2013年高考文科数学真题及答案全国卷
2013年高考文科数学真题及答案全国卷1
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟。
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．(2013课标全国Ⅰ，文1)已知集合A ＝{1,2,3,4}，B ＝{x |x ＝n 2
，n ∈A }，则A ∩B ＝( )．
A ．{1,4}
B ．{2,3}
C ．{9,16}
D ．{1,2} 【答案】A
【考点】本题主要考查集合的基本知识。 【解析】∵B ＝{x |x ＝n 2
，n ∈A }＝{1,4,9,16}， ∴A ∩B ＝{1,4}．
2．(2013课标全国Ⅰ，文2)
2
12i
1i +(-)＝( )．
A. ?1?1
2i B ．11+
i 2
- C ．1+12i D ．1?12i 【答案】B
【考点】本题主要考查复数的基本运算。 【解析】
2
12i 12i 12i i 2i 1i 2i 22++(+)-+===(-)-＝1
1+i 2
-. 3．(2013课标全国Ⅰ，文3)从1,2,3,4中任取2个不同的数，则取出的2个数之差的绝对值为2的概率是( )．
A ．12
B ．13
C ．14
D ．16
【答案】B
【考点】本题主要考查列举法解古典概型问题的基本能力。
【解析】由题意知总事件数为6，且分别为(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)，满足条件的事件数是2，所以所求的概率为
13
. 4．(2013课标全国Ⅰ，文4)已知双曲线C ：2222=1x y a b
-(a ＞0，b ＞0)
C 的渐近线方程
为( )．
A ． y =±1
4x B ．y =±1
3
x C ．1
2
y x =± D ．y =±x
【答案】C
【考点】本题主要考查双曲线的离心率、渐近线方程。
【解析】∵e =
c a =，即2254c a =.
∵c 2＝a 2＋b 2
，∴2214b a =.∴12
b a =.
∵双曲线的渐近线方程为b
y x a
=±， ∴渐近线方程为1
2
y x =±
.故选C. 5．(2013课标全国Ⅰ，文5)已知命题p ：x ∈R,2x
＜3x
；命题q ：x ∈R ，x 3
＝1－x 2
，则下列命题中为真命题的是( )．
A ．p ∧q
B ．?p ∧q
C ．p ∧?q
D ．?p ∧?q 【答案】B
【考点】本题主要考查常用逻辑用语等基本知识。 【解析】由20
＝30
知，p 为假命题．令h (x )＝x 3
－1＋x 2
， ∵h (0)＝－1＜0，h (1)＝1＞0， ∴x 3
－1＋x 2
＝0在(0,1)内有解．
∴x ∈R ，x 3
＝1－x 2
，即命题q 为真命题．由此可知只有?p ∧q 为真命题．故选B.
6．(2013课标全国Ⅰ，文6)设首项为1，公比为
2
3
的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，则( )． A ． S n =2a n ?1 B ．S n =3a n ?2 C ．S n =4?3a n D ．S n =3?2a n 【答案】D
【考点】本题主要考查等比数列前n 项和公式。
【解析】11211321113
n
n
n n a a a q a q S q q --(-)===
---＝3－2a n ，故选D. 7．(2013课标全国Ⅰ，文7)执行下面的程序框图，如果输入的t ∈[－1,3]， 则输出的s 属于( )．
A ．[－3,4]
B ．[－5,2]
C ．[－4,3]
D ．[－2,5] 【答案】A
【考点】本题主要考查程序框图的认识、分段函数求值域及水性结合的思想。 【解析】当－1≤t ＜1时，s ＝3t ，则s ∈[－3,3)． 当1≤t ≤3时，s ＝4t －t 2
. ∵该函数的对称轴为t ＝2，
∴该函数在[1,2]上单调递增，在[2,3]上单调递减． ∴s max ＝4，s min ＝3. ∴s ∈[3,4]．
综上知s ∈[－3,4]．故选A.
8．(2013课标全国Ⅰ，文8)O 为坐标原点，F 为抛物线C ：y 2
＝的焦点，P 为C 上一点，若|PF |
＝，
则△POF 的面积为( )．
A ．2 B
．
．．
4
【答案】C
【考点】本题主要考查抛物线的定义、数形结合思想及运算能力。
【解析】利用|PF |＝P x =x P ＝
∴y P ＝±∴S △POF ＝
1
2
|OF |·|y P |＝故选C.
9．(2013课标全国Ⅰ，文9)函数f (x )＝(1－cos x )sin x 在[－π，π]的图像大致为( )． 【答案】C
【考点】本题主要考查数形结合思想及对问题的分析判断能力。
【解析】由f (x )＝(1－cos x )sin x 知其为奇函数．可排除B ．当x ∈π0,2
?? ??
?
时，f (x )＞0，排除A.
当x ∈(0，π)时，f ′(x )＝sin 2x ＋cos x (1－cos x )＝－2cos 2
x ＋cos x ＋1.令f ′(x )＝0，得2π3
x =. 故极值点为2
π3
x =
，可排除D ，故选C. 10．(2013课标全国Ⅰ，文10)已知锐角△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c,23cos 2
A ＋cos 2A ＝0，
a ＝7，c ＝6，则
b ＝( )．
A ．10
B ．9
C ．8
D ．5 【答案】D
【考点】本题主要考查三角函数的化简，考查利用余弦定理解三角形以及方程思想。 【解析】由23cos 2
A ＋cos 2A ＝0，得cos 2
A ＝
125.∵A ∈π0,2??
???
，∴cos A ＝15.
∵cos A ＝2364926b b +-?，∴b ＝5或13
5
b =-(舍)．
故选D.
11．(2013课标全国Ⅰ，文11)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )．
A ．16＋8π
B ．8＋8π
C ．16＋16π
D ．8＋16π 【答案】A
【考点】本题主要考查三视图。简单组合体的体积。
【解析】该几何体为一个半圆柱与一个长方体组成的一个组合体．
V 半圆柱＝
12
π×22
×4＝8π， V 长方体＝4×2×2＝16.
所以所求体积为16＋8π.故选A.
12．(2013课标全国Ⅰ，文12)已知函数f (x )＝22,0,
ln(1),0.
x x x x x ?-+≤?+>?若|f (x )|≥ax ，则a 的取值范围是( )．
A ．(－∞，0]
B ．(－∞，1]
C ．[－2,1]
D ．[－2,0] 【答案】D
【考点】本题主要考查数形结合思想、函数与方程思想、利用导数研究函数间关系，对分析能力有较高要求。
【解析】可画出|f (x )|的图象如图所示．
当a ＞0时，y ＝ax 与y ＝|f (x )|恒有公共点，所以排除B ，C ； 当a ≤0时，若x ＞0，则|f (x )|≥ax 恒成立． 若x ≤0，则以y ＝ax 与y ＝|－x 2
＋2x |相切为界限，
由2
,2,
y ax y x x =??=-?得x 2－(a ＋2)x ＝0. ∵Δ＝(a ＋2)2
＝0，∴a ＝－2. ∴a ∈[－2,0]．故选D.
第Ⅱ卷（选择题 共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．
13．(2013课标全国Ⅰ，文13)已知两个单位向量a ，b 的夹角为60°，c ＝t a ＋(1－t )b .若b ·c ＝0，则t ＝______. 【答案】2
【考点】本题主要考查向量的基本知识及运算。
【解析】∵b ·c ＝0，|a |＝|b |＝1，〈a ，b 〉＝60°，∴a ·b ＝111122
??=. ∴b ·c ＝[t a ＋(1－t )b ]·b ＝0，
即t a ·b ＋(1－t )b 2
＝0.
∴
1
2
t ＋1－t ＝0. ∴t ＝2.
14．(2013课标全国Ⅰ，文14)设x ，y 满足约束条件
13,
10,x x y ≤≤??
-≤-≤?
则z ＝2x －y 的最大值为______． 【答案】3
【考点】本题主要考查简单的线性规划问题。 【解析】画出可行域如图所示．
画出直线2x －y ＝0，并平移，当直线经过点A (3,3)时，z 取最大值，且最大值为z ＝2×3－3＝3.
15．(2013课标全国Ⅰ，文15)已知H 是球O 的直径AB 上一点，AH ∶HB ＝1∶2，AB ⊥平面α，H 为垂足，
α截球O 所得截面的面积为π，则球O 的表面积为______．
【答案】
9
π2
【考点】本题主要考查球及基本几何体的基本知识。 【解析】如图， 设球O 的半径为R ，
则AH ＝
23
R ， OH ＝
3
R . 又∵π·EH 2
＝π，∴EH ＝1.
∵在Rt△OEH 中，R 2
＝2
2+13R ?? ???
，∴R 2
＝98.
∴S 球＝4πR 2
＝9π2
.
16．(2013课标全国Ⅰ，文16)设当x ＝θ时，函数f (x )＝sin x －2cos x 取得最大值，则cos θ＝______.
【答案】 【考点】本题主要考查三角函数的化简与求值。 【解析】∵f (x )＝sin x －2cos x
sin(x －φ)，
其中sin φ
cos φ
当x －φ＝2k π＋π
2(k ∈Z )时，f (x )取最大值．
即θ－φ＝2k π＋π2(k ∈Z )，θ＝2k π＋π
2
＋φ(k ∈Z )．
∴cos θ＝πcos 2???
+ ???
＝－sin φ
＝.
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．(2013课标全国Ⅰ，文17)(本小题满分12分)已知等差数列{a n }的前n 项和S n 满足S 3＝0，S 5＝－5.
(1)求{a n }的通项公式； (2)求数列21211
n n a a -+?
??
???
的前n 项和．
【考点】本题主要考查等差数列的基本知识，特殊数列的求和等。 【解析】(1)设{a n }的公差为d ，则S n ＝1(1)
2
n n na d -+. 由已知可得{3a1+3d =0
5a1+10d =?5
解得a 1＝1，d ＝－1.
故{a n }的通项公式为a n ＝2－n . (2)由(1)知
21211n n a a -+＝1111321222321n n n n ??
=- ?(-)(-)--??
，
从而数列21211
n n a a -+?
?????
的前n 项和为
＝
12n n
-. 18．(2013课标全国Ⅰ，文18)(本小题满分12分)为了比较两种治疗失眠症的药(分别称为A 药，B 药)的疗效，随机地选取20位患者服用A 药，20位患者服用B 药，这40位患者在服用一段时间后，记录他们日
平均增加的睡眠时间(单位：h)．试验的观测结果如下：
服用A药的20位患者日平均增加的睡眠时间：
服用B药的20位患者日平均增加的睡眠时间：
(1)分别计算两组数据的平均数，从计算结果看，哪种药的疗效更好
(2)根据两组数据完成下面茎叶图，从茎叶图看，哪种药的疗效更好
【考点】本题主要考查统计的基本知识。茎叶图等。
【解析】(1)设A药观测数据的平均数为x，B药观测数据的平均数为y. 由观测结果可得
x＝1
20
＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋
＝，
y＝1
20
＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋
＝.
由以上计算结果可得x＞y，因此可看出A药的疗效更好．(2)由观测结果可绘制如下茎叶图：
从以上茎叶图可以看出，A药疗效的试验结果有
7
10
的叶集中在茎2,3上，而B药疗效的试验结果有
7
10
的
叶集中在茎0,1上，由此可看出A药的疗效更好．
19．(2013课标全国Ⅰ，文19)(本小题满分12分)如图，三棱柱ABC－A1B1C1中，CA＝CB，AB＝AA1，∠BAA1＝60°.
(1)证明：AB⊥A1C；
(2)若AB＝CB＝2，A1C，求三棱柱ABC－A1B1C1的体积．
【考点】本题主要考查线面垂直问题，考查空间想象能力、逻辑思维能
力、运算能力及转化能力。
【解析】
(1)取AB的中点O，连结OC，OA1，A1B.
因为CA＝CB，所以OC⊥AB.
由于AB＝AA1，∠BAA1＝60°，
故△AA1B为等边三角形，所以OA1⊥AB.
因为OC∩OA1＝O，所以AB⊥平面OA1C.
又A1C平面OA1C，故AB⊥A1C.
(2)由题设知△ABC与△AA1B都是边长为2的等边三角形，
所以OC＝OA1
又A1C，则A1C2＝OC2＋2
1
OA，故OA1⊥OC.
因为OC ∩AB ＝O ，所以OA 1⊥平面ABC ，OA 1为三棱柱ABC －A 1B 1C 1的高．
又△ABC 的面积S △ABC
ABC －A 1B 1C 1的体积V ＝S △ABC ×OA 1＝3.
20．(2013课标全国Ⅰ，文20)(本小题满分12分)已知函数f (x )＝e x (ax ＋b )－x 2
－4x ，曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程为y ＝4x ＋4. (1)求a ，b 的值；
(2)讨论f (x )的单调性，并求f (x )的极大值．
【考点】本题主要考查导数的基本知识，利用导数判断函数单调性、求极值。 【解析】(1)f ′(x )＝e x
(ax ＋a ＋b )－2x －4. 由已知得f (0)＝4，f ′(0)＝4. 故b ＝4，a ＋b ＝8.从而a ＝4，b ＝4. (2)由(1)知，f (x )＝4e x
(x ＋1)－x 2
－4x ，
f ′(x )＝4e x (x ＋2)－2x －4＝4(x ＋2)·1e 2x ??-
???
. 令f ′(x )＝0得，x ＝－ln 2或x ＝－2.
从而当x ∈(－∞，－2)∪(－ln 2，＋∞)时，f ′(x )＞0； 当x ∈(－2，－ln 2)时，f ′(x )＜0.
故f (x )在(－∞，－2)，(－ln 2，＋∞)上单调递增，在(－2，－ln 2)上单调递减． 当x ＝－2时，函数f (x )取得极大值，极大值为f (－2)＝4(1－e －2
)．
21．(2013课标全国Ⅰ，文21)(本小题满分12分)已知圆M ：(x ＋1)2
＋y 2
＝1，圆N ：(x －1)2
＋y 2
＝9，动圆P 与圆M 外切并且与圆N 内切，圆心P 的轨迹为曲线C . (1)求C 的方程；
(2)l 是与圆P ，圆M 都相切的一条直线，l 与曲线C 交于A ，B 两点，当圆P 的半径最长时，求|AB |. 【考点】本题主要考查直线、圆、椭圆结合的解析几何的综合问题，考查考生的分析能力和计算能力。 【解析】由已知得圆M 的圆心为M (－1,0)，半径r 1＝1；圆N 的圆心为N (1,0)，半径r 2＝3.设圆P 的圆心为P (x ，y )，半径为R .
(1)因为圆P 与圆M 外切并且与圆N 内切， 所以|PM |＋|PN |＝(R ＋r 1)＋(r 2－R )＝r 1＋r 2＝4.
由椭圆的定义可知，曲线C 是以M ，N 为左、右焦点，长半轴长为2，
的椭圆(左顶点除外)，
其方程为22
=143
x y +(x ≠－2)． (2)对于曲线C 上任意一点P (x ，y )，由于|PM |－|PN |＝2R －2≤2， 所以R ≤2，当且仅当圆P 的圆心为(2,0)时，R ＝2. 所以当圆P 的半径最长时，其方程为(x －2)2
＋y 2
＝4. 若l 的倾斜角为90°，则l 与y 轴重合，可得|AB |
＝若l 的倾斜角不为90°，由r 1≠R 知l 不平行于x 轴，设l 与x 轴的交点为Q ，则
1
||||QP R
QM r =，可求得
Q (－4,0)，所以可设l ：y ＝k (x ＋4)．
由l 与圆M
＝1，解得k ＝4
±
.
当k ＝4时，将4y x =代入22=143
x y +，并整理得7x 2＋8x －8＝0，解得x 1,2＝47-±，
所以|AB ||x 2－x 1|＝18
7
.
当k ＝4-时，由图形的对称性可知|AB |＝18
7
.
综上，|AB |＝|AB |＝18
7
.
请考生在第(22)、(23)、(24)三题中任选一题做答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做的第一个题目计分，做答时请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑． 22．(2013课标全国Ⅰ，文22)(本小题满分10分)选修4—1：几何证明选讲
如图，直线AB 为圆的切线，切点为B ，点C 在圆上，∠ABC 的角平分线BE 交圆于点E ，DB 垂直BE 交圆于点D .
(Ⅰ)证明：DB=DC;
(Ⅱ)设圆的半径为1，BC=√3，延长CE 交AB 于点F ，求△BCF 外接圆的半径。 【考点】本题主要考查几何证明中的圆的集合性质、切线的相关定理与结论的应用。 【解析】 (1)连结DE ，交BC 于点G .
由弦切角定理得，∠ABE ＝∠BCE .
而∠ABE ＝∠CBE ， 故∠CBE ＝∠BCE ，BE ＝CE . 又因为DB ⊥BE ，
所以DE 为直径，∠DCE ＝90°， 由勾股定理可得DB ＝DC .
(2)由(1)知，∠CDE ＝∠BDE ，DB ＝DC ， 故DG 是BC 的中垂线，
所以BG ＝
2
. 设DE 的中点为O ，连结BO ，则∠BOG ＝60°. 从而∠ABE ＝∠BCE ＝∠CBE ＝30°， 所以CF ⊥BF ，
故Rt△BCF . 23．(2013课标全国Ⅰ，文23)(本小题满分10分)选修4—4：坐标系与参数方程已知曲线C 1的参数方程为
45cos ,
55sin x t y t =+??
=+?
(t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝2sin θ.
(1)把C1的参数方程化为极坐标方程；
(2)求C1与C2交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ＜2π)．
【考点】本题主要考查参数方程、极坐标方程、普通方程的互化。
【解析】(1)将
45cos,
55sin
x t
y t
=+
?
?
=+
?
消去参数t，化为普通方程(x－4)2＋(y－5)2＝25，
即C1：x2＋y2－8x－10y＋16＝0.
将
cos,
sin
x
y
ρθ
ρθ
=
?
?
=
?
代入x2＋y2－8x－10y＋16＝0得ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0.
所以C1的极坐标方程为
ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0.
(2)C2的普通方程为x2＋y2－2y＝0.
由
22
22
810160,
20
x y x y
x y y
?+--+=?
+-=
?
解得
1,
1
x
y
=
?
?
=
?
或
0,
2.
x
y
=
?
?
=
?
所以C1与C2
交点的极坐标分别为
π
4
?
?
?
，
π
2,
2
??
?
??
.
24．(2013课标全国Ⅰ，文24)(本小题满分10分)选修4—5：不等式选讲已知函数f(x)＝|2x－1|＋|2x ＋a|，g(x)＝x＋3.
(1)当a＝－2时，求不等式f(x)＜g(x)的解集；
(2)设a＞－1，且当x∈
1
,
22
a
??
-?
???时，f(x)≤g(x)，求a的取值范围．
【考点】本题主要考查绝对值不等式的解法，分段函数等，考查考生分析、解决问题的能力。【解析】(1)当a＝－2时，不等式f(x)＜g(x)化为|2x－1|＋|2x－2|－x－3＜0.
设函数y＝|2x－1|＋|2x－2|－x－3，
则y＝
1 5,,
2
1
2,1,
2
36, 1.
x x
x x
x x
?
-<
?
?
?
--≤≤?
?
->
?
??
其图像如图所示．从图像可知，当且仅当x∈(0,2)时，y＜0. 所以原不等式的解集是{x|0＜x＜2}．
(2)当x∈
1
,
22
a
??
-?
???时，f(x)＝1＋a.
不等式f(x)≤g(x)化为1＋a≤x＋3.
所以x≥a－2对x∈
1
,
22
a
??
-?
???都成立．
故2a -
≥a －2，即a ≤43
. 从而a 的取值范围是41,3?
?- ??
?.