一.填空题(每空题2分,共计60分)
1、A 、B 是两个随机事件,已知0.3)B (p ,5.0)(,4.0)A (p ===A B P ,则=)B A (p 0.6 ,
=)B -A (p 0.1 ,)(B A P ?= 0.4 , =)B A (p 0.6。
2、一个袋子中有大小相同的红球6只、黑球4只。(1)从中不放回地任取2只,则第一次、
第二次取红色球的概率为: 1/3 。(2)若有放回地任取2只,则第一次、第二次取红色球的概率为: 9/25 。(3)若第一次取一只球观查球颜色后,追加一只与其颜色相同的球一并放入袋中后,再取第二只,则第一次、第二次取红色球的概率为: 21/55 。 3、设随机变量X 服从B (2,0.5)的二项分布,则{}=≥1X p 0.75, Y 服从二项分布B(98, 0.5), X 与Y 相互独立, 则X+Y 服从 B(100,0.5),E(X+Y)= 50 ,方差D(X+Y)= 25 。 4、甲、乙两个工厂生产同一种零件,设甲厂、乙厂的次品率分别为0.1、0.15.现从由甲厂、
乙厂的产品分别占60%、40%的一批产品中随机抽取一件。 (1)抽到次品的概率为: 0.12 。
(2)若发现该件是次品,则该次品为甲厂生产的概率为: 0.5 . 5、设二维随机向量),(Y X 的分布律如右,则=a 0.1, =)(X E 0.4,
Y X 与的协方差为: - 0.2 ,
2Y X Z +=的分布律为:
6、若随机变量X ~)4 ,2(N 且8413.0)1(=Φ,9772.0)2(=Φ,则=<<-}42{X P 0.815 ,
(~,12N Y X Y 则+= 5 , 16 )。
7、随机变量X 、Y 的数学期望E(X)= -1,E(Y)=2, 方差D(X)=1,D(Y)=2, 且X 、Y 相互独立,则:
=-)2(Y X E - 4 ,=-)2(Y X D 6 。
8、设2),(125===Y X Cov Y D X D
,)(,)(,则=+)(Y X D 30 9、设261,,X X 是总体)16,8(N 的容量为26的样本,X 为样本均值,2S 为样本方差。则:~X N
(8 , 8/13 ),
~16252
S )25(2χ,
~5
2/8s X - )25(t 。
二、(6分)已知随机变量X 的密度函数?
??≤≤=其它 , 01
0 ,)(2x ax x f
求:(1)常数a , (2))5.15.0(< 解:(1)由 ? +∞ ∞ -==3,1)(a dx x f 得 2’ (2) )515.0(?< ? ?==5 ..15 .01 5 .02875.03)(dx x dx x f 2’ (3) ?? ? ??<≤<≤=x x x 0 x x F 1 , 110 , 0)(3 2’ 三、(6分)设随机变量(X ,Y )的联合概率密度为:? ??≤≤≤≤=其它 , 010,10 ,2),(y x y y x f 求:(1)X ,Y 的边缘密度,(2)讨论X 与Y 的独立性。 解:(1) X ,Y 的边缘密度分别为: ?????≤≤===???? ?≤≤==???∞+∞ -其他, ,其他 010 22)()( 010 12)(1 01 0y y ydx dx y x f y f x ydy x f Y X 4’ (2)由(1)可见 ) ()(),(y f x f y x f Y X ?=, 可知: X ,Y 相互独立 2’ 一. 填空题(每小题2分,共计60分) 1. 设随机试验E 对应的样本空间为S 。 与其任何事件不相容的事件为 不可能事件, 而与其任何事件相互独立的事件为 必然事件;设E 为等可能型试验,且S 包含10个样本点,则按古典概率的定义其任一基本事件发生的概率为 1/10。 2.3.0)(,4.0)(==B P A P 。若 A 与 B 独立,则=-)(B A P 0。28 ;若已知B A ,中至少有一个事件发 生的概率为6.0,则=-)(B A P 0.3,=)(B A P 1/3 。 3、一个袋子中有大小相同的红球5只黑球3只,从中不放回地任取2只,则取到球颜色不同的概率为: 15/28。 若有放回地回地任取2只,则取到球颜色不同的概率为: 15/32 。 4、1)()(==X D X E 。若X 服从泊松分布,则=≠}0{X P 1 1--e ;若 X 服从均匀分布,则=≠}0{X P 0 。 5、设),(~2 σμN X ,且3.0}42{ },2{}2{=<<≥= 2 ;=>}0{X P 0.8 。 6、某体育彩票设有两个等级的奖励,一等奖为4元,二等奖2元,假设中一、二等奖的概率分别为0.3和0.5, 且每张彩票卖2元。是否买此彩票的明智选择为: 买 (买,不买或无所谓)。 7、若随机变量X )5,1(~U ,则{ }=40〈〈X p 0.75 ;=+)12(X E __7___, =+)13(X D 12 . 8、设 44 .1)(,4.2)(),,(~==X D X E p n b X ,则 = =}{n X P 3 4.0,并简化计算 =? ?? ? ??-=∑k k k k k 66 026.04.062.7)4.06(6.04.062=?+??。 9、随机变量X 、Y 的数学期望E(X)= -1,E(Y)=2, 方差D(X)=1,D(Y)=2, 且X 、Y 相互独立,则:=-)2(Y X E -4 ,=-)2(Y X D 6 。 10、设161,,X X 是总体)4,20(N 的容量为16的样本,X 为样本均值,2 S 为样本方差。 则:~X N (20, 1/4 ) ,{} 120>-X p = 0.0556 , ~16152 S )15(2χ,~5 1/20s X - t(15)。 此题中9772.0)2(=Φ。 11、随机变量X 的概率密度? ??≤>=-0 ,00 ,)(x x e x f x λλ ,则称X 服从指数分布,=)(X E λ1。 13、设二维随机向量),(Y X 的分布律是: 则X 的方差=)(X D 0.21 ; Y X 与的相关系数为:=XY ρ 3/7 。 二、 (7分)甲、乙、丙三个工厂生产同一种零件,设甲厂、乙厂、丙厂的次品率分别为0.2,0.1,0.3.现从 由甲厂、乙厂、丙厂的产品分别占15%,80%,5%的一批产品中随机抽取一件,发现是次品,求该次品为甲厂生产的概率. 解:设321A ,A ,A 分别表示产品取自甲、乙、丙厂, 有: %5)P(A 80%,)A (P %,15) p(A 321=== 2’ B 表示取到次品,3.0)A B P(0.1,)A B (P ,2.0)A p(B 321===, 2’ 由贝叶斯公式:)B A (p 1= 24.0)()(/)()(3 1 11=??∑=k k k A B P A p A B P A p ( 4’ 三、(7分)已知随机变量X 的密度函数 ?? ?≤≤=其它 , 010 ,)(x ax x f 求:(1)常数a , (2))5.00(< +∞ ∞ -==2,1)(a dx x f 得 2’ (2) )51.0(?< .005 .0025.02)(xdx dx x f 3’ (3) ?? ???<≤<≤=x x x 0 x x F 1 , 110 , 0)(2 2’ 四、(7分)设随机变量(X ,Y )的联合概率密度为: ?? ?≤≤≤≤=其它 , 010,10 ,4),(y x xy y x f 求:(1)X ,Y 的边缘密度,(2)由(1)判断X ,Y 的独立性。 解:(1) X ,Y 的边缘密度分别为: ?????≤≤===?????≤≤===????∞+∞ -+∞∞-其他, ,其他,, 010 24)()( 010 24)()(1 01 0y y xydx dx y x f y f x x ydy x dy y x f x f Y X 5’ (2)由(1)可见 ) ()(),(y f x f y x f Y X ?=, 可知: X ,Y 相互独立 2’ 七、(5分)某人寿保险公司每年有10000人投保,每人每年付12元的保费,如果该年内投保人死亡,保险公司应付1000元的赔偿费,已知一个人一年内死亡的概率为0.0064。用中心极限定理近似计算该保险公司一年内的利润不少于48000元的概率。已知8413.0)1(=φ,9772.0)2(=φ。 解:设X 为该保险公司一年内的投保人死亡人数,则X ∽B(10000,0.0064)。 该保险公司的利润函数为:X L ?-=1000120000。 2‘ 所以}72{}480001000120000{}48000{≤=≥?-= ≥X P X P L P }996 .764 729936 .00064.01000064 { -≤ ??-=X P 用中心极限定理 8413.0)1(=?φ 3‘ 答:该保险公司一年内的利润不少于48000元的概率为0。8413 二. 填空题(每小题2分,共计60分) 1、A 、B 是两个随机事件,已知0.3)B (p ,5.0)A (p ==,则 a) 若B A ,互斥,则=)B -A (p 0.5 ; b) 若B A ,独立,则=)B A (p 0.65 ; c) 若2.0)(=?B A p ,则=)B A (p 3/7 . 2、袋子中有大小相同的红球7只,黑球3只, (1)从中不放回地任取2只,则第一、二次取到球颜色不同的概率为: 7/15 。 (2)若有放回地任取2只,则第一、二次取到球颜色不同的概率为: 21/50 。 (3)若第一次取一只球后再追加一只与其颜色相同的球一并放入袋中再取第二只球,则第一、二次取到球颜色不同的概率为: 21/55 . 3、设随机变量X 服从泊松分布}8{}7{),(===X P X p λπ,则{}=X E 8 . 4、设随机变量X 服从B (2,0. 8)的二项分布,则{}==2X p 0.64 , Y 服从B (8,0. 8)的二项分布, 且X 与Y 相互独立,则}1{≥+Y X P =1- 0.210 ,=+)(Y X E 8 。 5 设某学校外语统考学生成绩X 服从正态分布N (75,25),则该学校学生的及格率为 0.9987 ,成绩超过85分的学生占比}85{≥X P 为 0.0228 。 其中标准正态分布函数值9987.0)3(,9772.0)2(,8413.0)1(=Φ=Φ=Φ. 6、设二维随机向量),(Y X 的分布律是有 Y X 与的相关系数 则=a _0.1_, X 的数学期望=)(X E ___0.4_______, =xy ρ___-0.25______。 7、设161,...,X X 及81,...,Y Y 分别是总体)16,8(N 的容量为 16,8的两个独立样 本,Y X ,分别为样本均值,2 22 1,S S 分别为样本方差。 则:~X N(8,1) ,~Y X - N(0,1.5) ,{} 5.12>-Y X p = 0.0456 , ~161521S )15(2 χ,~22 21S S F(15,7) 。 此题中9987.0)3(,9772.0)2(,8413.0)1(=Φ=Φ=Φ 8、设321,,.X X X 是总体X 的样本,下列的统计量中,A ,B ,C 是)(X E 的无偏统计量,)(X E 的无偏统计量中统计量 C 最有效。 A. 321X X X -+ B. 312X X - C. )(3 1 321X X X -+ D. 21X X + 9. 设某商店一天的客流量X 是随机变量,服从泊松分布)(λπ,71,...,X X 为总体X 的样本,)(X E 的矩估计量为X ,160,168,152,153,159,167,161为样本观测值,则)(X E 的矩估计值为 160 10、在假设检验中,容易犯两类错误,第一类错误是指: H 0 成立的条件下拒绝H 0 的错误 ,也称为弃真错误。 二、(6分)已知随机变量X 的密度函数?? ???+∞<≤=其它 , 02 ,)(2x x a x f 求:(1)常数a , (2))45.0(< ? +∞ ∞ -==2,1)(a dx x f 得 2’ (2) )45.0(< ? ? ==4 5 .04 2 25.02 )(dx x dx x f 2’ (3) ??? ??+∞<≤≤=x x x x F 2 2-12 0)( 2’ 三、(6分)设随机变量X ,Y 的概率密度分别为:=)(x f X ???≤-其它 , 0, 0 ,x e x =)(y f Y ???≤≤其它 , 0,10 ,1y ,且随机变量X ,Y 相互独立。 (1)求(X ,Y )的联合概率密度为:),(y x f (2)计算概率值{}X Y p 2≥。 解:(1) X ,Y 相互独立,可见(X ,Y )的联合概率密度为 ) ()(),(y f x f y x f Y X ?=, ???≤≤≤=-其它 , 01 0,0 ,),(y x e y x f x 2’ (2)????-≥== ≥10 1 22),()2(x x x y dy e dx dxdy Y x f X Y P 3’ =131--e 八、(6分)某工厂要求供货商提供的元件一级品率为90%以上,现有一供应商有一大批元件,经随机抽取100件,经检验发现有84件为一级品,试以5%的显著性水平下,检验这个供应商提供的元件的一级品率是否达到该厂方的的要求。(已知645.105.0=Z ,提示用中心极限定理) 解 总体X 服从 p 为参数的0-1分布, 9.0: ,9.0:0100=<=≥p p H p p H 2’ 1001,...,X X 为总体X 的样本,在0H 成立条件下,选择统计量 n p p p X Z ) 1(000--= ,由 中心极限定理,z 近似服从标准正态分布,则拒绝域为05.0z z -< 经计算该体05.02z z -<-=,即得 Z 在拒绝域内,故拒绝0H , 认为这个供应商提供的元件的一级品率没有达到该厂方的的要求 1、A 、B 是两个随机事件,已知0.125P(AB) 0.5,)B (p ,52.0)A (p ===,则 =)B -A (p 0.125 ;=)B A (p 0.875 ;=)B A (p 0.5 . 2、袋子中有大小相同的5只白球, 4只红球, 3只黑球, 在其中任取4只 (1)4只中恰有2只白球1只红球1只黑球的概率为:4 121 3 1425C C C C . (2) 4只中至少有2只白球的概率为:4 12 4 814381C C C C +-. (3) 4只中没有白球的概率为:412 4 7C C 3、设随机变量X 服从泊松分布}6{}5{),(===X P X p λπ,则{}=X E 6 . 4、设随机变量X 服从B (2,0. 6)的二项分布,则{}==2X p 0.36 , Y 服从B (8,0. 6)的二项分布, 且X 与Y 相互独立,则}1{≥+Y X P = 1-0.410 ,=+)(Y X E 6 。 5 设某学校外语统考学生成绩X 服从正态分布N (70,16),则该学校学生的及格率为 0.9938 ,成绩超过74分的学生占比}74{≥X P 为 0.1587 。 其中标准正态分布函数值9938.0)5.2(,9772.0)2(,8413.0)1(=Φ=Φ=Φ. 6、有甲乙两台设备生产相同的产品,甲生产的产品占60%,次品率为10%;乙生产的产品占40%,次品率为20%。(1) 若随 机地从这批产品中抽出一件,抽到次品的概率为 0.14 ;(2)若随机地从这批产品中抽出一件,检验出为次品,则该产品是甲设备生产的概率是 3/7 . 7、设101,...,X X 及151,...,Y Y 分别是总体)6,20(N 的容量为10,15的两个独立样本,Y X ,分别为样本均 值,2 22 1,S S 分别为样本方差。 则:~X N(20,3/5) ,~Y X - N(0,1) ,{} 1>-Y X p = 0.3174 , ~2321S )9(2 χ,~22 21S S F(9,14) 。 此题中8413.0)1(=Φ。此题中9987.0)3(,9772.0)2(,8413.0)1(=Φ=Φ=Φ 8、设321,,.X X X 是总体X 的样本,下列的)(X E 统计量中, C 最有效。 A. 321X X X -+ B. 312X X - C. )(3 1 321X X X -+ 9. 设某商店一天的客流量X 是随机变量,服从泊松分布)(λπ,71,...,X X 为总体X 的样本,)(X E 的矩估计量为X ,15,16,18,14,16,17,16为样本观测值,则)(X E 的矩估计值为 16 10、在假设检验中,往往发生两类错误,第一类错误是指 H 0 成立的条件下拒绝H 0 的错误 ,第二类错误是指 H 1 成立的条件下拒绝H 1 的错误 ,显著水平α是指控制第一类错误的概率 小于 α . 二、(6分)已知随机变量X 的密度函数?? ???+∞<≤+=其它 , 00 ,1)(2 x x a x f 求:(1)常数a , (2))31(< <-X p (3)X 的分布函数F (X )。 解:(1)由 ? +∞ ∞ -= =π 2 ,1)(a dx x f 得 2’ (2) )31(< <-X p =? ? -= +=31 3 23 2 112 )(dx x dx x f π 2’ (3) ??? ??+∞<≤≤=x x x F 0 arctanx 2 0)(π 2’ 第 2页共 5 页 三、(6分)设随机变量X ,Y 的概率密度分别为:=)(x f X ?????≤≤其它 , 0,20 ,2x x =)(y f Y ? ? ?≤≤其它 , 0,10 ,2y y ,且随机变量X ,Y 相互独立。 (1)求(X ,Y )的联合概率密度为:),(y x f (2)计算概率值{}2 X Y p ≥。 解:(1)X ,Y 相互独立,可见(X ,Y )的联合概率密度为 ) ()(),(y f x f y x f Y X ?=, ?? ?≤≤≤≤=其它 , 010,20 ,),(y x xy y x f 2’ (2)????== ≥≥10 1 2 22 ),()(x x y xydy dx dxdy Y x f X Y P = 6 1 3’ u X n E u E k n k ==∑=)1()?(1 , 它为u 的无偏估计量. 2’ . 996.244.295 .07.0155.0)1(2 2 222 >=?=-=s n χ 2’ 八、(6分)某工厂要求供货商提供的元件一级品率为90%以上,现有一供应商有一大批元件,经随机抽取 100件,经检验发现有84件为一级品,试以5%的显著性水平下,检验这个供应商提供的元件的一级品率是否达到该厂方的的要求。(已知645.105.0=Z ,提示用中心极限定理) 解 总体 X 服从p 为参数的0-1分布, 9.0: ,9.0:0100=<=≥p p H p p H 2’ 1001,...,X X 为总体X 的样本,在0H 成立条件下,选择统计量 n p p p X Z )1(000--= ,由 中心极限定理,z 近似服从标准正态分布,则拒绝域为05.0z z -< 经计算该体05.02z z -<-=,即得 Z 在拒绝域内,故拒绝0H , 认为这个供应商提供的元件的一级品率没有达到该厂方的的要求 三. 填空题(每空题3分,共计60分) 1、A 、B 是两个随机事件,已知0.3p(AB) 0.5,)B (p ,6.0)A (p ===,则 =)B A (p 0.8 、=)B A (p 0.6 ,事件A,B 的相互独立性为: 相互独立 。 2、一个袋子中有大小相同的红球6只、黑球3只、白球1只, (1)从中不放回地任取2只,则第一、二次取到红球的概率为: 1/3 。 (2)若有放回地任取2只,则第一、二次取到红球的概率为: 9/25 。 (3)若第一次取一只球后再追加一只与其颜色相同的球一并放入袋中再取第二只球,则第一、二次取到红球的概率为: 21/55 . 3、设随机变量X 服从参数为100的泊松分布,则==)(X D X E )( 100 ,利用“3σ” 法则,可以认为X 的取值大多集中在 70 ---130 范围。 4、设随机变量X 服从N (500,1600)的正态分布,则{}=≥580X p 0.0228 , Y 服从N (500, 900)的二项分布, 且X 与Y 相互独立,则Y X +服从 N (1000,2500) 分布;若 {}==≥+a a Y X p 则,05.0 1082.5 。8413.0)1(=Φ;9772.0)2(=Φ,95.0)645.1(=Φ 5.已知随机变量X 的密度函数?? ?≤≤=其它 , 010 ,2)(x x x f 则:(1))515.0(?< (2)X 的分布函数F (x )= ?? ???<≤<≤=x x x 0x x F 1 , 110 , 0)(2 。 6、设随机变量(X,Y)具有4)(,9)(==Y D X D ,6/1-=XY ρ,则)(Y X D += 11 ,)43(+-Y X D = 51 。 7、两个可靠性为p>0的电子元件独立工作, (1)若把它们串联成一个系统,则系统的可靠性为:2 p ; (2)若把它们并联成一个系统,则系统的可靠性为:2 )1(1p --; 8、若随机变量X )3,0(~U ,则{}=-21〈〈 X p 2/3;=)(X E _1.5 , =+)12(X D 3 . 二、(6分)计算机中心有三台打字机A,B,C ,程序交与各打字机打字的概率依次为0.6, 0.3, 0.1,打字机发生故障的概率依次为0.01, 0.05, 0.04。已知一程序因打字机发生故障而被破坏了,求该程序是在A,B,C 上打字的概率分别为多少? 解:设“程序因打字机发生故障而被破坏”记为事件M ,“程序在A,B,C 三台打字机上打字”分别记为事件 321,,N N N 。则根据全概率公式有 025.004.01.005.03.001.06.0)|()()(3 1 =?+?+?== ∑=i i i N M P N P M P , 根据Bayes 公式,该程序是在A,B,C 上打字的概率分别为 24.0025.001 .06.0)()|()()|(111=?== M P N M P N P M N P , 60.0025 .005 .03.0)()|()()|(222=?== M P N M P N P M N P , 16.0025 .004 .01.0)()|()()|(333=?== M P N M P N P M N P 。 三、(6分)设随机变量X ,Y 的概率密度分别为:=)(x f X ???≤-其它 , 0, 0 ,x e x , =)(y f Y ? ??≤≤其它 , 0,10 ,2y y ,且随机变量X ,Y 相互独立。 (1)求(X ,Y )的联合概率密度为:),(y x f (2)计算概率值{}X Y p 2≤。 解:(1) X ,Y 相互独立,可见(X ,Y )的联合概率密度为 ) ()(),(y f x f y x f Y X ?=, ???≤≤≤=-其它 , 01 0,0 ,2),(y x y e y x f x 3’ ????∞ --<-=== <10 2 2/1222),()2(y x x y e ydx e dy dxdy Y x f X Y P 3‘ 第1章随机事件及其概率 (1)排列组合公式 )! ( ! n m m P n m- =从m个人中挑出n个人进行排列的可能数。 )! (! ! n m n m C n m- =从m个人中挑出n个人进行组合的可能数。 (2)加法和乘法原理加法原理(两种方法均能完成此事):m+n 某件事由两种方法来完成,第一种方法可由m种方法完成,第二种方法可由n种方法来完成,则这件事可由m+n 种方法来完成。 乘法原理(两个步骤分别不能完成这件事):m×n 某件事由两个步骤来完成,第一个步骤可由m种方法完成,第二个步骤可由n 种方法来完成,则这件事可由m×n 种方法来完成。 (3)一些常见排列重复排列和非重复排列(有序)对立事件(至少有一个) 顺序问题 (4)随机试验和随机事件如果一个试验在相同条件下可以重复进行,而每次试验的可能结果不止一个,但在进行一次试验之前却不能断言它出现哪个结果,则称这种试验为随机试验。 试验的可能结果称为随机事件。 (5)基本事件、样本空间和事件在一个试验下,不管事件有多少个,总可以从其中找出这样一组事件,它具有如下性质: ①每进行一次试验,必须发生且只能发生这一组中的一个事件; ②任何事件,都是由这一组中的部分事件组成的。 这样一组事件中的每一个事件称为基本事件,用ω来表示。 基本事件的全体,称为试验的样本空间,用Ω表示。 一个事件就是由Ω中的部分点(基本事件ω)组成的集合。通常用大写字母A,B,C,…表示事件,它们是Ω的子集。 Ω为必然事件,?为不可能事件。 不可能事件(?)的概率为零,而概率为零的事件不一定是不可能事件;同理,必然事件(Ω)的概率为1,而概率为1的事件也不一定是必然事件。 (6)事件的关系与运算①关系: 如果事件A的组成部分也是事件B的组成部分,(A发生必有事件B发生):B A? 如果同时有B A?,A B?,则称事件A与事件B等价,或称A等于B:A=B。 A、B中至少有一个发生的事件:A B,或者A+B。 属于A而不属于B的部分所构成的事件,称为A与B的差,记为A-B,也可表示为A-AB或者B A,它表示A发生而B不发生的事件。 A、B同时发生:A B,或者AB。A B=?,则表示A与B不可能同时发生,称事件A与事件B 互不相容或者互斥。基本事件是互不相容的。 Ω-A称为事件A的逆事件,或称A的对立事件,记为A。它表示A不发生的事件。互斥未必对立。 ②运算: 结合率:A(BC)=(AB)C A∪(B∪C)=(A∪B)∪C 分配率:(AB)∪C=(A∪C)∩(B∪C) (A∪B)∩C=(AC)∪(BC) 德摩根率: ∞ = ∞ = = 1 1i i i i A A B A B A =,B A B A = 概率论与数理统计期末复习题一 一、填空题(每空2分,共20分) 1、设X 为连续型随机变量,则P{X=1}=( 0 ). 2、袋中有50个球,其编号从01到50,从中任取一球,其编号中有数字4的概率为(14/50 或7/25 ). 3、若随机变量X 的分布律为P{X=k}=C(2/3)k ,k=1,2,3,4,则C=( 81/130 ). 4、设X 服从N (1,4)分布,Y 服从P(1)分布,且X 与Y 独立,则 E (XY+1-Y )=( 1 ) ,D (2Y-X+1)=( 17 ). 5、已知随机变量X ~N(μ,σ2 ),(X-5)/4服从N(0,1),则μ=( 5 );σ=( 4 ). 6 且X 与Y 相互独立。 则A=( 0.35 ),B=( 0.35 ). 7、设X 1,X 2,…,X n 是取自均匀分布U[0,θ]的一个样本,其中θ>0,n x x x ,...,,21是一组观察值,则θ的极大似然估计量为( X (n) ). 二、计算题(每题12分,共48分) 1、钥匙掉了,落在宿舍中的概率为40%,这种情况下找到的概率为0.9; 落在教室里的概率为35%,这种情况下找到的概率为0.3; 落在路上的概率为25%,这种情况下找到的概率为0.1,求(1)找到钥匙的概率;(2)若钥匙已经找到,则该钥匙落在教室里的概率. 解:(1)以A 1,A 2,A 3分别记钥匙落在宿舍中、落在教室里、落在路上,以B 记找到钥匙.则 P(A 1)=0.4,P(A 2)=0.35,P(A 3)=0.25, P(B| A 1)=0.9 ,P(B| A 2)=0.3,P(B| A 3)=0.1 所以,49.01.025.03.035.09.04.0)|()()(3 1 =?+?+?== ∑=i i i A B P A P B P (2)21.049.0/)3.035.0()|(2=?=B A P 2、已知随机变量X 的概率密度为 其中λ>0为已知参数.(1)求常数A; (2)求P{-1<X <1/λ)}; (3)F(1). ?? ?? ?<≥=-0 00)(2x x e A x f x λλ 一、随机事件与概率 二、随机变量及其分布 1、分布函数 ()()(),()()() ()k k x x x P X x F x P X x P a X b F b F a f t dt ≤-∞ ?=?=≤=<≤=-???∑? 概率密度函数 计算概率: 2、离散型随机变量及其分布 3、续型型随机变量及其分布 1 )(=? +∞ ∞ -dx x f ?=≤≤b a dx x f b X a P )()( 一般正态分布的概率计算公式 分布函数 对离散型随机变量 对连续型随机变量 分布函数与密度函数的重要关系: 4、随机变量函数Y=g(X)的分布 离散型:()(),1,2, j i i j g x y P Y y p i === =∑ , 连续型: ①分布函数法, ②公式法()(())()(())Y X f y f h y h y x h y '=?=单调 h(y)是g(x)的反函数 三、多维随机变量及其分布 1、离散型二维随机变量及其分布 分布律:(,),,1,2, i j ij P X x Y y p i j ==== 联合分布函数(,)i i ij x x y y F X Y p ≤≤= ∑∑ 边缘分布律:()i i ij j p P X x p ?===∑ ()j j ij i p P Y y p ?===∑ 条件分布律:(),1,2, ij i j j p P X x Y y i p ?====,(),1,2,ij j i i p P Y y X x j p ? === = 联合密度函数 2、连续型二维随机变量及其分布 ①分布函数及性质 分布函数:?? ∞-∞ -= x y dudv v u f y x F ),(),( 性质:2(,) (,)1, (,),F x y F f x y x y ?+∞+∞==??((,))(,)G P x y G f x y dxdy ∈=?? ②边缘分布函数与边缘密度函数 分布函数:?? ∞-+∞ ∞ -= x X dvdu v u f x F ),()( 密度函数:? +∞ ∞ -= dv v x f x f X ),()( ? ∞ -=≤=x dt t f x X P x F )()()(∑≤==≤=x k k X P x X P x F ) ()()() ()(' x f x F =? ∞ -=≤=x dt t f x X P x F )()()(1),(0≤≤y x F } ,{),(y Y x X P y x F ≤≤=) ,(y x f 0 ),(≥y x f 1 ),(=?? +∞∞-+∞ ∞ -dxdy y x f ) ( )()(σ μ -Φ=<=≤a a X P a X P ) ( 1)()(σ μ -Φ-=>=≥a a X P a X P ) ( )( )(σ μ σ μ -Φ--Φ=≤≤a b b X a P 一、填空题(每小题3分,共15分) 1. 设事件B A ,仅发生一个的概率为0.3,且5.0)()(=+B P A P ,则B A ,至少有一个不发 生的概率为__________. 答案:0.3 解: 3.0)(=+B A B A P 即 )(25.0)()()()()()(3.0AB P AB P B P AB P A P B A P B A P -=-+-=+= 所以 1.0)(=AB P 9.0)(1)()(=-==AB P AB P B A P . 2. 设随机变量X 服从泊松分布,且)2(4)1(==≤X P X P ,则==)3(X P ______. 答案: 161-e 解答: λλ λ λλ---= =+==+==≤e X P e e X P X P X P 2 )2(, )1()0()1(2 由 )2(4)1(==≤X P X P 知 λλλ λλ---=+e e e 22 即 0122 =--λλ 解得 1=λ,故 16 1)3(-= =e X P 3. 设随机变量X 在区间)2,0(上服从均匀分布,则随机变量2 X Y =在区间)4,0(内的概率 密度为=)(y f Y _________. 答案: 04,()()0,. Y Y X y f y F y f <<'===? 其它 解答:设Y 的分布函数为(),Y F y X 的分布函数为()X F x ,密度为()X f x 则 2 ()()())))Y X X F y P Y y P X y y y y y =≤=≤ =≤- - 因为~(0,2)X U ,所以(0X F = ,即()Y X F y F = 故 第1章 概率论的基本概念 1.1 随机试验 称满足以下三个条件的试验为随机试验: (1)在相同条件下可以重复进行; (2)每次试验的结果不止一个,并且能事先明确所有的可能结果; (3)进行试验之前,不能确定哪个结果出现。 1.2 样本点 样本空间 随机事件 随机试验的每一个可能结果称为一个样本点,也称为基本事件。 样本点的全体所构成的集合称为样本空间,也称为必然事件。必然事件在每次试验中必然发生。 随机试验的样本空间不一定唯一。在同一试验中,试验的目的不同时,样本 空间往往是不同的。所以应从试验的目的出发确定样本空间。 样本空间的子集称为随机事件,简称事件。 在每次试验中必不发生的事件为不可能事件。 1.3 事件的关系及运算 (1)包含关系 B A ?,即事件A 发生,导致事件B 发生; (2)相等关系 B A =,即B A ?且A B ?; (3)和事件(也叫并事件) B A C ?=,即事件A 与事件B 至少有一个发生; (4)积事件(也叫交事件) B A AB C ?==,即事件A 与事件B 同时发生; (5)差事件 AB A B A C -=-=,即事件A 发生,同时,事件B 不发生; (6)互斥事件(也叫互不相容事件) A 、 B 满足φ=AB ,即事件A 与事件B 不同时发生; (7)对立事件(也叫逆事件) A A -Ω=,即φ=Ω=?A A A A ,。 1.4 事件的运算律 (1)交换律 BA AB A B B A =?=?,; (2)结合律 ()()()()C AB BC A C B A C B A =??=??,; (3)分配律 ()()()()()()C A B A BC A AC AB C B A ??=??=?,; (4)幂等律 A AA A A A ==?, ; (5)差化积 B A AB A B A =-=-; (6)反演律(也叫德·摩根律)B A AB B A B A B A B A ?==?=?=?,。 1.5 概率的公理化定义 设E 是随机试验,Ω为样本空间,对于Ω中的每一个事件A ,赋予一个实数P (A ),称之为A 的概率,P (A )满足: (1)1)(0≤≤A P ; (2)1)(=ΩP ; (3)若事件 ,,, ,n A A A 21两两互不相容,则有 () ++++=????)()()(2121n n A P A P A P A A A P 。 1.6 概率的性质 (1)0)(=φP ; (2)若事件n A A A ,, , 21两两不互相容,则())()()(2121n n A P A P A P A A A P +++=??? ; (3))(1)(A P A P -=; (4))()()(AB P B P A B P -=-。 特别地,若B A ?,则)()(),()()(B P A P A P B P A B P ≤-=-; (5))()()()(AB P B P A P B A P -+=?。 创作编号: GB8878185555334563BT9125XW 创作者: 凤呜大王* 模拟试题一 一、 填空题(每空3分,共45分) 1、已知P(A) = 0.92, P(B) = 0.93, P(B|A ) = 0.85, 则P(A|B ) = 。 P( A ∪B) = 。 3、一间宿舍内住有6个同学,求他们之中恰好有4个人的生日在同一个月份的概率: ;没有任何人的生日在同一个月份的概率 ; 4、已知随机变量X 的密度函数为:, ()1/4, 020,2 x Ae x x x x ?? =≤?≥? , 则常数A= , 分布函数F (x )= , 概率 {0.51}P X -<<= ; 5、设随机变量X~ B(2,p)、Y~ B(1,p),若{1}5/9P X ≥=,则p = ,若X 与Y 独立,则Z=max(X,Y)的分布律: ; 6、设~(200,0.01),~(4),X B Y P 且X 与 Y 相互独立,则 D(2X-3Y)= , COV(2X-3Y , X)= ; 7、设125,,,X X X 是总体~(0,1)X N 的简单随机样本,则当k = 时, ~(3)Y t = ; 8、设总体~(0,)0X U θθ>为未知参数,12,,,n X X X 为其样本, 1 1n i i X X n ==∑为样本均值,则θ的矩估计量为: 。 9、设样本129,, ,X X X 来自正态总体(,1.44)N a ,计算得样本观察值10x =, 求参数a 的置信度为95%的置信区间: ; 二、 计算题(35分) 1、 (12分)设连续型随机变量X 的密度函数为: 1, 02()2 0, x x x ??≤≤?=???其它 求:1){|21|2}P X -<;2)2 Y X =的密度函数()Y y ?;3)(21)E X -; 2、(12分)设随机变量(X,Y)的密度函数为 1/4, ||,02,(,)0, y x x x y ?<<=? ?其他 1) 求边缘密度函数(),()X Y x y ??; 2) 问X 与Y 是否独立?是否相关? 3) 计算Z = X + Y 的密度函数()Z z ?; 3、(11分)设总体X 的概率密度函数为: 1, 0(),000 x e x x x θ?θθ -?≥?=>?? X 1,X 2,…,X n 是取自总体X 的简单随机样本。 1)求参数θ的极大似然估计量?θ ; 2)验证估计量?θ 是否是参数θ的无偏估计量。 2.(10分)环境保护条例,在排放的工业废水中,某有害物质不得超过0.5‰,假定有害物质含量X 服从正态分布。现在取5份水样,测定该有害物质含量,得如下数据: 0.530‰,0.542‰,0.510‰,0.495‰,0.515‰ 能否据此抽样结果说明有害物质含量超过了规定(0.05α=)? 西南石油大学《概率论与数理统计》期末考试题及答案 一、填空题(每空3分,共45分) 1、已知P(A) = 0.92, P(B) = 0.93, P(B|A ) = 0.85, 则P(A|B ) = 。 P( A ∪B) = 。 2、设事件A 与B 独立,A 与B 都不发生的概率为 1 9 ,A 发生且B 不发生的概率与B 发生且A 不发生的概率相等,则A 发生的概率为: ; 3、一间宿舍内住有6个同学,求他们之中恰好有4个人的生日在同一个月份的概率: ;没有任何人的生日在同一个月份的概率 ; 4、已知随机变量X 的密度函数为: ,0 ()1/4,020,2 x Ae x x x x ??=≤?≥? , 则常数A= , 分布函数F (x )= , 概率{0.51}P X -<<= ; 5、设随机变量X~ B(2,p)、Y~ B(1,p),若{1}5/9P X ≥=,则p = ,若X 与Y 独立,则Z=max(X,Y)的分布律: ; 6、设~(200,0.01),~(4),X B Y P 且X 与Y 相互独立,则D(2X-3Y)= , 1、 (12分)设连续型随机变量X 的密度函数为: 1, 02()2 0, x x x ??≤≤?=???其它 求:1){|21|2}P X -<;2)2 Y X =的密度函数 ()Y y ?;3)(21)E X -; 2、(12分)设随机变量(X,Y)的密度函数为 1) 1/4, ||,02,(,)0, y x x x y ?<<=? ?其他 求边缘密度函数(),()X Y x y ??; 2) 问X 与Y 是否独立?是否相关?计算Z = X + Y 的密度函数()Z z ? 二、应用题(20分) 1、(10分)设某人从外地赶来参加紧急会议,他乘火车、轮船、汽车或飞机来的概率分别是3/10,1/5,1/10和2/5。如果他乘飞机来,不会迟到;而乘火车、轮船或汽车来,迟到的概率分别是1/4,1/3,1/2。现此人迟到,试推断他乘哪一种交通工具的可能性最大? 答 案 概率论与数理统计必考知识点 一、随机事件和概率 1、随机事件及其概率 运算律名称 表达式 交换律 A B B A +=+ BA AB = 结合律 C B A C B A C B A ++=++=++)()( ABC BC A C AB ==)()( 分配律 AC AB C B A ±=±)( ))(()(C A B A BC A ++=+ 德摩根律 B A B A =+ B A AB += 2、概率的定义及其计算 公式名称 公式表达式 求逆公式 )(1)(A P A P -= 加法公式 )()()()(AB P B P A P B A P -+=+ 条件概率公式 ) () ()(A P AB P A B P = 乘法公式 )()()(A B P A P AB P = )()()(B A P B P AB P = 全概率公式 ∑== n i i i A B P A P B P 1 )()()( 贝叶斯公式 (逆概率公式) ∑∞ == 1 ) ()() ()()(i i j j j j A B P A P A B P A P B A P 伯努利概型公式 n k p p C k P k n k k n n ,1,0,)1()(=-=- 两件事件相互独立相应 公式 )()()(B P A P AB P =;)()(B P A B P =;)()(A B P A B P =;1)()(=+A B P A B P ; 1)()(=+A B P A B P 二、随机变量及其分布 1、分布函数性质 )()(b F b X P =≤ )()()(a F b F b X a P -=≤< 2、离散型随机变量 分布名称 分布律 0–1分布),1(p B 1,0,)1()(1=-==-k p p k X P k k 二项分布),(p n B n k p p C k X P k n k k n ,,1,0,)1()( =-==- 数理统计练习 一、填空题 1、设A 、B 为随机事件,且P (A)=0.5,P (B)=0.6,P (B A)=0.8,则P (A+B)=__ 0.7 __。 2、某射手对目标独立射击四次,至少命中一次的概率为 8180,则此射手的命中率3 2。 3、设随机变量X 服从[0,2]上均匀分布,则=2)] ([)(X E X D 1/3 。 4、设随机变量X 服从参数为λ的泊松(Poisson )分布,且已知)]2)(1[(--X X E =1,则=λ___1____。 5、一次试验的成 功率为p ,进行100次独立重复试验,当=p 1/2_____时 ,成功次数的方差的值最大,最大值为 25 。 6、(X ,Y )服从二维正态分布),,,,(2 22121ρσσμμN ,则X 的边缘分布为 ),(2 11σμN 。 7、已知随机向量(X ,Y )的联合密度函数 ?????≤≤≤≤=其他 , 010,20, 2 3 ),(2y x xy y x f ,则 E (X )=3 4。 8、随机变量X 的数学期望μ=EX ,方差2σ=DX ,k 、b 为常数,则有)(b kX E += ,k b μ+;)(b kX D +=22k σ。 9、若随机变量X ~N (-2,4),Y ~N (3,9),且X 与Y 相互独立。设Z =2X -Y +5,则Z ~ N(-2, 25) 。 10、θθθ是常数21? ,?的两个 无偏 估计量,若)?()?(21θθD D <,则称1?θ比2 ?θ有效。 1、设A 、B 为随机事件,且P (A )=0.4, P (B )=0.3, P (A ∪B )=0.6,则P (B A )=_0.3__。 2、设X B (2,p ),Y B (3,p ),且P {X ≥ 1}=9 5,则P {Y ≥ 1}=27 19。 3、设随机变量X 服从参数为2的泊松分布,且Y =3X -2, 则E (Y )=4 。 4、设随机变量X 服从[0,2]上的均匀分布,Y =2X +1,则D (Y )= 4/3 。 5、设随机变量X 的概率密度是: ?? ?<<=其他 103)(2 x x x f ,且{}784 .0=≥αX P ,则α=0.6 。 6、利用正态分布的结论,有 ? ∞ +∞ ---=+-dx e x x x 2 )2(22 )44(21 π 1 。 概率论与数理统计主要内容小结 概率部分 1、全概率公式与贝叶斯公式 全概率公式: )()|()(11B P B A P A P = ++)()|(22B P B A P )()|(n n B P B A P + 其中n B B B ,,,21 是空间S 的一个划分。 贝叶斯公式:∑== n j j j i i i B A P B P B A P B P A B P 1 ) |()() |()()|( 其中n B B B ,,,21 是空间S 的一个划分。 2、互不相容与互不相关 B A ,互不相容0)(,==?B A P B A φ 事件B A ,互相独立))(()(B A P B A P =? ; 两者没有必然联系 3、几种常见随机变量概率密度与分布律:两点分布,二项分布,泊松分布,均匀分布,二项分布,指数分布,正态分布。 ),,1(~p b X 即二点分布,则分布律为.1,0,)1(}{1=-==-k p p k x P k k ),,(~p n b X 即二项分布,则分布律为.,...,1,0,)1(}{n k p p C k x P k n k k n =-==- ),(~λπX 即泊松分布,则分布律为,......1,0,! }{== =-k k e k x P k λ λ ),,(~b a U X 即均匀分布,则概率密度为.,0),(,1 )(??? ??∈-=其它 b a x a b x f ),(~θE X 即指数分布,则概率密度为.,00 ,1)(?? ???>=-其它x e x f x θ θ ),,(~2σμN X 即正态分布,则则概率密度为+∞<<-∞= - x e x f x ,21)(2 2π . 概率论与数理统计期末考试卷 课程名称: 概率论与数理统计 考试时间 专业 班 学号 姓名 一、填空题(每格3分,共18分) 1. 设 3 1)()()(321= ==A P A P A P ,321,,A A A 相互独立,则(1)321,,A A A 至少出现一 个的概率为_ __;(2)321,,A A A 恰好出现一个的概率为_ _ _。 2. 设)2,1(~2N X ,)1(~P Y ,6.0=XY ρ,则=+-2)12(Y X E __ ____。 3.设Y X ,是相互独立的两个随机变量,它们的分布函数分别为)(x F X ,)(y F Y 则 },max{Y X Z =的分布函数是 。 4.若随机变量X 服从正态分布),(2 σμN ,20 21,,,X X X Λ是来自X 的一个样本,令 ∑∑==-=20 11 101 43i i i i X X Y ,则Y 服从分布 。 5. 若对任意给定的0>x ,随机变量y 的条件概率密度???>=-其它 ,00,)(y xe x y f xy z y 则 y 关于x 的回归函数==)(x x y μμ . 二、单项选择题(每小题2分,共10分) 1. 设函数)(x f 在区间],[b a 上等于x sin ,而在此区间外等于0,若)(x f 可以做为某连续型随机变量X 的密度函数,则区间],[b a 为( )。 (A) ]2,0[π ; (B) ],0[π; (C) ]0,2 [π - ; (D) ]2 3, 0[π 。 2. 假设随机变量X 的概率密度为)(x f ,即)(~x f X ,期望μ与方差2 σ都存在,样本)1(,,,21>n X X X n Λ取自X ,X 是样本均值,则有( ) (A) )(~x f X ; (B) )(~min 1x f X i n i ≤≤; (C) )(~max 1x f X i n i ≤≤ ; (D) )(~ ),,,(1 21∏=n i i n x f X X X Λ。 3. 总体2 ~(,)X N μσ,2σ已知,n ≥( )时,才能使总体均值μ的置信度为0.95 的置信区间长不大于L 。(975.0)96.1(=Φ) (A )2215/L σ; (B )22 15.3664/L σ; (C )22 16/L σ; (D )16。 4. 对回归方程的显著性的检验,通常采用3种方法,即相关系数检验法,-F 检验法 和-t 检验法,下列说法正确的( )。 (A) F 检验法最有效; (B) t 检验法最有效; (C) 3种方法是相通的,检验效果是相同的; (D) F 检验法和t 检验法,可以代替相关系数的检验法。 5.设n X X X ,,,21Λ来自正态总体),(2 σμN 的样本(2 σ已知),令n X u /σμ -= ,并且2 1α - u 满足 απ αα-=?- - --121 2 12 122 /dx e u u x (10<<α),则在检验水平α下, 检验00:μμ=H 时,第 概率论与数理统计公式集锦 一、随机事件与概率 二、随机变量及其分布 1、分布函数性质 ()()(),()()() ()k k x x x P X x F x P X x P a X b F b F a f t dt 2、离散型随机变量及其分布 3、连续型随机变量及其分布 4、随机变量函数Y=g(X)的分布 离散型:()(),1,2,j i i j g x y P Y y p i L , 连续型:①分布函数法,②公式法()(())()(())Y X f y f h y h y x h y 单调 三、多维随机变量及其分布 1、离散型二维随机变量及其分布 分布律:(,),,1,2,i j ij P X x Y y p i j L 分布函数(,)i i ij x x y y F X Y p 边缘分布律:()i i ij j p P X x p ()j j ij i p P Y y p 条件分布律:(),1,2,ij i j j p P X x Y y i p L ,(),1,2,ij j i i p P Y y X x j p L 2、连续型二维随机变量及其分布 ①分布函数及性质 分布函数: x y dudv v u f y x F ),(),( 性质:2(,) (,)1,(,),F x y F f x y x y ((,))(,)G P x y G f x y dxdy ②边缘分布函数与边缘密度函数 分布函数: x X dvdu v u f x F ),()(密度函数: dv v x f x f X ),()( y Y dudv v u f y F ),()( du y u f y f Y ),()( ③条件概率密度 y x f y x f x y f X X Y ,)(),()(, x y f y x f y x f Y Y X ,) () ,()( 模拟试题 填空题(每空3分,共45 分) 1、已知P(A) = 0.92, P(B) = 0.93, P(B| A) = 0.85,则P(A| B)= P( A U B)= 1 2、设事件A与B独立,A与B都不发生的概率为—,A发生且B不发生的概率与 B 9 发生且A不发生的概率相等,则A发生的概率为:_______________________ ; 3、一间宿舍内住有6个同学,求他们之中恰好有4个人的生日在同一个月份的概率: ;没有任何人的生日在同一个月份的概率 I Ae x, X c 0 4、已知随机变量X的密度函数为:W(x) = {1/ 4, 0 < X V 2,则常数A= 0, x>2 分布函数F(x)= ,概率P{—0.5 《概率论与数理统计》期末考试试题(A) 专业、班级: 姓名: 学号: 十二总成绩 、单项选择题(每题3分共18分) 1. D 2 . A 3 . B 4 . A 5 . (1) (2)设随机变量X其概率分布为X -1 0 1 2 P 则 P{X 1.5}() (A) (B) 1 (C) 0 (D) 设事件A与A同时发生必导致事件A发生,则下列结论正确的是( (A) P (A) P(A I A2) (B) P(A) P(A i) P(A2) (C) P(A) P(A1 A2) (D) P(A) P(A i) P(A2) 设随机变量X~N( 3, 1), Y ?N(2, 1),且X 与Y相互独 7,贝y z~(). (A) N(0, 5); (B) N(0, 3); (C) N(0, 46); (D) N(0, 54). (5)设 X1X2, 未知,贝U( n (A) X i2 i 1 ,X n为正态总体N(, )是一个统计量。 (B) (C) X (D) (6)设样本X i,X2, 为H o: (A)U (C) 2)的一个简单随机样本,其中2, ,X n来自总体X ~ N( 0( 0已知) (n 1)S2 2 二、填空题(每空3分 xe x 1. P(B) 2. f(x) 0 (1) 如果P(A) 0, P(B) H1 : (B) (D) 共15分) 0, P(A B) 设随机变量X的分布函数为 F(x) 则X的密度函数f(x) 3e P(A) n (X i ) i 1 2), 2未知。统计假设 则所用统计量为( 3 . 1 4. 则P(BA) 0, 1 (1 x)e x, x 0, 0. n (X i 1 P(X 设总体X和丫相互独立,且都服从N(0,1) , X1,X2, 样本,丫1,丫2, Y9是来自总体丫的样本,则统计量 服从分布(要求给出自由度)。t(9 ) 2) )2 X9是来自总体X的 X1 U肩 第一章 P(A+B)=P(A)+P(B)- P(AB) 特别地,当A 、B 互斥时, P(A+B)=P(A)+P(B) 条件概率公式 概率的乘法公式 全概率公式:从原因计算结果 Bayes 公式:从结果找原因 第二章 二项分布(Bernoulli 分布)——X~B(n,p) 泊松分布——X~P(λ) 概率密度函数 怎样计算概率 均匀分布X~U(a,b) 指数分布X~Exp (θ) 分布函数 对离散型随机变量 对连续型随机变量 分布函数与密度函数的重要关 系: 二元随机变量及其边缘分布 分布规律的描述方法 联合密度函数 联合分布函数 联合密度与边缘密度 ) () ()|(B P AB P B A P = )|()()(B A P B P AB P =) |()(A B P A P =∑==n k k k B A P B P A P 1 ) |()()(∑== n k k k i i k B A P B P B A P B P A B P 1 ) |()() |()()|() ,...,1,0()1()(n k p p C k X P k n k k n =-==-,,...) 1,0(! )(== =-k e k k X P k ,λ λ 1)(=? +∞ ∞ -dx x f ) (b X a P ≤≤?=≤≤b a dx x f b X a P )()() 0(1 )(/≥= -x e x f x θ θ ∑≤==≤=x k k X P x X P x F ) ()()(? ∞ -=≤=x dt t f x X P x F )()()(? ∞ -=≤=x dt t f x X P x F )()()(),(y x f ) ,(y x F 0 ),(≥y x f 1),(=?? +∞ ∞ -+∞ ∞ -dxdy y x f 1 ),(0≤≤y x F } ,{),(y Y x X P y x F ≤≤=?+∞ ∞ -=dy y x f x f X ),()(?+∞ ∞ -=dx y x f y f Y ),()() (1 )(b x a a b x f ≤≤-= ) ()('x f x F = 《概率统计》、《概率论与数理统计》、《随机数学》课程 期末复习资料 注:以下是考试的参考内容,不作为实际考试范围,考试内容以教学大纲和实施计划为准;注明“了解”的内容一般不考。 1、能很好地掌握写样本空间与事件方法,会事件关系的运算,了解概率的古典定义 2、能较熟练地求解古典概率;了解概率的公理化定义 3、掌握概率的基本性质和应用这些性质进行概率计算;理解条件概率的概念;掌握加法公式与乘法公式 4、能准确地选择和运用全概率公式与贝叶斯公式解题;掌握事件独立性的概念及性质。 5、理解随机变量的概念,能熟练写出(0—1)分布、二项分布、泊松分布的分布律。 6、理解分布函数的概念及性质,理解连续型随机变量的概率密度及性质。 7、掌握指数分布(参数λ)、均匀分布、正态分布,特别是正态分布概率计算 8、会求一维随机变量函数分布的一般方法,求一维随机变量的分布律或概率密度。 9、会求分布中的待定参数。 10、会求边缘分布函数、边缘分布律、条件分布律、边缘密度函数、条件密度函数,会判别随机变量的独立性。 11、掌握连续型随机变量的条件概率密度的概念及计算。 12、理解二维随机变量的概念,理解二维随机变量的联合分布函数及其性质,理解二维离散型随机变量的联合分布律及其性质,理解二维连续型随机变量的联合概率密度及其性质,并会用它们计算有关事件的概率。 13、了解求二维随机变量函数的分布的一般方法。 14、会熟练地求随机变量及其函数的数学期望和方差。会熟练地默写出几种重要随机变量的数学期望及方差。 15、较熟练地求协方差与相关系数. 16、了解矩与协方差矩阵概念。会用独立正态随机变量线性组合性质解题。 17、了解大数定理结论,会用中心极限定理解题。 18、掌握总体、样本、简单随机样本、统计量及抽样分布概念,掌握样本均值与样本方差及样本矩概念,掌握2分布(及性质)、t分布、F分布及其分位点概念。 19、理解正态总体样本均值与样本方差的抽样分布定理;会用矩估计方法来估计未知参数。 20、掌握极大似然估计法,无偏性与有效性的判断方法。 21、会求单正态总体均值与方差的置信区间。会求双正态总体均值与方差的置信区间。 23、明确假设检验的基本步骤,会U检验法、t检验、2χ检验法、F检验法解题。 24、掌握正态总体均值与方差的检验法。 概率论部分必须要掌握的内容以及题型 1.古典概型中计算概率用到的基本的计数方法。 2.概率的基本性质、条件概率、加法、乘法公式的应用;掌握事件独立性的概念及性质。3.准确地选择和运用全概率公式与贝叶斯公式。 4.一维、二维离散型随机变量的分布律,连续型随机变量的密度函数性质的运用。分布中待定参数的确定,分布律、密度函数与分布函数的关系,联合分布与边缘分布、条件分布的关系,求数学期望、方差、协方差、相关系数,求函数的分布律、密度函数及期望和方差。5.会用中心极限定理解题。 6.熟记(0-1)分布、二项分布、泊松分布的分布律、期望和方差,指数分布(参数λ)、均匀分布、正态分布的密度函数、期望和方差。 一、随机事件与概率 公式名称 公式表达式 德摩根公式 B A B A =,B A B A = 古典概型 ()m A P A n = =包含的基本事件数基本事件总数 几何概型 () ()()A P A μμ= Ω,其中μ为几何度量(长度、面积、体积) 求逆公式 )(1)(A P A P -= 加法公式 P(A ∪B)= P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB) 当P(AB)=0(A 、B 互斥)时,P(A ∪B)=P(A)+P(B) 减法公式 P(A-B)=P(A)-P(AB),B A ?时P(A-B)=P(A)-P(B) 条件概率公式 乘法公式 )() ()(A P AB P A B P = ()()()()()P AB P A P B A P B P A B == ()()()()P ABC P A P B A P C AB = 全概率公式 1 ()()()n i i i P A P B P A B ==∑ 从原因计算结果 贝叶斯公式 (逆概率公式) 1 ()() ()()() i i i n i i i P B P A B P B A P B P A B == ∑ 从结果找原因 两个事件 相互独立 ()()()P AB P A P B =;()()P B A P B =;)()(A B P A B P =; 二、随机变量及其分布 1、分布函数 ()()(),()()() ()k k x x x P X x F x P X x P a X b F b F a f t dt ≤-∞ ?=?=≤=<≤=-???∑? 概率密度函数 计算概率: 2、离散型随机变量及其分布 分布名称 分布律 0-1分布 X ~b(1,p) 1,0,)1()(1=-==-k p p k X P k k 二项分布(贝努利分布) X ~B(n,p) n k p p C k X P k n k k n ,,1,0,)1()( =-==- 泊松分布 X ~p(λ) (),0,1,2,! k P X k e k k λλ-== = 3、续型型随机变量及其分布 分布名称 密度函数 分布函数 均匀分布 x ~U(a,b) ?? ?? ?<<-=其他,0,1 )(b x a a b x f 0, (),1, ?-? =≤-?≥??x a x a F x a x b b a x b 指数分布 X ~E(λ) ???? ?≤>=-0 , 00,)(x x e x f x λλ ???? ?≤>-=-0 , 00 , 1)(x x e x F x λ 正态分布 x ~N(2,σμ) 2 2 ()21()2μσπσ -- = -∞<<+∞ x f x e x 22 ()21 ()d 2μσπσ -- -∞ = ?t x F x e t 标准正态分布 x ~N(0,1) 2 2 1()2?π - = -∞<<+∞ x x e x 212 1 ()2t x x e dt π --∞ Φ= ? 1 )(=? +∞ ∞ -dx x f ?=≤≤b a dx x f b X a P )()( 《概率论与数理统计》 试卷A (考试时间:90分钟; 考试形式:闭卷) (注意:请将答案填写在答题专用纸上,并注明题号。答案填写在试卷和草稿纸上无效) 一、单项选择题(本大题共20小题,每小题2分,共40分) 1、A ,B 为二事件,则A B = () A 、A B B 、AB C 、AB D 、A B 2、设A ,B ,C 表示三个事件,则ABC 表示( ) A 、A , B , C 中有一个发生 B 、A ,B ,C 中恰有两个发生 C 、A ,B ,C 中不多于一个发生 D 、A ,B ,C 都不发生 3、A 、B 为两事件,若()0.8P A B = ,()0.2P A =,()0.4P B =, 则( )成立 A 、()0.32P A B = B 、()0.2P AB = C 、()0.4P B A -= D 、()0.48P B A = 4、设A ,B 为任二事件,则( ) A 、()()()P A B P A P B -=- B 、()()()P A B P A P B =+ C 、()()()P AB P A P B = D 、()()()P A P AB P AB =+ 5、设事件A 与B 相互独立,则下列说法错误的是() A 、A 与 B 独立 B 、A 与B 独立 C 、()()()P AB P A P B = D 、A 与B 一定互斥 6、设离散型随机变量X 的分布列为 其分布函数为()F x ,则(3)F =() A 、0 B 、0.3 C 、0.8 D 、1 7、设离散型随机变量X 的密度函数为4,[0,1] ()0, cx x f x ?∈=??其它 ,则常数c =( ) A 、 15 B 、1 4 C 、4 D 、5 《概率统计》、《概率论和数理统计》、《随机数学》课程 期末复习资料 注:以下是测试的参考内容,不作为实际测试范围,测试内容以教学大纲和实施计划为准;注明“了解”的内容一般不考。 1、能很好地掌握写样本空间和事件方法,会事件关系的运算,了解概率的古典定义 2、能较熟练地求解古典概率;了解概率的公理化定义 3、掌握概率的基本性质和使用这些性质进行概率计算;理解条件概率的概念;掌握加法公式和乘法公式 4、能准确地选择和运用全概率公式和贝叶斯公式解题;掌握事件独立性的概念及性质。 5、理解随机变量的概念,能熟练写出(0—1)分布、二项分布、泊松分布的分布律。 6、理解分布函数的概念及性质,理解连续型随机变量的概率密度及性质。 7、掌握指数分布(参数λ)、均匀分布、正态分布,特别是正态分布概率计算 8、会求一维随机变量函数分布的一般方法,求一维随机变量的分布律或概率密度。 9、会求分布中的待定参数。 10、会求边缘分布函数、边缘分布律、条件分布律、边缘密度函数、条件密度函数,会判别随机变量的独立性。 11、掌握连续型随机变量的条件概率密度的概念及计算。 12、理解二维随机变量的概念,理解二维随机变量的联合分布函数及其性质,理解二维离散型随机变量的联合分布律及其性质,理解二维连续型随机变量的联合概率密度及其性质,并会用它们计算有关事件的概率。 13、了解求二维随机变量函数的分布的一般方法。 14、会熟练地求随机变量及其函数的数学期望和方差。会熟练地默写出几种重要随机变量的数学期望及方差。 15、较熟练地求协方差和相关系数. 16、了解矩和协方差矩阵概念。会用独立正态随机变量线性组合性质解题。 17、了解大数定理结论,会用中心极限定理解题。 18、掌握总体、样本、简单随机样本、统计量及抽样分布概念,掌握样本均值和样本方差及样本矩概念,掌握χ2分布(及性质)、t分布、F分布及其分位点概念。 19、理解正态总体样本均值和样本方差的抽样分布定理;会用矩估计方法来估计未知参数。 20、掌握极大似然估计法,无偏性和有效性的判断方法。 21、会求单正态总体均值和方差的置信区间。会求双正态总体均值和方差的置信区间。 23、明确假设检验的基本步骤,会U检验法、t检验、2χ检验法、F检验法解题。 24、掌握正态总体均值和方差的检验法。 概率论部分必须要掌握的内容以及题型 1.古典概型中计算概率用到的基本的计数方法。 2.概率的基本性质、条件概率、加法、乘法公式的使用;掌握事件独立性的概念及性质。3.准确地选择和运用全概率公式和贝叶斯公式。 4.一维、二维离散型随机变量的分布律,连续型随机变量的密度函数性质的运用。分布中待定参数的确定,分布律、密度函数和分布函数的关系,联合分布和边缘分布、条件分布的关系,求数学期望、方差、协方差、相关系数,求函数的分布律、密度函数及期望和方差。5.会用中心极限定理解题。 6.熟记(0-1)分布、二项分布、泊松分布的分布律、期望和方差,指数分布(参数λ)、均匀分布、正态分布的密度函数、期望和方差。 数理统计部分必须要掌握的内容以及题型概率论与数理统计公式表
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