向量与解析几何交汇例题解析

向量与解析几何交汇例题解析

上海市新场中学 周青

教学内容：1.会用向量法解决解析几何问题

2.会解决与向量有关的解析几何问题

教学目标：1．灵活运用平面向量的运算的几何意义及圆锥曲线的定义； 2．掌握平面向量的坐标运算及解析几何的基本解题方法；

3．通过运用向量解题，培养学生生善于思考、乐于探究、敢于创新

的思想品质。

教学重点：平面向量的运算的几何意义及坐标运算 教学难点：灵活运用平面向量处理解析几何问题。 教学过程：

向量具有代数形式和几何形式的“双重身份”，能融数形于一体，能与中学数学教学内容的的许多主干知识综合，形成知识交汇点。而在高中数学体系中，解析几何占有着很重要的地位，数学高考重视能力立意，在知识网络的交汇点上设计试题，因此，解析几何与平面向量的融合交汇是高考命题改革的发展方向和创新的趋势之一。有些问题用常规方法去解决往往运算比较繁杂，不妨运用向量作形与数的转化，则会大大简化过程。上海二期课改教材注重于虽然利用向量解决解析几何问题，但课本上例题还不是很多，因此学生对于利用向量解决解析几何问题的能力还不高，本节课通过将向量与解析几何相结合处理问题，旨在使学生树立并增强应用向量的意识和能力。

回归课本

引例：（高二课本例题）已知椭圆14

92

2=+y x 的焦点为F ,1F 2，椭圆上的点P 的坐标(,)P P x y ，且∠F 1P F 2为钝角，求P x 点P 横坐标的取值范围

解：因为点(,)P P P x y 在椭圆上，所以22

4

49

P P

y x =-

焦点12(F F ，

1,)P P PF x y =--（，25,)P P PF x y =-（ 21PF F ∠ 为钝角

∴ 12,),)0P P P P PF PF x y x y ?-?-<=（

化简得22

5P P x y +<

2

24459

P P x x +-< 得259P

x <

解得：P x <<

∴点P 横坐标的取值范围是（5

5

3,553-

）

例题1：已知常数0m > ，向量(0,1),(,0)a b m = =，经过点(,0)A m ，以a b λ+为方向向量的直线与经过点(,0)B m -，以4b a λ-为方向向量的直线交于点P ，其中R λ∈．求点P 的轨迹

解：∵(,)a b m λλ+=，∴ 直线AP 方程为λ

()y x m m

=

-；……① 又4(,4)b a m λλ-=-, ∴ 直线NP 方程为4

()y x m m λ=-+；……② 由①、②消去λ得 2

22

24()y x m m

=--，即 22214x y m +

=． 故当2m =时，轨迹E 是以(0, 0)为圆心，以2为半径的圆：224x y +=；

当2m >时，轨迹是以原点为中心，以2(4,0)m -为焦点的椭圆： 当02m <<时，轨迹是以中心为原点，焦点为2(0,4)m -的椭圆．

例题2(20XX 年全国高考Ⅱ·理科·12题)．设F 为抛物线24y x =的焦点，A B C ，，为该抛物线上三点，若0FA FB FC ++=，则FA FB FC ++=（ ）

A ．9

B ．6

C ．4

D ．3

例题3：已知O 是平面上一定点，A 、B 、C 是平面上不共线的三点，动点P 满足()OP OA AB AC λ=++，[0,)λ∈+∞，则点P 的轨迹一定通过ABC ?的（ ） （A ）外心 （B ）内心 （C ）重心 （D ）垂心

变式训练1、（20XX 年天津高考题）O 是平面上一定点，A 、B 、C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足(

)AB AC

OP OA AB AC

λ=++，)0λ??∈∞，

＋，则P 的轨迹一定通过ABC ?的（ ）

（A ）外心 （B ）内心 （C ）重心 （D ）垂心

变式训练2：已知ABC ?的三个顶点的坐标是(1,2)A ，(3,1)B --，(9,6)C -，求ABC ∠的平分线的方程。

解：(4,3)BA = ，(12,5)BC =-，单位向量43(,)55BA BA =，125

(,)1313BC BC

=-， 向量11214

(,)6565BA BC

n BA

BC

=

+=是角B 平分线的一个方向向量，于是角B 平

分线点方向式方程是：

31

112146565

x y ++=

，化简得到：角B 平分线方程为850x y --=。 例题4：如图：ABC ?中，,AB a AC b ==，M 是ABC ?内部一点，且

,(,)AM pa qb p q R =+∈，求点(,)p q 在直角坐标系中所围成区域的面积。

解：因为M 是ABC ?内部一点，必有0,0p q >>，设D 是直线AM 与BC 的交点，

设 ()(1)AD a BD a BC a b a a b λλλλ=+=+=+-=-+， 又 AM pa qb =+

∵//AD AM ，∴有

1p q λλ-=，得到q

p q

λ=+ ∴11()p q AD a b pa qb AM p q p q p q p q

=

+=+=++++，即()AM p q AD =+ ∵M 是ABC ?内部一点，所以1p q +<

∴点(,)p q 在区域0

01

p q p q >??

>??+

内，其面积为12。

例题5：（20XX 年高考全国卷改编题）

给定抛物线C ：24y x =，F 是C 的焦点，过点F 的直线l 与抛物线C 相交于A 、B 两点。

（1）设直线l 的斜率为k ， OA 与OB 的夹角能否为直角？证明你的结论。 （2）设直线l 的斜率为1，求OA 与OB 的夹角的大小； （3）若BB l '⊥，垂足为B '，证明,,A O B '三点共线

（4）设FB AF λ=，若[4,9]λ∈，求直线l 在y 轴上截距的变化范围。 （5）已知M 是直线l 与抛物线准线的交点，1MA AF λ=，2MB BF λ=，求12

λλ+的值。

解：（1）设直线l 的方称为：(1)y k x =-，1122(,),(,)A x y B x y

2

4(1)

y x y k x ?????==-?22222(2)0k x k x k -++=，…………()*

2122

24k x x k ++=，121x x =

12121230OA OB x x y y x x =-=-

∴OA 与OB 的夹角为钝角，不可能是直角。 （2）l 的方程为.1-=x y

将1k =代入方程()*得： 2610.x x -+= 则有 .1,62121==+x x x x

3.OA OB ?=-

21

||||OA OB x ===

(,)||||

cos OA OB OA OB OA OB ?==?

所以与夹角的大小为.41

14

3arccos -π （3）11(,)OA x y =

，21(,)OB y -'=

若120,0y y ≠≠，

∵121x x =，∴

1

121

y x y ==-，即1121x y y =- ∴//OA OB ，∴,,A O B '三点共线

若120,0y y ==，显然,,A O B '三点共线

（4） 解法一： 由FB AF λ=得到：21211(1)

(1)(2)

x x y y λλ-=-??

=-

?

又 212212

(3)1(4)24

k x x k

x x ????= ?++=， 由(1)(3)(4)消去12,x x 得：22

4(1)k λ

λ=

-，[4,9]λ∈

2244

1(1)2

k λλλλ

=

=

-+-，∵[4,9]λ∈，

∴24916[,]1

169

2k λλ

=

∈+

- ?4334

[,][,]3443

k ∈--

所以直线l 在y 轴上得截距4334

[,][,]3443

b k =-∈--

解法二：由FB AF λ=可知：FB AF λ=?211(1)x x λ+=+，

又211(1)x x λ-=- 即21211(1)1(1)x x x x λλ-=-??+=+ ??121x x λ

λ?

=

???=

? 所以 2122124k x x k λλ=+++=?2

412

k λλ

=+-，[4,9]λ∈，以下解法同解法一。 （5）解法一：由1MA AF λ=，2MB BF λ=得到

1211221)

1)(1(1x x x x λλ???

??

+=-+=- 1212121212112(1)

011(1)(1)

x x x x x x x x λλ++-=

+==----+ 所以120λλ=+

解法二：由 1MA AF λ=，2MB BF λ=，?12MA

AF

MB

BF λλ=-

， 由

MA AA MB

BB '=

'

，

AF AA BF

BB '=

'

?120λλ=+

学生课内外练习

1、（20XX 年天津）已知常数0>a ，向量(0,)(1,0)c a ==，i ，经过原点O 以c i λ+为方向向量的直线与经过定点),0(a A 以2i c λ-为方向向量的直线相交于点P ，其中R ∈λ．

试问：是否存在两个定点F E 、，使得PE PF +为定值，若存在，求出F E 、的坐标；若不存在，说明理由．

2、如果把直线20x y c -+=沿向量()1,2a =-平移,所得直线与圆

22240x y x +--=相切,则实数c 的值是多少？

3、O 是平面上一定点，A 、B 、C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足

cos cos ()C B AB AC OP OA AB AC

λ=++，)0λ??∈∞，

＋，则P 的轨迹一定通过ABC ?的（ ）

（A ）外心 （B ）内心 （C ）重心 （D ）垂心

4、平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知)3,1(),1,3(-B A ，若点C 满足

OB OA OC βα+=，其中R ∈βα,，且1=+βα，则点C 的轨迹方程为( )

A. 01123=-+y x

B. 5)2()1(22=-+-y x

C. 02=-y x

D. 052=-+y x

5、已知点G 是△ABC 的重心，A(0, －1)，B(0, 1)，在x 轴上有一点M ，满足|MA |=|MC |，GM AB =λ (λ∈R)．

（1）求点C 的轨迹方程；

（2）若斜率为k 的直线l 与点C 的轨迹交于不同两点P ，Q ，且满足|AP |=|AQ |，

试求k 的取值范围．

6、在直角坐标平面中，ΔABC 的两个顶点B A ,的坐标分别为)0,7

7

(-A ，)0,7

7(B ，两动点N M ,满足MA +MB +MC =0，|NC |=7|NA |=7|NB |，向量与平行。

(1)求ABC ?的顶点C 的轨迹方程；

(2)若过点)1,0(P 的直线与(1) 轨迹相交于F E ,两点，求·的取值范围；

7、已知两定点())

12

,F F ，满足条件212PF PF -=的点P 的轨迹是曲

线E ，直线1y kx =-与曲线E 交于,A B 两点，如果AB =，且曲线E 上存在点C ，使OA OB mOC +=，求m 的值和ABC ?的面积S ． 课时小结

向量具有数形兼备的特点，成为了作为联系众多知识的桥梁，向量与三角、解析几何、立体几何的交汇是当今高考命题的必然趋势,本节课利用向量解决解析几何中有关轨迹、角平分线、平行、共线、角度、垂直以及综合应用等问题。

2011-3-8

教学反思：

本节课是在解析几何第一轮复习尾声安排的一节专题复习类课，围绕着教学相对冷僻又渐趋热点的向量和解几相结合的交会点来组织安排，备课时，我查阅大量资料，从历年全国各地的高考试卷中选取和改编了部分和上海教材相符合的试题作为本节课的素材之一，在解析几何中涉及到长度、角度、垂直等的诸多问题中，如能适当地构造向量，利用向量的加法和数量积的几何意义，结合圆锥曲线的性质，往往能使问题简捷获解。本节课问题从课本例题引出，旨在引起学生对课本处理问题方法的思考，通过一系列组合题，由浅入深，立足基础，适当综合，层层推进，使学生体会到向量处理解析几何问题基本方法与思路，在例5的几小题的解法二中，又把向量形式回归到距离结合圆锥曲线的定义解决，体现解题的灵活性，使学生真正领悟数学的本质，不唯向量解而向量解。

由于是高三复习课，相对准备内容比较多，因此本节课内容没办法在一节课上解决，这也是本节课的无奈与遗憾之处，另外，由于学生水平参差不一，为了

照顾大多数学生，教学进度也不如自己预想的顺利，很多问题还没有来得及展开。教师板演不如自己平时自如。