已知数列{}n a 满足11211,2n n a a a n n += =++，求数列{}n a 的通项公式。（2）已知数列{}n a 满足1(1)1,2n n n a a s +==，求数列{}n a 的通项公式。解：（1）由题知：121111(1)1 n n a a n n n n n n +-===-+++ 112211()())n n n n n a a a a a +(a -a a ---∴=-+-++…… 1111111()()()121122n n n n =-+-++-+---…… 312n = - （2）2(1)n n s n a =+ 112(2)n n s na n --∴=≥ 两式相减得：12(1)(2)n n n a n a na n -=+-≥ 即： 1(2)1 n n a n n a n -=≥- 121121 n n n n n a a a a a a a a ---∴=?? (121121) n n n n -=??--…… n = 类型二：1(,(1)0)n n a pa q p q pq p +=+-≠其中为常数，

习题3 递推关系

习题三 3-1 解下列递推关系：（1）???===+---1 ,00 1071021a a a a a n n n （2）???===++--1,00961021a a a a a n n n （3）???===+-2,00102a a a a n n （4）???==-=--1210 2 1a a a a a n n n （5）???===-+=---2,1,099210 3 21a a a a a a a n n n n （解）（1）特征方程为010x 7x 2 =+-。解得2x 1=，5x 2=，故通解为 n n n B A a 52?+?= 分别令n ＝0，1，并代入初值1010==a a , 得关于系数A 、B 的方程组 ?? ?=+=+1 520 B A B A 解得31- =A ，3 1 =B 。所以定解为 n a ＝ () n n 253 1- （2）特征方程为0962 =+-x x 。解得321==x x ，故通解为 ()n n Bn A a 3?+= 代入初值得 ? ? ?=+=1330 B A A 解得0=A ，3 1 = B 。 ∴ 1333 1-== n n n n n a （3）特征方程为012 =+x 。解得i x ±=，故通解为 ()n n n i B i A a -?+?= 代入初值得

?? ?=-=+2 Bi Ai B A 解得i A -=，i B =。 ∴ n a ＝()n n i i i i -+?-＝() 1 1---+n n i i ＝() 11 11---+n n i )( 可以看出，此数列为：0，2，0，－2，0，2，0，－2，……。当然本数列可以不用特征根法求解，直接由解递推关系就可观察出2--=n n a a ，从而由初值即得结果。（4）用特征根法求解可得解为n a ＝1。本小题虽然是二阶递推关系，但由于其特殊性，并不一定要用特征根法求解，而用迭代法可能更容易计算出结果。即 0122a a a -=＝2×1－1＝1， 1232a a a -=＝2×1－1＝1，…… 立即可以观察出n a ＝1（n ＝0，1，2，…）。（5）特征方程为0992 3 =+--x x x 。解得31-=x ，12=x ，33=x ，故通解为 ()n n n C B A a 33++-= 代入初值得方程组 ?? ? ??=++=++-=++2991330 C B A C B A C B A 解得121-=A ，4 1-=B ，31 =C 。 ∴ ()n n n a 331413121 ?+---=＝()[] 113134 1--+--n n 3-2 求由A ，B ，C ，D 组成的允许重复的排列中AB 至少出现一次的排列数。（解）设由A ，B ，C ，D 组成的字符串为s ＝()n c c c 21，串的长度为n ，满足条件的串有n a 个，则 n a ＝13-n a ＋()2242--+n n a ＋()3342--+n n a ＋……＋() 0042+a 即 ∑-=-=-1 012n i i n n a a a ＋ () 143 11 --n 化简得 221143----+-=-n n n n n a a a a ∴ ???====+----1044210 221a a a a a a n n n n ,,

奥数讲义计数专题：归纳与递推

华杯赛计数专题：归纳与递推基础知识： 1.递推的基本思想：从简单情况出发寻找规律，逐步找到复杂问题的解法。 2.基本类型：上楼梯问题、直线分平面问题、传球法、圆周连线问题。 3.递推分析的常用思路：直接累加、增量分析、从复杂化归简单。例题：例1.一个楼梯共有10级台阶，规定每步可以迈一级台阶或二级台阶.走完这10级台阶，一共可以有多少种不同的走法？【答案】89种【解答】设n级台阶有a n种走法，则a n=a n-1+a n-2 1级有1种走法；2级有（1+1和2）2种走法；3级有（1+1+1、2+1和1+2）3种走法；4级有3+2=5种走法；5级有3+5=8种走法；6级有5+8=13种走法；7级有8+13=21种走法；8级有13+21=34种走法；9级有21+34=55种走法；10级有34+55=89种走法例2.小悦买了10块巧克力，她每天最少吃一块，最多吃3块，直到吃完，共有多少种吃法？【答案】274种【解答】通过枚举法和递推法：设n块糖有a n种走法，则a n=a n-1+a n-2+ a n-3 1块糖有1种吃法；2块糖有2种吃法； 3块糖有4种吃法； 4块糖有1+2+4=7种吃法； 5块糖有2+4+7=13种吃法； 6块糖有4+7+13=24种吃法； 7块糖有7+13+24=44种吃法； 8块糖有13+24+44=81种吃法；9块糖有24+44+81=149种吃法；10块糖有 44+81+149=274种吃法。例3.用1×2的小方格覆盖2×7的长方形，共有多少种不同的覆盖方法？【答案】21种【解答】2×1的方格有1种盖法；2×2的方格有2种盖法；2×3的方格有2+1=3种盖法； 2×4的方格有3+2=5种盖法；2×5的方格有3+5=8种盖法；2×6的方格有5+8=13种盖法； 2×7的方格有8+13=21种盖法。例4.如果在一个平面上画出4条直线，最多可以把平面分成几个部分？如果画20条直线，最多可以分成几个部分？【答案】211个【解答】1条直线将平面分成1+1=2部分；2条直线最多将平面分成1+2+1=4部分； 3条直线最多将平面分成1+2+3+1=7部分；4条直线最多将平面分成1+2+3+4+1=11部分……20条直线最多将平面分成1+2+3+……+20+1=211部分；

由递推公式求通项公式的三种方法

由递推公式求通项公式的三种方法递推公式和通项公式是数列的两种表示方法，它们都可以确定数列中的任意一项，只是由递推公式确定数列中的项时，不如通项公式直接，下面介绍由递推公式求通项公式的几种方法． 1．累加法 [典例1] 数列{a n }的首项为3，{b n }为等差数列且b n ＝a n ＋1－a n (n ∈N * )．若b 3＝－2，b 10＝12，则a 8＝( ) A ．0 B ．3 C ．8 D ．11 [解析] 由已知得b n ＝2n －8，a n ＋1－a n ＝2n －8，所以a 2－a 1＝－6，a 3－a 2＝－4，…，a 8－a 7＝6，由累加法得a 8－a 1＝－6＋(－4)＋(－2)＋0＋2＋4＋6＝0，所以a 8＝a 1＝3. [答案] B [题后悟道] 对形如a n ＋1＝a n ＋f (n )(f (n )是可以求和的)的递推公式求通项公式时，常用累加法，巧妙求出a n －a 1与n 的关系式． 2．累乘法 [典例2] 已知数列{a n }中，a 1＝1，前n 项和S n ＝ n ＋23a n . (1)求a 2，a 3； (2)求{a n }的通项公式． [解] (1)由S 2＝43 a 2得3(a 1＋a 2)＝4a 2，解得a 2＝3a 1＝3. 由S 3＝53 a 3得3(a 1＋a 2＋a 3)＝5a 3，解得a 3＝32 (a 1＋a 2)＝6. (2)由题设知a 1＝1. 当n >1时，有a n ＝S n －S n －1＝n ＋23a n －n ＋13 a n －1，

整理得a n ＝n ＋1n －1 a n －1. 于是a 2＝31a 1，a 3＝42a 2，…，a n －1＝n n －2a n －2，a n ＝n ＋1n －1 a n －1. 将以上n －1个等式中等号两端分别相乘，整理得a n ＝ n n ＋1 2. 综上可知，{a n }的通项公式a n ＝ n n ＋1 2. [题后悟道] 对形如a n ＋1＝a n f (n )(f (n )是可以求积的)的递推公式求通项公式时，常用累乘法，巧妙求出a n a 1与n 的关系式． 3．构造新数列 [典例3] 已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝3a n ＋2；则a n ＝________. [解析] ∵a n ＋1＝3a n ＋2，∴a n ＋1＋1＝3(a n ＋1)， ∴a n ＋1＋1a n ＋1 ＝3，∴数列{a n ＋1}为等比数列，公比q ＝3，又a 1＋1＝2，∴a n ＋1＝2·3 n －1， ∴a n ＝2·3n －1－1. [答案] 2×3 n －1－1 [题后悟道] 对于形如“a n ＋1＝Aa n ＋B (A ≠0且A ≠1)”的递推公式求通项公式，可用迭代法或构造等比数列法．上面是三种常见的由递推公式求通项公式的题型和对应解法，从这些题型及解法中可以发现，很多题型及方法都是相通的，如果能够真正理解其内在的联系及区别，也就真正做到了举一反三、触类旁通，使自己的学习游刃有余，真正成为学习的主人．

(完整版)常见递推数列通项公式的求法典型例题及习题

常见递推数列通项公式的求法典型例题及习题【典型例题】 [例1] b ka a n n +=+1型。（1）1=k 时，}{1n n n a b a a ?=-+是等差数列，)(1b a n b a n -+?= （2）1≠k 时，设)(1m a k m a n n +=++ ∴ m km ka a n n -+=+1 比较系数：b m km =- ∴ 1-= k b m ∴ }1{-+ k b a n 是等比数列，公比为k ，首项为11-+k b a ∴ 11)1(1-?-+=-+ n n k k b a k b a ∴ 1)1(11--?-+=-k b k k b a a n n [例2] )(1n f ka a n n +=+型。（1）1=k 时，)(1n f a a n n =-+，若)(n f 可求和，则可用累加消项的方法。例：已知}{n a 满足11=a ，)1(1 1+= -+n n a a n n 求}{n a 的通项公式。解： ∵ 11 1)1(11+- =+= -+n n n n a a n n ∴ n n a a n n 1111--= -- 112121---=---n n a a n n 21 3132-- -=---n n a a n n …… 312123-= -a a 21112-=-a a 对这（1-n ）个式子求和得： n a a n 111- =- ∴ n a n 1 2- =

（2）1≠k 时，当b an n f +=)(则可设)()1(1B An a k B n A a n n ++=++++ ∴ A B k An k ka a n n --+-+=+)1()1(1 ∴ ???=--=-b A B k a A k )1()1( 解得：1-=k a A ，2 )1(1-+-=k a k b B ∴ }{B An a n ++是以B A a ++1为首项，k 为公比的等比数列 ∴ 1 1)(-?++=++n n k B A a B An a ∴ B An k B A a a n n --?++=-11)( 将A 、B 代入即可（3）n q n f =)(（≠q 0，1）等式两边同时除以1 +n q 得q q a q k q a n n n n 1 11+?=++ 令 n n n q a C = 则q C q k C n n 1 1+ =+ ∴ }{n C 可归为b ka a n n +=+1型 [例3] n n a n f a ?=+)(1型。（1）若)(n f 是常数时，可归为等比数列。（2）若)(n f 可求积，可用累积约项的方法化简求通项。例：已知： 311= a ，1121 2-+-=n n a n n a （2≥n ）求数列}{n a 的通项。解：123537532521232121212233 2211+= ?--?--?+-=???-----n n n n n n n a a a a a a a a a a n n n n n n ΛΛ ∴ 1211231+= +? =n n a a n [例4] 11 --+?? =n n n a m a m k a 型。

九类常见递推数列求通项公式方法

递推数列通项求解方法类型一：1n n a pa q += +（1p ≠）思路1（递推法）：()123()n n n n a pa q p pa q q p p pa q q q ---??=+=++=+++=?? ......121(1n p a q p p -=++++ (2) 1 1)11n n q q p a p p p --??+=+?+ ? --?? 。思路2（构造法）：设()1n n a p a μμ++=+，即()1p q μ-=得1 q p μ= -，数列 {}n a μ+是以1a μ+为首项、p 为公比的等比数列，则1 111n n q q a a p p p -??+ =+ ?--??，即1111n n q q a a p p p -??=++ ? --?? 。例1 已知数列{}n a 满足123n n a a -=+且11a =，求数列{}n a 的通项公式。解：方法1（递推法）： ()123232(23)3222333n n n n a a a a ---??=+=++=+++=?? (1) 22 3(122n -=++++ (2) 11 332 )12232112n n n --+??+=+?+=- ? --? ?。方法2（构造法）：设()12n n a a μμ++=+，即3μ=，∴数列{}3n a +是以134 a +=为首项、2为公比的等比数列，则113422n n n a -++=?=，即1 23n n a +=-。

1n n +思路1（递推法）： 123(1)(2)(1)(3)(2)(1)n n n n a a f n a f n f n a f n f n f n ---=+-=+-+-=+-+-+-= …1 11 ()n i a f n -==+∑。思路2（叠加法）：1(1)n n a a f n --=-，依次类推有：12(2)n n a a f n ---=-、 23(3)n n a a f n ---=-、…、21(1)a a f -=，将各式叠加并整理得1 11 ()n n i a a f n -=-= ∑ ，即 1 11 ()n n i a a f n -==+ ∑ 。例2 已知11a =，1n n a a n -=+，求n a 。解：方法1（递推法）：123(1)(2)(1)n n n n a a n a n n a n n n ---=+=+-+=+-+-+= ......1[23a =+++ (1) (1)(2)(1)]2 n i n n n n n n =++-+-+= = ∑ 。方法2（叠加法）：1n n a a n --=，依次类推有：121n n a a n ---=-、232n n a a n ---=-、…、 212a a -=，将各式叠加并整理得12 n n i a a n =-= ∑ ，12 1 (1)2 n n n i i n n a a n n ==+=+ = = ∑ ∑ 。

(完整版)数列专题1递推公式求通项公式(练习)

专题1：递推公式求通项公式 1．数列3，7，13，21，31，…，的一个通项公式为（） A ．14-=n a n B ．223++-=n n n a n C ．12 ++=n n a n D ．不存在 2．在数列}{n a 中，21-=a ， n a a n n +=+21，则=3a （） A. 6- B. 5- C. 4- D. 3- 3．数列}{n a 中，a 1=1，对于所有的2n ≥，* n N ∈都有2123n a a a a n ??=L ，则35a a +=等于（） A. 16 61 B. 9 25 C. 16 25 D. 15 31 4．下列各式中，可以作为数列}{n a 的通项公式的是：（） A ．2-= n a n B ．)2(log 1-=-n a n n C ．112 ++= n n a n D ．4 tan π n a n = 5．在数列}{n a 中，2,121==a a ，n n n a a a -=++122，则=4a （） A ．3 B ．4 C ．5 D ．6 6．古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种性状来研究数，例如：他们研究过图1中的1，3，6，10，…，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数;类似地，称图2中的1，4，9，16…这样的数成为正方形数。下列数中及时三角形数又是正方形数的是（） A ．289 B ．1024 C ．1225 D ．1378 7．数列}{n a 的前n 项和)2(2 ≥?=n a n S n n ，而11=a ，通过计算2a ，3a ，4a 猜想=n a A ． 2)1(2+n B ．n n )1(2+ C ．122-n D ．1 22 -n 8．数列}{n a 中，)2(31, 11 1 1≥+= =--n a a a a n n n ，则数列｛a n ｝的通项公式是：（）

专题由递推关系求数列的通项公式(含答案)

专题由递推关系求数列的通项公式一、目标要求通过具体的例题，掌握由递推关系求数列通项的常用方法：二、知识梳理求递推数列通项公式是数列知识的一个重点，也是一个难点，高考也往往通过考查递推数列来考查学生对知识的探索能力，求递推数列的通项公式一般是将递推公式变形，推得原数列是一种特殊的数列或原数列的项的某种组合是一种特殊数列，把一些较难处理的数列问题化为熟悉的等差或等比数列。三、典例精析 1、公式法：利用熟知的公式求通项公式的方法称为公式法。常用的公式有???≥???????-=????????????????=-21 11n S S n S a n n n 及等差数列和等比数列的通项公式。例1 已知数列{n a }中12a =，2 +2n s n =，求数列{n a }的通项公式评注在运用1n n n a s s -=-时要注意条件2n ≥，对n=1要验证。 2、累加法：利用恒等式()()1211+......+n n n a a a a a a -=+--求通项公式的方法叫累加法。它是求型如 ()1+f n n n a a +=的递推数列的方法（其中数列(){}f n 的前n 项和可求）。例2 已知数列{n a }中112a =，121 ++32 n n a a n n +=+，求数列{n a }的通项公式评注此类问题关键累加可消中间项，而(f n ）可求和则易得n a 3、.累乘法：利用恒等式3 21121 n n n a a a a a a a a -=? ???????()0n a ≠求通项公式的方法叫累乘法。它是求型如()1n n a g n a +=的递推数列的方法(){}() g n n 数列可求前项积

递推关系求通项公式教案

教案课题：递推关系求通项公式课型：习题课授课人：呼延敏要点自主整合：累加法、累乘法两种基本的由递推公式求通项教学目标: 【知识目标】累加法、累乘法的应用【能力目标】培养学生的发散思维能力，进而提高转化与化归能力的培养. 【情感目标】培养学生的创新意识与创新思维，培养学生的合作探究意识。学生能够通过等差、等比数列的通项公式推导得到累加法、累乘法两种基本的由递推公式求通项公式的方法，并进一步拓展到“构造法”，在此过程中使学生的思维空间得以拓展，养成善于观察，勇于创新的学习精神。教学重点：已知数列递推关系求通项关系的几种基本类型。教学难点：累加法、累乘法的应用教学过程：引例： 11=a n n a a +=+21 求n a 提问：等差数列的通项公式的推导方法是什么? 学生答：…………… 类型<一> 形如a 1=a, a n+1=a n +f ()n 型其中f ()n 为可求和数列采用累加法求通项例1：数列{}n a 中a 1=1 a n+1=2n+a n 求a n 解析： a n+1—a n =2n ∴当n 2≥时a n —a n-1=2()1-n a 2—a 1=2 a 3—a 2=4

a 4—a 3=6 ..…… a n —a n-1=2()1-n 对上面的n-1个式子相加得到：a n =n 2—n+1 变式训练1：数列中{}n a a 1=1 a n+1=a n +2n 求a n 类型<二> 形如a 1=a, a n+1=a n *f ()n 型采用累乘法在引例1中将加号+变为乘号*即得到一个等比数列11=a n n a a *=+21 让学生回顾：等比数列中通项公式的推导方法是什么？学生答：………… 将变式训练1中的加号+变为乘号*得到如下例题例2：数列中{}n a 11=a n n n a a 21*=+ 求n a 解析： 1+n a = n n a 2* ∴当2≥n 时 11 2--=n n n a a 21 2=a a 22 32=a a 3342=a a ……….. 11 2--=n n n a a

1-2-2 数列递推关系综合应用解析版

专题限时训练 (小题提速练) (建议用时：45分钟) 一、选择题 1．设数列{}a n 满足a 1＝a ，a n ＋1＝a 2n －2 a n ＋1 (n ∈N *)，若数列{}a n 是常数列，则a ＝( ) A ．－2 B.－1 C.0 D.(－1)n 解析：因为数列{a n }是常数列，所以a ＝a 2＝a 21－2a 1＋1＝a 2 －2 a ＋1 ，即a (a ＋1)＝a 2－2，解得a ＝－2.故选A. 答案：A 2．在数列{a n }中，若a 1＝1，a 2＝12，2a n ＋1＝1a n ＋1 a n ＋2(n ∈N *)，则该数列的通项为( ) A ．a n ＝1 n B.a n ＝ 2n ＋1 C ．a n ＝2 n ＋2 D.a n ＝3n 解析：由已知2a n ＋1＝1a n ＋1 a n ＋2，可得 1 a n ＋1－1a n ＝1a n ＋2－1a n ＋1 ，所以??????1a n 是首项为1a 1＝1，公差为1a 2－1 a 1 ＝2－1＝1 的等差数列，所以1a n ＝n ，即a n ＝1 n . 答案：A 3．已知等差数列{a n }满足a 2＝3，S n －S n －3＝51(n >3)，若S n ＝100，则n 的值为( ) A ．8 B.9 C.10 D.11 解析：由S n －S n －3＝51得，a n －2＋a n －1＋a n ＝51，所以a n －1＝17，又a 2＝3，∴S n ＝n (a 2＋a n －1)2＝100，解得n ＝10. 答案：C 4．已知数列{a n }满足log 3a n ＋1＝log 3a n ＋1(n ∈N *)，且a 2＋a 4＋a 6＝9，则log 1 3(a 5＋a 7＋a 9)＝( ) A ．－5 B.－15 C.5 D.15 解析：∵log 3a n ＋1＝log 3a n ＋1，∴a n ＋1＝3a n .

初中数学竞赛《归纳与递推》配套练习题

《归纳与递推》配套练习题一、简答题 1、请用递推方法求出甲、乙、丙、丁、戊五个人站成一排照相，共有多少种不同站法？ 2、在平面上有5个三角形，最多把平面分割成多少部分？ 3、将自然数1，2，3，…，按图排列，在“2”处转第一个弯，“3”处转第二个弯，“5”处转第三个弯，…。问哪个数处转第十二个弯？ 4、用“1×2”纸牌（如下左图）若干张，放在一个图形上，要求“不空、不超、不重叠”，满足这种条件的叫做一种“完全覆盖”。例如，用“1×2”纸牌覆盖“2×2”图形（如下右图），有两种方法。问用“1×2”纸牌，覆盖“2×8”图形（如下图）有多少种覆盖方法？ 5、10级台阶，每次可以上1级或者2级，那么有多少种不同的走法？ 6、平面上5条直线最多能把圆的内部分成几部分？平面上24条直线最多能把圆的内部分成几部分？

7、 8、传说在印度的佛教圣地贝拿勒斯圣庙里安放着个一个黄铜板，板上插着三根宝石针，在第一根宝石针上，从下到上穿着由大到小的64片中心有孔的金片。每天都有一个值班僧侣按下面规则移动金片：把金片从第一根宝石针移到其余的某根宝石针上。要求一次只能移动一片，而且小片永远要放在大片的上面。当时传说当64片金片都按上面的规则从第一根宝石针移到另一根宝石针上时，世界将在一声霹雳中毁灭。所以有人戏称这个问题叫“世界末日”问题（也称为“Hanoi塔”问题），当然，移金片和世界毁灭并无联系，这只是一个传说而已，但说明这是一个需要移动很多很多次才能办到的事情。那么究竟按上述规则移动完成64片金片需要移动多少次呢？答案部分一、简答题 1、【正确答案】：120 【答案解析】：一个人站法：1种；二个人站法：1×2＝2（种）；三个人站法：1×2×3＝6（种）；四个人站法：1×2×3×4＝24（种）；

递推公式求通项公式的几种方

由递推公式求通项公式的常用方法由数列的递推公式求通项公式是高中数学的重点问题，也是难点问题，它是历年高考命题的热点题。对于递推公式确定的数列的求解，通常可以通过递推公式的变换，转化为等差数列或等比数列问题，有时也用到一些特殊的转化方法与特殊数列。方法一：累加法形如a n +1－a n ＝f (n )（n ＝2,3,4,…）,且f (1)＋f (2)＋…＋f (n -1)可求，则用累加法求a n 。有时若不能直接用，可变形成这种形式，然后利用这种方法求解。例1：（07年北京理工农医类）已知数列{a n }中，a 1＝2,a n ＋1＝a n ＋cn (c 是常数，n ＝1,2,3,…)且a 1,a 2,a 3成公比不为1的等比数列（1）求c 的值（2）求{a n }的通项公式解：（1）a1,a2,a3成公比不为1的等比数列 2 022)2(2)() ,3,2,1(111113 12 2===++?=+∴=+=?=∴+c c a c c a a c a n cn a a a a a n n 因此（舍去）或解得又（2）由（1）知n a a n a a n n n n 2,211=-+=++即，将n ＝1,2, …,n －1,分别代入 ) 1(2322 2121342312-=-?=-?=-?=--n a a a a a a a a n n 将上面n －1个式子相加得a n －a 1＝2(1＋2＋3＋…＋n －1)＝n 2 －n 又a 1＝2,a n ＝n 2 －n ＋2 方法二：累乘法形如 a n +1 a n ＝g (n )（n ＝2,3,4…），且f (1)f(2)…f (n －1)可求，则用累乘法求a n .有时若不能直接用，可变形成这种形式，然后用这种方法求解。

已知数列递推公式求通项公式的几种方法

已知数列递推公式求通项公式的几种方法 Revised on November 25, 2020

求数列通项公式的方法一、公式法例1 已知数列{}n a 满足1232n n n a a +=+?，12a =，求数列{}n a 的通项公式。解：1232n n n a a +=+?两边除以12n +，得 113222n n n n a a ++=+，则11 3 222 n n n n a a ++-=，故数列{}2n n a 是以1222 a 1 1==为首项，以23 为公差的等差数列，由等差数列的通项公式，得31(1)22n n a n =+-，所以数列{}n a 的通项公式为31()222n n a n =-。评注：本题解题的关键是把递推关系式1232n n n a a +=+?转化为 11 3 222 n n n n a a ++-=，说明数列{}2 n n a 是等差数列，再直接利用等差数列的通项公式求出3 1(1) 22n n a n =+-，进而求出数列{}n a 的通项公式。二、累加法例2 已知数列{}n a 满足11211n n a a n a +=++=，，求数列{}n a 的通项公式。解：由121n n a a n +=++得121n n a a n +-=+则所以数列{}n a 的通项公式为2n a n =。评注：本题解题的关键是把递推关系式121n n a a n +=++转化为 121n n a a n +-=+，进而求出11232211()()()()n n n n a a a a a a a a a ----+-+ +-+-+，即得数列{}n a 的通项公式。例3 已知数列{}n a 满足112313n n n a a a +=+?+=，，求数列{}n a 的通项公式。解：由1231n n n a a +=+?+得1231n n n a a +-=?+则所以3 1.n n a n =+-

数列的递推公式练习

数列的递推公式练习 IMB standardization office【IMB 5AB- IMBK 08- IMB 2C】

课时作业5数列的递推公式(选学) 时间：45分钟满分：100分课堂训练 1．在数列{a n}中，a1＝，a n＝(－1)n·2a n－1(n≥2)，则a5＝() A．－ C．－【答案】 B 【解析】由a n＝(－1)n·2a n－1知a2＝，a3＝－2a2＝－，a4＝2a3＝－，a5＝－2a4＝. 2．某数列第一项为1，并且对所有n≥2，n∈N，数列的前n项之积为 n2，则这个数列的通项公式是() A．a n＝2n－1 B．a n＝n2 C．a n＝D．a n＝【答案】 C 【解析】∵a1·a2·a3·…·a n＝n2，a1·a2·a3·…·a n－1＝(n－1)2，∴两式相除，得a n＝. 3．已知数列{a n}满足：a4n－3＝1，a4n－1＝0，a2n＝a n，n∈N＋，则a2009＝ ________，a2014＝________. 【答案】10 【解析】考查数列的通项公式． ∵2009＝4×503－3，∴a2009＝1， ∵2014＝2×1007，∴a2014＝a1007，

又1007＝4×252－1，∴a1007＝a4×252－1＝0. 4．已知数列{a n}，a1＝0，a n＋1＝，写出数列的前4项，并归纳出该数列的通项公式．【解析】a1＝0，a2＝＝，a3＝＝＝，a4＝＝＝. 直接观察可以发现，把a3＝写成a3＝，这样可知a n＝(n≥2，n∈N＋)．当n＝1时，＝0＝a1，所以a n＝(n∈N＋)．课后作业一、选择题(每小题5分，共40分) 1．已知数列{a n}满足：a1＝－，a n＝1－(n≥2)，则a4＝() C．－【答案】 C 【解析】∵a1＝－，a n＝1－(n≥2)， ∴a2＝1－＝1－＝5， a3＝1－＝1－＝， a4＝1－＝1－＝1－＝－. 2．数列{a n}满足a1＝，a n＝－(n≥2，n∈N＋)，则a2013＝() B．－ C．3 D．－3 【答案】 A

解题思路点滴归纳与递推

解题思路点滴－－－归纳与递推归纳与递推是数学竞赛中考查的重要方法。其中归纳有完全归纳法（如枚举法）和不完全归纳法；递推法有正向递推法，也有逆向递推法。例1 在下面各列数中的横线上填上适当的数。（1）21，32，43，54，，76；（2）32，1，65，43，，2 3；（3）1，2，4，8，，32；（4）1，10，19，28，，46；（5）1，3，7，13，，31；（6）1，3，8，15，，35；（7）1，3，4，7，，18。【分析与解】给数列填数问题的基本解法是按数据特点归纳出数据关系形成数列通项，或发现前后之间的递推关系，进一步按通项或由递推式填出横线上的数。（1）该数列的第n 项形如1-n n ，而横线上的是第5项，故应填6 5；（2）按分母特点把各项还原成分数 32，44，56，68，，812故第n 项形如22+n n ，横线上应填7 10；（3）把各项分解质因数得1，2，22，23，，25；故第n 项形如2n － 1，横线上的数＝24＝16。（4）易观察得：每项加上9便得后面一项，故横线上的数是29＋9＝37。（5）设横线上的数是x ，则将数列中各项与前项相减组成新数列得 2，4，6，x －13，31－x 。∴x －13＝8，且31－x ＝10；故x ＝21。∴横线上应填21。（6）容易看出数列的第n 项形如n 2－1，横线上是第5项，故应填24。（7）容易看出，每两项相加便得后面一项，故横线上的数是11。【评注】分析数据之间的关系，归纳出数列通项，或相邻项之间的递推关系，是解填数问题的常用方法。其中常用的技巧有：差分法、分数化法、分解质因数法、设未知数法等。例2 数列1，3，2，－1，－2，1，…，的第n 项a n 及其后面两项a n ＋1，a n ＋2之间满足关系式a n ＋2＝a n ＋1－a n 。求这个数列的前2000项之和。（前2000项的和＝333×（1＋3＋2－1－3－2）＋1＋3＝4）例3 求19991999的个位数字。（9）例4 现有100个数按递推排列，其中第一个数是0，第二个数是2，并且从第二个数起每个数的三倍都等于其前后两个数之和，问第100个数被6除所得余数是几？（2）例5 （1）平面上5条直线最多能把一个圆的内部分成几部分？（16）（2）平面上100条直线最多能把一个圆分成多少部分？（5051）例6 平面上100个不同的圆最多把平面分成多少部分。（99092）例7 王大爷卖西瓜，第一次卖了全部的一半又半个；第二次卖了余下的一半又半个；第三次卖了第二次余下的一半又半个；第四次卖了第三次余下的一半又半个。最后还剩下一个西瓜，问王大爷原来一共有多少个西瓜？（31）例8 如果xyz ＝x 3＋y 3＋z 3，则称三位数xyz 为芙蓉花数，试求出大于400而小于500的所有芙蓉花数。练习 1．请你根据下列各个数之间的关系，在括号里填上恰当的数

补充练习 求递推式a 初始 a ,a