立体几何综合问题
立体几何综合问题
一. 探索开放题
1.条件追溯型
条件探索性开放题是指命题中结论明确而需要完备使结论成立的充分条件的题目。这类问题大致可分为：其一是条件未知，需要探注；其二是条件不足，要寻求充分条件。 例1．在正方体1111ABCD A BC D -中，写出过顶点A 的一个平面______________，使该平面与正方体的12条棱所在的直线所成的角均相等(注：填上你认为正确的一个平面即可，不必考虑所有可能的情况)。
分析：所求平面可以为“面11AB D ”，此题结论不唯一。
例2．如图，在四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 为矩形，侧棱PA ⊥底面ABCD ，AB=3， BC=1，PA=2，E 为PD 的中点.（Ⅰ）求直线AC 与PB 所成角的余弦值；（Ⅱ）在侧面PAB 内找一点N ，使NE ⊥面PAC ，并求出N 点到AB 和AP 的距离.。（05湖北理科第20题） 解：（Ⅱ）解法1：建立如图所示的空间直角坐标系，
则A 、B 、C 、D 、P 、E 的坐标为A （0，0，0）、
B （3，0，0）、
C （3，1，0）、
D （0，1，0）、
P （0，0，2）、E （0，2
1，1）， 由于N 点在侧面PAB 内，故可设N 点坐标为（x ，O ，z ），则
)1,2
1,(z x --=，由NE ⊥面PAC 可得， ?????=+-=-???
????=?--=?--?????=?=?.0213,01.0)0,1,3()1,21,(,0)2,0,0()1,21,(.0,0x z z x z x AC NE AP NE 化简得即 ∴?????==163z x 即N 点的坐标为)1,0,63(
，从而N 点到AB 、AP 的距离分别为1，63. 点评：对于探求平面上是否存在满足条件的一点的问题，一般情况下思维量和运算量比较大，若能通过对空间图形的理解，寻找面的特殊性，巧秒构建坐标，将更加简明。
解法2：在面ABCD 内过D 作AC 的垂线交AB 于F ，则6π
=∠ADF .连PF ，
在Rt △ADF 中.3
3tan ,332cos ====ADF AD AF ADF AD DF 设N 为PF 的中点，连NE ，则NE//DF ，
∵DF ⊥AC ，DF ⊥PA ，
∴DF ⊥面PAC ，从而NE ⊥面PAC.
∴N 点到AB 的距离12
1==AP ， N 点到AP 的距离.6
321==AF 方法点拨：①解答这类问题，一般从结论出发，采用逆推分析法,执果索因；②设想出合乎要求的一些条件，逐一列出，运用几何推理逐一推导，从中找出满足结论的条件；
③利用向
量法，运用代数推理，计算得出结论。解答这类问题，运用向量法有优势。
2.结论探究型
结论探究型是指给出了条件，没有明确结论，或者结论不明确的问题。一般分两类：⑴ 给出了结论，探索结论是否成立问题，即存在性问题；⑵没有给出结论，需要探求结论。 例3．一个透明密闭的正方体容器中，恰好盛有该容器一半容积的水，任意转动这个正方体， 则水面在容器中的形状可以是：(1)三角形；(2)菱形；(3)矩形；(4)正方形；(5)正六边形。 其中正确的结论是___________________。（把你认为正确的序号都填上）
结论：（2）（3）（4）（5）；
练习1.将侧棱相互垂直的三棱锥称为“直角三棱锥”，三棱锥的侧面和底面分别叫为直角三
棱锥的“直角面和斜面”；过三棱锥顶点及斜面任两边中点的截面均称为斜面的“中面”.请仿照直角三角形以下性质：
（1）斜边的中线长等于斜边边长的一半；
（2）两条直角边边长的平方和等于斜边边长的平方；
（3）斜边与两条直角边所成角的余弦平方和等于1.
写出直角三棱锥相应性质（至少一条）： .
答案：(1) 斜面的中面面积等于斜面面积的四分之一；（2）三个直角面面积的平方和等于斜面面积的平方；（3）斜面与三个直角面所成二面角的余弦平方和等于1.
练习2.已知水平平面α内的两条相交直线a, b 所成的角为θ，如果将角θ的平分线l '绕着其顶点，在竖直平面内作上下转动， 转动到离开水平位值的l '处，且与两条直线a,b 都成角α，则α与2
θ的大小关系是 解：如图1所示,易知直线l '上点Ａ在平面α上的射影是ι
过点B 作BC ⊥b,则AC ⊥b. 在Rt △OBC 和Rt △OAC 中， tg α=
OC AC ,tg 2θ=OC
BC .显然，AC>BC, ∴tan α> tan 2θ,又α、2θ∈（0，)2π，∴ α＞2θ.
例4．如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A BC D -中，P 是侧棱上的一点，
CP m =。（Ⅰ）试确定m ，使直线AP 与平面11BDD B 所成角的正切值为
（Ⅱ）在线段11AC 上是否存在一个定点Q ，使得对任意的m ，1D Q 在平面1APD
上的射影垂直于AP ，并证明你的结论。（2006年湖北高考题（理科）第18题）
解：（１）建立如图所示的空间直角坐标系，则
A(1,0,0),B(1,1,0),P(0,1,ｍ)，C(0,1,0),D(0,0,0),
B 1(1,1,1),D 1(0,0,1).
所以1(1,1,0),(0,0,1),BD BB =--=
(1,1,),(1,1,0).AP m AC =-=-
又由110,0AC BD AC BB AC D D ?=?= 1知为平面BB 的
一个法向量。
设AP 与11BDD B 面 所成的角为θ
，则||sin cos()2||||AP AC AP AC πθθ?=-==?
=13
m =。 故当13
m =
时，直线AP 11与平面BDD B （２）若11A C 上存在这样的点Q ，设此点的横坐标为x ，则
11(,1),0(1)02
Q x x D Q x x x -=?-+-=?= 。即Q 为11A C 的中点时，满足题设的要求。
方法点拨：⑴存在性问题分为肯定型、否定型、讨论型，其解题思路是：先假设结论存在，由条件进行推证，若推证无矛盾，则结论成立；若推证有矛盾，则可否定结论。其中反证法在解题中起着重要作用。⑵没有给出结论，需要探求结论的问题的解题思路是：通过观察、试验、归纳、猜想，探索出结论，然后对结论加以证明。立体几何探究型问题要有机结合几何推理和代数运算的方法。
3.结论推广型
结论推广型一般分两类：⑴给出问题对象的特殊关系，要求探索出一般结论；⑵给出某一对象的结论。要求探索另一对象和它类似的结论。
例5．已知真命题：“边长为a 的正三角形内任意一点P 到三边距离之和为定值。”则在正四面体中类似的真命题可以是____________________________________________。
分析：由“平面内一点”联想“空间内一点”，由“点线距”联想“点面距”，得出答案：“棱长为a 的正四面体内任意一点到四个面的距离之和为定值.”
例6．如图，点P 为斜三棱柱111C B A ABC -的侧棱1BB 上一点，1BB PM ⊥交1AA 于点M ， 1BB PN ⊥交1CC 于点N . (1) 求证：MN CC ⊥1；(2) 在任意DEF ?中有余弦定理：DFE EF DF EF DF DE ∠?-+=cos 2222. 拓展到空间，类比三角形的余弦定理，写出斜三棱柱的三个侧面面积与其中两个侧面所成的二面角之间的关系式，并予以证明.
(1) 证：MN CC PMN CC PN CC PM CC BB CC ⊥?⊥∴⊥⊥?111111,,//平面 ；
(2) 解：在斜三棱柱111C B A ABC -中，有αcos 21
111111111222A ACC B BCC A ACC B BCC A ABB S S S S S ?-+=，其中α为平面B B CC 11与平面A A CC 11所组成的二面角.
∴⊥,1PMN CC 平面 上述的二面角为MN P ∠,在PMN
?中， c o s 2222?∠?-+=M N P
MN PN MN PN PM MNP CC MN CC PN CC MN CC PN CC PM ∠???-+=cos )()(211111222222， 由于111111111,,BB PM S CC MN S CC PN S A ABB A ACC B BCC ?=?=?=， ∴有αcos 21111111111222A ACC B BCC A ACC B BCC A ABB S S S S S ?-+=. 方法点拨：①运用类比猜想，迁移引申，一般是“点线转化”，或“线面转化”；②运用特例分析法加以验证。
4. 命题组合型
给出几个论断，选择其中几论断作为条件，某一个论断作为结论，组合成符合问题要求的命题，这样的问题属于组合命题型探索问题。
例7．α，β是两个不同的平面，m , n 是平面α及β之外的两条不同直线，给出四个论断： ①m ⊥n ； ②α⊥β；③n ⊥β； ④m ⊥α，以其中三个论断作为条件，余下一个论断A A 1
B B
C 1
M
N P
作为结论，写出你认为正确的一个命题 .
m ⊥n ③n ⊥β ④m ⊥α?②α⊥β（或②α⊥β③n ⊥β④m ⊥α?①m ⊥n ）
分析：本题给出了四个论断，要求其中三个为条件，余下一个为结论，用枚举法分四种情况逐一验证。依题意可得以下四个命题：
(1)m ⊥n ， α⊥β， n ⊥β? m ⊥α；(2)m ⊥n ， α⊥β， m ⊥α?n ⊥β；
(3)m ⊥α， n ⊥β， m ⊥α? α⊥β；(4)α⊥β，n ⊥β，m ⊥α?m ⊥n 。
不难发现，命题(3)、(4)为真命题，而命题(1)、(2)为假命题。故填上命题(3)或(4)。 方法点拨：①对这类问题，首先应判断运用上述条件可以搭配组合成多个命题；②然后运用几何推理判断命题的真假。
5.条件-结论-策略综合开放型
这类问题的基本特征是：给出一定的条件要求设计一种方案。解决这类问题的基本策略是：需要借助逆向思考动手实踐。
例8．（2002
角梯形ABCD 。如图(3)所示，,,2,,.AD AB AD DC AB a BC CD a ⊥⊥===你在图中设计一种虚线，沿虚线翻折可成原来的三棱锥（指三棱锥的三个面）；求这个三棱锥外接球的体积。
分析：本题是考查线面的垂直，直角三角形的性质和球的体积公式等知识。需大胆猜测：虚线之交点应是某边的中点，然后动手实踐，加以检验。
如图(4)，取AD 的中点E ，连EC ，EB ，沿EC ，EB 折起，使A 与D 重合。接下来通过证明得BEC ?为直角三角形即可（略）（2）略。
例9．某自来水厂要制作容积为5002
m 的无盖长方体水箱。现有三种不同规格的金属制箱材料（单位m ）：（1）1919;(2)3010;(3)2512???请你选择其中的一种规格并设计出相应的制作方案（要求用料最省，简便易行）
分析：“用料最省”等价于“无盖水箱表面积最小”。因此先确定该水箱的尺寸使其表面积最小，然后根据尺寸选择材料。
设无盖水箱的长、宽、高分别为,,a b c ，则其体积：3500V abc m ==表面积：22S bc ca ab =++，这样问题可以转化为：已知：,,a b c 为正数，500abc =。求：22bc ca ab ++的最小值及相应,
,a b c 的值。
由均值不等式知22bc ca ab
++≥300==，当且仅当
22bc ca ab ==，即10,5a b c ===时，22bc ca ab ++2300m =最小。这表明将无盖水箱设计为10105??时，用料最省。
如何选择材料并设计制作方案？我们可逆向思考，先将无盖水箱分解(展开)，我们不难发现制作10105??的无盖长方体水箱需一个1010?的正方形及4个105?的长方形；而用
C D A B
E 图3
C D A B 图4
一个3010
?的长方形材料，我们只要割四次易得1010
?正方形一个及105
?正方形4个。故选择3010
?的材料，不但用料最省而且简便易行。
方法点拨：解决此类探索性问题，对观察、联想、类比、猜测、抽象、概括诸方面有较高要求，一般对这类问题需要综合运用如下方法（1）直接求解；（2）观察——猜测——证明；（3）赋值推断；（4）数形结合；（5）联想类比；
6. 折叠问题
例10.如图左，在正三角形ABC中，D、E、F分别为各边的中点，G、H、I、J分别为AF、AD、BE、DE的中点，将△ABC沿DE、EF、DF折成三棱锥后，GH与IJ所成角的度数为（）
A、90°
B、60°
C、45°
D、0°
[分析] 画出折叠后的图形，可看出GH，IJ是一对异面直线，即求异面直线所成角.过点D 分别作IJ和GH的平行线，即AD与DF，所以∠ADF即为所求.因此GH与IJ所成角为60°，答案:B
例11．用一张正方形的包装纸把一个棱长为a的立方体完全包住，不能将正方形纸撕开，所需包装纸的最小面积为
A.2
9a B．8a C. 2
7a D. 6a
解析：将正方形纸如图划分，
其中BC=2AB=2CD，用标III
的部分作下底面，标II的部
分作四个侧面，标I的部分
正好盖住立方体的上底面。
由题意知，标I的部分正好盖住立方体的上底面。
由题意知，标II的正方形的边长为a，所以正方形纸的
边长为a
2
2，面积为8a。故选B。
练习：一个正四棱锥的底面边长与侧棱长都是a，现用一张正
方形的包装纸将其完成包住（不能裁剪但可以折叠），
最小应该是（）
A
、a B
C、(1a
D、
1
2
a
B
A C
D E
F
G
H
I
J
(A、B、C)
D
E
F
G
H
I
J
C '
D B
C H G E
A
提示：把正四棱锥展开，包装纸的边长就是正方形1234
PP P P 的边长，选B
例12.如图在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，BB 1=2，ABC 90∠= ，E 、
F 分别为AA 1、C 1B 1的中点，沿棱柱的表面从E
到F 两点的最短路径的长度
为 .
分析：两点之间显然直线段最短，右图是直三棱柱的展开图，通过比较
EF 与EF 1 的大小，得到沿棱柱的表面从E 到F 两点的最短路径的长度为
例13.设D 是ΔABC 的BC 边上一点,把ΔACD 沿AD 折起,使C 点所处的新
位置 C '在平面
ABD 上的射影H 恰好在AB 上.(1)求证:直线D C '与平面ABD 和平面AH C '所
成的两个角
之和不可能超过090(2)若090=∠BAC ,二面角H AD C --'为060,求BAD ∠的正切
值.
证明:（1）连结DH,,ABD H C 平面⊥' DH C '∠∴为C 'D 与平面ABD 所成的角,且平面,ABD HA C 平面⊥'过D 作,AB DE ⊥垂足为E,
则,HA C DE '⊥平面,故E C D '∠为D C '与平面AH C '所成的角. ,sin sin H C D D
C DH
D C D
E E C D '∠='≤'='∠ ∴ H C D E C D '∠≤'∠ ∴
E C D '∠+ 090='∠+'∠≤'∠DH C H C D DH C (2)作HG ⊥AD,垂足为G,连结C 'G,则C 'G ⊥AD,故GH C '∠是二面角H AD C --'的平面角, 即GH C '∠=060, 计算得2
2tan =∠BAD 二．知识交汇题
1． 立体几何与函数交汇
例1．平面E F GH 分别平行空间四边形ABCD 中的CD 与AB 且交BD 、AD 、AC 、BC 于E 、
F 、
G 、H.CD=a ，AB=b ，CD ⊥AB ．（1）求证E F G
H 为矩形；
（2）点E 在什么位置，S E F GH 最大?
解：（1）易证E F GH 为矩形.
（2）AG=x ，AC=m ，
m x a GH =，GH=m a x ，m
x m m x m b GF -=-=，G F =m b （m －x ） S E F GH =GH·G F =m a x ·m b （m －x ）=2m
ab （mx －x 2）= 2m ab （－x 2+mx －42m +42
m ）=2m ab ［－（x －2m ）2+42m ］
O 1D 1C 1B 1A 1D C
B A 当x =2m 时，S E F GH 最大=.4422ab m m
ab =? 练习1.如图，矩形ABCD 与ADQP 所在平面垂直，将矩形ADQP 沿PD 对折，使得翻折后点Q 落在BC 上，设1=AB ，h PA =，y AD =.
(1)试求y 关于h 的函数解析式； (2)当y 取最小值时，指出点Q 的位置，并求出此时AD 与平面PDQ 所成的角；
2．立体几何与三角函数交汇
例2．如图，在直四棱柱1111ABCD A BC D -中，底面是边长为1的菱形，侧棱长为2
（1）11B D 与1A D 能否垂直？请证明你的判断；（2）当111A B C ∠在[
,]32
ππ上变化时，求异面直线1AC 与11A B 所成角的取值范围。 解析：∵菱形1111A B C D 中，1111AC B D ⊥于1O ，设A C B D O = ，分别以11111
,,O B OC OO 所在直线为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系，设2211(,0,0),(0,,0)(1)B a C b a b +=，则11(,0,0),(0,,0),(,0,2)D a A b D a --- （1）∵11(2,0,0),(,,2)DB a A D a b ==- ，∴21120D B A D a ?=-≠
∴11B D 与1A D 不能垂直。 （2）∵111A B C ∠∈[,]32ππ
，∴13b a ≤≤，∵(0,,2)A b - ∴1(0,2,2),AC b =- 211111(,,0),2A B a b AC A B b =∴?= ，
111|||1AC A B ===
，2111cos ,AC A B ∴<>=
∵221a b +=，∴设cos ,sin a b αα==，
又13b a
≤≤，
∴t a n 1,364ππαα≤≤∴≤≤
2
111cos ,AC A B ∴<>=
2==
=
∵2
2csc 4α≤≤
，∴111cos ,AC A B ∴<>∈ ∴直线1AC 与11A B 所成角的取值范围是?????
?105arccos ,66arccos 。 练习2.如图，PD 垂直正方形ABCD 所在的平面，2AB PD ==，动点E 在线段PB 上，
则二面角E AC B --的取值范围是 A
、[0,π- B
、
C 、[0,]2π D
、[arctan ]2π
A B C D
P E
D P D A C
E B
3． 立体几何与向量交汇
例3．如图，在正四棱锥P-ABCD 中，侧棱PA 与面ABCD 所成的角的正切值为26, 若E 是PB 的中点，在侧面PAD 中寻找一点F,使EF ⊥平面PCB ，试确定F 的位置。 解析：由题意，设AO=2,PO=6,AB=22建立如图所示坐标系，则
A(0,-2,0),B(2,0,0),C(0,2,0),D(-2,0,0),
P(0,0, 6)，E(1,0,26 ) =(-1,0, 26),=(-2,0, 6) =(-2,2,0),因在平面PAD 内， 所以设=PD PA μλ+则＝))(6,2,2(μλλμ+---，
PF EP EF +==PF BP +21.∴=)))(21(2
6,2,12(μλλμ+----. 由?=0且?＝0得：4
3=λ，41=μ，即=4143+. 练习3: 如图所示。PD 垂直于正方形ABCD 所在平面， AB=2，E 是PB 的中点，与夹角3
3。 （１） 建立适当的空间坐标系，写出点E 的坐标。 （２） 在平面PAD 内求一点F ，使EF ⊥平面PCB.
4． 立体几何与排列组合交汇
例4． 一个五棱柱的任何两个侧面都不平行，且底面任一条对角线与另一底面的边也不平
行，以它的顶点为顶点的四面体有多少个？
解析：从五棱柱的10个顶点中任取4个有410C 种方法，其中共底面有452C 种方法，共侧面
的有4
45C 种方法，共对角面的有错误！链接无效。种方法，总取法减去共面情况数即为所求
四面体的个数：)552(444445410C C C C ++-=190个。
练习4:从正方体的八个顶点中任取三个点为顶点作三角形，其中直角三角形的个数为（ ）
A ．56
B ．52
C ．48
D ．40 5． 立体几何与概率统计交汇
例5．如图，设棋子在正四面体ABCD 的表面从一个顶点移
向另外三个顶点是可能的。现抛掷骰子根据其点数决定棋子
是否移动：若投出的点数是奇数，则棋子不动；若投出的点 数是偶数，棋子移动到另一顶点。若棋子的初始位置在顶点
A ，回答下列问题：（1）投了2次骰子，棋子才到达顶点
B 的概率是多少？
（2）投了3次骰子，棋子恰巧在顶点B 的概率是多少？ A B C D
A M N
B O P m l 解析：棋子从顶点A 移动到顶点B ，
C ，
D 的概率都是61，而不移动的概率是2
163=。 （1）分两种情形：①第一次不动，第二次移到B ，即A →A →B ；②两次都动，即A →C →B 或A →D →B ，故投了2次骰子，棋子才到达顶点B 的概率是36561261212=??
? ???+?。 （2）①两次停在相同顶点：A →A →A →B ，A →A →B →B ，A →B →B →B ；
②一次停在相同的点：A →A →C →B ， A →A →D →B ，A →C →B →B ，A →D →B →B ， A →C →C →B A →D →D →B
③每次都向其它顶点移动：A →B →A →B ， A →B →C →B ， A →B →D →B ， A →C →A →B ， A →C →D →B ， A →D →A →B ， A →D →C →B
所以投了3次骰子，棋子恰巧在顶点B 的概率是
54137616612136121322=???
? ??+???? ???+????? ??。 练习5:以平行六面体ABCD —A ′B ′C ′D ′的任意三个顶点为顶点作三角形，从中随机取出两个三角形，则这两个三角形不共面的概率p 为 （ ） A ．385367 B ．385376 C ．385192 D ．385
18 6． 立体几何与解析几何交汇 例6.一定长线段AB 的两个端点沿互相垂直的两条异面直线m l ,运动，求它的中点的轨迹。
分析：利用向量的几何运算探求轨迹
解析：如图：设MN 为m l ,的公垂线，连结AN ，则
AM ⊥MN,NB ⊥MN,分别记MN 、AB 的中点为O 、
P,AB=a,MN=b ，
则)(21+==)(21OM +++=)(21+. 02
121)(21=?+?=?+=?MN MN , ∴P 点必在平面AMN 的垂直平分面上。
∵)4
1)41)(412-+-=+
=+=
? =)(41)4122b a
-=-。 )(4
122b a -=。 所以P 点在以O 为圆心，以222
1b a -为半径的圆上，故P 点的轨迹是MN 的垂直平分面内的一个圆。
例7．已知平面α//平面β，直线m 在平面内α，点P ∈m ，α、β间的距离为8，则在平面β内到点P 的距离为10且到直线m 的距离为9的点的轨迹是( )
A 、一个圆
B 、两条直线
C 、四个点
D 、两个点
解析：选C 。到点P 的距离为10的点的集合为“以点P 为球心，10为半径的球面”， 到直线m 的距离为9的点的集合为“以直线m 为轴，9为半径的圆柱面”，
上述的球面与平面β的交集为一圆，圆柱面与平面β的交集为2条直线，
这2条直线与圆有4个交点
例8．在三棱柱111C B A ABC -中，二面角B CC A --1的大小为0
30，动点M 在平面11A ACC 上运动，且M 到平面11B BCC 的距离MA d 3
1=，则点M 的轨迹为 （ ）
（A ）直线 （B ） 椭圆 （C ）双曲线 （ D ）抛物线
解析 在关系式MA d 3
1=
中很容易联想到圆锥曲线的第二定义．因M 是动点，A 是定点，所以想到如何把点M 到面11B BCC 的距离d 转化为点M 到某定直线的距离．难点是找此定直线（此
定直线必在面11A ACC 内）．结合作二面角B CC A --1的平
面角去发现．
作MG ⊥面11B BCC 于G ，在面11B BCC 内作GP ⊥1CC 于P ，
连MP ，则MP ⊥1CC ，所以∠MPG 是二面角B CC A --1的平面
角，为030． MA d 31=，322MA d =，∴312MA MP =>． 说明在面11A ACC 内，动点M 到定点A 的距离与到定直线1CC 的距离之比是一个大于1的常数，因此点M 的轨迹是双曲线．
评注：立体几何中的轨迹问题，往往会想到用圆锥曲线的第二定义去解决．关键是要找到有关的定点与相应的定直线．
练习6:已知正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的棱长为１，点M 在棱AB 上，且3
1=AM ,点P 是ABCD 面内的动点，且点P 到直线A 1D 1的距离与点P 到点M 的距离的平方差为１，则点P 的轨迹是（ ）。
A 抛物线
B 双曲线
C 直线
D 以上都不是
7．如左图所示，在正四棱锥S-ABCD 中，E 是BC 的中点，P 点在侧面△SCD 内及其边界上运动，并且总是保持PE ⊥AC ．则动点P 的轨迹与△SCD 组成的相关图形最有可有是右图中的( )
7．立体几何与数列的交汇
例9．某刺猬有2010根刺，当它蜷缩成球时滚到平面上，任意相邻的三根刺都可支撑住身体，且任意四根刺的刺尖不共面，问该刺猬蜷缩成球时，共有（ ）种不同的支撑身体的方式。
A ．2010
B ．4008
C ．4012
D ．4016
【答案】D ．解析：当有n 根刺时有a n 种支撑法，n = 4，5， 6，… ，则a n+1=a n +3－1=a n +2或a n+1=a n +4－2=a n +2，∴{a n }n = 4，5，6，…， 为等差数列，∵a 4 = 4∴a n =2n －4，A 2010＝4016。
例10．1111ABCD A BC D - 是单位正方体,黑白两个蚂蚁从点A 出发沿棱向前爬行,每走完一条棱称为”走完一段”. 白蚂蚁的爬行路线是111AA A D →→ , 黑蚂蚁的爬行路线是1AB BB →→ ,它们都依照如下规则:所爬行的第n+2段与第n
段所在直线必须是异
面直线,设黑白两个蚂蚁都走完2005段后各停止在正方体的某个顶点处,这时黑白两个蚂蚁的距离是 。
解析：本题黑白两个蚂蚁都走完2005段，步数比较大，因此肯定要探索出一个周期性出来。依照规则黑蚂蚁的爬行路线是111111AB BB B C C D D D DA →→→→→，走6段又回到出发点A 。故而它们的周期为6。200533461=?+。所以黑蚂蚁走完2005段后停止在正方体的B
顶点处，白蚂蚁走完2005段后停止在正方体的1A 顶点处。故这时黑白两个蚂蚁的
立体几何与其他知识在交汇点处命题，往往是与其他章节的知识进行融合，利用其他章节的基础知识，重点考查本章知识，把握好知识间的纵横联系与整合，正确运用好交汇点处的知识是是这类问题的主要解题策略.
参考答案：
二．1. 解析：(1)显然1>h ，连接AQ ，∵ADQP ABCD 平面平面⊥，AD PA ⊥， ∴ABCD PA 平面⊥.由已知DQ PQ ⊥，∴DQ AQ ⊥，22h y AQ -=.
∵ABQ Rt ?∽QCD Rt ?， 12-=h CQ ， ∴AB CQ AQ DQ = 即 1
1222-=-h h y h . ∴)1(1
22
>-=h h h y . (2) 211111)1(1222222 h h h h h h y ≥-+-=-+--= 当且仅当2h ,1h 1
1h 22=-=-即时，等号成立.此时1=CQ ，即Q 为BC 的中点.
于是由PAQ DQ 平面⊥，知平面PAQ PDQ 平面⊥，PQ 是其交线，则过A 作 PDQ AE 平面⊥。 ∴ADE ∠就是AD 与平面PDQ 所成的角.由已知得2=AQ ，2==AD PQ ，∴1=AE ， 2
1sin ==∠AD AE ADE , 030=∠ADE . 2.A ． 3.解析：⑴以DA 、DC 、DP 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系，设P （0,0,2m ）. 则A(2,0,0)、B(2,2,0)、C(0,2,0)、E(1,1,m)，从而AE =(-1,1,m),DP
=(0,0,2m). =??,cos 3322222=+m m m ，得m=1. 所以E 点的坐标为（1,1,1）. (2)由于点F 在平面PAD 内，故可设F(z x ,0,)，
由⊥平面PCB 得：0=?，
即10)0,0,2()1.1,1(=?=?---x z x
00)2,2,0()1.1,1(=?=-?---z z x 。
所以点F 的坐标为（1,0,0）,即点F 是DA 的中点时0=?CB EF 且，可使EF ⊥平面PCB.
4.C
5.A
6.A
7.A
立体几何大题练习题答案
立体几何大题专练 1、如图，已知PA ⊥矩形ABCD 所在平面，M 、N 分别为AB 、PC 的中点； (1)求证：MN//平面PAD (2)若∠PDA=45°，求证：MN ⊥平面PCD 2（本小题满分12分） 如图，在三棱锥P ABC -中，,E F 分别为,AC BC 的中点． （1）求证：//EF 平面PAB ； （2）若平面PAC ⊥平面ABC ，且PA PC =，90ABC ∠=?， 求证：平面PEF ⊥平面PBC ． P A C E F
（1）证明：连结EF , E 、F 分别为AC 、BC 的中点， //EF AB ∴. ……………………2分 又?EF 平面PAB ，?AB 平面PAB ， ∴ EF ∥平面P AB . ……………………5分 （2）PA PC =，E 为AC 的中点， PE AC ∴⊥ ……………………6分 又平面PAC ⊥平面ABC PE ∴⊥面ABC ……………………8分 PE BC ∴⊥……………………9分 又因为F 为BC 的中点， //EF AB ∴ 090,BC EF ABC ⊥∠=∴……………………10分 EF PE E = BC ∴⊥面PEF ……………………11分 又BC ?面PBC ∴面PBC ⊥面PEF ……………………12分 3. 如图，在直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，AC=BC ，点D 是AB 的中点。 （1）求证：BC 1//平面CA 1D ； （2）求证：平面CA 1D⊥平面AA 1B 1B 。 4．已知矩形ABCD 所在平面外一点P ，PA ⊥平面ABCD ，E 、F 分别是 AB 、PC 的中点． (1) 求证：EF ∥平面PAD ； (2) 求证：EF ⊥CD ； (3) 若∠PDA ＝45°，求EF 与平面ABCD 所成的角的大小．
小学六年级总复习之立体几何
一、习题精选。 1、一堆小麦堆成圆锥形，底面周长是18. 84米，高1.8米，这堆小麦的体积是（）。 2、用边长为1分米的小正方体，拼成一个较大的正方体，至少需要（）个这样的小正方体，把这些小正方体排成一行，它的长度是（）分米。 3、一个圆柱体比和它等底等高的圆锥体体积大18立方厘米，那么圆柱体和圆锥体体积的和是（）。 4、一根长3米，底面半径5厘米的圆柱形木料锯成两段，表面积增加（）平方厘米或（）平方厘米。 5、一个长方形长15厘米，宽10厘米，以长边为轴旋转一周，会得到一个圆柱形，它的表面积是（）平方厘米，体积是（）立方厘米。 6、一个用立方块搭成的立体图形，淘气从前面看到的图形是，从上面看是，那么搭成这样一个立体图形最少要（）个小立方块。 7、一个半圆的周长是12.56厘米，将这个半圆扩大2倍，它的面积是（）平方厘米。 8、把一个棱长是0.5米的正方体钢坯，锻成横截面面积是10平方分米的长方体钢材。锻成的钢材长度为（）。 9、把一个高为18厘米的圆锥形容器盛满水，将这些水全部倒入和这个圆锥形容器等底的圆柱形容器里，水的高度是（）厘米。 二、判断题 1、圆柱的体积相当于圆锥体积的3倍。（） 2、一个圆柱体木料，把它加工成最大的圆锥体，削去的部分的体积和圆锥的体积比2：1. （） 3、一个圆柱和圆锥等底等高，体积相差21立方厘米，圆锥的体积是7立方厘米（） 4、正方体的棱长缩小一半后,体积比原来少一半。（） 5、一个长方体和一个圆柱，它们的体积和高都相等，那么，它们的底面积也相等。（） 三、选择题。 1、甲圆柱形容器底面半径是乙圆柱形容器底面半径的2倍(容器直立放置)。现以相同的流量同时向这两个容器内注入水，经过一定的时间，甲、乙两个容器内水面的高度的比是？(容器内的水都未加满) （） A.1∶2 B.2∶1 C.4∶1 D.1∶4 2、.如果一个长方体的长、宽、高都扩大3倍，则它的体积扩大( )倍。 A.3 B.9 C.27 3、一个长方体油箱，里面长60厘米，宽50厘米，高40厘米，这个油箱可以装油（） A.120升 B. 12升 C. 1.2升
高考立体几何大题20题汇总情况
高考立体几何大题20 题汇总情况 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN
(2012江西省）（本小题满分12分） 如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，E ，F 是线段AB 上的两点，且DE ⊥AB ，CF ⊥AB ，AB=12，AD=5， BC=42，DE=4.现将△ADE ，△CFB 分别沿DE ，CF 折起，使A ，B 两点重合与点G ，得到多面体CDEFG. （1） 求证：平面DEG ⊥平面CFG ； （2)求多面体C DEFG 的体积。 2012，山东(19) (本小题满分12分) 如图，几何体E ABCD -是四棱锥，△ABD 为正三角形， ,CB CD EC BD =⊥. (Ⅰ)求证：BE DE =； (Ⅱ)若∠120BCD =?，M 为线段AE 的中点，求证：DM ∥平面BEC . 2012浙江20．（本题满分15分）如图，在侧棱锥垂直 底面的四棱锥1111ABCD A B C D -中，,AD BC //AD 11,2,2,4,2,AB AB AD BC AA E DD ⊥====是的中 点，F 是平面11B C E 与直线1AA 的交点。 （Ⅰ）证明：（i） 11;EF A D //ii （）111;BA B C EF ⊥平面 （Ⅱ）求1BC 与平面11B C EF 所成的角的正弦值。 (第20题图) F E C 1 B 1 D 1A 1 A D B C
（2010四川）18、(本小题满分12分)已知正方体''''ABCD A B C D -中，点M 是棱'AA 的中点，点O 是对角线'BD 的中点， （Ⅰ）求证：OM 为异面直线'AA 与'BD 的公垂线； （Ⅱ）求二面角''M BC B --的大小； 2010辽宁文（19）（本小题满分12分） 如图，棱柱111ABC A B C -的侧面11BCC B 是菱形，11B C A B ⊥ （Ⅰ）证明：平面11A B C ⊥平面11A BC ； （Ⅱ）设D 是11A C 上的点，且1//AB 平面1B CD ，求11:A D DC 的值。
高中数学必修2空间立体几何大题
必修2空间立体几何大题 一．解答题（共18小题） 1．如图，在三棱锥V﹣ABC中，平面V AB⊥平面ABC，△V AB为等边三角形，AC⊥BC且AC=BC=，O，M分别为AB，V A的中点． （1）求证：VB∥平面MOC；（2）求证：平面MOC⊥平面V AB（3）求三棱锥V﹣ABC的体积． 2．如图，三棱锥P﹣ABC中，PA⊥平面ABC，PA=1，AB=1，AC=2，∠BAC=60°． （1）求三棱锥P﹣ABC的体积； （2）证明：在线段PC上存在点M，使得AC⊥BM，并求的值． 3．如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=16，BC=10，AA1=8，点E，F分别在A1B1，D1C1上，A1E=D1F=4．过E，F的平面α与此长方体的面相交，交线围成一个正方形 （Ⅰ）在图中画出这个正方形（不必说出画法和理由） （Ⅱ）求平面α把该长方体分成的两部分体积的比值． 4．如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面是边长为2的正三角形，E，F分别是BC，CC1的中点， （Ⅰ）证明：平面AEF⊥平面B1BCC1； （Ⅱ）若直线A1C与平面A1ABB1所成的角为45°，求三棱锥F﹣AEC的体积．
5．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，已知AC⊥BC，BC=CC1，设AB1的中点为D，B1C∩BC1=E． 求证： （1）DE∥平面AA1C1C；（2）BC1⊥AB1． 6．如题图，三棱锥P﹣ABC中，平面PAC⊥平面ABC，∠ABC=，点D、E在线段AC上，且AD=DE=EC=2，PD=PC=4， 点F在线段AB上，且EF∥BC． （Ⅰ）证明：AB⊥平面PFE．（Ⅱ）若四棱锥P﹣DFBC的体积为7，求线段BC的长． 7．如图，AB是圆O的直径，点C是圆O上异于A，B的点，PO垂直于圆O所在的平面，且PO=OB=1， （Ⅰ）若D为线段AC的中点，求证；AC⊥平面PDO； （Ⅱ）求三棱锥P﹣ABC体积的最大值； 8．如图，四边形ABCD为菱形，G为AC与BD的交点，BE⊥平面ABCD． （Ⅰ）证明：平面AEC⊥平面BED； （Ⅱ）若∠ABC=120°，AE⊥EC，三棱锥E﹣ACD的体积为，求该三棱锥的侧面积．
14,立体几何综合应用
实用文档 §9.11立体几何综合应用 【复习目标】 1． 初步掌握立体几何中的“探索性” “发散性”等命题的解法.； 2． 能正确地分析出几何中基本元素及其相互关系，能对图形进行分 解、组合和变形，进一步提高空间想象能力和逻辑思维能力。 【课前预习】 1． 如图,是一个无盖的正方体盒子展开后的平面图, A 、B 、C 是展开图 上的三点, 则正方体盒子中∠ABC 的值为 （ ） A.180° B. 120° C.60° D. 45° 2． 棱长为1的正方体容器ABCD －A 1B 1C 1D 1 , 在A 1B 、A 1B 1、B 1C 1的 中点E 、F 、G 处各开有一个小孔. 若此容器可以任意放置, 则 装水最多的容积是（小孔面积对容积的影响忽略不计） （ ） A. 87 B. 1211 C. 4847 D. 5655 3． 图中多面体是过正四棱柱的底面正方形ABCD （边长为1）的点A 作截面AB 1C 1D 1而截 得的, 且BB 1＝DD 1，已知截面AB 1C 1D 1与底面ABCD 成30°的二面角, 则这个多面体的体积 （ ）
实用文档 A. 26 B. 36 C. 46 D. 66 4． 在四棱锥P －ABCD 中, O 为CD 上的动点, 四边形ABCD 满足条件 时, V P －AOB 恒为定值 ( 写上你认为正确的一个条件即可 )。 【典型例题】 例1 如图, 四棱锥S －ABC 中,AB ∥CD,CD ⊥平面SAD, 且21 CD ＝SA ＝AD ＝SD ＝AB ＝1. （1） 当H 为SD 中点时, 求证：AH ∥平面SBC 、平面SBC ⊥平面SCD ； （2） 求点D 到平面SBC 的距离； （3） 求面SBC 和面SAD 所成的的二面角的大 小. 例2 如图, 已知距形ABCD 中, AB ＝1, BC ＝a (a ＞0), PA ⊥平面AC, 且PA ＝1. （1） 问BC 边上是否存在Q, 使得PQ ⊥QD ？说明理由； （2） 若BC 边上有且只有一个点Q ，使得PQ ⊥QD ，求这时二面角Q －PD －A 的大小.
立体几何大题道
立体几何大题20道 1、（17年浙江）如图，已知四棱锥P-ABCD ，△PAD 是以AD 为斜边的等腰直角三角形，BC ∥AD ，CD ⊥AD ，PC=AD=2DC=2CB,E 为PD 的中点.（I ）证明：CE ∥平面PAB ；（II ）求直线CE 与平面PBC 所成角的正弦值 2、(17新课标3)如图，四面体ABCD 中，△ABC 是正三角形，AD =CD ．（1）证明：AC ⊥BD ；（2）已知△ACD 是直角三角形，AB =BD ．若E 为棱BD 上与D 不重合的点，且AE ⊥EC ，求四面体ABCE 与四面体ACDE 的体积比． 3、（17新课标2）如图，四棱锥P ABCD -中，侧面PAD 为等边三角形且垂直于底ABCD , 1 ,2 AB BC AD BAD == ∠90.ABC =∠=?（1）证明：直线BC ∥平面PAD ; （2）若△PCD 的面积为27，求四棱锥P ABCD -的体积.
4、（17新课标1）如图，在四棱锥P-ABCD 中，AB//CD ，且90BAP CDP ∠=∠=o （1）证明：平面PAB ⊥平面PAD ； （2）若PA =PD =AB =DC ,90APD ∠=o ,且四棱锥P-ABCD 的体积为 8 3 ，求该四棱锥的侧面积. 5、（17年山东）由四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1截去三棱锥C 1- B 1CD 1后得到的几何体如图所示,四边形ABCD 为正方形,O 为AC 与BD 的交点,E 为AD 的中点,A 1E ⊥平面ABCD , （Ⅰ）证明：1A O ∥平面B 1CD 1; （Ⅱ）设M 是OD 的中点,证明：平面A 1EM ⊥平面B 1CD 1. 6、（17年北京）如图，在三棱锥P –ABC 中，PA ⊥AB ，PA ⊥BC ，AB ⊥BC ，PA =AB =BC =2，D 为线段AC 的中点，E 为线段PC 上一点．（Ⅰ）求证：PA ⊥BD ；（Ⅱ）求证：平面BDE ⊥平面PAC ； （Ⅲ）当PA ∥平面BD E 时，求三棱锥E –BCD 的体积．
《立体几何综合复习》教学设计
高三立体几何综合复习》教学设计 一、教材分析立体几何是高中数学的重要概念之一。最近几年高考对立体几何的要求发生了很大的变化，注重空间的平行与垂直关系的判定，淡化空间角和空间距离的考查，因此立体几何的难度和以往相比有大幅度的降。因此依据考试说明的要求在高三复习中制定以下目标： 1. 高度重视立体几何基础知识的复习，扎实地掌握基本概念、定理和公式等基础知识。 2. 复习过程中指导学生通过网络图或框图主动建构完整的知识体系，尤其要以线线、线面、面面三种位置关系形成网络，能够熟练地转化和迁移。 3. 重视模型复习，强化学生的“想图、画图、识图、解图”的能力，重视图形语言、文字语言、符号语言转化的训练。尤其重视对所画的立体图形、三视图与真实图形思维理解上的一致性。 4. 在完成解答题时，要重视培养学生规范书写，注意表述的逻辑性及准确性，要注意训练学生思考的严谨性，在计算相关量时应做到“一作、二证、三算” 。 做好本节课的复习，对学生系统地掌握直线和平面的知识乃至于创新能力的培养都具有重要的意义。 二、学情分析在传统的高中数学立体几何的学习中，采取的基本方法：面面俱到的知识点整理，典型的例题解答，课堂的跟踪训练，灌输解题规律，这种模式由于缺乏新意，学生思维难以兴奋，发散性思维受到抑制，创新意识逐渐消弱，学习的效果可想而知。因此立体几何的学习只有深入到学科知识的内部，充分调动学生的思维，触及学生的兴奋点，这样才能达到高效学习的目的。 三、设计思想在新课程理念下，在立体几何教学中我进行了研究性学习的尝试，所谓研究性学习就 是 应用研究性学习的理念、方法去指导立体几何，学生在教师的引导下尽可能地采取自主性、探究性的学习方式，不仅要注意基础知识的学习，更应该关注自身综合素质、创新意识的提高。让学生在教师的引导下，充分地动手、动口、动脑，掌握学习的主动权。 四、媒体手段 利用电子白板，幻灯片课件，几何画板软件。让学生分组自己动手利用几何画板绘制立体图形，分组讨论得出结论，充分调动学生的学习的积极性主动性，自主的发现问题，找到解决问题的方法。五、教学目标 1知识与技能
立体几何大题训练及答案
1、如图，正方形所在平面与平面四边形所在平面互相垂直，△是等腰直角三角形， （1）线段的中点为，线段的中点为， 求证：； （2）求直线与平面所成角的正切值. 解：（1）取AB 的中点为N ，连MN ,PN ,则//MN EB ,//PN BC ∴ PMN EBC ∴//PM BCE 平面FE ⊥EBC FCE ∴∠ ⊥//AB DE (1)求证：AO ⊥平面CDE ； (2)求直线BD 与平面CBE 所成角的正弦值 3、如图，在△ABC 中，?=∠90C ，a BC AC 3==，点P 在AB 上，BC PE //交AC 于 E ，AC P F //交BC 于F ．沿PE 将△APE 翻折成△PE A '，使平面⊥PE A '平面 ABC ；沿PF 将△BPF 翻折成△PF B '，使平面⊥PF B '平面ABC ． （1）求证：//'C B 平面PE A '； （2）若PB AP 2=，求二面角E PC A --'的平面角的正切值． 解：（1）因为PE FC //，?FC 平面PE A '，所以//FC 平面PE A '． 因为平面⊥PE A '平面PEC ，且PE E A ⊥'，所以⊥E A '平面ABC ． …2分 同理，⊥F B '平面ABC ，所以E A F B '//'，从而//'F B 平面PE A '． …4分 所以平面//'CF B 平面PE A '，从而//'C B 平面PE A '． …6分 （2）因为a BC AC 3==，BP AP 2=， 所以a CE =，a A E 2='，a PE 2=，a PC 5=． …8分 A B C D E F M . . C B F P A F C ' B ' A E
空间向量在立体几何中的应用和习题(含答案)
空间向量在立体几何中的应用： (1)直线的方向向量与平面的法向量： ①如图，l 为经过已知点A 且平行于已知非零向量a 的直线，对空间任意一点O ，点P 在直线l 上的充要条件是存在实数t ，使得a t OA OP +=，其中向量a 叫做直线的方向向量． 由此可知，空间任意直线由空间一点及直线的方向向量惟一确定． ②如果直线l ⊥平面α ，取直线l 的方向向量a ，则向量a 叫做平面α 的法向量． 由此可知，给定一点A 及一个向量a ，那么经过点A 以向量a 为法向量的平面惟一确定． (2)用空间向量刻画空间中平行与垂直的位置关系： 设直线l ，m 的方向向量分别是a ，b ，平面α ，β 的法向量分别是u ，v ，则 ①l ∥m ?a ∥b ?a ＝k b ，k ∈R ； ②l ⊥m ?a ⊥b ?a ·b ＝0； ③l ∥α ?a ⊥u ?a ·u ＝0； ④l ⊥α ?a ∥u ?a ＝k u ，k ∈R ； ⑤α ∥?u ∥v ?u ＝k v ，k ∈R ； ⑥α ⊥β ?u ⊥v ?u ·v ＝0． (3)用空间向量解决线线、线面、面面的夹角问题： ①异面直线所成的角：设a ，b 是两条异面直线，过空间任意一点O 作直线a ′∥a ，b ′∥b ，则a ′与b ′所夹的锐角或直角叫做异面直线a 与b 所成的角． 设异面直线a 与b 的方向向量分别是v 1，v 2，a 与b 的夹角为θ ，显然],2 π,0(∈θ则 ?= >
高一数学空间几何体综合练习题
人教A 必修2第一章空间几何体综合练习卷 本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分.共150分. 第Ⅰ卷（选择题，共50分） 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填在题后的括号内（每小题5分，共50分）． 1．不共面的四点可以确定平面的个数为 （ ） A ． 2个 B ． 3个 C ． 4个 D ．无法确定 2．利用斜二测画法得到的 ①三角形的直观图一定是三角形； ②正方形的直观图一定是菱形； ③等腰梯形的直观图可以是平行四边形； ④菱形的直观图一定是菱形. 以上结论正确的是 （ ） A ．①② B ． ① C ．③④ D ． ①②③④ 3．棱台上下底面面积分别为16和81,有一平行于底面的截面面积为36,则截面戴的两棱台高 的比为 （ ） A ．1∶1 B ．1∶1 C ．2∶3 D ．3∶4 4．若一个平行六面体的四个侧面都是正方形,则这个平行六面体是 （ ） A ．正方体 B ．正四棱锥 C ．长方体 D ．直平行六面体 5．已知直线a 、b 与平面α、β、γ，下列条件中能推出α∥β的是 （ ） A ．a ⊥α且a ⊥β B ．α⊥γ且β⊥γ C ．a ?α，b ?β，a ∥b D ．a ?α，b ?α，a ∥β，b ∥β 6．如图所示，用符号语言可表达为（ ） A ．α∩β＝m ，n ?α，m ∩n ＝A B ．α∩β＝m ，n ∈α，m ∩n ＝A C ．α∩β＝m ，n ?α，A ?m ，A ? n D ．α∩β＝m ，n ∈α，A ∈m ，A ∈ n 7．下列四个说法 ①a //α，b ?α,则a // b ②a ∩α＝P ，b ?α，则a 与b 不平行 ③a ?α，则a //α ④a //α，b //α，则a // b 其中错误的说法的个数是 （ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 8．正六棱台的两底边长分别为1cm,2cm,高是1cm,它的侧面积为 （ ） A ．279cm 2 B ．79cm 2 C ．32 3cm 2 D ．32cm 2 9．将一圆形纸片沿半径剪开为两个扇形，其圆心角之比为3∶4. 再将它们卷成两个圆锥侧 面，则两圆锥体积之比为 （ ） A ．3∶4 B ．9∶16 C ．27∶64 D ．都不对 10．将边长为a 的正方形ABCD 沿对角线AC 折起，使BD =a ，则三棱锥D —ABC 的体积为 （ ）
立体几何综合应用
立体几何综合应用（教案） 一. 复习目标 1. 初步掌握“立几”中“探索性” “发散性”等命题的解法. 2．能正确地分析出几何中基本元素及其相互关系.能对图形进行分解、组合和变形. 进一步提高空间想象能力和逻辑思维能力. 二. 课前预习 1. 棱长为1的正方体容器ABCD－A1B1C1D1 , 在A1B、A1B1、 B1C1的中点E、F、G处各开有一个小孔. 若此容器可以 任意放置, 则装水最多的容积是 ( ) （小孔面积对容积的影响忽略不计） A. B. C. D. 2．如图,是一个无盖的正方体盒子展开后的平面图, A、B、C是展开图上的三点, 则正方体盒子中∠ABC的值为 ( ) A.180° B. 120° C.60° D. 45° 3．图中多面体是过正四棱柱的底面正方形ABCD的点A作截面AB1C1D1而截得的, 且BB1＝DD1已知截面AB1C1D1与底面ABCD成30° 的二面角, 则这个多面体的体积 ( ) A. B. C. D. 4．在四棱锥P－ABCD中, O为CD上的动点, 四边形ABCD满足条件时, V P－AOB恒为定值 ( 写上你认为正确的一个条件即可 ) 三. 典型例题 例1. 如图, 四棱锥S－ABC中,AB∥CD,CD⊥平面SAD, 且CD＝SA＝AD＝SD＝AB＝1. (1) 当H为SD中点时, 求证: AH∥平面SBC, 平面SBC⊥平面SCD; (2) 求点D到平面SBC的距离; (3) 求面SBC和面SAD所成的的二面角的大小. 备课说明：（1）本题的四棱锥是非常规放置的，要注意分辨图形.（2）可以用常规方法解决点面距离及二面角大小, 也可以用面积或体
高考立体几何大题20题汇总
(2012XX省）（本小题满分12分） 如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，E，F是线段AB上的两点，且DE⊥AB，CF⊥AB，AB=12，AD=5，BC=42，DE=4.现将△ADE ，△CFB分别沿DE，CF折起，使A，B两点重合与点G，得到多面体CDEFG. （1）求证：平面DEG⊥平面CFG； （2)求多面体CDEFG的体积。 2012，(19)(本小题满分12分) 如图，几何体EABCD是四棱锥，△ABD为正三角形， CBCD,ECBD. (Ⅰ)求证：BEDE； (Ⅱ)若∠BCD120，M为线段AE的中点，求证：DM∥平面 BEC. BC 2012XX20．（本题满分15 分）如图，在侧棱锥垂直 A D 底面的四棱锥ABCDA1B1C1D1中，AD//BC,AD FE AB,AB2,AD2,BC4,AA2,E是DD的中点，F 11 是平面B C E 与直线AA1 的交点。 1 1 A1 B1 D1 ( 第20题图) C1 （Ⅰ）证明：（i ）E F//A1D1;（ii）BA1平面B1C1EF; （Ⅱ）求BC与平面B1C1EF所成的角的正弦值。 1 （2010）18、(本小题满分12分)已知正方体ABCDA'B'C'D'中，点M是棱AA' 的中点，点O是对角线BD'的中点， （Ⅰ）求证：OM为异面直线AA'与BD'的公垂线；
（Ⅱ）求二面角MBC'B'的大小； 2010XX文（19）（本小题满分12分） 如图，棱柱 ABCA1B1C1的侧面BCC1B1是菱形，B1CA1B （Ⅰ）证明：平面A B C平面A1BC1； 11 （Ⅱ）设D 是A C上的点，且 11 AB1//平面BCD，求 1 A1D :DC1的值。 2012（18）(本小题满分12分) 如图，直三棱柱/// ABCABC，BAC90， ABAC2,AA′=1，点M，N分别为/ AB和// BC的中点。 (Ⅰ)证明：MN∥平面// AACC;
《立体几何综合复习》教学设计.doc
《高三立体几何综合复习》教学设计 一、教材分析 立体几何是高中数学的重要概念之一。最近几年高考对立体几何的要求发生了很大的变化，注重空间的平行与垂直关系的判定，淡化空间角和空间距离的考查，因此立体几何的难 度和以往相比有大幅度的降。因此依据考试说明的要求在高三复习中制定以下目标： 1.高度重视立体几何基础知识的复习，扎实地掌握基本概念、定理和公式等基础知识。 2.复习过程中指导学生通过网络图或框图主动建构完整的知识体系，尤其要以线线、线 面、面面三种位置关系形成网络，能够熟练地转化和迁移。 3.重视模型复习，强化学生的“想图、画图、识图、解图”的能力，重视图形语言、文字语言、符号语言转化的训练。尤其重视对所画的立体图形、三视图与真实图形思维理解上的一 致性。 4.在完成解答题时，要重视培养学生规范书写，注意表述的逻辑性及准确性，要注意训练 学生思考的严谨性，在计算相关量时应做到“一作、二证、三算” 。 做好本节课的复习，对学生系统地掌握直线和平面的知识乃至于创新能力的培养都具有 重要的意义。 二、学情分析 在传统的高中数学立体几何的学习中，采取的基本方法：面面俱到的知识点整理，典型 的例题解答，课堂的跟踪训练，灌输解题规律，这种模式由于缺乏新意，学生思维难以兴奋，发散性思维受到抑制，创新意识逐渐消弱，学习的效果可想而知。因此立体几何的学习只有 深入到学科知识的内部，充分调动学生的思维，触及学生的兴奋点，这样才能达到高效学习的目的。 三、设计思想 在新课程理念下，在立体几何教学中我进行了研究性学习的尝试，所谓研究性学习就是应用研究性学习的理念、方法去指导立体几何，学生在教师的引导下尽可能地采取自主性、 探究性的学习方式，不仅要注意基础知识的学习，更应该关注自身综合素质、创新意识的提高。让学生在教师的引导下，充分地动手、动口、动脑，掌握学习的主动权。 四、媒体手段
立体几何综合大题20道
立体几何综合大题（理科）40道及答案 1、四棱锥中,⊥底面,,, . (Ⅰ)求证:⊥平面； (Ⅱ)若侧棱上的点满足,求三棱锥的体积。 【答案】 (Ⅰ)证明:因为BC=CD ，即BCD ?为等腰三角形，又ACD ACB ∠=∠,故AC BD ⊥. 因为⊥PA 底面ABCD ，所以BD PA ⊥,从而BD 与平面PAC 内两条相交直线 AC PA ,都垂直， 故⊥平面。 (Ⅱ)解：33 2sin 2221sin 21=??=∠??= ?π BCD CD BC S BCD . 由⊥PA 底面ABCD 知232331 31=??=??=?-PA S V BCD BDC P . 由,7FC PF =得三棱锥BDC F -的高为PA 8 1 , 故：4 1 32813318131=???=??=?-PA S V BCD BDC F 4 7 412=- =-=---BCD F BCD P BDF P V V V 2、如图，四棱锥P ABCD -中，四边形ABCD 为矩形，PAD ?为等腰三角形， 90APD ?∠=，平面PAD ⊥ 平面ABCD ，且1,2AB AD ==，,E F 分别为PC 和BD 的中点．
（Ⅰ）证明：EF P 平面PAD ； （Ⅱ）证明：平面PDC ⊥平面PAD ； （Ⅲ）求四棱锥P ABCD -的体积． 【答案】 （Ⅰ）证明：如图，连结AC ． ∵四边形ABCD 为矩形且F 是BD 的中点．∴F 也是AC 的中点． 又E 是PC 的中点，EF AP P ∵EF ?平面PAD ，PA ?平面PAD ，所以EF P 平面PAD ； （Ⅱ）证明：∵平面PAD ⊥ 平面ABCD ，CD AD ⊥，平面PAD I 平面 ABCD AD =， 所以平面CD ⊥ 平面PAD ，又PA ?平面PAD ，所以PA CD ⊥ 又PA PD ⊥，,PD CD 是相交直线，所以PA ⊥面PCD 又PA ?平面PAD ，平面PDC ⊥平面PAD ； （Ⅲ）取AD 中点为O ．连结PO ,PAD ?为等腰直角三角形，所以PO AD ⊥， 因为面PAD ⊥面ABCD 且面PAD I 面ABCD AD =， 所以，PO ⊥面ABCD ， 即PO 为四棱锥P ABCD -的高． O
第53讲 立体几何的综合应用
第53讲 立体几何的综合应用 1．(2016·新课标卷Ⅰ)如图，已知正三棱锥P -ABC 的侧面是直角三角形，P A ＝6，顶点P 在平面ABC 内的正投影为点D ，D 在平面P AB 内的正投影为点E ，连接PE 并延长交AB 于点G . (1)证明：G 是AB 的中点； (2)在图中作出点E 在平面P AC 内的正投影F (说明作法及理由)，并求四面体PDEF 的体积． (1)证明：因为P 在平面ABC 内的正投影为D ， 所以AB ⊥PD . 因为D 在平面P AB 内的正投影为E ，所以AB ⊥DE . 因为PD ∩DE ＝D ，所以AB ⊥平面PED ，故AB ⊥PG . 又由已知可得，P A ＝PB ，所以G 是AB 的中点． (2)在平面P AB 内，过点E 作PB 的平行线交P A 于点F ，F 即为E 在平面P AC 内的正投影． 理由如下：由已知可得PB ⊥P A ，PB ⊥PC ，又EF ∥PB ，所以EF ⊥P A ，EF ⊥PC .又P A ∩PC ＝P ，因此EF ⊥平面P AC ，即点F 为E 在平面P AC 内的正投影． 连接CG ，因为P 在平面ABC 内的正投影为D ， 所以D 是正三角形ABC 的中心． 由(1)知，G 是AB 的中点，所以D 在CG 上， 故CD ＝23 CG . 由题设可得PC ⊥平面P AB ，DE ⊥平面P AB ， 所以DE ∥PC ，因此PE ＝23PG ，DE ＝13 PC . 由已知，正三棱锥的侧面是直角三角形且P A ＝6， 可得DE ＝2，PE ＝2 2. 在等腰直角三角形EFP 中，可得EF ＝PF ＝2， 所以四面体PDEF 的体积V ＝13×12×2×2×2＝43 . 2．(2017·新课标卷Ⅱ)如图，四棱锥P -ABCD 中，侧面P AD 为等边三角形且垂直于底面 ABCD ，AB ＝BC ＝12AD, ∠BAD ＝∠ABC ＝90°. (1)证明：直线BC ∥平面P AD ； (2)若△PCD 的面积为27，求四棱锥P -ABCD 的体积． (1)在平面ABCD 内，因为∠BAD ＝∠ABC ＝90°，所以BC ∥AD .又BC ?平面P AD ，
立体几何综合试题
立体几何综合试题 1．（本小题满分12分）如图，在正三棱柱ABC—A1B1C1中，各棱长都相等，D、E分别为AC1，BB1的中点。（1）求证：DE∥平面A1B1C1；（2）求二面角A1—DE—B1的大小。 2．（本小题满分12分） 如图：已知直三棱柱ABC—A1B1C1，AB＝AC，F为棱BB1上一点，BF∶FB1＝2∶1，BF＝BC＝2a。 （I）若D为BC的中点，E为AD上不同于A、D的任意一点，证明EF⊥FC1； （II）试问：若AB＝2a，在线段AD上的E点能否使EF与平面BB1C1C成60°角，为什么？证明你的结论 A B C 1 A 1 B 1 C E D
3. （本小题满分12分） 如图，在底面是直角梯形的四棱锥P ABCD -中，AD ∥BC ，∠ABC ＝90°，且 ∠ADC =arcsin 5 5 ，又PA ⊥平面ABCD ，AD ＝3AB ＝3PA ＝3a 。 （I ）求二面角P —CD —A 的正切值； （II ）求点A 到平面PBC P B C A D 4.（本小题满分14分）在直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，CA=CB=CC 1=2，∠ACB=90°，E 、F 分别是BA 、BC 的中点，G 是AA 1上一点，且AC 1⊥EG. （Ⅰ）确定点G 的位置； （Ⅱ）求直线AC 1与平面EFG 所成角θ的大小.
已知四棱锥P —ABCD ，底面ABCD 是菱形，⊥?=∠PD DAB ,60平面ABCD ，PD=AD ， 点E 为AB 中点，点F 为PD 中点. （1）证明平面PED ⊥平面PAB ； （2）求二面角P —AB —F 的平面角的余弦值 6.在棱长为4的正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，O 是正方形A 1B 1C 1D 1的中心，点P 在棱CC 1 上，且CC 1=4CP. (Ⅰ)求直线AP 与平面BCC 1B 1所成的角的大小（结果用反三角函数值表示）； (Ⅱ)设O 点在平面D 1AP 上的射影是H ，求证：D 1H ⊥AP ； (Ⅲ)求点P 到平面ABD 1的距离. · B 1 P A C D A 1 C 1 D 1 B O H ·
立体几何的综合应用.
立体几何的综合应用 一、 知识梳理： 线面平行的证法，线线角、线面角、二面角、点到平面的距离等的求法，用类比、转化、 归、构造等方法解题。 二、 训练反馈 1如图，以长方体 ABCD-A i B i CD 的顶点为顶点且四个面都是直角三角形的四面体是 （注：只写出其中一个， A — ABC 等 2、在平面几何中有: 并在图中画出相应的四面体） Rt △ ABC 的直角边分别为a,b ，斜边上的高为 P — ABC 中，PA PB PC 两两互相垂直，且 2 一结论，在三棱锥 2 2 2 —ABC 的高为 h ,则结论为 _1/a +1/b +1/c = 1/ h 3、如图一，在△ ABC 中，AB 丄AC ADL BC, D 是垂足，则 AB 2 题：三棱锥 A — BCD （图二）中，ADL 平面 ABC AC L 平面 BCD S ABC S BCO S BCD ， 上述命题是 （A ） A.真命题 B.假命题 C ?增加“ ABL AC 的条件才是真命题 D.增加“三棱锥A — BCD 是正三棱锥” 丄 b 2 PA=a PB=b, PC=C 此三棱锥 P h ，则丄 a 丄。类比这 h 2 BD BC （射影定理）。类似有命 O 为垂足，且 0在厶BCD 内，贝U 的条件才是真命题 图 4、下列四个正方体图形中， AB// MNP 的图形的序号疋 D P 分别为其所在棱的中点，能得出 图一 A 、 B 为正方体的两个顶点， ①③（写出所有符合要求的图形序号） ① ② ③ ④ 5、如图，在正方体 ABCD-A i B i GD 中，EF 是异面直线 AC 与 A i D 的公垂线,
立体几何综合大题20道(理)
立体几何综合大题（理科）40道及答案 1 、四棱锥P ABCD 中, PA ⊥底面ABCD , PA 2 3 , BC CD 2 , ACB ACD . 3 ( Ⅰ) 求证: BD ⊥平面PAC ； ( Ⅱ) 若侧棱PC 上的点F 满足PF 7FC , 求三棱锥P BDF 的体积。 【答案】 ( Ⅰ) 证明: 因为BC=C，D即B C D为等腰三角形，又ACB ACD , 故BD AC . 因为PA 底面ABCD，所以PA BD , 从而BD 与平面PAC 内两条相交直线 PA, AC 都垂直， 故⊥平面。 BD PAC 1 1 2 ( Ⅱ) 解： 3 S BCD . BC CD sin BCD 2 2 sin 2 2 3 1 1 由PA 底面ABCD知V P BDC BCD 3 2 3 2 . S PA 3 3 1 由PF 7FC,得三棱锥F BDC 的高为PA 8 , 故： 1 V F BDC S BCD 3 1 8 PA 1 3 3 1 8 2 3 1 4 V P V V BDF P BCD F BCD 2 1 4 7 4
2、如图，四棱锥P ABCD中，四边形ABCD 为矩形，PAD 为等腰三角形，APD 90 ，平面PAD 平面ABCD，且A B1,A D 2 ，E, F 分别为PC 和BD 的中点．
（Ⅰ）证明：EF平面PAD； （Ⅱ）证明：平面PDC平面PAD； （Ⅲ）求四棱锥P ABCD的体积． P E D C O F A B 【答案】 （Ⅰ）证明：如图，连结AC． ∵四边形ABCD为矩形且F是BD的中点．∴F也是AC的中点． 又E是PC的中点，EF AP ∵EF平面PAD，PA平面PAD，所以EF平面PAD； （Ⅱ）证明：∵平面PAD平面ABCD，CD AD，平面PAD平面ABCD AD， 所以平面CD平面PAD，又PA平面PAD，所以PA CD 又PA PD，PD,CD是相交直线，所以PA面PCD 又PA平面PAD，平面PDC平面PAD； （Ⅲ）取AD中点为O．连结PO,PAD为等腰直角三角形，所以PO AD，因为面PAD面ABCD且面PAD面ABCD AD， 所以，PO面ABCD， 即PO为四棱锥P ABCD的高． 由AD2得PO1．又AB1． ∴四棱锥P ABCD的体积 12 V PO AB AD 33
(完整版)高一必修二经典立体几何专项练习题
高一必修二经典立体几何专项练习题 空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系 1、直线与平面有三种位置关系： （1）直线在平面内——有无数个公共点 （2）直线与平面相交——有且只有一个公共点 （3）直线在平面平行——没有公共点 指出：直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外，可用a α来表示 a α a∩α=A a∥α 2.2.直线、平面平行的判定及其性质 2.2.1 直线与平面平行的判定 1、直线与平面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。 简记为：线线平行，则线面平行。 符号表示： a α b β => a∥α a∥b 2.2.2 平面与平面平行的判定 1、两个平面平行的判定定理：一个平面内的两条交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。 符号表示： aβ bβ a∩b =pβ∥α a∥α b∥α 2、判断两平面平行的方法有三种： （1）用定义； （2）判定定理； （3）垂直于同一条直线的两个平面平行。
2.2.3 —2.2.4直线与平面、平面与平面平行的性质 1、直线与平面平行的性质定理：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。 简记为：线面平行则线线平行。 符号表示： a ∥α a β a∥b α∩β= b 作用：利用该定理可解决直线间的平行问题。 2、两个平面平行的性质定理：如果两个平行的平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行。 符号表示： α∥β α∩γ=a a∥b β∩γ=b 作用：可以由平面与平面平行得出直线与直线平行 2.3直线、平面垂直的判定及其性质 2.3.1直线与平面垂直的判定 1、定义：如果直线L与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线L与平面α互相垂直，记作L⊥α，直线L叫做平面α的垂线，平面α叫做直线L的垂面。如图，直线与平面垂直时,它们唯一公共点P叫做垂足。 P a L 2、直线与平面垂直的判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。 注意点： a)定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视； b)定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想。 2.3.2平面与平面垂直的判定 1、二面角的概念：表示从空间一直线出发的两个半平面所组成的图形 A
立体几何大题
互相垂直，F 为BC 的中点， BAC ACD 90°，AE// CD (2012济宁高三上学期期末 文) 1/1本小题满分12分) 如图，在底面是矩形的四棱锥P —ABCD 中.P 人丄面ABCD 用是PD 的中 & (I ［求证：平面PDC 丄平面PDA. & (fl )求几何怵P-ABCD 被平面ACE 分得的两部分 的体积岀 : VpMCE* / - / A A —■■■-\— ■! ............... (2012潍坊高三期末 文)18.(本小题满分12分) 如图所示，直角梯形 ACDE 与等腰直角 ABC 所在平面 DC=AC=2AE=2 (I) 求证：平面BDEL 平面ABC (II) 求证：AF//平面BDE (III) 求四面体B-CDE 的体积。 (IV) (2012年佛山市普通高中高三教学质量检测) 18.(本题满分14分) 如图，三棱锥 P ABC 中，PB 底面ABC , BCA 90o , PB BC CA 4 , E 为 PC 的中点， M 为AB 的中点，点F 在PA 上，且AF 2FP . 1) 求证：BE 平面PAC ; 2) 求证：CM //平面BEF ; (3)求三棱锥F ABE 的体积? 20.(本小题满分13分) 在边长为a 的正方形ABCD 中，E, F 分别 为BC, CD 的中点，现沿 AE 、AF 、EF 折 叠，使 B 、 C 、 D 三点重合，构成一个三棱锥 (I) 在三棱锥 B AEF 中，求证: (H)求四棱 锥 E AMNF 的体积. B AEF ，如图所示. AB EF ;
18.(本小题满分13分) 如图，四棱锥 P— ABCD的底面是正方形，PD 底面ABCD，点E在棱PB上。 (1)求证平面AEC 平面PDB ；
立体几何三大公理-的应用
一、共线问题 例1.若ΔABC所在的平面和ΔA1B1C1所在平面相交，并且直线AA1、BB1、CC1相交于一点O，求证： (1)AB和A1B1、BC和B1C1、AC和A1C1分别在同一平面内； (2)如果AB和A1B1、BC和B1C1、AC和A1C1分别相交，那么交点在同一直线上(如图). 例2.点P、Q、R分别在三棱锥A-BCD的三条侧棱上，且PQ∩BC＝X,QR∩CD＝Z,PR ∩BD＝Y.求证：X、Y、Z三点共线. 例3.已知△ABC三边所在直线分别与平面α交于P、Q、R三点，求证：P、Q、R三点共线。 二、共面问题 例4.直线m、n分别和平行直线a、b、c都相交，交点为A、B、C、D、E、F，如图，求证：直线a、b、c、m、n共面.
例5. 证明两两相交而不共点的四条直线在同一平面内. 已知：如图，直线l 1，l 2，l 3，l 4两两相交，且不共点. 求证：直线l 1，l 2，l 3，l 4在同一平面内 例6. 已知：A 1、B 1、C 1和A 2、B 2、C 2分别是两条异面直线l 1和l 2上的任意三点，M 、N 、R 、T 分别是A 1A 2、B 1A 2、B 1B 2、C 1C 2的中点.求证：M 、N 、R 、T 四点共面. 例7. 在空间四边形ABCD 中，M 、N 、P 、Q 分别是四边上的点，且满足MB AM ＝NB CN ＝QD AQ ＝PD CP ＝k. (1)求证：M 、N 、P 、Q 共面. (2)当对角线AC ＝a,BD ＝b ，且MNPQ 是正方形时，求AC 、BD 所成的角及k 的值(用a,b 表示) 三、共点问题 例8. 三个平面两两相交得三条直线，求证：这三条直线相交于同一点或两两平行.